Cálculo I
Semana 14 Tema
:
Sustitución trigonométrica – Integral Integral Indefinida SOLUCIONARIO
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando el método de integración por partes halle las siguientes integrales 1) Hallar
dx x
3
x
9
2
Solución:
En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que x
2
9
x
2
2
3
es de la forma
u
2
a2 . Por tanto, hacemos la
sustitución u a sec θ
x
3 sec θ
x
sec θ
3
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos dx
2
9 x y 3 tan θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 3 sec θ tan θdθ sec θ 1 dx dθ
3se 3sec θ tan tan θdθ
x
3
x
2
9
2) Hallar
(3sec 1
27 1 54
x
2
(3 tan θ )
cos2 θdθ
x
3
θ)
d θ
1 27
27 sec
3
1 cos 2θ
cos cos 2θdθ
d θ θ
θ
dθ
2
1 54
27
sec
2
θ
(1 cos 2 )
1 θ 1 sin 2θ C 54 54 2
θ dθ
dx
25
Solución:
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que forma
u
2
u
x
2
a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución a sec θ
x
5 sec θ sec θ
x
5
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos dx
5se 5sec θ tan tan θdθ
2
25 x y 5 tan θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 5sec θ x 5 sec θ tan θdθ 5 sec 2 θdθ 5 tan θ C dx 2 5tan θ x 25
x
2
25 C
25
x
2
2
5
es de la
Cálculo I
3) Hallar
dx
1
2
4 x
Solución:
Observemos primero que dx
dx
2 4 x 1
2 2 (2 x) 1
(2 x)2 12 es de la forma
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que u
2
a
2
. Por tanto, hacemos la sustitución u a
tan θ
2x
tan θ
tan θ
2 x 1
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
2dx
(2 x) 2 12
y
sec θdθ
sec θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado dx
2
4 x 1
4) Hallar
1
2
2
(2 x) 1
ln sec θ
2
x
dx
2 1 θ sec 2
d θ
sec θ
tan θ C
1
ln
1
4x
2 2
2
sec
θdθ
1 2x C
2
dx
4 x
2
Solución:
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que a
2
u
2
4
x
2
2
2
. Por tanto, hacemos la sustitución u
a sin θ
x
2sin θ sin θ
x
2
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
4 x y 2 cos θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 2 (2 sin θ )2 1 cos 2θ x 2 2 cos θdθ 4sin θdθ 4 dx dθ 2 2 cos 2 θ 4 x
dx
2cos θdθ
2 (1 cos 2 )
θ dθ
2θ
sin
2
2θ
2
C
2θ
dθ
2 cos 2θdθ 2θ 2
2 sin θ cos θ
2 x 4 x x 2 arcsin 2 C 2 2 2
x x 2 arcsin 2 5) Hallar
dx x
Solución:
x
2
1
4 x 2
2
C
C
sin2θ 2
C
x
2
es de la forma
Cálculo I
En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que x
2
2 2 x 1
1
es de la forma
u a sec θ
x
u
sec θ
2
a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución sec θ
x
1
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos dx
2
sec θ tan θdθ
9 x y tan θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado sec θ tan θdθ dx d θ θ C arcsec x C 2 (sec )(tan ) θ θ x x 1
6) Hallar
dx x
9 x
2
2
Solución:
En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 9
x
2
2
3
x
2
es de la forma
a
2
u 2 . Por tanto, hacemos la
sustitución u a sin θ
x
3sin θ
sin θ
x
3
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
3cos θ y 9 x Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 3cos θdθ cos θdθ 1 dx dθ
dx
3cos θdθ
(3sin
x
2
9x
2
1
9
7) Hallar
csc
x
2
2
(3cos θ )
9sin
2
θ cos θ
θdθ cot θ C 9 9 1
9 x
x
θ)
2
9 x
1
9
9 x
sin
2
x
2
C
θ
2
C
dx
2x 5
Solución:
Primero completemos cuadrados en la expresión del radicando, así x
2
2 x 5 ( x 1)2 12 5 ( x 1)2 4 ( x 1)2 22
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que u
de la forma u a
tan θ
2
a
2
x
2
. Por tanto, hacemos la sustitución
x 1 2 tan θ
tan θ
x 1
2
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos dx
2sec2 θdθ y 2sec θ
( x 1) 2 22
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
2x 5
( x 1) 2 2 2 es
Cálculo I
x
x
2
x
dx
2x 5
( x 1)2 22
2 tan θ 1
dx
2sec 2θdθ
2sec θ
(2 tan θ 1) sec θdθ 2 tan θ sec θdθ sec θdθ 2 sec θ ln sec θ tan θ
( x 1)
x
8) Hallar
2
2
2
2
( x 1) 2 2 2
ln
2 x
2 x 5 ln
C
2
x 1
2
2x 5 x 1
2
C
C
dx x
2
16 9 x
2
Solución:
Observemos primero que
dx x
2
16 9 x
2
dx 2
2 2 4 (3 x)
x
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que a
2
u
2
2
4
2 (3 x) es de la forma
. Por tanto, hacemos la sustitución u
a tan θ
4 tan θ
3x
tan θ
3 x 4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 3dx
2
42 (3 x) 2
y
4 sec θdθ
4sec θ
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
dx x
2
16 9 x
2
dx 2
16 3
3 16 3 16
Nota:
la csc θ
(
d θ
d θ
2
tan θ 2
cos θ
3 16
1
d θ
2
sin θ cos θ 1
d θ
sin θ sin θ
csc θ
16
C
16 9 x
tan θ ) (4 sec θ )
1 sec θ 3 dθ 2 16 tan θ 9
2
cot θ sec θdθ
3 16
3 16
d θ
cos θ 2
dθ
sin θ
cot θ csc θdθ
3
16 9 x
16
3 x
2
C
2
16 x
hipotenuza opuesto
4 3
θ (4sec θ )
tan
cos θ
3
4 sec2 θ 3 2
sec θ
2
4 (3x)
x
16 9
2
4 sec2 θ 3 2
C
16 9 x 3 x
2
se obtuvo del triángulo dado arriba.
Cálculo I
x
(16
9) Hallar
2
x
dx
2 1/2
)
Solución:
Observemos primero que x
(16
2
x
2 1/2
dx
x
)
2
dx
42 x 2 4
Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que a
2
u
2
2
x
2
es de la forma
. Por tanto, hacemos la sustitución tan θ
u a
x
4 tan θ
tan θ
x
4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
2
y 4 x 4sec θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 2
dx
x
(16
4sec θdθ
2
x
2 1/2
dx
x
)
2
dx
2
4 x
2
(4tan θ )2 4sec θ
4sec2 θdθ 16 tan 2 θ sec θdθ
16 (sec2 θ 1)sec θdθ 16 (sec3 θ sec θ )dθ 16
3
sec θdθ
16
8 tan θ sec θ 8 ln
8
16 x
x
4
x 16 x
2
tan θ sec θ tan θ sec θ
8ln
4
10) Hallar
u
2
a2
u
2
16 ln
C
tan θ sec θ
C
2
C
4
16 x
2
16 x
x
8 ln
x
16 ln tan θ sec θ C
tan θ sec θ
2
4
sec θdθ
1 16 tan θ sec θ ln 2 8 tan θ sec θ 8ln
2
C
4
du
Solución:
Hacemos la sustitución u
a tan θ tan θ
u a
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
2
2
y a sec θ u a Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado du
u
2
a2
u
2
du
a sec θdθ
( a a
2
a sec θ a tan θ )
sec θ tan
2
θ
2
2
a
a sec θdθ
sec2 θdθ
a sec θ a
2
tan
sec θ
tan
2
θ
2
θ
2
a sec θdθ
(tan 2 θ 1)dθ
Cálculo I
1
sec θdθ
sec θ
dθ
2
ln sec θ tan θ
tan θ
cos θ 2
dθ
sin θ 2
cos θ
ln sec θ tan θ
ln
sec θ
tan θ
ln
sec θ
tan θ
ln sec θ tan θ ln sec θ tan θ
ln
11) Hallar
2
2
a
2
u
2
a
2
cos θ
dθ 2 sin θ
cos θ sin θ
a
dθ
sin θ
cot θ csc θdθ
u
2
u
1
csc θ C
a
2
C
u
u
a
a2
dθ 2 cos θ sin θ
u
a
ln
u
u
2
cos θ
2
a
2
C
u
du
u
Solución:
Hacemos la sustitución u a sec θ
sec θ
u a
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
du a sec θ tan θdθ
2
u a y a tan θ Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado
u
2
a2
du
u
a
12) Hallar
u
(sec
u
2
a tan θ
a sec θ tan θdθ
a sec θ
2
2
θ 1) dθ
a
a sec2 θdθ a
u a2 a arcsec C a
a2
2
tan θdθ
dθ
a tan θ aθ C
du
u
Solución:
Hacemos la sustitución u
a tan θ tan θ
u a
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
2
2
y a sec θ u a Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado du
a sec θdθ
Cálculo I
u
2
a2
u
a sec θ
du
2
a sec θdθ
a tan θ
a
sec θ
tan
θ
(tan 2 θ 1) dθ
1
a
a
sec θ tan θdθ
sec θ
dθ
tan θ
a sec θ a
cos θ dθ sin θ cos θ
a sec θ a
cos θ
dθ
cos θ sin θ
a sec θ a
1
dθ
sin θ
a sec θ a csc θdθ a sec θ a ln csc θ cot θ C u
u
2
2
a
2
u
a ln
2
a
2
u u
2
a a ln
2
a
C
C
u
a2 a
u
13) La razón de cambio del ingreso en dólares por la venta de x unidades de calculadoras de 1000 escritorio es R '( x) . Encuentre el ingreso total por la venta de las primeras 20 2 x 25 calculadoras. Solución:
La función ingreso, R( x)
R( x) ,
R '( x)dx
se halla integrando la razón de cambio del ingreso,
1000 x
2
R '( x) ,
dx
25
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos x
5 tan θ
tan θ
x
5
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos dx
5sec2 θdθ y 5sec θ
x
2
2
5
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado 1000 1000 5sec 2 θdθ 1000 sec θdθ R( x) dx 2 5sec θ x 25
1000ln
sec θ tan θ
1000 ln
x
2
52
5
x
C
C
5
Bien se sabe, que cuando no se vende ninguna calculadora, el ingreso es ce ro, así R(0)
0
1000 ln
0
2
52
5 1000 ln C
0 5
1 C 0
0
Por lo tanto, la función ingreso es
C 0
así
Cálculo I
R( x)
x
1000ln
2
52
x
5
5
Así, el ingreso por las 20 primeras calculadoras es R( x)
20
1000 ln
2
2
5
5
20 5
2.09
14) La razón (en horas por artículo) a la que un trabajador, en cierto trabajo, produce artículos es
h '( x)
x
2
x ésimo
16 . ¿Cuál es el número total de horas que tardará este trabajador en
producir los primeros 7 artículos? Solución:
La expresión para el número de horas, halla integrando h '(x) , así h( x)
h '( x)dx
x
2
h( x) ,
en función al número de artículos producidos, se
16 dx
Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos x
4 tan θ
tan θ
x
4
Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos 2
2
2
y 4sec θ x 4 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado dx
h( x)
x
2
4sec θdθ
16 dx (4sec θ )4sec2 θdθ 16 sec3 θdθ 16
1 2
sec θ tan θ
ln sec θ
tan θ
8 sec θ tan θ ln sec θ tan θ
C
C
2 2 x 2 42 x x 4 x 8 ln C 4 4 4 4 2 2 x x 2 42 x 4 x C 8 ln 16 4 Se sabe que cuando aún no se ha producido ningún artículo, no se ha empleado ningún tiempo, así
h(0)
0
0 8
2
0
42
16
8ln
1 C 0
C
0
2
ln
0
42 0 C 0 4
Por lo tanto, la expresión para el número de horas es x x 2 42 2 2 x 4 x ln h ( x) 8 16 4 Así, el número total de horas que tardará este trabajador en producir los primeros 7 artículos es
Cálculo I
7 7 2 42 ln h( x) 8 16
72 42 7 4
38.83hrs