ECUACION GENERAL DE FLUJO DE GAS 1. DEDUCCIÓN DEDUCCI ÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL GENERA L DE FLUJO FLUJO DE GAS La ecuación ecuación general de fujo de gas a través través de tubería tubería circular de longitud L y de diámetro D se expresan en unción de la presión para poder integrar esa expresión dierencial, en este entendido consideraremos que a lo largo de la tubería ocurre lo siguiente:
l !lujo es isotérmico, por lo tanto la energía interna no varía "# $ %& xiste una dierencia de nivel por lo tanto la energía potencial varía con la altura, debido al peso de la columna del fuido 'columna (i drostática)& s desp despre reci ciab able le la vari variac ació ión n de ener energí gía a ciné cinétic tica, a, siem siempr pre e que que la long longit itud ud de la tube tubería ría sea su*cientemente grande respecto al diámetro 'L+++++++)& -olo se considera la variación de la energía de presión, la cual es .nica que balancea el trabajo de ricción reali/ado por el gas& 0or otra parte (acer notar que la ecuación general de fujo de gas se puede obtener a partir de la ecuación general de 1ernoulli tomando en cuenta los principios (idrodinámicos, para un fuido que produce actor de ricción& -in embargo de lo anterior, dic(a expresión de fujo de gas también se puede obtener partiendo de la ecuación de uler, así como de la 23 Ley de la 4ermodinámica& 4ermodinámica& n nuestro caso para determinar la ecuación de fujo de gas aplicaremos la ecuación de 1ernoulli , que está dada por la siguiente expresión:
dH +
( ) ()
v 1 dv + dP−h L =0 … … … … … …( 1 ) 2g ρ
0or 0or otra otra parte parte en transp transport orte e de fuidos fuidos se produc produce e la ricció ricción, n, en este este entend entendido ido la ecuaci ecuación ón anteri anterior or se transorma como sigue:
dH +
( ) ()
1 v dv + dP+ F =0 … … … … … … ( 2 ) ρ 2g
5sí mismo el fujo por ser isotérmico y adiabático, la energía cinética producidapor el fuido parcialmente turbulento es mínimo'67897) ra/ón por la cual no se considera tal como mencionamos anteriormente
( ) +( )
v dv ≅ 0 … … … … … … ( 3 ) 2g
ntonces:
dH
1
ρ
dP + F =0 … … … … … … ( 4 )
0ara describir el actor de ricción, la caída de presión y el actor de ricción de !aning, consideremos que el actor actor de ricció ricción n 'rota 'rotamie miento nto entre entre las partíc partícula ulas s del fuido fuido así como como la pared pared interna interna de la tubería tubería)es )es directamente proporcional a: 5l área de la super*cie mojada 5 la densidad del fuido 5l cuadrado de la velocidad 1ajo la consideración anterior está dado por lo siguiente:
( ) ) ( ) 2
v F ∝ ( dL ) π dρ … … … … … …( 5 ) 2g 2
v dw F =f ( ( dL π dρ dL……………… ( 6 ) 2g onde: : !actor de !ricción de aning& aning & : : 4rabajo 4rabajo reali/ado debido al actor de ricción& ividiendo la ecuación ; entre la sección de la tubería circular, la densidad del fuido y la dierencia de la longitud, se tiene la siguiente expresión:
( ) 2
v f ( ( dL ) πdρ dL 2g dw F = … … … … … … ( 7) π 2 d ρdL 4
-impli*cando:
dw F =
2f
2
v dL … … … … … …(8) gd
w F =
2
2f
v L … … … … … … ( 9) gd
=omo > es el trabajo reali/ado debido al actor de ricción, y a su ve/ cumple la siguiente expresión matemática:
∆P … … … … … … ( 10 ) ρ
w F =
∆ P 2 f v L = … … … … … … ( 11 ) ρ gd espejando la variación de la 0resión se tiene:
∆ P=
2f
2
v ρL … … … … … … ( 12 ) gd
onde: "0 'psi) : =aída total de presión en el interior de la tubería& v 't@s) : velocidad del fuido& A 'lb@t6) : ensidad del fuido& L 't) : longitud de la tunería& d 't) : iámetro interno de la tubería 'adimensional) : !actor de ricción de !aning& B 't@sC) : constante gravitacional '6C,2D t@sC)& =abe aclarar que existe una dierencia real entre la caída de presión '"0) y la pérdida de ricción ')& La caída de presión representa una conversión de energía de presión en cualquier otra orma de energía, mientras que la pérdida por ricción ') representa una pérdida neta de energía de trabajo total disponible que caracteri/a al fuido, los dos términos se relacionan entre si tal como se observa en la ecuación 2C& 5sí mismo sobre el actor de ricción está en unción del E.mero de Feynolds y la rugosidad de la tubería, donde esta .ltima variable cambia considerablemente durante la operación de ducto& Feempla/ando la ecuación 9 en la ecuación G:
()
2f
2
v dL dH + dP + = 0 … … … … … … (13 ) ρ gd Hultiplicando por ρ2 a la ecuación 26: 2 2 2 1 2 2 f v dL ρ dH + ρ dP + ρ =0 … … … … … … (14 ) ρ gd 1
()
0ara base:
V =
v 1 1 = = … … … … … … (15 ) m m ρ v ρb=
1
V b
I
Q∙ ρ =Q b ρb … … … … … … (17 ) Feempla/ando 2J y 2; en 2D:
Q
( ) ( ) = ( ) 1
V
=Q b
Q Qb
1
V b
V … … … … … ( 18 ) V b
0or otra parte seg.n la ecuación de la continuidad:
Q Q Q = v ∙ A → v = → v = … … … … … … . ( 19 ) A π 2 d 4
Feempla/ando la ecuación 2? en la ec& 2G:
ρ=
1
( 16 )
V
2
ρ dH + ρ
2
() 1
ρ
dP + ρ
2
( )( ) 2 f
4 Q
gd
πd
2
2
dL=0
2
Q ρ dH + ρdP + ρ 2 5 dL= 0 π g d 2
2
32 f
32 f
( ( ))
2
V ρ dH + ρdP + ρ Q b 5 V b πg d 2
2
dL= 0 … … … … … … … . ( 20 )
-abemos que:
PM … … … … … … … … … … . ( 21) ZRT v 1 1 1 V = = = = … … … … .( 22 ) m m ρ PM v ZRT
ρ=
Feempla/ando las ecuaciones C2 y CC en C% tenemos
( )
((
( )
2
2
32 f PM PM PM dH + dP + Q ZRT ZRT ZRT π 2 g d 5 b
( ( )) ( ( ))
( )
2
2
2
2
Zm R T
H 2
P2
1
∫ dH + Zm T ∫ 2
H 1
P1
dL=0
dL=0
2
32 fR 1 P M P dH + dP + Q b 2 2 2 5 ZT V b Z R T π g Md
Pm M
( )
PM V b∗ ZRT
2
PM PM 32 f 1 dH + dP + 2 5 Q b ZRT ZRT V b π g d 2
)
2
1
dL =0
32 fM
PbQb dP + 2 5 π g d Tb
L
∫ dL=0 0
Fesolviendo la ecuación dierencial: H 2
M 2
zR T M
2
zR T
P2
P
32 fM PbQb
∫ dH + Zm T ∫ dP + π g d 2
H 1
+
2
Tb
5
P1
P 2
P 2
∫
Zm T P
1
32 fM
PbQb dP + 2 5 π g d Tb
(
2
2
L
∫ dL 0
L
∫ dL 0
)
M P P2 P1 32 fM PbQb ( L− 0 ) H 2− H 1) + − + 2 5 2 ( 2 2 zR T Zm T 2 π g d Tb
(
2
2
M P P1 P 2 L = H − H + − ( ) 1 2 2 5 2 2 2 π g d Tb zR T Zm T 2 2 2 5 2 M ( H 1− H 2 ) P 1− P2 Tbπgd Q= + 2 2 16 PbfML ZR T Z T 32 fM PbQb
[
Kperando
]
[
Tb Q =38.744 F Pb
2
2
P1− P2− 0.0375
(
¿ P m ( H − H ) 2
2
Z m T
GELT Z m
onde: b 'pcs@día) fujo de gas a condiciones de base 4b 'F) temperatura base
1
)
)
]
0.5
2.5
d E
0b 'psia) presión base ! actor de transmisión 02'psia) presión de entrada 0C'psia) presión de salida 0m'psia) presión promedio en la línea B gravedad especi*ca del gas M2 't) elevación con reerencia al punto de entrada MC 't) elevación con reerencia al punto de salida Nm actor de compresibilidad del gas 4 'F) temperatura promedio de la línea L'millas) longitud de la línea d 'pulg) diámetro interno de la tubería actor de e*ciencia del ducto
VALOR DE ( E )
CONDICIONES DE LA TUBERIA
2&% %&?J %&?C %&9J
=ompletamente nueva n buenas condiciones n condición promedio n condiciones no avorables
ECUACIÓN GENERAL DEL FLUJO DE GAS
[
Tb Q=38.744 F Pb
2
2
P1− P2− 0.0375
(
2
(
)
¿ P m H 2 − H 1
Z m T
)
GELT Z m
]
0.5
2.5
d E
e la ecuación anterior, se puede despejar dierentes variables, entre ellas las más importantes:
DIÁMETRO INTERNO DE LA TUBERÍA
d=
{
Q
[ )(
Tb 38.744 F ∙ E Pb
2
(
2
P 1− P2−0.0375
¿ Pm ( H − H ) 2
2
1
Z m T
GELT Z m
LONGITUD DEL DUCTO
L=1501.09
(
Tb F Pb
2
2
]} ))
1
2.5
(
2
P1− P2− 0.0375
¿ P m ( H − H ) 2
2
1
Z m T
GET Z m Q
)
0.5
4.5
d E
2
2
PRESIÓN DE ENTRADA
P1=
√ √
1501.09
( )[
(
)]
2 ¿ Pm ( H 2− H 1 ) Tb 2 F P2 + 0.0375 + GET Z m Q2 Pb Z m T 2
( )
2
1501.09
Tb ≥T Z m Q2 Pbf
∙d
2.25
E
PRESIÓN DE SALIDA
P2=
1501.09
( )[
(
)]
2 ¿ P m ( H 2− H 1) Tb 2 F P1− 0.0375 + GET Z m Q2 Pb Z m T 2
( )
2
1501.09
Tb ≥T Z m Q2 Pbf
2.25
∙d
E
La ecuación general de fujo de gas en tuberías, es más conocida cuando se considera que no existen cambios de nivel en el trayecto de l a tubería, y en ese caso, la ecuación general de fujo sería:
[
Tb Q =38.744 F Pb
2
2
P1− P2− 0.0375
(
¿ P m ( H − H ) 2
2
1
Z m T
GELT Z m
)
]
0.5
2.5
d E
onde:
( H − H ) =0 2
1
4omando en cuenta el actor de ricción:
Q =77.54
( )( Tb Pb
2
2
)
P1 − P 2 2.5 d E ( USS ) ¿ T f L Z f
4omando en cuenta el actor de transición:
Q =38.744
( )(
2
2
)
P 1− P2 2.5 Tb F d E ( USS ) Pb ¿ T f L Z
2. VARIABLES IMPORTANTES EN LA ECUACIÓN GENERAL DE FLUJO 2.1. FACTOR DE FRICCIÓN l término O!actor de ricciónP es un parámetro adimensional que depende del n.mero de Feynolds del fujo& n la literatura de ingeniería, podemos encontrar dos dierentes actores de ricción que se mencionan& l actor de ricción de arcy es el más com.n, el otro actor de ricción es conocido como O!actor de ricción !anningP y es muc(as veces preerido por algunos ingenieros& La relación numérica entre el actor de !annig y el actor de arcy es la siguiente:
f f =
f d 4
onde:
f f = f!"#$% d& f%'""'()d& F!))')g f d= f!"#$% d& f%'""'()d& *!%"+ l actor que se usa generalemente es el de arcy, y de denota con la letraOP& ste actor se determina dependiendo el tipo de fujo& 0ara fujo laminar se determina con la siguiente ecuación:
Hientras que para fujo turbulento el actor de ricción se determina en unción del n.mero de Feynolds, el díametro interno de la tubería, y la rugosidad interna que tiene la tubería en estudio& Huc(as relaciones empíricas para el cálculo del actor de ricción ueron deducidas, sin embargo, las más populares son las ecuaciones de =olebrooQ8(ite y 5B5&
2.1.1. ECUACIÓN DE COLEBROOK-WITE La ecuación de =olebrooQ8(ite, es una relación entre el actor de ricción y el n.mero de Feynolds, la rugosidad de la tubería, y el diámetro interno de la tubería& La siguiente ecuación es usada para el cálculo del actor de ricción&
onde:
f =f!"#$% d& f%'""'() *= d',m&#%$')#&%)$ d& -!#b&%/! (¿) ℜ= )1m&%$d& R&+)$-d0
& =%g$0'd!d !b0$-#! (¿)
La siguiente tabla muestra las dierentes rugosidades de dierentes materiales de tuberías:
2.2.
FACTOR DE TRANSMISIÓN
l actor de transmisión O!P es considerado el opuesto del actor de ricción OP& Hientras que el actor de ricción indicas cuán diícil es mover una cierta cantidad de gas por la tubería, el actor de transmisión es una medida directa de cuanto gas puede ser transportado por la tubería& 5 medida que el actor de ricción aumenta, el actor de transición disminuye y, por ende, a menor actor de ricción, mayor fujo de gas (abrá& l actor de transmisión O!P está relacionado con el actor de ricción, de la siguiente manera:
s importante notar que solo existe un actor de transmisión, mientras que en el caso del actor de ricción existen dos&
2.2.1. ECUACIÓN DE COLEBROOK-WITE MODIFICADA =on el actor de transmisión de*nido la ecuación de =olebrooQ8(ite, se modi*ca de la siguiente manera:
La ecuación de =olebrooQ8(ite ue usada por muc(os aRos, sin embargoen 2?J;, ue modi*cada& La modi*cación resulta en un actor de ricción mayor, y como resultado, un valor menor en el caso del actor de transmisión& Bracias a esto, se tiene un valor constante del fujo de gas& La ecuación modi*cada de =olebrooQ8 (ite es la siguiente:
2.2.2. ECUACIÓN DE AGA (AMERICAN GAS ASSOCIATION) n 2?;G y 2?;J, la asociación 5mericana de gas '5B5) publicó como calcular el actor de transmisión para el gas en tuberías para ser usado en la ecuación general del fujo de gas& sto es reerido como el método 5B5 E1826, que consiste en:
onde:
F # = F!"#$% d& #%!)0m'0'()V$) 2!%m!) 0m$$#h 3'3& *f =f!"#$% d& %&0'0#&)"'!d&-! #b&%/!4& d&3&)d& d&- f!"#$% 56
2.2.!. ECUACIÓN DE WE"MOUT La ecuación de eymout( es usada para presiones altas, altos fujos de gas, y diámetros grandes en el sistema& La siguiente ormula calcula directamente el fujo de gas a través de la tubería&
2.2.#. ECUACIÓN DE PANANDLE A la ecuación de 0an(andle 5 ue desarrollada para el uso de gas natural en tuberías, incorporando la e*ciencia para el n.mero de Feynolds en un rango de J a 22 millones& n esta ecuación, la rugosidad de la tubería no es usada&
2.2.$. ECUACIÓN DE PANANDLE B La ecuación de 0an(andle 1, también conocida como la ecuación revisada de 0an(andle, es usada para diámetros grandes de tubería, alta presión en las líneas& n fujo total turbulento, es adecuado usar valores del n.mero de Feynolds de G a G% millones&
