C u r s o : Matemática Material Nº MOD-08
POTENCIAS - R AÍCES AÍCES
–
LOGARITMOS
–
ECUACIÓN
CUADRÁTICA Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
EJERCICIOS DE DESARROLLO 1.
Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes proposiciones a. ____ (72 – 98 : 2)0 = 1. b. ____ La novena parte de 340 equivale a 338. c. ____ Si a < b, entonces (a – b)3 < 0. d. ____
3
e. ____
16
f.
____
-27 es un número racional.
-16 es un número entero.
81 10 es un número real.
g. ____ El valor valor de log 10 es equivalente equivalente a 50. h. ____ La función f(x) = x2 + 1 no corta al eje x. i.
____ La función f(x) = x2 no corta al eje y. x
1 j. _____ La función f x es equivalente a la función g(x) = 2 -x. 2
2.
43 + 43 + 43 – 24 · 42 =
2x 1
1 4
x 1
3.
Si 8
4.
El resultado de 5 12 2 27 +
5.
Racionalizar a.
6.
, entonces x =
7 7
b.
75 es
2 43 x2
Aplicando las propiedades, se tiene c4 a. log 3
b. log 6 x5 y
c.
2 3 2 3
7.
Si log125 5 = x, entonces x es igual a
8.
Si log
9.
Si 1.0002 log(x – 3) = 10, entonces el valor de x es
5 3
1 y , entonces el recíproco de y es 27
10. ¿Cuál es el valor de p en la ecuación 6x2 – 15x + 2xp + 8p = 0 si una de sus soluciones es 1 + i?
11. Si la suma de las raíces de la ecuación cuadrática 2mx2 – (3m + 2)x + m + 1 = 0 es 2, entonces el valor de m es
12. ¿Para qué valor de x la función f(x) = 5 + (x – 3)2 alcanza su mínimo valor?
13. La superficie del triángulo formado por el vértice de la parábola y = x2 – 10x + 24 y los puntos de intersección con el eje de las abscisas, mide
14. La trayectoria que recorre una pelota al ser lanzada hacia arriba está dada por la ecuación h(x) = 12x – x2, donde la altura h se mide en metros y x en segundos en todo momento, ¿en qué instante la pelota se encuentra a mayor altura?
EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE 1.
¿En cuál(es) de las siguientes expresiones el valor de x es -3? I) II) III)
A) B) C) D) E)
4x =
1 64
43 · 4x = 1 (4-1)x = 64
Solo en I Solo en II Solo en III Solo en I y en II En I, en II y en III (Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 29)
2.
Sea n un número entero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
2n es un número entero divisible por 2. 1 2n
es un número menor que 1.
2n – 2n – 1 = 2n – 1
Solo I Solo II Solo III Solo I y II Ninguno de ellas Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 21
3.
¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?
3
A) B) C) D) E)
3
4 =
2
3 = 1
10 – 6 3
3
=
6 = 2 3
2
(-1)2 = -1
Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 25
4.
3
a6n
6
=
A) a2n – 6 B) a2n – 2 1
C) a 2n 2 1 2n 6
D) a E) a6n – 2
Fuente: DEMRE 2010, Pregunta Nº 22
5.
Si a, b, n y p son números reales positivos, entonces
b
an n pb es igual a
A) ap n2 b2 nb
B)
ap
C)
bn
an pb
D)
bn
ap
2
2
n b
E) ninguna de las expresiones anteriores. Fuente: DEMRE 2016, Pregunta Nº 13
6.
(5 2 –
3 )( 3 + 5 2 ) =
A) -25 5 B) 2 5 C) 7 D) 47 E) 0 Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 19
7.
x 3?
¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al gráfico de f(x) = y
A)
B)
y
y
C)
3
3
x
x D)
3
E)
y 3
x
y
x
- 3 3
x
Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 33
8.
-
1 1 log = 2 4 4
1 2 1 4 1 8 1 2 1 4
A) B) C) D) E)
Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 37
9.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
1 log = -2 3 9 Si log x = -2, entonces x = 3. 3
Si logx 49 = -2, entonces x =
1 . 7
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Fuente: DEMRE 2006, Pregunta Nº 30
10. Sean x e y números positivos, la expresión log(x 3 · y-2) es equivalente a
A) -6 · log(xy) B) -
3 · log(xy) 2
C) 3 · log x – 2 · log y D)
3 · log x -2 · log y
E) (3 · log x)(-2 · log y) Fuente: DEMRE 2010, Pregunta Nº 34
11. Sea a 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) respecto de las soluciones de la ecuación x 2 + 3ax + 2a2 = 0? I) II) III) A) B) C) D) E)
Son iguales. Tienen igual signo. Una es el doble de la otra.
Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III Ninguna de ellas. Fuente: DEMRE, Admisión 2005
12. Con respecto a la ecuación (k – 1)x 2 + 2x + k =0; (k 1). ¿Para qué valor de k las raíces suman lo mismo que su producto?
A) -1 B) 2 C) -2 D) 0 E) 1
13. ¿Cuáles deben ser los valores de a y c para que la parábola de ecuación y = ax2 – 4x + c tenga su vértice en el punto de coordenadas (1, 2)?
A) B) C) D) E)
a
c
2 2 4 2 4
4 0 4 2 6
14. Considere la parábola y =
1 (x – 1) 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 2
verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
La parábola se abre hacia arriba. Su vértice se encuentra en (1,0). Su eje de simetría es x = 1.
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Fuente: DEMRE, Admisión 2008
p > 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? q
15. Si
A) B) C) D) E)
I)
p2 +
q2 = p + q
II)
p2 +
q2 = p + q
III)
p2 +
q2 > 0
Solo Solo Solo Solo Solo
I II III I y III II y III
Fuente: DEMRE 2010, Pregunta Nº 33
16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la función f(x) = ax 2 + bx + c? I) II) III) A) B) C) D) E)
Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que abre hacia abajo. La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c). Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una función afín.
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III Fuente: DEMRE, Admisión 2011
17. Si f(x) = 4-1x4 tiene como dominio el conjunto de los números reales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
El gráfico de f intersecta a la recta de ecuación y = -x en dos puntos. El gráfico de f es el mismo que el gráfico de g(x) = 4 -1x2. El gráfico de f está en el tercer y en el cuarto cuadrante.
Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III
Fuente: DEMRE, Admisión 2015
18. En la figura adjunta, se muestran dos parábolas de tal manera que una es la simétrica de la otra con respecto al eje x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
p+c=0 m>0 y a<0 g(-1) = -f(-1)
Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
y
g(x) = ax2+ bx + c
x f(x) = mx2+ tx + p
Fuente: DEMRE, Admisión 2011
19. Los puntos de intersección de la recta de ecuación y = 2x + 4 con la parábola de ecuación y = 2x 2 y el origen del sistema de ejes coordenados forman un triángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) II) III)
A) B) C) D) E)
Las abscisas de los puntos de intersección de la recta y la parábola son -1 y 2. La distancia entre los puntos de intersección de la parábola y la recta es 3 5 unidades. El triángulo es rectángulo.
Solo I Solo II Solo II y III Solo I y II I, II y III
20. Si 3x + 3-x = P, entonces 9 x + 9-x es igual a
A) B) C) D) E)
P2 P2 + 2 P2 – 2 P2 – 1 3P
Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 21
21. Si p = ax · b-x. Se puede determinar el valor numérico de p, si:
(1) x = 1 (2) a = b, con a y b distintos de cero.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
22. Sea m = 25
9 +
a . Se puede determinar el valor de
m, si:
(1) a = 4 (2) a2 = 16
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
23. Se puede determinar el valor numérico de log x x + y , si se conoce:
(1) 2x · 5x = 102 (2) x + y = 100
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
24. Se puede determinar la suma de las raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0, si: (1) a = 3b (2) b = 2 A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
EJERCICIOS DE DESARROLLO
a. F
1. 2.
-64
3.
x
4.
9 3
b. V
c. V
6.
a. 4·log c – log 3
7.
x
8.
x-
9.
6
2
12.
3
13.
1
14.
6
1 3
5 6
10 3
2
f. F
, 5 2 6
a.
11.
7 , b.
x
5.
3
e. F
1 8
3
10.
d. V
R ESPUESTAS
2x
c.
5 1 log x log y 6 6
g. V
h. V
i. F
j. V
CLAVES EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. E
5. C
9. C
13. A
17. A
21. B
2. C
6. D
10. C
14. E
18. C
22. A
3. A
7. C
11. D
15. D
19. D
23. C
4. B
8. D
12. C
16. E
20. C
24. C
DMDS-MA-M8
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