UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA ELECTRÓNICA Y SISTEMAS
ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
CURSO: Ecuacione Di!e"encia#e
PRESENTADO POR: A$"i%n &ai#'n Ma(ani (ac)aca *i#a" oncco )ua(an Do"ian c)a+ua Ii$"o ,e"ne- Va"+a #i.a""a+a
DOCENTE FORMADOR Lic/ Pa"ico0o Ri1a Pe$"o GRUPO: 234 PUNO 5 PER6 789:
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS A PROBLEMAS CON CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Coni$e"an$o a ni1e# +ene"a# un ci"cui0o en e"ie ;ue con0iene una Fue".a E#ec0"o(o0"i.
in$ucci'n - ca?aci0ancia> e a?#ica"an conce?0o $e Ecuacione Di!e"encia#e ?a"a (o$e#a"#o - "eo#1e"#o/ En e0e en0i$o> $e&en e?eci!ica"e a#+una cue0ione "e#aciona$a con $ic)o ci"cui0o e#@c0"ico: Una FEM <&a0e"a> +ene"a$o"> e0c= ?"o$uce un !#uBo $e co""ien0e en un ci"cui0o ce""a$o - a u 1e. e0a co""ien0e ?"o$uce una ca$a $e 0eni'n o $e 1o#0aBe a 0"a1@ $e ca$a uno $e #o e#e(en0o ?"een0e en e# ci"cui0o: "ei0encia> in$uc0o"e - ca?aci0o"e/ La i+uien0e #e-e a?#ican ?a"a #a ca$a $e 0eni'n en ca$a uno $e #o e#e(en0o (enciona$o: La ca$a $e 0eni'n en ca$a uno $e #o e#e(en0o $e "ei0encia e e0a&#ece co(o: E R= Ri, donde R es laresistencia e ies laintensidad de la corriente
La ca$a $e 0eni'n en un e#e(en0o $e in$ucci'n 1iene $a$a ?o": E L= L
di , donde L eslainductancia e dt
ies laintesidad dela corriente
La ca$a $e 0eni'n en un e#e(en0o $e con$ena$o" e: 1
EC = q , dondeC es la capacitancia y C q la cargaeléctrica instantánea en el condensador. Esta expresióntambién se puede escribir como : EC =
dq idt . Debido a que i = ( La varaición de la cargarespe ∫ C dt
1
Se $e&e 0ene" en cuen0a ;ue #a uni$a$e $e (e$i$a ;ue e (aneBan on #a i+uien0e: MAGNITUD
SÍMBOLO
UNIDAD
FEM> TENSIÓN CORRIENTE
E i
Vo#0io A(?e"io
CARGA ; RESISTENCIA R INDUCCIÓN L CAPACITANCIA C Ta(&i@n $e&en coni$e"a"e #a i+uien0e #e- $e i"c))o!!:
Cou#o(&io O)(io ,en"-o Fa"a$io
La u(a a#+e&"aica $e#a ca$a $e 0eni'n> a #o #a"+o $e un ci"cui0o ce""a$o en un en0i$o e?ec!ico e ce"o/ Co(o #a ca$a $e 0eni'n en e#e(en0o $e in$uc0ancia> "ei0encia ca?aci0ancia> 0ienen i+no con0"a"io a #a 0enione ?"o$uci$a ?o" #a FEM> #a #e- (enciona$a ?ue$e e0a&#ece"e 0a(&i@n co(o: La u(a $e #a ca$a $e 0eni'n en #o e#e(en0o $e in$uc0ancia> "ei0encia - ca?aci0ancia> e i+ua# a #a FEM 0o0a# en e# ci"cui0o ce""a$o/ E# i+uien0e $ia+"a(a "e?"een0a $e (ane"a +ene"a# e# ci"cui0o en cue0i'n:
RESISTENCIA
CONDENSADOR
FEM
INDUCTOR
Si e a?#ica #a #e- $e i"c))o!!> en u e+un$o enuncia$o> e o&0iene #a i+uien0e ecuaci'n $i!e"encia#: L
di 1 + Ri + q = E dt C
A)o"a> co(o i - ; <#a 1a"ia&#e $e?en$ien0e= e0%n "e#aciona$a (e$ian0e: i=
dq dt
La ecuaci'n o&0eni$a ?o" #e- $e i"c))o!! e con1ie"0e en: 2
L
d q dq 1 R + + q = E 2 dt C dt Ó 2
L
d i 2
dt
+ R
di 1 dE + i = dt C dt
ue on ecuacione $i!e"encia#e #inea#e $e e+un$o o"$en en 0@"(ino $e #a 1a"ia&#e $e?en$ien0e ; e i "e?ec0i1a(en0e/ A ;ue$a (o$e#a$o e# ci"cui0o en e"ie - ?o" coni+uien0e ?ue$e a?#ica"e $ic)o (o$e#o ?a"a o#uciona" ?"o&#e(a co(o #o i+uien0e:
EERCICIO 9 ,a##a" #a in0eni$a$ $e co""ien0e ;ue ci"cu#a ?o" un ci"cui0o RL i(?u#a$a ?o" #a !ue".a e#ec0"o(o0"i.
−2 r
V =V 0 e
R o)(io>
cos2 t
cuan$o L 8/ )en"io
V 0 988 1o#0io> i 8 ?a"a 0 8
SOLUCION De acue"$o a #a e+un$a #e- $e Huc)o!!> #a co""ien0e en e# ci"cui0o e +o&e"na$a ?o" #a ecuaci'n Ri + L
V 0
=
L di R + i =¿ di L
Ree(?#a.an$o #o 1a#o"e nu(@"ico
En0once
- "ee(?#a.a(o V
di =V dt
−2 t
V 0 e
co 70
co 70 − 2t
e
R om = 12.5 L enrios -
V 0 L
= 250
voltios enrios
di + 12.5 i =250 e−2 t co 70 - #a o#uci'n $e e0a ecuaci'n e : dt
[∫ e
− 12.5 t
i=e
−12.5t
−2 t
250 e
cos2 dt + c
]
Sien$o C una con0an0e $e in0e+"aci'n e!ec0uan$o #a in0e+"a# e 0iene:
[
−2t
i =1.66 e
]
[ 10.5cos 2 !t +2 ! sen 2 !t ] + C
i =e−12.5 t 250 e10.5 t
[(10.5 ) +( 2 ! ) ] 2
2
−12.5 t
10.5cos2 !t + 2 ! sen 2 !t + ce
Uan$o a)o"a #a con$icione inicia#e $e ;ue ?a"a 0 8 > i 8 > en0once : C J9K/ Po" 0an0o:
−2 t
i=1.66 [ 10.5cos 2 !t + 2 ! sen 2 !t ] e
−17.43 e−12.5 t
EERCICIO 7 Se in0"o$uce una !/e/(/ en un ci"cui0o ;ue con0iene una "ei0encia $e 98 o)( - un con$ena$o" no ca"+a$o cu-a ca?aci$a$ e $e ca"+a en e# con$ena$o" cuan$o:
!a"a$io/ Encon0"a" #a co""ien0e - #a
0 8/89 e+/
a= Si V 988 1o#0io
−4
5 x 10
&= Si V 988 en 978 0 1o#0
SOLUCION
La ecuaci'n ?a"a e# ci"cui0o e o&0iene $e #a e+un$a Le- $e i"c)o!!/
Ri +
q =V c
dq 1 + q =V dt RC
dq
<e ua i = dt =
Y #a o#uci'n $e e0a ecuaci'n $i!e"encia# e: 1
[
1
; e RC ∫
e
RC
V
R
dt + c
]
Sien$o C 0 una con0an0e $e in0e+"aci'n 1
a= Si V 988 1o#0io con0an0e> en0once en <9= e in0e+"a$o/
q =VC + C 0 e
RC
- uan$o #a
C 0 > #ue+o:
con$ici'n inicia# $e ;ue ?a"a 0 8> ; 8> e )a##a
[ −e ] 1
; VC
RC
1
//
<7= −1
- #a co""ien0e e#@c0"ica i e $a$o ?o":
dq V i = = e RC dt R
<= "ee(?#a.an$o 1a#o"e nu(@"ico en <7= - <= ?a"a 0 8/889 e+/ e encuen0"a:
; 8/8 cou#/ i 9/ a(?
&= Si V 988en78 ! 0 1o#0/ en0once "ee(?#a.a(o en <9= e in0e+"a$o - a #a 1e. "ee(?#a.a(o #o 1a#o"e nu(@"ico a#1o> 0 e 0iene: − 200 t
q =0.0022 (5 sen 120 !t −30 !cos 120 !t ) + C 0 e
Se )a##a C 0 =0.0207 > $e (o$o ;ue:
− 200 t ; 8/8877< en 978 ! 0= 8/878K e
- uan$o #a con$ici'n 0 8 J ; 8
i=
dq = 0.83 ( 5cos120 ! t + 3 ! sen 120 !t )− 4.14 e−200t dt
- ?a"a 0 8/89 e+/ e 0iene: ; 8/899 cou#/ i JQ/ a(?e"io/ E# i+no (eno en i in$ica ;ue e# en0i$o $e #a co""ien0e en e# ci"cui0o e con0"a"io a# cao
EERCICIO L
Su?on+a(o ;ue e# ci"cui0o $e #a !i+u"a #a in$uc0ancia> #a !e( - #a co""ien0e inicia#/ ,a##e una !'"(u#a ?a"a #a co""ien0e en cua#;uie" 0ie(?o 0 - ca#cu#e #a co""ien0e $e?u@ $e un e+un$o/ a=
R=10 " L= 1 # E =12 v $ ( 0)= 0 %
&=
R= 8 " L=1 # E=6 v $ ( 0 )= 1 %
c=
R=50 " L= 2 # E =100 v $ ( 0 )=0 %
$=
R=10 " L=5 # E=10 &en ( t ) v $ ( 0 )=1 %
e=
R=10 " L=10 # E= e v 1 ( 0 )= 0 %
R
t
SOLUCION En #a !i+u"a:
La ecuaci'n $i!e"encia# $e un ci"cui0o RL en e"ie e: L
dt dt R ' + R$ = E ⟹ + $ = dt dt L L
La ecuaci'n $i!e"encia# an0e"io" e #inea# o 1a"ia&#e e?a"a&#e> i $ =e
R L
[∫ ( ) ]
∫ dt
R L
[( )∫
∫ dt ' − Rt / L ' e dt + C =e L L
R L
]
e dt + C
' e con0an0e:
− Rt / L
$ =e
[( )( ) ] [ Rt
E L
]
Rt
L L ' ' − R/ L ' − Rt / L − Rt / l e + C = e e L + C = + C e ⟹ $ = + C e R R R R
Pa"a #o $a0o $a$o: a=
R=10 " L=1 # E =12 v $ ( 0 ) =0 % ⟹ $ =
12 10
Ce
−10 t
Con #a con$icione $a$a: 0 =1,2+ C ⟹ C =−1,2
&=
−10 t De $on$e: $ =1,2 [ 1 −e ]
R= 8 " L=1 # E=6 v $ ( 0 )=1 % ⟹ $ =
6 8
+ C e−8 t
Con #a con$icione $a$a: 0
1=0,75 +C e
c=
⟹
−8 t De $on$e: $ =0,75 + 0,25 e
C =0,25
R=50 " L=2 # E =100 v $ ( 0 )=0 % ⟹ $ =
⟹ $ = 2+ C e
−25 t
100 50
+ C e−50t / 2
0
⟹ 0 =2+ C e ⟹ C =−2
−25 t De $on$e: $ =2 ⌊ 1− e ⌋
$=
R=10 " L= 5 # E=10 &en ( t ) v $ ( 0 )=1 %
Pue0o ;ue ' $e?en$e $e# 0ie(?o> 0ene(o: − 10t
$ =e
5
− 2t
$ =e
[
∫e
10 5
{+[ 2e
(
∫ dt 10 &en ( t ) 5
) + ]= dt C
2 t
4 1
2 &en ( t ) −cos ( t )
}
] +C
− 2t
e
∫e
⌊2
2 t
&en (t ) dt + C ⌋
Con #a con$icione $a$a: 0=
{
}
2
2 2 &en ( 0 ) ] + C ⟹ C = [ 5 5
e=
4
2
5
5
2 − 2t 5
$ = &en ( t )− cos ( t ) + e
De $on$e:
t
R=10 " L= 10 # E= e v 1 ( 0 )= 0 %
Pue0o ;ue ' $e?en$e $e# 0ie(?o> 0ene(o:
[∫ ( ) ] [ 10
− 10t / 10
$ =e
$ =
e
t
20
e
10
∫ dt et
10
1
− t
dt + C =e
10
] [
∫ e e dt +C =e t t
−t
1 10
∫e
2 t
] [ −t
dt + C =e
e
2t
20
]
+ C
+ C e−t
Con #a con$icione $a$a 0=
1 20
RPTA:
+ C
⟹
$ =
e
C =
20
De $on$e:
− t
t
20
−1
−
e
20
EERCICIO Ue #a "ei0encia> #a ca?aci0ancia> #a !e( - #a ca"+a inicia# $a$a ?a"a e# ci"cui0o RC $e #a !i+u"a &/ ,a##e una e?"ei'n ?a"a #a ca"+a en cua#;uie" 0ie(?o 0/ a=
R=1 " C = 1 ( E = 12 v q ( 0 )=0 C
&=
R=10 " C =0,001 ( E=10cos ( 60 t ) v q ( 0 ) =0 C
c=
R=1 "C =0.01 ( E= &en ( 60 t ) v q ( 0 )=1 C
$=
R=100 " C =10 ( E =100 q ( 0)= 1 C
−4
e=
−5
R=200 " C =5 ) 10 ( E =1000 v q ( 0 )=1 C
SOLUCION En #a !i+u"a:
R
C
La ecuacion $i!e"encia# $e un ci"cui0o RC en e"ie e: R
dq q dq q ' + =' ⟹ + = dt C dt RC R
La ecuacion $i!e"encia# an0e"io" e #inea# o 1a"ia&#e e?a"a&#e> i −∫ dt
q =e
q =e
a=
RC
−t RC
[∫ ( ) ] (
( 'C e
t RC
t RC
∫e
)
dt + *
)
+ *
R=1 " C = 1 ( E = 12 v q ( 0 )=0 C −t
qe
( 12 et + * ) ⟹ q ( 0 )=0 C ⟹ 12 + * =0 ⟹ * =−12
− t
q =e
&=
−t dt ∫ RC ' RC ' e dt + C =e R R
( 12 et −12 ) ⟹ q=12 ( 1− e−t )
R=10 "C =0,001 ( E=10cos ( 60 t ) v q ( 0 ) =0 C −∫ dt
q =e
RC
[∫ ( ) ] dt ∫ RC ' e dt + C R
' e con0an0e:
−∫ dt
q =e
0,01
− 100 t
q =e
q =e
− 100t
q =e
− 100 t
{∫ [
[∫ e
100 t
{ {
] }
dt ∫ 0,01 10cos ( 60 t ) e dt + C
e 100
e
100 t
680
]
cos ( 60 t ) dt + C
100 t
2
10
+ 60 2
[100 cos ( 60 t ) + 60 &en ( 60 t )+ * ]
[ 5cos ( 60 t )+ 3 &en ( 60 t ) + * ]
}
}
Pa"a
t =0 q =0
−1 5cos ( 0 ) +3 &en ( 0 ) ] + * =0 ⟹ * = [ 680 136 1
De $on$e: q=
c=
−100t
e [ 5cos ( 60 t ) + 3 &en ( 60 t ) ] − 680 136 1
R=1 "C =0.01 ( E= &en ( 60 t ) v q ( 0 )=1 C −∫ dt
q =e
RC
[∫ ( ) ]
dt −∫ dt ∫ RC ' e dt + C =e 0,1 R
− 10t
[∫ e
− 10t
[
q =e
q =e
− 10t
q =e
10 t
[
e
[∫
]
dt ∫ 0,1 e &en ( 60 t ) dt + C
]
&en ( 60 t ) dt + C
10 t
100 + 3600
]
[ 10 &en ( 60 t ) −60cos (60 t ) ]+C
]
&en ( 60 t )−3cos ( 60 t ) [ &en ( 60 t ) −3cos ( 60 t ) ] + C = + C e− 370 370
e
10 t
10 t
q ( 0 )=1 C ⟹ 1 =
q=
$=
−3 370
+ C ⟹ C =
&en ( 60 t ) −3cos ( 60 t ) + 373 e
373 370
− 10 t
370
R=100 "C =0.0001 ( E=100 q ( 0 )=1 C −∫ dt
q =e
RC
− 100 t
q =e
[∫ ( ) ]
dt −∫ dt ∫ RC ' e dt + C =e 0,01 R
[∫ e
100 t
−100 t
q =1 + C e
[∫
]
dt ∫ 0,01 ( 100 ) dt + C e
(100 ) dt + C ]= e−100 t ( e100 t + C )
⟹ q ( 0 )=1 C ⟹ 1 + C ⟹ C =0
Lue+o: q =1 e=
−5
R=200 "C =5 ) 10 ( E =1000 v q ( 0 )=1 C −∫ dt
q =e
RC
− 100 t
q =e
[∫ ( ) ]
dt −∫ dt ∫ RC ' e dt + C =e 0,01 R
[∫ e
− 100 t
q =10 + C e
]
100 t
+ C (1000 ) dt + C ]=e−100 t ¿
10 e
100 t
[∫
dt ∫ 0,01 ( 1000 ) dt + C e
⟹
q ( 0 )=1 C ⟹ 10 + C =1 ⟹ C =−9
−100 t Lue+o: q =1−9 e
EERCICIO Se conec0a en e"ie una in$uc0ancia $e 9 ,en"- - una "ei0encia $e 7 > con una &a0e"a $e eJ8>88890 1o#0> inicia#(en0e no !#u-e nin+una co""ien0e Cuan$o ##e+a"a #a co""ien0e a 8> a(?e"io
So#uci'n La ecuaci'n $i!e"encia# $e un ci"cui0o LR en e"ie e:
−0,0001t
d$ d$ L + $R = + 21=6 e dt dt
La ecuaci'n $i!e"encia# an0e"io" e #inea# o 1a"ia&#e e?a"a&#e i ε e con0an0e
− R dt
$ =e
−dt
$ =e
[ e ( 6 e− R dt
(6 e
1,999t
) dt + c ]= e− Rt ( 6 e dt −
0,0001 t
(
− dt dt + + ) =e
6e
1,999t
1,999
0,0001 t
dt + + )
)
+ +
Pa"a 0 8 I o I >89 eJ8>88890 eJ$0 8 >89 H >89 I >89 88890 5 eJ=
RESPUESTA:
0 99>WK Se+un$o
EERCICIO 1
Una "ei0encia 1a"ia&#e R= t + 5 " - una ca?aci0ancia $e 98JQ Fa"a$> e conec0a en e"ie con una !/e/(/ $e 988 Vo#0 Cu%# e #a ca"+a $e# con$ena$o" $e?u@ $e un (inu0o i ;<8= 8 So#uci'n La ecuaci'n $i!e"encia $e un ci"cui0o RC en e"ie e: R
dq q dq q 1 + −8 =100 + =& dt c t + & dt 6 x
dq 50000 ( t + & ) q + =100 ( t + & ) dt 3
La ecuaci'n $i!e"encia# an0e"io" e #inea#: q=
−50000 ( t + & ) dt 3
5000 (t + &)
q=
3
5000 (t + &)
q=
3
[ 4
+e
25000 ( t + &)
[
3
(100 ) 25000
3
4
( t + & ) dt +c
3
100 e
50000 ( t + & ) dt
50000 ( t + & )
e
3
4
]
]
+ c = 3 + ce 250
Pue0o ;ue ; <8= 8 q=
3 250
50000 ( t + &)
+ ce
3
4
0=
3 250
( 100 ) ( t + & ) dt + c
+c c=
−3 250
−50000 ( t +& ) 3
RESPUESTA: q=
3 250
[−
−50000 ( t +& ) 3
1 e
]
EERCICIO K La !i+u"a i+uien0e (ue0"a un ci"cui0o ;ue con0iene una !ue".a e#ec0"o(o0"i. $e V 1o#0 un ca?aci0o" con ca?aci0ancia $e C !a"a$io $on$e Q e #a ca"+a en cou#o(& < C =/ La #e$e i"c))o!! e0a&#ece: C
V
RI ( t ) +
Q C
R
= V ( t )
?e"o I<0=dQ/dt > a 0ene(o ;ue: R
dQ dt
+
1 C
Q = V ( t )
Su?on+a ;ue #a "ei0encia e $e X> #a ca?aci0ancia $e 8/F> #a &a0e"a u(ini0"a un 1o#0aBe con0an0e $e 8V - ;ue #a ca"+a inicia# e $e <8=8C/ De0e"(ine #a ca"+a - #a co""ien0e en e# 0ie(?o 0/ Coni$e"e a)o"a ;ue: R7 X> C8/889F> <8=8 - V<0=98en80J De0e"(ine #a ca"+a - #a co""ien0e en e# 0ie(?o 0/ R
2
dQ dt dQ
dt dQ dt
+ +
Q C Q
= E ( t )
0.01
= 10 sen 60t
+ 50Q = 5 sen 60t
∫ 50dx = 50 x ye = ∫ 5 sen te dt ∫ 5 sen 60te dt = uv − ∫ vdu 50t
50 t
50 t
v=
u = e 50t
=
− e 50t cos 60t
=
− e 50t cos 60t
= =
12 12 72 77 72
72
+
72
=
5e
= 50 t
+ +
50 720 5 72
50
50e 720 ∫
e 50t sen 60t −
e 50t sen 60t −
5
50e 72 ∫
50 t
50t
sen 60tdt
sen 60tdt
5e 50t sen 60t − 5e 50t cos 60t 72 sen 60t − 5e
50t
5e 50t sen 60t
Qe
cos 60t
50t
cos 60t
72
∫ 5 sen 60te 72 3
c=
60
dv = 5 sen 60tdt
du = 50e 50t dt
5
−5
=
−
5e 50t sen 60t 77
3e 50t cos 60t 61
−
3e 50t cos 60t 61
+c
+ c; Q = 0; t = 0
61
50t
=
Q( t ) =
5e 50t sen 60t 72
5 sen 60t 72
−
−
3e 50t cos 60t
3 cos 60t 61
61
+
3e −
+
3 61
50t
61
EERCICIO Q Un ci"cui0o con0a $e una in$uc0ancia $e 8/,> una "ei0encia $e 78> un con$ena$o" cu-a ca?aci$a$ e $e 7/(F - una FEM $e 988V/ ,a##a" #a ca"+a - #a co""ien0e a&ien$o ;ue <0=8 ?a"a I<0=8 0.5
d 2 q
d 2 q dt
dt
+ 20
+ 40
dq dt 2
λ
En0once
dq dt
+ 400q = 100
+ 800q = 200
+ 40λ + 800 = 0
$e $on$e
qh = e−20t ( c1 cos 20t + c2 cos 20t )
q = qn + qp
En0once
λ =
qp = 1/ 4
-
−20 ± 20i
con o#uci'n +ene"a#:
I = dq = e −20t ( − 20c1 sen 20t + 20c2 cos 20t ) − 20e −20t ( c1 cos 20t + c2 sen 20t )
= Con #a con$icione $a$a 0ene(o q=
1 4
−1 4
[e− ( − cos 20 − sen 20t ) + 1] I = 10e− 20 t
> ?o" #o 0an0o 20 t
sen 20t
EERCICIO W Un ci"cui0o con0a $e una in$uc0ancia $e 8/7,> una "ei0encia $e - un con$ena$o" $e 98(F/ ,a##a" #a ca"+a <0= - #a co""ien0e I<0= en e# 0ie(?o 0> i en 08 e 0iene <0=8/C e I<0=J9A/
Lq11 + Rq1 +
q C
=0
q11 + 20q1 + 500q = 0
> en0once λ =
I =
−10 ± 20i dq dt
$e $on$e
= λ 2 + 20λ + 500 = 0
q = e−10t ( c1 cos 20t + c2 sen 20t )
= e −10t ( − 20c1 sen 20t + 20c2 cos 20) − 10e−10t ( c1 cos 20t + c2 sen 20t )
Si(?#i!ica$o: I = e −10t [ ( 20c2 − 10c1 ) cos 20t + ( − 20c1 − 10c2 ) sen 20t ]
Pa"a #a con$icione inicia#e $a$a 08> ;8/> IJ9>
c1 = 0.5
c2 =
-
I = e −10t ( − 12 sen 20t − cos 20t )
A(&a !uncione on 0"ani0o"ia/
1 5
EERCICIO 98 ,a##a" #a co""ien0e ;ue ci"cu#a en un ci"cui0o e"ie RLC > a&ien$o ;ue R 978 Ω> L 98 ,> C 98J F i #a !ue".a e#ec0"o(o0"i. 1iene $a$a ?o" E - i #a i′(0) = − 201 in0eni$a$ cu(?#e #a con$icione i <8= 8> / ,a##a" ai(i(o #a co""ien0e en e0a$o e0aciona"io/
SOLUCIÓN
La in0eni$a$ e #a $e"i1a$a $e #a ca"+a e#@c0"ica ?a"a un ci"cui0o RLC :
Q/
Gen@"ica(en0e e ?ue$e ec"i&i"
en nuestro probl ema
∂ Q ∂Q 1 + Q = E (t ) L 2 + R ∂t C ∂t 2
↓
⇒
∂ 2Q ∂Q + 1000Q = 17 sen 2t 10 2 + 120 ∂t ∂t
É0a e una 0?ica ecuaci'n $e 7 o"$en a coe!icien0e con0an0e/ ,a##a(o ?"i(e"o #a o#uci'n +ene"a# $e# ?"o&#e(a )o(o+@neo - #ue+o #e u(a(o una o#uci'n ?a"0icu#a" $e# ?"o&#e(a no )o(o+@neo/ Pa"a #o ?"i(e"o ?#an0ea(o:
λ =
− 120 ± 120 2 − 4 ⋅ 10 ⋅ 1000 20
= −6 ± 8i ⇒ Qc = C 1e −6t cos 8t + C 2 e − 6t sen 8t
Pa"a #a o#uci'n ?a"0icu#a" $e# ?"o&#e(a no )o(o+@neo> ?o$e(o ua" una !unci'n $e ?"ue&a: Q* = A sen 2t + B cos 2t Q*′ = 2 A cos 2t − 2 B sen 2t Q*′′ = −4 A sen 2t − 4 B cos 2t 10Q *′′ +120Q *′ +1000Q* = −40 A sen 2t − 40 B cos 2t + 240 A cos 2t − 240 B sen 2t + en este problema
+ 1000 A sen 2t + 1000 B cos 2t = (960 A − 240 B ) sen 2t + ( 240 A + 960 B ) cos 2t 960 A − 240 B = 17 A = 601 1 = 17 sen 2t ⇒ ⇒ ⇒ Q* = 601 sen 2t − 240 cos 2t 1 B = − 240 240 A + 960 B = 0
↓
=
De (o$o ;ue #a o#uci'n +ene"a# $e# ?"o&#e(a no )o(o+@neo e:
−6 t −6t Q = Qc + Q* = C 1e cos 8t + C 2 e sen 8t +
1 60
sen 2t −
1 240
cos 2t
In0"o$ucien$o #a con$icione inicia#e e:
Q ′ = C 1 (−6e −6t cos 8t − 8e −6t sen 8t ) + C 2 ( −6e −6t sen 8t + 8e −6t cos 8t ) +
⇒ Q′(0) = −6C 1 + 8C 2 + 301 = i(0) = 0 ⇒ 6C 1 − 8C 2 =
1 30
1 cos 2t + 120 sen 2t ⇒
1 30
Si(i#a"(en0e>
Q ′′ = C 1 (36e 48e
− 6t
−6 t
cos 8t + 48e
cos 8t − 48e
− 6 t
−6 t
sen 8t + 48e
cos 8t − 64e
− 6 t
−6 t
sen 8t − 64e
sen 8t ) − 151 sen 2t +
−6 t
1 60
cos 8t ) + C 2 (36e
−6 t
sen 8t −
cos 2t ⇒
⇒ Q ′′(0) = −18C 1 − 96C 2 + 601 = i ′(0) = − 201 ⇒ 18C 1 + 96C 2 = 151
Reunien$o #o $o Z#0i(o "eu#0a$o> ?o$e(o ec"i&i":
1 C 2 = − 3600 6C 1 − 8C 2 = 301 ⇒⇒ 1 7 + = 18 C 96 C C 1 = 1350 2 15 1
De (o$o ;ue #a co""ien0e ;ue ci"cu#a ?o" e# ci"cui0o 1en$"% $a$a ?o":
Q = Qc + Q* =
7 1350
e
−6t
cos 8t +
1 3600
e
−6t
sen 8t +
1 60
sen 2t −
1 240
cos 2t
La co""ien0e en e0a$o e0aciona"io 1en$"% $a$a ?o" #o $o Z#0i(o 0@"(ino $e e0a e?"ei'n/
