NÚMEROS ÍNDICE
16
capítulo
Objetivos • •
Entender que los números índice describen el grado en que las variables económicas cambian con el tiempo Familiarizarse con los tres tipos principales de índices: de precio, de cantidad y de valor
• •
Entender y evitar los problemas derivados del uso incorrecto de los números índice Aprender a calcular varios tipos de números de índice
Contenido del capítulo 16.1 Defini Definició ción n de de núme número ro índi índice ce 720 720 16.2 Índice Índice de de agrega agregados dos no pond ponder erad ados os 723 723 16.3 Índice Índice de agrega agregados dos pond ponder erad ados os 727 727 16.4 Métodos Métodos de promed promedio io de relat relativ ivos os 735 735 16.5 Índices Índices de de cantida cantidad d y valor valor 740 16.6 Proble Problemas mas en la const construc rucció ción n y el uso de números índice 744
L
• • • • • •
Estadís Estadístic tica a en el trabaj trabajo o 745 Ejercicio de base de datos comp comput utac acio iona nall 746 Del libro de texto al mundo r e a l 74 7 Términos introducidos en el capít capítul ulo o 16 747 747 Ecuaciones introducidas en el el capí capítu tulo lo 16 16 748 748 Ejercici Ejercicios os de de repas repaso o 749
a empresa Precision Metal Products fabrica partes de alta calidad
L
a empresa Precision Metal Products fabrica partes de alta calidad para la producción de maquinaria pesada. Los tres materiales principales que utiliza son carbón y minerales minerales de hierro y de níquel. La administración tiene los siguientes datos de los precios de estos materiales en 1975 y 1995, así como datos de la cantidad utilizada en 1988, 1988, año en que los patrones de adquisición fueron característicos de todo el periodo de 20 años. Materia prima Carbón Mineral de hierro Mineral de níquel
Canti Cantida dadd utili utiliza zada da en 1988 (m (miles de de to toneladas) 158 12 5
Prec Precio io/T /Ton onel elad adaa 1975 (d (dólares) $7.56 9.20 12.30
Prec Precio io/T /Tone onela lada da 1995 (d (dólares) $19.50 21.40 36.10
La administración necesita ayuda para crear alguna medida del cambio en los precios del material en los 20 años. años. Usando los métodos de este capítulo, podremos proporcionarle esa esa medida para que la utilice en su planeación. ■
16.1 Definición de número índice ¿Por qué utilizar un número índice?
¿Qué es un número de índice?
Cálculo de un índice sencillo
En algún momento, todo mundo debe determinar qué tanto ha cambiado algo en cierto periodo. Por ejemplo, quizá desee saber saber cuánto ha aumentado el precio precio de los comestibles, comestibles, para poder ajustar ajustar su presupuesto. El administrador de una fábrica puede tener la necesidad de comparar el costo por unidad de producción este mes con el de hace seis meses. O un equipo de investigac investigación ión médica podría desear comparar el número de casos de gripe registrados este año con el de años anteriores. En cada una de estas situaciones, se necesita determinar y definir definir el grado grado de cambio. Por lo común, los números índice son los que nos permiten medir esas diferencias. Un número de índice mide cuánto ha cambiado una variable con el tiempo. Calculamos un número índice encontrando el cociente del valor actual entre un valor base. Luego multiplicamos el número resultante por 100, para expresar el índice como un porcentaje. Este valor final final es el porcentaje relativo. Note que el número índice para el punto base en el tiempo siempre es 100. La secretaria de estado de Carolina del Norte tiene datos que indican el número de nuevos negocios que se han abierto. Los datos recolectados muestran que iniciaron 9,300 negocios en 1980; 6,500 en 1985; 9,600 en 1990, y 10,100 en 1995. Si Si 1980 es el año base, base, ella puede calcular calcular los números índice que reflejan el volumen de cambios, mediante el proceso de la tabla 16-1. Utilizando estos cálculos, la secretaria de estado encuentra encuentra que los negocios abiertos en 1985 tuvieron un índice de 70 respecto a 1980. Otra manera de expresar esta relación es afirmar que el número de negocios abiertos en 1985 constituyó el 70% del número de negocios que iniciaron en 1980.
Tipos de números índice Índice de precios
Índice de cantidad
Existen tres tipos principales principales de índices: índice de precios, índice de cantidad e índice de valor. valor. El El índice de precios es el que más se utiliza; utili za; compara niveles niveles de precios de un periodo a otro. El familiar índice de precios precios al consumidor (IPC), (IPC), clasificado por los gobiernos de los países, mide los cambios globales de precio de un conjunto de bienes y servicios al consumidor, y se usa para definir el costo de la vida. El índice de cantidad mide cuánto cambia el número o la cantidad de una variable con el tiempo. En el ejemplo de los negocios nuevos determinamos un índice de cantidad de las cifras correspondientes dient es a 1985, 1990 y 1995, 1995, respe respecto cto a las de 1980. 1980.
Tabla 16-1 Cálculo de números
Año Año
Número de nuevos nego negoci cios os (mil (milees)
Cocie ociennte
Índice o por porcent centaaje relat elativ ivoo
Tabla 16-1 Cálculo de números índice (año base = 1980)
Índice de valor
Números índice compuestos
Año Año (1)
Número de nuevos nego negoci cios os (mil (milees) (2)
Cocie ociennte (3) ϭ (2) Ϭ 9.3
1980
9.3
ᎏᎏ ϭ 10.00
1985
6.5
1990
9.6
ᎏᎏ ϭ 1.03
1995
10.1
ᎏᎏ ϭ 1.09
9.3 9.3 6.5 ᎏᎏ ϭ 0.70 9.3
Índice o por porcent centaaje relat elativ ivoo (4) ϭ (3) ϫ 100 1.00 ϫ 100 ϭ 100 0.70 ϫ 100 ϭ 70
9.6 9.3
1.03 ϫ 100 ϭ 103
10.1 9.3
1.09 ϫ 100 ϭ 109
El último último tipo de de índice, índice, el índice de valor, mide los cambios en el valor monetario total; es decir,, mide el cambio del valor cir valor en dinero de una variabl variable. e. De hecho, el índice de valor valor combina los cambios en precio y cantidad para presentar un índice con más información. En nuestro ejemplo, sólo determinamos un índice de cantidad; sin embargo, podríamos haber incluido el efecto monetario mediante el cálculo del valor total incorporado en los años considerados. La tabla 16-2 presenta los índices de valor correspondientes a 1985, 1985, 1990 y 1995. Este cálculo nos permite afirmar que el índice de valor de los nuevos negocios en 1995 es 160. Podemos también decir que el valor incorporado de 1995 aumentó un 60% respecto al valor incorporado de 1980. En general, general, un índice mide el cambio cambio en una variable variable durante un periodo, periodo, como en una serie de tiempo. Sin embargo, también se puede utilizar para medir diferencias en una variable dada en diferentes lugares. Esto se lleva a cabo recolectando datos de manera simultánea en los diferentes lugares y luego comparánd comparándolos. olos. El índice comparati comparativo vo del costo de vida, vida, por ejemplo, ejemplo, muestr muestraa que en términos términ os del costo de bienes bienes y servicios, servicios, resul resulta ta más barato vivir vivir en Austin, Austin, Texas, que en la ciudad de Nueva York. York. Un solo número índice puede reflejar un compuesto o un grupo de variables que cambian. El IPC mide el nivel general de precios para bienes y servicios específicos en la economía. Combina los precios individuales de bienes y servicios para formar un número índice de precios compuesto.
Usos de los números índice Los números índice pueden utilizarse de varias maneras. Lo más común es usarlos por sí mismos, como un resultado resultado final. final. Los números números índice, como el IPC, a menudo se citan en informes informes noticionoticiosos como indicadores generales de la condición económica de un país.
Año Año (1)
Valor incorporado (mil (millo lone nes) s) (2)
Cocie ocient ntee (3) ϭ (2) Ϭ 18.4
1980
$18.4
ᎏᎏ ϭ 1.00
1985
14.6
1990
26.2
1995
29.4
Tabla 16-2 Cálculo de un índice de valor (año base = 1980)
18.4 18.4 14.6 ᎏᎏ ϭ 0.79 18.4 26.2 ᎏᎏ ϭ 1.42 18.4 29.4 ᎏᎏ ϭ 1.60 18.4
Índice o por porcent entaje aje relati lativo vo (4) ϭ (3) ϫ 100 1.00 ϫ 100 ϭ 100 0.79 ϫ 100 ϭ 79 1.42 ϫ 100 ϭ 142 1.60 ϫ 100 ϭ 160
Un uso del índice de precios al consumidor
La administración, utiliza los números índice como parte de un cálculo intermedio para para entender mejor otra información. En el capítulo de series de tiempo, los índices estacionales se usaron para modificar y mejorar estimaciones futuras. El uso del IPC para determinar el poder adquisitivo real del dinero es otro ejemplo de cómo los números índice ayudan a aumentar el conocimiento de otros factores. La tabla 16-3 da el salario semanal semanal pagado a una secretaria durante durante varios años, los valores correspondientes del IPC y el cálculo del salario real de la secretaria. Su salario en dólares se incrementó sustancialmente, pero el poder de compra real de sus ingresos aumentó con menos rapidez. Esto se puede atribuir al aumento simultáneo del índice del costo de vida de 100 a 200.
Problemas relacionados con los números índice Existen varios factores que pueden distorsionar distorsionar los números índice. Las cuatro causas más comunes son: Número limitado de datos
No se pueden comparar
Ponderación no apropiada
Uso de una base no apropiada
1. En ocasiones hay dificultad para encontrar datos adecuados para calcular un índice. Suponga que el administrador de ventas de la empresa Colonial Aircraft está interesado en calcular un índice que describa la variación estacional de las ventas de las avionetas que fabrica la compañía. Si las ventas se registran sólo anualmente, anualmente, el administrador no será capaz de determinar el patrón de ventas estacional. 2. La falta de comparación de índices ocurre cuando se intenta comparar un índice con otro después de que ha habido un cambio básico en lo que se mide. Si el organismo Ciudadanos por un Transporte Razonable Razonable compara índices de precios de automóviles de 1979 a 1989, encuentra que los precios han aumentado sustancialmente. Sin embargo, esta comparación no toma en cuenta el aumento en la calidad de los automóviles debido a los avances tecnológicos tecnológicos logrados en el periodo bajo consideración. 3. La ponderación no apropiada de factores también puede distorsionar un índice. Al desarrollar un índice compuesto, como el IPC, es necesario tomar tomar en cuenta que los cambios cambios en algunas variables son más importantes que en otros. El E l efecto sobre la economía del aumento de 50 centavos por galón de gasolina no puede contrarrestarse con una disminución de 50 centavos en el precio de los automóviles. Debe tomarse en cuenta que un aumento en el precio de la gasolina tiene un efecto mucho mayor en los consumidores. Así, debe asignarse un peso mayor al precio aumentado de la gasolina que a la disminución en el costo de los automóviles. 4. La distorsión de los números índice también ocurre cuando se selecciona una base no apropiada. A veces, una compañía selecciona una base que automáticamente conduce conduce a un resultado que refleja sus propios intereses y lo usa para probar su suposición inicial. Si la organización Consumidores Contra los Desechos de Petróleo desea que las compañías petroleras tengan una mala imagen, podría medir las ganancias de este año empleando empleando un año de recesión como babase de las utilidades del petróleo. Esto produciría un índice que mostraría que las ganancias por venta de petróleo tuvieron un aumento sustantivo. sustantivo. Por el otro lado, si la organización Consumidores por el Uso Ilimitado del Petróleo desea mostrar que las ganancias de este año son mínimas, podría elegir un año con ganancias ganancias altas como su año base; el resultado podría ser un índice que indica un pequeño aumento o quizá una disminución en las ganancias de este año. Por tanto, siempre debemos considerar cómo y por por qué se seleccionó el periodo base antes de aceptar una aseveración basada en la comparación de números índice. Tabla 16-3 Cálculo de salarios reales
Año Año (1)
Salario Índice de precios sema semana nall pagad agadoo al cons consum umid idor or (2) (3)
1977
$114.75
100
1982
145.50
123
1992
472.98
200
(2) ϫ 100 (4) (4) ϭ ᎏᎏ (3) 100 100 100 145.50 ϫ ᎏᎏ ϭ 123 100 472.98 ϫ ᎏᎏ ϭ 200
114.75
ϫ ᎏᎏ ϭ
Salario real o ajustado $114.75 $118.29 $236.49
Fuentes de números índice Fuentes de datos para números índice
Cuando los administradores administradores aplican números índice índice a los problemas de la vida diaria, utilizan muchas fuentes para obtener la información necesaria. La fuente depende de sus requerimientos de información. Una compañía puede utilizar informes mensuales de ventas para determinar su patrón estacional. Al manejar áreas extensas de la economía nacional y el nivel general de la actividad financiera, publicaciones como Federal Reserve Bulletin, Moody’ Moody’ss, Monthly Labor Labor Review Review y el Índice de Precios al Consumidor proporcionan gran abundancia de datos. Muchas publicaciones federales y estatales estadounidenses están citadas en el boletín que publica el Departamento de Comercio, Measuring Markets. Casi todas las dependencias gubernamentales distribuyen datos acerca de sus actividades, con los que se pueden calcular los números índice. Muchos periódicos y revistas finanfinancieros proporcionan información a partir de la cual es posible calcular números índice. Si consulta estas fuentes, fuentes, enco encontrar ntraráá que, por su parte, mucha muchass de ellas utilizan utilizan números índice. índice.
Ejercicios 16.1 Conceptos básicos ■ ■ ■ ■ ■ ■
16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6
¿Cuál es el índice para un año base? Explique las diferencias entre los tres tipos principales de índices: de precio, de cantidad y de valor . ¿Qué mide el índice de precios al consumidor? ¿Está basado en una sola variable o en un grupo de variables? Mencione dos formas básicas de utilizar los números índice. ¿Qué mide un número índice? ¿Cómo se encuentra un porcentaje relativo (índice)?
16.2 Índice de agregados no ponderados
Cálculo de un índice de agregados no ponderados
La forma más sencilla de un índice compuesto es el índice de agregados no ponderados. No ponderados significa que todos los valores considerados tienen la misma importancia; de agregados quiere decir que sumamos todos los valores. La mayor ventaja de un índice de agregados no ponderados es su sencillez. Un índice de agregados no ponderados se calcula sumando todos los elementos del compuesto para el periodo dado y luego dividiendo este resultado entre la suma de los mismos elementos durante el periodo base. La ecuación 16-1 presenta la fórmula matemática para calcular un índice de cantidad de agregados no ponderados. Índice de cantidad de agregados no ponderados ⌺Q ϫ 100 ᎏ ⌺Q i
[16-1]
0
donde, • Qi ϭ cantidad de cada elemento del compuesto en el año para el que se desea el índice. del compuesto en el año base. base. • Q0 ϭ cantidad de cada elemento del
Cabe explicar el uso del subíndice i para indicar el año para el que se calcula dicho índice. Suponga que se tienen datos de cantidades cantidades para 1990 (el año base), base), 1991 y 1992, y queremos calcular calcular índices de cantidad de agregados agregados sin ponderar para 1991 y 1992. Si se usan usan los subíndices 0, 1 y 2 para denotar denotar 1990, 1991 y 1992, 1992, entonces el índice para 1991 es ⌺Q ϫ 100 ᎏ ⌺Q 1 0
y el índice para 1992 es ⌺Q ϫ 100 ᎏ 2
y el índice para 1992 es ⌺Q ϫ 100 ᎏ ⌺Q 2 0
Cálculo de un índice no ponderado
Interpretación del índice
Limitaciones de un índice no ponderado
Ambos índices se captan al usar el subíndice genérico i en el numerador de la ecuación 16-1. Se usará i de esta manera en las fórmulas que definen todos los números índice que se estudian en este capítulo. Por brev brevedad, edad, se usará año actual para indicar el año en que se quiere el índice . Observe que se pueden sustituir ya sea precios o valores por las cantidades de la ecuación 16-1 para encontrar la ecuación general para un índice de precios o un índice de valor. Como el cociente se multiplica multiplica por 100, 100, el índice que que resulta es, técnic técnicament amente, e, un porcentaje. porcentaje. Sin Sin embargo, embargo, es costumcostumbre referirse sólo al valor y omitir el signo % al analizar los números índice. El ejemplo de la tabla 16-4 muestra cómo cómo se calcula un índice no ponderado. ponderado. En este caso, queremos medir los cambios en los niveles generales de precios con base en los cambios de precios de unos cuantos artículos. Los precios para 1990 son los valores base con los que se comparan los precios de 1995. A partir de estos cálculos determinamos que el índice de precios que describe el cambio en estos productos de 1990 a 1995 es 145. Si los elementos de este compuesto son representativos del nivel general de precios, podemos decir que los precios se elevaron elevaron 45% de 1990 a 1995. 1995. Sin embargo, embargo, no podemos esperar que una muestra de cuatro elementos refleje precisamente los cambios de precio de todos los bienes bienes y servicios. Por Por tanto, este cálculo nos proporciona proporciona sólo una estimación muy burda. Suponga que ahora agregamos el cambio en el precio de las calculadoras electrónicas de bolsillo de 1990 a 1995 a nuestro compuesto (tabla 16-5). De nuevo, 1990 es el periodo base con el cual comparamos los precios de 1995. Intuitivamente, sabemos que el índice anterior de 145 es una estimación más precisa precisa del comportamiento general de los precios que 92, ya que hubo más precios que se elevaron elevaron que los que disminuyeron entre 1990 y 1995. Esto constituye la principal desventaja de un índice no ponderado. No le da un peso o ponderación mayor al cambio de precio de un producto de uso muy común que al de uno de uso poco común . (Una familia puede comprar 50 docenas docenas de huevos huevos en un año, pero sería poco normal que una familia tuviera más de una o dos calculadoras.) Un cambio sustantivo en el precio de productos de movimiento lento puede distorsionar por completo un índice. Por esta razón, no es común utilizar un índice simple no ponderado en análisis importantes. Precios
Tabla 16-4 Cálculo de un índice no ponderado
Elementos del compuesto Leche (1 galón) Huevos (1 docena) Hamburguesa (1 libra) Gasolina (1 galón)
1990
1995
P 0
P 1
$1.92 0.81 1.49 1.00 ͚P 0 ϭ 5.22
Índice de precios de agregados no ponderados
͚P i ϭ ᎏᎏ ϫ 100 ͚P 0
7.57 5.22 ϭ 1.45 ϫ 100 ϭ 145
ϭ ᎏᎏ ϫ 100
$3.40 1.00 2.00 1.17 ͚P 1 ϭ 7.57 [16-1]
Precios
Tabla 16-5 Elementos del compuesto
1990
1995
P 0
P 1
Leche (1 galón) Huevos (1 docena) Hamburguesa (1 libra) Gasolina (1 galón) Calculadora electrónica de bolsillo (1 pieza)
$1.92 0.81 1.49 1.00 15.00 20.22
Cálculo de un índice no ponderado
͚P 0
Índice de precios de agregados no ponderados
ϭ
͚P i ϭ ᎏᎏ ϫ 100 ͚P 0
$3.40 1.00 2.00 1.17 11.00 ͚P 1 ϭ 18.57 [16-1]
18.57 20.22
ϭ ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 0.92 ϫ 100 ϭ 92
Las deficiencias de un índice no ponderado sugieren el uso de un índice ponderado. Existen dos maneras de calcular índices más sofisticados. Se analizará con detalle cada una en las siguientes secciones. Advertencia: Advertenc ia: un índice índice no pondera ponderado do puede estar distorsionado y perder su valor por los cambios en unos cuantos artículos del índice que no representan con fidelidad la situación que se estudia. Sugerencia: geren cia: en Estados Estados Unidos, Unidos, los pagos pagos de Seguro Seguro Social Social están “indexados” “indexados” al índice de precios al consumidor que que incluye los costos hipotecarios promedio como medida de los costos de vivienda. Pero la mayoría de los suscritos al seguro social no buscan una nueva hipoteca. Con la excepSUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
ción de quienes quienes tienen una hipoteca de tasa tasa ajustable, los pagos son fijos y por tanto sus costos no están afectados por la inflación. Advertencia: la mayor desventaja de un índice no ponderado es que no da más importancia a los cambios de precios de los artículos de mayor uso que a los que se utilizan menos. Sugerencia: Sugerencia: antes de decidir qué índice es el adecuado, observe con cuidado las las componentes del producto/servicio de ese índice para ver si su uso ha sido s ido constante.
Ejercicios 16.2 Ejercicio de autoevaluación EA 16-1
El vicepresidente de ventas de Xenon Computer Corporation está examinando la tasa de comisión para los empleados durante los últimos 3 años. A continuación, se listan las ganancias por comisiones de los cinco mejores vendedores de la compañía: Guy Howell Skip Ford Nelson Price Nina Williams Ken Johnson
1993
1994
1995
$48,500 41,900 38,750 36,300 33,850
$55,100 46,200 43,500 45,400 38,300
$63,800 60,150 46,700 39,900 50,200
Considerando a 1993 como el periodo base, exprese las ganancias por comisiones de 1994 y 1995 en términos de un índice de agregado no ponderados.
Aplicaciones ■
16-7
En un esfuerzo por obtener una medida de las dificultades económicas, el Fondo Monetario Internacional Internacional
Aplicaciones ■
16-7
En un esfuerzo por obtener una medida de las dificultades económicas, el Fondo Monetario Internacional Internacional (FMI) recolectó datos sobre el comportamiento de los precios de cinco productos principales importados por un grupo de países menos desarrollados. desarrollados. Utilizando el año 1992 como el periodo base, exprese los precios de 1995 en términos de un índice de agregados no ponderados. Producto Precios de 1992 Precios de 1995
■
16-8
16-9
■
16-10
16-11
E
$127 $152
$532 $651
$2,290 $2,314
$60 $76
$221 $286
1992 $8.48 6.90 4.50 3.10
$9.32 7.52 4.99 3.47
1995
$10.34 8.19 5.48 3.85
$11.16 8.76 5.86 4.11
1993
1994
1995
1996
$3,142 2,816 3,582 4,014
$3,564 3,474 3,987 4,197
$4,109 3,682 4,406 4,384
$4,372 4,019 4,819 4,671
Utilice 1993 como periodo periodo base, exprese los cargos de colegiatura colegiatura en 1994, 1995 y 1996 en términos de un índice de agregados no ponderados. Billy Ivey, Ivey, administrador de un pequeño hospital hospital rural, recolectó información concerniente a los productos alimenticios adquiridos por la cocina del hospital. Para las mercancías mercancías enumeradas, el precio correspondiente indica el precio promedio de ese año. año. Utilizando 1994 como periodo base, base, exprese los precios de 1993 y 1995 en términos de un índice í ndice de agregados no ponderados. Mercancía
1993
1994
1995
Lácteos Carnes Vegetales Frutas
$2.34 3.19 0.85 1.11
$2.38 3.41 0.89 1.19
$2.60 3.36 0.94 1.18
Una planta de procesado químico utilizó cinco materiales en la manufactura de un agente de limpieza industrial. Los siguientes datos indican los niveles finales de inventario para estos materiales durante los años 1993 y 1995. Inventario (tons.) 1993 Inventario (tons.) 1995
16-12
D
Salario por hora 1993 1994
Material
■
C
Usando el año 1992 como como periodo base, calcule el índice de salarios de agregados agregados no ponderados ponderados para 1993, 1994 y 1995. 1995. Un estudio de los costos de la universidad recolectó datos de la colegiatura que paga un estudiante de tiempo completo de licenciatura durante 4 años en cuatro escuelas: U. del este U. estatal U. del oeste U. del centro
■
B
Con el fin de negociar con el sindicato, los representantes de la administración de de una fábrica grande están recopilando datos sobre el nivel de los salarios. Los datos siguientes corresponden al pago base por las diferentes clases de trabajo realizado en la planta, durante un periodo de cuatro años:
Clase A Clase B Clase C Clase D
■
A
A
B
C
D
E
86 95
395 380
1,308 1,466
430 469
113 108
Utilizando 1993 como periodo base, exprese los niveles niveles de inventario de 1995 1995 en términos de un índice de agregados no ponderados. John Dykstra, aprendiz de gerente de un banco, ha recabado información información sobre las transacciones transacciones del banco correspondientes a los años 1994 y 1995:
Retiros Depósitos Cuent Cue ntas as de de aho ahorro rross Cue Cuent ntas as de che chequ ques es Cu Cuen enta tass de ah ahorr orros os Cu Cuen entas tas de che chequ ques es
Número de transacciones 1994 Número de transacciones 1995
■
16-13
169,000 158,000
21,843,000 23,241,000
293,000 303,000
2,684,000 3,361,000
Con 1994 como periodo base, exprese el número de transacciones bancarias bancarias de 1995 en términos de un índice de agregados no ponderados. La Editorial Bookster empezó su negocio de publicación de libros de texto universitarios en 1993. La editorial está interesada en determinar cuánto han cambiado sus ventas en comparación con el primer año de operaciones. Un resumen de los registros de la compañía muestra cuántos libros nuevos publicó cada año en las áreas siguientes: Biología Matemáticas Historia Inglés Sociología Física Química Filosofía
1993
1994
1995
48 32 19 16 24 10 27 11
53 37 15 20 18 26 26 8
50 35 22 21 26 32 30 15
Utilizando 1993 como año base, calcule el índice de cantidad de agregados ponderados para 1994 y 1995. 1995. Interprete los resultados para la compañía editorial.
Solución al ejercicio de autoevaluación EA
16-1 Howell Ford Price Williams Johnson
⌺Q
Índice ϭ ᎏᎏi ϫ 100: ⌺Q 0
1993
1994
1995
Q0
Q1
Q2
48,500 41,900 38,750 36,300 00,033,850 00,0 33,850 199,300
55,100 46,200 43,500 45,400 00,038,300 00,0 38,300 228,500
63,800 60,150 46,700 39,900 00,050,200 00,0 50,200 260,750
19,930,000 99,300 ϭ 100.0
22,850,000 199,300 ϭ 114.7
26,075,000 199,300 ϭ 130.8
16.3 Índice de agregados ponderado Ventajas de ponderar un índice
Cálculo de un índice de agregados ponderados
Como mencionamos, cuando calculamos un índice a menudo tenemos que asignar asignar una importancia mayor a los cambios en algunas variables que en otras. Esta ponderación nos permite incluir más información, que sólo el cambio de los precios en el tiempo: tiempo: nos permite mejorar la precisión de la estimación del nivel general de precios basado en una muestra. El problema reside en decidir cuánto peso asignar a cada una de las variables en la muestra. La fórmula general para calcular un índice de precios de agregados ponderados es Índice de precios de agregados ponderados ⌺P Q ϫ 100 ᎏ ⌺P Q i
0
donde, • Pi ϭ precio de cada elemento del compuesto en el año actual
precio de cada elemento del compuesto en el año base
[16-2]
donde, • Pi ϭ precio de cada elemento del compuesto en el año actual • P0 ϭ precio de cada elemento del compuesto en el año base • Q ϭ factor de ponderación de cantidad seleccionado
Tres maneras de ponderar un índice
Considere la muestra de la tabla 16-6. Cada elemento del compuesto se tomó de la tabla 16-5 y se ponderó de acuerdo con el volumen de ventas. El proceso de ponderar agregados confirma nuestra impresión intuitiva anterior, anterior, sobre el hecho de que el nivel general de los precios había aumentaaumentado (índice ϭ 129). Por lo general, la administración utiliza la cantidad consumida de un producto producto como la medida de su importancia cuando calcula un índice de agregados ponderados. Esto conduce a una importante cuestión sobre la aplicación del proceso: proceso: ¿qué cantidades se utilizaron? En general, existen tres formas de ponderar ponderar un índice. La primera implica el uso uso de las cantidades consumidas durante el periodo base en el cálculo de cada número índice. Esta forma f orma se conoce como método de Laspeyres , en honor al estadístic estadísticoo que lo diseñó. La segunda segunda utiliza, utiliza, para cada cada índice, las cantidades consumidas durante el periodo en cuestión. Éste es el método de Paasche , en ho ho-nor a la persona que lo desarrolló. La tercera forma se conoce como método de agregados con peso fijo. En este método, se selecciona un periodo y sus cantidades cantidades se utilizan para encontrar encontrar todos los índices (note que si el periodo escogido es el base, el método de agregados agregados con peso fijo fijo coincide con el método de Laspeyres).
Método de Laspeyres El método de Laspeyres Cálculo de un índice de Laspeyres
El método de Laspeyres, Laspeyres, que utiliza utiliza las cantidades cantidades consumidas consumidas durante durante el periodo periodo base, es el más usado debido a que requiere medidas de cantidades para sólo un periodo. Como cada número de índice depende del mismo precio precio y cantidad base, los administradores pueden comparar comparar el índice de un periodo directamente con el índice de otro. Suponga, por ejemplo, que el índice de precios de un fabricante de acero es 103 en 1992 y 125 en en 1995, utilizando los precios y las cantidades de 1990 como base. La compañía concluye que el nivel general de precios ha aumentado 22% de 1992 a 1995. Para calcular el índice de Laspeyres, Laspeyres, la compañía primero multiplica el precio del periodo actual por la cantidad del periodo base para cada elemento del compuesto y después suma los valores resultantes. Después multiplica el precio del periodo base por la cantidad del periodo base para ca-
Tabla 16-6 Cálculo de un índice de agregados ponderados
Q
P 0
P 1
Elemen Elem enttos del compuesto
Volumen (mi mile less de millones) (1)
Precios de 19 1990 90 (2)
Precios de 19 de 1995 95 (3)
Leche Huevos Hamburguesas Gasolina Calculadoras
20.000 (gal) 3.500 (doc) 11.000 (lb) 154.000 (gal) 0.002 (unid)
$ 1.92 0.81 1.49 1.00 15.00
$ 3.40 1.00 2.00 1.17 11.00
P 0Q
P 1Q
Ven enttas pon onde derrad adas as (4) ϭ (2) ϫ (1)
Ven enta tass po pond nder erad adas as (5) ϭ (3) ϫ (1)
1.92 0.81 1.49 1.00 15.00
20.000 3.500 11.000 154.000 0.002
38.400 38.4 ϭ 2.84 2. 84 ϭ 16 16.3 .399 ϭ 15 154. 4.00 00 ϭ 00 0.03 0.03 ⌺P 0Q ϭ 211.66 ϭ
Índice de agregados ponderados ϭ
3.40 3.40 1.00 1. 00 2.00 2. 00 1.17 1. 17 11.0 11.000
20.000 20.0 00 ϭ 68.00 3.50 3. 5000 ϭ 3.50 11.0 11 .000 00 ϭ 22.00 154. 15 4.00 0000 ϭ 180.18 0.002 ϭ 00 0.02 ⌺P 1Q ϭ 273.70
⌺P Q
i ϫ 100 ᎏᎏ
⌺P 0Q
273.70 211.66
ϭ
ᎏᎏ ϫ 100
ϭ
1.29 ϫ 100
ϭ
129
[16-2]
da elemento y, y, de nuevo, suma los resultados. Al dividir la primera suma entre la segunda segunda y multiplicar el resultado por 100, la administración puede convertir convertir este valor en un porcentaje relativo. relativo. La ecuación 16-3 representa la fórmula utilizada para determinar el índice de Laspeyres. Índice de Laspeyres ⌺P Q ϫ 100 ᎏ ⌺P Q i
0
0
0
[16-3]
donde, Pi ϭ precios en el año actual • P0 ϭ precios en el año base • Q0 ϭ cantidades vendidas en el año base •
Ejemplo con el método de Laspeyres Conclusiones obtenidas a partir del índice calculado
Ventajas del método de Laspeyres
Desventajas del método de Laspeyres
Trabajemos un ejemplo para mostrar cómo se utiliza el método de Laspeyres. Suponga que deseamos determinar los cambios en el nivel de precios entre 1991 y 1995. La tabla 16-7 contiene los datos pertinentes para estos dos años. Si seleccionamos una muestra representativ representativaa de bienes, podemos concluir que el índice general general de precios para 1995 es de 121, basado en el índice de 1991, que es 100. De otra manera, manera, podemos decir que los precios se han incrementado en 21%. Note que hemos utilizado la cantidad promedio consumida en 1991, 1991, en lugar de la cantidad cantidad total consumida. consumida. En realidad, realidad, no importa cuál cuál usemos, siempre que apliquemos la misma medida de cantidad cantidad en todo el problema. En general, seleccionamos la medida de cantidad que resulta más fácil encontrar. Una ventaja del método de Laspeyres es la posibilidad de comparar un índice con otro. Si tuviéramos los precios de 1992 en el ejemplo anterior, anterior, podríamos encontrar un valor para para el índice general de precios de 1992. Este índice podría compararse directamente con el de 1995. El uso de la misma cantidad en el periodo base nos permite hacer comparaciones directas. Otra ventaja es que muchas medidas de cantidad de uso común no se tabulan cada año. Una empresa puede estar interesada en alguna variable cuya medida de cantidad se calcule sólo cada 10 años. El método de Laspeyres Laspeyres utiliza una una sola medida de cantidad, la correspondiente al año base, de manera que la compañía no necesita tabulaciones anuales para medir cantidades consumidas. La desventaja principal del método de Laspeyres es que no toma en cuenta los cambios en los patrones de consumo. Los productos comprados en grandes cantidades hace apenas unos años, hoy pueden tener poca importancia. Suponga que la cantidad base de un producto difiere mucho de
Tabla 16-7
Q0
Cálculo del índice de Laspeyres
Elementos de compuesto (1)
Pan (1 barra) Papas (1 lb) Pollo (paquete de 3 lb)
P 0
P 1
Precio base 1991 (2)
Precio actual 1995 (3)
$0.91 0.79 3.92
$1.19 0.99 4.50
Cantidad promedio consumida en 1991 por una familia (4)
200 barras 300 lb 100 pollos
P 0Q0
(5) ϭ (2)
$182 237 0392 ⌺P 0Q0 ϭ 811 ⌺P Q
0 ϫ 100 Índice de precios de Laspeyres ϭ ᎏi ᎏ
⌺P 0Q 0
P 1Q0
(4)
(6) ϭ (3)
(4)
$238 297 0450 ⌺P 1Q0 ϭ 985 [16-3]
985 811 1.21 ϫ 100 121
ϭ ᎏᎏ ϫ 100 ϭ ϭ
la cantidad correspondiente al periodo en cuestión. Entonces el cambio en el precio de ese producto indica muy poco acerca del cambio en el nivel general de precios.
la cantidad correspondiente al periodo en cuestión. Entonces el cambio en el precio de ese producto indica muy poco acerca del cambio en el nivel general de precios.
Método de Paasche Diferencia entre los métodos de Laspeyres y de Paasche
Cálculo de un índice de Paasche
La segunda forma de calcular un índice de agregados ponderados es el método de Paasche. Encontrar un índice de Paasche es similar a encontrar un índice de Laspeyres. La diferencia consiste en que los pesos usados en el método de Paasche son las medidas de cantidad para el periodo actual, en lu lu-gar de las del periodo base. El índice de Paasche se calcula multiplicando el precio del periodo actual por la cantidad del periodo actual para cada elemento del compuesto y sumando estos productos. Luego se multiplica el precio del periodo base por la cantidad del periodo actual para cada elemento y se suman los resultados. La primera suma se divide entre la segunda y el valor del cociente se multiplica por 100 para convertirlo conve rtirlo en un porcentaje relativo. La ecuación 16-4 define el método para calcular un índice de Paasche. Índice de Paasche ⌺P Q ϫ 100 ᎏ ⌺P Q i
i
0
i
[16-4]
donde, • Pi ϭ precios del periodo actual • P0 ϭ precios del periodo base • Qi ϭ cantidades del periodo actual
Interpretación de la diferencia entre los dos métodos Ventaja del método de Paasche
Con esta ecuación podemos trabajar de nuevo el problema de la tabla 16-7. Note que se descartaron las cantidades consumidas en 1991. se sustituyeron por las cantidades consumidas en 1995. La tabla 16-8 presenta la información necesaria para este problema modificado. En este análisis, encontramos que el índice de precios precios para 1995 es 117. Como se ve en la tabla 16-7, el índice de precios calculado con con el método de Laspeyres es 121. La diferencia diferencia entre estos dos índices refleja el cambio en los patrones de consumo de las tres variables del compuesto. El método de Paasche es particularmente útil porque combina los efectos de los cambios de precio y los patrones de consumo. Así, es un mejor indicador de los cambios generales de la economía
Tabla 16-8
Q1 P 1
Cálculo de un índice de Paasche
Elementos del compuesto (1)
Precio actual 1995 (2)
Pan (1 barra) Papas (1 lb) Pollo (paquete de 3 lb)
$1.19 0.99 4.50
Cantidad promedio Precio base consumida en 1995 1995 una familia (3) (4) P 0
$0.91 0.79 3.92
200 barras 100 lb 300 pollos
P 1Q1
(5) ϭ (2)
P 0Q1
(4)
$ 238 99 1,350 ⌺P 1Q1 ϭ 1,687 ⌺P Q
Índice de precios de Paasche ϭ ᎏ1ᎏ1 ϫ 100 ⌺P 0Q 1
ϭ
1,687 ᎏᎏ ϫ 100 1.437
ϭ
1.17 ϫ 100
ϭ
117
(6) ϭ (3)
(4)
$ 182 79 1,176 ⌺P 0Q1 ϭ 1,437 [16-4]
que el método de Laspeyres. En nuestros nuestros ejemplos, el índice de Paasche muestra muestra una tendencia hacia los bienes y servicios menos caros, ya que indica un aumento en el nivel de precios precios del 17% en lugar del aumento del 21% calculado mediante el método de Laspeyres.
Desventajas del método de Paasche
que el método de Laspeyres. En nuestros nuestros ejemplos, el índice de Paasche muestra muestra una tendencia hacia los bienes y servicios menos caros, ya que indica un aumento en el nivel de precios precios del 17% en lugar del aumento del 21% calculado mediante el método de Laspeyres. Una de las principales desventajas del método de Paasche es la necesidad de tabular medidas de cantidad para cada periodo examinado. A menudo, recolectar la información de cantidad de cada periodo es costoso o no está disponible. Sería difícil, por ejemplo, encontrar fuentes fuentes confiables confiables de datos para determinar medidas de cantidad de 100 productos alimentarios consumidos en diferentes países para cada año de un periodo de varios años. Cada valor de un índice de precios de Paasche es el resultado de cambios en precio y cantidad respecto al periodo base. Como las medidas de cantidad utilizadas para un periodo del índice suelen ser diferentes de las medidas de cantidad para otro periodo del índice, es imposible atriconsecuencia, ncia, es buir la diferencia entre los dos índices solamente a los cambios de precio. En consecue difícil comparar índices de diferentes periodos calculados con el método de Paasche.
Método de agregados con peso fijo
Cálculo de un índice de agregados con peso fijo
La tercera técnica utilizada para asignar pesos a los elementos de un compuesto es el método de agregados con peso fijo. Es parecido parecido a los métodos de Laspeyres y Paasche, Paasche, pero en lugar de utilizar pesos del periodo base o del periodo actual (cantidades), usa pesos tomados de un periodo representativo. Los pesos representativos representativos se conocen como pesos fijos. Estos pesos fijos y los precios base no tienen que corresponder al mismo periodo. Calculamos un índice de precios de agregados con peso fijo multiplicando los precios del periodo actual por los pesos fijos fijos y sumando los resultados. Luego, multiplicamos los precios del periodo base por los pesos fijos y sumamos los resultados. Por último, dividimos la primera suma entre la sesegunda y multiplicamos el cociente por 100 para convertirlo en un porcentaje relativo. La fórmula utilizada para calcular un índice de precios de agregados con peso fijo se presenta en la ecuación 16-5. Índice de precios de agregados con peso fijo ⌺P Q ϫ 100 ᎏ ⌺P Q i
2
0
2
[16-5]
donde, • Pi ϭ precios del periodo actual • P0 ϭ precios del periodo base • Q2 ϭ pesos fijos Ejemplo de un índice de agregados con peso fijo
Ventajas de un índice de agregados con peso fijo
Tabla 16-9 Cálculo de un ín-
Podemos mostrar el proceso utilizado para calcular un índice de precios de agregados con peso fijo con la solución del ejemplo con el que abrimos el capítulo. Recuerde que la administración desea determinar los cambios en el nivel de precios de las materias primas consumidas por la compañía entre 1975 y 1995. Se reunió la información en la tabla 16-9. Después de examinar los registros de compras históricos, la administración decidió que las cantidades cantidades adquiridas en 1988 fueron cacaracterísticas de los patrones de compras durante los 20 años. El nivel de precios de 1975 es el precio base del análisis. El cálculo del índice de agregados con peso fijo se muestra en la tabla 16-9. La administración de la compañía compañía concluye, a partir de este análisis, que el nivel nivel general de precios precios ha aumentado el 157% en el periodo de 20 años. La venta ventaja ja principal principal de un índice de precios de agregados agregados con peso fijo fijo es la flexibilidad flexibilidad al casos, el periodo que una compaseleccionar el precio base y el peso fijo (cantidad). En muchos casos, ñía desea utilizar como el nivel de precios base tiene un nivel de consumo no característico. Por tanto, al poder seleccionar un periodo diferente diferente para el peso fijo, la compañía puede mejorar la precisión del índice. Este método también permite a la compañía cambiar el precio base sin tener que cambiar el peso fijo. Esto es útil porque las medidas de cantidad muchas veces son más costosas o imposibles de obtener para ciertos periodos.
Q2
P 0
P 1
Cantidad cons co nsum umid idaa en
Precio prom pr omed edio io en
Precio prom pr omed edio io
P 0Q2
P 1Q2
Agre Ag rega gado do
Agre Ag rega gado do
Tabla 16-9 Cálculo de un índice de agregados con peso fijo
Materiaa Materi prima (1)
Q2
P 0
P 1
Cantidad cons co nsum umid idaa en 1988 19 88 (mi (miles les de toneladas) (2)
Precio prom pr omed edio io en 1975 19 75 ($ po porr tonelada) (3)
Precio prom pr omed edio io en 19 1995 95 ($ po porr tonelada) (4)
$ 7.56 9.20 12.30
$19.50 21.40 36.10
Carbón Mineral de hierro Mineral de níquel
158 12 12 5
que usa cada uno para seleccionar estas cantidades. El método de Laspeyr Laspeyres es usa cantidades del periodo base. El método Paasche usa cantidades del periodo en cuestión. El método de agregados con peso fijo usa cantidades de un pe-
P 1Q2
Agrega Agre gado do ponde po ndera rado do 1975 (5) ϭ (3) (2)
Agrega Agre gado do ponde po ndera rado do 1995 (6) ϭ (4) (2)
$ 1,194.48 110.40 $1, 61.50 ⌺P 0Q2 ϭ 1,366.38
Índice de precios de agregados con peso fijo
SUGERENCIAS Los tres métodos analizados en esta sección producen índices de agregados Y SUPOSICIONES ponderados usando las cantidades consumidas como base para la ponderación. Sugerencia: la única diferencia real real entre ellos es el periodo
P 0Q2
$3,081.00 256.80 1, 180.50 ⌺P 1Q2 ϭ 3,518.30
⌺P i Q 2
ϭ
ᎏᎏ ϫ 100
ϭ
3,518.30 ᎏ ᎏ ϫ 100
ϭ
2.57 ϫ 100
ϭ
257
[16-5]
⌺P 0Q 2
1,366.38
riodo seleccionado. seleccionado. Sugerencia: Sugerencia: si el periodo seleccionado seleccionado en el método de agregados con peso fijo es el periodo base, este método se convierte en el de Laspey Advertencia:: Laspeyres res. Advertencia elegir el periodo que se usará para las ponderaciones requiere la observación cuidadosa y sentido común. El tomador de decisiones busca un periodo que tenga un consudecir, un periodo periodo que refleje refleje lo mejor mejor mo característic característicoo, es decir, posible la realidad de la situación. No hay una fórmula matemática que proporcione la respuesta adecuada para hacerlo.
Ejercicios 16.3 Ejercicios de autoevaluación EA 16-2
EA 16-3 EA 16-4
Bill Simpson, propietario de un un viñedo en California, recolectó la siguiente información que que describe los precios y cantidades de cosechas para el periodo 1992-1995. Tipo de uva
1992
Ruby Cabernet Barbera Chenin Blanc
$108 93 97
Precio (por tonelada) 1993 1994 1995 $109 96 99
$113 96 106
$111 101 107
Cantidad cosechada (toneladas) 1992 1993 1994 1995 1,280 830 1,640
1,150 860 1,760
1,330 850 1,630
1,360 890 1,660
Use los datos del ejercicio EA 16-2 para calcular un índice con peso fijo para cada año utilizando los precios de 1992 como base y las cantidades de 1995 como peso fijo. Use los datos del ejercicios EA 16-2 para calcular calcular un índice de Paasche para para cada año, utilice 1993 como periodo base.
Aplicaciones ■
16-14
Eastern Digital ha desarrollado una participación de mercado sustancial en la industria de las PC. Los pre-
Aplicaciones ■
16-14
■
16-15
■
16-16
■
16-17
■
■
16-18
16-19
Eastern Digital ha desarrollado una participación de mercado sustancial en la industria de las PC. Los precios y número de unidades vendidas de sus cuatro mejores computadoras de 1993 a 1996 fueron: Modelo
1993
ED 107 ED Electra ED Optima ED 821
1,894 2,506 1,403 1,639
Precio de venta (dólares) 1994 1995 1996 1,906 2,560 1,440 1,650
1,938 2,609 1,462 1,674
1993
1,957 2,680 1,499 1,694
Número vendido (miles) 1994 1995 1996
84.6 38.4 87.4 75.8
86.9 42.5 99.4 78.9
98.4 55.6 109.7 82.4
107.5 67.5 134.6 86.4
Construya un índice de Laspeyres Laspeyres para cada uno de los 4 años, con 1993 como periodo base. Use los datos del ejercicio 16-14 para calcular un índice con pesos fijos para cada año, con los precios de 1993 como la base y las cantidades de 1996 como pesos fijos. Use los datos del ejercicio 16-14 para calcular un índice Paasche Paasche para cada año, con 1994 como periodo base. Julie Pristash, gerente de comercialización comercialización de Mod-Stereo, Mod-Stereo, una empresa dedicada dedicada a la fabricación fabricación de casetes de audio vírgenes, vírgenes, ha recopilado la siguiente información información de las ventas unitarias para para el periodo 1993-1995. Use las cantidades promedio promedio vendidas de 1993 a 1995 como los pesos fijos, calcule el índice con pesos fijos para cada uno de los años del periodo, periodo, con base en 1993. Capacidad de cinta (minutos) 30 60 90 120
1993
Venta al menudeo 1994
1995
$2.20 2.60 3.10 3.30
$2.60 2.90 3.20 3.35
$2.85 3.15 3.25 3.40
Cantidad promedio (cientos de miles) 1993-1995 32 119 75 16
Gray P. P. Saeurs es propietario de un puesto de frutas situado en una esquina de un pequeño poblado. Después de escuchar varias varias quejas de que sus precios cambiaban constantemente constantemente durante el verano, verano, ha decidido ver si esto es cierto. Basándose en en los datos siguientes, ayude al señor Saeurs a calcular calcular los índices de precios de agregados ponderados para cada mes. Utilice el mes de junio como periodo base. ¿El resultado que obtuvo es un índice de Laspeyres o de Paasche? Fruta
Junio
Manzana Naranja Durazno Sandía Me l ó n
$0.59 0.75 0.87 1.00 0.95
Precio por libra Julio Agosto $0.64 0.65 0.90 1.10 0.89
$0.69 0.70 0.85 0.95 0.90
Núm. de de libras vendidas Junio 150 200 125 350 150
Charles Widget está a cargo de mantener en existencia ciertos productos que la compañía necesita para reparar sus máquinas. Desde que empezó empezó su trabajo hace tres años, ha estado observando los cambios en los precios de los productos a su cargo. Clasificó los datos en la siguiente tabla con el fin de calcular un índice de precios de agregados con peso fijo. Realice los cálculos que el señor Widget haría, usando el año 1993 como año base. Producto
1993
Dispositivo W Dispositivo X Dispositivo Y Dispositivo Z
$1.25 $6.50 $5.25 $0.50
Precio por producto 1994 1995 $1.50 $7.00 $5.90 $0.80
$2.00 $6.25 $6.40 $1.00
Núm. pr p romedio usado en el periodo de 3 años 900 50 175 200
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 16-2
1992
1992
1993
1994
1995
Q0
P 0
P 1
P 2
P 3
1,280 830 1,640
108 93 97
109 96 99
113 96 106
111 101 107
1992
1993
1994
1995
P 0Q0
P 1Q0
P 2Q0
P 3Q0
138,240 177,190 159,080 374,510
139,520 179,680 162,360 381,560
144,640 179,680 173,840 398,160
142,080 183,830 175,480 401,390
Tipo de uva Ruby Cabernet Barbera Chenin Blanc
⌺P Q 37,451,000 38,156,000 39,816,000 40,139,000 ᎏ ϫ 100: ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ ⌺P Q 374,510 374,510 374,510 374,510
Índice de Laspeyres ϭ
i
0
0
0
ϭ
EA 16-3
Ruby Cabernet Barbera Chenin Blanc
ϭ 106.3
1993
1994
1995
Q3
P 0
P 1
P 2
P 3
1,360 890 1,660
108 93 97
109 96 99
113 96 106
111 101 107
1992
1993
1994
1995
P 0Q3
P 1Q3
P 2Q3
P 3Q3
146,880 182,770 161,020 390,670
148,240 185,440 164,340 398,020
153,680 185,440 175,960 415,080
150,960 189,890 177,620 418,470
i
3
0
3
100.0
ϭ
101.9
ϭ
106.2
1992
1993
1994
1995
1992
1993
1994
1995
P 1
P 0
P 2
P 3
Q1
Q0
Q2
Q3
108 93 97
109 96 99
113 96 106
111 101 107
1,280 830 1,640
1,150 860 1,760
1,330 850 1,630
11,,360 890 1,660
1992 P 1Q1
138,240 77,190 159,080 374,510
Índice de Paasche ϭ
ϭ
107.2
⌺P Q 39,067,000 39,802,000 41,508,000 41,847,000 ᎏ ϫ 100: ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ ⌺P Q 390,670 390,670 390,670 390,670 ϭ
Tipo de uva
101.9
1992
Índice con pesos fijos ϭ
EA 16-4
ϭ
1995 Tipo de uva Ruby Cabernet Barbera Chenin Blanc
100.0
1994 P 0Q1
139,520 79,680 162,360 381,560
⌺P Q ᎏ ϫ 100: ⌺P Q i
i
0
i
P 2Q2
150,290 81,600 172,780 404,670
37,451,000 ᎏᎏ 381,560
1995 P 0Q2
144,970 81,600 161,370 387,940
P 3Q3
150,960 89,890 177,620 418,470
40,467,000 ᎏᎏ 387,940
P 0Q3
148,240 85,440 164,340 398,020
41,847,000 ᎏᎏ 398,020
ϭ
107.1
16.4 Métodos de promedio de relativos Método de promedio no ponderado de relativos
Cálculo de un promedio no ponderado de índice de relativos
Para construir construir un índice, como una alternativa alternativa a los métodos de agregados, agregados, podemos utilizar el mémétodo de promedio de relativos. De nuevo, nuevo, usaremos un índice de precios para presentar el proceso. proceso. En realidad, utilizamos una forma del método de promedio de relativos relativos al calcular calcular el índice simple de la tabla 16-1. En ese ejemplo de un solo producto, calculamos el porcentaje relativo relativo dividiendo el número de negocios nuevos abiertos en el año actual, Ql, entre el número que se tuvo tuvo en el año base, Q0, y multiplicando el resultado por 100. Cuando tenemos más de un producto producto (o actividad), actividad), primero encontramos el el cociente del precio actual entre el precio base para cada producto y multiplicamos cada cociente obtenido por 100. Luego sumamos esos porcentajes relativos y dividimos el resultado entre el número de productos. (Observe que los métodos de agregados analizados en la sección 16-3 son diferentes de este método. Los anteriores suman todos los precios antes de encontrar el cociente.) La ecuación 16-6 presenta la forma general para el método de promedio no ponderado de relativos relativos. Índice de precios de promedio no ponderado de relativos P ᎏᎏ
∑ ᎏPᎏ ϫ 100 i
0
[16-6]
n
donde, • Pi ϭ precios del periodo actual • P0 ϭ precios del periodo base • Comparación del índice de agregados no ponderados y el índice de promedio no ponderado de relativos
n ϭ número de elementos (o productos) del compuesto
En la tabla 16-10, 16-10, volvimos a trabajar trabajar el problema de de la tabla 16-4, utilizando el método de promedio no ponderado de relativos, relativos, en lugar del método de agregados no ponderados. Según este análisis, el índice general general de precios precios para 1995 es 138. En la tabla 16-4, el índice de agregados no ponderados ponderados para el mismo problema es 145. Obviamente, existe una diferencia entre entre estos dos índices. Con el método de promedio no ponderado de relativ relativos os calculamos el promedio de los cocientes de los precios para cada producto. producto. Con el método de agregados agregados no ponderados, calculamos el cociente de las sumas de los precios de cada producto. Note que esto no es lo mismo que asignar más peso a algunos productos que a otros. Más bien, el método de promedio de relativos relativos convierte cada elemento a una escala relativa donde los elementos se representan como un porcentaje y no como una cantidad . Debido a esto, cada elemento del compuesto compuesto se mide con respecto a una base de 100.
Método de promedio ponderado de relativos
Formas diferentes de determinar pesos
La mayor parte de los problemas a los que se enfrentan los administradores requieren ponderaciones según su importancia. Así, Así, es más común común utilizar utilizar el método de promedio promedio ponderado ponderado de relatirelativos que el método no ponderado. Cuando calculamos el índice de precios de agregados ponderados en la sección 16-3, utilizamos la cantidad consumida para pesar los elementos elementos del compuesto. Para asignar pesos usando el promedio ponderado de relativos, relativos, usamos el valor de cada elemento del compuesto. (El valor es el monto total de dólares obtenidos al multiplicar precio por cantidad.) Con los métodos de promedio ponderado de relativos existen varias varias formas de determinar un valor ponderado. Como en el método de Laspeyres, Laspeyres, podemos utilizar el valor base que encontramos encontramos multiplicando la cantidad base por el precio base. Usar el valor base producirá exactamente el mismo resultado que calcular el índice con el método de Laspeyres. Laspeyres. Como el resultado es el mismo, la
Tabla16-10 Cálculo de un índice de promedio no ponderado
P 0
Producto (1)
P 1
Precios de 1990 Precios de 1995 (2) (3)
Cociente (3) (4) ϭ ᎏ (2)
100 ϫ 100
Tabla16-10
P 0
Cálculo de un índice de promedio no ponderado de relativos
Producto (1)
P 1
Precios de 1990 Precios de 1995 (2) (3)
Leche (1 galón)
$1.92
$3.40
Huevos (1 docena)
0.81
1.00
Hamburguesas (1 lb)
1.49
2.00
Gasolina (1 galón)
1.00
1.17
Cociente (3) (4) ϭ ᎏ (2)
100 ϫ 100
3.40 1.92 1.00 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 1.23 ϫ 100 ϭ 123 0.81 2.00 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 1.34 ϫ 100 ϭ 134 1.49 1.17 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 1.17 ϫ 100 ϭ 117 1.00
ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 1.77 ϫ 100 ϭ 177
∑
∑
Índice de promedio no ponderado de relativos ϭ
Cálculo de un índice de promedio ponderado de relativos
P 1
ᎏᎏ ϫ
P 0
P i
ᎏᎏ ϫ
100
100
P ᎏᎏ n 0
ϭ 551
[16-6]
551 4
ϭ
ᎏᎏ
ϭ
138
decisión de usar el método de Laspeyres o el de promedio ponderado de relativos, relativos, a menudo depende de la disponibilidad de los datos. Si es más fácil conseguir los datos de valor, valor, utilizamos el método de promedio ponderado de relativos; usamos el método de Laspeyres cuando los datos de cantidad se obtienen con mayor facilidad. La ecuación 16-7 se utiliza para calcular un índice de precios de promedio ponderado de relativos. Se trata de una ecuación ecuación general en la que podemos podemos sustituir valores del periodo base, base, del actual o de cualquier otro periodo fijo. Índice de precios de promedio ponderado de relativos P 100(P Q )΅ ΄ P ᎏᎏᎏ ᎏᎏ ᎏ ∑
i
ᎏᎏ ϫ
n
n
0
⌺PnQn
[16-7]
donde, PnQn ϭ valor • P0 ϭ precios en el periodo base • Pi ϭ precios en el periodo actual • • Pn y Qn ϭ cantidades y precios que determinan los valores que usamos
para los pesos. En particular, n ϭ 0 para el periodo base, n ϭ i para el periodo actual y n ϭ 2 para un periodo fijo que no es el base ni el actual Si deseamos calcular un índice de promedio ponderado de relativos usando valores base, P0Q0, la ecuación sería
Índice de precios de promedio ponderado de relativos con valores del año base como pesos P 100(P Q )΅ ΄ P ᎏᎏᎏ ᎏᎏ ᎏ ∑
i
ᎏᎏ ϫ 0
⌺P0Q0
Relación del método de promedio ponderado de relativos con el método de Laspeyres
0
0
[16-8]
La ecuación 16-8 es equivale equivalente nte al método de Laspeyres para cualquier problema dado. Además de los casos específicos de la forma general del método de promedio ponderado de relativos, podemos utilizar valores determinados determinados al multiplicar el precio de un periodo por la cantidad
Relación del método de promedio ponderado de relativos con el método de Laspeyres Ejemplo de un índice de promedio ponderado de relativos
Uso de valores base, valores fijos o valores actuales
La ecuación 16-8 es equivale equivalente nte al método de Laspeyres para cualquier problema dado. Además de los casos específicos de la forma general del método de promedio ponderado de relativos, podemos utilizar valores determinados determinados al multiplicar el precio de un periodo por la cantidad de un periodo diferente. Por lo general, general, encontramos que las ecuaciones ecuaciones 16-7 y 16-8 son adecuadas. Veremos un ejemplo. La información de la tabla 16-11 viene de la tabla 16-7. Tenemos precios base y cantidades base, de modo que usaremos la ecuación ecuación 16-8. El índice de precios 122 difiere difiere ligeramente del valor 121 calculado calculado en la tabla 16-7 con el método de Laspeyres, pero esto se debe sólo al redondeo intermedio. Como fue el caso para los agregados ponderados, ponderados, cuando usamos valores valores base, P0Q0, o valores valores fijos fijos P2Q2, para promedios ponderados, ponderados, podemos comparar rápidamente rápidamente el nivel de precios de un periodo con el de otro. Sin embargo, cuando utilizamos valores valores actuales, actuales, P1Q1, al calcular un índice de precios de promedio ponderado de relativos no podemos comparar de manera directa valores de periodos diferentes, ya que tanto los precios como las cantidades cantidades pueden haber cambiado. cambiado. Así, por lo general utilizamos valores base o valores fijos cuando calculamos un índice de promedio ponderado de relativos.
Tabla 16-11 Cálculo de un índice de promedio ponderado de relativos
Elementos del compuesto (1)
Precios 1991 1995
Cantidad 1991
P 0
P 1
Q0
(2)
(3)
(4)
Pan (1 barra)
$0.91
$1.19
200 barras
Papas (1 libra)
0.79
0.99
300 libras
Pol ollo lo (p (paq aquuet etee de 3 lb lb))
3.92 3. 92
4.50 4. 50
1000 pa 10 paqs qs..
Porcentaje de precios relativos P 1
ᎏᎏ ϫ
P 0
100
(3) (5) ϭ ᎏ ᎏ ϫ 100 (2)
1.19 0.91 0.99 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 125 0.79 450 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 115 3.92
Valor base P 0Q0
(6) ϭ (2)
ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 131
(4)
182
23,842
237
29,625
392
45,080
⌺P 0Q0 ϭ 811
΄ ∑΄ ∑
P 1
ᎏᎏ ϫ
P 0 P i
ᎏᎏ ϫ
Índice de promedio ponderado de relativos ϭ
Porcentaje ponderado relativo (7) ϭ (5) (6)
P 0
΅ 100( )΅
100 (P 0Q 0) = 98,547 P 0Q 0
ᎏᎏᎏ ⌺P Q 0
ϭ
0
[16-8]
98,547 811
ᎏᎏ
ϭ 122
Sugerencia: los métodos Sugerencia: métodos de prom promedios edios de relativos descritos en esta sección difieren de los de la sección anterior porque usan el volumen de dólares totales conponderación, en lugar de sólo las sumidos como base para la ponderación, SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
cantidades consumidas. Por esto cada uno inv involucra olucra un cálculo de precio por cantidad. cantidad. Estos tipos de índices se usan en las refinerías de gasolina y los molinos de café que deben usar diferentes cantidades de materia prima para producir un producto mezclado que sea casi cas i el mismo mes con mes.
Ejercicios 16.4 Ejercicios de autoevaluación EA 16-5
Como parte de la evaluac evaluación ión de una posible adquisición, un conglomerado de la ciudad de Nueva York recolectó la siguiente información de ventas:
Producto
Precio promedio anual 1993 1995
Valor total en dólares (miles) 1993
Producto Calculadoras Radios TV portátiles
Precio promedio anual 1993 1995 $ 27 30 157
Valor total en dólares (miles) 1993
$ 20 42 145
$ 150 900 1,370
a) Calcule el índice índice de precios precios de promedio promedio no ponderado de relativos relativos usando 1993 como periodo base. b) Calcule el índice de precios de de promedio ponderado de relativos usando el valor valor en dólares dólares de cada producto en 1993 como el conjunto de pesos apropiado y 1995 como año base.
Aplicaciones ■
16-20
F.C. Linley, Linley, dueño del estadio de de los Seals de San Mateo, recolectó información de los precios y el voluvolumen de boletos durante los 4 últimos años: Precio anual promedio 1992 1993 1994 1995 Asientos de luneta Admisión general
■
16-21
$6.50 3.50
$7.25 3.85
■
16-23
26 71
Precio/ton de compra anual promedio 1993 1994 1995
Butadieno Estireno Cuerda de rayón Negro de humo Pirofosfato de sodio
16-22
$8.10 4.35
27 80
31 89
28 90
Calcule un índice de precios de promedio ponderado ponderado de relativos para cada año de 1992 a 1995, 1995, utilizando el año 1993 para ponderar y como año base. La siguiente tabla contiene información de los registros de compra de materia prima de un fabricante de llantas, para los años entre 1993 y 1995:
Material
■
$7.50 4.30
Boletos vendidos ( 10,000) 1992 1993 1994 1995
$ 17 $ 85 348 $ 62 $ 49
$ 15 $ 89 $358 $ 58 $ 56
Valor de compra (miles) 1995
$ 11 $ 95 $331 $ 67 $ 67
$ 50 $ 210 $1,640 $ 630 $ 90
Calcule un índice de precios de promedio ponderado de relativos relativos para cada uno de los 3 años, utilizando 1995 para ponderar y como año base. Un grupo de interés público de Tennessee Tennessee ha investigado el costo de la mano de obra en las reparaciones de automóviles para tres ciudades principales de Tennessee (Knoxville, Memphis y Nashville). Con la siguiente información, construya un índice de precios precios de promedio ponderado ponderado de relativos relativos utilizando los precios de 1991 como base. Tipo de reparación
1991
1993
1995
Cambio de bomba de agua Reesmerilado de válvulas (6 cil.) Balanceo de llantas Afinación (menor)
$ 35 189 26 16
$ 37 205 29 16
$ 41 216 30 18
Garret Cage, presidente de un banco banco local, está interesado en los niveles niveles promedio de de las cuentas de ahorros y de cheques para cada uno de los últimos 3 años. Muestreó algunos días de esos años; utilizando los niveles de esos esos días, determinó los siguientes promedios promedios anuales: Cuenta Cuen tass de ah ahor orro ro Cuentas de cheques
1993
1994
1995
$1,8 $1 ,845 45,0 ,000 00 385,000
$2,3 $2 ,320 20,0 ,000 00 447,000
$2,0 $2 ,089 89,0 ,000 00 491,000
Calcule un índice de promedio no ponderado de relativos relativos para cada año, utilizando 1993 como periodo base.
■
16-24
InfoTech investigó el precio unitario y el valor total de los chips de memoria importados por Estados UniInfoTech dos en 1994 y 1996.
Producto
1994
1996
Valor total en dólares (miles) 1994
Chip de 1 megabites Chip de 4 megabites Chip de 16 megabites
$ 42 $180 $447
$ 65 $247 $612
957 487 349
Precio
■
■
■
16-25
16-26
16-27
a) Calcule el el índice de precios de promedio no ponderado de relativos para 1996 con 1994 como como periodo base. b) Calcule el el índice de precios de promedio ponderado ponderado de relativos relativos para 1996 usando usando el valor valor del dólar dólar para cada producto en 1994 como el conjunto adecuado de los pesos y 1994 como año base. Una investigación sobre la cantidad de pasajeros en vuelos redondos transatlánticos de Nueva York a varias ciudades europeas produjo los resultados siguientes:
Destino
1991
París Londres Munich Roma
$690 648 702 840
$732 675 753 903
$777 696 768 939
$783 744 798 975
Grupo asegurado
1992
1993
1994
1995
Médicos Estudiantes Empleados del gobierno Maestros
$54 39 48 46
$65 41 61 58
$86 55 76 75
$103 76 93 96
2,835 5,175 2,505 2,145
Una nueva nueva cadena de moteles espera poder abrir abrir su primer motel en Boomingville, pero antes de comprometerse a iniciar la construcción, la administración desea verificar verificar los precios por noche de las habitaciones en otros moteles. Después de enviar a un empleado a investigar investigar los precios, la administración de la cadena de moteles recibió los datos de la siguiente forma:
Happy Hotel Room Service Rooms Executive Motel Country Inn Family Fun Motel
16-28
$714 654 723 867
Calcule el índice de promedio ponderado de relativos para cada uno de los años del periodo 1991-1994, utilizando 1995 como año base y para ponderar. En un estudio sobre políticas de seguros de salud grupales llevado a cabo para la Asociación Asociación de Cuidados Médicos de Rhode Rhode Island, se reunió la siguiente siguiente muestra de tasas tasas promedio individuales. individuales. Utilice 1994 como periodo base para calcular un índice de precios de promedio ponderado de relativos para cada año.
Hotel
■
Precio anual promedio por pasajero 1992 1993 1994 1995
Pasajeros (miles) 1995
Precio de habit Precio habitación ación por noche 1993 1994 1995 $35 25 45 37 26
$37 26 45 38 30
$42 28 51 44 31
Númeroo de habit Númer habitacion aciones es ocupad ocupadas as 1993 1,250 950 1,000 600 2,075
Ayude a la compañía a determinar los precios relativos utilizando 1993 como año base y un índice de promedio no ponderado de relativ relativos. os. La gasolinera Quick-Stop Gas ha estado vendiendo mapas de carreteras carreteras a sus clientes durante los últimos tres años. Los mapas son son de la ciudad más cercana, cercana, el condado donde se encuentra la gasolinera, gasolinera, el estado y todo Estados Unidos. De la siguiente tabla, calcule el índice de precios de promedio promedio de relativos relativos para los años 1994 y 1995, utilizando 1993 como el periodo base. base.
Mapa
1993
1994
1995
Cantidad vendida 1993
Ciudad Condado Estado País
$0.75 0.75 1.00 2.50
$0.90 0.90 1.50 2 .75 2.
$1.10 1.00 1.50 2.75 2.
1,000 400 1,000 220
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 16-5
1993
1995
Producto
P 0
P 1
Calculadoras Radios Televisiones
$ 27 30 157
$ 20 42 145
P ∑ ᎏPᎏ ϫ 100 0 n
ᎏᎏ
P 1 ᎏᎏ Q0
P 0Q 0
0.7407 1.4000 0.9236 3.0643
150 900 1,370 2,420
( P 1
ᎏᎏ P 0Q0)
P 0
111.11 1,260.00 1,265.33 2,636.44
i
a) Índice ϭ
306.43 3
ϭ ᎏᎏ ϭ 102.1
P ∑ ᎏPᎏ ϫ 100 (P0Q0) 0
ᎏᎏᎏ i
b) Índice ϭ
∑P0Q0
ϭ
263,644
ᎏ ᎏ ϭ 108.9 2,420
16.5 Índices de cantidad y de valor Índices de cantidad Uso de un índice de cantidad
Ventajas de un índice de cantidad
Cálculo de un índice de cantidad de promedio ponderado de relativos
Nuestro estudio de los Nuestro los números índice índice se ha concentrado concentrado,, hasta este este momento, momento, en los índices índices de precios para facilitar la comprensión de los conceptos generales. Sin embargo, embargo, también podemos utilizar números índice para para describir cambios en cantidades y valores. valores. De estos dos, utilizamos los índices de cantidad con más frecuencia. El Federal Reserve Board (equivalente a la Comisión Nacional Bancaria) de Estados Unidos calcula índices trimestrales que incluye en su publicación mensual, The Index of Industrial Production (IIP). El IIP mide la cantidad cantidad de producción en las áreas de manufactura, minería y servicios públicos. Se calcula usando un índice índice de cantidad de promedio ponderado de relativos, relativos, en el cual las ponderaciones fijas (precios) y las cantidades base base se miden con respecto a 1977. En tiempos de inflación, un índice de cantidad proporciona una medida más confiable de de la producción real de materias primas y bienes bienes terminados que el índice de valor. valor. De manera parecida, la producción agrícola se mide mejor si se utiliza un índice de cantidad, debido a que elimina efectos efectos engañosos producidos por la fluctuación de precios. A menudo usamos un índice de cantidad para medir mercancías que están sujetas a una variación considerable de precios. Cualquiera de los métodos para determinar índices de precios analizados en las secciones anteriores de este capítulo, puede utilizarse para calcular índices de cantidad. cantidad. Cuando deseamos calcular índices de precios, usamos cantidades o valores para los pesos. Ahora que queremos calcular índices de cantidad, utilizamos precios o valores para ponderar. ponderar. Analicemos la obtención obtención de un índice de cantidad de promedio ponderado de relativos. El proceso general para calcular un índice de cantidad de promedio ponderado de relativos es el mismo que usamos para el índice de precios. La ecuación 16-9 describe la fórmula para este tipo de índice de cantidad. En esa ecuación, el valor se determina multiplicando cantidad por precio. El vavalor asociado con cada la cantidad se utiliza para ponderar los elementos del compuesto.
Índice de cantidad de promedio ponderado de relativos Qi ∑ ᎏ ᎏ ϫ 100 (QnPn) Q0 ⌺QnPn
΄ ΅ ᎏᎏᎏ
[16-9]
donde, Qi ϭ cantidades para el periodo actual Q0 ϭ cantidades para el periodo base • • Pn y Qn ϭ cantidades y precios que determinan los valores utilizados para los pesos. En particular ticul ar,, se tiene que n ϭ 0 para el periodo periodo base, base, n ϭ 1 para el periodo periodo actual actual y n ϭ 2 para un periodo fijo que no es el actual ni el base. Considere el problema de la tabla 16-12. Utilizamos la ecuación 16-9 para calcular un índice de cantidad de promedio ponderado de relativos. El valor QnPn, se determina a partir del del periodo base y, por consigu consiguiente iente,, en símbolos símbolos es es Q0P0. •
Índices de valor Una desventaja de un índice de valor
Ventajas de un índice de valor
Un índice de valor mide cambios generales en el valor total de alguna variable. Como el valor está determinado tanto por el precio como por la cantidad, un índice de valor realmente mide los efectos efectos combinados de los cambios de precio y cantidad. La desventaja principal de un índice de valor es que no produce diferencia alguna entre los efectos de estas dos componentes. Sin embargo, un índice de valor es útil al medir cambios globales. globales. Las compañías de seguros médicos por ejemplo, suelen mencionar el agudo agudo incremento en el valor de los pagos otorgados en juicios por negligencia médica como la razón más importante para descontinuar este tipo de seguros. En esta situación, el valor incluye tanto tanto un mayor número de pagos como como cantidades más grandes grandes otorgadas en efectivo.
Tabla 16-12 Cálculo de un índice de cantidad de promedio ponderado de relativos
Elem El emen ento toss de compuesto (1)
Cantidades (en miles de millones de bu bush shel els) s) 1991 1995
Precio (por (p or bu bush shel el)) 1991
Q0
Q1
P 0
(2)
(3)
(4)
Trigo
29
24
$3.80
Maíz
3
2.5
2.91
12
14
6.50
Frijol de soya
Q 1 ᎏᎏ ϫ 100 Q 0
Por orce cent ntaj ajes es relativos
Val alor or básico
(3) (5) ϭ ᎏᎏ ϫ 100 (2)
Q0P 0
(6) ϭ (2)
24.0 29.0 2.5 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 83 3 14.0 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 117 12.0 ᎏᎏ ϫ 100 ϭ 83
29 3 12
Índice de cantidad de promedio ponderado de relativos ϭ
Relativos ponderados (7) ϭ (5) (6)
(4)
3.80 ϭ 110.20 3. 2.91 ϭ
9,146.60
8.73
724.59
l6.50 ϭ 78.00 ⌺Q0P 0 ϭ 196.93
9,126.00
΄ ∑΄ ∑
Q 1 ᎏᎏ ϫ 100 ϫ Q 0P 0 Q 0
Q 1 ᎏᎏ ϫ Q 0
Q i ᎏᎏ ϫ Q 0
΅ 100( )΅ 100 (Q 0P 0)
ϭ
18,997.19
Q 0P 0
ᎏᎏᎏ Q P ⌺
ϭ
0
0
18,997.19 ᎏ ᎏ 196.93
ϭ 96
SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
Con frecuencia se usa un índice de cantidad en las decisiones de producción, porque evita los efectos de la inflación y
crecer durante periodos de alto uso de cupones de descuento. Como la compañía espera que aumente la cantidad de pizzas como resultado del descuento, descuento, un índice de cantidad
[16-9]
Con frecuencia se usa un índice de cantidad en las decisiones de producción, porque evita los efectos de la inflación y las fluctuaciones de precio debido a la dinámica del mercado. mercado. Sugerencia: Sugerencia: piense en un servicio de entrega de pizzas cuyo ingreso total en dólares puede de-
crecer durante periodos de alto uso de cupones de descuento. Como la compañía espera que aumente la cantidad de pizzas como resultado del descuento, descuento, un índice de cantidad es más útil para tomar decisiones al hacer pedidos de queso, otros ingredi ingredientes entes y masa, masa, y para program programar ar a los emempleados.
SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
Ejercicioss 16.5 Ejercicio Ejercicios de autoevaluación EA 16-6
William Olsen, propietario de una agencia de bienes raíces, ha recolectado la siguiente información información de ventas de cada uno de sus vendedores: Valor de las ventas (miles de dólares) 1992 1993 1994 1995
Vendedor
Thompson Alfred Jackson Blockard
490 630 760 230
560 590 790 250
530 540 810 240
590 680 840 360
Calcule un índice de valor de promedio no ponderado de relativos relativos para cada año, con 1992 como periodo base.
Conceptos básicos ■ ■
16-29 16-30
Explique la desventaja principal al usar índices de valor. ¿Cuál es la mayor diferencia entre un índice de agregados ponderados y un índice de promedio ponderado de relativos?
Aplicaciones ■
16-31
El vicepresidente de finanzas de la división americana de la Banshee Camera Company examina las ventas al contado y a crédito de la compañía durante los últimos 5 años. Valor de las ventas (cientos de miles) 1991 1992 1993 1994 1995
Crédito Contado
■
16-32
6.32 2.51
6.53 2.48
6.98 2.41
7.62 2.33
Calcule un índice de valor de promedio promedio ponderado de relativos para cada cada año, con 1991 como periodo base. Una empresa de Georgia que fabrica equipo pesado ha recolectado la siguiente información respecto a los principales productos de la compañía. Calcule un índice de cantidad de agregados agregados ponderados, use las cantidades y los precios de 1995 como la base y los pesos.
Producto
Barcazas de río Carros góndola de ferrocarril Camiones de carga
■
5.66 2.18
16-33
Costo de Cantidades producción por producidas unidad (m (miles de de dó dólares) 1993 1994 1995 1995
92 456 52
118 475 56
85 480 59
$ 33 56 116
La Arkansas Arkansas Electronic ha comercializado comercializado tres tipos básicos de calculadora: calculadora: financiera financiera,, científica y básibásica. La información siguiente describe las ventas de unidades durante los últimos tres años: Núme Nú mero ro ven vendi dido do (cie (cient ntos os de mil miles es))
Prec Pr ecio io
■
16-33
La Arkansas Arkansas Electronic ha comercializado comercializado tres tipos básicos de calculadora: calculadora: financiera financiera,, científica y básibásica. La información siguiente describe las ventas de unidades durante los últimos tres años: Número Núme ro ven vendi dido do (cie (cient ntos os de mil miles es)) 1993 1994 1995
Modelo Financiera Científica Básica
■
■
16-34
16-35
1992
1993
1994
1995
Asalto y violación Asesinato Robo Fraude
2,110 2,110 2,s30 2,s 30 2,610 2, 610 2,450
2,128 2,128 2,s45 2,s 45 2,720 2, 720 2,630
2,134 2,134 2,s40 2,s 40 2,770 2, 770 2,910
2,129 2,129 2,248 2,2 48 2,830 2, 830 2,890
1991
1992
Número vendido 1993 1994
1995
1996
642.4 325.8 118.3 125.6 208.7
721.5 347.8 123.6 122.4 252.7
842.6 398.5 174.3 137.8 405.9
905.6 418.7 174.9 172.9 942.7
951.2 426.4 185.3 205.4 987.4
895.3 406.3 176.2 149.6 608.9
Calcule un índice de cantidad de promedio no ponderado de relativos con 1991 como año base. Después de conminar a una compañía de productos químicos a que obligara a sus empleados a manejar ciertos compuestos químicos peligrosos con guantes guantes protectores, el Departamento de Salud Pública está está ahora interesado en ver si esta reglamentación ha tenido el efecto de frenar el número de fallecimientos por cáncer en esa área. Antes de que entrara en vigor la reglamentación, reglamentación, el cáncer no solamente se había extendido entre los trabajadores de la compañía, sino también entre sus familiares, amigos cercanos y vecinos. Los siguientes datos muestran las cifras obtenidas en 1973 antes de la reglamentación y las que se obtuvieron obtuv ieron después, después, en 1993.
Ͻ4
años 4-15 años 16-35 años 36-60 años Ͼ60 años
16-37
$34.00 69.00 13.00
Calcule el índice de cantidad de promedio no ponderado ponderado de relativos relativos para cada año, use 1995 como periodo base. Recycle Sounds recolectó la siguiente información de ventas de cinco estilos diferentes de música. Los datos,, en cientos datos cientos de discos compactos compactos vendido vendidoss por año, son:
Grupo Gru po de eda edadd
■
15.75 10.18 7.89
Tipo de delito
Rock suave Hard rock Música clásica Jazz Alternativa
16-36
13.32 11.09 7.48
Calcule los índices de cantidad cantidad de promedio ponderado de relativos, relativos, use los precios y las cantidades de 1995 para calcular los pesos de los valores con 1993 como año base. Como preparación preparación de una audiencia, audiencia, el comisionado de policía de un pueblo de Maryland, Maryland, ha recolectado la siguiente información:
T i po
■
11.85 10.32 7.12
Precio Prec io 1995
Número de habita hab itante ntess en 197 19733
Fall alleci ecimie miento ntoss en 197 19733
25,000 24,000 24,000 19,000 27,000
400 295 1,230 700 1,100
Falle allecim cimien ientos tos en 199 19933 125 200 1,000 450 935
Utilice un índice de agregados ponderados ponderados para el número de fallecimientos, fallecimientos, tome la población de 1973 como los pesos para ayudar al Departamento de Salud Pública a entender qué ha sucedido a la tasa de incidencia de cáncer. Un veterinario trató un gran número de mascotas durante el invierno pasado. Ahora se pregunta si esta cantidad se distribuyó de manera uniforme durante los 3 meses de invierno o si atendió a más animales en cualquier mes. Use diciembre como como periodo base, para calcular los índices de cantidad cantidad de promedio ponderado de relativos para enero y febrero.
Número atendido Dic. Ene. Feb. Gatos Perros Loros Serpientes
100 125 15 10
200 75 20 5
Precio por visita, promedio de 3 meses
95 200 15 5
$ 55 65 85 100
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 16-6 Vendedor Thompson Alfred Jackson Blockard
1992
1993
1994
1995
V 00
V 10
V 20
V 30
490 630 760 230
Índice ϭ
560 590 790 250
530 540 810 240
590 680 840 360
V ∑ ᎏV ᎏ ϫ 100 0 i
1992 V 0/V 0
1993 V 1/V 0
1.000 1.000 1.000 1.000 4.000
1.143 0.937 1.039 1.087 4.206
1994 V 2/V 0 1.082 0.857 1.066 1.043 4.048
1995 V 3/V 0 1.204 1.079 1.105 1.565 4.953
400.0 ᎏ4ᎏ : ᎏ ᎏ 4
420.6 ᎏᎏ 4
404.8 ᎏᎏ 4
495.3 ᎏᎏ 4
100.0
105.2
101.2
123.8
16.6 Problemas en la construcción y el uso de números índice Imperfecciones en los números índice
En este capítulo utilizamos ejemplos con muestras pequeñas y periodos cortos. En realidad, los números índice se calculan para compuestos con muchos elementos, y cubren periodos largos. largos. Esto produce medidas relativamente relativamente precisas de los cambios. Sin embargo, embargo, incluso los mejores números índice son imperfectos.
Problemas en la construcción Aunque existen muchos muchos problemas en la construcción de números índice, hay tres áreas principales donde se presentan dificultades: ¿Qué elementos deben incluirse en un compuesto?
Necesidad de seleccionar ponderaciones adecuadas
¿Qué es un periodo base normal?
1. Selección Selección de un elemento elemento que que se incluye incluye en un compuesto. compuesto. Casi todos los índices se construyen para responder a una pregunta pregunta en particular. particular. Así, los elementos incluidos en el compuesto dependen de la pregunta. pregunta. El IPC pregunta: ¿cuánto ha cambiado de un periodo a otro el precio de cierto grupo de productos y servicios adquiridos por ciudadanos de ingresos moderados? A partir de esta pregunta, sabemos que sólo los elementos que reflejan las compras de las familias familias urbanas de ingresos moderados deberán incluirse en el compuesto. Debemos estar conscientes de que el IPC reflejará con menor precisión los cambios de precios en los bienes adquiridos por las familias rurales de bajos o de altos ingresos que los comprados por las familias urbanas de ingresos moderados. 2. Selec Selección ción de los pesos apro apropiado piados. s. En las secciones anteriores de este capítulo, enfatizamos que los pesos seleccionados deben representar la importancia relativa de los diferentes elementos. Desafortunadamente, lo que es apropiado en un periodo puede volverse inapropiado inapropiado en un lapso muy corto. Esto debe mantenerse en mente al comparar valores de índices calculados en tiempos diferentes. 3. Sel Selecc ección ión de de un period periodoo base. base. Por lo común, el periodo base seleccionado debe ser un periodo normal, de preferencia preferencia un periodo bastante bastante reciente. reciente. “Normal” “Normal” signif significa ica que el periodo no debe estar en un pico o una depresión de una fluctuación. fl uctuación. Una técnica para evitar la elección de
un periodo anómalo consiste en promediar los valores de varios periodos consecutivos para determinar un valor normal. El Departamento de Estadística Laboral de Estados Unidos utiliza el promedio de los patrones de consumo de 1982, 1983 y 1984 para calcular el IPC. A menudo, los administradores intentan elegir un periodo base que coincida con el periodo base de uno o más de los índices principales, como el índice de producción producción industrial. El uso de una base común permite a la administración relacionar su índice con los índices principales.
Advertencias para interpretar un índice Además de estos problemas en la construcción construcción de índices, existen varios varios errores comunes que se cometen al interpretarlos: Problemas con la generalización a partir de un índice
Necesidad de un conocimiento adicional
El tiempo afecta a un índice
Falta de medición de la calidad
1. Generalización Generalización a partir partir de un índice índice específi específico. co. Una de las interpretaciones erróneas más comunes de un índice es la generalización de los resultados. El IPC mide de qué manera cambiaron los precios de una combinación particular de bienes adquiridos por habitantes urbanos con ingresos moderados. A pesar pesar de su definición específica, el IPC suele describirse como un reflejo del costo de vida para todos los estadounidenses. Aunque se relaciona con el costo de vida en cierto grado, decir que mide el cambio cambio del costo de vida no es del todo correcto. 2. Falt Faltaa de conocimiento conocimiento general general respecto respecto a los índices publicado publicados. s. Parte del problema que lleva a cometer el primer error es la falta de conocimiento de qué miden los índices publicados. Todos los índices bien conocidos van acompañados por afirmaciones detalladas concernientes a la medición. Los administradores deben familiarizarse con qué mide índice. 3. Efecto del paso del tiempo tiempo sobre sobre un índice. índice. Los factores relacionados con un índice tienden a cambiar con el tiempo; en particular, particular, las ponderaciones apropiadas. Entonces, Entonces, a menos que se hagan lo cambios correspondientes correspondientes en esas ponderaciones, el índice será cada vez vez menos confiable. 4. Camb Cambios ios en la cal calida idad. d. Una crítica común a los números índice es que no reflejan los cambios en la calidad de los productos que miden. Si la calidad ha cambiado realmente, entonces el índice sobrestima o subestima los cambios en los niveles niveles de precios. Por Por ejemplo, si construimos un número índice para describir cambios en los precios de las l as calculadoras de bolsillo en la última década, el índice resultante subestimaría subestimaría el cambio real debido a las rápidas mejoras tecnológicas en las calculadoras.
Ejercicios 16.6 Conceptos básicos ■ ■ ■ ■ ■
16-38 16-39 16-40 16-41 16-42
¿Cuál es el efecto del tiempo sobre los pesos de un índice compuesto? Enumere varias preferencias para la elección de un periodo base. Describa una técnica utilizada para evitar el uso de un periodo anómalo como base. ¿Es correcto decir que el índice de precios al consumidor mide el “costo de vida”? ¿Qué problemas surgen con los números índice, índice, si cambia la calidad de un artículo?
Estadística en el trabajo Loveland Computers ayúdame me a entender entender estos Caso 16: Números índice “Lee, ayúda cargos por envío”. Walter Azko estaba mirando un contrato de más de un centímetro de espesor. “Por la manera en que
“Sí, pero no 10%”, 10%”, interv intervino ino Lee. Lee. “No, y el precio del del combustible combustible de avión avión bajó, bajó, de modo que el flete aéreo debería ser ”
hacemos nuestras compras, el fabricante es es responsable de la entrega de un pedido en el aeropuerto, y ahí un agente aduaaduanal tramita la documentación y el embarque. A veces siento como que estoy pagando más a los agentes por enviar la mercancía que al fabricante por hacerla. Este contrato es un buen ejemplo. Quieren el 10% adicional a lo que me pedían por un envío similar el el trimestre pasado. Cuando les llamé, llamé, su argumento fue que el costo de la vida ha aumentado.”
“El costo de la vida es un factor que influye, el costo del combustible de avión es otro y la tasa de cambio es el tercero. ¿Eso cubre todo?”
“Sí, pero no 10%”, 10%”, interv intervino ino Lee. Lee. “No, y el precio del del combustible combustible de avión avión bajó, bajó, de modo que el flete aéreo debería ser menor. menor.”” “Bueno, al menos no tienes que preocuparte preocuparte por la paridad de divisas” divisas”,, dijo Lee, Lee, mirand mirandoo el contrato. contrato. “Aquí “Aquí dice dice que tienes que hacer el pago en dólares estadounidenses.” “Es cierto, les enviamos enviamos un cheque en dólares y ellos lo cambian en una sucursal regional de un banco estadounidense. Aunque el dólar no es la moneda universal que fue hace un tiempo, las personas todavía todavía piensan que es menos riesgoso que otras monedas. Pero cuando el agente cobra el cheque, todavía tiene que cambiar los dólares por moneda local. No pueden pagar a los trabajadores de los almacenes en dólares. Así, a pesar de que que el precio se estable establece ce en dólares, dólares, te diré que hago un mejor trato trato cuando el dólar está ‘fuerte’ respecto a otras monedas. monedas.””
Ejercicio de base de datos computacional HH Industries Laurel tocó a la puerta de la oficina de Hal. “¿Querías “¿Que rías verm verme?”, e?”, preg preguntó. untó. “Sí, pasa por fav favor, or, Laure Laurel,l, y cierra cierra la puerta puerta”, ”, respon respondió dió Hal, levanta levantando ndo la mirada de la pila de papeles papeles que tenía en su escritorio. “Gracias por venir. Tengo que tomar algunas decisiones que, desafortunadamente no van a causar mucho agrado, y podría necesitar necesitar tu ayuda.” ayuda.” “Seguro que sí”, asintió Laurel. “Me gustaría mucho hahacer lo que pueda. pueda.”” Hal se veía veía muy perturbado perturbado,, y Laurel se preguntó de qué se trataría. “Es acerca de las prestaciones de nuestros empleados”, empezó Hal. “No sé si estás al tanto de cómo se s e han elevado los costos del seguro seguro de salud en los últimos años, pero comienza a ser demasisado caro para nosotros seguir con la misma política para los empleados. Los dueños de algunos negocios pequeños que conozco han dejado de dar a los traba jadores el seguro de salud, pero yo no puedo hacerlo. Siempre he tratado de hacer lo mejor por ellos, pero necesito ayuda para justificar lo que voy a hacer, que podría parecer bastante drástico a la gente a mi cargo. Creo que si cuento con información de las tendencias pasadas y en qué coincide la situación actual, será más fácil convencerlos convencerlos de la necesidad de la medida.” “Déjame ponerte en antecedentes”, continuó. “Hasta hahace unos cuantos años, podíamos esperar un aumento anual de entre el 10 y 12% en los costos de los seguros. Desde hace poco, sin embargo, embargo, el aumento aumento ha sido cercano cercano al 20% 20% cada año, y nuestro agente pronostica que en el futuro inmediato será 30%. La política de la compañía siempre ha sido pagar
Del libro de texto
“El costo de la vida es un factor que influye, el costo del combustible de avión es otro y la tasa de cambio es el tercero. ¿Eso cubre todo?” “Supongo que sí”, respondió Walter. Walter. “Pero con tres factores subiendo y bajando, es difícil negociar con el agente y decirle que creo que su precio es muy alto.” “Creo que hay una una forma de ayudarte”, ayudarte”, ofreció Lee gustosamente. “¿Me puedo tomar la tarde para ir a Denver y platicar con la división internacional de nuestro banco?”
¿Qué solución va a proponer Lee como una forma de evaluar el precio propuesto en el contrato del agente aduanal? ¿Qué información buscará Lee en la división internacional del banco? Preguntas de estudio:
al menos 75% de la prima, y el resto se cubre con deducciones en nómina. La cobertura familiar nos cuesta 2.5 veces más que la individual, individual, de modo que eso se refleja en las deducciones que ven los empleados. Durante mucho tiempo, nos las hemos arreglado para no aumentar la tasa a los empleados, pero fue necesario implantar aumentos anuales desde hace varios años. En el intento de dar a los empleados el me jor acuerdo posible, me temo que las deducciones no han aumentado lo que se requiere. No me importa que la compañía cargue con un poco más del costo, pero no podremos sobrevivir mucho más con este ritmo. Lo que necesito de ti es una idea de lo que sería razonable hacer, hacer, basándonos en la historia de la compañía. ¿Qué piensas?” “Veré “V eré qué puedo hacer”, respondió Laurel. “Creo que puedo generar algunos números índice que reflejen las tendencias pasadas y obtener algunas recomendaciones para ti.” “¡Grandioso! “¡Gran dioso!”, ”, sonrió Hal. “Aquí “Aquí tienes tienes algunas cifras pasadas. Ya sabes, ¡odio verme atrapado entre ser un buen chico y hacer bien los negocios!”
1. Calcule un índice de precios de agregados ponderados para la contribución contribución de los empleados al seguro seguro de salud, utiliz utilizando ando el número de “individuos “individuos”” y de “familiares” cubie cubiertos rtos cada cada año desde 1973 1973 hasta hasta 1993, 1993, como se muestra en los archivos CH16.xxx del CD que acompaña al libro. Use 1973 como año base. Compare éste con un índice del costo total anual en seguros para la compañía de seguros. 2. El costo previsto de la póliza de seguros para 1994 es $270,000, $270,0 00, y hay 20 empleados empleados “individua “individuales” les” y 45 “familiares”, que se deben asegurar. asegurar. Si a Hal no le importa que el cociente del índice de costos totales entre el índice de contribuciones de los empleados suba hasta 1.2, ¿cuáles deberán ser las deducciones individuales y familiares para 1994?
diante su uso como la herramienta primordial de pronósticos económicos del gobierno de Estados Unidos. Aunque en ocasiones señala puntos de cambio que nunca se materializan,
Del libro de texto al mundo real Índice de indicadores económicos principales Para los negocios que experimentan ciclos de prosperidad y depresión depre sión económica, económica, el índice compuesto compuesto de indicadores indicadores económicos principales proporciona un medio para conseguir información respecto a la dirección futura de la economía. Aunque Aunque no es infalible, este número índice proporciona una herramienta que los economistas han usado durante más de 50 años para predecir tendencias futuras. El sistema de indicadores principales, coincidentes y rezagados fue desarrollado originalmente por Arthur F. F. Burns, Wesley C. Mitchell y sus colegas de la Oficina Nacional para la Investigación Económica (NBER, Nation National al Bureau Bureau of Econom Economic ic Research Research) durante la Gran Depresión en Estados Unidos. Actualmente está manejada por el Departamento de Comercio y se actualiza mensualmente. Composición e historia El índice es un promedio ponderado que consiste en 11 componente componentess (tabla MR16-1), MR16-1), cada uno de los cuales, cuales, histór históricame icamente, nte, se adelanta adelanta a los periodos de expansión y declinación económicos generales. Los datos se combinan para formar un índice que mide el cambio del valor respecto al valor de 100 del año base (1982). El índice tiende a pronosticar movimientos de la economía general y se usó por primera vez para determinar cuándo saldría s aldría Estados Unidos de la depresión que se presentó en la década de los años 30 del siglo pasado. Desde 1923 hasta 1969, 1969, el NBER predijo siete contracciones económicas importantes. El análisis de los indicadores principales durante este periodo muestra que, en promedio, promedio, el 75% de los indicador indicadores es empiezan empiezan a declinar antes del pico del ciclo económico. Periódicamente, el índice se prueba y recalibra para asegurar su precisión continua. Por ejemplo, ejemplo, en 1975, se modificó para que reflejara la influencia de la desenfrenada inflación en los precios, que empezaba a distorsionar sus pronósticos. Beneficios y limitaciones La importancia del índice de los principales indicadores económicos se ha demostrado me-
diante su uso como la herramienta primordial de pronósticos económicos del gobierno de Estados Unidos. Aunque en ocasiones señala puntos de cambio que nunca se materializan, por lo general ha tenido éxito en indicar los que sí han ocurrido. Una regla empírica entre los economistas señala que tres meses sucesivos de declinación en el índice es aviso de una inminente recesión. recesión. A veces, el índice puede malinterpretarse en cuanto a que los indicadores pueden mostrar fluctuaciones aleatorias debidas a eventos tales como huelgas o condiciones climatológicas extremas. Los retrasos con que llegan los reportes crean otra deficiencia en el índice. Independientemente de la frecuencia de los informes, los datos se reportan con retraso y están sujetos a revisión semanas, meses o años más tarde. El índice es solamente una herramienta que proporciona información cuyo carácter es más cualitativo que cuantitativo. Un análisis de los factores económicos subyacentes utilizando el índice de indicadores económicos princi principales pales,, en conjunción conjunción con otros dispositivos dispositivos de pronóstico, beneficia al sector financiero financiero al proporcionarle un panorama amplio de la actividad económica que puede convertirse en datos efectivos para la toma de decisiones políticas y estratégicas.
Tab abla la MR1 MR166-11
Comp Co mpon onen ente tess del del índi índice ce ind indic icad ador or pri princ ncip ipal al
• Horas semanales promedio promedio de producción o de trabajadores trabajadores no supervisados,, manufactura. supervisados • Solicitudes iniciales semanales promedio promedio de seguro de desempleo, desempleo, programas estatales. • Pedidos nuevos de fabricantes fabricantes en dólares de 1982, industrias de bienes de consumo y de materiales. • Índice de precios de acciones, acciones, 500 acciones comunes. comunes. • Contratos y órdenes para para plantas y equipo en dólares dólares de 1982. • Índice de nuevas unidades unidades de urbanización privadas privadas autorizadas con permisos de construcción locales. • Desempeño de vendedores, vendedores, índice de difusión de entregas entregas lentas. • Índice de expectativas expectativas de los consumidores. consumidores. • Cambios en los pedidos no cumplidos por los fabricantes, fabricantes, en dólares de 1982, industrias de bienes duraderos. • Cambio en el precio de materiales materiales sensibles. sensibles. • Suministro de dinero M2 en en dólares de 1982.
Repaso del capítulo ●
Términos introducidos en el capítulo 16
Índice de agregados no ponderados Utiliza todos los valores considerados y asigna igual importancia a cada uno de ellos. Índice de agregados ponderados Utiliza todos los valores considerados y asigna ponderaciones a estos valores.
Índice de precios al consumidor Los gobiernos de los países preparan este índice que mide los cambios en los precios de un conjunto representativo de productos de consumo.
Índice de cantidad Medida de cuánto cambia el número o cantidad de una variable con el tiempo. Índice de precios Compara niveles de precios de un periodo a otro.
método de Paasche utiliza como ponderaciones las cantidades consumidas durante el periodo actual.
Método de promedio no ponderado de relativos Para
Índice de precios al consumidor Los gobiernos de los países preparan este índice que mide los cambios en los precios de un conjunto representativo de productos de consumo.
método de Paasche utiliza como ponderaciones las cantidades consumidas durante el periodo actual.
Índice de producción industrial Preparado mensualmente por el Feder Federal al Reserve Reserve Board, Board, de Estados Estados Unidos, Unidos, mide la la cantidad de producción en las áreas de manufactura, minería y servicios públicos.
Método de promedio no ponderado de relativos Para construir un número número índice, este método encuentra encuentra el cociente del precio actual entre el precio base para cada producto, suma los porcentajes relativos resultantes y divide el resultado entre el número de productos.
Método de agregados con peso fijo Para ponderar un índice de agregados, agregados, este método utiliza como ponderaciones ponderaciones las cantidades consumidas durante algún periodo representativo.
Método de promedio ponderado de relativos Para construir un número índice, este método pondera el valor de de cada elemento del compuesto según su importancia.
Método de Laspeyres Para ponderar un índice de agregados, este método utiliza como ponderaciones ponderaciones las cantidades consumidas durante el periodo base.
Número índice Cociente que mide cuánto cambia una variable con el tiempo.
Método de Paasche Al ponderar un índice de agregados, agregados, el ●
Porcentaje relativo Cociente de un valor actual entre un valor base cuyo resultado se multiplica por 100.
Ecuaciones introducidas en el capítulo 16 ■
16-1
Índice de cantidad de agregados no ponderados
ϭ
⌺Q ᎏ ϫ 100 ⌺Q i
0
■
■
■
16-2
16-3
16-4
Para calcular un índice de agregados agregados no ponderados, divida la suma de las cantidades actuales de los elementos del índice entre la suma de las cantidades en el año base y multiplique el resultado por 100. ⌺P Q Índice de precios de agregados ponderados ϭ ϫ 100 ⌺P0Q i
ᎏ
Para calcular un índice de de precios de agregados agregados ponderados que utiliza cantidades cantidades como pesos, obtenga la suma ponderada de los precios del año actual, actual, multiplicando cada precio del índice índice por su cantidad asociada y sumando los resultados. Luego divida esta suma ponderada entre la suma ponderada de los precios del año base y multiplique el resultado por 100. ⌺P Q0 Índice de Laspeyres ϭ ϫ 100 ⌺P0Q0 i
ᎏ
El índice de precios de Laspeyres es un índice de precios de agregados ponderados que utiliza las cantidades del periodo base como ponderaciones. ⌺P Q Índice de Paasche ϭ ϫ 100 ⌺P0Q i
i
ᎏ i
■
16-5
Para obtener el índice de Paasche, calculamos un índice de precios de agregados agregados ponderados utilizando las cantidades del año actual como pesos. ⌺P Q2 Índice de precios de agregados con peso fijo ϭ ϫ 100 ⌺P0Q2 i
ᎏ
16-6
El índice de precios de agregados con peso fijo es un índice de agregados ponderados cuyos pesos son las cantidades de un periodo representativo, representativo, no necesariamente el año base o el actual. P ∑ ᎏPᎏ ϫ 100 0 Índice de precios de promedio no ponderado de relativos ϭ n
16-7
Calculamos un índice de precios de promedio no ponderado de relativos multiplicando los cocientes de los precios actuales entre los del periodo base por 100; luego se suman los resultados y se dividen entre el número de elementos utilizados en el índice. P ∑ ᎏPᎏ ϫ 100 (P Q ) 0 Índice de precios de promedio ponderado de relativos ϭ ⌺P Q
ᎏᎏ i
■
΄ ᎏ΅ ᎏᎏᎏ ᎏᎏ i
n
■
n
n
n
Con este índice ponderamos los precios relativos con los valores de un periodo de referencia fijo y dividimos la suma ponderada de precios relativos entre la suma de las ponderaciones. Si utilizamos los valores del año base como pesos, pesos, obtenemos: P ∑ ᎏPᎏ ϫ 100 (P0Q0) 0 ⌺P0Q0
΄ ΅ ᎏᎏᎏ ᎏᎏ ᎏ i
■
16-8
que es igual al índice de precios de Laspeyres. ■
16-9
Índice de cantidad de promedio ponderado de relativos ϭ
Qi ∑ ᎏQᎏ ϫ 100 (QnPn) 0 ⌺QnPn
΄ ΅ ᎏᎏᎏ
En este índice de cantidad ponderamos las cantidades relativas relativas con los valores de un periodo de referencia fijo y dividimos la suma ponderada entre la suma de los pesos. ●
Ejercicios de repaso ■
16-43
La Kamischika Motorcycles comenzó a producir tres modelos de motonetas en 1993. Para los tres años de 1993 a 1995, las ventas fueron las siguientes: siguientes: Precio anual promedio Precio 1993 1994 1995
Modelo I II III
■
■
■
16-44
16-45
16-46
$139 169 199
$155 189 205
Unidades ve vendidas ( 10,000) 1993 1994 1995
$149 189 219
3.7 2.3 1.6
4.1 4.6 2.1
7.6 8.1 3.4
a) Calcule el el índice de precios de promedio ponderado ponderado de relativos relativos utilizando los precios precios y las las cantidades de 1995 como bases bases y pesos, respectiv respectivamente. amente. b) Calcule el el índice de de precios de promedio ponderado de relativo relativoss utilizando los valores totales en dólares para cada año como pesos y 1995 como periodo base. Los datos siguientes indican el valor (en millones de dólares) de los principales productos exportados por un país en desarrollo. Determine índices de valores de agregados no ponderados para los años 1993 y 1995, con base base en 1991. 1991. Mercancía
1991
1993
1995
Café Azúcar Cobre Zinc
$834 96 241 142
$1,436 118 258 125
$1,321 122 269 106
En una investigación investigación sobre la producción estadounidense de carbón carbón en un periodo de 4 años, se recopiló la siguiente información. Use el valor de la producción de 1992 para ponderar y este mismo año como año base, calcule el índice de cantidad de promedio promedio ponderado de relativos relativos para cada uno de los 4 años.
Tipo de carbón
Producció n (mill Producción (millones ones de toneladas) 1989 1990 1991
Antracita Bituminoso
7.4 595
6.8 580
7.1 601
1992 77..2 625
Valor (millon (millones es de dólares) 1992 90 5,050
Una investigación realizada por la Asociación Nacional de Lácteos produjo la siguiente información. Construya un índice de Laspeyres con 1991 como periodo base.
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16-47
■
16-48
■
16-49
Producto
Precio promedio por unidad 1991 1995
Queso (lb) Leche (galón) Mantequilla (lb)
$1.45 1.60 0.70
1992
1993
1994
1995
Pantalones Chamarras Camisas
$13.00 19.00 12.00
$13.00 19.50 11.00
$15.00 22.00 12.00
$15.00 24.00 13.00
Calcule un índice de promedio no ponderado ponderado de relativos para cada año, con 1992 como periodo base. ¿Qué problema se presentaría al comparar índices de precios que describen las ventas de computadoras durante las últimas décadas? El vicepresidente de ventas de la Compañía Nacional de Suministros a Hospitales llevó a cabo una investigación sobre los gastos de viaje que tuvieron algunos vendedores. Los datos que siguen, referentes a gastos en taxis y el precio pagado pagado por milla, fueron de especial interés: interés: Gasstos en Ga en ga gasolina 1991 1992 1993 $704 635 752 503 593
Deportivo Excursionismo Campo traviesa De carreras
16-51
$ 985 875 1,023 696 781
Preecio pr Pr promedio po por mi milla 1991
$1,391 1,306 1,523 1,106 1,215
0.52 0.55 0.59 0.56 0.55
Calcule un índice de promedio no ponderado de relativos relativos para cada año, utilizando 1993 como periodo base. La información siguiente describe las ventas unitarias de un almacén de bicicletas durante 3 años: Modelo
■
2.6 47.6 3.1
Producto
A B C D E
16-50
$1.49 1.61 0.80
Robert Barry, Barry, Ltd., una empresa empresa consultora, examinó las tendencias de precios de la ropa para un cliente. La tabla que sigue contiene los resultados de la investigación (en precios unitarios):
Vendedor
■
Cantidad total (miles de millones) 1991
Número vendido 1993 1994 1995 45 64 28 21
48 67 35 16
56 71 27 28
Precio 1993 $ 89 104 138 245
Calcule índices de cantidad de promedio ponderado ponderado de relativos, utilizando los precios y las cantidades de 1993 para ponderar ponderar los valores, valores, con 1993 como año año base. El promedio industrial Dow Jones (DJIA, Dow Jones Industrial Average Average) es un número de índice muy utilizado como un buen indicador para la descripción de la fortaleza global de los precios en la Bolsa de Valores de Nueva York. York. Está basado en la suma de los precios de acciones individuales de las acciones comunes de 30 compañías grandes que se negocian en la bolsa. Esta suma se ajusta para que tome en cuenta divisiones y cambios en las compañías cuyas acciones conforman el índice. a) Dos de las accion acciones es del índice índice corresp corresponden onden a Coca-Cola, Coca-Cola, que negoció negoció un un precio precio aproximad aproximadoo de $44 por acción a finales finales de julio de 1993, y a la Westinghouse, Westinghouse, que negociaba a $17 $17 por acción. ¿Qué información ignora el DJIA al sumar simplemente los precios de las acciones? ¿Un aumento del 10% en las acciones de la Westinghouse Westinghouse tiene el mismo efecto que un aumento igual en el precio de las acciones de Coca-Cola? b) El rendimient rendimientoo total anual anual de los valores valores comunes comunes estadou estadouniden nidenses ses ha sido cerca cerca del 11%, 11%, tomad tomadoo como un promedio promedio en periodos largos. largos. Pero los corredores corredores de bolsa, a veces, escogen puntos bajos bajos del mercado (elegidos con cierta percepción retrospectiva) para expresar las ganancias en el tiempo. Al final de 1992, el DJIA estaba en 3301. Calcule un número índice para ver ver cómo se han comportado comportado los valores recientemente, recientemente, con base el mercado más más bajo después de la caída de octubre de 1987, 1987, cuan-
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16-53
16-54 16-55
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16-57
do el DJIA llegó a 1739 puntos. Compárelo con un número índice basado en el punto alto de agosto de 1987, cuando el DJIA DJIA alcanzó 2722 puntos. Pen Jenkins maneja una maderera y tiene información de 3 años sobre los costos: Costos
1991
1993
1995
Salarios Madera Gastos generales
$24,378 1,816 638
$36,421 2,019 681
$37,613 2,136 701
Construya un índice de agregados no ponderados para los costos de producción en 1991 y 1995 usando 1993 como año base. Una agencia de protección al consumidor de Ohio ha inves investigado tigado los cambios de precio de una compañía empacadora de carne. La siguiente tabla contiene los precios anuales promedio por libra para a una muestra de productos de la empresa. Construya un índice de precios de promedio no ponderado de relativos utilizando los precios de 1993 como base. Productos
1993
1994
1995
Sirloin Paletilla Bolonia Hot dogs Costilla
$1.69 0.91 1.45 0.99 2.39
$1.81 1.15 1.58 1.03 2.61
$1.85 1.24 1.53 1.01 2.56
¿Por qué debe ser precavido al escoger un periodo base? Tameka Robinson, agente de compras, ha recopilado la siguiente información información de precios. Utilizando 1992 como periodo base, calcule el índice de precios de agregados agregados no ponderados ponderados para 1993, 1994 y 1995. Material
1992
1993
1994
1995
Aluminio Acero Tubería de latón Cable de cobre
$0.96 1.48 0.21 0.06
$0.99 1.54 0.25 0.08
$1.03 1.55 0.26 0.07
$1.06 1.59 0.31 0.09
Una investigación investigación del Departamento de Agricultura de Estados Unidos sobre la producción de granos en áreas específicas específicas del país, produjo la siguiente información: información:
Producto
1991
Trigo Maíz Avena Centeno Cebada Frijol de soya
610 390 100 10 160 130
Cantidades producidas (millones de bushels) 1992 1993 1994 620 390 90 20 150 140
640 410 120 10 120 160
630 440 130 10 190 120
1995
Precio por bushel 1991
650 440 150 20 180 130
$ 4.40 3.60 1.20 24.00 2.10 5.60
Utilizando los precios de 1991 como pesos, calcule el índice de cantidades cantidades de agregados ponderados ponderados para cada año. John Pringle, un comerciante internacional internacional de minerales, minerales, recolectó la siguiente siguiente información sobre precios y cantidades de minerales exportados por un país africano durante 1994 y 1995. Calcule un índice de Paasche para 1995 utilizando 1994 como periodo base.
Producto
Cantidad (millones de toneladas) 1995
Cobre Plomo Zinc
38.1 53.5 86.4
Precio (por libra) 1994 1995 $0.59 0.17 0.21
$0.63 0.16 0.23
■
16-58
Un fabricante europeo de automóviles recolectó la siguiente información de la venta de carros de un fabricante estadounidenses: Precio Prec io an anua uall pr prom omed edio io (m (mil iles es)) 1991 1993 1995
Tamaño Subcompacto Compacto Sedán
■
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16-59
16-60
16-61
Global Comida Vivienda
$62 76 90
$68 78 98
$ 70 80 106
Unidad Unid ades es ve vend ndid idas as (m (mil iles es)) 1991 1993 1995 32 45 462
65 68 325
86 73 386
a) Calcule Calcule los índices índices de precios de promedi promedioo ponderado ponderado de relativ relativos os utilizando utilizando los precios precios y las canticantidades de 1993 como bases y pesos. b) Calcule los índices de precios de de promedio ponderado de relativos utilizando los valores valores totales en dólares para cada año como pesos y el año 1993 como periodo base. Silvia Jensen, analista de costos de una empresa empresa grande de aparatos electrodomésticos, electrodomésticos, ha recopilado datos sobre precios de cuatro productos de la compañía. Las cifras (en precios unitarios) para el periodo de 1993 a 1996 se muestran en la tabla. Productos
1993
1994
1995
1996
Lavadora de platos Lavadora de ropa Secadora Refrigerador
$219 362 229 562
$241 385 241 580
$272 397 261 598
$306 413 275 625
Use el año 1993 1993 como periodo base, exprese los precios precios de 1994, 1995 y 1996 1996 en términos de un índice de agregados no ponderados. El director de presupuesto de una universidad de Nueva Nueva Inglaterra desea mantener un registro del presupuesto que cada departamento de ingeniería requiere para reclutar nuevos estudiantes graduados. Recibió los datos siguientes de cuatro departamentos. Departamento
1994
Gastos totales 1995
Mecánica Química Biomédica Eléctrica
$3,642 3,888 4,251 3,764
$3,891 4,052 4,537 4,305
1996 $4,253 4,425 4,724 4,297
Calcule un índice de promedio no ponderado ponderado de relativos para cada año, use 1994 como periodo base. El Departamento de Estadística de la Agencia de Coordinación y Administración del gobierno japonés calcula índices del costo de vida de manera muy parecida a la Oficina de Estadística Laboral del Departamento de Comercio de Estados Unidos. Considere su índice global del costo de vida y los índices más específicos para comida y vivienda: 1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
81.7 82.2 74.9
85.6 86.5 78.2
88.0 88.1 81.0
89.6 89.9 83.5
91.7 92.5 85.4
93.5 94.1 87.6
94.1 94.3 89.8
94.2 93.4 92.3
94.9 94.1 94.2
97.0 96.1 97.0
1990 100.0 100.0 100.0
1991 103.3 104.8 103.1
Fuente: Statistics Bureau, Management and Coordination Agency, Japón, 1991.
■
16-62
■
16-63
a) ¿Qu ¿Quéé año año se eli eligió gió com comoo año año base? base? b) Vuelv uelvaa a calcular calcular los índices índices utilizand utilizandoo 1980 como como año base. base. c) ¿Qué aumen aumentó tó más, más, el precio precio de de la comida comida o de la vivie vivienda nda entre entre 1980 1980 y 199l? d) Desde el el punto de vista vista del consumi consumidor dor,, ¿tien ¿tienee que ver ver el año año base escogi escogido? do? En 1991, el salario semanal promedio promedio para cierto grupo grupo de jefes de familia familia era $422.60. En 1996, el salario semanal promedio para el mismo grupo grupo fue $521.35. El índice índice de precios al consumidor en 1996, 1996, con 1991 como periodo periodo base, fue de 152. Calcule el salario semanal semanal promedio “real” para este grupo en 1996. 1996. Se realizó una investigación nacional sobre compras para estudiar los hábitos de compra semanal promedio de una familia típica en 1992 y 1996. Los datos obtenidos son los siguientes:
1992 Precio un unitario Cantidad
Productos Queso (8 onzas) Pan (1 barra) Huevos (1 docena) Leche (1 galón) ■
16-64
16-65
4.6 4.9 4.7
Greenville Hampton Middletown
16-68
1996
73 101 163 183
76 129 189 210
112 163 271 303
107 162 268 298
6.7 6.2 5.7
44..0 1.8 1.2
Precio por tonela ladda 1994
5.2 1.2 1.8
$2,680 2,270 3,430
$0.17 0.13 0.09
Número total de llamados (en millones) 1991
$0.19 0.16 0.12
5.2 8.7 10.3
Construya un índice de precios de Laspeyres, Laspeyres, utilizando 1991 como periodo base. La compañía de transporte Reliable Reliable Bus proporciona servicio servicio a la ciudad en donde opera y, y, además, vende autobuses a las ciudades vecinas. La compañía ha recolectado los datos siguientes con el fin de analizar sus ventas para los años 1992, 1994 y 1996.
Ciudad
■
1995
Tarifa por llamada (por minuto) 1991 1996
Día (8 a.m. a 5 p.m.) Tarde (5 p.m. a 11 p.m.) Noche (11 p.m. a 8 a.m.)
16-67
1994
Calcule el índice de cantidad de agregados ponderados ponderados para cada año con los precios de 1994 como pesos y ese mismo año como periodo base. Andrea Graham, Graham, analista de presupuesto presupuesto de una compañía de teléfonos de larga distancia, distancia, recolectó datos de tarifas y volumen de ventas de las llamadas de Nueva York a Boston. Los datos para cada uno de los tres horarios son:
Horario
■
1 3 1 2
1993
Cantidad exportada (en mi milllo lonnes de tonela laddas) 1992 1993 1994 1995
Trigo Semilla de forraje Frijol de soya
16-66
$2.09 1.09 1.35 2.39
Calcule el índice de cantidad de promedio no ponderado de relativos para cada año con 1996 como periodo base. Francis Hill, presidente de una compañía compañía consultora de comercializació comercializaciónn agrícola, ha obtenido la siguiente información sobre exportaciones de grano (precios y ventas) por parte de Estados Unidos.
Producto
■
2 3 2 2
Calcule un índice de Paasche Paasche para 1996, utilizando 1992 como periodo base. Snow Mountain tiene boletos de acceso acceso con distintos precios, incluyendo algunos con descuento para para personas que tienen propiedades en el área, área, esquiadores discapacitados discapacitados y esquiadores en tabla. Los números promedio de boletos vendidos por día son los siguientes: Propietarios Tabla Discapacitados Precio normal
■
$1.19 0.79 0.84 1.36
1996 Precio un unitario Cantidad
Precio de venta promedio por camión 1992 1994 1996 $21,206 17,129 25,723
$24,210 19,722 28,657
$26,235 22,109 32,481
Número de camiones vendidos 1994 17 14 21
Construya un índice de Laspeyres con 1994 como periodo base. Un restaurante local de comida rápida desea examinar cómo cambian las ventas de cada uno de sus cuatro platillos más populares. Los datos para 1993 a 1996 se presentan a continuación:
Platillo Hamburguesa Emparedado de pollo Papas fritas Aros de cebolla
■
16-69
■
16-70
1993
Precio unitario 1994 1995
1996
Cantidad vendida (millones) 1993 1994 1995 1996
$0.58 1.89 0.84 0.91
$0.62 2.09 0.89 0.99
$0.79 2.25 0.99 1.19
2.1 1.5 2.9 3.1
$0.69 2.18 0.99 1.14
2.5 1.2 2.7 2.4
2.0 1.8 2.3 2.0
1.8 2.1 2.4 1.6
Calcule un índice de agregados de peso fijo para cada año, utilizando los precios de 1990 como base y los de 1993 como los pesos fijos. Use los datos del ejercicio 16-68 para calcular un índice de Paasche para cada año con 1995 como periodo base. Para comparar la calidad de las licencituras licencituras en las universidades, universidades, el U.S. News & World World Report Re port elabora un número índice basado en las calificaciones calificaciones ponderadas de factores como calificaciones calificaciones en exámenes, clasificación en bachillerato de los estudiantes admitidos y tasas de graduación reportadas por cada escuela. Pero algunas escuelas entregan datos datos incompletos o engañosos, ya que excluyen de los promedios promedios algunos estudiantes admitidos en programas preferenciales. Para la guía de escuelas en 1995 ( 1995 College Guide) el personal de la revista decidió no incluir los datos de las calificaciones de exámenes exámenes que pensaron que estaban incompletos, incompletos, y en su lugar duplicaron la ponderación de la clasificación en la generación. Se asignó a las escuelas que se rehusaron a llenar la forma el menor número de puntos posible para cada factor factor.. Los datos faltantes o incompletos son un problema común para los administradores. Analice las ventajas y desventajas de los dos enfoques (duplicar otro factor y asignar calificaciones bajas a algunas escuelas). ¿Qué otro procedimiento pudo usarse? Fuente: G. Putka, “U.S. News Addresses Flaws in College Guide”, The Wall Street Journal (7 de septiembre de 1995): B1.
16-71
La siguiente tabla proporciona el número de automóviles producido en la primera mitad de 1994 y 1995 por todas las compañías que operan plantas en Estados Unidos. Observe que BMW no operó en 1994 y que Nummi es un proyecto común de Toyota y GM que produce el Toyota Corolla y el Chevrolet Prizm en la misma línea de producción. Compañía GM Ford Chrysler BMW Honda Nissan Nummi Toyota Mazda Mitsubishi Subaru-Isuzu Total de la industria
1995, seis meses
1994, seis meses
1,351,471 819,088 316,821 4,866 286,122 184,284 119,572 199,840 85,345 114,752 00039,579 000 39,579 3,521,740
1,518,162 864,029 290,899 — 250,641 174,804 114,589 140,090 125,923 75,352 0000 14,098 00 3,568,587
a) Elabore Elabore un índice índice para la producción producción de cada cada compañía compañía para los primeros primeros seis meses meses de 1995 basado basado en los primeros seis meses de 1994. b) Elabore un índice de toda la industria para la producción de 1995 con 1994 como base. Compare este índice con el promedio sencillo de los índices de las compañías individuales para 1995 y con un promedio ponderado de índices relativos obtenidos con los pesos de cada elemento y la producción de 1994 de esa empresa. Fuente: “U.S. Auto Auto Makers Makers Trimming Overtime, Overtime, Idling Certain Plants,” Plants,” The Wall Street Journal (21 Julio de 1995): A4.
