FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA DE YACIMIENTOS NATURALMEN NA TURALMENTE TE FRACTURAD FRACTURADOS OS Abel Naranjo
[email protected]
Guillermo Álzate Espinosa
[email protected]
Grupo de Investigación en Geomecánica Aplicada 2014
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MODELO DE WARREN & ROOT DE YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS
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CONTENIDO 1. Preliminares 2. Planteamiento Planteamiento del Modelo 3. Solución ecuación de difusividad 4. Gráficos de Horner
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1. PRELIMINARES Objetivo •
Estudiar el comportamiento de un medio poroso de doble porosidad.
Supo sicio nes para la Matriz. •
Material de porosidad primaria.
•
Homogénea e isotrópica
•
Conformada por paralelepípedos regulares idénticos.
Suposic iones p ara Sistema de fracturas. •
Sistema de fracturas, porosidad secundaria.
•
Conformada por red ortogonal.
•
•
Red orientada paralela a eje de permeabilidad principal. Las fracturas están igualmente espaciadas y tienen espesor uniforme.
Esquema Modelo Warren & Root
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1. PRELIMINARES (CONT.) Esquema de flujo de fluidos
Suposicio nes para todo el sistema. •
•
•
•
•
Ocurre flujo de fluidos de la matriz a la fractura.
Matriz
No existe flujo entre elementos de la matriz. El flujo desde el yacimiento hacia el pozo, ocurre a través del sistema de fracturas. El flujo de fluidos desde la matriz a la fractura ocurre bajo condiciones de flujo pseudo-continuo. El sistema como un todo presenta comportamiento infinito (flujo no continuo).
Fractura Línea de No-flujo
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2. PLANTEAMIENTO B alanc e de Masa. •
Bajo estas condiciones, Warren y Root solucionan la ecuación de difusividad K fx
•
2
P f
x
2
K fy
2
P f
y
2
f c f
P f t
m cm
P m t
(1)
Haciendo un balance de masa en la fractura del elemento infinitesimal de la figura.
Masa que sale Acum. o Agot . Masa que entra Fuentes o a la Fractura x, y,t de la Fractura x, y, t en la Fractura t Sumideros t
( 2)
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2. PLANTEAMIENTO (CONT.) Termino de fuentes y s um ideros. •
Hace referencia a la entrada de fluidos a la fractura proveniente de la matriz. Así
Fuentes ( ) fuentest Agotamient o matriz t sumideros() t •
(3)
Llevando la ecuación (3) a la (2) Masa que entra Masa que sale Acum o Agot . . Agotamient o Matriz t a la Fractura x , y , t de la Fractura x , y ,t en la Fractura t
(4)
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2. PLANTEAMIENTO (CONT.) Procedimiento de deducc ión d e ecuación d e difusividad. •
•
Los dos términos del lado izquierdo de la ecuación (4) generan términos izquierdos de la ecuación (1) . El 1er. y 2do. términos del lado derecho de (4) generan términos derechos de ecuación (1), respectivamente. Masa que sale Acum. o Agot . Agotamient o Masa que entra Matriz t a la Fractura x , y ,t de la Fractura x, y ,t en la Fractura t
K fx
2
P f
x
2
K fy
2
P f
y
2
f c f
P f t
m cm
P m t
( 4)
(1)
9
2. PLANTEAMIENTO (CONT.) Continuidad sobre b ase local.
La ecuación (1) necesita una condición de continuidad local. Suponiendo que existe flujo seudo-continuo en la matriz para todo tiempo, se debe cumplir
•
m cm
P m t
K m
P P f
m
•
Donde: factor de geometría de dimensión L-2 .
•
Controla el flujo entre los dos medios porosos.
(5)
Consideraciones •
•
El fluido contenido en la matriz se expandirá, cuando la presión disminuye. Este volumen fluirá a la fractura a una tasa q. La ecuación (5) no es valida para flujo seudo-continuo, al ser utilizada se introduce un error para tiempos tempranos, durante los cuales ocurre flujo no-continuo de la matriz a la fractura
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3. SOLUCIÓN (CONT.) Warren y Root solucionan las ecuaciones (1) y (5) para un comportamiento de yacimiento finito (macroscópicamente). La solución tiene la siguiente forma
•
P D
•
1
t t E ( 1 ) 1 w w w
0.809 E
Ln t D
2
i
D
D
i
(6)
Donde: •
•
P D
w
es la relación de almacenaje, que indica la contribución de los fluidos provenientes del sistema de fracturas, respecto a la contribución total.
es el coeficiente de flujo interporoso; que relaciona el contraste de permeabilidades de ambos medios
ct f w ct m ct f
P i P wf
qB 2 K f h
t D
K f t
c
f f
mcm r w
2
r w2 K m K f
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4. GRÁFICOS DE PRESIÓN VS TIEMPO Continuidad sobre b ase local.
La ecuación (1) necesita una condición de continuidad local. Suponiendo que existe flujo seudo-continuo en la matriz para todo tiempo, se debe cumplir
•
m cm
P m t
K m
P P f
m
•
Donde: factor de geometría de dimensión L-2 .
•
Controla el flujo entre los dos medios porosos.
(5)
Consideraciones •
•
El fluido contenido en la matriz se expandirá, cuando la presión disminuye. Este volumen fluirá a la fractura a una tasa q. La ecuación (5) no es valida para flujo seudo-continuo, al ser utilizada se introduce un error para tiempos tempranos, durante los cuales ocurre flujo no-continuo de la matriz a la fractura
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4. GRÁFICOS DE HORNER Las formas características de los gráficos de Horner para una prueba de flujo y una prueba de restauración de presión, en un yacimiento naturalmente fracturado, es la siguiente
•
Prueba de Flujo
Prueba de Restauración
Consideraciones •
El fluido contenido en la matriz se expandirá, cuando la presión disminuye. Este
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4. GRÁFICOS DE HORNER (CONT.) Interpretación d e Grafico s •
Región 1 • • •
•
Región 2 • • •
•
Inicia cuando la matriz empieza a producir al sistema de fracturas La presión en la matriz decae de presión inicial presión del sistema de fracturas. Aquí, la pendiente de la línea que la caracteriza es igual a la mitad de la pendiente de la región inicial.
Región 3 • •
•
El disturbio de presión afecta el sistema de fracturas, debido a su alta permeabilidad. Contribución de la matriz es insignificante durante este periodo. El sistema exhibe un comportamiento homogéneo que representa la malla de fracturas.
Inicia cuando la presión en ambos sistemas se iguala. Esto genera un nuevo comportamiento homogéneo, pero del sistema total.
La presencia de la primera línea puede ser escondida por efectos de almacenaje.
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4. GRÁFICOS DE HORNER (CONT.) •
La distancia entre las líneas de las regiones 1 y 3 esta dada por:
p mLog (w) •
•
•
•
( 7)
Donde m es la pendiente que permite calcular la permeabilidad del sistema. El factor de daño se calcula siguiendo procedimientos normales, con P 1hr extrapolado de la recta en la región 3. La presión promedia se obtiene de la forma convencional, leyendo Pf de la extrapolación de la recta 3. Finalmente la constante de almacenaje w puede obtenerse como p
w
10
m
(8)
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MODELO DE KAZEMI PARA YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS
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CONTENIDO 1. Preliminares. 2. Planteamiento del Modelo. 3. Condiciones de frontera e inicial 4. Solución y conclusiones.
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1. PRELIMINARES Objetivo •
Estudiar el comportamiento de un medio poroso de doble porosidad.
Supo sicio nes para la Matriz. •
Material de porosidad primaria.
•
Material con baja permeabilidad.
•
Homogénea e isotrópica
•
Conformada por paralelepípedos idénticos.
Suposic iones p ara Sistema de fracturas. •
Sistema de fracturas, porosidad secundaria.
•
Conformada por planos horizontales.
•
Las fracturas están igualmente espaciadas y tienen espesor uniforme.
Esquema Modelo Kazemi
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1. PRELIMINARES (CONT.) Suposic iones para todo el sistema. •
Flujo de fluidos de la matriz a la fractura.
•
Flujo en las direcciones vertical y radial.
•
Flujo no-continuo dentro del yacimiento.
•
•
•
El flujo de fluidos desde la matriz a la fractura ocurre bajo condiciones de flujo no-continuo. El sistema como un todo presenta comportamiento infinito (flujo no continuo). El sistema es circular y el pozo se encuentra centrado en éste.
Esquema de flujo de fluidos
Matriz
Fractura Línea de No-flujo
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2. PLANTEAMIENTO •
Bajo estas condiciones, Kazemi soluciona la ecuación de difusividad. Para: /2 < z < h/2, rw < r < re . 1
2 m C m r z t r r r K m Para:
0< z < /2,
rw < r < re .
1 K K f r m f C f r z z t r r 2 z •
(1)
(2)
Donde : es el potencial de flujo, el cual esta dado por: P
( p)dP (0) gz 0
es el espesor de la fractura. h es el espesor del bloque y la fractura
(3)
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2. PLANTEAMIENTO (CONT.) Interpretación. •
•
•
Los términos 1er. y 2do. de la ecuación (1) son las componentes radial y vertical de flujo dentro de la matriz, respectivamente. El 1er término en (2) es la componente radial de flujo en la fractura y el segundo término de (2) es el flujo en el punto z = /2. Como se considera flujo vertical, la masa que suministra la matriz a la fractura, no proviene del término [fuentes (+) Sumideros (-)] de la ecuación de difusividad, tal como en la ecuación de Warren y Root. 1
2 m C m r z t r r r K m
1 K K f r m f C f r r r z z t 2 z
(1)
(2)
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3. CONDICIONES DE FRONTERA E INICIAL Condición de no-flujo en los limites interior para matriz y exterior
Para:
/2 < z < h/2, r = rw & r = re .
0
r Notas •
•
En r = r w y en r = r e, no existe flujo a través de la matriz en dirección radial. En r=r e, no existe flujo a través de la
fractura en dirección radial.
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3. CONDICIONES DE FRONTERA E INICIAL (CONT.) Con dic ión de flu jo a tr avé s d e la fractu ra y en el lim ite in terno
Para: 0 < z < /2, r = rw.
r
qB qB K f r w 2 K f r w
2
,
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3. CONDICIONES DE FRONTERA E INICIAL (CONT.) ,
Con dic ión de flu jo a travé s d e la fractu ra y en el lim ite in tern o
Para:
z
r w < r < r e , z = 0 & z = h/2 .
0
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4. SOLUCIÓN Y CONCLUSIONES Kazemi resolvió numéricamente el anterior sistema de ecuaciones aplicando un método implícito de Dirección Alternante (ADI) iterativo
•
Conclusiones •
•
•
Un gráfico de Horner muestra que la región de transición inicia más rápido en el modelo de Kazemi que en Warren & Root. Este comportamiento se debe a que Kazemi considera flujo no-continuo de la matriz a la fractura Por tanto, existe menor caída de presión en el modelo de Kazemi.
Pwf
: Kazemi : Warren Root Log (t)
•
•
Cuando se alcanzan condiciones de flujo Pseudo-continuo, las dos gráficas se acercan y se superponen. Los comportamientos mencionados por Warren & Root se observan también en este modelo.
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MODELO DE CRAWFORD PARA YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS
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CONTENIDO 1. Preliminares. 2. Planteamiento y solución. 3. Consideraciones de Crawford. 4. Conclusiones. 5. Interpretación PBU.
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1. PRELIMINARES Objetivo •
Estudiar el comportamiento de un medio poroso de doble porosidad.
Supo sicio nes para la Matriz. •
Material de porosidad primaria.
•
Homogénea e isotrópica
•
Conformada por paralelepípedos regulares idénticos.
Suposic iones p ara Sistema de fracturas. •
Sistema de fracturas, porosidad secundaria.
•
Conformada por red ortogonal.
•
•
Red orientada paralela a eje de permeabilidad principal. Las fracturas están igualmente espaciadas y tienen espesor uniforme.
Esquema Modelo Warren & Root
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1. PRELIMINARES (CONT) Suposiciones para todo el sistema. •
•
•
•
•
Esquema de flujo de fluidos
Ocurre flujo de fluidos de la matriz a la fractura.
Matriz
No existe flujo entre elementos de la matriz. El flujo desde el yacimiento hacia el pozo, ocurre a través del sistema de fracturas. El flujo de fluidos desde la matriz a la fractura ocurre bajo condiciones de flujo pseudo-continuo. El sistema como un todo presenta comportamiento infinito (flujo no continuo).
Fractura Línea de No-flujo
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2. PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN. Bajo estas condiciones, Warren y Root solucionan la ecuación de difusividad
•
K fx 2 P f x 2 •
y 2
P f P f c f mcm m t t
(1)
Donde la solución tiene la forma P wfD
•
K fy 2 P f
t D 1 t D Ln t 0 . 809 E E D i i 1 w 2 w ( 1 w )
(2)
Donde: •
w
•
es el coeficiente de flujo interporoso.
P wfD
es la relación de almacenaje.
P i P wf qB
K f h 2
t D
K f t
c
f f
mcm r w2
ct f w ct m ct f r w2 K m K f
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3. CONSIDERACIONES DE CRAWFORD Teniendo en cuenta que Ln(x) =2.303 Log(x), que PD esta dado por la ecuación (2) y teniendo en cuenta al factor de daño S, se obtiene: P wf P i 162.6
t D qB t D Log t E E S 0 . 351 0 . 4342 0 . 4342 0 . 87 D i i 1 1 w w w K f h
(3)
Para valores normales de y w en sistemas de doble porosidad, y para valores bajos de t D, las funciones E i (-x) de la ecuación (3) pueden ser sustituidas por sus aproximaciones logarítmicas, Ln( x ), obteniéndose:
P wf P i 162.6
qB 1 Log t 0 . 351 0 . 4342 Ln 0 . 87 S D K f h w
(4)
Para tiempos altos, las funciones E i (-x) de la ecuación (3) se hacen despreciables, obteniéndose:
P wf P i 162.6
qB Log t D 0.351 0.87 S K f h
( 5)
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4. CONCLUSIONES •
La ecuación (4) muestra que un gráfico de P D vs.t , primero exhibe una recta de pendiente 1.151, para el gráfico de P D vs. Log (t D ), ó 162.6 qB /(K f h), para el gráfico de P wf vs Log (t).
•
La ecuación (5) muestra que para tiempos finales, ambos gráficos presentan una recta paralela a la recta inicial, pero separadas por una distancia dada por la siguiente expresión:
.
P
wf Ec.
P wf Ec. ( 4)
(5)
162.6
qB 1 Log K f h w
ó
1 P m Log w
Ecuación (5)
Pwf
Ecuación (4)
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4. CONCLUSIONES (CONT.) El valor de P en el gráfico anterior (separación de las dos líneas) es función de w. •
Si w es pequeño la separación es alta
•
Si w
1
) t m y la separación de ambas líneas tiende a cero. A mayor diferencia entre ( C ( C ) t f , mayor exhibición de comportamiento de sistema naturalmente fracturado.
El tiempo al final de la recta para tiempos tempranos y el tiempo de inicio de la recta para tiempos finales depende de •
•
A menor , mayor tiempo se requiere para que el argumento sobrepase el valor de 0.01, mayor tiempo para llegar al fin de la recta de tiempos tempranos. A mayor , menor tiempo requerido para la iniciación de la recta final.
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5. INTERPRETACIÓN PBU La ecuación (3) puede ser utilizada para el análisis de PBU, aplicando el principio de superposición. En este caso, la caída de presión en el fondo del pozo esta dada por: P i P ws
162.6
162.6
qB K f h
qB K f h
Log A 0.809 0.4342 E i B 0.4342 E i C
Log D 0.809 0.4342 E i E 0.4342 E i F
(6)
Donde
A
0.000264 K f t P t
C f
B
C
f mC m
E
r
2 w
0.000264 K f t P t
w1 w f C f mC m r w2 0.000264 K f
t P t
1 w f C f mC m r w
2
F
D
K f t 0.000264
w1 w f C f mC m r w2 K f t 0.000264
1 w f C f mC m r w
2
0.000264 K f t
C f
f
mC m
r
2
w
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5. INTERPRETACIÓN PBU (CONT.) Para valores bajos de t, los argumentos de las dos ultimas funciones E i (-x) en la ecuación (5) se hacen lo suficientemente pequeños, así que la aproximación logarítmica se hace aplicable, obteniéndose:
P i P ws 162.6
qB t P t 1 Log Log E B E C 0 . 4342 0 . 4342 i i K f h t w
(7)
Para valores bajos t, las funciones E i (-x) de la ecuación (5) se hacen despreciables, obteniéndose
P i P ws 162.6
qB t P t Log K f h t
(8)
Restando la ecuación (7) de la ecuación (8), se tiene:
P
wf Ec .
P wf Ec. (7)
(8)
162.6
qB 1 Log 0 . 4342 E ( B ) 0 . 4342 E ( C ) i i K f h w
(9)
37
5. INTERPRETACIÓN PBU (CONT.) Las ecuaciones (7) a (9) muestran que: •
Inicialmente el gráfico de Horner no necesariamente presenta una recta paralela a la línea de tiempos finales . Tiempos
•
Esto si sucede en una prueba de flujo.
Además, la ecuación (9) indica que •
La distancia que separa a ambas líneas es función del valor (t P +t);
Transición
iniciales Pws
Tiempos finales
p mLog (w)
w 10
(10)
p m
(11)
