96171973 Introduccion a La Hidraulica

INTRODUCCIÓN A LA HIDRAULICA

De existir magia en este mundo

esta estaría contenida en el agua

BUSTAMANTE PONCE M.

SEGUNDA EDICIÓN COCHABAMBA - BOLIVIA

INTRODUCCIÓN A LA HIDRAULICA Segunda Edición Octubre 2005.

Mauricio Bustamante Ponce, Ing. Ingeniro Civil, Hidraulico – Geotecnico Asistencia Técnica En Ingeniería Municipal S.R.L. Cochabamba, Bolivia

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INTRODUCCION A LA HIDRAULICA

ÍNDICE

ÍNDICE 1. CONCEPTOS GENERALES 1.1. MECÁNICA DE FLUIDOS 1.2. DEFINICIÓN DE FLUIDO 1.3. SISTEMAS DE UNIDADES 1.4. DENSIDAD DE MASA 1.5. PESO ESPECIFICO 1.6. VISCOSIDAD 1.7. COMPRESIBILIDAD 1.8. TENSIÓN SUPERFICIAL 1.9. CAPILARIDAD 1.10. PRESIÓN DE VAPOR EJERCICIOS RESUELTOS 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Página 1 1 1 2 3 3 3 5 7 7 8 10

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS PRESIÓN VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON RESPECTO A SU POSICIÓN PARADOJA DE LA HIDROSTÁTICA MEDICIÓN DE LA PRESIÓN FUERZA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS SUPERFICIE PLANA VERTICAL SUPERFICIE PLANA INCLINADA SUPERFICIE CURVA 2.6. FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD PRINCIPIO DE ARQUIMIDES ESTABILIDAD DE CUEROS SUMERGIDOS ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 2.7. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIÓN CONSTANTE ACELERACIÓN LINEAL CONSTANTE VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE EJERCICIOS RESUELTOS

18 18 20 22 23 26 26 26 28 29 31 31 32 33 35 37 38

3. 3.1.

67 67 67 67 68 69 72 72 74

3.2. 3.3.

CINEMÁTICA DE FLUIDOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES VELOCIDAD PERMANENCIA Y UNIFORMIDAD DE LAS VELOCIDADES CAMPOS DE FLUJO, LÍNEAS DE CORRIENTE, TRAYECTORIAS ECUACIÓN GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL CONTINUIDAD, VELOCIDAD MEDIA Y CAUDAL PLANTEAMIENTO PARA UN TUBO DE CORRIENTE ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD PARA FLUJO BIDIMENSIONAL

i


3.4. 3.5.

ACELERACIONES DEFORMACIÓN, ROTACIONALIDAD Y VORTICIDAD TRASLACIÓN DEFORMACIÓN LINEAL DEFORMACIÓN ANGULAR 3.6. FUNCIÓN DE CORRIENTE 3.7. FLUJO POTENCIAL EJERCICIOS RESUELTOS 4. 4.1.

DINÁMICA DE FLUIDOS DINÁMICA DE LOS FLUIDOS IDEALES INCOMPRESIBLES ECUACIÓN DE EULER PLANTEAMIENTO BIDIMENSIONAL ECUACIÓN DE EULER PARA FLUJO PERMANENTE, ECUACIÓN DE BERNOULLI 4.2. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIA 4.3. FLUJO EN ORIFICIOS ECUACIÓN GENERAL DE LOS ORIFICIOS COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO EN ORIFICIOS DE PARED DELGADA ORIFICIOS CON DESCARGA SUMERGIDA ORIFICIOS DE PARED GRUESA VACIADO DE TANQUES 4.4. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO MÉTODO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 4.5. DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES EFECTO DE LA VISCOSIDAD, ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES FLUJO VISCOSO UNIFORME Y PERMANENTE - Flujo entre placas paralelas - Flujo en tuberías circulares de sección constante EXPERIENCIA DE REYNOLDS TEORÍA DE LA CAPA LIMITE TURBULENCIA DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES, SUPERFICIES LISAS Y RUGOSAS - Superficies lisas - Superficies rugosas PERDIDAS DE ENERGÍA EN FLUJO TURBULENTO - Planteamiento general - Planteamiento para tuberías circulares EJERCICIOS RESUELTOS

ÍNDICE

Página 76 77 77 77 78 80 82 83 95 95 95 98 99 101 105 106 109 109 110 114 115 117 119 121 121 122 123 123 123 127 129 130 132 132 136 137 137 138 142 ii


5. 5.1.

FLUJO EN TUBERÍAS RESISTENCIA AL FLUJO EN TUBERÍAS CIRCULARES TUBERÍAS CIRCULARES FACTOR DE FRICCIÓN FORMULA DE HAZEN-WILLIANS FORMULA DE MANNING PERDIDAS LOCALIZADAS a) Formula general b) Entradas c) Expansión d) Contracción e) Cambios de dirección f) Válvulas g) Bifurcaciones 5.2. FLUJO PERMANENTE ECUACIONES BÁSICAS TIPOS DE PROBLEMAS 5.3. TUBERÍAS SIMPLES 5.4. TUBERÍAS MÚLTIPLES 5.5. PLANTEAMIENTO GENERAL PARA REDES SISTEMA ∆Q SISTEMA H SISTEMA Q MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE REDES - Método de Cross - Método de Newton-Raphson EJERCICIOS RESUELTOS

ÍNDICE

Página 164 164 164 165 167 169 170 170 171 171 173 173 175 176 179 179 183 184 187 189 190 191 191 192 192 192 194

iii


CONCEPTOS GENERALES

1 CONCEPTOS GENERALES 1.

MECÁNICA DE FLUIDOS

La mecánica de fluidos es la ciencia en la cual los principios de la mecánica general se emplean en el estudio del comportamiento de los fluidos, tanto líquidos como gases, en lo referente a la estática, cinemática y dinámica. El análisis del comportamiento de los fluidos se basa en las leyes fundamentales de la mecánica aplicada, las cuales relacionan la conservación de la masa, energía y cantidad de movimiento. La hidromecánica es la rama de la mecánica de fluidos que estudia las leyes de equilibrio y movimiento de fluidos incompresibles, especialmente los líquidos. Cuando las leyes y principios de la hidromecánica se aplican al estudio del flujo de agua en estructuras que interesan directamente al ingeniero civil, surge la disciplina conocida como hidromecánica técnica o hidráulica. 2.

DEFINICIÓN DE FLUIDO

De acuerdo con el aspecto físico que se tiene en la naturaleza, la materia se puede clasificar en tres estados: sólido, líquido y gaseoso, de los cuales los dos últimos se conocen como fluidos. A diferencia de los sólidos, por su constitución molecular, los fluidos pueden cambiar continuamente la posición relativa de sus moléculas, sin ofrecer gran resistencia al desplazamiento entre ellas, aun cuando éste sea muy grande o muy pequeño. La definición anterior implica que si el fluido se encuentra en reposo en su interior no pueden existir fuerzas tangenciales a superficie alguna, cualquiera que sea su orientación y que dichas fuerzas se presentan sólo cuando el fluido está en movimiento. Por el contrario, un sólido en reposo sí admite fuerzas tangenciales a las superficies (en igualdad de condiciones), las cuales producen desplazamientos relativos entre sus partículas con una magnitud perfectamente definida. El análisis riguroso del comportamiento de los fluido debe considerar la acción individual de las moléculas; sin embargo, en las aplicaciones propias de la ingeniería el centro de interés reside sobre las condiciones medias de velocidad, presión, temperatura, densidad, etc., de ahí que en lugar de estudiar por separado la conglomeración real de moléculas, se supone que el flujo es un medio continuo, es decir, una distribución continua de materia sin espacios vacíos. 3.

SISTEMAS DE UNIDADES

Todo problema relacionado con el movimiento de los fluidos puede ser definido en términos de: longitud (L), tiempo (T), y fuerza (F) o bien de longitud, tiempo y masa (M). La equivalencia entre ambos sistemas viene establecida por la ecuación de Newton, que dimensionalmente puede expresarse:

1


d

F=

CONCEPTOS GENERALES

ML T2

;

d

M=

F T2 L

(1)

Donde la letra d sobre el signo igual, significa igualdad dimensional. Se puede decir en función de lo mencionado previamente que 1 N es la fuerza requerida para acelerar 1 kg masa a 1 m/s2, dado que la relación entre pes|o (W) y masa (M) viene dado por la ecuación de Newton:

W=Mg

(2)

Donde la variable g es la aceleración de la gravedad. De esto resulta que un Newton es equivalente a un kgf dividido por la aceleración de gravedad, o sea, 1 N es aproximadamente igual a 0.1019 kgf o 1 kgf es 9.807 N. De la misma manera se aplica a cualquier sistema de unidades, que uno use, por ejemplo el sistema ingles, o el sistema técnico de unidades. Lo importante es que no se mezcle unidades de un sistema a otro, todo el sistema debe ser consecuente. En la Tabla 1.1 se presenta las unidades para tres sistemas diferentes. Tabla 1.1 Símbolos y unidades usuales.

4.

Concepto

Símbolo

Longitud Tiempo Velocidad Aceleración Masa Fuerza Presión Trabajo

L T V A M, m F P T

Sistema de medición Ingles Pulgada, Plg Segundo, s Plg/s Plg/s Slug Libra, lbf lbf/plg2 lbf plg

Internacional Metro, m Segundo, s m/s m/s2 Kilogramo, kg Newton, N Pascal, Pa Nm

Técnico Metro, m Segundo, s m/s m/s2 kg s-2/m Kilogramo, kg Kg/m2 Kg m

DENSIDAD DE MASA

La densidad de una sustancia es la cantidad de materia contenido en una unidad de volumen de la misma. La densidad de masa en un punto es determinada por consideración de la masa ∂m de un volumen pequeño ∂V alrededor de un punto. Para preservar el concepto de fluido como continuo, decimos que el ∂V no es más pequeño que 3x, donde x es una dimensión lineal la cual es mas grande comparada con la distancia entre las moléculas. La densidad: ρ=

M V

(3)

Para agua a 4° C ρ = 1000 Kg/m3. Para aire a 20° C y presión estándar ρ = 1.2 Kg/m3.

2


5.

CONCEPTOS GENERALES

PESO ESPECÍFICO

El peso específico es el peso de una sustancia por unidad de volumen de la misma. Donde el peso de la sustancia esta influenciada por la fuerza gravitacional. γ=

W V

(4)

Donde W es el peso del fluido de volumen V. Existe una relación entre el peso específico y la densidad, esta puede ser deducida desde la segunda ley de newton, esta relación es: γ=ρg (5) 6.

DENSIDAD RELATIVA

La densidad relativa ó gravedad especifica, es el índice entre los pesos específicos o densidades de una sustancia cualquiera con el agua. El peso especifico y la densidad del agua debe ser a 4° C de temperatura. La ecuación aplicada para determinar este parámetro se presenta a continuación: Dr = 7.

ρ sust γ = sust ρ agua γ agua

(6)

VISCOSIDAD

La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la interacción y cohesión de sus moléculas. Los fluidos en reposo no ofrecen resistencia a los esfuerzos de corte, si estos esfuerzos actúan directamente sobre el fluido. Pero si el fluido esta en contacto con una superficie rígida y a esta se le induce una fuerza que hace que la superficie se mueva con una velocidad, entonces el fluido también se moverá a las misma velocidad que esta superficie. Se tiene dos placas paralelas, una estática y la otra móvil, separadas una distancia dy. Cuando a la placa superior móvil, no se le aplica ninguna fuerza la sección AB se mantiene inalterado, pero al inducirle una fuerza dF, se producirá una velocidad en dirección v, por lo que las partículas de fluido en contacto con la placa móvil adquieren la velocidad de la placa y las partículas en contacto con la placa fija se mantienen con velocidad cero. Ver esquema de la figura 1.1. Se producirá un gradiente de velocidades, que en el caso de un fluido real tendrá una forma parabólica y en caso de un fluido ideal tendrá una distribución lineal. El esfuerzo de corte que se produce entre las partículas es proporcional a la pendiente de la recta del segundo caso: τ∝

dv dy

(7)

Donde dv/dy es el gradiente de velocidades del sistema que mencionamos con anterioridad o la pendiente de la recta. Para hacer que esta relación de proporcionalidad sea una igualdad, se incluye un coeficiente: τ=µ

dv dy

(8)

Donde µ se conoce como el coeficiente de viscosidad dinámica de un fluido.

3


CONCEPTOS GENERALES

y dv dF B

B'

Caso Ideal dy

Caso real v

A Fig. 1.1. Fluido entre placas paralelas.

Si experimentalmente se midiera la velocidad de deformación y el esfuerzo de corte, se obtiene una recta que pasa por el origen, a la pendiente de esta recta se le llama viscosidad dinámica. Este coeficiente es función del tipo de fluido. Mientras el fluido es más viscoso la placa superior tendrá un movimiento más lento. La relación presentada para la viscosidad dinámica en la ecuación 8 se denomina ley de la viscosidad de Newton. Los fluidos que cumplan con esta ley, se los denomina fluidos newtonianos y los que no la cumplan se los denomina fluidos no-newtonianos. Las unidades de la viscosidad dinámica son: N s/m2 o Lb s/Pie2. Se denomina viscosidad cinemática (ν) a la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido. ν=

µ ρ

(9)

Las unidades de la viscosidad cinemática son: m2/s o pie2/s. 8.

COMPRESIBILIDAD

La compresibilidad de un fluido es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad) cuando se somete a diversas presiones. Cuando un volumen V de un líquido de densidad ρ y presión p se somete a compresión por efecto de una fuerza F, como se muestra en la figura 1.2 la masa total del fluido ρV permanece constante, es decir: d (ρ V ) = ρ dV + V dρ = 0

(10)

Ordenando se obtiene la siguiente expresión: −

V ρ = dV dρ

(11)

Al multiplicar ambos miembros por el diferencial de presión (dp), se obtiene:

4


CONCEPTOS GENERALES

EV = −

dp dV V

=+

dp dρ ρ

(12)

La variable EV se conoce como módulo de elasticidad volumétrico y es análogo al módulo de la elasticidad lineal empleado para caracterizar la elasticidad de los sólidos.

Fig. 1.2. Esquema de fluido comprimido.

El módulo de elasticidad volumétrico se define como el cambio de presión divido al cambio asociado en el volumen o densidad, por unidad de volumen o densidad respectivamente, siendo una medida directa de la compresibilidad del fluido. Sus dimensiones son las de esfuerzo F/L2. El signo negativo de la ecuación indica una relación inversa entre el volumen del fluido y la presión aplicada a este, es decir, a un aumento de la presión disminuye en el volumen. El módulo de elasticidad volumétrico del agua varía principalmente con la temperatura, como se muestra en la Figura 1.3 donde el valor de las condiciones estándar es 2.09 × 108 Kg m 2 es decir, aproximadamente 100 veces más compresible que el acero.

Fig. 1.3. Módulo de elasticidad volumétrico del agua en función a la temperatura.

Es común designar la compresibilidad como el recíproco del módulo de elasticidad volumétrico:

β=

1 EV

(13)

5


9.

CONCEPTOS GENERALES

TENSIÓN SUPERFICIAL

Una molécula sumergida dentro un fluido, es atraída en todas las direcciones por moléculas que se encuentran a su alrededor y ejercen sobre ella una fuerza cohesiva. Cuando las moléculas están por debajo la superficie del líquido, estas ejercerán fuerzas en todas las direcciones haciendo que estas fuerzas alcancen un equilibrio. Pero las moléculas que se encuentran justamente en la superficie del fluido tendrán un desbalance entre las fuerzas cohesivas, como se muestra en la figura 1.4. Esto provocara una tensión en la superficie entre las componentes horizontales de estas fuerzas. Esta tensión es conocida como tensión superficial.

Fig. 1.4. Esquema de fuerzas en puntos de un fluido dentro y en la superficie del mismo.

El caso de la gota de agua:

Fi FT

Fig. 1.5. Esquema de fuerzas en media gota de agua.

Fuerza debido a la presión interna se determina mediante la siguiente expresión: Fi = p π r 2

(14)

Y la fuerza debido a la tensión superficial se presenta en la siguiente ecuación: FT = 2 π r σ

(15)

Para lograr el equilibrio entre ambas fuerzas estas deben ser iguales: Fi = FT

pπr = 2πrσ 2

(16) (17)

Despejando P se obtiene la siguiente ecuación: p=

2σ r

(18)

Donde la variable p es la presión al interior de la burbuja, σ es la componente de tensión superficial y r el radio de la gota. 6


CONCEPTOS GENERALES

10. CAPILARIDAD

Si sumergimos un pequeño tubo dentro de un fluido, el líquido se elevara dentro del tubo, es decir que las fuerzas de cohesión que existe entre las partículas del líquido con las del tubo son más grandes que las fuerzas de atracción entre las partículas del líquido solamente. Por otro lado, cuando las fuerzas de atracción son más fuertes que las de cohesión, Ej. Mercurio, la columna de líquido descenderá. A este fenómeno se denomina efecto capilar, este es un efecto causado por la tensión superficial. Las fuerzas de cohesión son aquellas que existen entre dos partículas de naturaleza diferente, y las fuerzas de atracción son las que existen entre dos partículas de la misma naturaleza.

Fig. 1.5 Esquema de ascenso capilar en un conducto delgado

De la figura 1.5 el peso del líquido que asciende en el tubo es igual a: WLiq = γ V WLiq

π D2 = ρg H 4

(19)

La tensión superficial que produce el ascenso es igual a la componente de tensión que produce ascenso por el perímetro del tubo, es decir: FTS = σ cosα π D

(20)

La única fuerza que se opone al ascenso es el peso propio del bloque líquido de altura H ecuación 19. Para el sistema este en equilibrio el peso del bloque de líquido que asciende debe ser igual a la fuerza debido a la tensión superficial: π D2 H 4 4 σ cosα H= ρgD

σ cosα π D = ρ g

(21)

Donde la variable H es la altura la que sube el fluido dentro del tubo capilar. 11. PRESIÓN DE VAPOR

Para ciertas condiciones de temperatura y presión, los líquidos se vaporizan; es decir, cambian de estado, convirtiéndose en gases. La presión de vapor (Pv) se define como aquella presión, para una temperatura dada, en la cual un líquido se vaporiza.

7


CONCEPTOS GENERALES

En el estudio de la mecánica de los líquidos, la presión de vapor es de especial importancia, pues el líquido se vaporizaría si llegara a alcanzarse, perdiendo así, no solo la continuidad de la materia, sino ocasionado el llamado fenómeno de cavitación. En la tabla 1.2 se presenta los valores de algunas propiedades de los fluidos para distintos líquidos entre ellos la presión de vapor. El fenómeno de cavitación se produce cuando el fluido alcanza la presión de vapor, el fluido se convierte en gas o cambia se estado formando burbujas de gas, esta se mueven de zonas de presiones bajas a zonas de presiones altas e implocionan, provocando ondas de expiación perjudiciales a las estructuras. Tabla 1.2. Propiedades físicas aproximadas de algunos líquidos a presión atmosférica

Liquido

Temperatura Densidad °C

Benceno CCL4 Alcohol etílico Gasolina Petróleo crudo Glicerina Mercurio Agua

kg/m3 876.2 1567.4

Densidad relativa 0.88 1.59

Tensión superficial N/m 0.029 0.026

Presión de vapor (abs.) kPa 10 13.1

kg/m2 1.019 1.336

20 20

788.6 680.3

0.79 0.68

0.022 ---

5.86 55.2

598 5625

20 20 20 20 15.6 0 5 10 20 40 60

855.6 257.6 13555 999.8 1000 999.7 998.2 992.2 983.2 971.8 958.4

0.86 1.26 13.57 1 1 1 0.998 0.992 0.983 0.972 0.956

0.03 0.063 0.51 0.076 0.075 0.074 0.073 0.07 0.066 0.063 0.059

--1.4x10-5 1.7x10-4 0.61 0.87 1.23 2.34 7.38 19.92 47.34 101.33

--1.43x10-3 1.73x10-2 62.2 87.7 125.4 235.6 752.5 2031.3 4827.3 10332.7

8


CONCEPTOS GENERALES

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Para la distribución de velocidad parabólica, generada por el movimiento de una placa sobre un fluido de viscosidad µ, encontrar el esfuerzo de corte τ sobre la placa móvil. y Vo A d

O

Se considera a la distribución de velocidades como una parábola con vértice en A, por lo tanto tomando como ejes coordenados el origen en O tendremos sus coordenadas O(0,0) y de A (vo,d). Aplicando la ecuación general de una parábola: v = a y2 + b Para O (0,0): b = 0. Para A (vo, d):

vo = a d2 v a = o2 d

Por lo tanto la ecuación de la parábola es: v=

vo 2 y d2

Derivando la velocidad en función de y: v dv = 2 o2 y dy d Reemplazando en la ecuación de Newton (ecuación 8): v τ = µ 2 o2 y d El esfuerzo de corte máximo se dará cuando la variable y sea igual a d, distancia máxima entre placas: v τ = µ 2 o2 d d v τ = 2µ o d

9


CONCEPTOS GENERALES

2. Se tiene dos recipientes A y B colocados sobre los platillos de una balanza. Cuando están vacíos la balanza esta en equilibrio. Al llenar el recipiente A de un líquido hasta una altura de 20 cm, la balanza indica 930 g peso; para volver a equilibrarla es necesario llenar el recipiente B con otro liquido hasta una altura de 20 cm. ¿Cuáles son los pesos específicos de los líquidos? 15 cm.

8 cm.

5 cm. 20 cm.

20 cm.

A

B

5 cm.

Como ya se explico en el aparte 5, el peso específico es el peso de un líquido por unidad de volumen. γ=

W V

El peso del líquido del recipiente A es de 0.93 kg que es igual al del recipiente B. El volumen de los dos recipientes se determina de la siguiente manera: π (0.05) (0.15) + π (0.15) VA = 4 4 −3 VA = 1.18 × 10 m 3 2

2

(0.05)

π (0.08) (0.20) 4 VB = 1.01×10 −3 m 3 2

VB =

Una ves obtenidos los volúmenes se puede determinar los pesos especificos de ambos liquidos: WA 0.93 = VA 1.18 × 10 −3 γ A = 789.5 kg f 3 m

γA =

WB 0.93 = VB 1.01× 10 −3 γ A = 920.8 kg f 3 m

γB =

10


CONCEPTOS GENERALES

3. Un cilindro sólido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo, con una película de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de viscosidad del aceite es de 7 x 10-3 N s/m2. ¿Cuál será la velocidad terminal del cilindro, es decir, la velocidad constante al final del cilindro.

Se asume que el fluido del sistema es Newtoniano, entonces se aplica la ecuación de Newton (ecuación 8) para fluidos ideales: dv dy v-0 τ=µ 0.0001 v τ = 7 x10 −3 0.0001 τ = 70 v τ=µ

En la ecuación anterior, el valor de v se tomara como la velocidad terminal vT. Por otro lado se determina el peso del cilindro interior mediante la siguiente expresión: W = τ Ac W = τπDL Donde: Ac; área del cilindro interior en contacto con el líquido. W; peso del cilindro interior. D; Diámetro del cilindro interior. L; la longitud del cilindro interior. Reemplazando, y resolviendo:

(2.5)(9.81) = (70 v T )(ρ 0.0738)(0.150) v T = 10.07 m / s

11


CONCEPTOS GENERALES

4. Un cuerpo que pesa 90 lb y que tiene una superficie plana de 2 pie2 se resbala sobre un plano lubricado, el cual forma un ángulo de 30º con la horizontal. Para una viscosidad de 2.09 × 10 −3 lb s pie 2 y una velocidad del cuerpo de 3 pie/s, determinar el espesor de la película lubricante.

El esfuerzo cortante es igual a la fuerza por unidad de área: τ=

F A

El peso se descompone en sus componentes perpendicular (1) y paralelo (2) al plano inclinado. F1 = F cos 30º = (90 ) cos 30º F1 = 77.94 lb F2 = F sen30º = (90 ) sen 30º F2 = 45 lb

De las dos fuerzas calculadas previamente, la componente 2 es la que produce el esfuerzo de corte, por lo tanto el esfuerzo de corte es: F2 45 = A 2 τ = 22.5 lb 2 Pie τ=

Se asume que el fluido es Newtoniano, entonces se aplica la ecuación de Newton (ecuación 8) para fluidos ideales: dv dy µ dv dy = τ µ (v − 0 ) y= τ τ=µ

µv y= = τ

(2.09x10 ) (3) −3

22.5

El espesor de la película lubricante es: y = 3.3 × 10 −3 p lg

12


CONCEPTOS GENERALES

5. Un eje rota dentro de una camisa concéntrica a 1200 rpm. La luz e es pequeña con respecto al radio R, de tal manera que se puede suponer una distribución lineal de velocidad en el lubricante. ¿Cuáles son los requerimientos de potencia para rotar el eje? R =2 cm, L = 6 cm, e = 0.1 mm y µ = 0.2 N S/m2.

e

R

L

Aplicando la ecuación de Newton (ecuación 8), se determina el esfuerzo de corte: τ=µ

(125.66)(0.02) ωR dv = (0.2) =µ dy e 0.0001 τ = 5026.5 N 2 m

La potencia requerida para rotar el eje se determina mediante la siguiente ecuación:

P=T ω Donde: T = momento torsor. ω = Velocidad angular del eje. La velocidad angular del eje es: v=ω R 2π = 125.66 rad ω = 1200 s 60 El momento torsor es igual a: T = τ AC R = τ p L R Donde: Ac; área del eje en contacto con el líquido. p; perímetro del eje. T = τ p L R = τ (2 π R L ) R T = (5026.5)(2π )(0.02 )(0.06 )(0.02 )

T = 0.758 N ⋅ m Potencia requerida para rotar el eje es: P = (0.758)(125.66 )

P = 95.2 W 13


CONCEPTOS GENERALES

6. Un viscosímetro (aparato para medir la viscosidad), consiste en 2 cilindros coaxiales separados una distancia muy pequeña, donde se coloca el fluido deseado. Uno de ellos se hace girar con una velocidad angular ω, mientras que el otro se mantiene estacionario mediante la aplicación de un momento que puede medirse. Para el caso mostrado en la figura, se desea calcular la viscosidad, si la velocidad angular es 40 rpm y el momento 2 kg m.

Se asume que el líquido a medir es Newtoniano, por tal motivo se aplica la ecuación de Newton: τ=µ

dv dy

Se determinar por un lado el gradiente de velocidades: ωr dv = = dy e

2π ⎞ ⎟ (0.4 − 0.002) ⎝ 60 ⎠ 0.002

(40)⎛⎜

⇒

⎡m dv = 833.57 ⎢ s m dy ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥⎦

Por otro lado se conoce que el esfuerzo de corte, es igual a la fuerza por unidad de área: τ= F = τA = µ

F A

dv A = µ (833.57 )(2π)(0.4 − 0.002)(0.5) dy

⇒

F = 1042.26 µ

El momento medido, es igual a: M = F b Reemplazando la ecuación de la fuerza:

M = F b = (1042.26 µ )(0.4 − 0.002 ) 2 = 414.8 µ

⇒

M = 414.8 µ

µ = 4.82 × 10 −3 ⎡Kg ⋅ s 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

14


CONCEPTOS GENERALES

7. Determinar la ecuación de tensión superficial para los casos de una burbuja y de un chorro de agua. Para el caso de una burbuja:

Fi FT FT

Fuerza debido a la presión interna: Fi = p π r 2 Fuerza debido a la tensión superficial: FT = 2 (2 π r σ ) Para lograr el equilibrio: Fi − FT = 0

→ Fi = FT

p π r2 = 4 π r σ

Despejando P:

p=

4σ r

Para el caso del chorro:

Fi

L

FT

D

Fuerza debido a la presión interna: Fi = p D L Fuerza debido a la tensión superficial: FT = 2 L σ

Para lograr el equilibrio: Fi − FT = 0 → Fi = FT pDL = 2Lσ

Despejando P:

p=

4σ 8σ = D r

15


CONCEPTOS GENERALES

8. Encontrar el ángulo de tensión superficial para un tubo vertical sumergido en agua, si el diámetro del tubo es de 5 [cm.] y la altura capilar es de 2 [cm.]; σ = 5x10-5 [KN/cm.]

Tenemos como datos: D = 5 [cm.] = 0.05 [m.] H = 2 [cm.] = 0.02 [m] σ = 5x10-5 [KN/cm.]= 5x10-3 [KN/m] Usando la ecuación deducida para ascenso capilar: 4 σ cos θ ρg D

H=

Donde: γ = ρ g = (1000 )(9.81)

γ = 9.810

⎡KN ⎤ ⎢⎣ m 3 ⎥⎦

Despejando el coseno del ángulo: cos α =

γHD = 4σ

(9.81)(0.02)(0.05) (4)(5 × 10 −3 )

α = 60.63º

16


ESTÁTICA DE FLUIDOS

2 ESTÁTICA DE FLUIDOS Es el caso más sencillo de análisis de mecánica de fluidos, cuando se encuentran en reposo, en este caso no existe velocidad (gradiente de velocidad dv dy = 0 ), por tanto los esfuerzos cortantes no existen. Solo están presentes la presión y gravedad. Estas dos fuerzas deben estar en equilibrio estático, por cuanto no existe aceleración. 2.1. PRESIÓN El termino presión es usado para indicar la fuerza normal por unidad de área que se presenta en cualquier punto de una masa fluida. Al no existir esfuerzo cortante en una masa fluida en reposo. Las unidades de la presión son: ⎡ F ⎤ p=⎢ 2 ⎥ ⎣ L ⎦

Blaise Pascal, un científico del siglo XVII, describió dos principios importantes acerca de la presión. El primero: “La presión en un punto, en una masa fluida en reposo, es la misma cualquiera sea la dirección en que se la mida”. Esto indica que la presión es una cantidad escalar, lo cual se puede demostrar mediante un elemento pequeño prismático triangular de dimensiones; ∆x, ∆y, como catetos y ∆n como la hipotenusa, con un acho unitario.

Fig. 2.1. Volumen de control triangular de ancho unitario

Como se trata de un fluido en reposo, este tiene equilibrio estático, entonces:

∑H = 0

⇒ − Fx + Fn sen α = 0

−p x ∆y + p n ∆n sen α = 0

Como: Sen α =

∆y ∆n

∆y = 0 ⇒ Px = Pn ∆n −Px ∆y + Pn ∆y = 0 ⇒ Px = Pn

− Px ∆y + Pn ∆n

Por otro lado:

∑V = 0

⇒ Fy − Fn cos α − W = 0

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p y ∆x − p n ∆n cos α −

Como: Cos α =

∆x ∆n p y ∆x − p n ∆n

1 ∆x ∆y γ = 0 2

∆x 1 − ∆x ∆y γ = 0 ∆n 2

Hacemos tender ∆x y ∆z a cero, además si el volumen del prisma tiende a cero: py = pn ∴px = py = pn

El segundo: En un fluido confinado entre fronteras sólidas, la presión actúa perpendicularmente a la frontera.

Tubo rectagular

Tubo circular

Recipiente

Fig. 2.2. Dirección de la presión de fluido sobre las fronteras.

2.2. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON RESPECTO A SU POSICIÓN La presión en una masa fluida no varía en un plano horizontal. En el sentido de la vertical existirá una variación de la presión que aumenta con la profundidad. Tomamos un elemento diferencial rectangular de lados ∆x, ∆y y ancho unitario, con el eje y que coincide con la vertical, las fuerzas actuantes serán la fuerza debido a la presión y el peso del elemento.

Fig. 2.3. Volumen de control de ancho unitario.

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Por equilibrio estático: ∂p x ⎛ ⎞ ⇒ p x ∆y − ⎜ p x − ∆x ⎟ ∆y = 0 ∂x ⎝ ⎠ ∂p x p x ∆y − p x ∆y − ∆x ∆y = 0 ∂x ∂p x =0 ∂x

∑H = 0

Esto indica que la presión no varía a lo largo del eje x, es decir, la presión no varía horizontalmente. En el sentido vertical: ∂p y ⎛ ⎞ ⇒ p y ∆x − ⎜⎜ p y + ∆y ⎟⎟ ∆x − γ ∆x ∆y = 0 ∂ y ⎝ ⎠ ∂Py Py ∆x − Py ∆x − ∆y ∆x − γ ∆x ∆y = 0 ∂y ∂p y ∆y∆x = − γ ∆x∆y ∂y ∂p y =−γ ∂y

∑V = 0

Integrando entre 1 y 2: Tenemos:

∫

2 1

dp =

∫

2 1

− γ dy

p 2 − p1 = γ (y1 − y 2 )

Si se toma p1 como presión atmosférica y se trabaja con presiones relativas, y por otro lado se dice que la diferencia de alturas y1 – y2 es igual a la profundidad, entonces tenemos: p= γh

Donde h será la distancia medida verticalmente hacia abajo desde el plano horizontal de presión cero, es decir la superficie del líquido. La ultima expresión indica la variación de la presión con la profundidad en un liquido incompresible, en función a esta se determina el grafico denominado prisma de presiones, donde la presión en la superficie de un liquido será cero (presión atmosférica, posteriormente se la desarrollara), la cual ira variando linealmente con la profundidad. En la fig. 2.4 se presenta esta relación.

Fig. 2.4. Distribución de presiones en un fluido en reposo

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En caso de gases, la presión no tiene variación horizontal ni vertical, de hecho la presión en un gas se distribuye homogéneamente en todo el recipiente que contiene el gas, es decir, la presión en un gas es la misma en todos sus puntos. Si existiera una sobre presión en la superficie del líquido, esta se distribuirá de forma homogénea en las presiones del prisma. A partir de: ∂p y

=−γ

∂y

∫

2

1

dp =

∫

2

1

− γ dy

p + y = cons tan te γ

Cada uno de los elementos de la última ecuación está en unidades de longitud. Como la altura de presión mas la altura es constante, esta puede igualarse a otra en la misma vertical, fig. 2.4. pa p + ya = +y γ γ

La presión en el punto de altura y, será: p = p a + γ (y a − y )

Esta relación es la misma que la presentada en la propiedad 2, pero con la inclusión de una presión extra Pa, la cual es la sobre presión.

Fig. 2.5. Distribución de presiones en un fluido en reposo incluyendo una sobre presión.

2.3. PARADOJA DE LA HIDROSTÁTICA

Fig. 2.6. Esquema de la paradoja de la hidrostática.

La presión en el fondo de los recipientes de la fig. 2.6 es el mismo, si la altura de agua es h igual para todas sin importar el volumen de agua que contengan estos recipientes o el área del fondo.

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La fuerza de presión del líquido sobre el fondo de cada uno de los recipientes representados en la fig. 2.5 es igual, si los vasos tienen igual altura de agua e iguales áreas de fondo, aunque el peso del líquido en ellos es diferente. La fuerza de presión hidrostática se calcula, de la siguiente manera: F=P A P=γ h

F=γ h A

Este hecho es explicable en el concepto de las dos primeras propiedades de la presión, donde, la presión en un punto es igual cualquier sea la dirección en que se la mida, y de mayor importancia, es que la presión no varia horizontalmente, solo varia verticalmente de acuerdo a la relación ya presentada. 2.4. MEDICIÓN DE LA PRESIÓN. Cuando se realizan cálculos que implican la presión de un fluido, se debe hacer la medición en relación con alguna presión de referencia. Normalmente, la presión de referencia es la atmosférica. Normalmente, y la presión resultante que se mide se conoce como presión relativa. La presión que se mide en relación con el vacío prefecto se conoce como presión absoluta. La relación entre ambos sistemas de medición de presión es: p abs = p rel + p atm

Donde: pabs; presión absoluta. prel; presión relativa. patm; presión atmosférica. Las presiones absolutas y relativas (manométricas) se pueden esquematizar en la Fig. 2.7. Unos cuantos conceptos básicos pueden ser de ayuda para entender la figura: 1. Un vacío perfecto es la presión más baja posible. Por consiguiente, una presión absoluta será siempre positiva. 2. Una presión relativa que esté por encima de la presión atmosférica es positiva. 3. Una presión relativa que esté por debajo de la presión atmosférica es negativa, esta también se conoce como vació o presión de succión. 4. La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas.

Fig. 2.7. Esquema de presiones 21



En adelante se denotará la presión absoluta como pabs, mientras la presión relativa simplemente como p. Los instrumentos que se utilizan para medir la presión son: barómetros, manómetros y piezómetros. Los barómetros son unos instrumentos sencillos destinados a medir la presión atmosférica local; consiste de un tubo de vidrio lleno de mercurio, con un extremo cerrado y el otro abierto, sumergido dentro del recipiente que contiene dicho elemento. En la fig. 2.8 se tiene un esquema. En la parte superior del tubo se produce un vacío que se encuentra muy cercano al vacío perfecto, conteniendo vapor de mercurio a una presión de solamente 0.17 [Pa] a 20 ºC.

Fig. 2.8. Esquema de barómetro

La presión atmosférica se medirá con la siguiente formula: p atm = γ Hg h

Como el peso específico del mercurio es aproximadamente constante, un cambio en la presión atmosférica ocasionará un cambio en la altura de la columna de mercurio. Esta altura se reporta a menudo como presión la barométrica. La presión atmosférica varía según la condición climatológica y también varia con la altitud. Una disminución de aproximadamente 85 [mm.] en la columna d mercurio se presenta para un aumento de 1000 [m.] de altitud.

Fig. 2.9. Manómetro de mercurio

Un manómetro medirá presiones absolutas o relativas, según sea su calibración. El manómetro abierto, fig. 2.9, consiste en un tubo transparente en forma de U, parcialmente lleno de un liquido pesado, comúnmente mercurio. Uno de sus extremos se conecta de manera perpendicular a la pared que confina el flujo del recipiente que lo contiene, el otro extremo puede estar abierto a la atmósfera

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o bien con otro punto de la pared en cuyo caso el manómetro medirá diferenciales de presiones entre los dos puntos. PA = γ 2 Z 2 − γ1 Z1

Procedimiento para escribir la ecuación de un manómetro. 1. Empiece desde un punto conveniente, normalmente donde la presión sea conocida, y escriba esta presión en forma de símbolo (por ejemplo, pA se refiere a la presión en el punto A). 2. Utilizando ∆p = γ h escriba expresiones para los cambios de presión que se presentan desde el punto de inicio hasta el punto en el cual la presión se va a medir, tiendo cuidado de incluir el signo algebraico correcto para cada término. 3. Iguale la expresión del paso 2 con la presión en el punto deseado. 4. Sustituya los valores conocidos y resuelva para la presión deseada. Los piezómetros se utilizan para medir las presiones de un líquido que fluye dentro de una tubería. Consiste de un tubo transparente de diámetro pequeño, conectado al interior de la tubería mediante un niple y con el otro extremo abierto a la atmósfera. La altura h que alcanza el líquido dentro del tubo transparente multiplicado por el peso específico del líquido será igual a la presión del líquido dentro de la tubería. 2.5. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS. SUPERFICIE PLANA VERTICAL. Como se menciono anteriormente, la presión varia en el sentido de la profundidad. A esta variación se denomina prisma de presiones. Si sobre una superficie vertical se tiene una compuerta de área A, se puede determinar la fuerza de presión que actúa sobre la misma.

Fig. 2.10. Fuerza sobre superficie plana vertical

La fuerza resultante se define como la suma de las fuerzas que actúan sobre pequelis elementos del área de interes. La fuerza sobre la superficie vertical, es igual a la presión sobre dicha superficie, multiplicado por el área de la de la misma: dF = p dA

∫ dF = p ∫ dA

F = pA F = γ h cg A

Donde: hcg; es la distancia desde la superficie del liquido al centro de gravedad del área. A; área de la superficie. 23



γ; peso específico del fluido. SUPERFICIE PLANA INCLINADA. Sobre un área pequeña dA, existe una fuerza dF que actúa perpendicularmente al área debido a la presión del fluido, p. dF = p dA = γ h dA

La variable h es la representación de la profundidad del fluido, por lo tanto se mide verticalmente con cero en la superficie del líquido y positivo hacia abajo. Se tomara el eje y en la misma dirección que la inclinación de la superficie.

Fig. 2.11. Fuerza sobre superficie plana inclinada

Por lo tanto: h = y sen α dF = γ y sen α dA

Integrando, la expresión anterior: F = ∫ dF = ∫ γ y sen α dA = γ sen α ∫ y dA A

A

A

∫ y dA = L

cg

A

A

Donde: Lcg; Es la longitud inclinada desde el punto O hasta el centro de gravedad de la superficie. Por lo que la fuerza resultante será: F = γ sen α L cg A

Por lo tanto: h cg = L cg sen α F = γ h cg A

El centro de presiones es aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultante para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el área entera representada por el prisma de presiones. Podemos expresar este efecto en términos del momento de una fuerza con respecto de un eje que pasa por el punto O, perpendicular al plano de la página. El momento de cada pequeña fuerza, dF, con respecto al eje es: dM = dF ⋅ y

Se sabe que: dF = γ y sen α dA

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dM = y [γ y sen α dA ]

Integrando la ecuación previa, obtendremos el momento que produce la fuerza resultante, sobre la superficie. M = ∫ γ y 2 sen α dA

El momento será la fuerza resultante multiplicando por la longitud de O hasta el centro de presiones Lcp. F L cp = ∫ γ y 2 sen α dA = γ sen α ∫ y 2 dA

La expresión ∫ y 2 dA se define como el momento de inercia I del área completa respecto del eje desde el cual se mide y, entonces: F L cp = γ sen α I γ sen α I F γ sen α I I = = γ sen α L cg A L cg A L cp =

L cp

Se puede desarrollar una ecuación más conveniente mediante el uso del teorema de la transferencia para el momento de inercia de la mecánica. I = I cg + A L2cg

Reemplazando en la ecuación del centro de presiones: L cp = L cp =

I cg + A L2cg L cg A I cg L cg A

+ L cg

Esta ecuación se usa para ambos casos, superficie plana vertical y superficie inclinada. SUPERFICIE CURVA. Para determinar la fuerza hidrostática sobre una superficie curva, se descompone la fuerza en dos componentes FH y FV, fuerza horizontal y fuerza vertical respectivamente. Para determinar la fuerza horizontal, hallaremos la fuerza sobre la proyección en el plano vertical de la superficie curva, que pasaría a ser una superficie plana vertical, y procedemos del modo ya explicado. Para la fuerza vertical, la fuerza hidrostática será el peso del líquido que se encuentra sobre la superficie, es decir, el volumen que forma la superficie limitado por los contornos del mismo: FV = γ V

Donde: V; volumen.

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Fig. 2.12. Fuerzas en superficies curvas.

Para determinar el centro el punto de aplicación de las dos fuerzas, horizontal y vertical, se resuelven las ecuaciones siguientes, siguiendo el mismo procedimiento, que el explicado para el caso de superficies rectas:

∫

y cp FH = y P dA A

;

∫

x cp FV = x P dA A

2.6. FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD. Es fácilmente apreciable la diferencia de peso de objetos sumergidos en agua u otros líquidos, además de que cuerpos de grandes pesos flotan si mayor problema. Este hecho es posible gracias a la existencia de una fuerza denominada fuerza ascensional. La fuerza ejercida por la presión del fluido sobre un cuerpo sumergido o flotante, se da por la presencia de diferencial de presiones en el sentido vertical. Si observamos la fig. 2.13 notaremos que las componentes horizontales de las fuerzas que se dan sobre el cuerpo son iguales y opuestas, mientras que las componentes verticales son opuestas pero no iguales, ya que las fuerzas que actúan en la parte inferior del cuerpo son mayores, por lo tanto la resultante de la fuerzas verticales nos dará una fuerza en sentido vertical con dirección hacia arriba, a esta fuerza se denomina fuerza ascensional.

Fig. 2.13. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo sumergido

Por lo tanto la fuerza ascensional ejercida por el líquido sobre un cuerpo, en sentido vertical, es el volumen sumergido del sólido, multiplicado por el peso específico del líquido.

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Fig. 2.14. Fuerza ascensional

De la figura 2.14: Fa; Fuerza ascensional: Fa = VSolido γ Fluido

W = Peso del cuerpo. Procedimiento para resolver problemas de flotabilidad: 1. Determinar el objetivo de la solución del problema. ¿Tiene que encontrar una fuerza, un peso, un volumen o un peso especifico? 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del objeto que se encuentre en el fluido. Muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en la dirección vertical, incluyendo su peso, la fuerza de flotación y las fuerzas externas. Si la dirección de alguna fuerza no se conoce, suponga la dirección más probable y muéstrela en el diagrama. 3. Escriba la ecuación del equilibrio estático en la dirección vertical, ∑ Fv = 0 tomando la dirección positiva hacia arriba. 4. Resuelva la ecuación para la fuerza, peso, volumen o peso especifico deseados, tomando en consideración los siguientes conceptos: a) La fuerza de flotación o fuerza ascensional se calcula con: Fa = γ f Vs

b) El peso de un objeto sólido es el producto de su volumen total por su peso especifico: W = Vs γ s

c) Un objeto con un peso especifico promedio menor que el del fluido tenderá a flotar, debido a que W < Fa con el objeto sumergido. d) Un objeto con un peso especifico promedio mayor que el del fluido tenderá a hundirse, debido a que W > Fa con el objeto sumergido. e) La flotabilidad neutral se presenta cuando un cuerpo permanece en una posición dada en dondequiera que este sumergido el fluido. Un objeto cuyo peso especifico promedio sea igual al del fluido será neutralmente flotante. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES El principio para la fuerza ascensional fue descubierto y establecido por Arquímedes hace alrededor de 2200 años. Este principio se enuncia: Un cuerpo sumergido en un líquido será levantado por una fuerza ascensional igual al peso del volumen del fluido desplazado. Un cuerpo flotante desplaza su propio peso en el fluido donde flota. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS. La condición para cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de empuje o centro de flotación.

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El centro de empuje de un cuerpo sumergido se encuentra en el centro de gravedad del fluido desplazado, y es a través de este punto que actúa la fuerza de empuje en dirección vertical hacia arriba. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través de su centro de gravedad. Analizamos el caso del objeto sumergido de la fig. 2.15 (a) en posición original, donde CG, es el centro de gravedad y CE el centro de empuje o flotación. En la fig. 2.15 (b) se muestra el desbalanceo del objeto debido al movimiento lateral, la fuerza ascensional se encuentra accionado en el centro de empuje y el peso del cuerpo en el centro de gravedad, tomado en cuenta esta disposición las dos fuerzas crean un momento que ayuda al desbalanceo, por esta razón el caso es inestable. En la fig. 2.15 (c), las fuerzas crean un momento opuesto al movimiento, este ayuda a que el cuerpo se equilibre, por esta razón el caso c es estable.

Fig. 2.15. Estabilidad de cuerpos sumergidos.

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Se denominara CG al centro de gravedad y CE centro de empuje (centro de gravedad del fluido desplazado por la parte del cuerpo que esta sumergido).

CG CE

Fig. 2.16. Cuerpo flotante, posición original

Fig. 2.17. Cuerpo flotando con estabilidad

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Fig. 2.18. Cuerpo flotando con inestabilidad

Denominamos metacentro (mc) a la intersección entre el eje del cuerpo, que pasa por el centro de gravedad, y la recta vertical que pasa por el centro de empuje. Si el metacentro queda sobre el centro de gravedad, decimos que el cuerpo se encuentra en equilibrio estable fig. 2.17. Si el metacentro queda por debajo del centro de gravedad entonces el cuerpo queda en equilibrio inestable fig. 2.18. También se puede decir: ME =

I Vd

Donde: I; inercia en el eje de rotación Vd; Volumen de fluido desalojado. También: MG = ME − GE

Donde: MG; distancia desde el metacentro al centro de gravedad. ME; distancia desde el metacentro al centro de empuje. GE; distancia desde el centro de gravedad al centro de empuje. Si MG es menor que 0, entonces el cuerpo flota con inestabilidad y si MG es mayor que 0, entonces el cuerpo flota con estabilidad. 2.7. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACIÓN CONSTANTE. Cuando a una masa fluida contenida en un recipiente se le aplica una aceleración constante, esta es adquirida por todas las partículas de dicha masa y por lo tanto no existe movimientos relativos entre estas. Una vez aplicada y mantenida permanentemente la aceleración, la masa adquiere un equilibrio relativo, por lo que puede ser analizada como un fluido en reposo.

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Fig. 2.19. Volumen de control rectangular acelerado

∑F = M a Según X:

Según Z:

∂p x ⎛ ⎞ px ∆z − ⎜ px + ∆ x ⎟ ∆ z = ρ∆ x ∆ z a x ∂ x ⎝ ⎠ ∂p x px ∆z − px ∆z − ∆ x ∆ z = ρ∆ x ∆ z a x ∂x ∂p x γ ax (1) = ρ ax = g ∂x ∂p z ⎛ ⎞ pz ∆ x − ⎜ pz + ∆ z ⎟ ∆ x - γ∆ x ∆ z = ρ∆ x ∆ z a z ∂z ⎝ ⎠ ∂p z pz ∆x − pz ∆x − ∆ z - γ∆ x ∆ z = ρ∆ x ∆ z a z ∂z ∂P γ (a z + g ) = ρa z + γ = (2) ∂z g

Tendiendo el volumen control a un punto, se tiene que px = pz = p. Las ecuaciones 1 y 2 son las ecuaciones que se usa para determinar las presiones en las mismas direcciones. El diferencial total de la presión en función de sus derivadas parciales: dp =

∂p ∂p dz dx + ∂x ∂z

(3)

Reemplazando las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación (3): dp = −

γ γ (a z + g ) dz a x dx − g g

A lo largo de una línea de presión constante la variación de presiones es cero, dp = 0. γ γ (a z + g ) dz a x dx − g g γ γ (a z + g ) dz a x dx = − g g dz ax =− dx az + g

0=−

La ecuación es la pendiente de la recta de presión constante. 30



ACELERACIÓN LINEAL CONSTANTE. Si la aceleración tiene una solo la componente vertical az, la aceleración no tiene la componente horizontal, es decir la aceleración horizontal es cero, las diferenciales parciales se las toma como totales en la ecuación 2. ∂p γ (a z + g ) = ∂z g γ - dp = (a z + g )dz g a - dp = γ dz + z dz g -

Esta ecuación es similar a la de los fluidos en reposo, solo que incluimos en ella la componente de la aceleración. Como la componente horizontal de la aceleración es cero la ecuación 4 es: dz =0 dx

Lo que indica que la superficie de presión constante es horizontal.

az < 0 Hidrostatica az > 0

h

Fig. 2.20. Aceleración vertical

Cuando la aceleración vertical es mayor que 0 el fluido ira hacia arriba y cuando la aceleración es menor que 0 ira hacia abajo. Entonces si la aceleración vertical es positiva la presión hidrostática aumentara. Si la aceleración tiene una solo la componente horizontal ax, la componente vertical es igual a cero por lo que las ecuaciones 1 y 2 son: −

La pendiente de la recta de presión constante:

∂p γ = ax ∂x g ∂p − =γ ∂z

a dz =− x dx g m=−

ax g

Las presiones en el sentido vertical tiene una distribución hidrostática, mientras que la presión en el sentido horizontal no es constante, las superficies de presión constante son rectas con pendiente m.

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Sup. Inclinada (P=0, m=ax/g )

h1

ax h2

Fig. 2.21. Aceleración horizontal

En el caso de que existan las dos componentes. Se debe usar las ecuaciones (1), (2) y (4), como caso general. ax

P=0

a

-az

h1

az = 0 az < 0

h2

Fig. 2.22. Aceleración en cualquier sentido.

VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE. Cuando una masa liquida se hace girar con una velocidad angular constante ω, se introduce a cada una de sus partículas una aceleración centrípeta: a c = ω 2 r Donde r es la distancia de la partícula al eje de rotación. De la ecuación (1) y (2): ∂p γ 2 = ω r ∂r g ∂p = −γ ∂z

(5) (6)

Donde el eje x coincide con r, pero en sentido contrario y en tal forma que az = 0, el eje z coincide con el eje de rotación. Por diferencial total:

dp =

∂p ∂p dr + dz ∂z ∂r

(7)

Sustituyendo (5) y (6) en (7): dp =

γ 2 ω r dr − γ dz g

La variación de presiones sobre la misma línea de presión es cero, dp = 0 : ω2 r dz = dr g

Integrando:

z − zo =

(

ω2 2 2 r − ro 2g

)

(8)

La ecuación (8) es la ecuación de una parábola.

32



Fig. 2.23. Aceleración angular

33



EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular la presión en [KN/m2] si el equivalente en columna de liquido es de 400 [mm.] de: a) b) c) d)

Mercurio de densidad relativa 13.6. Agua. Aceite de peso especifico 7.9 kN/m3 Liquido de densidad 520 kg/m3 h = 400 [mm] = 0.4[m]

La presión es igual a p = γh

Se tiene como dato la altura de columna de liquido, por lo que se debe hacer es hallar el peso especifico con los datos dados en los incisos. a) La densidad relativa de un fluido es: γ sust γ H 2O

DR =

γ Hg = ρ Hg g = (13.6 ) (9.81) γ Hg = 133.42 ⎡KN 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

p Hg = γ Hg h = (133.42 ) (0.4)

⇒

p Hg = 53.4 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

b) El peso específico del agua es un valor conocido: p H O = γ H 0 h = (9.81)(0.4) 2

2

⇒

p H O = 3.92 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ 2

c) El peso específico es dato: p ac = γ ac h = (7.9) (0.4)

⇒

p ac = 3.16 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

d) La densidad es igual al peso específico entre la velocidad de la gravedad: γ L = ρ L g = (520)(9.81) p L = γ L h = (5.1012 )(0.4 )

γ L = 5101.2 ⎡ N 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ p L = 2.04 ⎡KN 2 ⎤ ⇒ ⎢⎣ m ⎥⎦

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2. Cual es la presión en [KN/m2] absoluta y relativa en un punto 3 [m] debajo de la superficie libre de un liquido cuya densidad de masa es de 1.5.x103 [Kg./m3], si la presión atmosférica es equivalente a 750 [mm.] de mercurio. Tomamos la densidad relativa de mercurio como 13.6 y la densidad del agua como 1000 [Kg./m3]. El peso específico de un líquido es igual a la densidad de masa multiplicada por la aceleración de la gravedad.

(

)

γ L = ρ L g = 1.53 × 10 3 (9.81) ⇒ γ L = 15009.3 ⎡ N 3 ⎤ = 15.01 ⎡KN 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎢⎣ m ⎥⎦

Presión relativa es aquella que se mide tiendo como cero la presión atmosférica. p R = γ L h = (15.01) (3) p R = 45.03 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Para poder hallar la presión atmosférica, se tiene de dato la altura equivalente de mercurio. DR

Hg

=

ρ Hg ρH O 2

ρ Hg = D R ρ H O = (13.6 )(1000) ⇒ ρ Hg = 13600 ⎡Kg 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ Hg

γ Hg = ρ Hg g = (13600 )(9.81)

2

γ Hg = 133416 ⎡ N 3 ⎤ = 133.42 ⎡KN 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎢⎣ m ⎥⎦

p atm = h Hg γ Hg = (0.75)(133.42 ) ⇒ p atm = 100.07 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Por lo tanto la presión absoluta es la suma de la presión relativa y la presión atmosférica: p abs = p R + p atm = 45.03 + 100.07 p abs = 145.1 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

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3. ¿Cuál es la lectura del manómetro de la figura?

Se comienza el análisis de un punto de presión conocida, como el tubo del lado derecho esta cerrado se trabajara en presiones absolutas, además se tiene un valor de presión en el gas de tubo igual a cero. Los valores entre paréntesis son las densidades relativas de los líquidos, por lo que se debe hallar los pesos específicos. γ Hg = D R γ Hg = (13.6)(9.81) ⇒ γ Hg = 133.42 ⎡KN 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ γ L = D R γ H O = (0.80 )(9.81) ⇒ γ L = 7.85 ⎡KN 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ Hg

Hg

2

Se debe hallar la presión que ejerce el mercurio en el punto A. p A ( abs ) = h A γ Hg = (0.5)(133.42 ) ⇒ p A ( abs ) = 66.71 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Como los puntos A y B se encuentran sobre la misma horizontal y además el punto B es mercurio pero directamente en contacto con agua, las presiones serán iguales. p A ( abs ) = p B( abs ) = 66.71 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en C, será igual a la presión en B menos la presión provocada por la columna de agua AC. p C ( abs ) = p B( abs ) − h BC γ H 2O = 66.71 − (0.5)(9.81) ⇒ p C ( abs ) = 61.81 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en D, de la misma manera que en C, será igual a la presión en C menos la presión provocada por la columna DC. p D ( abs ) = p C ( abs ) − h DC γ L = 61.81 − (0.1)(7.85) ⇒ p D ( abs ) = 61.03 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ p E ( abs ) = p D ( abs ) = 61.03 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión G, será igual a la presión en E mas la presión provocada por la columna EG. p G ( abs ) = p E ( bas ) + h EG γ H 2O = 61.03 + (0.9)(9.81) ⇒ p G ( abs ) = 69.86 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ p H ( bas ) = p G ( abs ) + h GH γ Hg = 69.86 + (0.1)(133.42 ) ⇒ p H ( bas ) = 83.20 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ p I ( abs ) = p H ( abs ) = 83.20 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

36



p man ( abs ) = p I ( abs ) = 83.20 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

37



4. Existen dos tuberías por donde fluye agua a diferentes presiones, por estas tuberías salen unos piezómetros que se unen como se muestra en la figura, determinar cual es la diferencia de presiones entre las dos tuberías.

A

Agua 1.60

C E

1.52 Hg (13.6)

1.35

D

1.20

(0.80)

F

0.89

Agua

B

0.62

G

0.45

(0.75) Datum

Primero se halla la presión en la parte inferior del mercurio: p D = γ Hg h CD = (9.81)(13.6 )(1.52 − 1.20) p D = 42.69 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en D es igual a una presión en la misma horizontal del líquido de densidad relativa igual a 0.80. Por lo tanto la presión en E y F será: p E = p D − γ (0.80 ) h ED = 42.69 − (9.81)(0.80 )(1.35 − 1.20)

p E = 41.51 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ p F = p D + γ (0.80 ) h DF = 42.69 + (9.81)(0.80)(1.20 − 0.89) p F = 45.12 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en A será: p A = p E − γ agua h AE = 41.51 − (9.81)(1.60 − 1.35) p A = 39.06 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en G será: p G = p F + γ (0.75 ) h FG = 45.12 + (9.81)(0.75)(0.89 − 0.45) p G = 48.36 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en B será: p B = p G − γ agua h BG = 48.36 − (9.81)(0.62 − 0.45) p B = 46.69 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

38



La diferencia de presión entre la tubería A y B será: ∆p = p B − p A = 46.69 − 39.06 ∆p = 7.63 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

39



5. Se tiene dos estanques, uno con agua y el otro con aceite, conectados por un piezómetro, como se muestra en la figura. Se desea calcular la longitud A, que es la diferencia de niveles los reservorios. pm = 25 mm de Hg de vacio

A

Agua

Aceite (0.80)

6m

B 0.1 m C

La presión en el manómetro corresponde a una presión de vació o negativa: p m = − γ Hg h m = −(9.81)(13.6)(0.025) p m = −3.34 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en B será: p B = p m + γ agua h = −3.34 + (9.81)(6) p B = 55.52 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión en C será: p C = p B + γ Hg h Hg = 55.52 + (9.81)(13.6 )(0.1) p C = 68.86 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La altura desde el punto C hasta la superficie del aceite será: h = 6 + .1 − A = 6.1 − A

Aplicando la ecuación de la presión para el punto B desde el lado del aceite, este debe ser igual al encontrado por el otro lado: p B = γ aceite h = (9.81)(0.80 )(6.1 − A ) = 68.86 A = −2.67 [m ]

El nivel del aceite estará a 2.67 [m] por encima del nivel del agua.

40



6. a) Determinar la fuerza resultante F debido a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 x 2 [m] b) Determinar la fuerza resultante debido a la acción del agua sobre el área triangular CD de 1.2 x 1.8 [m] con c en el vértice del triangulo

a) Determinación de la fuerza sobre la compuerta AB: F = γ h cg A

Se determina las componentes de la ecuación previa.

[ ]

A = b h = (1) (2) ⇒ A = 2 m 2 h h cg = 1.2 + = 1.2 + 1 ⇒ h cg = 2.2 [m ] 2 F = γ h cg A = (9.81) (2.2 ) (2 ) ⇒ F = 43.16 [KN ]

Se debe hallar el centro de presiones: h cp =

I cg h cg A

(1) (2)3 + h cg =

12

(2.2) (2)

+ 2.2 ⇒ h cp = 2.35 [m]

desde O1.

b) Se hallar la longitud desde O2 hasta el centro de gravedad de la compuerta.

1 = 1.41[m ] sen 45 2 1.8 = 2.61 [m] L cg = 1.41 + 3 ⎡ (1.8)(1.2 ) ⎤ F = L cg (sen 45) γ A = (2.61) (sen 45) (9.81) ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ F = 19.55 [KN] L1 =

El punto de aplicación de la fuerza será:

41


L cp =

I cg L cg A


(1.2) (1.8)3 + L cg =

36 (2.61) (1.2)(1.8) 2

+ 2.61 ⇒ L cp = 2.68 [m]

42



7. Calcular la fuerza total ejercida sobre el área inclinada en la figura, la cual esta situada en un plano inclinado a 30º. El líquido es agua y en su superficie la presión es atmosférica.

Dividimos el área de la compuerta en tres subareas: Triangulo ABE:

FABE = γ h cg A ABE 1 (3) sen (30º ) = 2.5 3 ⎡ (3)(3) ⎤ = (9.81)(2.5) ⎢ ⎥ ⇒ FABE = 110.36 [KN ] ⎣ 2 ⎦ h cg = 2 +

FABE

Localización de esta fuerza: L cp

⎡ I cg =⎢ ⎣⎢ L cg A ABE

⎡ (3)(3)3 ⎤ ⎢ 36 + L cg ⎥ = ⎢ (3)(3) 2 . 5 ⎦⎥ ⎢ ⎢⎣ sen (30º ) 2 L cp = 5.1[m] desde G.

⎤ ⎥ 2.5 ⎥ + sen (30º ) ⎥ ⎥⎦

Para la localización lateral de la fuerza, esta debe situarse sobre la media del ángulo AEB. Por semejanza de triángulos:

1.5 x = 3 3 − 1.1

⇒

x = 0.95 [m]

Cuadrado BCDE: FBCDE = γ h cg A BCDE = (9.81)[2 + (1.5)sen (30º )](3)(3) ⇒ FBCDE = 242.8 [KN ]

Localización de esta fuerza:

43


L cp

Localización lateral:


⎡ (3)(3)3 ⎢ ⎤ 2.75 12 + L cg ⎥ = ⎢ + 2 . 75 ⎥⎦ ⎢ (3)(3) sen (30º ) ⎢ sen (30º ) ⎣ L cp = 5.64 [m] desde G

⎡ I cg =⎢ ⎢⎣ L cg A ABE

x=

3 2

⇒ x = 1.5 [m]

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

de BE.

Semicírculo CFD: FCFD = γh cg A CFD = (9.81)[2 + (1.5)sen (30º )]

π (3) 8

2

⇒ FCFD = 95.23 [KN ]

Localización de la fuerza: L cp

4 ⎡ π (1.5) ⎡ ⎤ ⎢ I cg 2.75 8 + =⎢ + L cg ⎥ = ⎢ 2 . 75 (30º ) L A sen ⎣⎢ cg ABE ⎦⎥ ⎢ (3.53) ⎢ sen (30º ) ⎣ L cp = 5.60 [m] desde CD

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Localización lateral:

p=

dF = γ h dF = γ h dA = γ h x dy dA

Tomando momentos respecto CD: dM = b dF

Donde: b; brazo. x 1 γ h x dy = γ h x 2 dy 2 2

dM =

Por otra parte, la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 = 1.52

x 2 = 2.25 − y 2

Además, colocamos h en función de y:

h = h cp + y sen (30º ) = 2.75 + y sen (30º ) h = 2.75 + y sen (30º )

h = 2.75 − y sen (30º )

sobre OF bajo OF

Reemplazando: M=

(

)

(

)

1.5 γ ⎡1.5 (2.75 + 0.5y) 2.25 − y 2 dy + ∫ (2.75 − 0.5y) 2.25 − y 2 dy⎤⎥ ∫ ⎢ 2 ⎣0 0 ⎦

44



Integrando: M=

9.81 (6.83 + 5.56) ⇒ M = 60.77 [KN ⋅ m] 2

Por lo tanto la posición lateral será: x=

M 60.77 = = 0.64 [m] FCFD 95.23

desde CD.

Fuerza total que actúa sobre la compuerta será: FT = 110.36 + 242.8 + 95.23 ⇒

FT = 448.39 [KN ]

Ubicación de la fuerza total: Para hallar la ubicación vertical se toma momentos desde G: ΣM = (110.36 )(5.10 ) + (242.8)(5.64 ) + (95.23)(5.60 ) = 2465.52 [KN ⋅ m] ΣM 2465.52 L cp = = ⇒ L cp = 5.49 [m] desde G. FT 448.39

Para hallar la ubicación lateral se toma momentos desde A: ΣM = (110.36 )(3 − 0.95) + (242.8)(3 − 1.5 + 3) + (95.23)(0.64 + 3 + 3) = 1951.17 [KN ⋅ m] ΣM 1951.17 x cp = = ⇒ x cp = 4.35 [m] desde A. FT 448.39

45



8. En la figura, el cilindro de 1.22 [m] de diámetro y 1.22 [m] de longitud está sometido a la acción del agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidad relativa de 0.8 por su lado derecho. Determinar la fuerza vertical total en B si el cilindro pesa 17.8 [KN]. Agua 0.61 m

Aceite (0.80) B

En el lado izquierdo el efecto del agua causara dos fuerzas verticales: A1

A2

F1

F2

Las áreas coloreadas son las que producen las fuerzas:

π (1.22 ) 4 4

2

A 1 = (0.61)(0.61 + 0.61) −

[ ]

A 1 = 0.452 m 2

V1 = A 1 L = (0.452 )(1.22 )

[ ]

V1 = 0.551 m 3

La fuerza vertical 1 será:

F1 = γ agua V1 = (9.81)(0.551) F1 = 5.41 [KN ]

El área que produce la segunda fuerza vertical será: A 2 = (0.61)(0.61 + 0.61) +

π (1.22 ) 4 4

2

[ ]

A 2 = 1.036 m 2

V2 = A 2 L = (1.036 )(1.22 )

[ ]

V2 = 1.264 m 3


F2 = γ agua V2 = (9.81)(1.264 ) F1 = 12.39 [KN ]

La fuerza total ejercida por el agua será la suma vectorial de ambas: Fagua = F2 − F1 = 12.39 − 5.41

Fagua = 6.98 [KN ]

46



En el lado derecho, de la misma manera que en el izquierdo, el efecto del aceite causara dos fuerzas verticales:

A3 A4

F3

4

Las áreas coloreadas son las que producen las fuerzas:

π (1.22 ) 4 A 3 = (0.61)(0.61) − 4 2 A 3 = 0.079 m

2

[ ]

V3 = A 3 L = (0.079 )(1.22 )

[ ]

V3 = 0.096 m 3


F3 = γ aciete V3 = (9.81)(0.80 )(0.096 ) F3 = 0.75 [KN ]

El área que produce la segunda fuerza vertical será:

π (1.22 ) 4 A 4 = (0.61)(0.61) + 4 2 A 4 = 0.664 m

2

[ ]

V4 = A 4 L = (0.664 )(1.22 )

[ ]

V4 = 0.81 m 3


F4 = γ agua V4 = (9.81)(0.80 )(0.81) F4 = 6.36 [KN ]

La fuerza total ejercida por el agua será la suma vectorial de ambas: Faceite = F3 − F4 = 6.36 − 0.75 Faceite = 5.61 [KN ]

La fuerza total en el punto B será: FB = 5.61 + 6.98 − 17.8 FB = −5.21 [KN ]

47



9. En la figura se muestra la sección de una presa con una cara parabólica. El vértice de la parábola esta en O. Encontrar la fuerza resultante debido a la acción agua y su inclinación con la vertical.

Encontramos la ecuación de la curva que representa la presa: y = a x2 + b

Con: b = 0 entonces 50 = a (25)2 ⇒ a = 0.08 y = 0.08 x 2

Se tomara D = 50 [m] profundidad del agua con ancho unitario W = 1 [m] La fuerza de la presión ejercida por el agua sobre la presa, es: dF = p dA

Donde: P = γ h ; h = D − y Fuerza Horizontal: dFx = p dA = p W dy = γ h W dy dFx = γ (D − y ) W dy

Integrando: 50

50

Fx = ∫ γ (D − y )Wdy = γW ∫ (D − y )dy 0

0

⎡ y Fx = γ ⎢Dy − 2 ⎣ Fx 2

50

⎤ ⎡ 50 2 ⎤ ⎥ = (9.81)⎢(50 )(50 ) − ⎥ 2 ⎦ ⎦0 ⎣ = 12262.5 [KN ]

Se saca un resultado similar hallando la fuerza sobre la proyección de la curva sobre un plano vertical, aplicando: Fx = γ h cg A proyeccion

Fuerza vertical: dFy = p dA = p Wdx = γ h W dx = γ (D − y ) W dx

(

)

dFy = γ D − 0.08x 2 W dx

Integrando: 25

(

)

(

25

)

Fy = ∫ γ D − 0.08x 2 W dx = γ W ∫ D − 0.08x 2 dx 0

0

48



3 ⎡ ⎡ 0.08(25) x3 ⎤ ( ) ( )( ) = − 9 . 81 50 25 Fy = γ ⎢D x − 0.08 ⎢ ⎥ 3 3 ⎦0 ⎢⎣ ⎣ 25

⎤ ⎥ ⎥⎦

Fy = 8175 [KN ]

Punto de aplicación: x cp dFy = x p dA

Integrando:

(

25

)

x cp Fy = ∫ γ D − 0.08x 2 x W dx 0

x cp =

3 ∫ (D x − 0.08 x ) dx

γ Fy

25 0

2 γ ⎡ x2 x4 ⎤ 9.81 ⎡ (50)(25) (0.08)(25)4 − 0.08 − ⎢ ⎢D ⎥ = Fy ⎣ 2 4 ⎦0 8175 ⎢⎣ 2 4 x cp = 9.38 [m] desde O 25

x cp =

y cp =

I cg y cg A

⎤ ⎥ ⎥⎦

(1)(50)3 + y cg =

12

(25)(50)

+ 25

y cp = 33.33 [m] desde la superficie del liquido.

(12262.5)2 + (8175)2 FT = 14737.69 [KN ]

FT = Fx2 + Fy2 =

tan (α ) =

Fx 12262.5 = Fy 8175 α = 56.3º

49



10. Que cantidad mínima de concreto (peso especifico γ = 2400 Kg/m3) debe agregarse a una viga de 0.1 [m3] de volumen y densidad relativa 0.70 para que se hunda? Peso agua del mismo volumen de la viga: Pag = VV γ ag = (0.1)(1000 ) ⇒ Pag = 100 [Kg ]

Peso especifico de la viga: γ V = DrV γ ag = (0.7 )(1000 ) ⇒ γ V = 700 ⎡Kg 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Peso de la viga: PV = 70 [Kg ]

PV = VV γ V = (0.1)(700 )

Pag = PV + PC

Peso del concreto: PC = 30 [Kg ]

PC = Pag − PV = 100 − 70

Volumen de concreto mínimo necesario para hundir la viga: VC =

PC 30 = γC 2400

[ ]

VC = 0.0125 m 3

50



11. Se tiene una barra de sección cuadrada de material homogéneo de Dr = 0.5. Se quiere saber en cual de las dos posiciones A o B flotaría en el agua con equilibrio.

Caso A, realizamos un diagrama de cuerpo libre y hallamos la altura h.

Peso = empuje γ B VB = γ ag Vdes γ B b 2 L = γ ag b h L h=

DrB γ ag b γB b2 L γ b = B = γ ag b L γ ag γ ag

h = DrB b = (0.5)b ⇒ h = 0.5 b

MG = ME – GE Donde: G; centro de gravedad. M = metacentro E = centro de empuje. ME =

I yy Vdes

=

L b3 12 hbL ME =

=

b2 = 12h

b2 b 12 2

b 6

51



b h b GE = = 2 ⇒ GE = 2 2 4 4b − 6b 2b b b b MG = − = =− ⇒ MG = − 6 4 24 24 12

<0

Caso A flota con inestabilidad El caso B, de la misma manera se realiza el diagrama de cuerpo libre.

Peso = Empuje γ B b 2 L = γ ag x2 =

2 γ B b2 L 2 γ B b2 = = γ ag L γ ag

x2 L 2 2 DrB γ ag b 2 γ ag

= 2 (0.5) b 2

x=b

MG = ME – GE L

(

)

3

2 b 3 I yy 2 2 b3 12 ME = = = Vdes b2 6 b2 L 2 2 ME = b 3 h 1 2 b 2 b GE = = ⇒ GE = 3 3 2 6 6 2 b−3 2 b 2 b 2 b 3 2 b MG = − = = 3 6 18 18

52



MG =

2 6

b >0

Caso B flota con equilibrio

53



12. Un cono de madera flota en la posición que se muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es de 0.60. Determinar si la flotación es estable. b

25 cm h

Primero se debe hallar las dimensiones del volumen de líquido desplazado por el cono: El volumen del cono de madera será:

π h D2 π (0.25)(0.18) = 12 12 Vc = 0.0021 m 3

2

Vc =

[ ]

El volumen del cono de líquido desalojado por el cono de madera será: Vd =

π h D2 π h b2 = 12 12

Por semejanza geométrica se puede decir que: 25 18 = b h

18 h = 0.72 h 25

b=

Reemplazando en la formula del volumen desplazado:

π h (0.72 h ) 12 Vd = 0.136 h 3 m 3 2

Vd =

[ ]

Según el principio de Arquímedes, un cuerpo flotante desplaza un volumen de liquido con un peso igual al peso del cuerpo. Wc = Wd Vc γ c = Wd γ agua

(0.0021)(9.81)(0.6) = 0.136 h 3 (9.81) h = 0.21 [m ] b = 0.72 (0.21)

b = 0.1512 [m]

Para determinar si un cuerpo es inestable se aplica la siguiente ecuación: MG = ME − GE

La posición del centro de gravedad será: h 0.25 = 0.25 − 4 4 G = 0.1875 [m] desde el vértice G = 0.25 −

La posición del centro de empuje será: E = 0.21 −

h 0.21 = 0.21 − 4 4

54



G = 0.1575 [m]

desde el vértice Por lo tanto la distancia desde el centro de gravedad al centro de empuje será: GE = 0.1875 − 0.1575 GE = 0.03 [m]

La distancia entre el metacentro y el centro de empuje se halla mediante la siguiente expresión: ME = πb 64 ME = = 0.136 h 3 4

I cg Vd

π (0.1512 ) 64 (0.136)(0.21)3 4

ME = 0.0204 [m ]

Por lo tanto la distancia entre el metacentro al centro de gravedad será: MG = 0.0204 − 0.03 MG = −0.0096 [m ]

Este valor es menor que cero; por lo tanto el cuerpo en esta posición es inestable!

55



13. Un cuerpo hecho de dos trozos de madera pesada con peso especifico γm=1150 [Kg/m3] flota en un liquido de Dr = 0.93 tal como se muestra en la figura. Se desea calcular la profundidad de hundimiento del cuerpo en el líquido. Considere una unidad de ancho.

Primero se calcula el centro de gravedad CG del cuerpo, ya que se trata de un cuerpo compuesto de varias piezas diferentes: Taco superior de madera (abcd): W = V γ m = (0.5)(2 )(1)(1150 ) ⇒ W = 1150 Kg

M ab = W B = (1150 )(0.25) ⇒ M ab = 287.5 Kg m

Taco inferior de madera (efgh): W = V γ m = (1)(2)(1)(1150) ⇒ W = 2300 Kg

M ab = W B = (2300)(2.5) ⇒ M ab = 5750 Kg m

La posición del centro de gravedad de todo el sistema será: Horizontalmente estará sobre el eje de simetría. Verticalmente: ∑M y = cg

y cg =

5750 + 287.5 2300 + 1150

FT

y cg = 1.75 m

Desde ab.

El centro de flotación estará en el centro de gravedad del volumen (gijh): Horizontalmente estará sobre el eje de simetría del sistema. Verticalmente: Fa = Vgijh γ = d (2 )(0.93)(1000) ⇒ Fa = 1860 d

Donde: Fa; fuerza ascensional. La fuerza ascensional debe ser igual al peso del cuerpo, para que el cuerpo flote en el líquido. Fa = Wcuerpo

1860 d = 2300 + 1150

d = 1.85 [m]

Se determina si el cuerpo flota con estabilidad, para esto se debe hallar el centro de flotación. y cf = 3 −

1.85 2

⇒ y cf = 2.075 [m ] Desde ab

El centro de flotación se encuentra por debajo del centro de gravedad, esto indica que el cuerpo flota con estabilidad. 56



14. En el caso del ejercicio 9, ¿cuál seria el espesor del taco superior de madera, para que el cuerpo comience a ser inestable?

Primero se halla el peso del cuerpo en función de la distancia ac. Los pesos de los tacos superior e inferior son: Wegfh = 2300 [Kg ]

Wabcd = ac (2 )(1150) [Kg ]

El peso total será: PT = 2300 + 1150 (2 )ac = 2300 (1 + ac )

De la misma manera se halla el momento total debido al peso en función de la distancia ac, respecto ab: M ab = 5750 + 2300 ac

ac = 5750 + 1150 ac 2 2

La distancia vertical desde la cara ab hasta el centro de gravedad del cuerpo será: y cg =

5750 + 1150 ac 2 2300 (1 + ac )

La fuerza ascensional debe ser igual al peso del cuerpo: Fa = PT 1860 d = 2300 (1 + ac ) ⇒ d = 1.237 (1 + ac ) y cf = 3 −

1.237 (1 + ac ) = 2.38 − 0.62 ac 2

Un cuerpo flota con inestabilidad cuando el CF esta sobre el CG. Por esto, si el CG coincide con el CF, empezaría la inestabilidad. y cg = y cf 5750 + 1150 ac 2 = 2.38 − 0.62 ac 2300 (1 + ac ) ac = 6.5 [cm]

57



15. El orifico rectangular de dimensiones b x h, practicado en la pared rectangular de un recipiente, se cierra con una compuerta de iguales dimensiones; dicha compuerta esta conectada a una palanca y unida rígidamente por otra a un tambor cilíndrico hueco de diámetro D, longitud L y peso W, de tal manera que al subir el nivel del agua el recipiente, se abre la compuerta girando el sistema alrededor de O. ¿Cuál debe ser la distancia x, de modo que ello ocurra para ZG = 25 [cm.], D = 39 [cm.], L = 60 [cm.], h = 40 [cm.], b = 30 [cm.], W = 25 [Kg.]?

La fuerza ascensional que se da sobre el cilindro será: Fa =

πD 2 4 2

π (0.39 ) 4 2

2

Lγ=

(60)(1000)

⇒ Fa = 35.84 [Kg ]

Fuerza hidrostática sobre la compuerta, se calcula del mismo modo que el explicado en compuertas verticales: F = γ h cg A = γ Z G h b = (1000)(0.25)(0.4)(0.3) ⇒ F = 30 [Kg ] h cp =

I cg h cg A

(0.3)(0.4)3 + h cg =

12

(0.25)(0.3)(0.4)

+ 0.25 ⇒ h cp = 0.303 [m ]

Para que exista equilibrio, la suma de momentos respecto del eje O debe ser cero:

∑ MO = 0 FT x − F h cp = 0

Donde la fuerza total es igual a la fuerza ascensional menos el peso del cilindro:

x=

(Fa − W ) x = F h cp F h cp (30)(0.30) =

Fa − W

35.84 − 25

x = 0.83 [m]

58



16. Un cubo de lado 2 [m], abierto en la parte superior y completamente lleno de agua, si se somete a una aceleración igual a la aceleración de la gravedad. Determinar la fuerza que ejerce el agua sobre la cara AB. a) La aceleración es vertical. b) La aceleración es horizontal. c) La aceleración tiene una inclinación 45 con la horizontal,. ¿Qué cantidad de agua se bota en el caso b y c? El caso a:

La variación de la presión para el caso de aceleración vertical es: dp γ = (a z + g ) dz g 2 2 γ ∫ dp = − ∫ g (a z + g ) dz 1 1 γ (a z + g ) (z1 − z 2 ) p 2 − p1 = g −

La presión 1 es la presión de referencia, en este caso la atmosférica. p= p=

γ (a z + g )h g

γ (2 g ) h = 2 γ h = (2)(9810)(2) g

La presión en el fondo del cubo será: p f = 39.24 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión el centro de gravedad será: p=

39.24 = 19.62 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ 2

La fuerza que actúa en la cara AB, será: F = P A = (19.62 )(2)(2) F = 78.48 [KN]

El caso b:

59



La pendiente de la recta de presiones constantes es: dz a g =− x =− = −1 dx g g

Este indica que la superficie del fluido será una recta de 45º de inclinación, como se indica en la figura. La variación de la presión respecto a la vertical en el caso de aceleración horizontal simplemente es: −

∂p =γ ∂z

Esta es la misma variación ya estudiada, por tal motivo la fuerza será igual a: F = γ h cg A

F = (9.81 )(1)(2 )(2 ) F = 39.24 [KN]

El volumen de agua que se bota será: V=

1 1 (2)(2)(2) bhL = 2 2 V = 4 m3

[ ]

El caso c:

Se determina las componentes cartesianas de la aceleración:

60



a x = a cos 45º = 6.94 ⎡m 2 ⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦ a x = a sen 45º = 6.94 ⎡m 2 ⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦

La pendiente de la recta de presiones constantes es: dz ax 6.94 =− =− dx ay + g 6.94 + 9.81 dz = −0.41 dx

Para x = 1 [m], entonces z = - 0.41 [m] Para x = 2 [m], entonces z = - 0.82 [m] Volumen derramado: 1 (2)(0.82)(2) 2 V = 1.64 m 3

V=

[ ]

Determinación de la fuerza sobre la pared: dP γ (a z + g ) = dz g γ (a z + g ) h = 9810 (6.94 + 9.81)(2) P= g 9.81 −

P = 33500 ⎡ N 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ F = P A = (33.5)(2)(2) F = 134 [KN ]

61



17. Un vehículo con un recipiente cerrado que esta totalmente lleno de un líquido de densidad relativa 0.85, se mueve en un plano inclinado, como se muestra en la figura. Cuando el vehículo no esta en movimiento la lectura del manómetro A es de 30 [KPa]. ¿Cuál será el valor de la aceleración si el manómetro A marque 35 [KPa] cuando el vehículo esta en movimiento?

Cuando el recipiente está estático: PA = 30 [KPa ] = 30 000 ⎡ N 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ ρ = (1000)(0.85) ⇒ ρ = 850 ⎡Kg 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ γ = ρ g = (850)(9.81)

⇒

γ = 8338.5 ⎡ N 3 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Altura de presión será: h=

PA 30 000 = γ 8338.5

⇒

h = 3.6 [m] Desde A.

⇒

h 1 = 4.2 [m] Desde A.

Cuando esta en movimiento: La nueva altura de presión será: h1 =

PA 35000 = γ 8338.5

La pendiente de la superficie será: m=

dV −0.6 = dH 2

⇒ m = −0.3

Por otro lado:

62



dz ax a cos 45º =− = dx g + ay g + a sen 45º dz 0.71a =− dx g + 0.71a

La última ecuación es igual a la pendiente de la recta: m= −

dz dx

0.71 a = −0.3 g + 0.71 a a = 5.92 ⎡m 2 ⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦

Esta aceleración esta 45º y ascendente.

63



18. Calcular las presiones en A y B cuando el recipiente mostrado en la figura gira a 50 [rpm] para los casos siguientes: a) El eje de rotación pasa por A. b) El eje de rotación pasa por B. Para el caso a:

Primero se debe convertir los [rpm] en radianes por segundo: 2π 60

ω = 50 rpm

[ s]

ω = 5.23 rad

⇒

Aplicando la ecuación para rotación relativa de fluidos:

(

ω2 2 2 r − ro 2g

z − zo = zo = z −

(

)

)

ω2 2 2 5.232 r − ro = 4.6 − (1 − 0) 2g (2)(9.81) z o = 3.21 [m]

Se determina la presión en A y B: PA = γ z o = (9.81)(3.21)

⇒

PB = γ z o = (9.81)(4.6 )

⇒

PA = 31.5 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ PB = 45.1 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Para resolver el caso b:

(

ω2 2 2 r − ro 2g

z − zo = zo = z −

(

)

)

(

ω2 2 2 5.232 r − ro = 4.6 − 22 − 0 2g (2)(9.81)

)

64



z o = −0.97 [m ]

Se halla la presión en A y B: PB = 0

Para hallar la presión en A primero se debe hallar la altura de agua en A: zA = zo +

(

)

ω2 2 2 5.232 r − ro = −0.97 + (1 − 0) 2g (2)(9.81) z A = 0.42 [m]

PA = γ z A = (9.81)(0.42 )

⇒

PA = 4.12 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

65

INTRODUCCIÓN A LA HIDRÁULICA

CINEMÁTICA DE FLUIDOS

3 CINEMÁTICA DE FLUIDOS La cinemática es una parte de la mecánica de fluidos que analiza el movimiento sin tomar en cuenta los motivos por lo que se produjo este, este flujo se analiza en términos de velocidad, aceleración y desplazamiento. 3.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES. VELOCIDAD. La velocidad v se define como un vector: vx ; vy ; vz

Donde la velocidad en cada eje, es función de su posición y del tiempo: v x = f 1 (x , y, z, t ) ;

v y = f 2 (x , y, z, t ) ;

v z = f 3 (x , y, z, t )

También se define por su vector posición: r r r v = i x + jy+ kz

Para el análisis del movimiento de las partículas revisaremos dos métodos: Método de Lagrange: Para este método se elige una partícula de una masa fluida y analizar la variación de la velocidad y aceleración en el espacio y el tiempo. Método de Euler: Se selecciona un punto fijo en el espacio, relacionado con un sistema de coordenadas cualquiera, y se analizan las variaciones, con el tiempo, de las velocidades y aceleraciones de las diferentes partículas de la masa fluida que pasan por el. PERMANENCIA Y UNIFORMIDAD DE LAS VELOCIDADES. Cuando la velocidad permanece en todos los puntos invariable con el tiempo, aunque varíe de un punto a otro, el flujo será permanente o estable, cuando no ocurra así, el flujo será no permanente o inestable. Cuando la velocidad se mantiene constante con respecto del desplazamiento, el flujo se denomina flujo uniforme, por el contrario se denomina flujo no uniforme o variado. El flujo permanente uniforme es aquel donde el vector velocidad permanece inalterado con el tiempo en cada punto del espacio y es constante para puntos sucesivos en el sentido del movimiento. Un flujo permanente variado será similar al anterior con la diferencia de que la velocidad varía en el sentido del flujo. En el flujo no permanente y variado la velocidad se modifica tanto con el espacio como en el tiempo. El flujo no permanente y uniforme es aquel donde el vector velocidad varía con el tiempo, pero permanece constante en puntos sucesivos en el sentido del movimiento.

66



Fig. 3.1. Permanencia y uniformidad de fluidos.

CAMPOS DE FLUJO, LÍNEAS DE CORRIENTE, TRAYECTORIAS Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la región o subregión del flujo esta ocupada completamente por el fluido. En cada punto del campo de flujo es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. Un campo escalar se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde; ejemplo: presión, densidad y temperatura. En un campo vectorial, además de la magnitud, se necesita definir una dirección y sentido para la cantidad física a la que corresponde; esto es tres valores escalares. La velocidad, la aceleración y la rotación son ejemplos de campos vectoriales. Finalmente para definir campos tensoriales se requieren nueve o más componentes escalares; ejemplo: esfuerzo, deformación unitaria y momento de inercia. Líneas de corriente son líneas que son tangentes a los vectores velocidad en unos puntos determinados del flujo en un instante de tiempo. Tubo de corriente es una superficie cerrada formada por líneas de corriente e limitada en el sentido de ellas. v v v v

v

Fig. 3.2. Esquema de una línea de corriente.

La trayectoria es el desplazamiento que lleva una partícula del fluido. Para un flujo permanente, o cuando siendo inestable únicamente la magnitud del vector velocidad varia con el tiempo, la línea de corriente coincide con la trayectoria. Volumen de control, es un volumen fijo en el espacio, de forma y tamaño invariable con el tiempo, a través del cual fluye materia.

67



3.2. ECUACIÓN GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL. El volumen de control, conocido también como sistema abierto, se refiere a una región de interés en el espacio a través de cuyas fronteras un fluido entra y sale continuamente. Las fronteras del volumen de control se llaman superficies de control. La forma y el tamaño de un volumen de control son arbitrarias, todo se deja en función de la comodidad del investigador, o la facilidad que esta de a la solución del problema, en general se hace coincidir estas fronteras con los limites del un escurrimiento y en otras ocasiones hace coincidir perpendicularmente a la dirección de flujo. Consideremos el siguiente esquema: III

II

II I

tiempo t + dt

tiempo t

Fig. 3.3. Volumen de control en tiempo t y t +dt.

En el tiempo t, se considerar una masa de fluido dentro un sistema determinado por el volumen II En un tiempo t + dt, el sistema se ha movido, y se determina por dos sistemas, el II y III. Llamaremos: N, a la cantidad de alguna propiedad de fluidos, como: masa, energía o cantidad de movimiento. η es la cantidad de esta propiedad N por unidad de masa en todo el fluido. En t + dt; (fig. a), el sistema consta de los volúmenes II y III. En t; (fig. b), el sistema consta del volumen I. Determinamos el aumento de N en el sistema en u tiempo dt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ N sist(t + dt) − N sist(t) = ⎜ ∫ η ρ dV + ∫ η ρ dV ⎟ − ⎜ ∫ η ρ dV ⎟ III ⎝ II ⎠ t + dt ⎝ II ⎠t

A esta ecuación sumamos y restamos: ⎛ ⎞ ⎜ ∫ η ρ dV ⎟ ⎝I ⎠ t + dt

También dividimos toda la expresión entre ∂t , por lo tanto la ecuación, queda así: Resolviendo y acomodando de una forma más cómoda la expresión anterior, tenemos: N sist(t + dt) − N sist(t) ∂t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ∫ ηρdV + ∫ ηρdV ⎟ − ⎜ ∫ ηρdV ⎟ ⎜ ∫ ηρdV ⎟ ⎜ ∫ ηρdV ⎟ I ⎝ II ⎠ t + dt ⎝ II ⎠t ⎝ III ⎠ t + dt ⎝I ⎠ t + dt = + − ∂t ∂t ∂t

El primer termino de la derecha: N sist(t + dt) − N sist(t) ∂t

68



Determina la rapidez promedio del aumento de N en ∂t . Si ∂t → 0 entonces esta expresión quedara reducida a: dN dt

Para el primer termino de la derecha: las dos primeras integrales representan la cantidad de N en el volumen de control en t+dt. La tercera integral representa la cantidad de N en el volumen de control en t. Con: ∂t → 0 ∂ ∂t

∫ ηρdV

VC

El volumen de control se mantiene constante cuando ∂t tiende a 0. El segundo termino de la derecha, es la rapidez de flujo N saliendo del volumen de control:

a

dA v

Interior

Volumen de control

Fig. 3.4. Sistema de salida de flujo del volumen de control.

⎞ ⎛ ⎜ ∫ η ρ dV ⎟ ⎠ t + dt ⎝ III Lim = ∫ η ρ v ⋅ dA = ∫ η ρ v cos α dA ∂t → 0 ∂t Area con flujo hacia fuera

dA representa el vector del elemento de área de salida de flujo, normal a este. El tercer término representa la rapidez de flujo N entrando al volumen de control.

Interior v

dA a

Fig. 3.5. Sistema de entrada de flujo al volumen de control.

⎞ ⎛ ⎜ ∫ η ρ dV ⎟ ⎠ t + dt ⎝I Lim = ∫ η ρ v ⋅ dA = ∫ η ρ v cos α dA ∂t → 0 ∂t Area con flujo hacia adentro

Los dos últimos términos pueden combinarse en uno.

69



⎡ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ∫ η ρ dV ⎟ ⎢ ⎜ ∫ η ρ dV ⎟ III I ⎝ ⎠ t + dt ⎝ ⎠ t + dt ⎢ Lim − ∂t → 0 ∂t ∂t ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ = ∫ η ρ v ⋅ dA = ∫ η ρ v cos α dA ⎥ SC SC ⎥ ⎦

Donde no hay flujo hacia fuera o hacia adentro, como: v ⋅ dA = 0

∂ dN = dt ∂t

∫ η ρ dV + ∫ η ρ v ⋅ dA

VC

SC

Esta ecuación representa el aumento de N dentro de un sistema. Esta ecuación sirve para derivar leyes y principios de la forma sistemal a la forma de volumen de control. Forma sistemal, sigue el movimiento de las partículas (método de Lagrange). Forma de volumen, observa el flujo desde un sistema fijo de referencia, volumen de control (método de Euler). 3.3. CONTINUIDAD, VELOCIDAD MEDIA Y CAUDAL. PLANTEAMIENTO PARA UN TUBO DE CORRIENTE. El principio de la conservación de la masa establece que esta ni se crea ni se destruye. Esto supone que la cantidad de masa que fluye según un esquema cualquiera, debe mantenerse constante.

Fig. 3.6. Esquema de continuidad para un tubo de corriente

El principio de conservación de la masa establece que la cantidad de masa que pasa por la sección 1 debe ser igual a la que pasa por la sección 2 en un tiempo dt. Del volumen de control limitado por las áreas dA1 y dA2 que es presentado en la figura 3.6, tomamos un volumen diferencial de sección dA y dS de longitud, la masa de esta sección será: dM = ρ dV

Donde: dM; Diferencial de masa. dV; Diferencial del volumen. El diferencial de volumen será igual a el diferencial de área dA multiplicado por el diferencial de desplazamiento dS. dV = dA dS

Donde: A; Área de una sección de tubo.

70



ds; desplazamiento diferencial a los largo de las líneas de corriente. Por lo tanto, el diferencial de masa quedara: dM = ρ dA dS

Si ambos miembros se divide entre el diferencial del tiempo dt. ρ dA dS dM = dt dt

Donde: dM = dG dt

Cantidad de masa que pasa por una sección por unidad de tiempo.

Por otro lado se sabe que el diferencial de desplazamiento dividido entre el diferencial de tiempo es la velocidad: dS =v dt

Por lo tanto la ecuación queda: dG = ρ v dA

La cantidad de masa debe ser igual en todas sus secciones, como establece el principio de la conservación de la masa. dG = ρ1 v 1dA1 = ρ 2 v 2 dA 2

Para el caso de fluido incompresible, la densidad de masa ρ se mantiene constante: v 1dA1 = v 2 dA 2 = v dA = dQ

Donde: Q; volumen por unidad de tiempo. Este se denomina gasto o caudal. Integrando para cada área tendremos: ∫ v1 dA 1 = ∫ v 2 dA 2 = ∫ v dA = Q

A1

A2

A

Por lo tanto la ecuación de la continuidad entre las secciones 1 y dos, para fluidos incompresibles será: V1 A1 = V2 A 2

La velocidad media es el caudal entre el área por la que pasa dicho caudal: V= V=

1 A

Q A

∫ v da

A

Esta última ecuación es la que mas se utiliza para determinar la velocidad media. Se denota la velocidad instantánea con una v minúscula y a la velocidad media con una V mayúscula.

71



ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD PARA FLUJO BIDIMENSIONAL.

Fig. 3.7. Variación de las velocidades para un volumen de control rectangular

Se toma un volumen de control tipo paralelepípedo con dimensiones: ∆x, ∆y y ancho unitario. Se tiene ingreso de caudal por los lados ab y ad, la velocidad media se toma en el vértice a, donde se toma la componentes de la velocidad Vx y Vy. Por el principio de la continuidad, la cantidad de materia que ingresa al volumen de control debe ser igual a la que sale del mismo, además que el fluido es incompresible, esto significa que el caudal que ingresa al volumen de control es igual al caudal de salida. r r ∆Q = (v ad ∆x + v ab ∆y )× 1 r r ∆Q = (v bc ∆x + v cd ∆y )× 1

La primera ecuación es el caudal que entra y la segunda que sale del volumen de control. Los valores promedio de velocidad se calcularan por la semisuma de las velocidades actuantes en cada lado: Para la velocidad promedio de ingreso: ∂v y ∆x vy + vy + r ∂x v ad = 2

r v ab =

vx + vx +

∂v x ∆y ∂y

2

⇒

r 1 v ad = v y + 2

∂v y

⇒

r 1 v ab = v x + 2

∂v x ∆y ∂y

∂x

∆x

Para la velocidad promedio de salida: r v bc =

vy +

∂v y ∂y

∆y + v y +

∂v y ∂y

∆y +

∂v y ∂x

∆x

2 ∂v y r 1 v bc = v y + ∆y + ∂y 2

∂v y ∂x

∆x

72


r v cd =


vx +

∂v x ∂v x ∂v x ∆x + v x + ∆x + ∆y ∂x ∂x ∂y 2

r ∂v x 1 v cd = v x + ∆x + ∂x 2

∂v x ∆y ∂y

Sustituyendo las ecuaciones de velocidad media de entrada y salida, y resolviendo se tiene: ∂v y ∂y

∆y ∆x +

∂v x ∆x ∆y = 0 ∂x

Esta ecuación llevamos a un punto: ∂v y ∂y

+

∂v x =0 ∂x

Esta última expresión es la ecuación de la continuidad en flujo permanente bidimensional. De manera análoga para flujo permanente tridimensional: ∂v y ∂y

+

∂v x ∂v z + =0 ∂x ∂z

3.4.ACELERACIONES. La aceleración es un vector que se define por la variación de la velocidad con el tiempo. r r dv a= dt

Como estamos hablando de un vector, para definir claramente la aceleración debemos determinar su magnitud, dirección y sentido. Así definimos la aceleración en función de las coordenadas cartesianas x y z, y del tiempo t. a x = f1 (t , x , y, z ) = a y = f 2 (t , x , y, z ) =

dv x dt dv y

dt dv z a z = f 3 (t , x, y, z ) = dt

El cálculo diferencial permite establecer, para el sentido de las x: dv x =

∂v x ∂v x ∂v x ∂v x dt + dx + dy + dz ∂t ∂x ∂y ∂z

Dividiendo todo entre dt: dv x ∂v x ∂v x = + dt ∂t ∂x

∂v x dx + dt ∂y

∂v x dy + dt ∂z

dz dt

dv x ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x = + vx + vy + vz dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Por lo tanto análogamente en las otras direcciones:

73



∂v x ∂v x ∂v x ∂v x vx + vy + vz + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y vz vy + vx + ay = + ∂z ∂y ∂x ∂t ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z az = vx + vy + vz + ∂t ∂x ∂y ∂z

ax =

En los primeros términos de los segundos miembros de las ecuaciones, se tiene la variación de la velocidad con el tiempo, esta también se denomina aceleración local. Los últimos tres términos de los segundo miembros de las ecuaciones, son la variación de la velocidad con el espacio, también se denomina aceleración convectiva. 3.5. DEFORMACIÓN, ROTACIONALIDAD Y VORTICIDAD.

3.8. Volumen de control con sus variaciones de velocidad.

TRASLACIÓN. De la figura 3.8 supóngase que no existe variación en la velocidad en toda la longitud del volumen de control, es decir: ∂v y ∂v y ∂v x ∂v x =0 = = = ∂y ∂x ∂x ∂y

Se puede decir que las velocidades vx y vy permanecen constantes, por lo tanto el volumen de control se moverá de sin cambiar su forma, es decir, el rectángulo abcd se comportara como un sólido:

Fig. 3.9. Traslación de masas fluidas

74



DEFORMACIÓN LINEAL. Este caso se da cuando ∂v x ∂x y ∂v y ∂y no son nulos además, por otro lado los valores de: ∂v y ∂v x = =0 ∂y ∂x

Por lo que el rectángulo sufrirá una deformación lineal en ambas direcciones y su forma se ampliara a reducirá pero este seguirá siendo un rectángulo.

Fig. 3.10. Deformación lineal de masas fluidas

DEFORMACIÓN ANGULAR. Primero considérese el caso contrario al anterior, los valores de ∂v x ∂y y ∂v y ∂x son diferente de cero y por otro lado, los valores de: ∂v y ∂v x = =0 ∂x ∂y

El rectángulo sufrirá una deformación angular como se muestra en la figura.

Fig. 3.11. Deformación angular de masas fluidas

Si las deformaciones angulares en la fig. 3.11, dα y dβ son iguales y contrarias el elemento se deformara sin rotar. Por el contrario si dα ≠ dβ o siendo iguales giran con el mismo sentido, el elemento rotara.

75



Fig. 3.12. Deformación angular de masas fluidas con rotación

El ángulo total de giro será: dα + dβ 1 = 2 2

⎛ ∂v y ∂v x ⎜⎜ − ∂y ⎝ ∂x

⎞ ⎟⎟dt ⎠

El elemento dentro el paréntesis se denomina vorticidad ξ: ξ=

∂v y ∂x

−

∂v x ∂y

Si el valor de ξ = 0 el movimiento del fluido será irrotacional mientras que si ξ ≠ 0 el flujo será rotacional. La expresión general para determinar la rotacionalidad de un campo de velocidades es: ∂v y ⎛ ∂v z ξ = rot v = ⎜⎜ − ∂z ⎝ ∂y

⎞ ⎛ ∂v x ⎟⎟i + ⎜ ⎠ ⎝ ∂z

∂v z ⎞ ⎛ ∂v y ⎟j+ ⎜ ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂x

∂v x ∂y

⎞ ⎟⎟k ⎠

si la ecuación anterior es igual a cero, entonces el flujo es irrotacional. Por otro lado se puede determinar de la misma la velocidad angular de rotación, la vorticidad dividida entre dos: ω=

∂v x ⎤ 1 ⎡ ∂v y − ⎢ ⎥ 2 ⎣ ∂x ∂y ⎦

El termino de vorticidad esta ligado a otro denominado circulación Г, esta se define como: Si en un campo de flujo bidimensional cualquiera se traza una superficie de control cualquiera y cerrada, la circulación será la integral de la componente de la velocidad tangente a la superficie, realizada sobre toda la superficie: dΓ = (v cos α ) dl

r Γ = ∫ (v cos α )dl = ∫ v dl

Donde: α; Ángulo que forma el vector velocidad con la superficie de control. dl; Vector elemental de longitud tangente a la curva. Aplicando el concepto de superficie de control tenemos:

76



∂v y ⎛ ∂v x dΓ = ⎜⎜ − y ∂ ∂x ⎝

⎞ ⎟⎟ dx dy ⎠

De la ecuación concluimos que la vorticidad es la circulación diferencial por unidad de área encerrada por la superficie de control. 3.6. FUNCIÓN DE CORRIENTE.

Fig. 3.13. Esquemas de líneas de corriente

En la Fig. 3.13 se muestra un campo de flujo bidimensional y permanente. La primera línea de corriente pasa por el origen o, también incluimos las líneas de corriente MM’ y NN’ separadas entre si una distancias dn. Denominamos ψ al gasto entre las líneas de corriente o y MM’, el gasto entre MM’ y NN’ se denomina dψ. Por lo tanto el gasto entre o y NN’ es de ψ+dψ. Para analizar este hecho se utiliza un volumen de control triangular de catetos dx y dy y de hipotenusa dn, donde el gasto que ingresa debe ser igual al que sale:

(

)

dψ = v x dy + − v y dx

El diferencial total del gasto dψ es: dψ =

∂ψ ∂ψ dx + dy ∂x ∂y

Por comparación, de las últimas dos ecuaciones determinamos que: ∂ψ = vx ∂x

∂ψ = vy ∂y

ψ = ∫ v x dy + ∫ (− v y )dx + C

Donde la ultima expresión se denomina función de corriente. La función de corriente es la expresión matemática de una línea de corriente. Si el flujo es permanente una función de corriente expresara matemáticamente a una familia de líneas de corriente. Por otro lado los valores determinados para vx y vy se reemplazan en la ecuación de la continuidad bidimensional:

77



∂v y ∂v x + =0 ∂x ∂y

Se tiene: ∂ 2ψ ∂ 2ψ = ∂x∂y ∂x∂y

Se determina una identidad, lo que indica que si una función de corriente existe, solo si el flujo es continuo. De la misma manera reemplazamos los valores hallados para vx y vy en la ecuación de la vorticidad: ∂v y

∂v x − ∂x ∂y 2 ∂ψ ∂ 2ψ + ξ= 2 ∂x ∂y 2 ξ=

Para que el flujo sea irrotacional debe cumplirse: ∂ 2ψ ∂ 2ψ + =0 ∂x 2 ∂y 2

Esta última ecuación se denomina ecuación de La Place. 3.7. FLUJO POTENCIAL. La función potencial se define como: vx = −

∂Φ ∂x

vy = −

∂Φ ∂y

Si sustituimos estas ecuaciones en la ecuación de la continuidad, esta llevara a la ecuación de La Place: ∂ 2Φ ∂ 2Φ + =0 2 ∂x ∂y 2

Si estas también reemplazamos en la ecuación de la vorticidad, estas llevaran a una identidad: ∂ 2Φ ∂ 2Φ = ∂x∂y ∂y∂x

La función potencial solo existe cuando esta cumple la ecuación de La Place y además cuando el flujo es irrotacional. La función potencial es una ecuación perpendicular a la función de corriente, quiere decir que la familia de curvas de la función potencial son perpendiculares a las de la función de corriente. Para ψ constante, dψ = 0, se tiene: − v y dx + v x dy = 0 ⇒

vy dy = dx vx

y para Φ constante, dΦ = 0:

78



v y dy + v x dx = 0 ⇒

v dy =− x dx vy

Lo último indica que las líneas de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales. La representación grafica de estas dos funciones se denomina malla de flujo o red de corriente.

79



EJERCICIOS RESUELTOS 1. Supóngase que para un tubo circular de 50 [cm.] de diámetro la distribución de velocidades, en las condiciones de flujo de este problema, puede ser representada por un paraboloide, cuya generatriz es: v = 21.2 (ro2 − r 2 ) ;

[m/s]

Donde ro es el radio del tubo en metros y r la distancia medida desde el centro del tubo. Se desea calcular el gasto y la velocidad media correspondiente. Para aplicar la siguiente ecuación: 1 A

V=

∫ v dA A

Se debe presentar el diferencial de área dA en función de la variable r: A = πr2

Derivando en función a r: dA = 2π r dr

⇒ A = 0.196 [m 2 ]

A = π r = π(0.25)

2

2 o

Aplicando la ecuación de la velocidad media: V= V=

1 A

ro

1 ∫ v dA A A

π (21.2)(2) 0.196 V = 0.66 [m / s]

2 2 ∫ 21.2(ro - r ) 2 π r dr = 0

0.25

2 3 ∫ (0.25 r − r ) dr 0

Encontrada la velocidad media del flujo, encontramos el caudal: ⎛ π 0.25 2 ⎞ Q = V A = (0.66) ⎜⎜ ⎟⎟ 4 ⎝ ⎠ 3 Q = 0.13 m = 130 [lps] s

[ ]

80



2. El tubo del ejemplo anterior se conecta mediante una transmisión con otro de diámetro 30 [cm]. En una sección de este tubo la distribución de velocidades puede ser representada por una ecuación similar a la del tubo precedente. Calcúlese el coeficiente numérico de la ecuación. Por el principio de continuidad, el caudal que pasa por el primer tubo es el mismo que pasa por el segundo poso: Q1 = Q 2 = 130 lps π (0.3) 4

2

A2 = V2 =

⇒ A 2 = 0.0707 [m 2 ]

Q 0.13 = A2 0.0707

⇒ V2 = 1.84

[m s ]

Aplicando la ecuación de la velocidad media: V2 = (1.84)(0.0707) =

1 A2

∫ v dA

2

A2

0.15

∫ C (0.15

2

− r 2 ) 2 π r dr

0

C=

0.13 0.15 4 − 4

⎛ 0.15 ⎜⎜ ⎝ 2 C = 163.47 4

⎞ ⎟⎟ 2 π ⎠

Por lo tanto la ecuación que describe la distribución de velocidades en el segundo tubo será: v = 163.47 (0.152 − r 2 )

[m/s]

81



3. En la figura se muestra la bifurcación de un tubo circular que tiene los diámetros indicados. El agua que escurre entro del tubo, entre en A y sale en C y D. Si la velocidad media en B es de 0.6 [m/s] y en C es de 2.70 [m/s]. Calcular las velocidades medias en A y D, el gasto total y el gasto en cada rama de la tubería.

Se aplica la ecuación de la continuidad unidimensional entre A y B:

⇒

QA = QB

VA

πD 4

2 A

= VB

πD 4

2 B

⇒

VA A A = VB A B π D 2B 4 π D 2A 4

VA = VB

La velocidad en la sección A será:

= VB

0.32 D 2B ( ) 0 . 6 = 0.15 2 D 2A

[ s]

VA = 2.4 m

El caudal en B será:

(0.3) π 2

Q B = VB A B = (0.6 )

4

[ s ]= Q

3 Q B = 0.042 m

A

Aplicamos la ecuación de la continuidad entre B con C y D: QB = QC + QD VB A B = VC A C + VD A D

(0.10) π 2

VD =

0.042 − VC

(0.05) π 2

4

4

La velocidad en D será:

[ s]

VD = 10.6 m QA = QB = QC + QD

Q C = VC A C = (2.70)

[ s]

3 ⇒ Q A = 0.042 m

(0.10) π 2

4

[ s]

3 ⇒ Q C = 0.021 m

[ s]

3 Q D = Q A − Q C = 0.042 − 0.021 ⇒ Q D = 0.021 m

82



4. En el esquema de tuberías mostrado en la figura, determinar la velocidad media en la sección 2.

Primero se halla el caudal en la sección 3:

[ s]

V = 2 dm

[ ]

A = 2 dm 2

[ s]

⇒ V = 0.2 m

[ ]

⇒ V = 0.02 m 2

[ s ] = 4 [lps]

3 Q 3 = VA = (0.2)(0.02) ⇒ Q 3 = 0.004 m

El caudal de la sección 4 será:

[ s]

V = 1 dm

[ ]

A = 1 dm 2

[ s]

⇒ V = 0.1 m

[ ]

⇒ V = 0.01 m 2

Q 4 = VA = (0.1)(0.01) ⇒ Q 4 = 0.001

⎡m 3 ⎤ = 1 [lps] ⎢⎣ s ⎥⎦

El caudal en la sección 5 será: Q5 = Q3 + Q 4 = 4 + 1 ⇒ Q5 = 5

[lps]

Entonces en la sección 2: 3 Q 2 = Q1 − Q 5 + Q 6 = 20 − 5 + 25 ⇒ Q 2 = 40 [lps] = 0.04 ⎡m ⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦ Q 2 = A 2 V2

La velocidad en la sección 2 será: V2 =

Q2 0.04 = A2 0.02

V2 = 2

[m s ]

83



5. Analice si los siguientes flujos bidimensionales son o no posibles: a) v x = 2 x y ; v y = 0 b) v x = 2 y ; v y = 2 x c) v x = 4 x 2 y ; v y = 4 x Para el inciso a tenemos: vx = 2 x y ; vy = 0

Primero debemos probar a continuidad: ∂v y ∂v x + = 0 2y+0 = 2y ≠ 0 ⇒ ∂x ∂y

Flujo no es posible.

Para el inciso b tenemos: vx = 2 y ; vy = 2 x

Continuidad: ∂v y ∂v x = 0 ⇒ 0+0 = 0 ⇒ + ∂y ∂x

El flujo es posible.

Rotacionalidad: ξ=

∂v y ∂x

−

∂v x = 2−2=0 ⇒ ξ=0 ∂y

Flojo irrotacional.

Para el inciso c tenemos: vx = 4 x 2 y ; vy = 4 x

Continuidad: ∂v y ∂v x = 0 ⇒ 8x y + 0 = 8x y ≠ 0 ⇒ + ∂y ∂x

El flujo no es posible.

84



6. Demostrar que el flujo cuyo campo de velocidades que se indica en seguida, es irrotacional. v x = (2 x + y + z ) t v y = (x − 2 y + z ) t v x = (x + y ) t

Aplicando la ecuación general: ξ = rot v = (

∂v y ∂v y ∂v x ∂v x ∂v z ∂v z − )j − )i+( ) j+ ( − ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂v y ∂v z = t+0= t = t+0= t ⇒ ∂z ∂y ∂v z ∂v x = t+0= t ⇒ = t+0= t ∂z ∂x ∂v y ∂v x =t+0=t ⇒ = t+0= t ∂x ∂y ξ = rot v = ( t - t ) ˆi + ( t - t ) ˆj + ( t - t ) ˆj ξ = rot v = 0

El flujo es irrotacional.

85



7. Un campo de flujo esta definido por la función de corriente Ψ = 3 x y 2 - 6 donde x e y están en metros y Ψ en [m3/s m]. ¿Este flujo es irrotacional? ¿Cuál es la velocidad en el punto x = 3 m, y = -2 m, y cual el valor de Ψ en ese punto? Primero debemos comprobar si el flujo es físicamente posible, es decir continuo:

(

)

(

)

∂ 2Ψ = ∂x∂y

∂ 3xy 2 − 6 ∂ 3y 2 ∂x = ∂y ∂y

∂ 2Ψ = ∂y∂x

∂ 3xy 2 − 6 ∂ (6xy ) ∂y = ∂x ∂x

( )

⇒

∂2Ψ = 6y ∂x∂y

⇒

∂2Ψ = 6y ∂y∂x

las soluciones de ambas ecuaciones son iguales, por lo tanto el flujo es factible. Después debemos comprobar la irrotacionalidad del flujo, se usa la ecuación de La Place: ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + =0 ∂x 2 ∂y 2

(

)

∂ 3xy 2 − 6 ∂x + ∂x

(

∂ 3xy 2 − 6 ∂y ∂y

)

( )

∂ 3y 2 ∂x

=

+

∂ (6 x ) = 0 + 6y = 6y ∂y

6y ≠ 0

Por lo que el flujo es rotacional. De acuerdo con las ecuaciones: vx =

vx =

∂Ψ ∂y

(

v x = −36

V=

∂Ψ ∂x

)

∂ 3xy 2 − 6 = 6xy ∂y

vy = −

Para x = 3 m y y = -2 m, tenemos:

⇒ vy = −

(

)

∂ 3xy 2 − 6 = −3 y 2 ∂x

[m s ]

(− 36)2 + (− 12)2

∧ v y = −12

[m s ]

⇒ V = 37.95

[m s ]

El valor de la función de corriente para este punto será:

(

)

Ψ = ∫ v x dy + ∫ − v y dx Ψ3, −2 = 36 − 6 = 30

⎡m 3 ⎤ ⎢⎣ s m ⎥⎦

86



8. Un campo esta representado por la función potencial Φ = −2xy . ¿cuál será la función de corriente correspondiente? Primero se debe comprobar si el flujo es irrotacional: ∂ 2Φ ∂ 2Φ = ∂y∂x ∂x∂y ∂ (− 2xy ) ∂x = ∂y

∂ (− 2xy ) ∂y ∂x

⇒

∂(− 2 y ) ∂ (− 2x ) = ∂y ∂x

−2 = −2

Por lo que el flujo es irrotacional. Se verifica si el flujo es continuo mediante la ecuación de La Place: ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂ (− 2xy ) ∂x + ∂x

∂ (− 2xy ) ∂ (− 2 y ) ∂ (− 2 x ) ∂y = + =0+0=0 ∂y ∂x ∂y

Por lo que el flujo es continuo y por lo tanto existe una función de corriente Ψ: ∂Φ ∂x v x = 2y

vx = −

ΦÝ ∂y

vy = − v y = 2x

Se reemplaza las velocidades en: vx =

∂Ψ ∂y

∂Ψ = 2y ∂y

vy = −

∂Ψ ∂x

∂Ψ = −2x ∂x

Por lo que: ∫ Ψ = 2 y dy + ∫ − 2 x dx + C Ψ = y2 − x 2 + C

Si reemplaza las coordenadas del origen (0,0), tendremos que C = 0 para un Ψ = 0, por lo tanto: Ψ = y2 − x 2

87



9. Las componentes de las velocidades para el flujo contenido en los contornos señalados en la figura pueden expresarse como: v x = 2x

v y = −2 y

Donde las velocidades están en m/s y las coordenadas en [m]. Se desea calcular la aceleración total en el punto A indicado en la figura y sus componentes tangencia y normal.

Se usa la ecuación de la aceleración bidimensional: ∂v x + vy ∂x ∂v y + vy ∂x

a x = vx a y = vx

∂v x ∂y ∂v y ∂y

Se debe hallar la derivada de la velocidad con respecto a cada eje, se tiene: ∂v x =2 ∂x ∂v y =0 ∂x

∂v x =0 ∂y ∂v y = −2 ∂y

Estas ecuaciones se reemplaza en las ecuaciones de la aceleración en x e y, por lo tanto: a x = (2x )(2 ) + (- 2 y )(0) ⇒ a x = 4 x

a y = (2x )(0 ) + (− 2 y )(− 2 ) ⇒ a y = 4 y

(4x )2 + (4 y )2

a = a 2x + a 2y =

⇒ a = 4 x 2 + y2

En el punto x = 2.5 [m], y = 2 [m]: a = 4 (2.5) + (2 ) 2

tan α =

ay ax

=

4y 2 = 4x 2.5

2

⇒ a = 12.81 ⎡m 2 ⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦ ⇒ tan α = 0.8 α = 38.66º

88



La inclinación de la tangente a la línea de corriente en A: vy 2y y 2 =− =− =− vx 2x x 2.5 Tan β = −0.8 β = −38.66º

tan β =

a s = a cos (α + β) = 12.81 cos (38.66 + 38.66) ⎡m ⎤ ⎢⎣ s 2 ⎥⎦ a n = a sen (α + β) = 12.81sen (38.66 + 38.66 ) a s = 2.81

a n = 12.5

⎡m ⎤ ⎢⎣ s 2 ⎥⎦

89


DINÁMICA DE FLUIDOS

4 DINÁMICA DE FLUIDOS Este capitulo se refiere al estudio de los fluidos tomando en cuenta las condiciones de inicio de movimiento. El capitulo se divide en dos partes: la primera es el estudio de la dinámica de los fluidos ideales, donde no se consideración las fuerzas cortantes o de fricción, eliminando el concepto de viscosidad, la segunda parte es la dinámica de los fluidos reales, donde los planteamientos son lo mas aproximado a la realidad, por la inclusión en el análisis de la influencia de la viscosidad. Sobre masas fluidas actúan las fuerzas cortantes, de presión y de gravedad (peso propio). Para fluidos ideales estas ultimas dos fuerzas deben combinarse de manera que cumplan la segunda ley de newton, para fluidos reales deben incluirse las fuerzas viscosas. En este capitulo se presenta por separada la deducción de las ecuaciones de la energía y de la cantidad d movimiento, además de una interpretación de su uso y los resultados que se consigue con cada uno de ellos. 4.1.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS IDEALES INCOMPRESIBLES.

ECUACIÓN DE EULER.

Fig. 4.1. Esquema de un volumen de control y variaciones de presiones.

La figura 4.1 muestra un volumen de control de forma cúbica de lados ∆x, ∆y y ∆z, colocado de forma que el origen de los ejes cartesianos esta justo en el centro de gravedad del elemento y el eje z coincide con la vertical, sobre este elemento actúan las siguientes fuerzas: Fuerzas de presión, la presión que actúa en los lados del elemento debido al fluido, para tomarla como fuerza se debe multiplicar por el área en contacto, en este caso por el área del lado del cubo. Si se realiza una sumatoria de fuerzas para uno de los ejes, se puede determinar las fuerzas de presiones. ⎛ ∂p x ⎞ Fx = ⎜ − ∆x ⎟ ∆y ∆z ∂ x ⎝ ⎠

95



⎛ ∂p y ⎞ Fy = ⎜⎜ − ∆y ⎟⎟ ∆x ∆z ∂ y ⎝ ⎠ ⎛ ∂p z ⎞ Fz = ⎜ − ∆z ⎟ ∆y ∆x ∂ x ⎝ ⎠

Fuerza de gravedad, esta es debido al peso propio del volumen de control, y actúan en sentido contrario al eje Z: Pe = γ V Pe = γ ∆x ∆y ∆z

Las fuerzas totales que actúan sobre el volumen de control serán: ⎛ ∂p x ⎞ Fx = ⎜ − ∆x ⎟ ∆y ∆z ∂x ⎝ ⎠ ⎛ ∂p y ⎞ ∆y ⎟⎟ ∆x ∆z Fy = ⎜⎜ − ∂y ⎝ ⎠ ∂ p ⎛ ⎞ z Fz = ⎜ − ∆z ⎟ ∆y ∆x + γ ∆x ∆y ∆z ∂x ⎝ ⎠

Se aplica la segunda ley de Newton, esta especifica que la fuerza es igual a la masa por la aceleración del cuerpo. ⇒

F=m a

a=

F m

Se sabe que la masa es: m = ρ ∆x ∆y ∆z

Por lo que las fuerzas por unidad de masa: ⎛ ∂p x ⎞ ∆x ⎟ ∆y ∆z ⎜− Fx ∂x ⎠ = ⎝ m ρ ∆x ∆y ∆z

⎛ ∂p y ⎞ ⎜− ∆y ⎟⎟ ∆x ∆z ⎜ Fy ∂y ⎠ = ⎝ m ρ ∆x ∆y ∆z ⎛ ∂p z ⎞ ∆z ⎟ ∆y ∆x + γ ∆x ∆y ∆z ⎜− Fz ∂ x ⎠ = ⎝ m ρ ∆x ∆y ∆z

Eliminando términos y organizando se tiene: Fx 1 ∂p =− m ρ ∂x Fy 1 ∂p =− m ρ ∂y Fz 1 ∂p =− −g m ρ ∂z

Las fuerzas por unidad de masa halladas deben ser iguales a sus correspondientes aceleraciones en los mismos ejes:

96



ax =

ay =

Fx m Fy

m Fz az = m

∂v x ∂v x ∂v x ∂v x 1 ∂p + vx + vy + vz = − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p vz = − vy + vx + + ∂z ρ ∂y ∂y ∂x ∂t ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z 1 ∂p + vx + vy + vz = − −g ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z

Estas últimas son las ecuaciones de Euler del movimiento de fluidos ideales, cualquier fuerza externa que existiera en el análisis esta se adicionara en el segundo miembros, según sus componentes por unidad de masa. Estas ecuaciones se interpretan de la siguiente manera: En los ejes x e y las aceleraciones locales o convectivas se traduce en un cambio de presiones en esa misma dirección, es decir que una aceleración en este sentido provoca presión. En el sentido z toda aceleración provoca un cambio en la presión ayudado por el peso del cuerpo, es decir que habrá una variación en Fz = − 1 ρ (∂P ∂z ) − g , por que esto introduce en cambio en la altura piezométrica: P γ + z PLANTEAMIENTO BIDIMENSIONAL: Para desarrollar un planteamiento bidimensional de las ecuaciones de Euler, usaremos un sistema de coordenadas naturales: Este sistema e coordenadas se refiere a tomar como eje x el eje tangente a la línea de corriente que llamaremos eje s y el eje y a la perpendicular esta ultima denominada eje n. Tomaremos la figura 4.2 un volumen de control de forma cilíndrica colocado en el sentido de las líneas de corriente:

Fig. 4.2. Volumen de control cilíndrico en el sentido de las líneas de corriente.

97



De acuerdo a la segunda ley de Newton: ∂p ⎛ ⎞ p dA - ⎜ p + ds ⎟ dA + γ dA ds cos α = ρ dA ds a s ∂s ⎝ ⎠

Como: cos α = −

dz ds -

∂p ∂z ds dA - γ ds dA = ρ dA ds a s ∂s ∂s

Por lo tanto: -

∂ (p + γz ) = ρ a s ∂s

En el sentido normal a las líneas de corriente: De la misma manera que el caso anterior, con referencia a la figura 5.3: -

∂ (p + γz ) = ρ a n ∂n

Por lo tanto: -

⎡ ∂ (p + γz ) = ρ ⎢ ∂v s + 1 ∂s 2 ⎣ ∂t

( )

∂ v2 ⎤ ⎥ ∂s ⎦

Fig. 4.3. Volumen de control cilíndrico en sentido normal a las líneas de corriente -

2 ⎛ ∂ (P + γz ) = ρ ⎜⎜ ∂v n + v ∂n r ⎝ ∂t

⎞ ⎟⎟ ⎠

ECUACIÓN DE EULER PARA FLUJO PERMANENTE. ECUACIÓN DE BERNOULLI Utilizaremos las ecuaciones previamente halladas, para iniciar el análisis de esta ecuación. Cuando planteamos el análisis para flujo permanente decimos que la variación de la velocidad con el tiempo es nula. −

∂ (p + γz ) = ρ ∂s 2

( )

∂ v2 ∂s

98



−

2 ∂ (p + γz ) = ρ v ∂n r

Integrando la primera ecuación a lo largo de s, tendremos: 1 ⎛ ⎞ − d⎜ p + γz + ρv 2 ⎟ = 0 2 ⎝ ⎠

O bien: p + γz +

1 ρv 2 = ctte. 2

Esto quiere decir que la suma de los tres términos a lo largo de una misma línea de corriente es constante Para la segunda ecuación: ∂ (p + γz ) = ρv ∂v n ∂n ∂s

−

Donde:

∂v n v = r ∂s

Si al segundo término se le suma y resta ρv

∂v s ∂n

−

∂ (p + γz ) = ρv ∂v n + ρv ∂v s - ρv ∂v s ∂n ∂s ∂n ∂n

−

∂ (p + γz ) = ρ v ∂v n + ρ v ⎛⎜ ∂v n − ∂v s ⎞⎟ ∂n ∂n ∂n ⎠ ⎝ ∂s

Integrando la ecuación, con vs = v: p + γz +

1 ρv 2 = ctte. 2

Por lo tanto, en un campo de flujo permanente, bidimensional e irrotacional, la variación del trabajo por unidad de volumen realizado por las fuerzas de presión y de gravedad de una masa fluida es igual al cambio de la energía cinética por unidad de volumen. Tomando la ecuación entre dos puntos de una línea de corriente y dividiendo todo entre γ: 2

p1 + γz1 +

4.2.

2

v1 v = p 2 + γz 2 + 2 2g 2g

ECUACIÓN DE LA ENERGÍA.

El principio de la conservación de la energía basada en la segunda ley de Newton, establece que el trabajo hecho por las fuerzas que actúan sobre una masa fluida es igual al cambio en la cantidad de energía de esa masa. Las fuerzas que actúan en masas fluidas son: las fuerzas de presión, originadas por la presión que ejerce el mismo fluido multiplicado por una área determinada, la fuerza de gravedad, referente al peso propio de la masa fluida, las fuerzas viscosas, o también llamadas fuerzas tangenciales, y cualquier fuerza exterior, estas producen energía que se añade o sustrae al sistema. 99



Entonces: dT = dE dT = dE p + dE c + dE e

Donde: T; Trabajo. Ep; Energía potencial. Ec; Energía cinética. Ee; Energía añadida o extraída.

Fig. 4.4. Tubo de corriente, con volumen de control limitado.

Para el análisis tomamos un volumen de control de dimensiones finitas, como la figura 4.4. Además tomamos otro volumen de dimensiones diferenciales dentro del primer volumen de control. Tomamos una sección (3) en el elemento diferencial y al cabo de un diferencial de tiempo dt este tomara otra posición (4). La fuerza de presión contenida entre las secciones (3) y (4) será: ∂p ⎛ ⎞ dF = p dA − ⎜ p + ds ⎟ dA ∂s ⎝ ⎠ ⎛ ∂p ⎞ dF = ⎜ − ds ⎟ dA ⎝ ∂s ⎠

El trabajo que realiza esta fuerza será: dT = dF ds ⎛ ∂p ⎞ dT = ⎜ − ds ⎟ dA ds ⎝ ∂s ⎠

La energía potencial será el trabajo realizado por el peso del elemento al desplazarse un dz: dE p = γ dV dz ⎞ ⎛ ∂z dE p = γ (dA ds )⎜ ds ⎟ ∂ s ⎝ ⎠

100



La energía cinética es igual a: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ dE c = d ⎜ M v2 ⎟ = d ⎜ ρ V v2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Para un fluido incompresible: dE c =

⎛ ∂v 2 ⎞ 1 ρ dA ds ⎜⎜ ds ⎟⎟ 2 ⎝ ∂s ⎠

Reemplazando las ecuaciones halladas en la ecuación general de la energía, tenemos: ⎛ 1 ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ds ⎟ dA ds = γ (dA ds )⎜ ds ⎟ + ρ (dA ds) ⎜⎜ ⎜− ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠ ⎝ 2

Sabemos que:

v=

ds dt

⎞ ∂v 2 ds ⎟⎟ ∂s ⎠

⇒ ds = vdt

⎛ 1 ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ds ⎟ dA v dt = γ (dA v dt ) ⎜ ds ⎟ + ρ (dA v dt )⎜⎜ ⎜− ∂ s ∂ s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2

⎞ ∂v 2 ds ⎟⎟ ∂s ⎠

Además: dQ = v dA ⎛ 1 ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ds ⎟ dQ dt = γ (dQ dt ) ⎜ ds ⎟ + ρ (dQ dt )⎜⎜ ⎜− ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠ ⎝ 2 ⎛ 1 ⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ds ⎟ dQ dt − γ (dQ dt )⎜ ds ⎟ − ρ (dQ dt ) ⎜⎜ ⎜− ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠ ⎝ 2

⎞ ∂v 2 ds ⎟⎟ ∂s ⎠ ⎞ ∂v 2 ds ⎟⎟ = 0 ∂s ⎠

Toda esa expresión también puede escribirse así: −

∂ ∂s

⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ p + γ z + ρ v 2 ⎟⎟ dQ ds = 0 2 ⎝ ⎠

Integrando esta ecuación sobre una línea de corriente entre (1) y (2), tenemos: ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 1 ρ v12 ⎟⎟ − ⎜⎜ p 2 + γ z 2 + ρ v 22 ⎟⎟⎥ dQ = 0 ⎢⎜⎜ p1 + γ z1 + 2 2 ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦

En el sentido normal a la línea de corriente, debemos integrar en toda el área de la sección (1) y (2): ⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ ∫ ⎜ p1 + γ z1 + 2 ρ v1 ⎟ dQ - ∫ ⎜ p 2 + γ z 2 + 2 ρ v 2 ⎟ dQ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A A 1

1

1

2

Se deben elegir secciones donde las aceleraciones normales sean despreciables, es decir, secciones sobre líneas de corriente aproximadamente rectas. Si elegimos de esa manera, entonces: p1 + γ z1 = Ctte

y

p 2 + γ z 2 = Ctte

Con esto, la ecuación general queda: (p1 + γ z1 ) Q + ∫

A1

1 1 ρ v12 dQ = (p 2 + γ z 2 ) Q + ∫ ρ v 22 dQ 2 2 A 2

La integral de la expresión anterior, se la representa también: 1

V2

ρ v 2 dQ = α Q ρ ∫ 2 A 2

101



Donde: V; Velocidad media en la sección respectiva. α; Coeficiente de Coriolis, coeficiente de corrección del hecho de tomar la velocidad media en el análisis y no así la distribución de velocidad real. 2

3

1 ⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ ∫ ⎜ V ⎟ dQ = A ∫ ⎜ V ⎟ dA ⎠ ⎠ A⎝ A⎝ 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α1 ρ V12 ⎟ Q = ⎜ p 2 + γ z 2 + α 2 ρ V22 ⎟ Q ⎜ p1 + γ z1 + 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α=

1 Q

Dividiendo todo entre γ: ⎛ p1 V2 ⎜⎜ + z1 + α 1 1 2g ⎝ γ

⎞ ⎛ p ⎟⎟ Q = ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ γ

+ z2 + α2

V22 2g

⎞ ⎟⎟ Q ⎠

Por el principio de conservación de la masa sabemos que en un tubo de corriente el caudal se mantiene constante, entonces: p1 V2 p V2 + z1 + α 1 1 = 2 + z 2 + α 2 2 2g 2g γ γ

Esta ecuación es la ecuación de la energía. Cuando existan fuerzas externan que produzcan energía añadida o extraída, la ecuación de la energía se completa así: p1 V2 p V2 + z 1 + α1 1 = 2 + z 2 + α 2 2 ± H e 2g 2g γ γ

Donde: E e = γ V H e Cuando se usa la ecuación de la energía entre dos secciones de tuberías, también incluimos la perdida de carga ΣHr, en el análisis. Esta perdida es debida a la fricción que existe entre tubería y el fluido. Además se debe incluir un factor de corrección correspondiente al cambio de local velocidad, esta es debido a cambios de dirección o cambios de velocidad instantáneos: 2 p1 V2 p V22 1 2 ∂ (β v) + z1 + α1 1 = 2 + z 2 + α 2 + He + ∑ Hr + ∫ ∂t ds γ γ 2g 2g g 1 1

Donde: α y β; Se conocen como coeficiente de Coriolis y de Bousinesq. 2

∑ H r ; Disipación de energía interna entre (1) y (2). Perdida de carga 1

z; Carga de posición, medido desde un plano de referencia, hasta en el caso de tuberías al eje de la tubería. p γ α

; Carga de presión. Carga piezométrica. V2 2g

; Carga de velocidad.

1 2 ∂βv ∫ g 1 ∂t

; Carga correspondiente al cambio local de velocidad.

He; Carga de energía añadida o extraída.

102



Esta última ecuación es la presentación más general de la ecuación de la energía, que se aplica para una misma línea de corriente entre dos secciones. INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA: a) Para flujo permanente

∂βv =0, ∂t

además de no existir energía extraída o añadida. se utiliza la

ecuación general de la energía, esta es la presentación mas conocida: 2 p1 V2 p V2 + z1 + α1 1 = 2 + z 2 + α 2 2 + ∑ H r γ 2g γ 2g 1

Fig. 4.5. Interpretación grafica de la ecuación de la energía

b) Si sumado a lo mencionado en el inciso a), no existe perdida de energía ∑ H r = 0 entre las secciones 1 y 2, y además de elegir una línea de corriente aproximadamente recta, lo que quiere decir que α1 = 0 = α 2 . La ecuación toma la forma de la llamada ecuación de Bernoulli para una vena liquida o para una línea de corriente. p1 V2 p V2 + z1 + 1 = 2 + z 2 + 2 2g 2g γ γ

c) Si H =

p V2 +z+α 2g γ

representa la energía por unidad de peso que tiene el liquido en una

determinada sección, la cual es medida desde el plano horizontal de referencia, la ecuación de la energía se simplifica: 2

H1 = H 2 + ∑ H r 1

Una interpretación física de los términos de la ecuación de la energía, para una conducción forzada, con escurrimiento no permanente se muestra en la fig. 4.6.

103



Fig. 4.6. Esquema de energías de un sifón.

Con este esquema se puede hacer las siguientes definiciones generales: 1. La línea de energía (L.E.) no puede ser horizontal o con inclinación ascendente en la dirección del escurrimiento. 2. La diferencia de niveles de energía entre dos puntos representa la perdida de energía en ese tramo. 3. La línea de energía (L.E.) y la línea piezométrica (L.P.) coinciden y quedan al nivel de la superficie libre para un volumen de liquido en reposo (Ej. Deposito o embalse) 4. En el caso de que la L.P. quede en algún tramo por debajo del eje de conducción, las presiones locales en ese tramo son menores que la presión cero de referencia. 5. La L.E. nunca puede quedar por debajo del eje de conducción. Este hecho inhabilitaría el flujo. En una determinada sección la energía de un volumen V de líquido respecto del plano horizontal es: E = γHV

POTENCIA La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En mecánica de fluidos podemos modificar este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez con que la energía esta siendo transferida. La unidad de potencia en el SI:

[

1 watt [W ] = 1 N ⋅ m

s

]

La potencia matemáticamente se define: P = γQH

Donde: H; Energía total respecto del plano de referencia. Q; Caudal en la sección considerada, m3/s. P; Potencia del líquido en [W]. En las fig. 4.6 se muestra el esquema de energía añadida, en la mayoría de los casos se considera bomba. 104



Fig. 4.6. Esquema de bomba

Para el caso de bombas, se puede considerar: PA = γ Q H a ,b

Donde: PA; representa la potencia añadida al fluido. Ha.b; la energía que la bomba transmite al fluido o la altura necesaria a vencer. El termino eficiencia se utiliza para denotar el cociente de la potencia transmitida por la bomba al fluido entre la potencia suministrada a la bomba. Debido a las pérdidas de energía ocasionadas por la fricción mecánica en los componentes de la bomba, la fricción del fluido en la misma y la excesiva turbulencia del fluido que se forma en ella, no toda la potencia suministrada a la bomba es transmitida al fluido. Dicho de otra forma, la eficiencia es la razón entre la potencia que requiere el fluido para vencer una altura entre la potencia que ofrece la bomba. Entonces, utilizamos el símbolo η para representar la eficiencia: η=

Potencia transmitida al fluido Potencia puesta en la bomba

Para poder determinar se requiere para determinado problema, se necesita calcular la potencia nominal de la bomba. Esta se refiere a la potencia comercial de la bomba o la potencia que necesitamos de la bomba para lograr vencer la altura requerida por el problema, para esto se aplica la siguiente ecuación: PN =

γ Q H a ,b η

H a ,b = −

η Pn γQ

Fig. 4.7. Esquema de turbina

105



En las fig. 4.7 se muestra el esquema de energía añadida, en la mayoría de los casos se considera bomba. Para el caso de turbinas, se puede considerar: PR = γ Q H a ,b

Donde: PA; representa la potencia transmitida al fluido a la turbina. Ha.b; la energía que la turbina extrae del fluido. Del mismo modo que en bombas, no toda la potencia trasmitida por el fluido se convierte en potencia de salida de la turbina. Por tal motivo la eficiencia será: η=

Salida de Potencia de la turbina Potencia sumistrada por el fluido

De la misma manera que en bombas, en turbinas, se puede hallar una potencia nominal, esta será: PN = γ Q H a ,b η H a ,b =

4.3.

Pn ηγ Q

FLUJO EN ORIFICIOS.

ECUACIÓN GENERAL DE LOS ORIFICIOS.

Fig. 4.8. Esquema de flujo por un orificio de pared delgada.

En la figura se tiene un reservorio con un orifico lateral, situado a una profundidad H, desde centro de gravedad del orificio. Por este se descarga un gasto Q que se quiere hallar, pero la altura H se mantiene constante, por tratarse de un gran volumen en el reservorio o por que ingresa el mismo caudal que sale. El único contacto entre el agua y la pared en el orificio es una pequeña arista afilada, por eso se trata de un orificio de pared delgada. Las partículas próximas al orificio se dirigen al centro del orificio, esto causa que a la salida se produzca una contracción del chorro la cual se produce en la sección 2 mostrada en la figura. Esta es llamada contraída y tiene un área Ac menor al área del orificio. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre (1) y (2) y tomando como referencia un eje que pase por el centro de gravedad del orificio, tenemos: 2

p1 + γz1 +

2

v v1 = p 2 + γz 2 + 2 2g 2g

106



Donde: H = Z1 H=

V22 2g

Se toma en cuenta el centro de gravedad del orificio y no así el de la contraída, este hecho puede ser despreciable. Despejando la velocidad, encontramos la ecuación de Torricelli.: V = 2g H

La ecuación de Torricelli indica que la velocidad varía parabolicamente con la altura H. Si esto ocurre la velocidad en la parte superior del orificio será menor que en la parte inferior, estas velocidades tienden a ser iguales cuando el orificio se hace más pequeño. Esto también se soluciona con la aplicación de un coeficiente de velocidad Cv: V = Cv 2 g H

El análisis se realizo entre la superficie del líquido y la sección contraída después del orificio. El área de la contracción es más pequeña que el área del orificio, para considerar este hecho, también incluimos un coeficiente de contracción Cc al área del orificio: A c = Cc A Q = C v Cc A 2 g H Q = Cd A 2 g H Cd = C v Cc

Donde: Cd; coeficiente de gasto. COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO EN ORIFICIOS DE PARED DELGADA Los coeficientes de velocidad, contracción y de gasto son básicamente experimentales, pero es posible hallar la magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de la ecuación de la cantidad de movimiento. Aplicamos la ecuación de la cantidad de movimiento para un volumen de control limitado por la contraída y dentro del reservorio por una superficie semiesférica de radio igual al del orificio (fig. 4.5).

Fig. 4.9. Volumen de control semiesfera sobre el orificio.

107



Se denota como v1 a la velocidad de una partícula de fluido sobre la semiesfera de radio R. La superficie de la semiesfera es: A1 = 2 π R 2

El área contraída se calcula mediante la siguiente expresión: A c = Cc A = Cc π R 2

Por continuidad: Q1 = Q v1 A 1 = V A c

⇒ v1 =

Ac V A1

Sustituyendo las áreas en la última ecuación: v1 =

Cc π R 2 1 V ⇒ v1 = Cc V 2πR 2

Se debe determinar la velocidad media sobre la semiesfera. La componente de la v1 paralela al eje del orificio es v1 cos θ , esto indica que la velocidad varía según una ley cosenoidal. Se denomina Vs a la velocidad media del flujo sobre la semiesfera. v1 ∫∫ cos θ dA πR2 A

Vs =

Por otro lado se sabe que: R 2 − r2 R dA = 2 π r dr

cos θ =

Reemplazando en la integral: Vs =

2 v1 R R 2 − r 2 r dr ∫ 3 R 0

Integrando: Vs =

2 3

(

v1 − R3 R3 2 Vs = v1 3

)

Sustituyendo la ecuación de v1 en la última ecuación de Vs: Vs =

2 ⎛ 1 1 ⎞ C c V ⎟ ⇒ Vs = Cc V ⎜ 3 ⎝ 2 3 ⎠

En la aplicación de la cantidad de movimiento, β = 1 para la sección contraída, esto debido a que consideramos que las líneas de flujo en esta sección son paralelas. Para la semiesfera β no es 1, por lo que se debe hallar este valor: β1 =

2 2 ∫∫ A v1 cos θ dA

A Vs2

Donde: 108



dA = 2 π r dr

sen 2 θ =

r2 r2 ; cos 2 θ = 1 − 2 2 R R

Sustituyendo: β1 =

1 A Vs

R

∫0

C c2 V 2 3

⎛ r2 ⎜⎜1 − 2 R ⎝

⎞ ⎟⎟ 2πr dr ⎠

Integrando: β1 =

9 = 1.125 8

También se debe conocer la fuerza que impulsa el volumen de líquido. En el punto E actúa una presión p. Mediante la ecuación de la energía entre la superficie del líquido y el punto E: H = Z+

v2 p + 1 γ 2g

Si H es muy grande, entonces z es despreciable: ⎛ v2 p = γ ⎜⎜ H − 1 2g ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

La fuerza será: ⎛ v2 F = p A = γ ⎜⎜ H − 1 2g ⎝

⎞ ⎟A ⎟ ⎠

La masa de líquido descargada será: M=

γ Cc A V g

Entonces la ecuación de la cantidad de movimiento será: 2 ⎡ γ 9 1 ⎛ Cc V ⎞ ⎤ ⎛ γ A ⎢H − A CcV ⎜ V − ⎜ ⎟ ⎥= 2g ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ g 8 ⎝ ⎢⎣

H=

1 C 2v

Cc ⎞ V⎟ 3 ⎠

V2 2g

⎡ 1 ⎤ V2 3 2 1 2 = ⎢2C c − Cc + Cc − ⎥=0 2g 4 4 Cv ⎦ ⎣

Eliminando la carga de velocidad: 1 ⎞ 2 1 ⎛ 3 − ⎟ Cc − 2 Cc + 2 = 0 ⎜ 4 4 C ⎠ ⎝ v

C c2 − 4 C c +

2 =0 C 2v

Como Cc es menor que 1 entonces la raíz de ese valor solo es valido para el signo negativo del radical: Cc = 2 − 4 −

2 C 2v

109



Esta última es la ecuación que relaciona el coeficiente de contracción con el coeficiente de velocidad, para determinar el coeficiente de gasto, solo usamos: Cd = Cc C v

La siguiente tabla muestra la variación de estos coeficientes con el uso de esta ecuación: Tabla 4.1 Valores de los coeficientes para orificios de pared delgada. Cv Cc Cd

1 0.586 0.586

0.99 0.60 0.594

0.98 0.615 0.603

0.97 0.631 0.612

0.96 0.647 0.621

0.95 0.664 0.631

Fig. 4.10. Variación de los coeficientes en función de Reynolds.

Mediante experimentos se determino que los coeficientes de velocidad, contracción y gasto son función del número de Reynolds, con lo cual se presenta un grafico, donde observamos que para un Re > 105, los coeficientes de contracción, velocidad y gasto son independientes de este numero y adquieren valores constantes: C v = 0.99 Cc = 0.605 Cd = 0.60

ORIFICIOS CON DESCARGA SUMERGIDA. Cuando un orificio descarga a otro tanque cuyo nivel esta por arriba del canto inferior del orificio, se dice que la descarga es ahogada. El ahogamiento puede ser total figura 4.11 a) o puede ser parcial figura 4.11 b). a)

b)

Fig. 4.11. Flujo a través de orificios semisumergido y sumergido.

110



En el caso de descarga ahogada total se puede derivar una ecuación análoga a la general, con la única diferencia que la energía total H se cambia por la diferencia de energía entre los dos tanques ∆H (diferencia de niveles entre los dos tanques), entonces la ecuación es: Q = C d A 2 g ∆H

Se recomienda utilizar el mismo coeficiente de gasto que el de un orificio de descarga libre. Cuando el ahogamiento es parcial, como en la figura 4.11 b), el gasto descargado por el orificio se puede expresar como la suma Q1 y Q2, donde Q1 es el gasto correspondiente a la porción del orifico con descarga ahogada, es decir: Q1 = C d1 A1 2 g H

Q2 es el gasto de la porción del orificio con descarga libre, a saber: Q 2 = Cd2 A 2 2 g H m

No hay investigaciones confiables acerca de los coeficientes de gasto Cd1 y Cd2; al respecto Schlag propone que Cd1 = 0.70 y Cd2 = 0.675, en el caso de que el orificio tenga un umbral en el fondo. ORIFICIOS DE PARED GRUESA. Cuando el contorno del orificio no es con aristas afiladas, el orificio es de pared gruesa o tubo corto. En este tipo de orificios notamos que después de la sección contraída el chorro aun tiene espacio dentro del tubo para expandirse y llenar la totalidad de la sección, figura 4.12.

Fig. 4.12. Esquema de un orificio de pared gruesa.

Entre la contraída y el final del tubo ocurre un rápido descenso en la velocidad, acompañado de turbulencia y fuerte perdida de energía. La velocidad de salida será: V = CV 2 g H

Donde: Cv = 0.82 para

e = 3, D

además que Cc = 1, por lo que C d = C v = 082 .

Por lo que el gasto es aproximadamente, un tercio mayor que en un orificio de pared delgada. Esto es debido a que en la sección contraída se forma un vacío parcial con presión ligeramente menor a la atmosférica, lo que aumenta el valor efectivo de la carga H. En la siguiente tabla presentamos el valor de Cd para diferentes formas de tubos cortos:

111



Tabla 4.2. Coeficiente de gasto para diferentes tipos orificios de pared gruesa a) tubo corto Para θ = 0º (Domínguez, Eytelwein y Schurinu) e/D ≤ Cd

0.5 0.6

1 0.75

1.5 0.78

2 0.79

2.5 0.8

3 0.82

5 0.79

e/D Cd

12 0.77

25 0.71

36 0.68

50 0.64

60 0.6

75 0.59

100 0.55

Con e/D = 3 Cd según Weisbach: θ Cd

0º 0.82

10º 0.8

20º 0.78

30º 0.76

40º 0.75

50º 0.73

60º 0.72

Cd = 0.952 Según Popow.

b) Tubos cilíndricos reentrantes (tubos de Borda).

e>3D e<3D

Cd 0.71 0.51

Cv 0.71 0.97

Cc 1 0.53

c) Tubos convergentes con aristas agudas y redondeadas respectivamente.

θ Cd Caso a Cd

Caso a

Caso b

Cd Caso a Cd Caso b

0º

4º

8º

12º

16º

30º

0.95

0.941

0.92 0.92

0.82

0.916 0.942

0.96

0.96

0.959 0.955 0.941

45º

60º

75º

90º

0.87

0.82

0.78

0.74

0.87

0.82

0.78

0.74

Caso b

d) Tubos divergentes, Si θ ≥ 8º la vena liquida no llena toda la sección y ocurre la separación. En el caso de aristas redondeadas el coeficiente Cd, referido a la sección de salida, se obtiene de la siguiente grafica: El coeficiente máximo de gasto se obtiene para θ = 5º.

112



VACIADO DE TANQUES. En la ecuación de Torricelli hallada para determinar la velocidad de flujo por un orificio, se puede notar que esta velocidad es función de la altura H piezométrica en el tanque, es decir de la profundad de agua, donde esta altura es constante para una velocidad determinada. Pero que pasa en el caso que este altura para descendiendo en función del flujo que sale. Ahora se desarrollara un método para calcular el tiempo requerido para vaciar un tanque, tomando en cuenta la variación de la velocidad a medida que disminuya la profundidad del fluido. 1

H

2

Fig. 4.12. Flujo a través de orificios, con estanque de área conocida.

Para determinar la velocidad de salida se aplica la ecuación de Torricelli: Vs = C V 2 g H

Por lo tanto el caudal de salida será: Q = A c Vs

Donde: Ac es el área contraída. El Volumen de líquido que sale del tanque después de un diferencial de tiempo dt, será: V = Q dt = A c Vs dt

113



En el mismo tiempo en el tanque el nivel de agua desciende un dH, el volumen que descendió el líquido será: Vd = −A T dH

Donde: AT es el área de la sección interior del tanque. El signo negativo se debe a que el nivel del líquido esta descendiendo. El volumen del líquido que sale debe ser igual al volumen de líquido que desciende en el tanque: Vd = V ⇒ − A T dH = A c Vs dt

Despejando dt: dt = − dt = − dt = −

AT dH A c Vs AT

dH

Ac Cv 2 g H AT

Ac Cv 2 g

H

−1

2

dH

Integrando entre dos niveles a y b, donde a es el nivel de la superficie en el tiempo 0 y b el nivel en el tiempo dt. t=−

t=− t=

AT Ac Cv 2 g

2 AT Ac Cv 2g 2 AT Ac Cv 2g

⎡ 1 ⎢ H 2 ⎢ ⎢ 1 ⎣⎢ 2

H

⎤ b ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥ H a

1 ⎞ ⎛ 12 ⎜ Hb − Ha 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ 12 ⎜ Ha − Hb2 ⎟ ⎝ ⎠

El área contraída es igual a: A c = C c A donde A es el área del orificio. Además C d = C c C v coeficiente de gasto. t=

2 AT Cd A 2 g

1 ⎞ ⎛ 12 ⎜ Ha − Hb2 ⎟ ⎝ ⎠

Esta ecuación se aplica para determinar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque, teniendo en cuenta la variación de la velocidad de salida del flujo por el orificio. 4.4.

ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

La ecuación de la cantidad de movimiento se deriva de la consideración vectorial de la segunda ley de Newton. Este establece que el impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento, siendo ambas cantidades vectoriales. El impulso es la resultante de las fuerzas que actúan sobre un determinado volumen de control, multiplicado por el tiempo que ellas actúan. La cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad.

114



Con referencia a la fig. 4.4 se toma tres ejes cartesianos orientados arbitrariamente: Para el eje x: dFx dt = d (M v) x dFx dt = ρ ds dA dv x

Donde: dFx; sumatoria de todas las componentes x de las fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial. Para el fluido incompresible y cuando el flujo es permanente, el segundo miembro de la ecuación será: ∂v x ds ∂s ds = v dt v dA = dQ ∂ vx ρ ds dA dv x = ρ ds dQ dt ∂s

ρ ds dA dv x = ρ ds dA

La ecuación general se toma: dFx = ρ

∂v x ds dQ ∂s

Integrando esta ecuación a lo largo de una línea de corriente, con dQ constante, entre (1) y (2).

(

)

∆Fx = ρ v x 2 − v x1 dQ

Integrando la última ecuación en una sección normal a la línea de corriente: ⎤

⎡

∑ Fx = ρ ⎢ ∫ v x 2 dQ − ∫ v x1 dQ⎥ ⎢⎣ A 2

⎥⎦

A1

La integral queda:

∫ v x dQ = βQVx

A

La ecuación general será:

∑ Fx = (βQρVx )2 − (βQρVx )1 Donde: β; coeficiente de Bousinesq β=

1 Q

v

v

1

x x dQ = ∫ ∫ A A Vx A Vx

v dA V

Se procede análogamente para los ejes y y z. La expresión más general de la ecuación de la cantidad de movimiento, es: r

r

∑ F = ∆(β Q ρ V) Donde: r ∑ F ; suma vectorial de todas las fuerzas exteriores. r V ; Vector velocidad media de cada sección.

115



Se debe tomar secciones con una distribución transversal razonablemente uniforme de velocidades, para que β sea prácticamente 1 y las presiones sean hidrostáticamente distribuidas. Esta última ecuación es la ecuación de la cantidad de movimiento lineal, pues esta solo halla la magnitud y la dirección de las fuerzas exteriores. Para encontrar la localización usamos la cantidad de movimiento angular, es el momento de las fuerzas respecto un punto determinado que s igual al momento del momentun respecto al mismo punto: r

r

r r ∑ (F × r )o = (β Q ρ V × r )o

Donde: r; distancia al punto seleccionado y el subíndice identifica el punto. METODO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Los problemas que involucran las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, deben tomar en cuenta la dirección en la que estas fuerzas actúan. La ecuación de general de la cantidad de movimiento es una ecuación vectorial, donde la fuerza y la velocidad son cantidades vectoriales. Por lo tanto la ecuación es validad solo cuando todos los términos tengan la misma dirección. Por lo tanto, lo mejor para resolver problemas de este tipo es el de descomponer la ecuación para cada dirección, es decir, en los ejes x, y y z. Fx = ρ Q ∆Vx Fy = ρ Q ∆Vy Fz = ρ Q ∆Vz

Para resolver problemas aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento puede especificarse el siguiente procedimiento: 1. Identificar la porción de la corriente del fluido que se va a considerar como un cuerpo libre. Esta será la parte donde el fluido cambia de dirección o donde se modifica la geometría de la corriente del flujo del fluido. 2. Establecer los ejes de referencia para las direcciones de las fuerzas. Normalmente se selecciona un eje que sea paralelo a una parte de la corriente del flujo. 3. Identificar y mostrar en el diagrama de cuerpo libre todas las fuerzas externas que actúan sobre el fluido. Todas las superficies sólidas que afecten la dirección de la corriente de flujo ejercen fuerzas. Asimismo, la presión del fluido actuando sobre el área transversal de la corriente ejerce una fuerza en la dirección paralela a la corriente en el contorno del cuerpo libre. 4. Mostrar la dirección de la velocidad del flujo en la forma que este ingresa al cuerpo libre y cómo éste abandona el cuerpo libre. 5. Utilizando la información que se muestra en el diagrama de cuero libre, escribir la ecuación de la cantidad de movimiento en las direcciones pertinentes. 6. Sustituir los datos y despejar la cantidad deseada. 4.5.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES.

Al incluir al análisis del movimiento de los fluidos el efecto de la viscosidad, este afecta a la distribución de velocidades de tal manera que los flujos son rotacionales, es decir las deformaciones juegan un papel muy importante. Los fluidos reales se mueven generalmente bajo dos tipos de flujo, el viscoso o laminar, donde el flujo es dominado por las acciones viscosas, es decir, esta se mueve en capas paralelas, y el flujo turbulento, en el cual, además de las fuerzas debidas a la viscosidad, actúan otras originadas por el 116



intercambio aleatorio y permanente de cantidad de movimiento dentro del campo de flujo, produciendo un movimiento inestable. EFECTO DE LA VISCOSIDAD, ECUACIÓN DE NAVIER – STOKES. Las ecuaciones de Euler, toma en cuenta solo las fuerzas de presión y la del peso propio, a esta añadimos los esfuerzos cortantes que se producen en cada cara un elemento diferencial de la figura 4.13.

Fig. 4.13. Volumen de control cúbico.

En cada lado del elemento el esfuerzo cortante se presenta en dos direcciones, cada una de ellas paralelas a los ejes que conforman el plano de la cara correspondiente. Adicionalmente, los esfuerzos sufrirán una variación desde una cara hasta la cara paralela. Los esfuerzos multiplicados por el área del lado respectivo darán la fuerza cortante correspondiente. Estas fuerzas se colocaran a fuerza por unidad de masa dividiendo por ρ ∆x ∆y ∆z . f cx =

1 ρ

f cy =

1 ρ

f cz =

1 ρ

⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎜⎜ ⎝

∂ τ yx ∂y ∂ τ xy ∂x

∂ τ xz ∂x

⎞ ⎟⎟ ⎠ ∂ τ zy ⎞ ⎟ + ∂z ⎟⎠ ∂ τ yz ⎞ ⎟ + ∂y ⎟⎠ +

∂ τ zx ∂z

Los esfuerzos en cada cara son tales que: τ xy = τ yx

τ yz = τ zy

τ xz = τ zx

De acuerdo a la ecuación general de la viscosidad cuya versión bidimensional se analizo en el capitulo 1, ahora se la presenta en su forma tridimensional: ⎛ ∂v y ∂v x + τ xy = τ yx = µ⎜⎜ ∂y ⎝ ∂x

⎛ τ yz = τ zy = µ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠ ∂v y ⎞ ∂v z ⎟ + ∂y ∂z ⎟⎠

117



∂v z ⎞ ⎛ ∂v x τ xz = τ zx = µ⎜ + ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z

Sustituyendo estas ecuaciones en las fuerzas por unidad de masa, y realizando simplificaciones: µ ∇2vx ρ µ f cy = ∇2vy ρ µ f cz = ∇2vz ρ

f cx =

Entonces se añade estos términos en las ecuaciones de Euler obtenemos las ecuaciones de Navier – Stokes: ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x 1 vx + vy + vz = − + ∂z ρ ∂t ∂x ∂y ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 + vx + vy + vz = − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z vx + vy + v z = − (g + + ∂y ∂z ∂t ∂x

∂p µ 2 + ∇ vx ∂x ρ ∂p µ 2 + ∇ vy ∂y ρ 1 ρ

∂p µ 2 )+ ∇ vz ∂z ρ

Donde el operador ∇ 2 es igual a: ∇2 =

∂ ∂ ∂ + + ∂ z2 ∂ x2 ∂ y2

FLUJO VISCOSO UNIFORME Y PERMANENTE. - Flujo entre placas paralelas. La figura 4.14 muestra dos placas paralelas separadas una distancia B e inclinadas un ángulo α con la horizontal. En el sentido normal a la figura, las placas tienen una longitud infinita. Entre ellas se mueve un fluido de densidad y viscosidad constante y caudal también constante. Las líneas de corriente serán rectas y paralelas a los bordes y entre sí.

Fig. 4.14. Esquema de flujo por placas paralelas.

Dentro este flujo aislamos un volumen de control diferencial bidimensional de dimensiones ds por dn. El equilibrio según las líneas de corriente: ∂τ ∂p ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ p dn − ⎜ p + ds ⎟ dn + γ ds dn sen α − τ ds + ⎜ τ + dn ⎟ ds = 0 ∂n ∂s ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂p ∂τ − ds dn + γ sen α ds dn + dn ds = 0 ∂s ∂n

118


Donde: sen α = −


∂z ∂s −

∂ (p + γz )ds dn + ∂τ dn ds = 0 ∂s ∂n

Si no existe aceleración normal entonces el valor p + γz es constante. Si no hay movimiento en el sentido normal no habrá variación longitudinal del esfuerzo de corte, por lo que la ecuación queda: dh dτ = ds dn

γ

Donde: h =

p + z = Altura piezométrica. γ

Integrando la ecuación:

∫

dτ dh dn = ∫ γ dn dn ds

La expresión dh ds no varia con n, entonces se tendrá: dh n+C ds

τ=γ

El esfuerzo cortante varía linealmente con n, puesto que el flujo entre las dos placas es simétrico, no queda otra que las magnitudes de los esfuerzos cortantes en los contornos sean iguales, por lo que en el punto medio n = B 2 el esfuerzo cortante sea nulo. Reemplazando este valor en la ecuación, se podrá obtener el valor de la constante C: dh B +C ds 2 dh B C = −γ ds 2

τ=0=γ

Sustituyendo el valor de C: dh ⎛ B ⎞ − n⎟ ⎜ ds ⎝ 2 ⎠

τ = −γ

Aplicando la ecuación de viscosidad analizada en el capitulo 1: τ=µ

dv dy

Reemplazando esta ecuación en la ecuación anterior tenemos: dv dh ⎛ B ⎞ = −γ − n⎟ ⎜ dn ds ⎝ 2 ⎠ γ dh ⎛ B ⎞ dv = − − n ⎟ dn ⎜ µ ds ⎝ 2 ⎠ µ

Integrando esta ecuación en el sentido normal:

∫ dv = − ∫ v=−

γ 2µ

γ µ

dh ⎛ B ⎞ − n ⎟ dn ⎜ ds ⎝ 2 ⎠ dh 2 (Bn − n ) + C1 ds

119



La constante de integración puede obtenerse aplicando unas condiciones de borde. La velocidad en los contornos, es decir, para n = 0 y n = B se tendrá que la velocidad es nula, en el caso que los contornos no se muevan, caso contrario la velocidad de del fluido en estos contornos tomara el valor de la velocidad de las placas. Por tanto para el caso que las placas tengan velocidad cero, el coeficiente C1 es igual a cero, por lo tanto: v=−

γ 2µ

dh (B n − n 2 ) ds

La variación de velocidad será parabólica como la ecuación anterior lo demuestra. Como la distribución de velocidades es parabólica, la velocidad máxima se dará en la mitad de la separación B 2 de las dos placas, por lo que la ecuación máxima será: v max = −

γ 8µ

dh 2 B ds

En el caso de una distribución parabólica, la velocidad media será igual a las dos terceras partes de la velocidad máxima: V=

2 2 v mas = 3 3

γ 8µ

γ dh 2 B =− ds 12µ

dh 2 B ds

Presentado de otra forma: 12 µ V dh =− ds γ B2 2 2 12 µ V ∫1 − dh = ∫1 γ B 2 ds

Se considera que la velocidad media es un valor constante, por lo que sale de la integral, resolviendo, se considera que la distancia entre 1 y 2 es L, por lo tanto se tiene: − ∆h = h 1 − h 2 =

12 µ V L γ B2

La ecuación permite calcular la variación de la altura piezométrica a lo largo del conducto. Como el cambio de dicha altura es proporcional a la longitud L, la línea piezométrica es una línea recta. Si el flujo es uniforme entonces ∆h es igual a la pérdida de energía. - Flujo en tuberías circulares de sección constante. Para este análisis se toma una sección de una tubería de sección circular, en esta se toma un volumen de control concéntrico con el tubo.

Fig. 4.15. Esquema de flujo en tubería de sección circular.

120



La ecuación de equilibrio en el sentido del flujo es: ∂p ⎛ ⎞ pπr2 − ⎜p + ∆s ⎟ π r 2 + γ π r 2 ∆s sen α − τ 2 π r ∆s = 0 ∂s ⎝ ⎠

El esfuerzo cortante a una distancia r del centro es constante, por cuanto el flujo es axialmente simétrico, por lo que sen α = − dz ds igual que en el caso anterior. Por lo que la ecuación se convierte en: dz ∂p ∆s π r 2 − γ π r 2 ∆s = τ 2 π r ∆s ∂s ds ∂p dz ∆s π r 2 − γ π r 2 ∆s = τ 2 π r ∆s ∂s ds r ⎛ ∂p dz ⎞ τ= −γ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂s ds ⎠ r d (p + γz ) = − r γ dh τ=− 2 ds 2 ds

pπr2 − pπr2 +

Donde: h = p + γz = altura piezométrica. Igualando la ecuación a la ecuación de la viscosidad, tendremos: dv r dh =− γ dn 2 ds dh γ dv = − γ dn 2µ ds µ

Integrando a los largo de n ( dh ds es constante y dr = −dn ) EXPERIENCIA DE REYNOLDS. Cuando se analiza un fluido en una corriente de flujo, es importante ser capaces de determinar el carácter del flujo. En algunas condiciones, el fluido parecerá que fluye en capas, de una manera uniforme y regular. Se puede observar este fenómeno cuando se abre un grifo de agua lentamente, hasta que el chorro es uniforme y estable. A este tipo de flujo se lo conoce como flujo laminar. Si se abre más el grifo, permitiendo que aumente la velocidad del flujo, se alcanzaría un punto en el que el flujo ya no es uniforme ni regular. El agua del chorro parecerá que se mueve de una manera bastante caótica. Al este flujo se lo conoce como flujo turbulento.

Fig. 4.16. Aparato de Reynolds

121



Para reconocer estos dos tipos de flujo el científico Osborne Reynolds (1883) desarrollo un experimento, para el cual diseño un aparato, el cual consiste en: Una tubería circular de vidrio, que en uno de sus extremos esta sujetado a un tanque y en el otro tiene una válvula que permite regular el caudal. El lado de la tubería que da al tanque esta redondeado para evitar en lo posibles las perturbaciones en el flujo. Adicionalmente se coloca un inyector de tinta no soluble en agua. El esquema del aparato de Reynolds se presenta en la figura 4.16. El experimento se inicia abriendo la válvula y dejando salir un gasto pequeño (velocidad media pequeña), se inyecta la tinta, ser observa que la tinta define una línea recta en el tubo. Se continua abriendo la llave, con lo que aumenta el gasto y también la velocidad media, viendo que la línea de tinta se mantiene invariable, hasta que para una abertura mayor la línea comienza a ondularse erráticamente, a media que se abre mas la válvula la perturbación aumenta, hasta que finalmente la tinta se difunde por toda la tubería. En función a este experimento Reynolds desarrollo una expresión que determinar un número que ofrece una forma fácil de determinar el estado de flujo. En esta relaciona las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas, mediante un análisis dimensional: 4 d L3 ⎛ L ⎞ d ρL d FI = M a = (ρ L3 )⎜ 2 ⎟ = =Vρ 2 T T ⎝ T ⎠ L d ⎛ d dv ⎞ d L2 ⎟⎟ A = µ T L2 = µ FV = τ A = ⎜⎜ µ L T ⎝ dy ⎠

FI = FV

L3 T L2 µ T

Vρ

=

VρL µ

A esta expresión se la denomina numero de Reynolds Re: Re =

VρL VL = µ υ

Donde: L; Longitud característica del campo de flujo, en caso de tuberías el diámetro, en caso de placas paralelas, la separación entre ellas. V; Velocidad media del campo de flujo. ρ; Densidad del fluido. µ; Viscosidad del fluido. υ; Viscosidad cinemática del fluido. Mientras mayor sea el número de Reynolds, mayor será la turbulencia y viceversa, esto hace presumir que si dicho numero tiende a infinito, la deformación viscosa tendera cada vez más a ser relativamente menor. Flujo laminar se da cuando las fuerzas viscosas son de mayor importancia que las fuerzas inerciales, haciendo que el flujo se desarrolle en laminas paralelas, las líneas de corriente son paralelas. Este flujo se da comúnmente cuando las velocidades son bajas. Flujo turbulento se da cuando las fuerzas inerciales son mucho mayores que las fuerzas viscosas, haciendo que el flujo sea caótico, habiendo un gran intercambio de cantidad de movimiento entre las partículas. 122



Para el experimento original la perturbación comienza con Re = 2000, experimentos posteriores, en los cuales se hizo todo lo posible para reducir las perturbaciones de ingreso, utilizando materiales mas finos, hallaron valores de Re de hasta 40000 para el inicio de la perturbación. Por lo que se dice que el flujo es laminar para Re ≤ 2000 TEORÍA DE LA CAPA LIMITE. La existencia de la viscosidad conlleva que la velocidad en la superficie de contacto entre el fluido y el contorno es la misma. Si la superficie esta en reposo, la velocidad del flujo en esta interfase cera cero. En los fluidos reales independientemente de que el flujo se laminar o turbulento, tiene una influencia determinante el numero de Reynolds, pues su magnitud afecta directamente la distribución de velocidades. Para número de Reynolds mayores pierde importancia relativa los efectos de la viscosidad, los cuales aumenta cuando dicho número tiende a cero. Cuando el numero de Reynolds esta por debajo del limite inferior, el flujo es laminar y la viscosidad afecta a todo el campo de flujo, pero cuando supera el limite superior aparecerá la turbulencia, y el efecto de la viscosidad se ira reduciendo cada vez mas restringiéndose a zonas inmediatas a los contornos. Este hecho llevo Prandtl a desarrollar la llamada teoría de la capa límite. La figura 4.17 representa el movimiento de un fluido cualquiera alrededor de una superficie sin que exista separación. Para fluido ideal, con velocidad de aproximación Vo, utilizando conceptos del capitulo 3, se determina la distribución de velocidades en la sección A (caso 1 n la figura). De máxima velocidad en el contorno, que va decreciendo hasta que a una velocidad suficiente este toma Vo.

Fig. 4.17. Flujo alrededor de un cuerpo estatico.

Para un fluido real, para número de Reynolds muy bajo, la velocidad al contorno será cero y seguirá luego un perfil creciente de tipo parabólico hasta confundirse asintoticamente con Vo (caso 5 en la figura). Los demás casos es el paso de un flujo laminar a uno turbulento. La observación de la figura 4.17 lleva a la conclusión que a medida que el número de Reynolds crece, se hace más pequeña la zona de divergencia entre las distribuciones ideales y reales de velocidad. A esta zona se denomina capa límite y pude variar desde un espesor igual a la totalidad

123



del flujo cuando este es laminar, a uno muy pequeño, casi insignificante, cuando el flujo es altamente turbulento. No debe entenderse que dentro de la capa limite, por estar concentrados en ella los efectos de la viscosidad, no existe turbulencia. En realidad existe capas limites laminares (solo efecto de la viscosidad) y capas limites turbulentas o subcapa laminar (efecto de la viscosidad y de la turbulencia). El espesor de la capa limite correspondería al valor de n para el cual v es igual a vi (velocidad ideal). Como en rigor matemático esto no ocurre (ambas curvas de distribución son asintóticas), se ha acordado definir δ al espesor en cuyo borde v es el 99% de vi. TURBULENCIA. El fenómeno turbulento es ocasionado por la inestabilidad del flujo laminar, creando pequeños remolinos que se mueven de manera aleatoria a lo largo y ancho del campo de flujo. Esta situación ocasiona un cambio constante de la magnitud y dirección del vector velocidad en cualquier punto. La turbulencia es un intercambio continuo y aleatorio de masa entre las diferentes zonas del campo de flujo que propicia la mezcla. Esto implica que materia de mayor energía cinética que pasa por el centro de la tubería pase a las zonas laterales y viceversa ocasionado una mayor uniformidad de as velocidades promedio v en sentido del movimiento general.

Fig. 4.18. Distribución de velocidades para flujo laminar y turbulento.

El flujo turbulento representa un incremento sustancial en la perdida de energía. Por ejemplo: en una tubería se colocan dos piezómetros separados una distancia conocida. Para medir el gradiente piezométrico correspondiente a diferentes gastos, y se dibuja una curva de dh ds vs. V. Esta toma la forma de la fig. 4.19, donde podemos notar un incremento notorio del gradiente al momento de iniciarse la inestabilidad, paso del flujo laminar al flujo turbulento.

Fig. 4.19. Grafico de carga piezométrica versus velocidad de flujo.

En resumen, la turbulencia se caracteriza por su condición aleatoria en el tiempo y en el espacio, un rápido proceso de mezcla, la fluctuación tridimensional de las velocidades y la alta disipación de energía, y por eso un fenómeno controlado por las características del flujo no tanto por las del

124



fluido. La turbulencia se presenta para números de Reynolds elevados y es un movimiento macroscópico de pequeños remolinos. Para la determinación de los esfuerzos cortantes en flujo turbulento se aplica la ecuación ya conocida y presentada en el capitulo1 Deja de tener validez. τ=µ

dv dh

El esfuerzo cortante en flujo turbulento debe definirse como un promedio τ pues este tiene características aleatorias. Una ecuación planteada por Boussinesq tiene un gran uso en la actualidad: τ=η

dv dh

Donde: v ; es la velocidad promedio en la sección. η ; Viscosidad de remolino. La naturaleza de esta viscosidad de remolino η, conlleva toda la dificultad del análisis del flujo turbulento, pues esta será función no solo del fluido, como en el caso laminar, sino también de las características del flujo. Para situaciones intermedias donde la viscosidad y la turbulencia tienen influencia, el esfuerzo cortante se puede expresar de la siguiente manera: τ = (η + µ )

dv dh

Donde: µ ; es el coeficiente de viscosidad ya conocido. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES. SUPERFICIES LISAS Y RUGOSAS. - Superficies lisas. Conocer la distribución de velocidades en régimen turbulento, supone la integración de la ecuación de Newton: τ = µ

dv dy

en la subcapa laminar y la ecuación de Bousinesq: τ = η

dv dh

en el resto del

campo de flujo. Las superficies lisas no son las que no presentan ninguna rugosidad, ya que en la realidad todos los materiales presentan algún grado de rugosidad. Estas superficies son en las que el flujo no esta influenciado por la rugosidad del contorno. En estas superficies el esfuerzo cortante en el sentido normal al movimiento dentro de la capa limite se conserva constante e igual al esfuerzo en el contorno τo . Por lo que el la subcapa laminar tendremos: τo = µ τo µ = ρ ρ

dv dy dv dy

125



Debido a que el espesor de la subcapa laminar es muy pequeño, se puede suponer que: dv v = dy y

Es decir una distribución lineal de velocidades. Recordando que en el contorno la velocidad es nula: τo µ = ρ ρ

dv v =υ dy y

Esta expresión también puede escribirse así: τo ρ

υ τo ρ

y = v v* y υ = * v v

Donde: v* =

τo ρ

; Velocidad de corte o de fricción.

En la zona turbulenta dentro de la capa limite, el esfuerzo cortante viene dado por la teoría de la capa límite, ecuación de la subcapa laminar: ⎛ dv ⎞ ⎟⎟ τ o = ρ K y ⎜⎜ ⎝ dy ⎠ 2

2

2

Donde: k; constante de Karman. Despejando la derivada de la velocidad respecto a y, se tiene: dv = dy

τo ρK 2 y 2

=

1 Ky

dv 1 = v* K

τo ρ

⇒

dv v* = dy Ky

dy y

Integrando esta ultima ecuación: v 1 = ln y + C * v K

Karman determino experimentalmente el valor de k como 0.40, por lo que la ecuación será: v = 2.5 ln y + C v*

Al resolver esta última ecuación notamos que da como resultado un número infinito de velocidades en el contorno, en otras palabras, la velocidad se hace cero para un valor finito de la ordenada vertical, esta ordenada se denomina y o . Este hecho no esta bien y que la velocidad en el contorno debe ser nula. Pero esta ecuación corresponde a la zona turbulenta de la capa limite, debe enlazarse con la ecuación de la subcapa laminar, haciendo v = 0, la ecuación queda. 0 = 2.5 ln y o + C C = −2.5 ln y o v y = 2.5 ln y − 2.5 ln y o = 2.5 ln v* yo

Esta educación es la distribución de velocidades en flujo turbulento general. 126



v y = 5.75 log * v yo

Fig. 4.20. Distribución de velocidades real.

Analizando la figura 4.20 donde se plantea una distribución real de velocidades. El tramo oa esta dentro de la subcapa laminar y tiene una distribución lineal de velocidades, se expresa matemáticamente mediante la ecuación de la subcapa laminar. Tramo ad es una curva de transición no definida analíticamente, pero ajusta de manera casi perfecta al análisis de los fluidos. Tramo sobre el punto d corresponde a flujo turbulento, expresada analíticamente por la última ecuación que se hallo, por lo que esta es la ecuación que describe la distribución de velocidades en zona turbulenta. El espesor de la subcapa laminar δ’ esta definida como la distancia normal desde el contorno de la superficie al punto c (Figura 4.20) cruce de la línea recta con la parabólica. Esta definición no es exacta ya que no necesariamente para una ordena δ’ comienza el flujo turbulento. Mejor se dice que para un valor de δ’ se inicia la perturbación. Este hecho se representa mejor con un parámetro de inestabilidad de flujo viscoso χ: χ=

ρn2 µ

dv dn

⇒

y2 χ=

dv χµ χ = = dn ρn2 υn2

dv dy υ

Con: y = n

Para la subcapa laminar, se utiliza la ecuación de Newton: τ dv = o dy µ

Reemplazando la última ecuación en la anterior y con y = δ’: χ=

y 2 τo υµ

δ' =

χ2υ v*

1

127



Con una serie de experimentos Nikuradse pudo determinar el valor de χ, para el cual la ecuación anterior queda: δ' =

11.6 υ v*

y o tiene una proporción directa con δ’, ya que si δ’ crece un ∆δ’ la curva de la ecuación (2) de la fig. 4.19 se desplazara hacia arriba justo un ∆δ’, por lo que también y o crece un ∆δ’. Por ello planteamos: yo =

δ' C

Nikuradse también en función a múltiples experimentos determino que C = 107, por lo que: yo =

0.108 υ δ' = 107 v*

Reemplazando esta ultima ecuación en la ecuación de distribución de velocidades en zona turbulenta, tenemos: v v* y = 5.75 log + 5.50 * v ν

Esta es la ecuación de Karman – Prandtl de la distribución de velocidades en flujo turbulento para superficies lisas. - Superficies rugosas. Todos los materiales tienen irregularidades en su superficie, es decir, son rugosas. rugosidades producen en el campo de flujo.

Estas

Fig. 4.21. Esquema de flujo sobre superficie rugosa.

Cuando las rugosidades del contorno pueden ser amortiguadas por los esfuerzos cortantes viscosos existentes en la subcapa laminar, la superficie se comporta como lisa. Por lo que la ecuación de Karman – Prandlt para la distribución de velocidades en flujo turbulento es valida: v v* y = 5 . 75 log + 5.50 v* v

Cuando los esfuerzos cortantes viscosos son sobrepasados por la turbulencia generada por la rugosidad, dejara de tener influencia la viscosidad, entonces la superficie se comporta como rugosa. El que una superficies se comporte como lisa o como rugosa no solo es función de la geometría o el valor de K, sino de la interacción de las fuerzas que promueven la turbulencia (fuerzas de inercia, FI) y las que se oponen (fuerzas viscosas, Fv) o mejor dicho, son función del numero de Reynolds (Re). 128



Determinada superficie debe depender de K δ' por lo que y o es directamente proporcional a este valor. Donde K es la magnitud de la rugosidad. Cuando la superficie funciones como rugosa, la única variable que influye es K, por lo que y o es función solo de K. Nikuradse determino que y o cuando la superficie se comporta como rugosa, es: yo =

K 30

y

K ≥ 6 δ'

Reemplazando este valor en la ecuación de distribución de velocidades en flujo turbulento genral, se tiene: v y = 5.75 log + 8.50 K v*

Esta última es la ecuación de Karman – Prandtl de la distribución de velocidades en flujo turbulento para superficie rugosa. Se puede resaltar los siguientes puntos: - Un material cualquiera no tiene una configuración homogénea de la rugosidad K, ni de su distribución en la superficie. Nikuradse obvio este problema, realizando sus experimentos en tuberías circulares empleando una rugosidad artificial. Logro adherir a las paredes de la tubería granos de arena de tamaño K uniforme. Por lo que la ecuación (4) solo es validad para superficies de rugosidad artificial de grano de arena. Sin embargo esto se puede aplicar como veremos mas adelante. - Para k > 6 δ’ la superficie se comporta como rugosa, esto no significa que cuando k < 6 δ’ la superficie se comporte como lisa. Entre ambas situaciones existe una transición entre k = 0.4 δ’ y k = 6 δ’ donde no existe en la subcapa laminar un dominio preponderante ni de las fuerzas viscosas ni de la turbulencia. Esta zona no esta cubierta por las ecuaciones de Karman – Prandtl. PERDIDAS DE ENERGÍA EN FLUJO TURBULENTO. - Planteamiento general. La ecuación de la energía aplicada a fluidos reales se expresa de la siguiente manera: p1 V2 p V2 + z1 + α 1 = 2 + z 2 + α 2 + H r γ 2g γ 2g

Se considera un volumen de control limitado por dos secciones iguales, mostrado en la figura 4.22. Se platea flujo uniforme de velocidad media constante, por tal motivo las cargas de velocidad se anulan y la ecuación anterior podrá escribirse: h f = h 2 − h 1 = ∆h

Donde: h; altura piezométrica. Por equilibrio de fuerzas en el volumen de control tenemos: p1 A − p 2 A + γ A L sen α − τ o Pm L = 0

Donde: Pm ; Perímetro mojado. 129



τ o ; esfuerzo de corte en el perímetro mojado.

Fig. 4.22. Esquema de flujo real en una tubería.

Si se divide todo entre γ A y por otro lado se sabe L sen α = (z1 − z 2 ) , se tiene: ⎞ ⎛ p p1 τ o Pm L = hf + z1 − ⎜⎜ 2 + z 2 ⎟⎟ = γA γ ⎠ ⎝ γ γ R hf τo = L

Donde: R es el radio hidráulico que es igual al área mojada entre el perímetro mojado. R=

A Pm

El valor de hf es la cantidad energía perdida en la longitud L, en unidades de longitud: hf =

τo L γR

El valor del esfuerzo cortante medio no puede hallarse de las ecuaciones de distribución de velocidades, para superficies lisas y rugosas, debido a que esas expresiones solo funcionan para flujo bidimensional. En el caso tridimensional podemos usar la última ecuación ya que es fácil hallar hf. - Planteamiento para tuberías circulares. Supóngase un flujo bidimensional, para obviar el cálculo del esfuerzo cortante promedio. Se toma una tubería circular de sección constante, el esfuerzo cortante será constante e igual a τ o por lo que podemos usar la ecuación de velocidad para flujo turbulento. En superficies lisas se puede integrar la ecuación general sobre toda la sección transversal. Esta integración dará el caudal que pasa por la tubería, reemplazando a y por (ro - r) y a dy por (-dr), se tiene: r r (r − r ) + 5.50 ⎞ dr ⎛ Q = ∫ v dA = ∫ 2 π r v dr = ∫ 2π r v * ⎜ 5.75 log v * o ⎟ υ ⎝ ⎠ A 0 o * ⎛ ⎞ v ro Q = π ro2 v * ⎜⎜ 5.75 log + 1.75 ⎟⎟ υ ⎝ ⎠ o

Como V =

o

Q , entonces: π ro2

130



V D v* = 5 . 75 log + 1.75 v* 2υ

Se realiza la misma integración para la superficie rugosa, con la ecuación de Karman – Prandtl para velocidades en flujo turbulento, se tiene: V D = 5.75 log + 4.75 v* 2K

Las ecuaciones de distribución de velocidades de Karman – Prandtl y las de velocidades medias pueden reducirse a una sola expresión. Asociando las ecuaciones de velocidades. v−V 2y = 5.75 log + 3.75 v* D

Esta ecuación se puede utilizar para hallar la distribución de velocidades cualquiera el comportamiento de la superficie. Para el caso de tubería circular la ecuación de perdida de carga será: hf = hf =

τo L A γ Pm

τo L π ro2 γ 2 π ro

=

4 τo L γD

hf =

τo L γR

⇒

=

τo =

2 τo L γ ro γ D hf 4L

Con anterioridad a Karman – Prandtl; Darcy y Weisbach propusieron una formula para evaluar las perdidas de energía en tuberías circulares. Esta es la denominada ecuación de Darcy – Weisbach: V2 2g

L D

hf = f

(D.W.)

Comparando la ecuación (D.W.) con la ecuación de perdida de carga, se obtiene: f f

V2 2g

L D V2 2g

=

4 τo γ

τo = f

4 τo L γD

=

=

4 τo ρg

ρ V2 8

La velocidad de corte será: v* =

τo ρ

=

f

ρ V2 8 ρ

⇒

v* = V

f 8

Si reemplazamos la última ecuación en la ecuación de velocidad en flujo turbulento previamente hallada: D v* V = + 1.75 5 . 75 log 2υ v*

131



Se obtiene la ecuación de Karman – Prandtl para tuberías circulares con superficie lisa en flujo turbulento: 1 f

(

= 2 log Re f

) − 0.8

Donde: Re =

VD υ

; numero de Reynolds

Se realiza un procedimiento similar, para la ecuación tambien previamente hallada: D V = 5.75 log + 4.75 2K v*

Lleva a la ecuación de Karman – Prandtl para tuberías circulares con superficies rugosas en flujo turbulento: 1 f

⎛ D = 2 log ⎜⎜ ⎝ 2K

⎞ ⎟⎟ − 1.74 ⎠

Nikuradese, en base a sus experiencias en tuberías circulares de rugosidad artificial, pudo encontrar varias relaciones del factor de fricción de Darcy – Weisbach con el número de Reynolds, estas son: - Para Re < 2000, limite inferior de Reynolds en tuberías, todos los casos estudiados se agrupan en una sola curva cuya expresión es: f=

64 Re

En este caso la variable influyente es Re por que existe un total dominio de las fuerzas viscosas. - Para Re > 2000, comienza la turbulencia y el valor de f da un salto brusco cualquiera sea D o K. Re sigue siendo la variable determinante, K todavía no influye por que esta sumergida en la subcapa laminar. - Para Re bastante mayor que 2000 se empieza a usar el valor de

K D

que se denomina rugosidad

relativa.

132



EJERCICIOS RESUELTOS 1. El orificio circular practicado en la pared vertical de un recipiente que contiene agua tiene un diámetro de 0.10 [m] y desaloja un caudal de 29.5 [L/s] con una carga de 2 [m]. Con el sistema de coordenadas indicado en la figura, se ha medido en el laboratorio que para x = 3 [m], y = 1.15 [m] para el punto 1. Calcular los coeficientes de contracción, gasto y velocidad.

En la sección contraída del chorro, el ángulo de inclinación del vector velocidad es θ = 0. Vcx = V ; Vcy = 0

Por lo que la ecuación del chorro, será: y=

Vy Vx

g 2

x+

x2 Vx2

Reemplazando la velocidad del área contraída: y=

g 2

x2 V12x

Por lo que la velocidad en la sección contraída, será: g x2 2y

Vc =

g 2y

=x

Vc = (3 )

[ s]

9.81 (2)(1.15)

Vc = 6.19 m

De la ecuación V = C v

2g H

se despeja el coeficiente de velocidad y resolviendo:

Cv =

Vc

=

2g H

6.19

(2)(9.81)(2)

⇒ C v = 0.989

Aplicando la ecuación: Q = C d A 2 g H despejando el coeficiente de gasto y resolviendo: Cd =

Q A 2g H

=

⎡ ⎢ ⎢⎣

0.0295 π(0.10 ) ⎤ ⎥ (2)(9.81)(2) 4 ⎥⎦ 2

⇒ C d = 0.6

Por otro lado se sabe que el coeficiente de gasto es igual al producto entre los coeficientes de velocidad y contracción. Cd = C v Cc Cc =

Cd 0.6 = Cv 0.989

⇒ C c = 0.607

133



2. La válvula abierta, mostrada en la figura, tiene un diámetro D1 = 1.50 [m] y descarga un caudal de 31.5 [m3/s] cuando se elimina el cono después de la válvula. En estas condiciones el caudal descargado sigue la ley de orificios: Q = Cd A 2 g H

Donde A es el área de la válvula. Si se coloca el cono de modo que la sección de salida tenga un diámetro D2 = 1.64 [m], la pérdida de energía que se produce en el mismo esta dada por la formula empírica: ∆h c = 0.10

V12 − V22 2g

El ángulo total con que se realiza la expansión es de 5º. Calcular el caudal descargado para estas nuevas condiciones.

Las áreas para los diferentes diámetros son:

[ ] [ ]

π 2 π D1 = (1.5)2 ⇒ A1 = 1.767 m 2 4 4 π 2 π (1.5)2 ⇒ A 2 = 2.06 m 2 A2 = D2 = 4 4

A1 =

Sin el cono la velocidad en la válvula será: V1 =

Q 31.5 = A1 1.767

[ s]

⇒ V1 = 17.825 m

La carga de velocidad para esta sección es: V12 (17.825)2 = 16.2 [m] = 2g (2)(9.81)

El coeficiente de gasto será: Cd =

A1

Q 2g H

=

31.5 (1.767 ) (2)(9.81)(18)

⇒ C d = 0.95

Con la ecuación de la energía, incluyendo la pérdida de energía por la válvula: 18 =

V12 V2 +K 1 2g 2g

⇒ K = 0.11

134



Con la misma ecuación incluyendo el efecto del cono: 18 =

⎛ V 2 − V22 V22 V2 + 0.11 1 + 0.1 ⎜ 1 ⎜ 2g 2g 2g ⎝ 18 = 0.9

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

V22 V2 + 0.21 1 2g 2g

Se llega a una ecuación con dos incógnitas, se debe hallar otra ecuación. Aplicando la ecuación de la continuidad entre 1 y 2: A1V1 = A 2 V2 2.06 V1 = V2 = 1.166 V2 1.767

Se reemplaza esta ecuación en la ecuación previa: 18 = 0.9

Despejando, y resolviendo:

V22 V2 + (0.21)(1.166 )2 2 2g 2g

[ s]

V2 = 17.25 m

El nuevo caudal será: 3 Q = 35.53 ⎡m ⎤ ⎢⎣ s ⎥⎦

135



3. Dos tanques de agua están conectados por una tubería de 1220 [m] de longitud y 0.25 [m] de diámetro. El nivel en el recipiente superior esta a 37 [m] por encima del nivel del tanque inferior. El caudal que transporta la tubería es de 0.128 [m3/s]. Determinar: a) La pérdida de carga total. b) La presión que existe en la sección, a la mitad de la tubería, si dicha sección se encuentra a la misma elevación que el nivel del tanque inferior, siendo que la mitad de la energía disponible se pierde desde el tanque superior hasta dicha sección.

Para solucionar la pregunta a), se aplica la ecuación de Bernoulli para una vena liquida, entre los puntos 1 y 2 de la figura, y haciendo α1 y α2 igual a uno, se tiene: Z1 +

2 p1 V2 p V2 + α1 1 = Z 2 + 2 + α 2 2 + ∑ H r 2g γ γ 2g 1 2

37 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 + ∑ H r

2

∑ H r = 37 [m]

⇒

1

1

Para solucionar la pregunta b): El área del tubo será: A=

π D2 π(0.25)2 = 4 4

⇒

[ ]

A = 0.0491 m 2

La velocidad media será: V=

Q 0.158 = A 0.0491

[ s]

⇒ V = 2.61 m

La pérdida de energía entre las secciones 1 y 3 es: 3

∑ Hr = 1

37 = 18.5 [m] 2

Aplicando la ecuación de de Bernoulli: Z1 =

3 p3 V2 + 3 + ∑ Hr γ 2g 1

3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ V2 2.612 p 3 = γ ⎜ Z1 − 3 − ∑ H r ⎟ = (9.81)⎜⎜ 37 − − 18.5 ⎟⎟ ⎜ ⎟ 2g 2g 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

P3 = 178.1 ⎡KN 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

136



4. a) Un chorro de agua es descargado desde un chiflón con un diámetro efectivo d’ = 0.075 [m] y una velocidad V = 23 [m/s]. Calcular la potencia del chorro. b) Si el chiflón es alimentado por una tubería desde un almacenamiento cuyo nivel se encuentra 30 [m] arriba del chiflón. Calcular la perdida de energía en la conducción y la eficiencia de la misma. Para resolver el inciso a), primero se calcula el caudal descargado por el chiflón: Q=

3 π 2 π (0.075)2 (23) ⇒ Q = 0.102 ⎡⎢m s ⎤⎥ d V= ⎣ ⎦ 4 4

La energía total en la base del chiflón es igual a la carga de velocidad en la boquilla: H=

V2 = 2g

232 (2)(9.81)

⇒ H = 27 [m]

La potencia del chorro, será: P = γQH

P = (1000 )(0.102 )(27 ) ⇒ P = 2754 ⎡Kg m ⎤ s ⎥⎦ ⎢⎣

Para el caso b), se tien

La potencia teórica: P = γQH

P = (1000 )(0.102 )(30 ) ⇒ P = 3060 ⎡Kg m ⎤ s ⎥⎦ ⎢⎣

La eficiencia del sistema será: η=

P1 2754 100 = 100 ⇒ η = 90 % P2 3060

137



5. En el sifón calcular la velocidad del agua, el gasto y la presión en la sección B, en el supuesto de que las perdidas fuesen despreciables.

Se aplica la ecuación de Bernoulli desde la superficie del líquido hasta la sección C: Z1 +

p V2 p1 V2 + 1 = ZC + C + C γ γ 2g 2g

Los valores de ZC y pC son cero, por estar en el nivel inferior y a presión atmosférica, además la velocidad y la presión en la superficie del líquido son cero también, por tal motivo la ecuación de Bernoulli se reduce a: VC2 2g

Z1 =

Despejando y resolviendo para la velocidad en la sección C, se tiene:

[ s]

VC2 = 2 Z1 g = (2)(3.6)(9.81) ⇒ VC = 8.41 m

El caudal será: Q = V A = (8.41)

π (0.2) 4

2

[ s]

3 ⇒ Q = 0.264 m

El caudal se mantiene constante a lo largo de la tubería. De la misma respuesta podemos decir que la velocidad en el punto B será igual a la del punto C, debido a que el caudal es constante cuando el área es constante, por lo que la velocidad también será constante. Aplicando la ecuación de Bernoulli desde B hasta C: ZB +

p V2 pB V2 + B = ZC + C + C γ γ 2g 2g

Se procede de la misma manera que en el caso anterior, la presión a la salida de la tubería es cero: ZB +

PB =0 γ

[

PB = − Z B γ = −(3.6 + 1.8)(9.81) ⇒ PB = −52.9 KN

m2

]

138



6. ¿Cual será la fuerza ejercida por el agua sobre los remaches del cambio de sección mostrado en la figura? Todo está situado en un plano horizontal y las distribuciones de velocidades son uniformes justo antes y después de la transición (α = 1 y β = 1)

Las fuerzas actuantes son en cada lado del volumen de control son: ⎡ π (0.6 )2 ⎤ F1 = p1 A = (8)(10000 )⎢ ⎥ = 22619.5 [Kg ] 4 ⎣ ⎦

Para hallar F2, se debe hallar primero la presión en la sección 2. Aplicando la ecuación de la energía entre 1 y 2: p1 V2 p V2 + 1 = 2 + 2 γ γ 2g 2g 2 (80)(10000) + V1 = P2 + V22 γ 1000 2g 2g P2 V12 V22 = 80 + − γ 2g 2g

Por continuidad se sabe que el caudal no varía de la sección 1 a la 2, por lo tanto: V=

V1 =

V2 =

Q A

[ s]

0.400 2 π(0.6) 4

= 1.41 m

0.400 2 π(0.3) 4

= 5.66 m

[ s]

Por lo tanto: p2 1.412 5.66 2 = 80 + − = 78.47 [m ] ⇒ p 2 = 7.847 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ cm ⎥⎦ 2g 2g γ

Por lo tanto F2 será: ⎡ π(0.3)2 ⎤ F2 = p 2 A 2 = (7.847 )(10000 )⎢ ⎥ ⇒ F2 = 5546.7 [Kg] 4 ⎣ ⎦

Las fuerzas de presión son en dirección x y el peso no tiene componente horizontal, por lo tanto, aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento: r

∑ F = ∆(β Q ρ V)

139



Para el eje x: F1 − F2 + R x = Q ρ (V2 − V1 ) ⎛ 1000 ⎞ 22619.5 − 5546.7 + R x = (0.40 )⎜ ⎟ (5.66 − 1.41) ⇒ R x = −16899.5 [Kg ] ⎝ 9.81 ⎠

Lo cual indica que la fuerza ejercida sobre los remaches, según x, será igual y en sentido contrario, es decir, de izquierda a derecha. En el sentido de las y no existe cantidad de movimiento debido a que las velocidades son horizontales y el peso se considera despreciable.

140



7. Una tubería de 1.0 [m] de diámetro descarga agua a la atmósfera a través de dos tuberías, como se indica en la figura. ¿Cuál será la fuerza total ejercida sobre los remaches de la pieza final? Considere el peso del agua igual a 1300 [Kg.], el eje y en el sentido vertical, además α y β iguales a la unidad.

Se debe calcular la presión y velocidad en la sección 1. La presión se obtiene del la lectura del manómetro de mercurio, siguiendo el procedimiento explicado en el capitulo 2, se tiene:

[

p1 + p agua − p Hg = p1 + (1.3)(9.81) − (0.30 )(13.6)(9.81) = 0 ⇒ p1 = 27.27 KN

m2

]

Por lo tanto la fuerza en la sección 1 será: ⎡ π(1)2 ⎤ F1 = p1A1 = (27.27 )⎢ ⎥ ⇒ F1 = 21.42 [KN ] ⎣ 4 ⎦

En las secciones 2 y 3 la descarga es en a la atmósfera, por esto las fuerzas de la presiones serás nulas (F2 = F3 = 0). La velocidad en la sección 1 será en función del caudal: V1 =

4 Q1 = 1.27 Q1 2 π(1)

La carga de velocidad en la misma sección: V12 = 0.083 Q1 2g

Tomando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 (Referencia, eje de la sección 1) se tiene: p1 V2 V2 + 1 = Z2 + 2 γ 2g 2g

Donde la velocidad en la sección 2 será en función del caudal 2: V2 =

4Q2 = 5.09 Q 2 2 π(0.50 )

Reemplazando la carga de velocidad en la sección 1 y la velocidad en la sección 2, se tiene:

(5.09 Q 2 ) 27.27 + 0.083 Q1 = 1 + 9.81 2g

2

141



27.27 + 0.083 Q1 = 1 +1.32 Q 2 9.81 1.32 Q 2 − 0.083 Q1 = 1.78

Se tiene una ecuación con dos incógnitas, los caudales en las secciones 1 y 2. Tomando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 3 (Referencia, eje de la sección 1). V2 p1 V2 + 1 = Z3 + 3 γ 2g 2g

Donde la velocidad en la sección 3 en función del caudal 3 será: V3 =

4 Q3 = 6.37 Q 3 2 π(0.50 ) (0.80 )

Se reemplaza de la misma manera que el caso anterior, la carga de velocidad de la sección 1 y la velocidad de la sección 3 en la ecuación de la energia:

(6.37 Q 3 ) 27.27 + 0.083 Q1 = −1.5 + 9.81 2g

2

27.27 + 0.083 Q1 = −1.5 + 2.068 Q 3 9.81 2.068 Q 3 − 0.083 Q1 = 4.28

Se llega a un ecuación con dos incógnitas los caudales en las secciones 1 y 3. Por lo tanto se llega a dos ecuaciones con tres incógnitas: 1.32 Q 2 − 0.083 Q1 = 1.78 2.068 Q 3 − 0.083 Q1 = 4.28

La tercera ecuación del sistema es la ecuación de la continuidad en el nudo: Q1 = Q 2 + Q 3

Con las tres ecuaciones se forma un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que se puede resolver por el método que uno prefiera, se llega a los siguientes resultados:

[ s]

[ s]

3 Q1 = 2.92 m

3 Q 2 = 1.37 m

Las velocidades correspondientes serán:

[ s]

V1 = 3.71 m

[ s]

V2 = 6.97 m

[ s]

3 Q 3 = 1.55 m

[ s]

V3 = 9.87 m

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento: r

∑ F = ∆(βQρV) En el eje de las x: F1 + R x = ρ(Q 2 V2 x + Q 3 V3 x ) − ρQ1V1x

21.42 + R x = 1[(1.37 )(6.97 ) cos(45º ) + 0] − (1)(2.92 )(3.71) ⇒ R x = −4.08 [KN ]

En el eje de las y:

142



R y = ρ(Q 2 V2 y + Q 3 V3 y ) − ρQ1V1y

R x = 1[(1.37 )(6.97 )sen (45º ) + (1.55)(9.87 )] − 0 ⇒ R y = 22.05 [KN ]

Los resultados indican que los remaches resistirán una fuerza axial de tensión de 4.08 [KN] y una fuerza de corte hacia arriba de 22.05 KN.

143



8. Entre dos placas paralelas separadas 20 [cm.], fluye un gasto de 10 [lps/m]. la placa superior se mueve a 0.20 [m/s] en sentido contrario al flujo y la inferior en el mismo sentido a 0.10 [m/s]. Calcúlese el esfuerzo cortante máximo y la velocidad máxima. El fluido es el aceite de Dr = 0.93 y viscosidad 10-2 [Kg s/m2.]

Como las velocidades de las placas son diferentes, no se producirá la simetría del flujo. Se aplica la expresión original del esfuerzo cortante: τ=γ

dh n+c ds

Reemplazando τ por la ecuación de Newton de la viscosidad:

τ=µ

dv dn

dv dh =γ n+C dn ds C γ dh dv = n dn + dn µ ds µ µ

Integrando esta ecuación, tenemos: v=∫ v=

γ µ

γ dh n dn + ∫ µ ds dh n2 + ds 2

C dn µ Cn + C1 µ

Determinamos los valores de C y C1, con la condiciones de contorno:

[m s ] para n = 0 [m s ] para n = 0.20 m

v = 0.10 v = −0.20

Por lo tanto: v= v=

− 0.20 =

γ µ γ µ

dh n2 Cn + + C1 ds 2 µ dh 0 C (0 ) + + C1 ds 2 µ 0.10 = 0 + 0 + C1

(0.93)(1000)

C1 = 0.10

0.2 2 C (0.2) + + 0.10 10 2 10 − 2 dh C = −0.015 − 93 ds −2

dh ds

La expresión de velocidad será:

144



γ 2µ

dh n ⎛ dh ⎞ n2 + ⎜ − 0.015 − 0.93 ⎟ + 0.10 ds µ ⎝ ds ⎠ dh ⎞ ⎛ ⎜ 0.015 + 0.93 ⎟n 930 dh ds ⎠ ⎝ 2 v= n − + 0.10 10 − 2 (2) (10 −2 ) ds v=

v=

dh (46500 n 2 − 9300 n ) − 1.5 n + 0.10 ds

Por otro lado: q = 10 [lps] = 0.01 [m3/s] q = v dA ; dA = b dn; b = 1 [m] q=

0.20

∫ 0

⎡ dh ⎤ 2 ⎢ ds (46500 n − 9300 n ) − 1.5 n + 0.10⎥ dn ⎣ ⎦ 0.2

0.01 =

0 .2

⎡ ⎤ dh ⎡ n3 n2 ⎤ n2 46500 − 9300 + ⎢− 1.5 + 0.10 n ⎥ ⎢ ⎥ ds ⎣ 3 2 ⎦0 ⎣ 2 ⎦0 dh 0.01 = −0.62 − 0.01 ds dh = −3.23 × 10 − 4 ds

La ecuación de la distribución de las velocidades, para este caso será: v = (− 3.23 × 10 −4 )(46500 n 2 − 9300 n ) − 1.5 n + 0.10 v = −15 n 2 + 1.5 n + 0.10

La velocidad máxima se dará para

dv =0: dn dv = 0 = −30 n + 1.5 dn

n = 0.05 [m] En este punto la velocidad es máxima: v = −15 (0.05) + 1.5 (0.05) + 0.10 2

[ s]

v = 0.14 m

El valor máximo de τ ocurre para n = 0.20 m: ⎛ dv ⎞ τ=µ⎜ ⎟ ⎝ dn ⎠ max τ = (10 −2 ) [1.5 − (30)(0.2)] τ = −0.045 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

El signo negativo indica el sentido, este es contrario al flujo.

145



9. Dos manómetros colocados en una tubería de 10 [cm.] de diámetro y separado entre si 250 [m], indican las medidas mostradas en la figura. El líquido tiene una densidad relativa de 0.95 y una viscosidad de 2 × 10 −3 ⎡⎢Kg s m 2 ⎤⎥ . Calcular el caudal en la tubería, la velocidad máxima, el esfuerzo ⎣ ⎦ cortante en el borde y la fuerza cortante ejercida sobre las paredes del tubo.

El gradiente de presiones será: ∆h ∆s

∆h ∆s

=

dh ds

=

⎛ p2 ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜⎜ + Z 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ 1 + Z1 ⎟⎟ γ γ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎝ L ⎞ ⎛ 2.9 × 10 4 ⎞ 3 × 10 4 + 0 ⎟⎟ − ⎜⎜ + 1.25 ⎟⎟ (0.95)(1000) ⎠ ⎝ (0.95)(1000) ⎠ 250 dh = −0.0008 ds

dh ds

⎛ ⎜⎜ = ⎝

Usando la ecuación de Hagen – Poiseville: 32 µ V L γ D2 32 µ V = γ D2

− ∆h = h 1 − h 2 = −

h1 − h 2 L

−

h1 − h 2 32 µ V = L γ D2

Despejando y resolviendo para la velocidad se tiene: − (− 0.0008) =

32 (2 × 10 −3 ) V (950) (0.1)2

⎛ π 0.12 Q = V A = (0.119) ⎜⎜ 4 ⎝

[ s]

⇒ V = 0.119 m

[ ]

3 ⎞ ⎟⎟ ⇒ Q = 0.00093 m s ⎠

La velocidad máxima será: v max = −

γ 4µ

dh 2 ro ds

Donde: vmax ocurre en el centro de la tubería. v max = −

950 (− 0.0008) (0.05)2 −3 4 (2 × 10 )

[ s]

v max = 0.24 m

El esfuerzo cortante en el borde:

146



τ=− τ=−

r dh γ 2 ds

0.05 (950) (− 0.0008) 2 τ = 0.019 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La fuerza cortante: Fc = τ A = τ π D L Fc = π (0.019) (0.1) (250) Fc = 1.49 [Kg ]

147



10. En una tubería de 500 [mm] de diámetro, donde fluye agua ( ν = 10 −6 [m 2 s] ), se ha medido el esfuerzo cortante en el contorno, resultando ser este 0.02 [Kg m 2 ] . Se pide calcular la velocidad en el borde de la subcapa laminar y la velocidad máxima, si la tubería se comporta como lisa. La velocidad de corte es: v* =

τo ρ

=

τo γ g

=

[ s]

0.02 1000 9.81

v * = 0.014 m

Con la ecuación de Karman – Prandtl para superficies lisas: v* y v = 5.75 log + 5.50 * v v v (0.014) y + 5.50 = 5.75 log 0.014 10 −6 v = 0.08 log y + 0.411

El espesor de la subcapa laminar δi se halla con la siguiente ecuación: 11.6 ν v* (11.6) (10 −6 ) δ' = 0.014 δ' = 8.28 × 10 −4 [m] = 0.83 [mm] δ' =

Por consiguiente: v δ ' = 0.08 log (8.28 × 10 −4 ) + 0.411

[ s]

v δ ' = 0.16 m

La velocidad máxima se dará en el eje de simetría: y = 250 [mm] v max = 0.08 log (0.25) + 0.411

[ s]

v max = 0.36 m

148



11. Una superficie funciona justo como rugosa cuando la velocidad a 1 [m] sobre ella e de 5 [m/s]. Aceptando como válidas las ecuaciones de Kárman – Prandtl, ¿cuál será la rugosidad y la velocidad a 50 [cm.] de la superficie? Si se tiene un régimen rugoso, se tendrá: 11.6 ν k = * v 6 6.96 × 10 −5 k= v*

δ' =

Como la tubería se comporta como rugosa, utilizamos la ecuación de karman – Prandtl, para este caso: v y = 5.75 log + 8.50 v* K v y = 5.75 log + 8.50 * × 10 −5 6 . 96 v v* v = 5.75 log v* y + 32.4 v*

Para los valores medidos: 5 [m/s] a 1 [m] sobre la superficie: 5 = 5.75 log v* (1) + 32.4 * v 5 = v* (5.75 log v * + 32.4 ) 2

5.75 log v* + 32.4v* − 5 = 0

[ s]

v * = 0.178 m

Sustituyendo este valor en la ecuación de K obtenemos: 6.96 × 10 −5 6.96 × 10 −5 = * v 0.178 −4 K = 3.9 × 10 [m ] = 0.39 [mm]

K=

Se halla la velocidad en función de y: v = 5.75 log (0.178) y + 32.4 0.178 v = 1.02 log y + 5

La velocidad a 50 [cm.] de la superficie será: v = 1.02 log 0.5 + 5

[ s]

v = 4.69 m

149


FLUJO EN TUBERIAS

5 FLUJO EN TUBERIAS El presente capitulo se refiere al movimiento confinado en tuberías de los fluidos reales incompresibles. Se plantea las ecuaciones básicas de flujo en tuberías, además de perdidas por fricción y localizadas. En este capitulo también se presenta los criterios de diseño básico de sistemas de tuberías simples y redes. 5.1.

RESISTENCIA AL FLUJO EN TUBERÍAS CIRCULARES.

TUBERÍAS CIRCULARES. Para la determinación de las pérdidas de carga en tuberías circulares, se han deducido varias ecuaciones empíricas entre las más conocidas tenemos, la ecuación de Darcy – Weisbach, donde se plantea que las pérdidas de carga por fricción como una relación entre la energía de velocidad y un factor de forma, para que esta relación sea una igualdad, esta debe ser multiplicada por un coeficiente, como se presente a continuación: hf = f

L D

V2 2g

Donde: hf; pérdida de carga por fricción [m]. D; diámetro de la tubería [m]. L; longitud del tubo [m]. V; velocidad media del flujo, en [m/s]. g; aceleración de la gravedad, en [m/s2]. f; factor de fricción, adimensional. El factor de fricción f es funcional de la rugosidad de la tubería y el número de Reynolds. La relación de la pérdida de energía y la longitud del tubo se denomina pendiente de fricción Sf, por lo que despejando estas variables, se tiene: Sf =

hf f = L D

V2 2g

En la ecuación de Darcy – Weisbach todos los términos son fácilmente aplicables, menos el factor de fricción f. Este puede encontrarse con la aplicación de ecuaciones empíricas, determinadas para este efecto a través de experimentación. FACTOR DE FRICCIÓN. Ecuación de Hagen – Poseiville, se aplica cuando en la tubería existe flujo laminar: f =

64 Re

Reemplazando la última ecuación en la ecuación de Darcy – Weisbach tenemos la ecuación de Hagen – Poiseville, para determinar la pérdida por fricción en tuberías para flujo laminar:

150


FLUJO EN TUBERIAS

hf =

32 µ V L γ D2

Para flujo turbulento pero en tuberías funcionando como lisas, se aplica la ecuación de Kárman – Prandtl: 1 f

(

= 2 log R e f

)− 0.8

Para tuberías circulares trabajando con superficie rugosa se utiliza la ecuación de Karman – Prandtl para tuberías rugosas: 1 f

⎛ D = 2 log ⎜⎜ ⎝ 2K e

⎞ ⎟⎟ + 1.74 ⎠

Todavía tenemos el problema del régimen de transición, es decir, aquellas, donde las tuberías no son ni lisas ni rugosas. Para esta zona Colebrook y White presentaron una ecuación empírica para determinar el factor de fricción: 1 f

⎛ K ⎜ 2.51 = −2 log⎜ D + ⎜ 3.71 Re f ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Con los resultados de estas ecuaciones L. F. Moody (1914) confecciono un diagrama universal, para determinar el factor de fricción introduciendo el número de Reynolds, y la rugosidad equivalente K D , donde K es la rugosidad de la tubería y D el diámetro de la misma. El diagrama de Moody se presenta en la fig. 5.1. Con el diagrama de Moody podemos, conocido el número de Reynolds y la rugosidad equivalente relativa, encontrar el correspondiente factor de fricción. Sin embargo si no se conoce el número de Reynolds, por ser incógnitos el gasto o el diámetro, el factor de fricción se obtiene por aproximaciones sucesivas. En la tabla 5.1 se presenta valores de rugosidad equivalente relativa para diferentes materiales de uso común, suponiendo que estos materiales son nuevos. Tabla 5.1. Valores de Ke para distintos materiales Material Ke [mm] Vidrio, plástico, bronce y cobre, asbesto cemento * Lisos Asbesto cemento ** 0.028 Acero comercial 0.046 Hierro forjado 0.046 Hierro colado recubierto de asfalto 0.120 Hierro galvanizado 0.450 Hierro colado 0.260 Concreto 0.3 a 3 Acero remachado 0.9 a 9 * Con recubrimiento interno ** Sin recubrimiento interno

Para tuberías usadas, en algunos casos, como concreto o acero remachado se dan rangos en otros no, para esto Colebrook y White propusieron una formula:

151


FLUJO EN TUBERIAS

K e = K eo + α t

Donde: Ke ; Rugosidad equivalente para tubo nuevo α ; Coeficiente de envejecimiento. t ; tiempo en años.

Fig. 5.1. Diagrama de Moody.

152


FLUJO EN TUBERIAS

FORMULA DE HAZEN - WILLIANS. Formula de Hazen – Willians. Es la relación matemática entre la velocidad de media versus el radio hidráulico y la pendiente de la línea de energía, para llegar a una igualdad esta es multiplicada por un coeficiente. En el sistema técnico de unidades se expresa: V = 1.538 C HW Rh 0.63 S0.54

Donde: Rh ; radio hidráulico [m]. S; pendiente de la línea de energía. CHW; coeficiente de Hazen – Willians, adimensional. Para tuberías funcionando a presión se tiene que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro y la pendiente de la línea de energía es igual a la perdida de energía por fricción sobre la longitud del tubo: Rh =

D 4

;

S=

hf L

Por lo que la ecuación de H – W, se escribe: V = 1.538 C HW

⎛ D ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

0.63

⎛ hf ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

0.54

Despejando la perdida de energía por fricción hf, se tiene: h 0f.54 =

4 0.63 V L0.54 1.538 C HW D 0.63

h f = 2.271

V1.85 L .85 C1HW D1.16

Si multiplicamos y dividimos el segundo miembro por L D , se tiene: h f = 2.271

V1.85 .85 C1HW D 0.16

L D

De la misma manera, multiplicamos y dividimos el segundo miembro por la carga de velocidad V 2 , se tiene: 2g ⎡ 44.56 h f = ⎢ 1.85 0.16 0.15 C ⎣ HW D V

⎤ L ⎥ ⎦ D

⎡ V2 44.56 = ⎢ 1.85 0.15 0.01 2g ( C D ⎣ HW V ) D

⎤ L ⎥ ⎦ D

V2 2g

Multiplicando y dividiendo por la viscosidad cinemática elevado a una potencia de 0.15; υ0.15: ⎡ 44.56 h f = ⎢ 1.85 0.15 0.15 0.01 ⎣ C HW Re υ D

⎤ L ⎥ ⎦ D

V2 2g

Si se compara la última ecuación hallada, partiendo de la ecuación de Hazen – Willians, con la ecuación de Darcy – Weisbach, se tiene que: f=

44.56 .85 C1HW Re 0.15 υ0.15 D 0.01

En la siguiente tabla se presentan valores de CHW para distintos materiales: 153


FLUJO EN TUBERIAS

Tabla 5.2. Valores de CHW Material CHW Tuberías lisas y rectas 140 Tuberías lisas 130 Hierro fundido nuevo 130 Hierro fundido 10 años 110 Hierro fundido 30 años 96 Concreto, bien acabado 120 a 130 Acero soldado 120 Acero con remaches 110

FORMULA DE MANNING. De forma similar que la ecuación de Hazen – Willians, la ecuación de Manning es una formula es empírica, obtenida por experimentación. Esta relaciona la velocidad de flujo con el radio hidráulico y la pendiente de la línea de energía para el caso de tuberías que funcionan a presión, para tener una igualdad se debe multiplicar por un coeficiente: V=

2 1 1 Rh 3 S 2 n

Donde: Rh; radio hidráulico [m] S; pendiente de la línea de energía. n; coeficiente de Manning, adimensional. De la misma manera que el caso anterior, para tuberías funcionando a presión, se tiene: 2

V=

1 ⎛ D ⎞ 3 ⎛ hf ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n ⎝ 4 ⎠ ⎝ L ⎠

1

2

Despejando la pérdida de energía por fricción, hf, se tiene: h f = 6.34

n2 L V2 D

4

3

Multiplicando y dividiendo el segundo miembro por D y por 2g, se tiene: ⎡ n2 ⎤ L h f = ⎢124.4 1 ⎥ D3 ⎦ D ⎣

V2 2g

Si se compara la última ecuación hallada, partiendo de la ecuación de Manning, con la ecuación de Darcy – Weisbach, se tiene que: f = 124.4

n2 D

1 3

El coeficiente de Manning, n, depende del material de que esta constituido el tubo. En la tabla 5.3 se presentan valores típicos de este coeficiente en función del material. Tabla 5.3. Valores de n Material n Hierro fundido nuevo 0.015 Acero soldado 0.012 Acero galvanizado 0.011 Concreto pobre 0.011 a 0.17 Concreto comercial 0.013 vidrio 0.006 a 0.007

154


FLUJO EN TUBERIAS

PERDIDAS LOCALIZADAS. a) Formula general. Las tuberías de conducción están compuestas por tramos rectos y también curvos, para ajustarse mejor a los accidentes de la topografía o al sistema de tuberías. Estas no solo son curvas, también puede haber cambios de diámetro, división de tuberías, etc. Estos cambios originan perdidas de energía localizadas en el mismo sitio de cambio de geometría o de la alteración del flujo. A este tipo de pérdidas se denomina pérdidas localizadas, la formula general de pérdida local es:

(V2 − V1 ) V2 =K 2g 2g

2

hL = K

Donde: K; coeficiente adimensional que depende del tipo de artefacto que causa la pérdida. Como el caudal es igual a la velocidad media por el área de la sección: Q = VA ⇒ V = V2 =

Q2 A2

⇒

Q A

V2 Q2 = 2g 2g A2

Reemplazando en la ecuación general se tiene: hL = K

1 Q2 2g A2

h L = K k' Q 2 h L = K L Q2

Donde: K L = K k'

k' =

1 2g A2

b) Entradas: La salida de un estanque por una tubería es un caso extremo de contracción brusca, en la siguiente figura se presentan varios casos:

Fig. 5.2. Valores de K para diferentes tipos de entradas bruscas

155


FLUJO EN TUBERIAS

Fig. 5.3. Diagrama para determinar K en entradas con entrante al reservorio.

c) Expansión: Esta se origina al producirse una ampliación de la sección transversal del tubo. El coeficiente K depende de cuan brusco es la ampliación y para encontrarlo se usa la formula de Borda – Carnot, donde Cd depende del ángulo θ del difusor: ⎞ ⎛ A2 K = C d ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎠ ⎝ A1

2

Fig. 5.4. Diagrama para determinar K en expansiones graduales

Para evitar separaciones y cavitaciones, el ángulo θ del difusor debe ser: tan

θ = 2

gD 2V

Para θ < 20° Donde: D=

D1 + D 2 2

; V=

V1 + V2 2

Para ampliaciones bruscas se puede evidenciar una amplia zona de separación y formación de remolinos. Para determinar la perdida de carga para este tipo de artefacto se trabaja con la mayor velocidad. Se pude usar los valores de K presentados en la figura 5.5.

156


FLUJO EN TUBERIAS

Fig. 5.5. Diagrama para determinar K en expansiones bruscas

d) Contracción: Es el cambio de sección en la tubería, de un área mayor a área menor. Para la contracción brusca, el flujo se caracteriza por la formación de una sección contraída, similar a la de un orificio. Tabla 5.4. Valores de K para contracción brusca

A2/A1 D2/D1 Cc K

0 0 0.611 0.41

0.1 0.32 0.624 0.36

0.2 0.45 0.632 0.34

0.3 0.55 0.643 0.31

0.4 0.63 0.659 0.27

0.5 0.71 0.681 0.22

0.6 0.77 0.712 0.16

0.7 0.84 0.755 0.11

0.8 0.89 0.813 0.05

0.9 0.95 0.892 0.01

1 1 1 0

Tabla 5.5. Valores de K para contracción gradual

D1/D2 α 6° 8° 10° 15° 20° 30°

1.15 1.44 0.006 0.009 0.012 0.022 0.045 0.280

1.25 1.80 0.018 0.028 0.04 0.07 0.12 0.25

1.50 3.05 0.085 0.138 0.20 0.34 0.60 1.25

1.75 4.89 0.23 0.37 0.53 0.93 1.73 3.4

2.00 7.50 0.5 0.8 1.1 2.0 3.5 7.0

2.50 15.9 1.5 2.4 3.4 6.1 11.0 -

e) Cambios de dirección: hL = KL

V2 2g

Otra forma de realizar este cálculo es mediante el empleo de la formula encontrada por Hinds:

Fig. 5.7. Diagrama para determinar K en cambios de dirección

157


FLUJO EN TUBERIAS

3 .5 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ K = ⎢0.13 + 1.85 ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

α 180

La forma del codo viene dado por el diámetro de la tubería (D), el radio del codo (ro) y el ángulo central o radio de curvatura (α). Para codos funcionando en régimen turbulento (numero de Reynolds 2 x 105) y material de contorno liso, se presenta una grafica donde tenemos los valores de K en función del radio de giro del codo y el diámetro de la tubería (H. Ito, 1960)

Fig. 5.6. Diagrama para determinar K en cambios de dirección

Para un cambio de dirección brusco:

Fig. 5.8. Diagrama para determinar K en cambios de dirección brusca

f) Válvulas: Los coeficientes de pérdida por válvulas varían de acuerdo con el tipo de válvula y también para distintas posiciones de este. Estos valores de coeficientes de perdida K deberían ser proporcionados por los fabricantes. Pero a falta de estos datos, se puede utilizar los valores medios que a continuación se indican: Válvulas de compuerta: Tabla 5.6.Valores de K para válvula de compuerta

e/D K

0 0.15

¼ 0.26

3/8 0.81

1/2 2.06

5/8 5.52

3/4 17.0

7/8 97.8

158


FLUJO EN TUBERIAS

Válvulas esféricas: Tabla 5.7. Valores de K para válvula esférica

θ° 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 82

K 0.05 0.29 0.75 1.56 3.1 5.17 9.68 17.3 31.2 52.6 106 206 486 ∞

Válvula de mariposa: Tabla 5.8. Valores de K para válvulas mariposa

θ° 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 90

K 0.24 0.52 0.9 1.54 2.51 3.91 6.22 10.8 18.7 32.6 58.8 118 256 751 ∞

g) Bifurcaciones: Las bifurcaciones comúnmente denominadas tes o yes ocasionan pérdidas que dependen del ángulo que forman la tubería secundaria con la maestra, la relación entre los diámetros de ambas tuberías y de la dirección de la corriente. Esta perdida es mayor en la unión que en la bifurcación. 159


FLUJO EN TUBERIAS

Fig. 5.9. Diagrama para determinar K para combinación de flujo

Fig. 5.10. Combinación de flujo 45° Fig.

Fig. 5.12. Combinación de flujo 90°

5.11. Combinación de flujo 45°

Fig. 5.13. Combinación de flujo 90°

160


FLUJO EN TUBERIAS

Fig. 5.14. División de flujo

Fig. 5.15. División de flujo 45°


5.2.


FLUJO PERMANENTE.

ECUACIONES BÁSICAS. Los problemas de flujo permanente pueden ser resueltos con las siguientes ecuaciones: Ecuación de la continuidad: Sin división de flujo: Con división de flujo:

Q = V1 A1 = V2 A 2 Q = Q1 + Q 2 + Q 3 + .... + Q n

161


FLUJO EN TUBERIAS

Ecuación de la energía: p1 V2 p2 + z1 + α1 1 = γ 2g γ

+ z2 + α2

2 V22 + He + ∑ Hr 2g 1

Donde: 2

∑ H ; perdidas totales = ∑ h + ∑ h r

f

L

1

He

; energía añadida o extraída. ∑ h f ; perdidas por fricción. ∑ h L ; perdidas locales.

Las pérdidas por fricción se pueden expresar de forma genérica, como: h f = K f Qn

Donde: Kf y n; son coeficientes que se expresan para tuberías circulares dependiendo de la ecuación que se utiliza para resolverlo. Para la ecuación de Darcy – Weisbach: L D

hf = f

V2 2g

Donde: V=

Q A

Q2 A2

⇒ V2 =

Q2 π2D4 16

=

⇒ V 2 = 1.62

Q2 D4

Por lo tanto: hf = f h f = 0.0826 f

L D5

2 L (1.62) Q 4 D 2g D

Q2

⇒ K f = 0.0826 f

L D5

Ecuación de Hazen – Willians: V = 1.538 C HW S0.54 Rh 0.63

Para tuberías funcionando a presión: 0.54

⎛ D ⎞ ⎛ hf ⎞ V = 1.538 C HW ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎝ L ⎠ V1.85 L h f = 2.271 1.85 1.16 C HW D

0.63

Donde: V=

Q A

⇒ V 1.85 = 1.56

Q1.85 D 3 .7

Por lo tanto: hf =

3.54 .85 C1HW

L D 4.86

Q1.85

⇒ Kf =

3.54 .85 C1HW

L D 4.86

Ecuación de Manning: V=

2 1 1 Rh 3 S 2 n

Para tuberías funcionando a presión:

162


FLUJO EN TUBERIAS

2

1 ⎛ D ⎞ 3 ⎛ hf ⎞ V= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎝ 4 ⎠ ⎝ L ⎠ n2 L V2 h f = 6.35 4 D3

1

2

Donde: Q A

V=

Q2 D4

⇒ V 2 = 1.62

Por lo tanto: h f = 10.29 n 2

L D

16

⇒ K f = 10.29 n 2

Q2 3

L D

16

3

Para el calculo de las perdidas de energía por fricción se deben elegir con cual de las ecuaciones empíricas se quiere trabajar, no se debe olvidar que Manning y Hazen – Willians son bastante parecidas, pero la que mas se usa en la practica es Manning. Mientras la ecuación de Darcy – Weisbach, se debe tener cuidado al calcular o estimar el coeficiente de fricción. Las perdidas localizadas se expresan: hL = K

V2 2g

Donde: V=

Q A hL = K

⇒ V2 =

Q2 A2

1 Q2 2g A2

h L = K k' Q 2 = K L Q 2

⇒ k' =

1 2g A2

Para el caso de contracciones u orificios, debemos incluir el efecto del coeficiente de contracción, Cc. Para el caso de contracciones tenemos:

Fig. 5.18. Esquema de una contracción.

163


FLUJO EN TUBERIAS

(V − V )

2

hL =

2

2g

⎛ 1 ⎞ = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ CC ⎠

⎛ 1 V2 = ⎜⎜ 2g ⎝ CC

2

V2 2g

2

⎞ ⎟⎟ k ' Q 2 ⎠

Para el caso de orificios:

Fig. 5.19. Esquema de un orificio dentro de una tubería

(V − V )

2

hL =

1

2g

⎛ A1 ⎞ = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ CC A o ⎠

⎛ A1 V2 = ⎜⎜ 2g ⎝ CC Ao

2

V2 2g

2

⎞ ⎟⎟ k ' Q 2 ⎠

Para energía añadida o extraída exteriormente, es decir, para la utilización de bomba o turbina, respectivamente, las potencias nominales para bomba y turbina respectivamente son: Bomba: PB =

Q γ HB η

Turbina: PT = η Q γ H T

Donde: η; Eficiencia de la maquina. PB; Potencia del motor de la bomba (suministra) PT; Potencia del generador de la turbina (extrae) HB, HT; Energía por unidad de peso (altura) realmente añadida o extraída, respectivamente.

164


FLUJO EN TUBERIAS

TIPOS DE PROBLEMAS. Se puede considerar cinco tipos de problemas, considerando como datos las propiedades del fluido: - Calcular la perdida de energía (hf y hL), conocido el gasto (Q) y las características de la tubería (D, L, Ke, piezas especiales). - Calcular el gasto conocidas las perdidas de energía y las características de la tubería. - Calcular el diámetro de las tuberías conocidas las otras características de la tubería, el gasto y la pérdida de energía. - Calcular la rugosidad conocidas las otras características de la tubería, el gasto y la perdida de energía. - Calcular la longitud conocidas las otras características de la tubería, el gasto y la perdida de energía. En el primer tipo, como se conocen Q y D, se puede calcular el número de Reynolds (conocido el fluido), y con el la rugosidad relativa, se puede encontrar el factor de fricción, con alguno de los métodos ya explicados. Siendo por lo tanto un problema directo. Al no ser datos Q y D, el segundo y el tercer tipo de problema se resuelve por aproximaciones sucesivas, pues el factor de fricción y los coeficientes de perdidas localizadas dependen del número de Reynolds. El procedimiento de aproximaciones sucesivas consiste en hacer un supuesto para transformar el problema en uno directo y comprobar su validez con base en un dato no utilizado. Por ejemplo en el problema del segundo tipo, se supone un gasto, se calculan las pérdidas y se comprueba si ellas son iguales a las perdidas dadas. En el tercer tipo, se supone un diámetro y se comprueba, nuevamente, con la pérdida de energía. Lo anterior significa repetir varias veces el procedimiento hasta ajustarse razonablemente al valor del dato utilizado. 5.3.

TUBERÍAS SIMPLES.

Fig. 5.20. Sistema simple de tuberías, entre dos estanques de carga constante.

165


FLUJO EN TUBERIAS

En el presente caso se explicara el procedimiento a seguir para la resolución de un sistema simple de tuberías, y se explicaran algunos casos especiales. Con referencia a la figura 5.20. Diámetro D1 para las tuberías 1, 2 y 3 y el diámetro D2 para las tuberías 4 y 5. En los siguientes literales se explicara la manera de resolver un sistema de tuberías simple, como el presentado en el grafico. Aplicando la ecuación de la energía entre la sección A y B: pA γ

+ zA + αA

B VA2 pB VB2 = + zB + αB + He + ∑ Hr 2g γ 2g A

La presión en la superficie de los estanques es la presión atmosférica, por esta razón la presión relativa en esos puntos es cero. Las velocidades en los mismos puntos de los estanques son también cero. Por lo que la ecuación de la energía quedara de la siguiente manera: B

B

zA = zB + ∑ Hr

⇒ HA − HB = ∑ Hr

A

A

Donde la diferencia de alturas entre los reservorios debe ser igual a la suma de todas las perdidas de energía en el sistema, estas son las perdidas por fricción calculadas para cada tubería hf y también todas las perdidas localizadas hL: H A − H B = ∆H = h f + h f + h f + h f + h f + h L + h L + h L + h L + h L + h L + h L 1

2

3

4

5

a

b

c

d

e

f

g

Las pérdidas por fricción se resuelven por los métodos ya mencionados (Darcy – Weisbach, Hazen – Willians o Manning), donde: h f = K f Qn

Donde Kf y n depende de la ecuación emperica que se usa para calcular este valor. Las pérdidas localizadas se resuelven por: h L = K k' Q 2 = K L Q 2

Con lo antes mencionado, tenemos:

(

)

⇒ k' =

(

1 2g A2

)

∆H = K f1 + K f 2 + K f3 + K f 4 + K f5 Q n + K La + K Lb + K Lc + K Ld + K Le + K Lf + K Lg Q 2

Si para las pérdidas por fricción trabajamos con Darcy – Weisbach o Manning, el valor de n será 2, por lo que la ecuación anterior será: ∆H = (∑ K f + ∑ K L ) Q 2

Q=

∆H K ∑ f + ∑KL

166


FLUJO EN TUBERIAS

Para el caso de que la salida del sistema de tuberías no sea a otro estanque sino al ambiente, mediante una contracción:

Fig. 5.21. Sistema simple de tuberías con salida a la atmósfera

Se procede de la misma manera que el caso anterior. Primero la ecuación de la energía entre la sección A en el reservorio del mismo nombre y la salida B: pA γ

+ zA + αA

B VA2 pB VB2 = + zB + αB + He + ∑ Hr 2g 2g γ A

A diferencia del caso anterior, en la sección B existe velocidad, aunque la presión sigue siendo la atmosférica, esto debido a que una distancia infinitesimal de la salida de la tubería el fluido esta al ambiente y la presión será cero en caso de presiones relativas. Por lo que la ecuación de la energía queda: zA = zB +

B VB2 + ∑ Hr 2g A

⇒ ∆H =

B VB2 + ∑ Hr 2g A

B

El valor de ∑ H r se halla como en el caso anterior. A

2 Lo nuevo en este análisis es el valor de la carga de velocidad VB 2 g , este será:

VB2 1 = 2g 2g

Q2 C C2 A o2

=

1 2g

Q2 C C2 π 2 d 4 16

VB2 Q2 = 0.083 2g C C2 d 4

Incluyendo este elemento en la ecuación de la energía y despejando Q tendremos el resultado. Para el caso particular del funcionamiento de un sifón. Este caso se presenta cuando la línea piezométrica corta a la tubería y se originan presiones negativas en los puntos de la tubería sobre la línea piezométrica, por lo tanto son sitios susceptibles a cavitación.

167


FLUJO EN TUBERIAS

Fig. 5.22. Esquema de un sifón.

Se denomina cavitación a la formación de cavidades llenas de vapor o de gas en el seno de un líquido en movimiento. Este fenómeno se produce en razón del movimiento de un líquido, su presión llega a ser localmente inferior a su tensión de vapor. Ahora se analiza un sifón; ignorando las pérdidas menores y con α = 1: Utilizando la ecuación de la energía de A a C, se tiene: pA γ

C pC VC2 VA2 = + zC + αC + He + ∑ Hr γ 2g 2g A

+ zA + αA

De la misma manera que el caso de salida al ambiente: zA = zC +

C VC2 + ∑ Hr 2g A

VC2 1 = 2g 2g

Donde:

Q2 C C2 A o2

⇒ ∆H =

=

1 2g

C VC2 + ∑ Hr 2g A

Q2 C π2 d 4 16 2 C

VC2 Q2 = 0.083 2g C C2 d 4

Incluyendo este ultimo en la ecuación de la energía y despejando el caudal, obtendremos el resultado. Para determinar la presión en B, también usamos la ecuación de la energía de A a B: pA γ

+ zA + αA

B VA2 pB VB2 = + zB + αB + He + ∑ Hr 2g γ 2g A

En el punto B, existe velocidad y presión: zA =

B pB VB2 + zB + αB + ∑ Hr γ 2g A

Es importante notar que por continuidad, el valor del caudal es el mismo en todos los puntos de la tubería, por esta razón la velocidad también es la misma si la sección de la tubería no cambia, además que las perdidas ya las calculamos con anterioridad, entonces la única incógnita en esta ecuación es la presión en B.

168


FLUJO EN TUBERIAS

Para el caso cuando el nivel de agua de un tanque superior no fuera constante, es decir que existe descenso de carga en el reservorio o dicho de otra manera, el tanque se va vaciando se tendrá un análisis un poco diferente:

Fig. 5.23. Sistema simple de tuberías con salida a la atmósfera

El volumen que sale del sistema en un determinado periodo de tiempo es: Vs = Q dt

Donde: Vs; Volumen de agua que sale del sistema en un determinado periodo de tiempo. Q; Caudal que circula por el sistema. dt; Tiempo. Al mismo tiempo el nivel en el tanque desciende, entonces, el volumen que desciende en el tanque debe ser igual al que sale: VT = A T dh

Entonces: Vs = VT Q dt = A T dh

El caudal varia con la carga del reservorio, por tanto es función de h. 5.4.

TUBERÍAS MÚLTIPLES.

Un sistema de tuberías múltiples, también llamado red abierta, se da cuando los tubos que la componen se ramifican, sucesivamente, sin intersectarse después para formar circuitos. Los extremos finales de las ramificaciones pueden terminar en un estanque o descargar libremente a la atmósfera.

Fig. 5.23. Esquema de un sistema múltiple de tuberías 169


FLUJO EN TUBERIAS

Cuando las tuberías se ramifican Figura 5.23, los problemas se resuelven con los mismos principios que se usaron hasta ahora, incluyendo los siguientes: - En los puntos de unión de las tuberías, también denominados nodos, debe cumplirse la ecuación de la continuidad; es decir, la suma de los caudales de ingreso al nodo es igual a los caudales de salida. n

Q = ∑ Qi i

- La elevación de la línea de energía en cada nodo es una sola, por cuanto no pueden existir en un solo punto dos niveles de energía. h f 1 = h f 2 = K = h fn

La primera representa la ecuación de la continuidad y la segunda proviene del hecho que las tuberías parten de un mismo nivel de energía (nodo A) y llegan a otro único nivel de energía (nodo B), entonces todas las tuberías tendrán necesariamente la misma pérdida de energía.

Fig. 5.24. Problema de los tres estanques

Un caso típico de tuberías múltiples es el clásico problema de los tres estanques figura 5.24. El objetivo principal es determinar el sentido de flujo en el estanque B intermedio. Desde el estanque A, por ser el más alto, el agua sale y entra al C por ser este el más bajo. El sentido de flujo de la tubería 2 depende de la línea de energía en el nodo M respecto al de la superficie del estanque B. Si la elevación de la línea de energía en M es mayor que en B, el agua entra al estanque intermedio, por lo tanto: HA − hf1 − hf 2 = HB HA − h f1 − h f 3 = HC Q1 = Q 2 + Q 3

O bien: H A − K f 1Q1n − K f 2 Q n2 = H B H A − K f 1Q1n − K f 3Q 3n = H C Q1 = Q 2 + Q 3

170


FLUJO EN TUBERIAS

En el caso contrario, la elevación de M es menor que la elevación de B, el agua sale del estanque B, por lo tanto las ecuaciones son: H A − K f 1Q1n + K f 2 Q n2 = H B

H A − K f 1Q1n − K f 3 Q 3n = H C Q1 + Q 2 = Q 3

5.5.

PLANTEAMIENTO GENERAL PARA REDES.

Es común el uso de en sistemas de distribución de agua potable, utilizar unas mallas de tuberías, estas consisten en tuberías interconectadas configurando una red. Una red de tuberías es en realidad un sistema de tuberías múltiples, por lo tanto su solución se basa en los principios ya mencionados. La cantidad de agua que entra a la red debe ser igual a la que sale de ella. En sistemas de agua potable, los caudales de salida se denominan consumos, este principio corresponde a la continuidad:

∑Q

a

= ∑C

Donde: Qa; caudales que alimentan la red. C; Caudales que salen de la red o consumos. Esta ecuación representa el balance global de la red. En cada nodo debe cumplirse la ecuación de la continuidad. Al asignarle signo a los gastos que concurren a un nodo (positivos afluentes y negativos efluentes):

∑Q

ij

+C=0

Donde para un nodo determinado, el subíndice j indica el nodo hacia donde va el flujo y el i desde donde proviene; el termino C representa los caudales retirados, es decir, los consumos. En cada nodo existe un solo nivel de energía, en consecuencia, las pérdidas de un nodo a otro, independientemente del camino de unión seleccionado, son iguales. Esto lleva a la siguiente conclusión: si se considera perdida de energía positiva a aquella que ocurre en sentido contrario a las agujas del reloj y viceversa, se podrá establecer para cada malla de red:

∑h

ij

=0 ⇒

∑K Q ij

n ij ij

=0

Una red que tenga N nodos y M mallas independientes se podrá, en principio, plantear N + M ecuaciones; sin embargo como debe cumplirse la ecuación del balance global de la red, únicamente N-1 ecuaciones de nodo son independientes entre si, dado lo cual solo se dispone de M + (N - 1) ecuaciones. Es importante hacer notar que si las incógnitas son los gastos, las ecuaciones de nodo son lineales, mientras las ecuaciones de malla no lo son. Para resolver problemas de redes se pueden plantear con los siguientes métodos: SISTEMA ∆Q. Consiste en suponer unos caudales iniciales cuales quiera en las tuberías de la red que cumplan con las ecuaciones de nodo. Cada caudal inicial es afectado por un incremento correctivo ∆Q que se considera constante para las tuberías de cada malla. Los incrementos se calculan mediante las ecuaciones de malla. El sistema de ecuaciones constara entonces de M ecuaciones no lineales con un número igual de incógnitas que son los ∆Q de cada malla. 171


FLUJO EN TUBERIAS

[∑ K (Q [∑ K (Q ij

ij

[∑ K (Q ij

] + ∆Q ) ] + ∆Q I ) ij

I

=0

II

=0

M

=0

n

oij

n ij

oij

I

…….. ……..

+ ∆Q I ) ij n

oij

]

Donde Qo son los caudales iniciales supuestos y los subíndices I, II, … , M se refieren a cada malla que tiene el sistema. SISTEMA H. Las incógnitas en este sistema son los niveles o alturas de energía H en cada nodo. Los gastos en las tuberías se expresan en función de estos niveles y a continuación se establecen las ecuaciones de nodo correspondientes. h ij = H i − H j = K ijQ ijij n

⎛ H − Hj Q ij = ⎜ i ⎜ K ij ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

n ij

Como solo existen N – 1 ecuaciones independientes de nodo, es necesario conocer el nivel de energía en un nodo cualquiera. El sistema H es: ⎡ ⎛ H −H j ⎢∑ ⎜ i ⎢ ⎜⎝ K ij ⎣

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎡ ⎛ H −H j ⎢∑ ⎜ i ⎢ ⎜⎝ K ij ⎣

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

⎤ + C⎥ 1 = 0 ⎥ ⎦

n ij

⎤ + C⎥ 2 = 0 ⎥ ⎦

1 n ij

…….. …….. ⎡ ⎛ H −H j ⎢∑ ⎜ i ⎢ ⎜⎝ K ij ⎣

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

n ij

⎤ + C⎥ N −1 = 0 ⎥ ⎦

Donde los subíndices 1, 2, … , N-1 representan los N-1 nodos con ecuaciones independientes. Todas las ecuaciones de este sistema son no lineales. SISTEMA Q. Es el planteamiento general, es decir, tanto las ecuaciones de nodo como las de malla, considerando como incógnitas a los caudales en las tuberías. El sistema constara de M + (N – 1) ecuaciones y puede expresarse así: Ecuaciones de Nodo:

[(∑ Q ) + C] = 0 [(∑ Q ) + C] = 0 ij

1

ij

2

…….

[(∑ Q ) + C] ij

N −1

=0

172


FLUJO EN TUBERIAS

Ecuaciones de malla:

(∑ K Q ) = 0 (∑ K Q ) = 0 n ij

ij

ij

I

n ij

ij

ij

II

…….. ……..

(∑ K Q ) n ij

ij

ij

M

=0

En este sistema existen (N-1) ecuaciones lineales y M ecuaciones no lineales. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE REDES. - Método de Cross. Este método consiste en hacer lineales las ecuaciones del sistema ∆Q mediante el binomio de Newton de la siguiente forma:

∑ K (Q ij

(

)

+ ∆Q M ) = ∑ K ij Q oij + n ijQ oij ∆Q M = 0 n ij

oij

n ij −1

Con lo cual ignora todos los términos del binomio a partir del tercero. Como ∆QM es constante para cada malla, puede sacarse fuera del paréntesis, resultando entonces que el factor de corrección de gasto en una determinada malla es:

∑K Q ∑n K Q

n ij

∆Q = −

ij

ij

oij

ij

n ij −1 oij

Para aplicar esta ecuación es oportuno recordar que únicamente los sumandos del numerador (pérdidas de energía) tienen signo; el denominador es siempre positivo. Los gastos corregidos se calculan mediante la expresión: Q1ij = Q oij ± ∆Q

Donde el signo negativo corresponde a tuberías con pérdidas de carga negativas y viceversa. Si el valor de Q1ij resulta negativo significa que el flujo tiene sentido contrario al supuesto en la iteración previa. - Método de Newton – Raphson. Este método puede aplicarse a cualquier sistema. Aquí solo se presenta su aplicación al sistema H. El método se basa en el proceso iterativo de Newton para encontrar el valor de la variable que anula una función de ella, proceso que fue ampliado a funciones de varias variables por Raphsón, extendiendo de esta forma su campo de aplicación, uno de los cuales es la solución de redes de tuberías. El sistema H es el formado por las ecuaciones de nodo; en consecuencia, el problema reside en encontrar los valores de los niveles de energía (cotas piezométricas) H que anulen la siguiente función: ⎡ Hi − H j ⎤ Fj = ∑ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎣⎢ K ij

1

n ij

+C

En cada nodo de la red existirá una función Fj, por lo tanto, si los gastos alimentadores de ella son conocidos, existirán N – 1 funciones y cuando no lo sean (mallas imaginarias) el número será N.

173


FLUJO EN TUBERIAS

Se comienza a trabajar con unos valores de H cualesquiera supuestos. Sin embargo, las suposiciones deben ser razonablemente hechas pues, en caso contrario, el método podría no converger. Estos valores iniciales se corrigen sustrayéndoles unos incrementos finitos ∆H que, puede calcularse mediante la ecuación siguiente, expresada en forma matricial: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂F1 ∂H1 ∂F2 ∂H1 M ∂Fj

∂F1 ∂H 2 ∂F2 ∂H 2 M ∂Fj

∂H1

∂H 2

... ... M ...

∂F1 ∂H j ∂F2 ∂H j M ∂Fj

⎤ ∆H ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎡ F1 ' ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢∆H ⎥ ⎢F '⎥ ⎥⋅⎢ 2⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ∆H j ⎥ ⎢ Fj ' ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂H j ⎦

Donde F1’, F2’, etc., son los valores de la funciones Fj para los valores iniciales de H. Para los efectos de colocar signos, es oportuno recordar que la función Fj representa la ecuación de la continuidad en cada nodo (el gasto afluente es positivo y viceversa), que el subíndice i corresponde al nodo de donde proviene el flujo, y j hacia donde se dirige.

174


FLUJO EN TUBERIAS

EJERCICIOS RESUELTOS 1. En una tubería horizontal de 25 [cm.] de diámetro, se ha medido la caída de presión entre dos puntos separados 100 [m], resultando esta ser de 2500 [Kg/m2] para un caudal de 100 [lps]. Calcule el valor de la rugosidad equivalente del material. El liquido es agua (ν = 10-6 m2/s). La rugosidad solo puede calcularse si el régimen es rugoso, mostrado en el diagrama de Moody: Re f D k

> 200

Para determinar el valor del número de Reynolds primero se calcula la velocidad media de flujo: V=

Re =

Q = A

VD = ν

0.1 2 π (0.25) 4

⇒ V = 2.04

(2.04)(0.25)

[m s ]

⇒ Re = 5.1 × 105

10 −6

Este resultado indica que el flujo es turbulento. El factor de fricción se hallara con la formula de Darcy – Weisbach: L D

hf = f

f =

V2 2g

2hf Dg L V2

Se sabe por hidrostática que la presión es igual al peso específico multiplicado por la altura, análogamente se dice: hf =

∆P γ

Donde: ∆P es la caída de presión, por lo tanto la pérdida de energía por fricción será: hf =

2500 1000

⇒ h f = 2.5 [m]

Por lo tanto: f = f=

2hf Dg L V2

(2)(2.5)(0.25)(9.81) (100)(2.04) 2

⇒ f = 0.029

Con el valor de Reynolds y el factor de fricción ya hallados, aplicamos la ecuación de Karman – Prandtl, para tuberías funcionando como rugosas. 1 D = 2 log + 1.74 2 ke f 1 0.25 = 2 log + 1.74 2 ke 0.029

Resolviendo la ecuación, se obtiene: Ke = 1.07

175


FLUJO EN TUBERIAS

2. Agua (viscosidad cinemática 10−6 m 2 s ), fluye en una tubería de 20 [cm.] de diámetro con un gasto de 200 [lps]. La rugosidad artificial de la tubería es de 1 [mm]. ¿cual es la perdida de energía cada 100 [m]? Primero se debe conocer el comportamiento de la tubería. Primero hallaremos la velocidad media de flujo: V=

Q = A

[ s]

0.200 2 π (0.2) 4

⇒ V = 6.37 m

Con el valor de la velocidad se puede hallar el número de Reynolds, ya que tenemos la viscosidad cinemática y el diámetro de la tubería como datos: Re =

(6.37 )(0.2)

VD = ν

10 −6

⇒ Re = 1.27 × 10 6

Por lo que se dice que el flujo es turbulento. Se determinara el valor de la rugosidad equivalente: K 0.001 = = 0.005 D 0.2

Ingresando estos valores en el grafico d Moody, obtenemos que la tubería se comporta como rugosa. Por esta razón usamos la ecuación de Karman – Prandtl, para tuberías funcionando como rugosas: 1 f 1 f 1 f

D + 1.74 2 ke 0.2 = 2 log + 1.74 2 (0.001) = 2 log

= 5.74 ⇒ f = 0.0304

Usando la ecuación de Darcy – Weisbach, se puede obtener el valor de la perdida de energía por fricción: hf = f h f = (0.0304)

L D 100 0.2

h f = 31.34

V2 2g 6.37 2 2 (9.81)

[m]

176


FLUJO EN TUBERIAS

3. Una tubería de 0.20 [m] de diámetro funciona como lisa cuando la perdida de energía es de 7.9 [m] por cada [Km.] de longitud. El liquido tiene una Dr = 0.92 y una viscosidad cinemática de 2x10-5 [m2/s]. Calcule el caudal que fluye. ¿Cuál sería el caudal para la misma perdida, si la tubería funciona como rugosa, si la rugosidad artificial es de 0.5 [mm]? Para calcular el gasto se aplica la ecuación de Darcy – Weisbach. Para aplicar la ecuación mencionada se necesita determinar el valor del factor de fricción, para flujo turbulento en tuberías funcionando como lisas, se aplica la ecuación de Karman - Prandtl:

(

1 f 1 f 1 f

= 2 log Re f

) − 0.8

⎛ VD ⎞ = 2 log⎜ f ⎟ − 0.8 ν ⎝ ⎠ ⎛ 0.2 V ⎞ = 2 log⎜ f ⎟ − 0.8 −5 ⎝ 2 × 10 ⎠

Se llega a una ecuación con dos incógnitas, la velocidad media y el mismo factor de fricción, para determinar la segunda ecuación se puede colocar la misma ecuación de Darcy – Weisbach en función de las dos variables ya mencionadas: hf = f

L D

V2 2g

1000 V2 0.2 2 (9.81) 0.176 V= f

7.9 = f

Se reemplaza la ecuación de la velocidad a la ecuación de Karman – Prandtl, y se determina el factor de fricción. 1 f

0.176 ⎛ ⎞ ⎜ 0.2 ⎟ f ⎟ − 0.8 = 2 log⎜ f ⎜ 2 × 10 −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 = 2 log 1760 − 0.8 = 5.691 f f = 0.031

Ya determinado el factor de fricción se puede hallar la velocidad de flujo y también el caudal: V=

0.176 = f

0.176 0.031

[ s]

⇒ V =1 m

⎡ π (0.2)2 ⎤ Q = V A = (1) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦ 3 Q = 0.031 m = 31.1 [lps] s

[ ]

Para responder la segunda pregunta se aplica la ecuación de Karman – Prandtl, para tuberías funcionando como rugosas, para hallar el factor de fricción:

177


FLUJO EN TUBERIAS

1 f 1 f

= 2 log

= 2 log

D + 1.74 2 ke

0.2 + 1.74 ⇒ f = 0.025 2 (0.0005)

Se halla la velocidad de flujo, aplicando la ecuación de Darcy – Weisbach, ya que tenemos como dato la perdida de energía por fricción: hf = f 7.9 = (0.025)

1000 0.2

L D

V2 2 (9.81)

V2 2g

[ s]

⇒ V = 1.11 m

Se determina el caudal: π (0.2 ) 4

2

Q = V A = 1.11

[ s ]= 34.8 [lps]

3 Q = 0.0348 m

178


FLUJO EN TUBERIAS

4. Determinar el caudal que puede llevar el sistema de tuberías, y dibujar la línea de energía y de la línea piezométrica.

Tuberías de acero, con n = 0.015 Tubería 1: L = 100 m, D = 30 cm. Tubería 2: L = 150 m, D = 30 cm. Tubería 3: L = 50 m, D = 30 cm. Tubería 4: L = 200 m, D = 50 cm. Tubería 5: L = 150 m, D = 20 cm. Tubería 6: L = 20 m, D = 20 cm. Tubería 7: L = 50 m, D = 20 cm. Tubería 8: L = 20 m, D = 20 cm. Artefacto a: Entrada brusca. Artefacto b: Codo de 45°, tipo roscado. Artefacto c: Codo de 45°, tipo roscado. Artefacto d: Expansión brusca, Cc = 0.601. Artefacto e: Contracción brusca. Artefacto f: Codo de 90°, tipo roscado. Artefacto g: Codo de 90°, tipo roscado. Artefacto h: Válvula esférica, apertura 5°. Artefacto i: Salida brusca, K = 1. Primero se debe decidir con cual de las ecuaciones empíricas se trabajara, en el presente caso, no hay mucho que elegir ya que se da como dato el valor del coeficiente de Manning, por lo que aplicara esta ecuación. Primero procede a analizar las perdidas de energía por fricción, en justa razón se hallara primero el coeficiente K de perdida por fricción para cada tubería. h f = K f Q2

Donde Kf es igual a: K f = 10.29 n 2 2

100

2

0.3 3 150

K f 1 = 10.29 (0.015) K f 2 = 10.29 (0.015)

L D

16

3

16

⇒ K f 1 = 142.33

16

⇒ K f 2 = 213.49

0.3

3

179


FLUJO EN TUBERIAS

K f 3 = 10.29 (0.015)

50

2

16

K f 4 = 10.29 (0.015)

2

K f 5 = 10.29 (0.015)

2

0.3 3 200 16

0.5 150

3

2

0.2 3 20 16

K f 7 = 10.29 (0.015)

2

K f 8 = 10.29 (0.015)

0.2 3 50 16

0.2 20

⇒ K f 4 = 18.67 ⇒ K f 5 = 1855.79

16

K f 6 = 10.29 (0.015)

⇒ K f 3 = 71.16

3

⇒ K f 6 = 247.44

⇒ K f 7 = 618.6

⇒ K f 8 = 247.44 16 0.2 3 ∑ K f = 3414.92 2

Se analiza las perdidas localizadas, donde se hallara las coeficientes K y K’, para poder determinar la multiplicación de ambos, para cada uno de los artefactos: h L = K k' Q2 = K LQ2

1 2g A2

k' =

De las tablas obtenemos, presentadas en este libro en la sección de pérdidas localizadas, se tiene: Artefacto a: Entrada brusca, K = 0.3. Artefacto b: Codo de 45°, tipo roscado, K = 0.33. Artefacto c: Codo de 45°, tipo roscado, K = 0.33. Artefacto d: Expansión brusca, θ = 180, K = 1.05. Artefacto e: Contracción brusca, D 2 D = 0.4 K = 0.45. 1

Artefacto f: Codo de 90°, tipo roscado, K = 0.45. Artefacto g: Codo de 90°, tipo roscado, K = 0.45. Artefacto h: Válvula esférica, apertura 5°, K = 0.05. Artefacto i: Salida brusca, K = 1. Se determina el k’ para la tubería de 30 [cm] de diámetro: k' =

1 ⎡ π (0.3)2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦

2

= 10.20

Lo mismo para la tubería de 50 [cm] de diámetro: k' =

1 ⎡ π (0.5)2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦

2

= 1.32

Lo mismo para la tubería de 20 [cm] de diámetro: k' =

1 ⎡ π (0.2 )2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦

2

= 51.64

Por lo que se dice que el coeficiente KL es igual a la multiplicación del coeficiente de pérdida localizada K y el coeficiente k’: K L = K k'

180


FLUJO EN TUBERIAS

K La = (0.3)(10.20 ) = 3.06

K Lb = (0.33)(10.20 ) = 3.37 K Lc = (0.33)(10.20 ) = 3.37

K Ld = (1.05)(10.20 ) = 10.71

K Le = (0.45)(51.64 ) = 23.24

K Lf = (0.45)(51.64 ) = 23.24

K Lg = (0.45)(51.64 ) = 23.24 K Lh = (0.05)(51.64) = 2.6 K Li = (1)(51.64 ) = 51.64

∑K

L

= 144.47

Aplicando la ecuación general de las perdidas totales en un sistema de tuberías se tiene:

∑H

r

= (∑ K f + ∑ K L ) Q 2

Por la ecuación de Bernoulli: pA V2 p V2 + ZA + α A A = B + ZB + α B B + ∑ H r γ 2g γ 2g ZA = ZB + ∑ H r

ZA − ZB = ∑ H r

∑H

r

= 60 [m]

Reemplazando la ecuación de las perdidas totales se tiene: 60 = (3414.92 + 144.47 ) Q 2

Despejando Q y resolviendo se tiene:

[ s ]= 130 [lps]

3 Q = 0.13 m

Para determinar las líneas de energía y piezométrica primero se debe hallar las perdidas por fricción para cada tubería y las perdidas localizadas para cada artefacto: Las perdidas de energía por fricción son: h f = K f Q2 h f 1 = (142.33) (0.13) = 2.41 [m] 2

h f 2 = (213.49 ) (0.13) = 3.61 [m] 2

h f 3 = (71.16 ) (0.13) = 1.20 [m ] 2

h f 4 = (18.67 ) (0.13) = 0.32 [m] 2

h f 5 = (1855.79 ) (0.13) = 31.36 [m] 2

h f 6 = (247.44 ) (0.13) = 4.18 [m] 2

h f 7 = (618.6 ) (0.13) = 10.45 [m ] 2

h f 8 = (247.44 ) (0.13) = 4.18 [m] 2

Las perdidas de energía localizadas son: h L = K k' Q2 = K LQ2

181


FLUJO EN TUBERIAS

h La = (3.06 ) (0.13) = 0.051 [m] 2

h Lb = (3.37 ) (0.13) = 0.057 [m] 2

h Lc = (3.37 ) (0.13) = 0.057[m] 2

h Ld = (10.71) (0.13) = 0.18 [m] 2

h Le = (23.24 ) (0.13) = 0.39 [m] 2

h Lf = (23.24 ) (0.13) = 0.39 [m] 2

h Lg = (23.24 ) (0.13) = 0.39 [m ] 2

h Lh = (2.6) (0.13) = 0.04 [m] 2

h Li = (51.64 )(0.13) = 0.87 [m ] 2

Para determinar la línea de energía se debe realizar el siguiente procedimiento: Primero se realiza una tabla como la que se muestra, donde en las columnas 1 y 2 se coloca la descripción de la tubería o artefacto, en la columna 3 se coloca la perdida para cada una de estas, no se olvida que esta es una unión entre las perdidas por fricción y localizadas y en la columna 4 se coloca la perdida acumulada para cada punto: Descripción Nominación 1 Entrada Tuberia Codo Tuberia Codo Tuberia Expanción Tuberia Contraccón Tuberia Codo Tuberia Codo Tuberia Valvula Tuberia Salida

2 a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 i

Perdidas de energia Perdida total [m] [m] 3 4 0.051 0.051 2.410 2.461 0.057 2.518 3.610 6.128 0.057 6.185 1.200 7.385 0.180 7.565 0.320 7.885 0.390 8.275 31.360 39.635 0.390 40.025 4.180 44.205 0.390 44.595 10.450 55.045 0.040 55.085 4.180 59.265 0.870 60.100

Por lo tanto con cero en el nivel superior del reservorio A y el sentido positivo hacia abajo se grafica la línea de energía y se tiene:

182


FLUJO EN TUBERIAS

Para determinar la línea piezométrica se determinara la altura de velocidad y esta se la restara de la altura total para cada punto en la tubería, en otras palabra, como ya se tiene determinada la línea de energía a esta se la restara la altura de velocidad por lo que queda es la línea piezométrica. V2 1 = Q2 2g 2g A2

Como la altura de velocidad es función del caudal y la sección de la tubería esta se halla para los diámetros que se tiene: V2 = 2g

V2 = 2g

V2 = 2g

1 ⎡ π 0.3 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦ 2

2

0.132 = 0.17 [m]

2

0.132 = 0.02 [m]

2

0.132 = 0.88 [m]

1 ⎡ π 0.52 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦

1 ⎡ π 0.2 2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦

En los artefactos: entrada y contracción brusca, se producira lo que se denomina pico de presión, es decir en estos puntos la presión bajara debido a la contracción que realiza el flujo, estas presiones pico serán: Entrada: ⎛ A V = ⎜⎜ 2g ⎝ Cc A o 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎛ ⎜ 1 k' Q 2 = ⎜ Ao ⎜ ⎜ Cc A ⎝

⎛ V2 1 = ⎜⎜ ( )(0.8) 2g 0 . 601 ⎝

2

⎞ ⎟ ⎟ k' Q 2 ⎟ ⎟ ⎠

2

⎞ 2 ⎟⎟ (10.20 ) (0.13) = 0.75 [m] ⎠

Contracción: 2

⎛ 1 ⎞ V2 1 ⎞ 2 ⎟⎟ k ' Q 2 = ⎛⎜ == ⎜⎜ ⎟ (51.64 ) (0.13) = 1.53 [m] 2g C 0 . 755 ⎝ ⎠ ⎝ c ⎠ 2

Estos valores son medidos desde la altura de presión previa. Con todo lo ya mencionado se grafica la línea piezométrica:

183


FLUJO EN TUBERIAS

5. Una tubería tiene la forma indicada en la figura. ¿Cuál será el caudal máximo y la lectura el manómetro D para que no exista interrupción del flujo? El líquido es agua a 20 °C. Ignore las pérdidas localizadas y considere flujo en régimen rugoso, y una CHW de 100 y un coeficiente de coriolis igual a la unidad.

Diámetro de la tubería: D = 0.6 [m] Longitudes: LAB = 1200 [m] LBC = 800 [m] LCD = 1200 [m] El flujo se interrumpirá cuando en algún sitio de la tubería se produzca cavitación. Los sitios potenciales son: el punto C (punto mas alto del sistema) y el punto B (sección de mayor altura de velocidad). La presión de vapor para agua a 20 °C es: PV (abs ) = 238.6 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

La presión de vapor relativa será: Patm = 10000 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ PV = −9761.4 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Esta presión de vapor en términos de columna de agua es: h = −9.76 [mca ]

Se asumirá que en el punto se da la presión de vapor. Aplicando la ecuación de la energía entre el nivel del estanque y C. p V2 p V2 + Z+ = C + ZC + C + ∑ H r γ 2g γ 2g Z=

pC V2 + Z C + C + h f AC γ 2g

100 − 108 = −

V2 9761.4 + C + h f AC 1000 2g

h fAC = 1.76 − h fAC = 1.76 −

1 2g

VC2 2g

Q2 1 = 1.76 − 2 A 2g

Q2 ⎡ π D2 ⎤ ⎢ 4 ⎥ ⎣ ⎦

2

184


FLUJO EN TUBERIAS

Se llega a una ecuación de la perdida de energía por fricción en función del caudal. h fAC = 1.76 − 0.64 Q 2

Por otro lado; aplicando la ecuación de Hazen – Willians: h f AC = K f Q1.85 Kf =

3.54 .85 C1HW

L 3.54 = D 4.86 1001.85

(1200 + 800)

⇒ K f = 16.9

0.6 4.86

Se llega a una ecuación de la perdida por fricción en función del caudal. h f AC = 16.9 Q1.85

Por lo tanto se igualan ambas ecuaciones y se tiene: 16.9 Q1.85 = 1.76 − 0.64 Q 2 16.9 Q1.85 + 0.64 Q 2 = 1.76

Resolviendo se tiene:

[ s]

3 Q = 0.29 m

Se hallara la presión en el punto B, Si esta es menor que la presión en C, entonces el flujo se interrumpirá primero en B, Caso contrario el caudal hallado es el correcto. Aplicando la ecuación de la energía desde el nivel del estanque y el punto B: p V2 p V2 + Z+ = B + ZB + B + ∑ H r γ 2g γ 2g Z=

pB V2 + Z B + B + h f AB γ 2g

Se debe hallar la ecuación de la perdida de energía por fricción en función del caudal hallado previamente. Aplicando la ecuación de Hazen – Willians: h f AB = K f Q1.85

Kf =

3.54 .85 C1HW

L 3.54 = 4.86 D 1001.85

1200 0.6 4.86

h f AC = (10.2) (0.29 )

1.85

⇒ K f = 10.2

= 1.03 [m ]

Reemplazando en la ecuación de la energía se tiene: Z − ZB =

pB + γ

100 − 106 =

Q2 A2 2g

+ h fAB =

pB + γ

pB + γ

Q2 ⎡ π D2 ⎤ 2g⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦

0.29 2 ⎡ π (0.2)2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦

2

2

+ h fAB

+ 1.03

pB = −11.37 [m] γ

185


FLUJO EN TUBERIAS

El valor hallado es menor que la presión de vapor p v = −9.76 [mca ] . Por lo tanto el flujo se interrumpirá primero en el punto B. Por esto hallamos el gasto máximo que puede pasar por la tubería, usando la ecuación de la energía entre del nivel de la tubería y el punto B. Z= Z=

pB V2 + Z B + B + h f AB γ 2g

pB + ZB + γ

100 = 9.76 + 106 +

Q2 ⎡ πD ⎤ 2g⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦ Q2 2

2

+ K f Q1.85

⎡ π (0.2)2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦ 3.76 = 51.64 Q 2 + 10.2 Q1.85

2

+ 10.2 Q1.85

[ s]

3 Q = 0.242 m

Ahora se puede determinar la presión real en el punto D: Z=

pD V2 + Z D + D + h f AD γ 2g

Aplicando la ecuación de Hazen – Willians: Kf =

3.54 .85 C1HW

L 3.54 = D 4.86 1001.85

(1200 + 800 + 1200) 0.6 4.86

h f AC = (27.06 )(0.242)

1.85

⇒ K f = 27.06

= 1.96 [m]

Reemplazando en la ecuación de la energía: Z=

100 =

pD + ZD + γ PD + 94 + γ

Q2 ⎡ πD ⎤ 2g⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦ 0.242 2 2

2

+ K f Q1.85

⎡ π (0.6)2 ⎤ 2 (9.81) ⎢ ⎥ 4 ⎣ ⎦ PD = 4 [m] γ

2

+ 1.96

PD = 4000 ⎡Kg 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

186


FLUJO EN TUBERIAS

6. Calcular los caudales en el sistema de tuberías que conectan los cuatro estanques mostrados en la figura.

Tubería 1 2 3 4 5

f 0.020 0.020 0.020 0.020 0.020

D [m] 1.20 1.00 1.20 1.00 1.20

L [m] 10000 8000 10000 8000 10000

Se aplica la de Darcy – Weisbach, debido a que como dato se da el valor de factor de fricción f: hf = f V2 =

Q2 = A2

Q2 π2 D4 16 hf = f

= L D

V2 2g

L D

16 Q 2 π2 D4

⇒ V 2 = 1.62

Q2 D4

2 1 (1.62) Q 4 2 D

Se llega a una ecuación de perdida por fricción en función del factor de fricción, longitud, diámetro de la tubería y del caudal. h f = 0.083 f

L Q2 5 D

Esta ecuación tiene la forma: h f = K f Q2

Donde el caudal es igual a: Q=

Donde: K f = 0.083 f

hf Kf

L D5

Por lo tanto los valores de Kf serán: 10000 = 6.67 1.20 5 8000 K f 2 = K f 4 = (0.083) (0.020) = 13.28 1.00 5

K f 1 = K f 3 = K f 5 = (0.083) (0.020)

187


FLUJO EN TUBERIAS

Es un hecho que agua sale del estanque A por ser el mas alto y entra en el D por ser el mas bajo. Debemos suponer la elevación de la linera de energía en el nudo M, con valores entre 500 y 100 [m.s.n.m.] y comprobar su validez con la ecuación de la continuidad en N. Por lo tanto, si: hM = 400 [msnm]. La perdida de energía será la diferencia entre las alturas de energía entre ambos puntos: h f 1 = 500 − 400 = 100 [m]

h f 2 = 400 − 250 = 150 [m]

Los caudales serán:

[ ] [ ]

3 100 = 3.87 m s 6.67 3 150 = 3.36 m s 13.28

Q1 = Q2 =

Por continuidad en el nudo M, se tiene: Q 3 = Q1 − Q 2 = 3.87 − 3.36 ⇒ Q 3 = 0.51

[m s ] 3

Por lo tanto la altura de energía en el nudo N hN será la diferencia entre el nivel de energía en el nudo M y la pérdida de energía por fricción en la tubería 3: h N = h M − h f 3 = 400 − (6.67 ) (0.51)

2

⇒ h N = 398.27

[m]

Las pérdidas en las tuberías 4 y 5 serán: h f 4 = 400 − 398.27 = 1.73 [m] h f 5 = 398.27 − 100 = 298.27 [m]

Y sus caudales serán:

[ ] [ ]

3 1.73 = 0.36 m s 13.28 3 298.27 = 6.69 m s 6.67

Q4 = Q5 =

Por continuidad en N: Q 3 + Q 4 = Q 5 = 0.51 + 0.36 = 0.51

[m s ] 3

Se puede notar que la suma de los caudales 3 y 4 no es igual al caudal 5. Por lo tanto: Q 5 = 0.51

[m s ] 3

≠ 6.69

[m s ] 3

¡Mal!

Se debe iterar, dando valores de hM, y verificar con continuidad en N, hasta alcanzar que la continuidad en el nudo N. El procedimiento anterior se puede resumir en la siguiente tabla: hM 300 350 333

hf 1 200 150 167

hf 2 50 400 83

Q1 5.48 4.74 5

Q2 1.94 2.74 2.5

Q3 3.54 2 2.5

hf 3 83.58 26.68 41.69

hN hf 4 hf 5 216.42 183.58 116.42 323.32 76.68 223.32 291.31 108.69 191.31

Q4 3.72 2.4 2.86

Q5 4.18 5.79 5.36

∆QN 3.08 -1.39 0

188


FLUJO EN TUBERIAS

Por lo tanto: Q1 = 5.00 Q 2 = 2.50 Q 3 = 2.50 Q 4 = 2.86 Q 5 = 5.36

[m s ] [m s ] [m s ] [m s ] [m s ] 3

3

3

3

3

189


FLUJO EN TUBERIAS

7. En la figura se muestra una red y los coeficiente Kf de cada tubería; se indican, así mismo, los caudales alimentadores y los consumos. Se desea calcular los gastos en cada tubería y los niveles de energía en cada nodo, si en el nodo 1 es 600 msnm, usar la formula de Darcy – Weisbach (n = 2).

Tubería 1,2 1,3 3,4 2,4 2,5 4,5 5,6 4,6

Kf 2.0 1.0 1.5 2.1 0.8 1.2 0.9 1.1

Primero se revisa que la suma de todos los caudales que ingresan es igual que los caudales de salida (consumos), es decir, se revisa la continuidad global del sistema: Q a = 1000 + 800 = 1800 lps Q c = 400 + 400 + 600 + 400 = 1800 lps

Se debe suponer caudales iniciales Q oij en cada tramo, estos deben cumplir la ecuación de la continuidad en cada nudo. Estos caudales serán con los que comenzara las iteraciones estos se presentan en la siguiente figura. Se plantea un sistema de mallas, es decir que cada sistema de tuberías cerrada se considerara una malla, además se plantea un sentido de flujo positivo, quiere decir que el flujo que vaya en contra del sentido establecido será negativo, usualmente este sentido es en contra a las manecillas de reloj. Este esquema se puede ver en la siguiente figura.

190


FLUJO EN TUBERIAS

Se debe hallar el valor de ∆QM con la siguiente ecuación:

∑K Q ∑n K Q

n ij

∆Q = −

ij

ij

oij

ij

n ij −1 oij

Donde el valor de n depende de la ecuación que usaremos, en este caso usamos la ecuación de Darcy – Weisbach, por lo que n = 2. El proceso de cálculo se presenta en las siguientes tablas. En la columna 1 se coloca el numero de mall a la que corresponde en análisis. En la columna 2 se coloca la denominación de la tubería. En la columna 3 se coloca en valor del coeficiente Kf. En la Columna 4 se coloca el valor inicial del caudal correspondiente a esa tubería. En la columna 5 se coloca el sentido de flujo, en caso de ser 1 el flujo tiene el sentido de la malla, si fuera -1 el flujo no tiene el sentido de la malla. La columna 6 es el valor, K ij Q oijn que es el numerador de la ecuación ∆Q, este valor se halla para cada tubería y toma el signo del sentido de flujo. La columna 7 es, n ij K ij Q oijn −1 que es el denominador de la ecuación de ∆Q también para cada tubería. En la parte inferior se coloca el valor de la división de las sumatorias de las columnas 5 y 6 este es el valor de ∆Q. En la columna 8 se coloca el valor de ∆Q pero con el signo del sentido de flujo, hay que notar que para tuberías que comparten mallas este valor será la suma de dos ∆Q, de cada malla. Y en la columna 9 se coloca la suma algebraica de los valores de la columna 9 y la columna 4, este será el nuevo caudal para estas tuberías. Este análisis se realiza para cada malla. ij

ij

Se realizan en número de iteraciones necesarias hasta que el valor de ∆Q alcance una tolerancia. Tabla 1. Primera iteración, Qoij caudales asumidos: Malla Tubería 1 2 1,2 1,3 I 3,4 2,4

Kij 3 2 1 1.5 2.1

Qoij 4 0.6 0.4 0 0.2

Sentido Kij Qoij2 2Kij Qoij ∆QM Q1ij 5 6 7 8 9 -1 -0.720 2.400 -0.159 0.441 1 0.160 0.800 0.159 0.559 1 0.000 0.000 0.159 0.159 -1 -0.084 0.840 -0.226 -0.026 -0.644 4.040 0.159 ∆QM

II

2,4 2,5 4,5

2.1 0.8 1.2

0.2 0 0.1

1 -1 -1

0.084 0.000 -0.012 0.072 ∆QM

0.840 0.000 0.240 1.080 -0.067

-0.226 -0.026 0.067 -0.067 0.373 -0.273

III

4,5 5,6 4,6

1.2 0.9 1.1

0.1 0.5 1.1

1 1 1

0.012 0.225 1.331 1.568 ∆QM

0.240 0.900 2.420 3.560 -0.440

-0.373 -0.273 -0.44 0.06 -0.44 0.66

191


FLUJO EN TUBERIAS

Tabla 2. Segunda iteración, Q1ij caudales calculados en la primera iteración: Kij 2 1 1.5 2.1

Q1ij Sentido Kij Q1ij2 2Kij Q1ij 0.441 -1 -0.389 1.764 0.559 1 0.3125 1.118 0.159 1 0.0379 0.477 0.026 1 0.0014 0.1092 -0.0371 3.4682 0.0107 ∆QM

∆QM -0.011 0.0107 0.0107 0.1076

II

2,4 2,5 4,5

2.1 0.8 1.2

0.026 0.067 0.273

-1 -1 1

-0.0014 -0.0036 0.0894 0.0844 ∆QM

0.1092 0.1072 0.6552 0.8716 -0.0969

0.1076 0.1336 0.0969 0.1639 0.0805 0.3535

III

4,5 5,6 4,6

1.2 0.9 1.1

0.273 0.06 0.66

-1 1 1

-0.0894 0.0032 0.4792 0.393 ∆QM

0.6552 0.108 1.452 2.2152 -0.1774

0.0805 0.3535 -0.177 -0.117 -0.177 0.4826

Malla Tubería 1,2 1,3 3,4 2,4 I

Q2ij 0.4303 0.5697 0.1697 0.1336

Tabla 3. Tercera iteración, Q2ij caudales asumidos: Kij 2 1 1.5 2.1

Q2ij Sentido Kij Q2ij2 2Kij Q2ij 0.4303 -1 -0.3703 1.7212 0.5697 1 0.3246 1.1394 0.1697 1 0.0432 0.5091 0.1336 1 0.0375 0.561 0.0349 3.9307 -0.0089 ∆QM

∆QM 0.0089 -0.009 -0.009 0.0456

Q3ij 0.439 0.561 0.161 0.179

II

3,4 3,5 4,5

2.1 0.8 1.2

0.1336 0.1639 0.3535

-1 -1 1

-0.0375 -0.0215 0.15 0.091 ∆QM

0.561 0.2622 0.8485 1.6717 -0.0545

0.0456 0.0545 -0.01

0.179 0.218 0.343

III

4,5 5,6 4,6

1.2 0.9 1.1

0.3535 0.1174 0.4826

-1 -1 1

-0.15 -0.0123 0.2562 0.0939 ∆QM

0.8485 0.2106 1.0617 2.1208 -0.0443

-0.01 0.0443 -0.044

0.343 0.161 0.439

Malla Tubería 1,2 1,3 2,4 3,4 I

Después de tres iteraciones se llega a un valor de ∆Q aceptables mínimos. Los valores para caudales aceptados son: Tubería 1,2 1,3 3,4 2,4

Q [lps] 439 561 161 179

Tubería 2,5 4,5 5,6 4,6

Q [lps] 218 343 161 439

192


FLUJO EN TUBERIAS

Para determinar las elevaciones de la línea de energía en los diferentes nodos, se parte en el nodo 1: hf = Kf Q2

Se calcula la altura de energía del nudo anterior menos la perdida de energía en la tubería, para cada nudo:

[msnm] h = h − (1.5)(0.561) = 600 − 0.472 ⇒ h = 599.53 [msnm] h = h − (2.1)(0.161) = 599.53 − 0.054 ⇒ h = 599.48 [msnm] h = h − (0.8)(0.218) = 599.62 − 0.038 ⇒ h = 599.58 [msnm] h = h − (1.1)(0.439 ) = 599.48 − 0.212 ⇒ h = 599.27 [msnm] h 2 = h 1 − (2 )(0.439 ) = 600 − 0.385 ⇒ h 2 = 599.62 2

2

3

1

2

2

4

3

2

2

5

2

2

2

6

4

2

193


FLUJO EN TUBERIAS

8. En la figura se muestra una red alimentada por dos estanques de niveles conocidos. Para los datos indicados calcúlese los caudales en las tuberías. Utilice la fórmula de Hazen – Williams.

Tubería A-1 1-2 1-4 3-2 3-4 2-4 B-3

Kij 6.00 4.00 15.65 3.00 2.10 1.00 8.65

Para solucionar esta red, usaremos el método de Newton Raspón, con el sistema H. Este sistema establece como inicio de iteración valores asumidos de alturas de piezométricas en cada nodo, estos valores deben ser razonables. También se debe asumir sentidos de flujo en las tuberías. Por otro lado una condición para analizar este sistema es que cada nodo deba corresponder a una malla. En el caso de la red del ejercicio esto no sucede con los nodos correspondientes a las salidas de los reservorios, por tal motivo unimos estos dos nodos con una tubería imaginaria para completar una malla. Esto se hace por que las alturas de agua en los reservorios corresponderán a condiciones de borde del sistema e ingresaran al análisis como valores conocidos. Todo el procedimiento explicado en los párrafos anteriores se presenta en la siguiente figura:

194


FLUJO EN TUBERIAS

Como ya se menciono es necesario crear una malla imaginaria con el propósito de disponer de una ecuación en cada nodo; es decir, cuatro ecuaciones. Las funciones F correspondientes a cada nodo son: ⎛ H − Hj Fj = ∑ ⎜ i ⎜ K ij ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

nij

+C

Para el nodo 1: 0.54

0.54

0.54

⎛ 200 − H1 ⎞ ⎛ H − H2 ⎞ ⎛ H − H4 ⎞ F1 = ⎜ ⎟ −⎜ 1 ⎟ −⎜ 1 ⎟ 6 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 15.65 ⎠ 0.54 0.54 0.54 F1 = 0.380 (200 − H 1 ) − 0.473 (H 1 − H 2 ) − 0.226 (H1 − H 4 )


0.54

0.54

⎛ H − H2 ⎞ ⎛ H − H4 ⎞ ⎛ H − H2 ⎞ F2 = ⎜ 1 ⎟ −⎜ 2 ⎟ − 0.70 ⎟ +⎜ 3 4 3 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 0.54 0.54 0.54 F2 = 0.473 (H1 − H 2 ) + 0.553 (H 3 − H 2 ) − (H 2 − H 4 ) − 0.70


0.54

0.54

⎛ H − H4 ⎞ ⎛ H − H2 ⎞ ⎛ 194.5 − H 3 ⎞ F3 = ⎜ ⎟ ⎟ −⎜ 3 ⎟ −⎜ 3 8.65 3 2.1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0.54 0.54 0.54 F3 = 0.312 (194.5 − H 3 ) − 0.553 (H 3 − H 2 ) − 0.670 (H 3 − H 4 )


0.54

0.54

⎛ H − H4 ⎞ ⎛ H − H4 ⎞ ⎛ H − H4 ⎞ F4 = ⎜ 1 ⎟ − 1.304 ⎟ +⎜ 2 ⎟ +⎜ 3 15 . 65 1 2.1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 0.54 0.54 0.54 F4 = 0.226 (H1 − H 4 ) + (H 2 − H 4 ) + 0.670 (H 3 − H 4 ) − 1.304

Las derivadas parciales correspondientes a cada función son: ∂F1 −0.46 −0.46 −0.46 = −0.205 (200 − H1 ) − 0.255 (H1 − H 2 ) − 0.122 (H1 − H 4 ) ∂H1 ∂F1 −0.46 = 0.255 (H1 − H 2 ) ∂H 2 ∂F1 =0 ∂H 3 ∂F1 −0.46 = 0.122 (H1 − H 4 ) ∂H 4 ∂F2 −0.46 = −0.255 (H1 − H 2 ) ∂H1 ∂F2 −0.46 −0.46 −0.46 = −0.255 (H1 − H 2 ) − 0.229 (H 3 − H 2 ) − 0.540 (H 2 − H 4 ) ∂H 2 ∂F2 −0.46 = 0.299 (H 3 − H 2 ) ∂H 3 ∂F2 −0.46 = 0.540 (H 2 − H 4 ) ∂H 4 ∂F3 =0 ∂H1 ∂F3 −0.46 = 0.299 (H 3 − H 2 ) ∂H 2 ∂F3 −0.46 −0.46 −0.46 = −0.169 (194.5 − H 3 ) − 0.299 (H 3 − H 2 ) − 0.362 (H 3 − H 4 ) ∂H 3

195


FLUJO EN TUBERIAS

∂F3 ∂H 4 ∂F4 ∂H1 ∂F4 ∂H 2 ∂F4 ∂H 3

= 0.362 (H 3 − H 4 )

−0.46

= 0.122 (H1 − H 4 )

−0.46

= 0.540 (H 2 − H 4 )

−0.46

= 0.362 (H 3 − H 4 )

−0.46

∂F4 −0.46 −0.46 −0.46 = −0.122 (H1 − H 4 ) − 0.540 (H 2 − H 4 ) − 0362 (H 3 − H 4 ) ∂H 4

Sustituyendo los valores de alturas de energía en cada nudo asumidos tenemos: F1 = −0.016 ∂F1 = −0.290 ∂H1 ∂F2 = 0.154 ∂H1

F2 = 0.156 ∂F1 = 0.154 ∂H 2 ∂F2 = −0.873 ∂H 2

∂F3 =0 ∂H1 ∂F4 = 0.065 ∂H1

∂F3 = 0.179 ∂H 2 ∂F4 = 0.540 ∂H 2

F3 = −1.713 ∂F1 =0 ∂H 3 ∂F2 = 0.179 ∂H 3 ∂F3 = −0.455 ∂H 3 ∂F4 = 0.191 ∂H 3

F4 = 1.590 ∂F1 = 0.065 ∂H 4 ∂F2 = 0.540 ∂H 4 ∂F3 = 0.191 ∂H 4 ∂F4 = −0.796 ∂H 4

Incluyendo todos estos valores en la forma matricial se tiene: 0 0.065 ⎤ ⎡ ∆H1 ⎤ ⎡− 0.016⎤ ⎡− 0.290 0.154 ⎢ ⎥ ⎢ 0.154 − 0.873 0.179 0 .540 ⎥⎥ ⎢∆H 2 ⎥ ⎢⎢ 0.156 ⎥⎥ ⎢ = ⎢ 0 0.179 − 0.455 0.191 ⎥ ⎢ ∆H 3 ⎥ ⎢ − 1.713 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0.540 0.191 − 0.796⎦ ⎣∆H 4 ⎦ ⎣ 1.590 ⎦ ⎣ 0.065

Este sistema matricial arroja los siguientes resultados: ∆H1 = −1.94

∆H 2 = −2.33

∆H 3 = 1.42

∆H 4 = −3.39

Estos incrementos se suman algebraicamente a su correspondiente altura asumida, para obtener unos nuevos valores de cargas de piezométricas: H1 = 191.94

H 2 = 189.33

H 3 = 188.58

H 4 = 189.39

Estos valores se utilizan como iniciales para la segunda iteración; en este sentido, deben tenerse presente los cambios de sentido de los flujos en las tuberías que pudieran producirse por las modificaciones sufridas por los niveles de energía. La ecuación para la segunda iteración queda definida de la siguiente forma: 0 0.079 ⎤ ⎡ ∆H1 ⎤ ⎡ 0.004 ⎤ ⎡− 0.322 0.164 ⎢ ⎥ ⎢ 0.164 − 2.475 0.341 1.970 ⎥⎥ ⎢∆H 2 ⎥ ⎢⎢− 0.160⎥⎥ ⎢ = ⎢ 0 0.341 − 0.815 0.399 ⎥ ⎢ ∆H 3 ⎥ ⎢ 1.866 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 1.970 0.399 − 2.443⎦ ⎣∆H 4 ⎦ ⎣ − 1.746 ⎦ ⎣ 0.079

Los nuevos resultados obtenidos, expresados en metros son: ∆H1 = 1.14

∆H 2 = 1.41

∆H 3 = −0.87

∆H 4 = 1.75

196


FLUJO EN TUBERIAS

Los nuevos valores de H son: H1 = 190.8

H 2 = 187.92

H 3 = 189.45

H 4 = 187.64

Procediendo de la misma forma y luego de tres iteraciones más (se itera hasta que los ∆Hi sean los más pequeños posibles con un 0.2% de variación), se llega a los siguientes resultados, que se consideran aceptables, en msnm: H1 = 191.32

H 2 = 188.57

H 3 = 188.92

H 4 = 188.38

Ahora con los valores de energía obtenidos, calculamos los caudales por tuberías con la ecuación de Hazen – Williams:

(200 − 191.32)

0.54

Q A1 = Q12 =

Q14 = Q 32 = Q 24 =

Q 34 = Q B3 =

0.54

6 (191.32 − 188.57 )0.54 40.54 (191.32 − 188.38)0.54 15.650.54 (188.92 − 188.57 )0.54 30.54 (188.57 − 188.38)0.54 10.54 (188.92 − 188.38)0.54 2.10.54 (194.50 − 188.92)0.54 8.650.54

[m s ] = 0.817 [m ] s = 0.405 [m ] s = 0.314 [m ] s = 0.408 [m ] s = 0.480 [m ] s = 0.790 [m ] s

⇒ Q A1 = 1.22 ⇒ Q12

⇒ Q14 ⇒ Q 32 ⇒ Q 24

⇒ Q A1 ⇒ Q A1

3

3

3

3

3

3

3

Todos en el mismo sentido del flujo originalmente supuesto.

197


BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA

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BOLINAGA I. Juan José, MECANICA ELEMENTAL DE LOS FLUIDOS, EDITORIAL FUNDACIÓN POLAR, 1995 CARACAS.

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HIDRÁULICA I

UNIVERSIDAD

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96171973 Introduccion a La Hidraulica

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