Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ Ingenier´ıa y Agrimensura Departamento de Matem´ atica - Escuela de Ciencias Exactas y Naturales atica ´ ebra Algebr Alg a y Ge Geome ometr´ tr´ ıa ıa Anal Ana l´ıtica ıti ca I
Lic. en Fisica - A˜no no 2014
Acotaci´ on on de ra´ ra´ıces: ıces : M´ etodo eto do de Laguerre Lague rre-Thi -Thibaul baultt
Para un polinomio p polinomio p ∈ C[x] dado, no siempre es sencillo hallar con exactitud sus ra´ ra´ıces. Si el polinomio p olinomio p tiene ra´ ra´ıces reales, r eales, entonces el m´etodo etodo de Laguerre-Thibault permite encontrar intervalos de la forma [ℓ, L] de manera que todas las ra´ ra´ıces de p de p pertenezcan a ese intervalo. Un n´ umero umero real L se dice cota superior de las ra´ıces ıces reales de p si toda raiz real de p es menor o igual que L que L.. Es decir, si α ∈ R p ∩ R ⇒ α ≤ L. Un n´ umero umero real ℓ real ℓ se dice cota inferior inf erior de las ra´ ra´ıces reales de p de p si toda raiz real de p de p es mayor o igual que ℓ. Esto es, si α ∈ R p ∩ R ⇒ ℓ ≤ α. Observemos Observemos que si L si L es cota inferior y ℓ y ℓ una cota inferior de las ra´ ra´ıces reales de p de p,, entonces, R p ∩ R ⊆ [ℓ, L].
p un polinomio a coeficientes reales, de grado mayor o igual a 1. Supongamos L Supongamos L ∈ R0+ es Teorema 1. Sea p un n´ umero de manera que el cociente c cociente c((x) y el resto R resto R de dividir p p por (x ( x − L) tienen todos sus coeficientes NO negativos, entonces L es cota superior de las ra´ ra´ıces reales de p. dem.) Sea p ∈
R[x]
y L un n´ umero real positivo o cero, es decir L ∈ umero
+
R0 .
Supongamos que p(x) =
c(x)(x )(x − L) L ) + R donde c(x) tiene todos sus coeficientes no negativos y R es un n´umero umero no negativo. Observar que R que R es un polinomio constante. Debemos probar, bajo estas hip´otesis, otesis, que toda ra´ ra´ız real de p es menor o igual que L. O lo que es equivalente, si α > L entonces p(α) = un u n n´ umero umero mayor que L es ra´ız. ız . Sea Se a α > L ≥ 0, 0; es decir, ning´ evaluamos p evaluamos p en α (1)
p(α) = c( c (α)(α )(α − L) + R + R
Notemos que, como todos los coeficientes de c son c son no negativos y α y α es positivo entonces c entonces c((α) > 0. > 0. Adem´as, as, α − L > 0 por c´omo omo fue elegido α elegido α;; y R ≥ 0. Entonces en (1) tenemos: (2)
p(α) = c( c (α) (α − L) + R > 0. 0 . >0
>0
≥0
Luego, p Luego, p((α) > 0 > 0 y α no es ra´ız. ız .
Veamos unos ejemplos para aprender a utilizar este resultado. p (x) = 2x3 − 10 10x x + 1; aplicar el teorema teorema anterior para para dar una cota superior de las ra´ ra´ıces Ejemplo 2. Sea p( reales de p. p . Observemos que este polinomio tiene grado 3 y es a coeficientes reales, entonces tiene al tiene al menos una raiz real. 1
2
Aplicamos de manera directa el teorema anterior. Tomamos un candidato L = 1 y realizamos la divisi´ on de p por x − 1: 2 0 -10 1
2 0 -10 1
1 ↓
1
2
2 0
-10
2
2
1
2
1
−8 2 2
2 2
<0
Como el coeficiente -8 es negativo, este L propuesto no nos servir´ a para aplicar el Teorema. Pues para L = 1 el cociente c(x) tiene un coeficiente negativo, por lo que no podremos concluir nada. Proponemos ahora L = 3 y efectuamos la divisi´ on por (x − 3): 2 0 -10 1
2 0 -10 1
3 ↓
3
2
2 0 -10 1
6
3
2 6
6 2 6
2 0 -10
18
3
8
1
6
18
24
2 6
8
25
En este caso s´ı nos sirve pues c(x) = 2x2 + 6x + 8 con todos sus coeficientes positivos y R = 25 > 0. Afirmamos entonces que toda raiz de p es menor o igual a 3: α ∈ R p ⇒ α ≤ 3. Notemos que en el ejemplo anterior q tiene coeficientes enteros, por lo que podr´ıamos utilizar el Teorema de Gauss para hallar sus ra´ıces racionales; α =
r s
es raiz racional, entonces r divide a 1 y s divide a 2.
Luego, si q tiene ra´ıces racionales, ´estas son ±1, ± 12 . Al evaluar q en estos candidatos a ra´ıces, vemos que no se anula q en ninguno de ellos. Podemos concluir que q NO tiene ra´ıces racionales. Ejemplo 3. Estudiar las ra´ıces de p(x) = x 5 + 2x4 − 5x3 + 8x2 − 7x − 3.
Este polinomio tiene coeficientes enteros, por lo que podr´ıamos utilizar el Teorema de Gauss para hallar sus ra´ıces racionales; α = sr es raiz racional, entonces r divide a 3 y s divide a 1. Luego, si p tiene ra´ıces racionales, ´estas son ±1, ±3. Al evaluar p en estos candidatos a ra´ıces, vemos que no se anula p en ninguno de ellos. Podemos concluir que p NO tiene ra´ıces racionales. El polinomio p tiene grado 5, por lo tanto tiene al menos una raiz real; por el p´ arrafo anterior, sabemos que las ra´ıces reales son irracionales. Usaremos el Teorema 1 para hallar una cota superior de las ra´ıces reales de p. Proponemos L = 1 y dividimos p por x − 1: 1 2 -5 8 -7 -3 1 ↓
1
1 2
-5
1
3
8 -7 -3
−2 1 3
1
<0
No continuamos con la divisi´ on pues ya encontramos un coeficiente del cociente que es negativo. Proponemos un L mayor, L = 2: 1 2 -5 8 -7 -3 2 ↓ 1
2
1 2 -5
8
-7
-3
2
8
6
28 42
1 4
3
14 21 39
¡Perfecto! L = 2 es cota superior de las ra´ıces reales de p. Esto es: α ∈ R p ⇒ α ≤ 2. En este u ´ ltimo ejemplo vemos que las ra´ıces reales de p son menores o iguales que 2, pero no podemos asegurar que sean menores que 1. Si quisi´ eramos ajustar nuestra cota, podr´ıamos realizar la divisi´ on con L =
3 2
(punto medio entre 1 y 2). En este caso, tenemos que p(x) = (x − 32 )c(x) + R donde c(x) =
3
x4 + 72 x3 + 14 x2 + 67 x + 8
89 16
y R =
171 32
. Concluimos entonces que toda raiz real de p es menor o igual que
3/2. Un truco necesario: Ejemplo 4. Consideramos el polinomio p(x) = −2x5 + 7x2 − 3 e intentamos hallar cotas superiores para
sus ra´ıces reales (que las tiene pues gr( p) = 5). Proponemos L = 3 y efectuamos la divisi´ on por x − 3: -2 3
0 0 7 -3
↓ −2
<0
Observemos que el coeficiente principal del cociente es negativo. Y esto suceder´ a con cualquier L propuesto pues el problema aqu´ı es que el coeficiente principal del polinomio dado p es negativo. Por lo tanto, este m´etodo no nos servir´ a para hallar cotas superiores de las ra´ıces de p. Sin embargo, podemos utilizar el siguiente truco: el polinomio p y su opuesto tienen exactamtente las mismas ra´ıces. Entonces, encontrar una cota superior para las ra´ıces reales de p es equivalente a encontrar una cota superior para las ra´ıces reales de − p. Y lo interesante de esto es que r = − p tiene ahora coeficiente principal positivo. Consideramos r(x) = 2x5 − 7x2 + 3 y proponemos L = 3 2 0 3
0
-7
3
6 18 54 141 2 6 18 47 144
Concluimos por el Teorema de Laguerre-Thibault que 3 es una cota superior de las ra´ıces de r. Dado que Rr = R p , se tiene que 3 es tambi´en una cota superior para las ra´ıces reales de p. Conclusi´ on 5. Sea p ∈ R[x] de manera que gr( p) ≥ 1 y el coeficiente principal de p es negativo. Entonces
para hallar cotas superiores de las ra´ıces reales de p, aplicar el Teorema de Laguerre-Thibault su opuesto: r(x) = − p(x). Para hallar cotas inferiores ℓ de las ra´ıces reales de un polinomio p ∈ R[x] utilizamos la siguiente proposici´on combinada con el Teorema 1. umero real ℓ es cota inferior de las ra´ıces Proposici´ o n 6. Sea p ∈ R[x] y definimos q (x) = p(−x). Un n´ de p si L = −ℓ es cota superior de las ra´ıces reales de q (x). Importante: ¡¡NO confundir q (x) = p(−x) con r(x) = − p(x)!!
dem.) Vimos en la pr´actica que α es una raiz de p si y s´olo si −α es una ra´ız de q . Sea ℓ una cota inferior de las ra´ıces de p. Entonces α ≥ ℓ para toda α raiz de p. Veamos que −ℓ es cota superior de las ra´ıces reales de q : consideramos β ∈ R tal que q (b) = 0, entonces α = −β es raiz de p por lo escrito antes. Luego, por hip´otesis, −β = α ≥ ℓ. Multiplicando por −1 esta desigualdad obtenemos que β ≤ −ℓ. Concluimos entonces que toda raiz real de q es menor o igual que −ℓ y por lo tanto − ℓ es cota superior de las ra´ıces reales de q .
Ejemplo 7. Hal lar una cota inferior para las ra´ıces reales del polinomio p(x) = −3x3 + x − 2.
4
Vimos en el Ejemplo 2 que p tiene ra´ıces reales. Para hallar cotas inferiores de estas ra´ıces, armamos el polinomio q (x) = p(−x). Tenemos q (x) = −3(−x)3 + (−x) − 2 = 3x3 − x − 2. Como hecho anteriormente, aplicamos el Teorema de Laguerre-Thibault para hallar cotas superiores. Proponemos L = 2, 3 0 -1 -2 2 ↓
3 0 -1 2
3
-2
6 12 22 3 6 11 22
Dado que todos los coeficientes del cociente y el resto de esta divisi´ on son positivos, tenemos que 2 es cota superior de las ra´ıces reales de q (x). Por la proposici´ on anterior, ℓ = − 2 es cota inferior de las ra´ıces de p: es decir α ∈ R p ⇒ α ≥ −2. Ejemplo 8. Encontrar una cota inferior para el polinomio del Ejemplo 2 p(x) = 2x3 − 10x + 1. Trabajando
con el ejemplo anterior, para hallar cotas inferiores de p, buscamos cotas superiores de q (x) = p(−x). El polinomio q es de la siguiente forma: q (x) = 2(−x)3 − 10(−x) + 1 = −2x3 + 10x + 1. Notemos que estamos en el caso de buscar cotas superiores para el polinomio q que tiene coeficiente principal negativo. Entonces debemos utilizar el truco explicado en el Ejemplo 4: usar el opuesto de q . Tomamos r˜(x) = −q (x) y buscamos una cota superior de las ra´ıces de r˜. Se tiene r˜(x) = 2x3 − 10x − 1 proponemos L = 5: 2
0
-10 -1
10
50
80
2 10
40
79
5
Luego L = 5 es cota superior de las ra´ıces de r˜ y de q . Por la proposici´ on anterior, ℓ = −5 es cota inferior de las ra´ıces reales de p. En el Ejemplo 2 vimos que 3 es una cota superior de las ra´ıces reales de p. Luego R p ∩ R ⊆ [−5, 3]. Ejemplo 9. Hallar una cota inferior para las ra´ıces de p(x) = x 5 + 2x4 − 5x3 + 8x2 − 7x − 3, el polinomio
trabajado en el Ejemplo 3. Ya aprendimos que para encontrar las cotas inferiores de las ra´ıces reales de p debemos buscar cotas superiores de las ra´ıces reales de q (x) = p(−x). El polinomio q tiene los siguientes coeficientes: q (x) = −x5 + 2x4 + 5x3 + 8x2 + 7x − 3. Nuevamente estamos en el caso de buscar cotas superiores para un polinomio q que tiene coeficiente principal negativo. Entonces volvemos a utilizar el truco explicado en el Ejemplo 4: usar el opuesto de q . Tomamos r˜(x) = −q (x) y buscamos una cota superior de las ra´ıces de r˜. Se tiene r˜(x) = x5 − 2x4 − 5x3 − 8x2 − 7x + 3 proponemos L = 4: 1 -2 -5 -8 4 1
-7
3
4
8
12 16 36
2
3
4
9
39
Luego, 4 es cota superior de las ra´ıces de r˜ y al mismo tiempo cota superior de las ra´ıces reales de q . Por la proposici´ on anterior, ℓ = −4 es cota inferior de las ra´ıces de p. Recordar que 32 es cota superior de las ra´ıces reales de p, seg´ un lo visto en el p´ arrafo posterior al Ejemplo 3. Luego: 3 R p ∩ R ⊆ [−4, ]. 2
