capacidad es determinada por las características del sistema, la carga y las interacciones de controles continuos y discretos y de protecciones. La determinación de la estabilidad de voltaje a grandes disturbios requiere la revisión de la respuesta no lineal del SEP durante el tiempo suficiente para capturar el funcionamiento y las interacciones de los dispositivos tales como los cambiadores de tomas bajo carga de los transformadores, y los limitadores de campo del generador. El período del estudio de interés se puede extender a partir de algunos segundos a diez minutos.
1.1.2.2 Estabilidad de voltaje de pequeña perturbación Está relacionada con la capacidad del sistema de mantener los voltajes después de pequeñas perturbaciones como cambios de la carga del sistema. Esta forma de estabilidad es influenciada por las características de cargas, de controles continuos, y de controles discretos en un instante dado del tiempo. Este concepto es útil para la determinación, en todo momento, de cómo los voltajes de los nodos responderán a los pequeños cambios del sistema. Con simplificaciones apropiadas, las ecuaciones del sistema se podrían linealizar, sin embargo, no se podrían explicar los efectos no lineales de los controles. Por lo tanto, una combinación lineal y no lineal se utiliza en una manera complementaria para el análisis de la estabilidad de voltaje.
1.1.2.3 Casos reales de colapso de tensión Entre los fenómenos descritos anteriormente se encuentra una desviación extrema del voltaje llamado colapso de tensión o de voltaje. Este es un proceso mediante el cual una secuencia de eventos es acompañado por una inestabilidad de voltaje, llevando el sistema a una caída de voltaje a niveles tan bajos que son imposibles recuperarlos. Los efectos de un colapso de voltaje son mucho más serios que un típico período de tener bajos voltajes. Como consecuencia de un colapso de voltaje, secciones enteras del SEP pueden experimentar “apagones”. En los últimos años se ha incrementado el número de apagones en el mundo por colapso de voltaje, de tal manera, que en promedio de los últimos veinte años se ha presentado al menos un apagón de gran magnitud por año. A continuación se listan e ilustran en la Figura 6 los principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años: Nueva York Power Pool, Septiembre 22 de 1970
23
Nueva Zelanda y Dinamarca, 1979 Florida, Diciembre 28 de 1982 Francia, Diciembre 19 de 1978 y Enero de 1987 Norte de Bélgica, Agosto 4 de 1982 Suecia, Diciembre 27 de 1983 Japón, Julio 23 de 1987 Estados Unidos, Julio 2 de 1996 Estados Unidos, Agosto 10 de 1996 Suecia y Dinamarca, Septiembre 23 de 2003 Italia, Septiembre 28 de 2003 Estados Unidos, Agosto 14 de 2003 Ecuador, Abril 12 de 2004 Estos incidentes tienen algunas características comunes:
Las perturbaciones que los provocan pueden ser importantes (salidas de líneas, generadores, etc.) o no (aumentos progresivos de carga). Se mantiene por un cierto tiempo el suministro de las cargas sin variaciones relevantes de frecuencia. Son fenómenos lentos, por lo que tienen tiempo de actuar los automatismos de control de tensión. Se terminan produciendo caídas de tensión más allá de lo esperado. El despeje final de los incidentes lo realizan relés convencionales.
1.1.3 Estabilidad de mediano y largo plazo Los términos estabilidad de mediano plazo y estabilidad de largo plazo fueron introducidos por la necesidad de tratar con problemas asociados a la respuesta dinámica del SEP cuando es sometido a muchas perturbaciones. La estabilidad de corto plazo del voltaje involucra la dinámica en el tiempo de los componentes rápidos de la carga, tales como motores de inducción, cargas controladas electrónicamente, los convertidores de la transmisión HVDC, controles de un generador protecciones, etc. Mientras que la estabilidad de voltaje de largo plazo involucra la dinámica de los equipos de respuesta lenta tal como los cambiadores de tomas de los transformadores, cargas controladas por temperatura, los limitadores de la corriente del generador, reguladores de velocidad, reguladores de voltaje-carga (taps), etc). Sin embargo, se debe decir que la principal diferencia entre estabilidad de mediano y largo plazo es el fenómeno analizado y la representación del sistema usado, en lugar de los periodos de tiempo involucrados [9].
24
Figura 6. Principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años
Algunos rangos típicos de tiempo para los estudios de estabilidad son: Periodo corto: 0 a 10 segundos. (Estabilidad transitoria) Medio plazo: 10 segundos a algunos minutos. (Estabilidad dinámica) Largo plazo: algunos minutos a decenas de minutos. (Estabilidad de régimen permanente) El diagrama de la Figura 7 muestra en forma sintética los diferentes tipos de estabilidad descritos anteriormente, cada uno de ellos asociados a una gama de fenómenos [9].
1.2 INTRODUCCIÓN A LAS OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS
Los SEPs en estado estable operan a una frecuencia de 60 Hz (algunos a 50 Hz). Esta es la frecuencia necesaria para todas las variables eléctricas en los SEPs AC. Pero cuando se dice que el sistema está oscilando, lo que se quiere denotar es la presencia no deseada de oscilaciones diferentes a 60 Hz en tales variables. Estas oscilaciones se deben a la variedad de interacciones entre los componentes de los SEPs.
25
Figura 7. Clasificación de la estabilidad en SEPs
Las oscilaciones son iniciadas por cambios en la topología o en las condiciones operativas del sistema. Las perturbaciones pueden ser pequeñas (por ej. cambios constantes en la carga) o severas (por ej. una falla trifásica en una línea de transmisión). Cuando las oscilaciones involucran las masas rodantes de los generadores, se denominan oscilaciones electromecánicas o de potencia. Las oscilaciones
26
debidas a cambios severos se denominan oscilaciones transitorias y son estudiadas por la estabilidad transitoria. Las oscilaciones iniciadas por las pequeñas perturbaciones ocurren constantemente, ya que en todo momento se están haciendo ajustes en la generación, en la demanda, en los controles, etc. Estas oscilaciones son de baja frecuencia y se pueden dividir según los elementos involucrados en los siguientes tipos de oscilaciones:
Oscilaciones electromecánicas. Oscilaciones asociadas con los controles. Oscilaciones subsincrónicas (resonancia subsíncrona).
Estas oscilaciones están relacionadas directamente con los modos estudiados por la estabilidad de pequeña señal, como se puede ver en la Figura 8. Es de aclarar que un “modo” se entiende como una resonancia del sistema (frecuencia de oscilación natural del sistema), que se identifica por una combinación de su frecuencia de oscilación, amortiguamiento y diagrama de participaciones; el diagrama de participaciones indica que elementos del sistema oscilan entre sí. De la misma forma que se habla de un modo o una frecuencia de resonancia en un circuito LC, en un SEP se puede hablar de muchos modos de oscilación diferentes. Más adelante se mostrara que cada modo de oscilación se representa por un número complejo ( ), donde: j
(1.5)
La parte real de los valores propios ( ) cuantifica el amortiguamiento del modo, y la imaginaria () la frecuencia de oscilación. Si se desea el radio de amortiguamiento (tasa de disminución de la amplitud de la oscilación del modo) se calcula como:
2
2
(1.6)
Continuamente en el sistema se superponen los modos (en su mayoría locales e inter-áreas), debido a los continuos cambios de la demanda, la generación, las ganancias de controles, etc. Lo que explica las variaciones de potencia por las líneas de interconexión (ver ejemplo en la Figura 9.).
27
Figura 8. Oscilaciones estudiadas por la estabilidad de pequeña señal. Estabilidad de pequeña señal
Inestabilidad oscilatoria
Inestabilidad no oscilatoria Este problema de inestabilidad no ocurre en los sistemas actuales de potencia por la presencia de los reguladores de voltaje
Modos interárea
Modos locales
Modos de control
Modos de torsión
Estos modos están asociados a las oscilaciones de baja frecuencia en los sistemas de potencia. Durante estas oscilaciones los generadores intercambian energía eléctrica a través de la red. Este tipo de modos son los que han ocasionado históricamente incidentes de oscilaciones de potencia inestables o poco amortiguadas.
s e n o s i c a a c l i i c n s á o c e e d m s o r a t c m e e l l e b o r P
Están asociados a variables eléctricas de los generadores y los controles. Reguladores de voltaje mal ajustadas, reguladores de velocidad, convertidores de potencia AC-DC, y compensadores estáticos son las causas usuales de inestabilidad de estos modos.
e e d d s d a j e a d i a l t m i l e b l a o b t v o r s P e n i
Están relacionados con la tendencia de las partes constitutivas de la turbina a oscilar entre si y respecto a la red eléctrica donde el generador está c onectado.
e a c d i a i s c n a n ó r m a n c n e l o i b s s e b o r r u s P
1.2.1 Oscilaciones de potencia locales e inter-áreas Las oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia son imposibles de evitar y siempre están presentes en los SEPs; se originan por cambios pequeños y continuos en los equipos o en las condiciones del sistema * , como por ejemplo los cambios en la generación y la carga. Aunque las oscilaciones afectan muchas variables del sistema (voltajes, corrientes, frecuencias, etc.), la *
Un SEP es un sistema dinámico, es decir, continuamente está modificando su estado, ó sea, los SEPs no son sistemas estáticos o estacionarios.
28
velocidad de los generadores y la potencia que fluye por la red son las que más se ven afectadas. Cuando se presentan estos cambios, las unidades generadoras, en el intento de encontrar nuevos puntos de operación estables, responden con oscilaciones que pueden afectar toda la red [5].
Figura 9. Flujo de potencia trifásico por una línea de interconexión.
) 230 W M ( a 220 i c n e t o p 210 e d o j u l F 200
5 MW
3300 3320 3340 tiempo del día (seg)
3360
Cuando ocurren estas oscilaciones de potencia en el sistema, las máquinas sincrónicas intercambian energía cinética en forma de potencia eléctrica a través de la red, de tres formas posibles * [9] como se observa en la Figura 10. Un generador oscila contra el resto del sistema. Esta forma de oscilación
es la más común de las tres, y está asociada con los modos máquinasistema o también llamados planta-sistema. Este tipo de oscilaciones son causadas, generalmente, por reguladores automáticos de voltaje de sistemas de excitación (AVRs) de generadores que operan con altas salidas y están conectados al sistema por medio de interconexiones largas y radiales (conexión débil); el problema se agudiza con sistemas de excitación de alta respuesta. Las características de los modos de oscilación máquina-sistema han sido suficientemente estudiados, y su amortiguamiento se logra eficazmente con estabilizadores de SEPs (control suplementario de los sistemas de excitación). Un grupo pequeño de generadores oscilan en fase o en contra de otros grupos de generadores de la misma área. Esta forma de oscilación no
es bien amortiguada por el sistema y está asociada a los modos intermáquinas, inter-plantas o también llamados intra-áreas del sistema. *
Algunos textos como [5] mencionan una cuarta forma de oscilación: oscilaciones entre unidades de una misma central cuyo rango típico de oscilación es de 2 a 3 Hz.
29
Los generadores de un área oscilan en contra de generadores de otras áreas. Esta forma de oscilación es la más grave, está asociada a los
modos inter-áreas del sistema y tiene una frecuencia típica de oscilación de 0.1 a 1 Hz. Las características de esta forma de oscilación son más complejas, y en muchos aspectos diferentes a las dos formas anteriores. Las dos primeras formas de oscilación solo involucran una pequeña parte del sistema, por lo cual representan un problema local. Los modos máquinasistema e inter-máquina conforman los llamados modos locales; estos modos tienen frecuencias en el rango de 1 a 2 Hz. En los SEPs, las oscilaciones que mayor traumatismo causan son las asociadas a los modos inter-áreas, ya que tienen menor amortiguamiento y menor frecuencia, su aparición causa fluctuaciones perceptibles en los voltajes del sistema, y las variaciones de potencia suelen alterar las protecciones de los equipos e incluso causar su actuación.
Figura 10. Modos inter-área y local. M o d o i n t e r - á r e a
) W M ( 4 3
P ) W M (
Modo inter-máquina
4 3
M o d o s l o c a l e s
P
Modo máquina-sistema
30
Esta oscilaciones, en una forma muy general, ocurren cuando se involucran generadores de alta constante de inercia, generadores con uniones débiles a los sistemas de transmisión, o generadores con niveles de carga muy altos (cercanos al 100%). La estabilidad de pequeña señal, permite estudiar las oscilaciones de potencia, ya que son la consecuencia de pequeñas perturbaciones en el sistema. Pero como se ve en la Figura 8, la estabilidad de pequeña señal agrupa otros tipos de estudios (estudio de modos de torsión, modos de control), pero generalmente cuando se utiliza este término se está haciendo solo referencia al estudio de modos inter-áreas y modos locales. Entre las razones que justifican por qué se centra el estudio de estabilidad de pequeña señal en los modos de oscilación electromecánicos (modos interáreas y locales) están las siguientes [3], [7], [9], [12]: Son los modos asociados a problemas globales en el sistema (oscilaciones
que afectan más de una región del sistema). Históricamente han estado asociados con incidentes de oscilaciones poco amortiguadas o inestables de baja frecuencia en SEPs alrededor del mundo. Son modos difíciles de amortiguar (principalmente los inter-áreas). Es conveniente reiterar que la literatura especializada algunas veces utiliza el término "estudio de estabilidad de pequeña señal" para hacer solo referencia a la estabilidad de los modos locales e inter-áreas que determinan la estabilidad de las oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia.
1.2.2 Reseña histórica Los primeros SEPs estaban formados por generadores conectados en paralelo con líneas de baja impedancia, si ocurrían oscilaciones, eran mitigadas por los devanados de amortiguación ya que prácticamente las variaciones en el voltaje del sistema eran despreciables (por las bajas impedancias de interconexión), de esta forma los reguladores de voltaje no eran estimulados y no participaban dentro del fenómeno de oscilación. Los sistemas actuales presentan tamaños mayores, pero un menor acople entre los generadores; debido a que los sistemas no se han expandido lo suficiente como consecuencia de las consideraciones financieras y ambientales actuales. Teniendo esto en cuenta, la respuesta de los sistemas actuales a las oscilaciones es bastante diferente a la de los sistemas antiguos. La alta impedancia externa vista por los generadores causa que los devanados amortiguadores se vuelvan poco efectivos contra las oscilaciones y que se
31
originen variaciones de voltaje en el SEP. Esto causa que los reguladores de voltaje actúen, produciendo amortiguamiento negativo (efecto no deseado), por lo que algunas veces se debe restringir la máxima potencia transferida por las líneas, o variar las ganancias de los reguladores para aumentar el amortiguamiento de las oscilaciones. Entre los años 1920 y 1930 aparecen los primeros intentos de solución a los problemas de estabilidad en los SEPs. En un comienzo se pensaba en la máquina como una fuente de tensión inalterable, la carga como una impedancia constante y se creía que el problema se centraba exclusivamente en las redes de transmisión; pero gracias a la experimentación con modelos a escala y el avance en la teoría de SEPs, se logró establecer que la configuración del SEP y todos los equipos asociados tales como generadores, excitación, gobernador, líneas de transmisión, cargas, relés de protección, entre otros, influyen en la estabilidad del mismo. La primera vez que se enfrentó un problema severo de estabilidad fue en los años sesenta en una interconexión entre las zonas oriental y occidental de los Estados Unidos, en este sistema aparecieron oscilaciones de baja frecuencia, las cuales lograron aislar las áreas y producir un apagón. Debido a las consecuencias ocasionadas por las fallas en las redes, derivadas de la inestabilidad de los SEPs, se despertó el interés de las empresas del sector eléctrico, ingenieros, usuarios y entes de regulación de los sistemas en el problema de la estabilidad. La atención despertada impulso el desarrollo de nuevos software, equipos para pruebas al SEP, relés de protección, compensaciones de línea, sistemas de control y estabilizadores de SEPs (PSS), con el fin de estudiar y minimizar los efectos de la inestabilidad en los SEPs. En los años 60 y 70 el uso de los PSS fue difundido. Al final de los años 70 fue desarrollado el PSS de potencia acelerante (una potencia acelerante o desacelerante aparece cuando se presenta un desbalance entre la potencia eléctrica solicitada por el sistema al generador y la potencia mecánica aplicada a la turbina) en la Hidroeléctrica de Ontario (Canadá). En los tiempos actuales se reconocen las bondades de los PSS, pero también se sabe que ellos solos, generalmente, no son suficientes para mitigar las oscilaciones. Actualmente se cuenta con otros equipos electrónicos de potencia para amortiguar oscilaciones como los condensadores serie controlados por tiristores (TCSCs), compensadores estáticos (SVSs), líneas de alto voltaje DC (HVDC), almacenadores de energía magnética mediante superconductores (SMESs), controladores unificados de flujo de potencia (UPFCs), y otros.
32
2. MODELAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE UN SEP
Los estudios de operación y planeación en SEPs están basados en simulaciones del modelo del sistema real. Los modelos son equivalentes matemáticos de los elementos del sistema que permiten prever su comportamiento mediante abstracciones matemáticas. Cada elemento del sistema es único, pero un solo elemento puede tener muchos modelos que varían en complejidad dependiendo del tipo de estudio que se desee hacer. El objetivo principal de este capítulo es identificar factores importantes en el modelamiento de los elementos del SEP, que son requeridos para lograr exactitud en las simulaciones a realizar * . En términos generales, los modelos usados para el análisis modal son los mismos que se requieren para estudios de estabilidad transitoria. Cualquier sistema de potencia puede modelarse usando un conjunto de n ecuaciones diferenciales y un conjunto de ecuaciones algebraicas para el estator y la red, tal que [1], [9]:
x f ( x, y, u) (2.1)
0 g( x, y ) La primera ecuación representa las ecuaciones diferenciales y la segunda ecuación agrupa al conjunto de ecuaciones algebraicas del estator y de la red. Donde: x i ( i , i , Eqi , Edi , E fdi , Vri , R fi )t y i (Idi ,Iqi , i , Vi , L , VL )t
ui (TMi , VREFi )t
i 1,..., m.
(2.2)
1,..., m. l m 1,..., n
(2.3)
i
i
1,..., m
(2.4)
Donde n es el número de barras del sistema y m es el número de barras generadoras, “x” es un vector de nx1 que contiene las variables de estado tales como los ángulos de los generadores, Fem’s, etc, “y” es un vector que contiene las variables algebraicas (generalmente voltajes en las barras y/o sus ángulos), *
Es recomendable retroalimentar este capítulo con el capítulo 3.
33
y “u” es un vector rx1 con variables de entrada de parámetros tales como referencias de los generadores. Las funciones f y g se asumen que son continuas y diferenciales. A continuación se discuten los modelos de los elementos del SEP a los cuales se les debe prestar mayor atención al momento de realizar un estudio de oscilaciones electromecánicas con el fin de obtener resultados adecuados en las simulaciones. Se consideraron los equipos y elementos del SEP, cuyos modelos son decisivos para una simulación bastante precisa de las oscilaciones de potencia. Los demás elementos que no fueron considerados, tales como, transformadores, líneas, etc., fueron incluidos en el modelo del sistema, pero no requieren atención extra, ya que el modelamiento que se hace de éstos para estabilidad transitoria es suficiente.
2.1 MÁQUINA SÍNCRONA
A diferencia de los elementos pasivos de la red (líneas, transformadores), cuyo modelado para estudios de estabilidad no difiere del que se usa habitualmente, en los estudios de régimen estacionario, la máquina síncrona debe ser modelada en una forma mucho más compleja y sofisticada. Los modelos sencillos de líneas y transformadores que se usan al formular las ecuaciones del flujo de cargas son sustentables en estudios de estabilidad debido a que los transitorios de red son tan rápidos (a lo sumo unos pocos ciclos) que se puede asumir que la red va describiendo una sucesión de estados de equilibrio (calculables a través de las ecuaciones algebraicas del flujo de cargas) a medida que va transcurriendo la perturbación en estudio (metodo “cuasiestático” de análisis). Esta simplificación no es razonable para la máquina síncrona, cuyos transitorios (mecánicos, de los devanados del rotor, y de los sistemas de regulación de velocidad y tensión) muestran constantes de tiempo del orden de varios segundos. Se hace necesario, por lo tanto, modelar la máquina síncrona a través de un conjunto de ecuaciones no sólo algebraicas, sino también diferenciales. Estas ecuaciones deben incluir una descripción del comportamiento de la máquina en relación a las variables eléctricas (corrientes, tensiones) intercambiadas con la red, y también una descripción del comportamiento mecánico de la máquina al producirse la perturbación (se recuerda al respecto que el objeto clásico de estudio del análisis de estabilidad transitoria es la eventual pérdida de sincronismo del
34
sistema, lo cuál está directamente relacionado con las variaciones de posición relativas de los rotores de unas máquinas con respecto a otras). No obstante, las dificultades y complejidad inherentes a un modelado excesivamente preciso justifican asumir diversas simplificaciones en los modelos usados, de forma que se pueda abordar el análisis sin complicar innecesariamente la teoría y las rutinas de cálculo. El nivel de estas simplificaciones depende del tipo de estudio a realizar (y en particular, del período de tiempo de análisis a partir de la perturbación en la red que motiva el estudio: régimen subtransitorio, transitorio o estacionario) y ha variado históricamente a lo largo del tiempo, a medida que se han ido haciendo cada vez más potentes y sofisticadas las herramientas de cálculo. De esta forma, es posible encontrar en la literatura a la máquina síncrona modelada en forma tan simple como una fuente de tensión atrás de una reactancia (estudios de régimen y de estabilidad transitoria en la década del 70) o tan compleja como un conjunto de 7 o más bobinados acoplados electromagnéticamente a través de coeficientes de inducción propia y mutua que dependen del tiempo (estudios de estabilidad transitoria modernos). Recordemos que los generadores sincrónicos son los elementos del SEP más importantes en los estudios de oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia ya que cuando ocurren pequeñas perturbaciones, aparecen oscilaciones en el sistema durante las cuales los generadores intercambian energía, éstas se deben a modos o respuestas naturales del sistema que se superponen a la oscilación de operación (50 ó 60 Hz). Cuando se presentan oscilaciones, son las masas rodantes de los generadores (rotores) las que oscilan entre sí intercambiando energía cinética. La transformación de Park es de gran ayuda al utilizarla para simplificar el análisis de máquinas sincrónicas, tal transformación lleva el circuito trifásico del estator a dos ejes que rotan a la misma velocidad, llamados eje directo y eje de cuadratura. El eje directo (eje d) esta alineado con el eje magnético del devanado de campo, y el eje de cuadratura (eje q) esta 90 o adelantado al eje d como lo muestra la Figura 11. La transformación tiene la ventaja de que anula la dependencia de las inductancias con el ángulo y representa a la máquina mediante dos circuitos equivalentes acoplados, cuyos parámetros son constantes.
35
Figura 11. Circuitos del estator y rotor de una máquina sincrónica
A continuación se muestran dos modelos de la maquina síncrona con regulador de voltaje [1].
2.1.1 Modelo A Se emplea el modelo de dos ejes para la máquina síncrona (ver Figura 12) y para el regulador de voltaje se tiene el modelo IEEE tipo I (Ver Figura 13). No son tenidos en cuenta los efectos subtransitorios de la máquina síncrona. Las variables que representan este modelo son: X1 , , Eq , Ed t
Variables del generador
(2.5)
X 2 Efd , VR , R f t
Variables del regulador
(2.6)
X 3 Id , Iq t
Variables algebraicas del generador
(2.7)
2.1.1.1 Ecuaciones diferenciales. di i s dt Edi xqi .Iqi s di TMi Eqi xdi .Idi . I .Idi Di . i qi dt Mi Mi M M i i
36
(2.8) (2.9)
dEqi E x xdi E fdi . I qi di dt Td0i Td0i di Tdoi
(2.10)
dEdi E x qi xqi di .I dt Tq0i Tq0i qi k SE (E fdi ) dE fdi V .E fdi Ri Ei dt TEi TEi dVRi V K K .K K Ri Ai .R fi Ai fi .E fdi Ai .( Vref i Vi ) dt T Ai T Ai T Ai .Tfi T Ai dR fi R K fi fi2 .E fdi dt Tfi Tfi
(2.11) (2.12) (2.13) (2.14)
Figura 12. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo A) jxdi
Rsi
j(i2)
(Idi jIqi).e
IDi jIQi
Edi (xqi xdi ).Iqi jEqi .e j(i 2) j( i 2 )
( Vdi jVqi ).e
Vi.e ji VDi jVQi
Figura 13. Modelo del AVR IEEE tipo I (Modelo A) Vref
-
+
VR
K A 1 ST A
+
1 K E ST E
SE (E fd ) SK F 1 ST F
37
E fD
2.1.1.2 Ecuaciones algebraicas del estator. Las ecuaciones algebraicas del estator en forma polar, se obtienen directamente del circuito equivalente dinámico de la Figura 12, ecuaciones que también forman parte del modelo A. Del modelo del circuito de dos ejes para la máquina síncrona se tiene: j( i 2 )
0 Vi .e ji ( jxdi R si ).(Idi jIqi ).e
j( i 2 )
Edi ( x qi x di ).Iqi jEqi .e
(2.15)
i 1,..., m.
Multiplicando todo por e 0 Vi .e ji .e 0 Vi .e
j( i 2 )
j( i i 2 )
j( i 2 )
: j( i 2 )
(R si jxdi ).(Idi jIqi ).e
Edi ( xqi xdi ).Iqi jEqi
(2.16)
R si .Idi x di .Iqi j x di .Idi jR si E di x qi .Iqi x di .Iqi j E qi (2.17)
0 Vi .sen(i i ) jVi . cos(i i ) Rsi .Idi jxdi .Idi jR si .Iqi Edi xqi .Iqi jEqi (2.18) Separando parte real y parte imaginaria. 0 Vi .sen(i i ) R si .Idi xqi .Iqi Edi
(2.19)
0 Vi . cos(i i ) xdi .Idi R si .Iqi Eqi
(2.20)
Organizando las ecuaciones: 0 Edi Vi .sen(i i ) R si .Idi xqi .Iqi
(2.21)
0 Eqi Vi . cos( i i ) xdi .Idi R si .Iqi
i
1,..., m
(2.22)
2.1.2 MODELO B También existe otro modelo más simplificado que al igual que el anterior usa un modelo de dos ejes para la máquina síncrona (Ver Figura 14) pero para el regulador de tensión usa un modelo IEEE tipo II (Ver Figura 15), este conjunto es llamado modelo B. No son tenidos en cuenta los efectos subtransitorios de la máquina síncrona, también se desprecia el voltaje transitorio en eje directo (E’d) y el control de excitación es muy simple. Las variables que representan este modelo son:
38
x 1 (, , Eq ) t
Variables del generador.
(2.23)
x 2 (E fd )
Variables del regulador.
(2.24)
x 3 (Id ,Iq )t
Variables algebraicas del generador.
(2.25)
Figura 14. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo B) jxdi
Rsi
j( i 2 )
(Idi jIqi ).e
( xqi xdi ).Idi jEqi .e j(i 2 ) j( i 2 )
( Vdi jVqi ).e
Vi.e ji
Figura 15. Modelo del AVR IEEE tipo II (Modelo B)
Vref
+
K A 1 ST A
EfD
-
2.1.2.1 Ecuaciones diferenciales. di i s dt xqi .Idi di TMi Eqi xdi .Idi D . I .Iqi i (i s ) qi dt Mi Mi Mi Mi E fd i dEi Eqi x di xdi . I dt Td0 i Td0 i di Td0 i
(2.26) (2.27) (2.28)
dE fdi E K fdi A i ( VREF.i Vi ) dt T Ai T A i i 1,..., m.
(2.29)
39
2.1.2.2 Ecuaciones algebraicas del estator. El análisis es igual al hecho en el modelo A para las ecuaciones algebraicas del estator, solo que para este modelo se desprecia el voltaje en eje directo transitorio (Ed ) . Vi sen(i i ) R si .Idi x qi .Iqi 0
(2.30)
Eqi Vi cos(i i ) R si .Iqi xdi .Idi 0
i 1,..., m.
(2.31)
2.2 CONTROL DEL REGULADOR DE VELOCIDAD
Los modos electromecánicos locales (frecuencias de 1 a 2 Hz) presentes en el sistema no se ven afectados por la respuesta de los gobernadores o reguladores, ya que ésta es demasiado lenta. Por el contrario los modos interáreas (frecuencias menores a 1 Hz) se pueden ver afectados por la respuesta del regulador de velocidad, pero el efecto en ellos no es muy significativo [9] [15]. A medida que el modo disminuya en frecuencia más puede aumentar sobre él, el efecto del regulador, entrando así en su ancho de banda de respuesta. En sistemas grandes de potencia, la sensibilidad del gobernador es reducida intencionalmente para evitar interacciones adversas con los modos de oscilación del sistema. En sistemas pequeños, los reguladores son ajustados para responder rápidamente a las variaciones de frecuencia y así ayudar a amortiguar las oscilaciones de potencia. En conclusión, los gobernadores o reguladores de velocidad no afectan de forma significativa las oscilaciones de potencia, pero al no estar bien ajustados podrían influir en la disminución del amortiguamiento [9].
2.3 CONTROL DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN
El AVR, la excitatriz y el PSS (si está presente) son los tres elementos principales en los cuales se divide el modelo del control del sistema de excitación. El sistema de excitación de los generadores es usado para cambiar el voltaje terminal y la producción de los MVAr, subsecuentemente cambiando
40
el perfil de voltaje del SEP, así al aumentar el nivel del voltaje de excitación la producción de MVAr aumenta y viceversa. Mediante análisis de circuitos se logran determinar las funciones de transferencia de los AVRs y PSSs electrónicos (modernos) mientras que la caracterización de los AVRs convencionales (que utilizan equipos magnéticos) se logra a partir de pruebas de campo. Los AVRs modernos poseen altas ganancias y respuestas rápidas para proveer un control exacto del voltaje en terminales del generador. Estas características reducen el amortiguamiento intrínseco del generador y de aquí se desprende que aumente la inestabilidad a las oscilaciones de potencia. La reducción en amortiguamiento se puede superar adicionando un estabilizador del SEP (PSS) al control del sistema de excitación. Los PSSs utilizan como entrada, la potencia mecánica, la potencia acelerante, la velocidad, la frecuencia, o una combinación de las anteriores para adicionar torque amortiguante al generador. La Figura 16 muestra un modelo que sirve como ejemplo de un sistema de excitación con rectificador rotativo, AVR digital y PSS [15]. Es importante recalcar que si el sistema de excitación es controlado manualmente (voltaje constante de campo) los parámetros más importantes son la constante de inercia, y los parámetros del circuito de campo de la máquina. Ahora bien, cuando se tengan sistemas de excitación automáticos, se deben tener en cuenta sus datos, ya que como es de esperarse, estos juegan un papel importante en la naturaleza de los modos electromecánicos [6].
2.4 CARGAS
Según el método de análisis que se este usando y del fenómeno bajo investigación se emplea un determinado tipo de modelo. El nivel de voltaje al que la carga modelada esta conectada es un aspecto importante para definir su representación, pues en bajos niveles, ésta es componente por componente, mientras que si las cargas se representan para estudios en altos niveles de voltaje, las cargas individuales se deben simplificar (proceso de agregación). Normalmente las variables de entrada al modelo son el voltaje y la frecuencia de la barra en la cual esta conectada la carga; sus salidas son las potencias activa y reactiva demandadas. Los modelos de carga se dividen en modelos estáticos y dinámicos, los cuales pueden ser linealizados alrededor de un punto de operación de estado estable.
41
Figura 16. Ejemplo de un sistema de excitación
42
2.4.1 Modelo de carga estática El modelo de carga estática se puede representar matemáticamente mediante las siguientes expresiones: Np 2 Npn V Np1 V V P P0 1 Mp f a1 a 2 a n V0 V0 V0
(2.32)
Nq2 Nqn V Nq1 V V Q Q 0 1 Mq f b1 b 2 b n V0 V0 V0
(2.33)
Donde:
P: Potencia activa de la carga. Q: Potencia reactiva de la carga. V: voltaje de la barra en donde está conectada la carga. f: Desviación de la frecuencia de la barra. Npi, Nqi, Mp, Mq son los parámetros del modelo de la carga. El subíndice 0 denota estado estable o cantidad nominal.
Existen expresiones comúnmente usadas en SEPs, éstas se obtienen a partir de las anteriores eliminando en ellas la dependencia de la carga con la frecuencia y llevando la dependencia con el voltaje a un solo índice. V P P0 V0
Np
Nq
V Q Q 0 V0
(2.34)
Los coeficientes Np y Nq pueden tomar valores reales positivos, pero existen casos especiales que consideran al modelo como la representación de una carga de impedancia constante, corriente constante o potencia constante, en este caso los valores para estos exponentes son iguales a 2, 1 y 0 respectivamente. Típicamente, para cargas agregadas, N p está en el rango de 1 a 2 y Nq en el rango 2 a 4. A continuación se muestra la forma linealizada de estos modelos: P NpP0
V
V0
Q Nq Q 0
43
V
V0
(2.35)
Np y Nq representan las sensibilidades potencia – voltaje de la carga es decir son los diferenciales: dP dQ NP Nq (2.36) dV dV Es de aclarar que los modelos de carga estática son válidos solo para rangos pequeños de variación de voltaje. Si estos modelos se usan en simulaciones con grandes cambios de voltaje se introducen grandes errores como resultado del comportamiento no lineal del sistema. Por ejemplo, estos modelos deben usarse con mucho cuidado en estudios de estabilidad transitoria.
2.4.2 Modelo de carga dinámica Los modelos de carga dinámica se utilizan debido a la existencia de grandes cantidades de cargas motorizadas* en los SEPs [9]. En la Figura 17 se puede observar el modelo equivalente del motor de inducción (se encuentra en mayor numero entre toda la carga motorizada) con las cantidades del rotor referidas al estator. Este equivalente y la ecuación de movimiento representan los efectos dinámicos de la carga.
Figura 17. Circuito equivalente de un motor de inducción
Los parámetros del circuito de la Figura 14 son: : resistencia del estator. R1 X1 : reactancia del estator. X2' : reactancia del rotor referida al estator. R2'/s : carga mecánica y resistencia del rotor referida al estator. X0 : reactancia de magnetización. : deslizamiento. s *
Normalmente los motores consumen del 40 al 70% de la potencia de un sistema, por lo que las características dinámicas atribuidas a la carga se deben al comportamiento dinámico de los motores [1]. Para el caso colombiano el porcentaje es de un 34%.
44
3. HERRAMIENTA DE ANÁLISIS
La principal herramienta para analizar el comportamiento oscilatorio y la estabilidad de voltaje de los SEPs, son los estudios de estabilidad de pequeña señal [9] [16], ésta estudia la respuesta del sistema cuando está sujeto a pequeñas perturbaciones; Ya que dichas perturbaciones ocurren frecuentemente, garantizar que el SEP presente buen amortiguamiento a estas, se torna un requerimiento fundamental para una operación satisfactoria. Los estudios de oscilaciones electromecánicas pueden ser abordados de dos maneras [9] [15] [16]: El análisis modal. Estudia las oscilaciones por medio del análisis de los
modos de oscilación del sistema. La identificación modal. Obtiene o identifica los modos a partir de la
respuesta transitoria del sistema ante diferentes perturbaciones.
Estos dos métodos no deben entenderse como métodos opuestos, sino como procedimientos complementarios, ya que la identificación modal constituye la principal herramienta para verificar los resultados del análisis modal. En este capítulo * , se presenta un relato de la técnica y la terminología matemática usada en el análisis modal de SEPs. Para lograr esto, se introducen aspectos fundamentales de la estabilidad de sistemas dinámicos.
3.1 ANÁLISIS MODAL
El análisis modal, es una técnica matemática usada para analizar la estabilidad de pequeña señal de diferentes SEPs. Esta es una técnica que puede clasificarse dentro de los métodos de análisis de sistemas dinámicos pero no corresponde a simulaciones en el tiempo. Se basa en la linealización del modelo no lineal del SEP alrededor de un punto de equilibrio representado por una condición de estado estable en la operación del sistema. Teniendo el modelo linealizado, se analiza el amortiguamiento de las oscilaciones con base *
Para esta sección se tienen como principales fuentes bibliográficas las referencias [4], [5] y [8].
45
en los modos naturales del sistema (valores propios). Si el sistema no es lo suficientemente amortiguado, las oscilaciones, que se originan por cambios pequeños en la demanda, en la generación o en ajustes de controles, podrían crecer en amplitud y arriesgar la estabilidad del sistema. Este método se emplea para determinar las áreas más débiles del sistema y para obtener información con respecto al aporte de cada uno de los mecanismos en la inestabilidad, por medio del cálculo de factores de participación (estos factores muestran la influencia de una determinada variable en un determinado modo). La estabilidad de pequeña señal, de una manera simple, se puede definir como una herramienta que permite analizar la “fortaleza” o “solidez”, del punto de operación o de equilibrio alrededor del cual se hace la linealización del sistema. Esta definición se comprende cuando se vea que el análisis modal realiza pequeños incrementos en las variables del sistema para estudiar su respuesta (estable o inestable). Esto es precisamente lo que le ocurre a los SEPs en la operación real, ya que continuamente se presentan pequeñas variaciones, a las cuales, las unidades generadoras reaccionan, conduciendo el sistema a oscilaciones en el intento de encontrar nuevos puntos de operación.
3.1.1 Análisis matemático El comportamiento de un sistema dinámico ** , como es el caso de un sistema SEP, puede ser descrito por un conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer orden, de la siguiente manera:
3.1.1.1 Ecuaciones de estado x i (t) x i (t) f i (x1(t), x 2 (t),..., x n (t),u1(t),u 2 (t),...,ur (t)) t
Donde: i = 1, 2,...., n n = orden de los sistemas = número de variables de estado. r = número de entradas.
**
Un sistema dinámico es aquel que presenta dependencia con el tiempo.
46
(3.1)
Ahora usando notación vectorial se puede escribir:
x f x,u
(3.2)
Donde: x 1 u1 f 1 x u f x 2 u 2 f 2 x u f n r n
(3.3)
Al vector columna x se le llama vector de estado, y las entradas x i variables de estado o variables dinámicas. El vector columna u es el vector de entradas del sistema (estas son señales externas que afectan el sistema) y las derivadas de
las variables de estado respecto al tiempo se denotan por x .
3.1.1.2 Ecuaciones de salida Generalmente interesa observar algunas variables de salida del sistema. Estas se pueden expresar en función de las variables de estado y de las entradas. Las ecuaciones de salida se pueden expresar como: y j (t) g j (x 1(t), x 2 (t),..., x n (t),u1 (t),u 2 (t),..., u r (t))
(3.4)
Donde: j = 1, 2,…...., m. m = número de salidas. De manera vectorial:
y gx,u
(3.5)
Donde: y 1 g1 y2 g y g 2 y g m m
(3.6)
El vector columna y es de variables de salida y g es un vector de funciones no lineales que relacionan las variables de estado y las entradas con las salidas.
47
El conjunto de las n ecuaciones de estado y las m ecuaciones de salida forman las ecuaciones dinámicas. Las n variables de estado y las r entradas del sistema brindan una completa descripción de su comportamiento. Las variables de estado pueden ser cantidades físicas como ángulos, velocidades, voltajes, o pueden ser abstracciones matemáticas asociadas con las ecuaciones diferenciales que describen el sistema dinámico.
3.1.1.3 Linealización Ya que el interés de estudio en el sistema recae en un punto singular (o de equilibrio) de funcionamiento no es útil usar el modelo no lineal del sistema para poderlo estudiar. Lo más eficaz es utilizar una aproximación lineal del modelo en el punto singular estudiado, porque se pasa de un modelo no lineal a uno lineal (menor complejidad). La linealización permite concentrarse en un solo punto de operación del sistema y estudiar cual es su comportamiento ante pequeñas perturbaciones que ocurren continuamente en las variables de estado ( x) y en las entradas del sistema o variables de control ( u) Para un sistema no lineal representado en espacio de estado se tiene que: x x f x,u t
(3.7)
Cuando se da que x 1, x 2 ,, x n son simultáneamente cero se puede decir que el sistema ha alcanzado el punto singular de operación alrededor del cual se realiza la linealización, por lo cual se puede decir que se conoce el valor inicial de las variables de estado ( x0) y las entradas del sistema ( u0); en este punto se cumple que:
x f x 0 ,u0 0
(3.8)
El sistema inicialmente en equilibrio se perturba, entonces:
x x 0 x
x f x 0 x , u0 u
48
(3.9)
Ya que las perturbaciones son pequeñas, las función f (x,u) se puede expresar en términos de la serie de Taylor, despreciando los términos de potencias de segundo orden y superiores de x y u; queda entonces:
x i x i0 x i f i x 0 x , u 0 u (3.10) f i f i f i f i x i x i0 x i f i x 0 ,u0 x 1 x n u1 u r x 1 x n u1 u r
Pero como x i0 f i x 0 ,u0 , se da que:
x i
f i f f f x 1 i x n i u1 i ur x 1 x n u1 ur
(3.11)
Con i = 1, 2,…, n De manera similar se procede para y gx,u y se obtiene: y j
g j x 1
x 1
g j x n
x n
g j u1
u1
g j ur
ur
(3.12)
Con i = 1, 2,…, m. Llegando así a la forma linealizada :
x = Ax + Bu
(3.13) y = Cx + Du
Con: f 1 x 1 A f n x 1 g1 x 1 C gm x 1
f 1 x n f n x n g1 x n gm x n
f 1 u1 B f n u 1 g1 u1 D gm u 1
49
f 1 u r f n u r g1 u r gm u r
(3.14)
Donde: x = vector de estado de dimensión n.
y = vector de salida de dimensión m. u = vector de entrada de dimensión r.
A = Matriz de estado o planta (nxn). B = Matriz de entrada o control (nxr). C = Matriz de salida (mxn). D = Matriz que contiene la relación entre entradas y salidas (mxr).
Se puede observar que la matriz A es la matriz Jacobiana que se utiliza en un flujo de carga común, de donde se sabe que los elementos aij son las derivadas f parciales i evaluadas en el punto de operación singular para el cual se x j realiza el análisis de pequeña señal. A esta matriz se le llama normalmente matriz de planta o de estado, términos introducidos de la teoría de control. La estabilidad de pequeña señal está regida por los valores propios de la matriz A; así, los modos naturales de oscilación con los que el sistema responde a las continuas perturbaciones dependen directamente de estos valores propios. Aplicando la transformada de Laplace al anterior sistema de ecuaciones [2]: sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s) (3.15) Y(s) = CX(s) + DU(s)
Realizando las operaciones matemáticas necesarias y reemplazando en la ecuación de salida se obtiene: Y s C
adjsI A x0 B Us D Us det sI A
(3.16)
Los polos de X(s) y Y(s) son raíces de la ecuación característica de la matriz A y las raíces de la ecuación característica son los valores propios de la matriz A.
det(sI A) = 0 Ecuación Característica de A
50
(3.17)
3.1.1.4 Valores propios Los valores propios de A, son todos los para los cuales existe una solución no trivial (0) de la ecuación:
A =
(3.18)
Los valores propios se obtienen al resolver la ecuación característica de la matriz A:
det(A - I) 0
(3.19)
Las n soluciones que satisfacen la ecuación característica, son llamados valores propios de la matriz A y tienen las siguientes propiedades [2] [9] [11]:
El número de valores propios es igual al número de estados del sistema. Los valores propios representan los modos naturales de oscilación de un sistema físico y caracterizan su respuesta temporal ante una pequeña perturbación. Para un sistema estable todos los valores propios tienen parte real negativa. En la Figura 18 se han representado las respuestas asociadas a diferentes valores propios. Como se observa los valores propios del semiplano izquierdo se asocian a respuestas de tipo estable mientras que los del semiplano derecho son asociados con respuestas inestables del sistema [].
3.1.1.4.1 Valores propios reales Un valor propio real corresponde a un modo no oscilatorio, así:
Un valor propio real negativo representa un decaimiento del modo, mientras más grande es la magnitud del modo mas rápido decae. Un valor propio real positivo representa una inestabilidad aperiódica.
51
Figura 18. Respuesta asociada a la naturaleza de cada valor propio
Para = 0, < 0 respuesta unidireccional amortiguada. Para 0, < 0 respuesta oscilatoria amortiguada. Para 0, = 0 respuesta oscilación de amplitud constante. Para 0, > 0 respuesta oscilatoria con oscilaciones crecientes sin limite. Para = 0, > 0 respuesta unidireccional monótonamente creciente.
3.1.1.4.2 Valores propios complejos Un valor propio complejo ocurre en pares conjugados y cada par corresponde a un modo de oscilación. Cada modo de oscilación se representa por un valor propio complejo ( ), donde:
La parte real () será una medida del amortiguamiento del modo: 1. Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada. 2. Una parte real positiva representa una oscilación que incrementa su amplitud. La parte imaginaria () da una medida de la velocidad angular de la oscilación que el modo representa.
52
Dado un valor propio complejo: j n
n 1 2
(3.20)
Se tiene que:
n = Frecuencia natural de oscilación. = Porcentaje de disminución de la amplitud de la oscilación del modo. Para un modo de oscilación representado por un valor propio complejo ± j , su frecuencia natural de oscilación y razón de amortiguamiento están dadas por: n
2 2
(3.21)
Es considerado adecuado si todos los modos electromecánicos tienen un porcentaje de disminución de amplitud o amortiguamiento superior al 5% cuando el sistema cuenta con todos los vínculos de transmisión y superior al 3% para el caso de la pérdida de un elemento. En la Figura 19 se presentan, como ejemplo, dos gráficas de oscilaciones con distinto valor de .
3.1.1.5 Vectores propios Cualquier vector pi diferente de cero que satisface la ecuación matricial. ( iI - A)p i 0
(3.22)
Se conoce como vector propio o vector característico de A, asociado con el auto valor i, es decir, por cada auto valor se tiene un auto vector.
3.1.1.5.1 Vectores propios derechos Para cualquier i, el vector columna i que satisface la ecuación: Ai = i i (i = 1,2,…n)
(3.23)
Es llamado vector propio derecho de A, asociado con el auto valor i. El késimo elemento de i mide la actividad de la variable de estado X k en el i-ésimo
53
modo. La magnitud de los elementos de i da la actividad de las n variables de estado en el modo i.
Figura 19. Ejemplo para deferentes valores de amortiguamiento ( )
3.1.1.5.2 Vectores propios izquierdos Para cualquier i, el vector fila i que satisface la ecuación: A i = ii (i = 1,2,....,n)
(3.24)
Es llamado vector propio izquierdo de A, asociado con el auto valor i. El késimo elemento de i da una medida de la contribución de la variable de estado Xk en el modo i-ésimo. El vector propio izquierdo, identifica cual combinación de las variables de estado muestra el modo i-ésimo. El vector propio izquierdo mide la eficiencia de una real acción de control en diferentes oscilaciones, por lo tanto los vectores propios izquierdos pueden ser utilizados para la determinación del sitio de control. Los autovectores izquierdos y derechos que pertenecen a diferentes autovalores propios son ortogonales, así: i i = 0 (3.25)
54
Los autovectores izquierdos y derechos que pertenecen al mismo valor propio cumple con: i i = Ci (Ci 0) (3.26)
3.1.1.5.3 Factor de participación La Utilización de los vectores propios para identificar la relación entre las variables de estado y los modos de oscilación, presenta el inconveniente que los vectores propios dependen de las unidades asociadas a las variables de estado. Como solución a este problema, una matriz llamada la matriz de participación (P), combina los vectores propios derechos e izquierdos, para medir la relación entre las variables de estado y los modos.
P = [P1 P2 … Pn]
(3.27)
P1i 1i i1 P2i 2i i2 Con Pi i= I, 2,…, n Pni ni in
(3.28)
Donde:
ki es la k-ésima entrada del vector propio derecho i. ik es la k-ésima entrada del vector propio izquierdo i. El elemento pki = ki ik es llamado factor de participación y determina la participación relativa de la k-ésima variable de estado en el i-ésimo modo de oscilación y viceversa. Esta matriz combina vectores propios izquierdos y derechos, dando una medida de la asociación entre las variables de estado y los modos de oscilación. Sabiendo que el factor de participación es p ki = ki ik, cada parámetro representa:
El k-ésimo elemento de i (ki) mide la actividad de la variable de estado Xk en el i-ésimo modo. El k-ésimo elemento de i (ik) pesa la contribución de esta actividad de la variable de estado Xk, en el modo i-ésimo. Pki mide la contribución conjunta.
55
La suma de los factores de participación asociados con algún modo o con alguna variable de estado es igual a 1. Si se relaciona el factor de participación p ki con la sensibilidad, este es igual a la sensibilidad del valor propio i respecto a los elementos de la diagonal a kk de la matriz de estado A. p ki
i a kk
(3.29)
3.1.2 Identificación de los modos electromecánicos La identificación de los diferentes modos electromecánicos presentes en el sistema se puede llevar a cabo utilizando la matriz P anteriormente definida, dichos modos de oscilación se pueden clasificar en dos grupos, modos electromecánicos y modos de control, el primer grupo determina la manera como se presentarán las oscilaciones, es decir, éste definirá la naturaleza de los modos de oscilación, mientras que el segundo permite estudiar la estabilidad de voltaje (El sistema será inestable en voltaje cuando un modo de control se cruza hacia el lado derecho del plano complejo) [9] [14] [15] [16]. La manera de identificar lo modos de oscilación electromecánicos y de control recurre a la matriz P [9] [15]:
Un modo es electromecánico, si el elemento pki de mayor magnitud en el vector de participación Pi está asociado a una variable de estado xi que representa una velocidad o un ángulo de rotor de un generador. Un modo es de control, cuando no es un modo electromecánico. El número total de modos (electromecánicos y de control) de un sistema depende del número de variables de estado utilizadas para representarlo, pero el número de modos electromecánicos siempre va ser igual a n-1, donde n es el número de máquinas del sistema. Sobre la matriz P se puede visualizar de manera simple la contribución de cada variable de estado en cada modo y viceversa, lo anterior se puede observar asociando a las filas las variables de estado y a las columnas los diferentes modos; de esta manera resulta sencillo ver que P 32 mide la participación de la variable de estado x3 en el modo 2, así:
56
P11 P P 21 P31 P41 1
P14 x 1 P24 x 2 P34 x 3 P44 x 4
P12 P22 P32 P42
P13 P23 P33 P43
2
3
4
(3.29)
3.1.3 Clasificación de los modos electromecánicos Los modos electromecánicos como se vio en secciones anteriores están conformados por los modos locales e inter-áreas. Un modo de oscilación es local o inter-área dependiendo de la respuesta de los rotores de los generadores. Dicha respuesta se puede cuantificar por los elementos del vector propio derecho (i) asociados a variables de estado que representen ángulos de rotores de los diferentes generadores. Se llevan a un plano complejo todos los ki asociados al i-ésimo modo (modo identificado como electromecánico) y a la k-ésima variable de estado (variable de estado que representa un ángulo de rotor), partiendo de ésta gráfica se determina si el modo electromecánico analizado es local o inter-área haciendo una comparación entre magnitudes y direcciones de todos los modos. La Figura 20 muestra como un modo electromecánico (asociado al valor propio 1 = -a ± jb), corresponde a un modo inter-área, pues los generadores uno y dos oscilan en contra de los generadores tres y cuatro, y el generador cinco prácticamente no participa en las oscilaciones. La Figura 21 muestra como otro modo electromecánico (3 = -c ± jd) corresponde a un modo local máquinasistema, ya que el generador cinco oscila contra el resto de los generadores. i clasifica al mismo tiempo al modo relacionado con i y con su conjugado, al representar un valor propio con su conjugado finalmente un solo modo. El uso del diagrama de participación de los generadores es muy común para determinar la forma en que influyen en un modo determinado, este diagrama se construye tomando las partes reales de los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores; la normalización consiste en dividir los elementos del vector propio derecho por el fasor de mayor magnitud del mismo vector.
57
Figura 20. Modo electromecánico inter-área
Las Figuras 22 y 23 muestran como deberían ser los diagramas de participación de los generadores para el par de modos electromecánicos ilustrados anteriormente. Así como se clasificaron con la información gráfica de las Figuras 20 y 21, estos diagramas también permiten clasificar de manera similar dichos los modos. La ventaja de trabajar con estos diagramas es que siempre se utilizan números reales que varían entre -1 y 1 en l ugar de números complejos; la magnitud de la parte real de cada valor normalizado cuantifica la participación del generador en el modo, y su signo permite agrupar los conjuntos de generadores que oscilan entre si.
58
Figura 21. Modo electromecánico máquina-sistema
Figura 22. Diagrama de participación para el modo inter-área
59
Figura 23. Diagrama de participación para el modo máquina-sistema
60
4. ESTUDIO DE MODOS ELECTROMECÁNICOS EN SISTEMAS DE PRUEBA
Con el objetivo de analizar las oscilaciones electromecánicas que se presentan en los SEPs se proponen dos casos de estudio, el primero es el popular sistema IEEE Western System Coordinating Council (WSCC) y el segundo es un sistema de prueba simple e hipotético que ha sido ampliamente divulgado en la literatura [9] [14] [15] y en estudios e investigaciones de oscilaciones electromecánicas; cuyas características topológicas favorecen la aparición de oscilaciones de potencia entre áreas.
4.1 DESCRIPCIÓN DEL PRIMER SISTEMA DE PRUEBA
El sistema IEEE Western System Coordinating Council (Ilustrado en la Figura 24) incluye 3 unidades generadoras y la potencia suministrada por cada una de ellas, las cargas, los parámetros de las líneas y los transformadores son diferentes entre sí. Las Tablas 1, 2 y 3 muestran los parámetros de los elementos usados en dicho sistema * .
Figura 24. Sistema de prueba (WSCC)
*
Se utilizaron los modelos tipo IV para las máquinas generadoras y tipo III para los AVR con los cuales cuenta PSAT.
61
Tabla 1. Parámetros de los generadores Parámetros H(s)
Gen 1
Gen 2
Gen 3
23,64
6.4
3.01
Xd(pu) X´d(pu) Xq(pu) X´q(pu) T´do(s) T´qo(s)
0,146
0.8958
1.3125
0,0608
0.1198
0.1813
0,0969
0.8645
1.2578
0,0969
0.1969
0.25
8,96
6.0
5.89
0,31
0.535
0.6
Tabla 2. Parámetros de los AVR Parámetros µo T1(s) T2(s) Tr(s)
AVR 1
AVR 2
AVR 3
200
200
200
0
0
0
0,016
0,016
0,016
0,01
0,01
0,01
Tabla 3. Ybus del sistema de prueba -17.361j 0 0 17.361j 0 0 0 0 0
0 -16j 0 0 0 0 16j 0 0
0 0 -17.065j 0 0 0 0 0 17.065j
17.361j 0 0 3.307-39.309j -1.365+11.604j -1.942+10.511j 0 0 0
0 0 0 -1.365+11.604j 2.553-17.338j 0 -1.188+5.975j 0 0
0 0 0 -1.942+10.511j 0 3.224-15.841j 0 0 -1.282+5.588j
0 16j 0 0 -1.188+5.975j 0 2.805-35.446j -1.617+13.698j 0
0 0 0 0 0 0 -1.617+13.698j 2.772-23.303j -1.155+9.784
0 0 17.065j 0 0 -1.282+5.588j 0 -1.155+9.784j 2.437-32.154j
4.1.1 Análisis modal para el primer sistema de prueba El PSAT inicializa todas las variables del sistema a partir de un flujo de carga determinado, el cual depende de la forma como sean despachadas las máquinas generadoras del sistema. En esta sección se estudia el sistema de prueba WSCC para tres puntos de operación diferentes denominados como carga nominal, sobrecarga y carga ligera, en donde cada uno de estos términos hace referencia a diferentes escenarios de demanda. Esta sección tiene como objetivo analizar para los tres puntos de operación mencionados anteriormente, el margen de estabilidad que posee ante la presencia de oscilaciones electromecánicas, el efecto que tendría introducir dispositivos de control PSS, además de cuál sería el punto de mejor ubicación y si se justifica desde el punto de vista económico [8] [18].
62
4.1.1.1 Sistema con carga nominal Inicialmente se hace un análisis sin ningún tipo de control * . La Tabla 4 muestra el resultado del flujo de carga del sistema para la condición de carga nominal, tomando como base 100 MVA. Los resultados obtenidos con este flujo de carga servirán para inicializar las variables de estado cuando se linealiza el sistema alrededor de un punto de operación; con el objetivo de hallar la matriz de estado que es fundamental para identificar, clasificar, caracterizar y corregir los modos electromecánicos presentes en el WSCC. Tabla 4. Flujo de carga para el sistema con carga nominal Bus
V [p.u.]
phase [deg]
P gen [p.u.]
Q gen [p.u.]
P load [p.u.]
Q load [p.u.]
Bus 1 Bus 2 Bus 3 Bus 4 Bus 5 Bus 6 Bus 7 Bus 8 Bus 9
1,04 1,025 1,025 1,02578839 0,99563086 1,01265432 1,02576937 1,01588258 1,03235295
0 9,28000548 4,66475133 -2,2167878 -3,98880527 -3,68739617 3,71970115 0,72753608 1,96671607
0,71641021 1,63 0,85 0 0 0 0 0 0
0,27045924 0,0665366 -0,10859709 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1,25 0,9 0 1 0
0 0 0 0 0,5 0,3 0 0,35 0
4.1.1.1.1 Identificación de los modos electromecánicos La Tabla 5 muestra los 12 valores propios asociados a la matriz de estado del sistema, cuatro de ellos (dos pares de valores propios conjugados) corresponden a dos modos electromecánicos (modos 1, 2, 3 y 4), los cuales, se encuentran resaltados en amarillo * *, también es posible apreciar sus respectivas frecuencias de oscilación y amortiguamiento relativo. Existe un modo de control inestable, el cual se encuentra resaltado en rojo, indica que el sistema puede ser inestable en voltaje. Otra forma de identificar los modos electromecánicos del sistema es a partir la matriz de participación que PSAT genera y entrega; sobre la cual se hizo énfasis en el capítulo tres, dicha matriz combina los vectores propios derechos e izquierdos para medir la relación entre las variables de estado y los modos del sistema.
*
Para la excitación de las máquinas se considera voltaje de campo constante.
**
En el documento impreso se observan las partes resaltadas en diferentes tonalidades de gris, el lector podrá observar el original a color en su versión magnética.
63
Tabla 5. Valores propios asociados a la matriz de estado para el sistema con carga nominal y sin ningún tipo de control. Eigevalue Eig As 1 Eig As 2 Eig As 3 Eig As 4 Eig As 5 Eig As 6 Eig As 7 Eig As 8 Eig As 9 Eig As 10 Eig As 11 Eig As 12
STATE MATRIX EIGENVALUES Most Associated States Real part Imag. Part delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,72513 12,74952 delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,72513 -12,74952 delta_Syn_2, omega_Syn_2 -0,19731 8,37731 omega_Syn_2, delta_Syn_2 -0,19731 -8,37731 e1d_Syn_2 -5,1354 0 e1d_Syn_3 -3,40711 0 e1q_Syn_2 0,047 0 e1q_Syn_1 -0,15534 0 e1q_Syn_3 -0,17392 0 omega_Syn_1 0 0 delta_Syn_1 0 0 e1d_Syn_1 -3,22581 0
Frequency
(%)
2,02914439 2,02914439 1,33328718 1,33328718 0 0 0 0 0 0 0 0
5,67833159 5,67833159 2,35463765 2,35463765
La Tabla 6 muestra sólo los modos electromecánicos (ahora 13, 14, 15 y 16) con sus respectivas frecuencias de oscilación y radio de amortiguamiento, obtenidos al introducir los reguladores automáticos de voltaje (AVR) en las máquinas generadoras. Contrario a lo que se esperaba, la inclusión de AVRs tuvo como consecuencia un aumento en la magnitud del radio de amortiguamiento de ambos modos electromecánicos, debido a que el punto de operación en el que está trabajando el sistema no es muy exigente. Además, se observó que la parte real del modo de control se volvió negativa, es decir, se convirtió en un modo estable. Tabla 6. Valores propios asociados a la matriz de estado utilizando AVR con carga nominal. Eigevalue Eig As 13 Eig As 14 Eig As 15 Eig As 16
STATE MATRIX EIGENVALUES Most Associated States Real part Imag. Part Frequency delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,92761 13,1777 2,09729119 delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,92761 -13,1777 2,09729119 delta_Syn_2, omega_Syn_2 -0,26974 8,62219 1,37226095 delta_Syn_2, omega_Syn_2 -0,26974 -8,62219 1,37226095
(%)
7,02186504 7,02186504 3,12690973 3,12690973
4.1.1.1.2 Clasificación de los modos electromecánicos Los modos electromecánicos se pueden clasificar como modos locales e interáreas. Un modo de oscilación es local o inter-área dependiendo de la respuesta de los rotores de los generadores. Dicha respuesta se puede cuantificar por los elementos del vector propio derecho (i) asociados a variables de estado que representen ángulos de rotores de los diferentes generadores. En la Tabla 7 se muestran los vectores propios derechos asociados a los modos de oscilación electromecánicos calculados a partir del sistema pero incluyendo en él los AVRs.
64
Tabla 7. Vectores propios derechos asociados a los modos electromecánicos del sistema con AVR. STATE MATRIX EIGENVALUES Most Associated States delta_Syn_1 omega_Syn_1 e1q_Syn_1 e1d_Syn_1 delta_Syn_2 omega_Syn_2 e1q_Syn_2 e1d_Syn_2 delta_Syn_3 omega_Syn_3 e1q_Syn_3 e1d_Syn_3 vm_Exc_1 vr3_Exc_1 vf_Exc_1 vm_Exc_2 vr3_Exc_2 vf_Exc_2 vm_Exc_3 vr3_Exc_3 vf_Exc_3
RIGHT EIGENVECTOR (EIG 13)
RIGHT EIGENVECTOR (EIG 14)
RIGHT EIGENVECTOR (EIG 15)
RIGHT EIGENVECTOR (EIG 16)
0.0024 + 0.0021i
0.0024 - 0.0021i
-0.0142 - 0.0467i
-0.0142 + 0.0467i
-0.0001 + 0.0001i
-0.0001 - 0.0001i
0.0011 - 0.0003i
0.0011 + 0.0003i
0.0003 + 0.0001i
0.0003 - 0.0001i
0.0010 + 0.0021i
0.0010 - 0.0021i
0
0
0
0
0.0276 + 0.0151i
0.0276 - 0.0151i
0.0434 + 0.1406i
0.0434 - 0.1406i
-0.0006 + 0.0009i
-0.0006 - 0.0009i
-0.0032 + 0.0009i
-0.0032 - 0.0009i
0.0043 + 0.0024i
0.0043 - 0.0024i
-0.0051 + 0.0123i
-0.0051 - 0.0123i
0.0046 - 0.0034i
0.0046 + 0.0034i
0.0159 + 0.0024i
0.0159 - 0.0024i
-0.0778 - 0.0488i
-0.0778 + 0.0488i
0.0243 + 0.0847i
0.0243 - 0.0847i
0.0019 - 0.0026i
0.0019 + 0.0026i
-0.0020 + 0.0005i
-0.0020 - 0.0005i
0.0013 - 0.0100i
0.0013 + 0.0100i
-0.0032 + 0.0078i
-0.0032 - 0.0078i
-0.0124 + 0.0099i
-0.0124 - 0.0099i
0.0074 + 0.0002i
0.0074 - 0.0002i
0.0001 - 0.0002i
0.0001 + 0.0002i
0.0009 - 0.0002i
0.0009 + 0.0002i
-0.0154 + 0.0399i
-0.0154 - 0.0399i
-0.1667 + 0.0688i
-0.1667 - 0.0688i
-0.0147 + 0.0399i
-0.0147 - 0.0399i
-0.1652 + 0.0701i
-0.1652 - 0.0701i
0.0009 - 0.0019i
0.0009 + 0.0019i
0.0028 + 0.0004i
0.0028 - 0.0004i
-0.0987 + 0.4097i
-0.0987 - 0.4097i
-0.5623
-0.5623
-0.0914 + 0.4081i
-0.0914 - 0.4081i
-0.5576 + 0.0059i
-0.5576 - 0.0059i
-0.0028 - 0.0006i
-0.0028 + 0.0006i
0.0018 + 0.0006i
0.0018 - 0.0006i
0.5646
0.5646
-0.3676 - 0.0600i
-0.3676 + 0.0600i
0.5614 - 0.0087i
0.5614 + 0.0087i
-0.3658 - 0.0559i
-0.3658 + 0.0559i
Si se llevan a un plano complejo todos los ki asociados al i-ésimo modo (modo identificado como electromecánico) y a la k-ésima variable de estado (variable de estado que representa un ángulo de rotor), se obtienen las Figuras 25 y 26, que permiten determinar si el modo electromecánico analizado es local o interárea haciendo una comparación entre magnitudes y direcciones de todos los modos. La clasificación del modo electromecánico 13 permite tipificar simultáneamente al modo 14 (también identificado como electromecánico) por ser uno el conjugado del otro y de esta manera representan el mismo modo. De la Figura 25 se puede concluir que el generador 3 oscila en contra de los generadores 1 y 2 (aunque se puede ver también que el generador 1 participa muy poco en este modo), es decir el modo electromecánico representado por los valores propios 13 y 14 se clasifica como un modo local máquina sistema.
65
Figura 25. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 13 y 14
La clasificación del modo electromecánico 15 permite clasificar simultáneamente el modo 16 (también identificado como electromecánico) por ser uno el conjugado del otro y de esta manera representan el mismo modo. De la Figura 26 se puede concluir que el generador 1 oscila en contra de los generadores 2 y 3, es decir, el modo electromecánico representado por los valores propios 15 y 16 se clasifican como un modo local máquina sistema. Haciendo uso del otro método que permite clasificar los modos de oscilación del sistema, se muestra la Tabla 8, en donde se ven sólo los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de los generadores, los cuales permiten construir los diagramas de participación tomando las partes reales de los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de los generadores; la normalización consiste en dividir los elementos del vector propio derecho por el complejo de mayor magnitud del mismo vector.
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Figura 26. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 15 y 16
Tabla 8. Elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores State matrix eigenvalues Most Associated States delta_Syn_1 delta_Syn_2 delta_Syn_3
Eig 13
Eig 14
Eig 15
Eig 16
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
0.0043 0.0489 -0.1378
0.0037 0.0267 -0.0864
0.0043 0.0489 -0.1378
-0.0037 -0.0267 0.0864
0.0253 -0.0772 -0.0432
0.0830 -0.2500 -0.1506
0.0253 -0.0772 -0.0432
0.0830 0.2500 0.1506
Las Figuras 27 y 28 muestran los diagramas de participación de los generadores para el par de modos electromecánicos hallados anteriormente. La magnitud de la parte real de cada valor normalizado cuantifica la participación del generador en el modo, y su signo permite agrupar los conjuntos de generadores que oscilan entre si. Se puede ver claramente en la Tabla 8 que la clasificación para un modo es la misma que para su conjugado. La Figura 27 reitera que el modo caracterizado por los valores propios 13 y 14 representa un modo local máquina sistema ya que el generador 3 oscila en contra de los generadores 1 y 2; también se puede observar la poca participación del generador 1 en dicho modo.
67
Así mismo la Figura 28 muestra una vez más que el modo caracterizado por los valores propios 15 y 16 representa un modo local máquina sistema ya que el generador 1 oscila en contra de los generadores 2 y 3.
Figura 27. Diagrama de participación de generadores modos 13 y 14 0,08 Gen2 ; 0,0489 0,03 Gen 1; 0,0043 1
-0,02
2
3
-0,07
-0,12 Gen 3; -0,1378 -0,17
Figura 28. Diagrama de participación de generadores modos 15 y 16 0,04 Gen1; 0,0253 0,02
0 1
2
3
-0,02 -0,04 Gen3; -0,0432 -0,06
-0,08
Gen2; -0,0772
-0,1
4.1.1.1.3 Efecto del PSS en el sistema Los sistemas de excitación rápidos con altas ganancias tienden a disminuir el amortiguamiento de los modos de oscilación de los SEPs, por lo que resulta lógico pensar que es en ellos donde se deben efectuar modificaciones. Para variar el efecto no deseado que producen estas altas ganancias, son utilizados
68
los estabilizadores de potencia (PSS) ya que introducen una señal adicional al sistema de excitación para modular la acción del regulador de voltaje y proveer disminución positiva de la amplitud de las oscilación, incluso introducen un amortiguamiento adicional al que se tenía sin la adición de los controles del sistema de excitación [9] [13] [15] [17] [18]. Para proveer amortiguamiento, el PSS debe introducir una componente de torque eléctrico en fase con las desviaciones de velocidad, monitoreando señales a la entrada pueden ser de velocidad, frecuencia, o potencia generada de la máquina. Además, estos dispositivos utilizan redes de adelanto-atraso (bloques de compensación de fase) para compensar los retardos del conjunto generador, sistema de excitación y SEP. La ganancia del PSS debe ser atenuada a altas frecuencias (> 5 Hz) para minimizar el impacto del ruido, y evitar la interacción con modos torsionales de la turbina. La Figura 29 muestra el diagrama de bloques correspondiente a un PSS, el cual consta de cuatro unidades: La primera determina la ganancia del PSS dada por KW, la segunda corresponde a un "washout" y además contiene dos redes de adelanto-atraso. El bloque de ganancia (KW) determina la cantidad de amortiguamiento introducido por el PSS; el bloque de "washout" equivale a un filtro pasa alto; sin este filtro los cambios en velocidad alterarían el voltaje del generador, los bloques de adelanto-atraso compensan el atraso entre la entrada del sistema de excitación y el torque eléctrico (retraso del conjunto generador, sistema de excitación y SEP).
Figura 29. Diagrama de bloques de un PSS
Los PSS deben ser ajustados para que entreguen el amortiguamiento deseado en las condiciones de operación que requieran una disminución de la amplitud de las oscilaciones. Normalmente estas situaciones involucran áreas del sistema o máquinas unidas débilmente con altas transferencias de potencia. Cuando se trata de amortiguar oscilaciones máquina-sistema los PSS son muy efectivos. No obstante, controlar oscilaciones inter-área con PSS es una función compleja de muchos factores: localización de las unidades con PSS, características y localización de las cargas y los tipos de sistemas de excitación de las unidades [15]. Algunos aspectos importantes de la forma como afectan las características de las cargas al desempeño de los PSS son:
Los PSS adicionan amortiguamiento en forma apreciable a modos interárea modulando las cargas del sistema. Cuando las cargas no varían con el voltaje, la efectividad de los PSSs sobre los modos inter-área cae en forma significativa, lo que obliga a tener en cuenta modelos apropiados de carga para estudiar el desempeño de los PSSs en el amortiguamiento de los modos inter-áreas.
69
El amortiguamiento que ofrecen los PSSs a los modos locales, no varía en forma apreciable con las características de la carga. Para ilustrar el efecto de los PSS sobre el sistema de prueba WSCC, se agrega un dispositivo como el mostrado en la Figura 30 a cada una de las máquinas generadoras, utilizando el modelo tipo II * con el que cuenta el PSAT, el cual tiene definida la constante Te por defecto (Te=0.001). Esta acción se realiza según las características de cada modo. Una máquina será candidata a utilizar el dispositivo si oscila en contra de las otras ó si tiene la mayor participación en cierto modo aunque ésta no sea precisamente la que oscila en contra de las otras. Los parámetros utilizados en el modelo, son mostrados en las tablas 9, 10 y 11, donde además se verifica que, efectivamente la parte real de los valores propios correspondientes a los modos electromecánicos del sistema se hace aún más negativa, lo cual implica un corrimiento de los valores propios del hacia la izquierda en el plano complejo lo que aporta un mayor margen de estabilidad al sistema. Además se puede ver un significativo aumento en el radio de amortiguamiento de cada uno de estos modos.
Figura 30. Diagrama de bloques del PSS utilizado
Para el primero de los modos electromecánicos obtenidos en el análisis del sistema con carga nominal, se observó que la máquina 3 además de oscilar en contra de las máquinas uno y dos, tuvo la mayor participación, por lo que se tomó la decisión de experimentar ubicando allí el primer PSS. En la Tabla 9 se puede verificar que para un aumento gradual de las ganancias del PSS Kw iguales a 1, 3 y 5, la parte real del primer modo empieza a moverse hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a este comportamiento se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la máquina generadora tres ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento.
*
El tipo de señal de entrada al PSS es siempre velocidad (“omega” en PSAT)
70
Tabla 9. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 3 (carga nominal) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
3
5
10
-1,84266 -1,84266 -0,26444 -0,26444 -1,50144 -1,50144 -0,6224 -0,6224 -0,55872 -0,55872 -1,54777 -1,54777
10,48488 -10,48488 8,51226 -8,51226 8,14575 -8,14575 8,45277 -8,45277 8,66214 -8,66214 6,77316 -6,77316
1,668716578 1,668716578 1,354765088 1,354765088 1,296433346 1,296433346 1,345296982 1,345296982 1,378619175 1,378619175 1,077979374 1,077979374
(%)
17,30917608 17,30917608 3,105080073 3,105080073 18,12683487 18,12683487 7,343386551 7,343386551 6,436762242 6,436762242 22,27727056 22,27727056
Esta ganancia produce un modo de control inestable
El segundo modo electromecánico caracterizado por medio del análisis modal realizado, permite establecer que el generador uno oscila en contra de los otros dos, pero que el que más participa es el dos, por lo tanto, ambos son candidatos para ubicar dispositivos PSS. Al ubicar el dispositivo de control en la máquina uno, de la Tabla 10 se puede observar que la parte real de los dos modos electromecánicos empieza a moverse hacia la izquierda en el plano complejo para los diferentes valores de la ganancia Kw, aunque se notó que para una ganancia de Kw de 10 el primer modo presentó un leve corrimiento hacia la derecha no se encontraron modos de control inestables. Luego de analizar todos estos efectos y teniendo en cuenta el que el costo de estos dispositivos aumenta si se elije una ganancia elevada, se recomienda nuevamente utilizar un PSS de ganancia Kw igual a 3, la cual presenta un radio de amortiguamiento satisfactorio. De igual forma la Tabla 11 muestra que al ubicar un dispositivo PSS en la máquina 2 para los diferentes valores de la ganancia Kw; la parte real del primer modo se mueve hacia la izquierda para ganancias KW de 1 y 3, pero que al aumentar dicha ganancia el modo se mueve hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10, el cual se encuentra resaltado con color rojo; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a la descripción anterior, se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la máquina generadora dos ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento. Los resultados analizados confirman que los PSS efectivamente introducen un amortiguamiento adicional al que se tenía sin la adición de los controles del sistema de excitación, como se puede ver al comparar el radio de amortiguamiento de la respuesta natural del sistema con
71
carga nominal mostrada en la Tabla 5 con los amortiguamientos obtenidos en las Tablas 9, 10 y 11 que resultan de ubicar PSS en las tres máquinas generadoras del sistema incluyendo AVRs. Tabla 10. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 1 (carga nominal) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
3
T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
5
10
20
-0,94499 -0,94499 -0,34737 -0,34737 -0,97172 -0,97172 -0,48442 -0,48442 -0,98914 -0,98914 -0,59968 -0,59968 -1,00573 -1,00573 -0,81339 -0,81339 -0,99573 -0,99573 -1,05263 -1,05263
13,16359 -13,16359 8,52329 -8,52329 13,1333 -13,1333 8,32735 -8,32735 13,10311 -13,10311 8,13668 -8,13668 13,03884 -13,03884 7,69537 -7,69537 12,96254 -12,96254 6,97755 -6,97755
2,095045518 2,095045518 1,356520563 1,356520563 2,090224726 2,090224726 1,325335816 1,325335816 2,08541985 2,08541985 1,294989814 1,294989814 2,075190985 2,075190985 1,22475331 1,22475331 2,063047492 2,063047492 1,110508976 1,110508976
(%)
7,160389751 7,160389751 4,072158378 4,072158378 7,378732619 7,378732619 5,807398938 5,807398938 7,527477378 7,527477378 7,350146876 7,350146876 7,690495921 7,690495921 10,51130802 10,51130802 7,659032792 7,659032792 14,91716233 14,91716233
Tabla 11. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 2 (carga nominal) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
3 T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
5
10
20
-1,35152 -1,35152 -0,37966 -0,37966 -1,43695 -1,43695 -0,56828 -0,56828 -1,40014 -1,40014 -0,69298 -0,69298 -1,33073 -1,33073 -0,88305 -0,88305
12,46098 -12,46098 8,02387 -8,02387 11,80134 -11,80134 7,08116 -7,08116 11,54716 -11,54716 6,39752 -6,39752 11,31959 -11,31959 5,30005 -5,30005
1,983221925 1,983221925 1,277035587 1,277035587 1,878237204 1,878237204 1,126998981 1,126998981 1,837783295 1,837783295 1,018194551 1,018194551 1,801564489 1,801564489 0,843527184 0,843527184
(%)
10,7827802 10,7827802 4,7263442 4,7263442 12,0868899 12,0868899 7,99951991 7,99951991 12,0372396 12,0372396 10,7690164 10,7690164 11,6755878 11,6755878 16,4346172 16,4346172
Esta ganancia produce un modo de control inestable
72
Es importante destacar la necesidad de poner limitadores de ganancia en los dispositivos de control PSS, porque aunque para altas ganancias se observa un alto amortiguamiento relativo de los modos electromecánicos, se puede arriesgar la estabilidad de voltaje del sistema. Situación que se presenta cuando se empieza a aumentar la ganancia Kw del PSS.
4.1.1.2 Sistema con sobrecarga Para el punto de operación con sobrecarga se obtuvo el flujo de carga mostrado en la Tabla 12, a partir del cual se linealizó nuevamente el sistema y se obtuvo la matriz de estado y los dos modos electromecánicos correspondientes; además, las Tablas 13 y 14 muestran los modos electromecánicos naturales del sistema y los modos al incluir los AVR respectivamente. Tabla 12. Flujo de carga para el sistema con sobrecarga Bus
V [p.u.]
phase [deg]
P gen [p.u.]
Q gen [p.u.]
P load [p.u.]
Q load [p.u.]
Bus 1 Bus 2 Bus 3 Bus 4 Bus 5 Bus 6 Bus 7 Bus 8 Bus 9
1,04 1,025 1,025 0,9914448 0,93623432 0,95057315 0,99758201 0,97086172 1,0078367
0 0,97994029 -2,59851711 -7,22535731 -13,2668612 -12,7224489 -5,75964809 -10,3449545 -6,76240025
2,25146084 1,92 1,28 0 0 0 0 0 0
1,01884123 0,56270824 0,34674273 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1,985 1,635 0 1,735 0
0 0 0 0 0,7683 0,5683 0 0,6183 0
Tabla 13. Respuesta natural del sistema (sobrecarga) STATE MATRIX EIGENVALUES (%) Real part Imag. Part Frequency -0,63783 -0,63783 -0,20656 -0,20656
12,76577 -12,7658 8,24755 -8,24755
2,031731 2,031731 1,312635 1,312635
4,990183 4,990183 2,503716 2,503716
Tabla 14. Respuesta del sistema incluyendo AVRs (sobrecarga) STATE MATRIX EIGENVALUES Real part Imag. Part Frequency (%) -0,43694 -0,43694 -0,18513 -0,18513
13,22601 -13,226 8,45871 -8,45871
2,10498 2,10498 1,346242 1,346242
3,301841 3,301841 2,188108 2,188108
Al observar la Tabla 14 se nota una disminución del radio de amortiguamiento de los modos electromecánicos, con respecto a la respuesta natural del sistema para dicha condición de sobrecarga y para la condición de carga nominal. La combinación de este punto de operación del sistema sobrecargado
73
y la adición de los reguladores automáticos de voltaje tienen como consecuencia una disminución del margen de estabilidad del sistema lo cual explica la caída en el radio de amortiguamiento. De la misma forma que para un punto de operación con carga nominal, en el caso de sobrecarga fue posible establecer que el generador uno oscila en contra de los otros dos, pero que el que más participa es el dos, por lo tanto, ambos son candidatos para ubicar dispositivos PSS. Al ubicar el dispositivo de control en la máquina uno, de la Tabla 15 se puede observar que la parte real de los dos modos electromecánicos empieza a moverse hacia la izquierda en el plano complejo para los diferentes valores de la ganancia Kw. Teniendo en cuenta el que el costo de estos dispositivos aumenta si se elije una ganancia elevada y el comportamiento de los modos en el plano complejo, se recomienda nuevamente utilizar un PSS de ganancia Kw igual a 3, la cual presenta un radio de amortiguamiento aceptable. Tabla 15. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 1 (sobrecarga) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
3
T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
5
10
20
-0,45596 -0,45596 -0,24629 -0,24629 -0,48169 -0,48169 -0,34487 -0,34487 -0,49655 -0,49655 -0,42005 -0,42005 -0,511 -0,511 -0,547 -0,547 -0,51157 -0,51157 -0,68633 -0,68633
13,20466 -13,2047 8,29628 -8,29628 13,16576 -13,1658 7,99615 -7,99615 13,13301 -13,133 7,72647 -7,72647 13,07427 -13,0743 7,16122 -7,16122 13,01278 -13,0128 6,34224 -6,34224
2,101582 2,101582 1,320391 1,320391 2,095391 2,095391 1,272624 1,272624 2,090179 2,090179 1,229703 1,229703 2,08083 2,08083 1,139741 1,139741 2,071043 2,071043 1,009396 1,009396
(%)
3,450967 3,450967 2,967373 2,967373 3,656211 3,656211 4,308945 4,308945 3,778231 3,778231 5,42849 5,42849 3,905458 3,905458 7,616177 7,616177 3,928255 3,928255 10,75876 10,75876
La Tabla 16 muestra que al ubicar un dispositivo PSS en la máquina 2 para los diferentes valores de la ganancia Kw; la parte real del primer modo se mueve hacia la izquierda para ganancias KW de 1 y 3, pero que al aumentar dicha ganancia el modo se mueve hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 20, el cual se encuentra resaltado con color rojo; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a la descripción anterior. Se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la
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máquina generadora dos ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento. Tabla 16. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 2 (sobrecarga) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
3 T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
5
10
20
-0,82924 -0,82924 -0,27017 -0,27017 -0,95534 -0,95534 -0,42094 -0,42094 -0,93919 -0,93919 -0,52786 -0,52786 -0,88491 -0,88491 -0,69855 -0,69855
12,53526 -12,5353 7,97789 -7,97789 11,8379 -11,8379 7,17119 -7,17119 11,54245 -11,5425 6,5529 -6,5529 11,26166 -11,2617 5,51479 -5,51479
1,995044 1,995044 1,269718 1,269718 1,884056 1,884056 1,141328 1,141328 1,837034 1,837034 1,042924 1,042924 1,792345 1,792345 0,877704 0,877704
(%)
6,600832 6,600832 3,384544 3,384544 8,044029 8,044029 5,85979 5,85979 8,110031 8,110031 8,029356 8,029356 7,833576 7,833576 12,56643 12,56643
Se presenta un modo de control inestable
El otro modo de oscilación muestra de nuevo a la máquina 3 oscilando en contra de las máquinas uno y dos además de tener la mayor participación, por lo que se tomó la decisión de ubicar allí el tercer PSS. Tabla 17. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 3 (sobrecarga) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
3
5
10
-1,35259 -1,35259 -0,15519 -0,15519 -1,20483 -1,20483 -0,37066 -0,37066 -1,03898 -1,03898 -0,52701 -0,52701
10,73404 -10,734 8,37884 -8,37884 8,67447 -8,67447 8,09079 -8,09079 7,10422 -7,10422 8,49407 -8,49407
1,708372 1,708372 1,333531 1,333531 1,380582 1,380582 1,287686 1,287686 1,130669 1,130669 1,35187 1,35187
(%)
12,50208 12,50208 1,851848 1,851848 13,75731 13,75731 4,576458 4,576458 14,47089 14,47089 6,192538 6,192538
Se presenta un modo de control inestable
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En la Tabla 17 se puede verificar que para un aumento gradual de las ganancias Kw iguales a 1, 3 y 5, la parte real del primer modo empieza a moverse hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a la descripción anterior, se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la máquina generadora tres, tal y como se hizo para el punto de operación con carga nominal, ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento.
4.1.1.3 Sistema con carga ligera Para este punto de operación se obtuvo el flujo de carga mostrado en la Tabla 18, y además se hallaron los resultados de las tablas 19 y 20, donde se observa un aumento del amortiguamiento de los modos electromecánicos en comparación con la respuesta natural del sistema y que es más significativo que en el caso de carga nominal con la introducción de los AVRs. Además, la Tabla 19 muestra como el sistema ofrece un buen amortiguamiento relativo a las oscilaciones electromecánicas ya que posee un margen de estabilidad mayor en comparación con los puntos de operación con carga nominal y con sobrecarga. Tabla 18. Flujo de carga para el sistema con carga ligera Bus
V [p.u.]
phase [deg]
P gen [p.u.]
Q gen [p.u.]
P load [p.u.]
Q load [p.u.]
Bus 1 Bus 2 Bus 3 Bus 4 Bus 5 Bus 6 Bus 7 Bus 8 Bus 9
1,04 1,025 1,025 1,03453031 1,01394297 1,02826428 1,03456407 1,03142459 1,03864627
0 4,59962864 2,60187492 -1,03320611 -1,82293348 -1,68460465 1,89708676 0,48736079 1,18253751
0,33681767 0,8 0,45 0 0 0 0 0 0
0,10179524 -0,1379799 -0,23311927 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0,625 0,45 0 0,5 0
0 0 0 0 0,5 0,3 0 0,245 0
Tabla 19. Respuesta natural del sistema (carga ligera) STATE MATRIX EIGENVALUES Real part Imag. Part Frequency (%) -1,22683 -1,22683 -0,45635 -0,45635
12,23499 -12,235 8,21331 -8,21331
1,947255 1,947255 1,307186 1,307186
9,977193 9,977193 5,547669 5,547669
Para efectos académicos de observación se muestran las Tablas 21, 22 y 23, donde es posible apreciar que los modos electromecánicos presentes para este punto de operación tienen el mismo comportamiento que en los anteriores análisis, donde el primer modo indica que el generador uno oscila en contra de
76
los otros dos; y que el segundo modo de oscilación muestra a la máquina tres oscilando en contra de las máquinas uno y dos. Tabla 20. Respuesta del sistema incluyendo AVRs (carga ligera) STATE MATRIX EIGENVALUES (%) Real part Imag. Part Frequency -1,89372 -1,89372 -0,79009 -0,79009
12,49439 -12,4944 8,15922 -8,15922
1,988539 1,988539 1,298577 1,298577
14,98542 14,98542 9,638318 9,638318
Tabla 21. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 1 (carga ligera) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
3
T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
5
10
20
-1,91428 -1,91428 -0,82807 -0,82807 -1,94994 -1,94994 -0,89755 -0,89755 -1,97897 -1,97897 -0,95933 -0,95933 -2,02854 -2,02854 -1,08658 -1,08658 -2,07043 -2,07043 -1,26219 -1,26219
12,48507 -12,4851 8,08881 -8,08881 12,46421 -12,4642 7,9522 -7,9522 12,44184 -12,4418 7,8212 -7,8212 12,38654 -12,3865 7,51764 -7,51764 12,29855 -12,2986 7,00192 -7,00192
1,987056 1,987056 1,287371 1,287371 1,983736 1,983736 1,265629 1,265629 1,980176 1,980176 1,24478 1,24478 1,971374 1,971374 1,196467 1,196467 1,95737 1,95737 1,114388 1,114388
(%)
15,15545 15,15545 10,184 10,184 15,45631 15,45631 11,2156 11,2156 15,7083 15,7083 12,17452 12,17452 16,16167 16,16167 14,30509 14,30509 16,60115 16,60115 17,74041 17,74041
Las Tablas 21 y 22 muestran los resultados que se obtienen cuando se pretende corregir el primer modo electromecánico ubicando dispositivos PSS en las máquinas uno y dos para los diferentes valores de la ganancia Kw. En la primera tabla no se encontraron modos de control inestables., pero en la segunda tabla se encontró un modo de control inestable para una ganancia Kw de 20 cuya fila se encuentra resaltada con rojo, tal y como sucedió en los casos anteriores.
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Tabla 22. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 2 (carga ligera) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
3 T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
5
10
20
-2,02115 -2,02115 -0,86611 -0,86611 -1,97809 -1,97809 -1,00216 -1,00216 -1,90519 -1,90519 -1,10302 -1,10302 -1,79683 -1,79683 -1,27197 -1,27197
11,88882 -11,8888 7,75135 -7,75135 11,30762 -11,3076 7,05608 -7,05608 11,05624 -11,0562 6,50602 -6,50602 10,81202 -10,812 5,54698 -5,54698
1,89216 1,89216 1,233663 1,233663 1,799659 1,799659 1,123007 1,123007 1,759651 1,759651 1,035463 1,035463 1,720782 1,720782 0,882827 0,882827
(%)
16,75996 16,75996 11,10456 11,10456 17,23175 17,23175 14,06167 14,06167 16,98153 16,98153 16,71531 16,71531 16,39397 16,39397 22,35076 22,35076
Se produce un modo de control inestable
Igualmente, la Tabla 23 muestra que al tratar de corregir el segundo modo para ganancias Kw iguales a 1, 3 y 5, la parte real del primer modo disminuye hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10, como en los dos casos anteriores. Tabla 23. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 3 (carga ligera) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency 1
T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s Tw=10s
3
5
10
-2,32586 -2,32586 -0,73916 -0,73916 -2,21237 -2,21237 -0,77406 -0,77406 -1,03023 -1,03023 -1,91365 -1,91365
10,25511 -10,2551 8,10859 -8,10859 8,40726 -8,40726 7,89638 -7,89638 7,8961 -7,8961 7,3396 -7,3396
1,632148 1,632148 1,290519 1,290519 1,338054 1,338054 1,256745 1,256745 1,2567 1,2567 1,168131 1,168131
(%)
22,11828 22,11828 9,078125 9,078125 25,44861 25,44861 9,755958 9,755958 12,93767 12,93767 25,2295 25,2295
Se presenta un modo de control inestable
De acuerdo a los procedimientos realizados anteriormente para los tres diferentes tipos de carga, es posible demostrar que la influencia negativa de estos dispositivos de regulación automática del voltaje (AVRs), depende directamente del punto de operación en el que se encuentre el sistema, es decir, entre más cargado esté, tiende a inestabilizarse fácilmente por lo que el
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efecto de los dispositivos se hace más útil y evidente. Resultaría lógico entonces, pensar que es un desperdicio económico incluir PSS al sistema para un punto de operación de carga ligera, pues éste solo, sin la inclusión de dichos dispositivos ofrece una respuesta satisfactoria a las oscilaciones electromecánicas. Aunque se confirmó la efectividad de estos dispositivos PSS para cualquier punto de operación, es necesario realizar una observación en el tiempo de la respuesta del las variables del sistema con el fin de poder tomar la decisión más acertada y económica en cuanto al punto de ubicación de estos dispositivos.
4.1.2 Observación en el dominio del tiempo del efecto de los PSS La teoría enseña que para pequeños cambios en un SEP, las máquinas responden con oscilaciones electromecánicas caracterizadas en el tiempo por los modos de oscilación del sistema. Para poder observar de manera clara el efecto de un PSS sobre el sistema no basta con simular pequeñas perturbaciones, la cuales se pueden lograr por medio de la introducción de rampas o escalones en las potencias demandadas; ya que dichas perturbaciones causan un comportamiento de las máquinas casi estable, es decir, se presentan oscilaciones con amplitudes insignificantes en las potencias generadas de las máquinas que no proporcionan información palpable de las oscilaciones electromecánicas. Como alternativa a esta situación, se propone utilizar una falla trifásica balanceada en alguna de las barras para alterar el sistema. Es de aclarar que las fallas trifásicas son cambios fuertes para el sistema, por lo que la falla misma no es la que introduce los pequeños cambios, sino, las variaciones en las variables de estado del sistema posteriores a la falla, ó sea, se está aprovechando la condición post-falla, en la cual existen variaciones leves en muchas de las variables de estado del sistema. Las primeras oscilaciones después de la perturbación severa (falla trifásica) se salen del alcance de los estudios de estabilidad de pequeña señal, ya que están determinadas por la no linealidad del sistema; pero las oscilaciones del sistema post-falla dependen directamente de los modos electromecánicos del sistema. El resultados de generar dicha situación se ilustran en las Figuras posteriores, las cuales se obtuvieron después de ubicar una falla en el nodo 8 del sistema, la cual empezó en t=1s y tuvo una duración de 0.083 s, es de anotar que la falla se realizó para el punto de operación con carga nominal. Las Figuras 31, 32, 33, 34 y 35 muestran el comportamiento de algunas variables eléctricas y mecánicas del sistema sin la presencia de PSS.
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Figura 31. Velocidades angulares de los rotores de los generadores sin PSS
Figura 32. Voltajes generados por las máquinas sin PSS
80
Figura 33. Potencias generadas por las máquinas sin PSS
Figura 34. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 sin PSS
81
Figura 35. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 sin PSS
De las figuras anteriores se pude ver que la falla ubicada en el nodo 8 excitó el modo electromecánico para el cual, el generador uno oscila en contra de los generadores dos y tres, y que después de transcurridos 20 segundos, aún persisten pequeñas oscilaciones en el tiempo para las variables monitoreadas. De acuerdo a los resultados obtenidos mediante al análisis modal se detectó que aunque el generador uno es quien oscila en contra de los otros, el generador dos es el que tiene la mayor participación en el modo. Ambos generadores son candidatos para la ubicación de dispositivos PSS, se propone entonces, observar la respuesta en el tiempo para esta acción y comprobar que es posible proveer amortiguamiento positivo ante la presencia de dichas oscilaciones y además para elegir una ubicación favorable para estos dispositivos. Las Figuras 36 a la 40 muestran el comportamiento del sistema al incluir PSS en el generador 1 con una ganancia Kw=3; tal y como se había propuesto en la sección anterior luego de identificar, clasificar y caracterizar los modos de sistema WSCC. Ya que el PSS se encarga de introducir una componente de torque eléctrico en fase con las desviaciones de velocidad, los análisis posteriores estarán basados en las señales monitoreadas de los ángulos de los rotores de las máquinas generadoras.
82
Figura 36. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 1
Figura 37. Voltajes generados por las máquinas con PSS el generador 1
83
Figura 38. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 1
Figura 39. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 1
84
Figura 40. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 1
Luego de ubicar los dispositivos PSS en el sistema, se observa en las oscilaciones del ángulo del rotor de las máquina generadora 1 de la Figura 36 con respecto a la Figura 31, para el mismo punto de operación con carga nominal y la misma ubicación de la falla trifásica balanceada, que efectivamente la amplitud de las oscilaciones disminuye y que la señal empieza a establecerse aproximadamente a los 15 segundos A continuación, las Figuras 41 a la 45 muestran el comportamiento del sistema al incluir PSS en el generador 2 con ganancia Kw=3, para las mismas condiciones de carga y de falla que en el análisis anterior. En este caso se pude ver de la Figura 41, que la amplitud de las oscilaciones disminuye más rápidamente y que la señal empieza a establecerse aproximadamente a los 10 segundos, un tiempo mucho menor al que resulta de ubicar el dispositivo en la máquina uno que oscila en contra de las otras dos.
85
Figura 41. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 2
Figura 42. Voltajes generados por las máquinas con PSS en el generador 2
86
Figura 43. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 2
Figura 44. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 2
87
Las Figuras 46 a la 50 muestran el comportamiento del sistema al incluir PSS en el generador 3 con ganancia Kw=3.
Figura 45. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 2
Figura 46. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 3
88
Figura 47. Voltajes generados por las maquinas con PSS en el generador 3
Figura 48. Potencias generadas por las maquinas con PSS en generador 3
89
Figura 49. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 3
Figura 50. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 3
90
En la Figura 46 se aprecia como al poner un dispositivo de control PSS en el generador tres, la amplitud de las oscilaciones disminuye y la señal se establece de forma muy similar al caso cuando se ubica el dispositivo en la máquina generadora dos. Basados en estos resultados se concluye que la mejor decisión es ubicar un solo dispositivo, por motivos económicos, en el generador tres ya que no solo mitiga el efecto de la falla trifásica, sino que también prevé cualquier otro efecto que pueda excitar el otro modo electromecánico del sistema.
4.2 DESCRIPCIÓN DEL SEGUNDO SISTEMA DE PRUEBA
El segundo sistema, ilustrado en la Figura 51, cuenta con una topología simétrica que consta de dos áreas idénticas unidas débilmente (en este caso, la debilidad se debe a que la línea de transmisión que une las áreas es muy larga). Cada área incluye dos unidades generadoras, con sus respectivos transformadores, las cuales producen las mismas potencias. Los grupos de generadores, cargas y transformadores son idénticos entre sí; las líneas de enlace solo varían en longitud. El sistema de prueba no existe en la realidad, pero todos los parámetros usados en los modelos están acorde con valores prácticos. Se manejaron solo voltajes de 16.5 KV y 230 KV [9] [14] [15]. Es importante tener en cuenta que la combinación de las propiedades físicas del sistema con factores como los ajustes del sistema de excitación y el punto de operación favorece la aparición de los modos de oscilación inter-áreas.
Figura 51. Sistema de prueba (dos áreas)
Los parámetros de las máquinas generadoras son mostrados en la Tabla 22, la Tabla 23 muestra los parámetros de las líneas, las cuales solo varían en longitud; la Tabla 24 muestra las relación de transformación y reactancia equivalente de los transformadores y la Tabla 25 muestra las cargas de los nodos 5 y 6 (ambas iguales).
91
Esta sección tiene por objetivo estudiar la manera como influye el modelamiento de la carga sobre el rendimiento de los PSS al tratar de mitigar los modos inter-área que se presentan en el sistema de prueba. Apoyados en los modelos de la carga como potencia constante e impedancia constante para un punto de operación nominal. De acuerdo a la teoría expuesta en la sección anterior sobre el efecto que tienen lo PSS sobre el sistema se espera que el amortiguamiento sobre los modos sean significativos cuando se modela la carga de forma adecuada. Tabla 22. Parámetros de todos los generadores para el sistema de 2 áreas Parámetros H(s) Xd(pu) X´d(pu) Xq(pu) X´q(pu) T´do(s) T´qo(s)
23,64 0,146 0,0608 0,0969 0,0969 8,96 0,31
Tabla 23. Datos de las líneas para el sistema de dos áreas Datos de las líneas Voltaje Corriente Nominal Nodo 2/8 - Nodo 3/7 longitud Nodo 3/7 - Nodo 5/6 Nodo 5 - Nodo 6 R - X - B (sec +)
230 KV 0,5 KA 50 Km 50 Km 250 Km 0,00017(pu/Km) - 0,00144 (pu/Km) - 0,00149 (pu/Km)
Tabla 24. Datos de los transformadores Datos de los transformadores Potencia 180 MVA Voltajes nominales HV - LV 230 KV - 16,5 KV R-X 0 - 0,0576
Tabla 25. Datos de las cargas Datos de las cargas Potencia activa 300 MW Potencia reactiva 100 AR
4.2.1 Carga modelada como potencia constante (S cte) Inicialmente se hace un análisis sin ningún tipo de control, de esta manera se puede observar la respuesta natural del sistema a las continuas y pequeñas perturbaciones. La Tabla 26 muestra el resultado del flujo de carga para este punto de operación.
92
Tabla 26. Flujo de carga para el sistema de dos áreas (S cte) Bus
V [p.u.]
phase [deg]
P gen [p.u.]
Q gen [p.u.]
P load [p.u.]
Q load [p.u.]
Bus 1 Bus 10 Bus 2 Bus 3 Bus 4 Bus 5 Bus 6 Bus 7 Bus 8 Bus 9
1.04 1.04 1.01077856 0.96641027 1.04 0.84582558 0.84582558 0.96641027 1.01077856 1.04
0 -6.11985973 -4.91954466 -11.282093 -6.11985973 -26.1843504 -26.1843504 -11.282093 -4.91954466 0
1.56507586 1.57 0 0 1.57 0 0 0 0 1.56507586
0.59484111 1.39947833 0 0 1.39947833 0 0 0 0 0.59484111
0 0 0 0 0 3 3 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
Luego de linealizar el sistema alrededor del punto de operación que resulta de correr el flujo de carga anterior, se obtienen 16 valores propios asociados a la matriz de estado del sistema como se puede ver en la Tabla 27, pero solo se muestran aquellos que están asociados a las variables mecánicas de las máquinas, los cuales caracterizan los modos electromecánicos del sistema. Estos valores propios tienen su parte real muy cercana al eje imaginario, lo cual implica un amortiguamiento pobre y una disminución del margen de estabilidad la cual empeora con la adición de AVRs. Tabla 27. Modos electromecánicos del sistema de dos áreas sin ningún tipo de control (S cte) Eigevalue Eig As 1 Eig As 2 Eig As 3 Eig As 4 Eig As 5 Eig As 6
STATE MATRIX EIGENVALUES Most Associated States Real part Imag. Part omega_Syn_4, delta_Syn_2 -0.00242 6.75071 omega_Syn_4, delta_Syn_2 -0.00242 -6.75071 delta_Syn_3, delta_Syn_1 -0.00305 6.68038 delta_Syn_3, delta_Syn_1 -0.00305 -6.68038 omega_Syn_3, delta_Syn_3 -0.0063 2.94231 omega_Syn_3, delta_Syn_3 -0.0063 -2.94231
Frequency
(%)
1.07440635 1.07440635 1.06321301 1.06321301 0.46828209 0.46828209
0.03584808 0.03584808 0.04565608 0.04565608 0.21411699 0.21411699
El efecto negativo por la inclusión de AVRs se evidencia en los resultados de la Tabla 28, la cual muestra solo los modos electromecánicos (ahora 17, 18, 19, 20, 21 y 22) con sus respectivas frecuencias de oscilación y amortiguamientos. Los modos del sistema pasan al semiplano complejo derecho llevando el sistema a la inestabilidad situación que explica los valores negativos de los radios de amortiguamiento.
93
Tabla 28. Respuesta del sistema de dos áreas incluyendo AVRs (S cte) Eigevalue Eig As 17 Eig As 18 Eig As 19 Eig As 20 Eig As 21 Eig As 22
STATE MATRIX EIGENVALUES Most Associated States Real part Imag. Part omega_Syn_4, delta_Syn_2 0.02571 6.79914 omega_Syn_2, delta_Syn_2 0.02571 -6.79914 omega_Syn_3, omega_Syn_1 0.02671 6.74404 delta_Syn_3, delta_Syn_1 0.02671 -6.74404 omega_Syn_1, delta_Syn_1 0.01361 3.03879 omega_Syn_1, delta_Syn_1 0.01361 -3.03879
Frequency
(%)
1.08211421 1.08211421 1.07334479 1.07334479 0.48363732 0.48363732
-0.37813335 -0.37813335 -0.3960503 -0.3960503 -0.44787114 -0.44787114
Según el capítulo 1, los valores propios de la Tabla 28 se pueden clasificar en dos modos locales ya que tienen frecuencias de oscilación ubicadas en el rango 1-2 Hz y uno inter-área porque su frecuencia pertenece al intervalo 0,11Hz. Si se grafican los valores que pertenecen a la variable de estado de la velocidad del rotor de las máquinas generadoras que corresponden a los vectores propios derechos, mostrados en la Tabla 29, asociados a cada modo electromecánico de la Tabla 28; es posible comprobar que dicha clasificación es correcta.
Figura 52. Modo local asociado a los valores propios 17 y 18 del sistema de dos áreas
94
Las Figuras 52 y 53 muestran como para los modos asociado a los valores propios 17, 18, 19 y 20 la máquina 1 oscila localmente con la máquina 2, y que de la misma forma la máquina 3 oscila localmente con la máquina 4. Por otra parte la Figura 54 permite observar como el modo asociado a los valores propios 21 y 22 las máquinas 1 y 2 oscilan contra las máquinas 3 y 4 donde cada par de generadores pertenecen a áreas diferentes Tabla 29. Vectores propios derechos asociados a los modos electromecánicos del sistema de dos áreas con AVR (S cte) STATE MATRIX RIGHT RIGHT RIGHT RIGHT RIGHT EIGENVALUES EIGENVECTOR EIGENVECTOR EIGENVECTOR EIGENVECTOR EIGENVECTOR Most Associated (EIG 17) (EIG 18) (EIG 19) (EIG 20) (EIG 21) States delta_Syn_1 omega_Syn_1 e1q_Syn_1 e1d_Syn_1 delta_Syn_2 omega_Syn_2 e1q_Syn_2 e1d_Syn_2 delta_Syn_3 omega_Syn_3 e1q_Syn_3 e1d_Syn_3 delta_Syn_4 omega_Syn_4 e1q_Syn_4 e1d_Syn_4 vm_Exc_1 vr3_Exc_1 vf_Exc_1 vm_Exc_2 vr3_Exc_2 vf_Exc_2 vm_Exc_3 vr3_Exc_3 vf_Exc_3 vm_Exc_4 vr3_Exc_4 vf_Exc_4
RIGHT EIGENVECTOR (EIG 22)
0.0476 - 0.0886i
0.0476 + 0.0886i
0.0362 - 0.0825i
0.0362 + 0.0825i
0.0562 - 0.2162i
0.0562 + 0.2162i
0.0016 + 0.0009i
0.0016 - 0.0009i
0.0015 + 0.0006i
0.0015 - 0.0006i
0.0017 + 0.0004i
0.0017 - 0.0004i
0.0004 - 0.0074i
0.0004 + 0.0074i
0.0004 - 0.0078i
0.0004 + 0.0078i
0.0012 - 0.0083i
0.0012 + 0.0083i
0
0
0
0
0
0
-0.0529 + 0.0977i
-0.0529 - 0.0977i
-0.0350 + 0.0801i
-0.0350 - 0.0801i
0.0501 - 0.1915i
0.0501 + 0.1915i
-0.0018 - 0.0009i
-0.0018 + 0.0009i
-0.0014 - 0.0006i
-0.0014 + 0.0006i
0.0015 + 0.0004i
0.0015 - 0.0004i
0.0005 + 0.0025i
0.0005 - 0.0025i
0.0012 - 0.0012i
0.0012 + 0.0012i
0.0013 - 0.0140i
0.0013 + 0.0140i
0
0
0
0
0
0
-0.0476 + 0.0886i
-0.0476 - 0.0886i
0.0362 - 0.0825i
0.0362 + 0.0825i
-0.0562 + 0.2162i
-0.0562 - 0.2162i
-0.0016 - 0.0009i
-0.0016 + 0.0009i
0.0015 + 0.0006i
0.0015 - 0.0006i
-0.0017 - 0.0004i
-0.0017 + 0.0004i
-0.0004 + 0.0074i
-0.0004 - 0.0074i
0.0004 - 0.0078i
0.0004 + 0.0078i
-0.0012 + 0.0083i
-0.0012 - 0.0083i
0
0
0
0
0
0
0.0529 - 0.0977i
0.0529 + 0.0977i
-0.0350 + 0.0801i
-0.0350 - 0.0801i
-0.0501 + 0.1915i
-0.0501 - 0.1915i
0.0018 + 0.0009i
0.0018 - 0.0009i
-0.0014 - 0.0006i
-0.0014 + 0.0006i
-0.0015 - 0.0004i
-0.0015 + 0.0004i
-0.0005 - 0.0025i
-0.0005 + 0.0025i
0.0012 - 0.0012i
0.0012 + 0.0012i
-0.0013 + 0.0140i
-0.0013 - 0.0140i
0
0
0
0
0
0
-0.0023 - 0.0003i
-0.0023 + 0.0003i
-0.0024 - 0.0003i
-0.0024 + 0.0003i
-0.0012 - 0.0001i
-0.0012 + 0.0001i
0.4618
0.4618
0.4818 + 0.0000i
0.4818 - 0.0000i
0.2317 + 0.0091i
0.2317 - 0.0091i
0.4592 - 0.0036i
0.4592 + 0.0036i
0.4791 - 0.0037i
0.4791 + 0.0037i
0.2304 + 0.0082i
0.2304 - 0.0082i
0.0008 - 0.0001i
0.0008 + 0.0001i
-0.0003 - 0.0004i
-0.0003 + 0.0004i
-0.0020 - 0.0001i
-0.0020 + 0.0001i
-0.1581 + 0.0429i
-0.1581 - 0.0429i
0.0719 + 0.0785i
0.0719 - 0.0785i
0.3909 - 0.0000i
0.3909 + 0.0000i
-0.1568 + 0.0439i
-0.1568 - 0.0439i
0.0721 + 0.0774i
0.0721 - 0.0774i
0.3885 - 0.0014i
0.3885 + 0.0014i
0.0023 + 0.0003i
0.0023 - 0.0003i
-0.0024 - 0.0003i
-0.0024 + 0.0003i
0.0012 + 0.0001i
0.0012 - 0.0001i
-0.4618 - 0.0000i
-0.4618 + 0.0000i
0.4818
0.4818
-0.2317 - 0.0091i
-0.2317 + 0.0091i
-0.4592 + 0.0036i
-0.4592 - 0.0036i
0.4791 - 0.0037i
0.4791 + 0.0037i
-0.2304 - 0.0082i
-0.2304 + 0.0082i
-0.0008 + 0.0001i
-0.0008 - 0.0001i
-0.0003 - 0.0004i
-0.0003 + 0.0004i
0.0020 + 0.0001i
0.0020 - 0.0001i
0.1581 - 0.0429i
0.1581 + 0.0429i
0.0719 + 0.0785i
0.0719 - 0.0785i
-0.3909
-0.3909
0.1568 - 0.0439i
0.1568 + 0.0439i
0.0721 + 0.0774i
0.0721 - 0.0774i
-0.3885 + 0.0014i
-0.3885 - 0.0014i
95
Figura 53. Modo local asociado a los valores propios 19 y 20 del sistema de dos áreas (S cte)
Figura 54. Modo inter-área asociado a los valores propios 21 y 22 del sistema de dos áreas (S cte)
96
Aunque mediante las Figuras 52, 53 y 54 se confirma la clasificación de los modos para este sistema; la forma más clara de observar estos fenómenos es a través de los diagramas de participación de los generadores dados en las Figuras 55, 56 y 57. La Tabla 30 muestra solo los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores para cada modo, con los cuales se construyen los diagramas de participación de los generadores. Tabla 30. Elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores (S cte) State matrix eigenvalues Most Associated States delta_Syn_1 delta_Syn_2 delta_Syn_3 delta_Syn_4
Eig 17
Eig 18
Eig 19
Eig 20
Eig 21
Eig 22
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Im
Re
Im
Re
0,103
-0,192
0,103
0,192
0,075
-0,171
0,075
0,171
0,144
-0,553
0,144
0,553
-0,114
0,216
-0,114
-0,216
-0,072
0,166
-0,072
-0,166
0,128
-0,49
0,128
0,49
-0,103
0,192
-0,103
-0,192
0,075
-0,171
0,075
0,171
-0,144
0,553
-0,144
-0,553
0,114
-0,216
0,114
0,216
-0,072
0,166
-0,072
-0,166
-0,128
0,49
-0,128
-0,49
Figura 55. Diagrama de participación de generadores modos 17 y 18 del sistema de dos áreas (S cte) 0,15 Gen 4; 0,114
Gen1; 0,103 0,1
0,05
0 1
2
3
-0,05
-0,1 Gen2; -0,114 -0,15
97
Gen3; -0,103
4
Figura 56. Diagrama de participación de generadores modos 19 y 20 del sistema de dos áreas (S cte) 0,1 0,08
Gen1; 0,075
Gen 3; 0,075
0,06 0,04 0,02 0 -0,02
1
2
3
4
-0,04 -0,06 -0,08
Gen 2; -0,072
Gen 4; -0,072
-0,1
Figura 57. Diagrama de participación de generadores modos 21 y 22 del sistema de dos áreas (S cte) 0,2 0,15
Gen1; 0,144
Gen2; 0,128
0,1 0,05 0 1
2
3
4
-0,05 -0,1 Gen4; -0,128
-0,15
Gen3; -0,144
-0,2
Para cada uno de los tres modos electromecánicos del sistema se observa una participación similar de las cuatro máquinas, lo que hace difícil decidir acerca de cuál debería ser la, o las máquinas candidatas a PSS. Si se ubican tales dispositivos en todos los generadores se puede observar el comportamiento de sistema en la Tabla 31. Donde claramente se evidencia un
98
corrimiento de la parte real de los tres modos electromecánicos hacia la izquierda en el plano complejo, lo cual aumenta el margen de estabilidad del sistema. Es de anotar que para una ganancia Kw de 20 el sistema presenta un modo de control inestable, el cual se encuentra resaltado con color rojo dentro de la misma tabla. Aunque esta acción no es óptima desde el punto de vista económico, se realiza para efectos de análisis de las ventajas del PSS. Tabla 31. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en todas las maquinas (S cte) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency
1
3
T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s Tw=10s
5
10
15
20
-0,03435 -0,03435 -0,02996 -0,02996 -0,00282 -0,00282 -0,15091 -0,15091 -0,13983 -0,13983 -0,03492 -0,03492 -0,2448 -0,2448 -0,26242 -0,26242 -0,06607 -0,06607 -0,48422 -0,48422 -0,51711 -0,51711 -0,13989 -0,13989 -0,73559 -0,73559 -0,6896 -0,6896 -0,20829 -0,20829
6,76699 -6,76699 6,71329 -6,71329 3,02832 -3,02832 6,69926 -6,69926 6,64867 -6,64867 3,00726 -3,00726 6,58028 -6,58028 6,62735 -6,62735 2,98606 -2,98606 6,39606 -6,39606 6,43269 -6,43269 2,93268 -2,93268 6,22385 -6,22385 6,19939 -6,19939 2,87904 -2,87904
1,07699739 1,07699739 1,068450789 1,068450789 0,48197097 0,48197097 1,066217851 1,066217851 1,058166221 1,058166221 0,478619175 0,478619175 1,04728164 1,04728164 1,054773046 1,054773046 0,475245098 0,475245098 1,017962185 1,017962185 1,023792017 1,023792017 0,466749427 0,466749427 0,990554176 0,990554176 0,986661255 0,986661255 0,458212376 0,458212376
(%)
0,50760467 0,50760467 0,4462745 0,4462745 0,0931209 0,0931209 2,25206554 2,25206554 2,10266242 2,10266242 1,16111164 1,16111164 3,71763473 3,71763473 3,95655155 3,95655155 2,2120732 2,2120732 7,54899592 7,54899592 8,01293424 8,01293424 4,76462223 4,76462223 11,7371983 11,7371983 11,0554872 11,0554872 7,21584368 7,21584368
Esta ganancia produce un modo de control inestable
De la Figura 55 se puede ver que los generadores 2 y 4 tienen una relativa mayor participación en el modo asociado a los valores propios 17 y 18, así que se toma la decisión de ubicar dispositivos PSS en los dos generadores. La Tabla 32 muestra que para una ganancia Kw de 1 el sistema se hace inestable pero que para ganancias mayores se obtiene buen margen de estabilidad.
99
Tabla 32. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en las maquinas 2 y 4 (S cte) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency
1
3
5 T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s Tw=10s 10
15
20
-0,00315 -0,00315 0,00672 0,00672 0,00484 0,00484 -0,03318 -0,03318 -0,05903 -0,05903 -0,01268 -0,01268 -0,07296 -0,07296 -0,11239 -0,11239 -0,03015 -0,03015 -0,17173 -0,17173 -0,23456 -0,23456 -0,07368 -0,07368 -0,26934 -0,26934 -0,34062 -0,34062 -0,11697 -0,11697 -0,36552 -0,36552 -0,43096 -0,43096 -0,15998 -0,15998
6,78456 -6,78456 6,73558 -6,73558 3,03339 -3,03339 6,7183 -6,7183 6,75406 -6,75406 3,02265 -3,02265 6,70052 -6,70052 6,72192 -6,72192 3,01198 -3,01198 6,65395 -6,65395 6,63564 -6,63564 2,98557 -2,98557 6,60436 -6,60436 6,54314 -6,54314 2,95939 -2,95939 6,5518 -6,5518 6,44708 -6,44708 2,9333 -2,9333
1,079794 1,079794 1,071998 1,071998 0,482778 0,482778 1,069248 1,069248 1,07494 1,07494 0,481069 0,481069 1,066418 1,066418 1,069824 1,069824 0,47937 0,47937 1,059007 1,059007 1,056092 1,056092 0,475167 0,475167 1,051114 1,051114 1,041371 1,041371 0,471 0,471 1,042749 1,042749 1,026082 1,026082 0,466848 0,466848
(%)
0,046429 0,046429 -0,09977 -0,09977 -0,15956 -0,15956 0,493869 0,493869 0,873959 0,873959 0,419496 0,419496 1,088871 1,088871 1,671993 1,671993 1,001003 1,001003 2,580014 2,580014 3,532645 3,532645 2,467119 2,467119 4,078215 4,078215 5,205757 5,205757 3,952504 3,952504 5,570263 5,570263 6,669692 6,669692 5,445832 5,445832
De igual forma, al observar las Figuras 53 y 54 se se nota que quienes tienen una mayor participación en los modos asociados a los valores propios 19, 20 ,21 y 22 son los generadores 1 y 3, por lo tanto se ubican PSS en estas máquinas, la Tabla 33 muestra que para Kw de 1 el sistema se hace inestable pero que para ganancias mayores se obtiene buen margen de estabilidad.
100
Tabla 33. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en las maquinas 1 y 3 (S cte) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency
1
3
5 T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s Tw=10s 10
15
20
-0,00539 -0,00539 -0,01028 -0,01028 0,00583 0,00583 -0,0654 -0,0654 -0,08279 -0,08279 -0,00973 -0,00973 -0,12249 -0,12249 -0,15328 -0,15328 -0,02531 -0,02531 -0,25232 -0,25232 -0,32027 -0,32027 -0,06428 -0,06428 -0,36403 -0,36403 -0,47351 -0,47351 -0,10329 -0,10329 -0,61275 -0,61275 -0,45846 -0,45846 -0,14231 -0,14231
6,7817 -6,7817 6,72202 -6,72202 3,03376 -3,03376 6,74553 -6,74553 6,67679 -6,67679 3,02379 -3,02379 6,70779 -6,70779 6,63006 -6,63006 3,0139 -3,0139 6,60803 -6,60803 6,50756 -6,50756 2,98949 -2,98949 6,50299 -6,50299 6,37858 -6,37858 2,96544 -2,96544 6,24521 -6,24521 6,39551 -6,39551 2,94161 -2,94161
1,079339 1,079339 1,06984 1,06984 0,482837 0,482837 1,073582 1,073582 1,062642 1,062642 0,48125 0,48125 1,067575 1,067575 1,055204 1,055204 0,479676 0,479676 1,051698 1,051698 1,035708 1,035708 0,475791 0,475791 1,034981 1,034981 1,01518 1,01518 0,471963 0,471963 0,993954 0,993954 1,017875 1,017875 0,468171 0,468171
(%)
0,079479 0,079479 0,15293 0,15293 -0,19217 -0,19217 0,969485 0,969485 1,239872 1,239872 0,32178 0,32178 1,825781 1,825781 2,311277 2,311277 0,839746 0,839746 3,815604 3,815604 4,915557 4,915557 2,149703 2,149703 5,589136 5,589136 7,403069 7,403069 3,481015 3,481015 9,764632 9,764632 7,150119 7,150119 4,832175 4,832175
4.2.2 Carga modelada como impedancia constante (Z cte) La Tabla 34 muestra para este caso la respuesta natural a las continuas perturbaciones y la Tabla 35 muestra la influencia negativa de los AVRs en la estabilidad del sistema. De igual manera se puede observar la existencia de tres modos electromecánicos con la misma clasificación que para los análisis de la sección
101
anterior. Se presenta también una participación muy parecida de cada máquina sobre cada modo y de la misma manera que para el caso anterior se ubicaron los PSS en todas las maquinas, la Tabla 36 muestra el efecto de los PSS para este caso. Tabla 34. Respuesta natural del sistema de dos áreas (Z cte) STATE MATRIX EIGENVALUES (%) Real part Imag. Part Frequency -0,00185 -0,00185 -0,00174 -0,00174 -0,00505 -0,00505
6,77219 -6,77219 6,73557 -6,73557 3,06713 -3,06713
1,07782499 1,07782499 1,07199675 1,07199675 0,48814776 0,48814776
0,027318 0,027318 0,025833 0,025833 0,164649 0,164649
Tabla 35. Respuesta del sistema de dos áreas incluyendo AVRs (Z cte) STATE MATRIX EIGENVALUES (%) Real part Imag. Part Frequency 0,01302 0,01302 0,01731 0,01731 0,01451 0,01451
3,14664 -3,14664 6,80291 -6,80291 6,76086 -6,76086
0,500802 0,500802 1,082714 1,082714 1,076022 1,076022
-0,41377 -0,41377 -0,25445 -0,25445 -0,21462 -0,21462
Comparando las Tablas 31 y 36 se puede observar que para un mismo grupo de parámetros del PSS cuando se modela la carga como impedancia constante, se obtienen mejores amortiguamientos relativos para los modos electromecánicos del sistema, es decir, la característica de la carga es muy importante para la efectividad del PSS. La anterior observación y en general el desempeño del PSS se puede hacer más evidente al obtener parámetros óptimos con técnicas sofisticadas basadas en la manipulación de la matriz de estado del sistema en un punto de operación determinado.
102
Tabla 36. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en todas las maquinas (Z cte) Datos PSS
STATE MATRIX EIGENVALUES Kw Real part Imag. Part Frequency
1
3
5 T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s Tw=10s 10
15
20
-0,0385 -0,0385 -0,04034 -0,04034 -0,01102 -0,01102 -0,14673 -0,14673 -0,14654 -0,14654 -0,05766 -0,05766 -0,24784 -0,24784 -0,25018 -0,25018 -0,10243 -0,10243 -0,47849 -0,47849 -0,48642 -0,48642 -0,2066 -0,2066 -0,67629 -0,67629 -0,68953 -0,68953 -0,30054 -0,30054 -0,84269 -0,84269 -0,86034 -0,86034 -0,38529 -0,38529
6,77323 -6,77323 6,73118 -6,73118 3,13138 -3,13138 6,71072 -6,71072 6,6688 -6,6688 3,10062 -3,10062 6,60279 -6,60279 6,64443 -6,64443 3,0696 -3,0696 6,42532 -6,42532 6,46533 -6,46533 2,99143 -2,99143 6,2366 -6,2366 6,27362 -6,27362 2,91308 -2,91308 6,04394 -6,04394 6,07691 -6,07691 2,83529 -2,83529
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1,077990514 1,077990514 1,071298065 1,071298065 0,49837344 0,49837344 1,068041762 1,068041762 1,061370003 1,061370003 0,493477846 0,493477846 1,050864209 1,050864209 1,057491406 1,057491406 0,488540871 0,488540871 1,022619048 1,022619048 1,028986822 1,028986822 0,476099758 0,476099758 0,992583397 0,992583397 0,998475299 0,998475299 0,463629997 0,463629997 0,961920677 0,961920677 0,967168004 0,967168004 0,451249363 0,451249363
(%)
0,568405 0,568405 0,59928981 0,59928981 0,35191934 0,35191934 2,18597912 2,18597912 2,19686651 2,19686651 1,85930661 1,85930661 3,75092333 3,75092333 3,76259282 3,76259282 3,33506058 3,33506058 7,42638052 7,42638052 7,50231108 7,50231108 6,88998346 6,88998346 10,7806895 10,7806895 10,9251527 10,9251527 10,2624439 10,2624439 13,8091475 13,8091475 14,0177385 14,0177385 13,4653273 13,4653273
4.3 SVCs EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA
Regular el voltaje de las barras críticas del sistema es una alternativa para amortiguar las oscilaciones de potencia, a través de una admitancia shunt variable [8] [9] [15]. Un ejemplo de esto lo constituyen los compensadores estáticos de potencia reactiva (SVCs). Los SVCs contienen un banco de condensadores suicheados con tiristores en paralelo con un banco de reactores controlados, que son conectados a la barra de nivel de voltaje de transmisión utilizando un transformador como muestra la Figura 58.
Figura 58. Diagrama de un SVC
Cuando se pretende utilizar un SVC para aumentar el amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas, es necesario pleno conocimiento de la naturaleza compleja del sistema de potencia:
La naturaleza de las oscilaciones de potencia depende de la topología del sistema y de las condiciones de operación. Las características de las cargas tienen una influencia importante en la efectividad del SVC para amortiguar oscilaciones de potencia. El uso de SVCs sin control suplementario para adicionar amortiguamiento, tiene un efecto amortiguador casi despreciable en las oscilaciones electromecánicas del sistema. Cuando se desea que el SVC influya efectivamente en el amortiguamiento, se deben adicionar controles suplementarios [9] [15].
104
Como la función principal de un SVC * no consiste en amortiguar oscilaciones de potencia, se debe tener cuidado en no alterar su función principal, al adicionar el control suplementario de amortiguamiento (PSDC). En general, el punto en donde el SVC entrega el mayor amortiguamiento, es el punto del sistema que tiene mayores fluctuaciones de voltaje para el modo que se desea amortiguar [9]. La selección de la señal de entrada del PSDC, es otro factor bien importante; para seleccionar la señal o señales de entrada se puede evaluar la controlabilidad de diferentes variables (velocidades de máquinas, potencias, corrientes, etc.) en el modo de interés. En la mayoría de los casos, la corriente que circula por la línea de transmisión que enlaza las áreas implicadas en el modo, es la señal más apropiada. Se debe buscar que el PSDC no tenga sensibilidad a su salida (baja ganancia de lazo interno). Como la versión de PSAT con la que se trabajó no cuenta con el PSDC; en esta sección se pretende mostrar esa pequeña contribución que el SVC tiene sobre al amortiguamiento de las oscilaciones electromecánicas en particular sobre el sistema de dos áreas trabajado en la sección anterior. Para este caso se buscó enviar una cantidad de potencia de un área a otra, con el fin de ilustrar un caso típico. Se utilizo el modelo tipo I que maneja PSAT para el SVC el cual se muestra en la Figura 59.
Figura 59. Modelo del SVC
El punto de operación sin SVC es ilustrado en la Tabla 37. Las cargas se modelaron como potencia constante. Como puede observarse de la Tabla 37, el voltaje del nodo 6 tiene la magnitud más pequeña de todos y es allí entonces donde se ubicara el SVC para mejorar los perfiles de tensión, para dicho SVC se utilizaron los parámetros mostrados en la Tabla 38. Como resultado directo de la acción del SVC sobre el sistema, se mejoraron los perfiles de tensión, pero además se proporciono cierta cantidad de amortiguamiento a los modos electromecánicos del sistema como lo muestra la Tabla 39. *
La función principal para la que se instalan SVCs en sistemas de potencia, es mejorar la estabilidad transitoria y amortiguar las fluctuaciones de voltaje.
105
Tabla 37. Flujo de carga para el sistema intercambiando potencia entre áreas Bus
V [p.u.]
phase [deg]
P gen [p.u.]
Q gen [p.u.]
P load [p.u.]
Q load [p.u.]
Bus 1 Bus 10 Bus 2 Bus 3 Bus 4 Bus 5 Bus 6 Bus 7 Bus 8 Bus 9
1,03 1,02 1,01137771 0,97863648 1,03 0,87851982 0,8087882 0,94887544 0,99814044 1,03
13,6631074 -4,02688283 10,366498 6,21187299 9,61890174 -3,0395321 -17,6267925 -7,57539871 -3,34365552 0
1,04 1,04 0 0 1,04 0 0 0 0 1,04101923
0,36293013 1,29171305 0 0 0,94940989 0 0 0 0 0,60009533
0 0 0 0 0 1,5 2,5 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1,5 0 0 0
Tabla 38. Parámetros del SVC utilizado Parametros Tr Kr Vref Bmax Bmin
Datos (pu) 0,02 1 1 1 0
Tabla 39. Modos electromecánicos del sistema sin y con SVC (S cte) Real part Imag. Part Frequency
sin SVC
con SVC
0,01028 0,01028 0,01037 0,01037 0,00757 0,00757 0,00957 0,00957 0,01205 0,01205 0,00704 0,00704
6,7087 -6,7087 6,65023 -6,65023 2,96555 -2,96555 6,6768 -6,6768 6,5434 -6,5434 3,295 -3,295
1,06772 1,06772 1,058415 1,058415 0,471981 0,471981 1,062643 1,062643 1,041412 1,041412 0,524414 0,524414
(%)
-0,15323 -0,15323 -0,15593 -0,15593 -0,25526 -0,25526 -0,14333 -0,14333 -0,18415 -0,18415 -0,21366 -0,21366
La Tabla 39 muestra un sistema siempre inestable, pero aunque es insignificante en la práctica, se puede observar la contribución del SVC al amortiguamiento. Así como se mencionó para el PSS, el SVC mediante una buena selección de sus parámetros basada en técnicas especiales de estudio puede aportar un poco más, aunque en la práctica siempre sería insuficiente sin la presencia del PSDC.
106
CONCLUSIONES
La manipulación del sistema WSCC, permite concluir que las condiciones de carga en las que se encuentra un SEP están directamente relacionadas con el margen de estabilidad que este ofrece, por lo tanto se justifica introducir dispositivos de control PSS sólo para condiciones de operación cercanas a la sobrecarga. El efecto negativo que tienen los reguladores automáticos de voltaje (AVR), puede llevar el sistema a la inestabilidad cuando se encuentra operando cerca de la sobrecarga, pero sucede lo contrario cuando el sistema opera en un punto de carga ligera pues la inclusión de estos dispositivos tiene como consecuencia un aumento en la magnitud del radio de amortiguamiento de los modos electromecánicos. Es importante destacar la necesidad de poner limitadores de ganancia en los dispositivos de control PSS, porque aunque para altas ganancias se observa un alto amortiguamiento relativo de los modos electromecánicos, se puede arriesgar la estabilidad de voltaje del sistema Aunque se confirmó la efectividad de los dispositivos PSS para cualquier punto de operación, es necesario realizar una observación en el tiempo de la respuesta del las variables del sistema con el fin de poder tomar la decisión más acertada y económica en cuanto al punto de ubicación de estos dispositivos ya que pude darse que con un solo dispositivo en el sistema se pueda mitigar el mayor número de modos electromecánicos del sistema, como fue el caso del sistema de estudio WSCC. Es importante tener en cuenta que la combinación de las propiedades físicas del sistema, si es simétrico como pudo apreciar con el sistema hipotético, con factores como los ajustes del sistema de excitación y el punto de operación favorece la aparición de los modos de oscilación inter-áreas. El amortiguamiento de oscilaciones inter-área con PSSs es una función muy compleja, la cual depende entre otras, de la localización de los PSSs, las condiciones de operación del sistema y hasta de los tipos o modelos de carga asumidos, de aquí se desprende un aspecto importante con respecto al modelamiento de las cargas, se debe tener un panorama claro acerca de su comportamiento en el sistema, pues de la dependencia que tengan estas con respecto al voltaje que las alimente, se puede tener un modelo más cercano a la realidad, lo cual es importante pues de dicho modelo, se puede partir para lograr resultados sobre simulaciones que podrán ser aplicables en la práctica. Las oscilaciones inter-área están asociadas con áreas conectadas débilmente, tal vez que intercambian altos niveles de potencia entre ellas. Estas
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oscilaciones son las más graves pues involucran máquinas de todo el sistema y por ende son las más difíciles de amortiguar. La estabilidad de un modo interárea no es una función simple, pues depende como se menciono anteriormente de la localización y características de las cargas y de las condiciones de operación del sistema. Con la simulación de la falla trifásica en la barra 8 del sistema WSCC se comprobó que las oscilaciones electromecánicas posteriores a una perturbación severa en el sistema, son regidas por los modos electromecánicos de la condición de operación postfalla siempre y cuando no haya cambios en la topología del sistema durante o después de la falla. Si se pretende implementar dispositivos tales como SVCs en un SEP se debe tener siempre presente que éste tiene como función principal mejorar la estabilidad transitoria y amortiguar las fluctuaciones de voltaje, el SVC colabora con la estabilidad de pequeña señal del SEP siempre y cuando incluya el control suplementario para adicionar amortiguamiento (PSDC), pues solo, tiene un efecto amortiguador casi despreciable.
108
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