EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si la constante de un resorte es de 600 N/m, ¿cuál debe ser el valor de una fuerza que le produzca una deformación de 4.3 cm? Datos
k = 600 N/m x = 4.3 cm F =?
Fórmula
Desarrollo
F = (600 N/m)(0.043 m)
F = k x
F = 25.8 N
2. Un resorte de 12 cm de longitud se comprime a 7.6 cm cuando actúa sobre él el peso de una niña de 440 N. ¿Cuál es el valor de la constante elástica del resorte? Datos
Li = 12 cm Lf = = 7.6 cm F = 440 N k =?
Fórmulas
Desarrollo
x = L f - Li
x = x = 7.6 cm – 12 12 cm
F = k x k
F x
x = x = – 4.4 4.4 cm (el signo negativo indica disminución de la lomgitud) k
440 N 0.044 m
4
k = k = 1x10 N/m
3. ¿Cuál es la deformación que se produce en un resorte cuando actúa sobre él una 6 fuerza de 300 N, si su constante elástica es 1.2x10 N/m? Datos
x =? F = 300 N 6 k = 1.2x10 N/m
Fórmula
F=kx x
F
Desarrollo
x
300 N 1.2 x106 N / m
k x = 0.0003 m
EJERCICIOS RESUELTOS 2
1. Un cable utilizado por una grúa de carga, de 4 m de longitud y 0.6 cm de sección transversal se alarga 0.6 cm cuando se suspende de uno de sus extremos un cuerpo de 500 kg, estando fijo el otro extremo. Encuentra: a) el esfuerzo b) la deformación unitaria c) el Módulo de Young Datos
L0 = 4 m 2 5 2 A = 0.6 cm = 6 x 10 – m -3 m L= 0.6 cm = 6 x 10 m = 500 kg. 2 g = 9.8 m/s
Fórmula Desarrollo
F mg
E
Conversiones
2
F = (500 kg)( 9.8 m/s ) F = 4 900 N
F A
4 m2 2 1 x10 0.6 cm 0.6 x10 4 m 2 2 1 cm 1 x10 2 m 0.6 x10 2 m 0.6 cm L DU 1 cm
E
4900 N 6 x10 5 m 2 7
E = 8.17x10 Pa
DU
L0
6 x103 m 4m -3
D.U. = 1.5x10
Y
E DU
7
Y
8.17 X 10 Pa 1.5 X 10 3 10
Y = 5.45x10 Pa
2.- Un cable de nylon para pescar de 3 m de longitud se alarga 12 mm bajo la acción de una fuerza de 400 N. Si su diámetro es de 2.6 mm, determina su módulo de Young. Datos
Lo = 3 m L = 12 mm F = 400 N D = 2.6 mm Y =?
Fórmulas
Y
E
A
E D.U .
Desarrollo
A
F
(2.6 x103 m) 2
4 -6
2
A = A = 5.3x10 m
A D
2
E
4
400 N 5.3 x10 6 m 2 2
D.U .
L Lo
E = 75 471698.11 N/m D.U .
3 12 x10 m
3m -3
D.U. = 4x10 Y
75 471 698.11 N 7m2 4 x103 Y = 1.88x1010 N/m2
2
3. Una varilla de 1.5 m de longitud y de 2.35 cm de área de su sección transversal, se suspende de una viga; si soporta un cuerpo con una masa de 350 Kg en su extremo inferior, calcula: a) Su alargamiento. b) El peso máximo que puede pu ede resistir sin exceder su limite elástico Datos
L0 = 1.5 m 2 A = 2.35 cm m = 350 Kg 10 Y = 8.9x10 Pa 8 Le = 1.7x10 Pa l = ?
Formulas
Desarrollo
w = mg = F
m F 350 Kg 9.8 2 3.43 x103 N s
Y
F l 0 Al
l
Conversiones
1 m 2.35 x10 4 m 2 4 2 1 x10 cm
F l 0 Y A
3
10
2.35 cm2
Le
F n A
F n Le A 1.5m
3.43 x10 N 1.5m l 8.9 x10 Pa2.35 x10 m 4
2
-4
l = 2.459x10 m
F n 1.7 x103 Pa2.35 x104 m2 3
Fn = 39.95x10 N
m = 350
Ejercicios sobre ensayos de tracción, dureza y resiliencia de materiales
Ejercicio 1 2 Se dispone de un cable de acero de 12 m de longitud y 80 mm de sección. Al someterlo a una carga axial de 100 kN, llega a medir 12.078 m. Calcule: a) La deformación unitaria y el esfuerzo unitario en GPa (1 punto). b) El módulo de elasticidad E del acero utilizado en GPa (0.5 puntos). c) La fuerza en kN que hay que aplicar a un cable idéntico, para conseguir un alargamiento de 35 mm (1 punto).
Solución L − Lo 0.078 → ε= = 6.5 × 10−3 a) ε = Lo 12 F 100 × 103 σ= → σ= Pa = 1.25 GPa A 80 × 10−6 1.25 σ GPa ≅ 192.3 GPa → E= b) E = ε 6.5 × 10−3 36 × 10−3 = 3 × 10 −3 c) ε = 12 σ = (3 × 10 −3 ) × 192.3 GP G Pa = 576.9 MP MPa F = (576.9 × 10 6 ) × (80 × 10 −6 ) N ≅ 46.15 kN kN Ejercicio 2 Calcule el módulo de elasticidad (E) en MPa, la dureza Brinell, expresada según la norma y la 2 resiliencia ( ) en J/mm , de un material, teniendo en cuenta que: 2 a) Una probeta de 100 mm de longitud y 150 mm de sección, se alarga 0.080 mm cuando se carga con 15 kN (1 punto). b) Una bola de diámetro D=2.5 mm, al aplicarle una fuerza de 188.5 kp durante 20 s, deja una huella de 0.24 mm de profundidad. Recuerde que el área de la huella que deja una bola de acero de diámetro D al penetrar la probeta una profundidad f es A= Df (0.5 puntos). c) La maza de 20 kg de un péndulo de Charpy, cae desde 1 m de altura sobre una probeta de 400 2 2 mm de sección y asciende 45 cm después de romper la probeta (g=9.81 m/s ) (1 punto).
Solución L − Lo 0.080 → ε= = 8 × 10 −4 a) ε = Lo 100 F 1 5 × 1 03 Pa = 100 MP M Pa σ= → σ= A 150 × 10−6 100 × 106 σ E= Pa = 125 GPa → E= ε 8 × 10 −4 b) A = π D f → A ≅ 3.1416 × 2.5 × 0.24 ≅ 1.885 mm2 188.5 kp kp = 100 HB = 2 1.885 mm mm2 Dureza Brinell: 100 HB 2.5/188.5/20 mg(H − h) 40 × 9.81 × 0. 0 .55 J J → ρ= ≅ 0.54 c) ρ = 2 A 400 mm m m2 Ejercicio 3 El diagrama de tracción del material de una barra de 400 mm de 2 longitud y 25 mm de sección es el que se muestra en la figura adjunta. Calcule: a) El módulo de elasticidad del material en GPa (1 punto). b) La longitud de la barra en mm, al aplicar en sus extremos una fuerza de 115 kN (1 punto).
σ
(MPa)
F • •E
•P
R•
•U P(4.5×10-4, 90) E(6.3×10-4, 130)
Solución 90 ∆σ a) E = MPa = 200 GPa → E= ∆ε 4.5 × 10−4 F 115 × 103 → σ= b) σ = Pa = 4.6 GPa A 25 × 10−6 4.6 σ ε= → ε= = 0.023 E 20 0 L − Lo ε= → L − Lo = 0.023 × 400 mm = 9.2 mm → L = 409.2 mm Lo F c) σR = R → FR = (260 × 106 ) × (25 × 10−6 ) N = 6.5 kN A Ejercicio 4 La figura adjunta muestra dos cilindros concéntricos que soportan una carga axial de 100 kN. Si el cilindro de la izquierda es de acero (E=200 GPa) y el de la derecha de hierro fundido (E=80 GPa), calcule: a) El esfuerzo unitario de cada cilindro en MPa (1 punto). b) La deformación unitaria de cada cilindro (1 punto). c) El alargamiento de cada cilindro en mm (0.5 puntos).
s=500 mm2
Hierro S= 2000 mm 2 Acero
100 kN
100 kN 50 mm 20 mm
Solución
100 × 103 Pa = 200 MP M Pa σ A = −6 F × 5 0 0 1 0 → a) σ = 3 A σ = 100 × 10 Pa = 50 MP MPa H 2000 × 10−6 200 ε A = = 0.001 −3 σ 2 0 0 1 0 × → b) ε = 50 E ε H = = 0.625 × 10−3 − 3 80 × 10 δ = 0.001× 50 mm = 0.05 m m L − Lo δ = → A c) ε = − Lo Lo m m = 0.0125 mm mm δH = (0.625 × 10 3 ) × 20 mm Ejercicio 5 a) Dibuje en el diagrama genérico de tracción del acero, los puntos límites de fluencia y de rotura. Indique qué ocurre en ellos (0.5 puntos). 2 b) Calcule la sección mínima en mm , de un cable de acero (E=200 GPa) de 50 m de longitud, capaz de soportar una carga de 10 kN, si el esfuerzo normal no puede superar los 150 MPa, ni el alargamiento los 25 mm (1 punto). 2 c) Calcule la resiliencia de este acero en J/mm , si la maza de 40 kg de un péndulo de Charpy que 2 cae desde 1m de altura, asciende 35 cm después de romper una probeta de 625 mm de sección 2 (g=9.81 m/s ) (1 punto).
Solución a) El límite de fluencia F, es un punto situado por encima del límite elástico (E), a partir del cual se produce un alargamiento alargamiento rápido del material sin que varíe la tensión que se le está aplicando. Este comportamiento es característico de algunos materiales, entre los que se encuentra el acero. El límite de rotura R, es el punto que define la máxima tensión que puede soportar un material antes de romperse. A partir de este punto el material se considera roto, aunque no se haya producido la fractura visual. Ambos puntos se encuentran en la zona plástica.
σ R E
F
S
P
ε
si σ = 150 MPa → δ = 37.5 mm NO VÁLIDO δ σ = ⇒ Lo E si δ = 25 mm → σ = 100 MPa VÁLIDO F 10 σ= → A = m2 = 0.1 × 10 −3 m2 = 100 mm2 3 A 100 × 10 mg(H − h) 40 × 9.81 × 0. 0 .6 5 J J → ρ= ≅ 0.41 c) ρ = 2 A 625 mm mm2 Ejercicio 6 a) La figura adjunta muestra el diagrama de tracción de un material. Comente Coment e las características principales de los intervalos O-P, P-E, E-R y R-U (0.5 puntos). b) Calcule la dureza Vickers del material, expresada según la norma, R• sabiendo que una punta piramidal de diamante deja una huella de E• •U diagonal D=0.45 mm, al aplicarle una fuerza de 50 kp durante 20 s. •P Recuerde que el área de la huella de diagonal D, que deja una 2 punta piramidal de diamante al penetrar la probeta es A=D /1.8543 (1 punto). c) Calcule la altura en m, desde la que se dejó caer la maza de 40 kg de un péndulo de Charpy, si la resiliencia del material vale 0.46 2 O J/mm y aquella ascendió 38 cm después de romper una probeta 2 de 200 mm de sección (1 punto).
σ
ε
Solución a) Zona elástica OE se caracteriza porque al cesar las tensiones aplicadas, los materiales material es recuperan su longitud original. original. Esta Esta zona se subdivide subdivide en: • zona proporcional OP, en la que los esfuerzos unitarios ( σ) son proporcionales a las deformaciones unitarias (ε); esto es, se verifica la ley de Hooke, σ = E ε , siendo E es el módulo de elasticidad o módulo de Young. • zona no proporcional PE, en la que los desplazamientos desplazamient os dejan de ser proporcionales proporcionales a los esfuerzos, esfuerzos , esto es, σ ≠ E ε . Zona plástica EU se caracteriza porque al cesar las tensiones aplicadas, los materiales no recuperan su longitud original, esto es, adquieren deformaciones permanentes. Esta zona se subdivide en: • zona límite de rotura ER, en la que a incrementos positivos positi vos de σ corresponden incrementos positivos de ε • zona de rotura RU, en la que a incrementos negativos de σ corresponden incrementos positivos de ε Los puntos característicos son: • P, límite de proporcionalidad: hasta este punto es válida la ley de Hooke. • E, límite de elasticidad: a partir de este punto los los materiales se comportan comportan plásticamente. Es un punto difícil de determinar por lo que se acepta que es aquel cuya tensión corresponde a una deformación permanente del 0.2%. • R, límite de rotura; a partir de este punto el material se considera roto aunque no se haya producido la fractura visual. • U, punto en el que se produce la fractura visual del material. D2 1.8543 F HV = A
b) A =
1 .8 5 4 3 × F 1.8543 × 50 kp kp ⇒ → = ≅ HV = H V 4 5 7 . 8 5 D2 (0.45)2 mm2 mm2
Dureza Vickers: 457.85 HV 50/20 mg(H − h) ρA 0.46 × 200 ⇒ H=h+ → H = 0 . 38 + ≅ 0 .6 1 m c) ρ = A mg 40 × 9.81
Ejercicio 7 a) En un ensayo de tracción: ¿qué son el esfuerzo y la deformación unitaria?. ¿en qué unidades se miden en el sistema internacional? ¿qué relación matemática existe entre ambas cuando se trabaja por debajo del límite elástico (en la zona de proporcionalidad)? (0.5 puntos). b) Calcule el módulo de elasticidad del material en GPa, teniendo en cuenta los valores de los puntos A y B de la gráfica de tracción (1 punto). c) Calcule el diámetro en mm, que debe tener una barra de este material, de 0.5 m de longitud, para soportar una fuerza de 7350 N sin alargarse más de 35 mm (1 punto).
σ
R
(MPa)
• A
210 ∆σ MPa = 21 210 GPa → E= 0.0010 ∆ε L − Lo 35 → ε= = 0.07 c) ε = Lo 500 σ = E ε → σ = (210 × 103 ) × 0.07 MPa = 14.7 MPa F 7350 m2 = 5 × 10 −4 m2 = 500 mm 2 σ= ⇒ A = 6 A 14.7 × 10 4A 4 × 500 π A = D2 ⇒ D = → D= ≅ 25.23 mm π π 4
• U
A (0.0005, 105) 105) B (0.0015, 315)
ε
O
Solución a) Por debajo del límite elástico E, se distiguen dos zonas: • zona proporcional proporci onal OP, en la que los esfuerzos unitarios ( σ) son proporcionales a las deformaciones unitarias ( ε), verificándose la ley de Hooke, σ = E ε . En esta ecuación E es el módulo de elasticidad o módulo de Young, que al igual que el esfuerzo unitario se mide en pascales (Pa); la deformación unitaria es una magnitud adimensional. • zona no proporcional PE, en la que los deformaciones dejan de ser proporcionales a los esfuerzos, esto es, σ ≠ E ε . b) E =
•
E • •P B•
σ E P•
O
Zona elástica
•
ε
