4.3 ECUACION DIFERENCIAL PARA VIGA – COLUMNA. La fórmula de Euler para las cargas criticas de columna se pueden obtener también resolviendo una ecuación diferencial de cuarto orden para la elástica en carga critica, y empleando condiciones de frontera apropiadas, las que dependen de las restricciones de extremos. Dicha ecuación se puede obtener considerando el equilibrio de un elemento infinitesimal, como se hizo en el caso de las vigas, es suficiente observar que se puede expresar en la forma siguiente:
+ = 0
(13-15)
La solución de esta ecuación diferencial homogénea de cuarto orden y varias de sus derivadas son como sigue:
= + cos+3 + 4 ՚= cocos − + 3 ՚՚ = − sen− ՚՚՚ = − 3 cos+ 3 0 = 0,0, = 0,0, ′ 0 =′ 0 = 0 = = 0 + 4 = 0 + cos+3 + 4 = 0 − = 0 − −− coss = 0 (13-16a)
(13-16b)
(13-16c)
(13-16d)
Para una columna articulada, las condiciones de frontera son:
Utilizando estas condiciones con las ecuaciones 13-16(a) y (c) se obtiene:
Para satisfacer este sistema de ecuaciones,
, , 3, 4 =
se podrían hacer iguales
a cero, lo cual, sin embargo, es una solución trivial. Una solución no trivial requiere que el determinante de los coeficientes de un sistema de ecuaciones algebraicas homogéneas sea igual a cero. Por consiguiente, con
,
0 cos1 0 11 0 0 − 0 − −cos 0 0 La evaluación de este determinante conduce a sen misma condición dada por la ecuación 13-5.
=0
, que es precisamente la
Este enfoque es ventajoso en problemas con diferentes condiciones de frontera, donde la fuerza axial y EI permanecen constantes a lo largo de la columna. El método no se puede aplicar si la fuerza axial se extiende solo sobre una parte de una columna.
ANÁLISIS DE VIGAS-COLUMNAS. Una viga en la que actúa una fuerza axial de compresión además de cargas aplicadas transversalmente, se denomina viga-columna. El estudio detallado de dicho tema no se presenta, pero se examinará un caso sencillo para ilustrar el efecto significativo de la fuerza axial en tales problemas. Considérese, por ejemplo, una viga-columna elástica sometida a una fuerza axial P y una carga transversal hacia arriba F en su punto medio, figura 13-9(a). en la figura 13-9(b) se ve el diagrama de cuerpo libre para la viga-columna deformada. Este diagrama permite la formulación del momento flexionante total M, que incluye el efecto.
(a)
Figura 13-9
(b)
De la fuerza axial P multiplicada por la deflexión v. El momento total dividido entre EI se podría hacer igual a la expresión para la curvatura exacta, ecuación 11-8. Sin embargo, esta curvatura se considera habitualmente como : es decir, se acepta la expresión M= EIv’’. Esto produce resultados exactos so lo para deflexiones y rotaciones pequeñas, y el aceptar esta aproximación conducirá a deflexiones infinitas en caso de cargas críticas.
/
En consecuencia, utilizando la relación M= EIv’’ y observan do que para el tramo izquierdo del claro M= -(F/2)x – Pv, se tiene
′==−− /2 ′ +=−/2
0≤≤/2
O bien,
=/,
Dividiendo entre y haciendo ecuación diferencial gobernante será.
+=−
)
después de alguna simplificación, ña
0≤≤/2
) (13-17)
La solución homogénea de esta ecuación diferencial tiene la forma bien conocida del movimiento armónico simple; la solución particular es igual al término de la derecha dividido entre . Por consiguiente, la solución completa es
= + cos−/2 Las constantes
′ =0
se deducen de la condición de frontera
condición de simetría
Puesto que
Siendo
. La primera condición da
0 = =0
(13-18)
0 =0
= cos− sen−2
igual a cero, la segunda condición da
y de una
O bien,
′ (2)= cos/2−/2=0 =/[2cos/2] = / −
Sustituyendo esta constante en la ecuación 13-18,
(13-19)
La deflexión máxima ocurre en x = L/2. Por lo tanto, después de algunas simplificaciones,
=[/2tan/2−/2
(13-20)
De esto se puede concluir que el momento máximo absoluto, que ocurre en el punto medio, es
=| 4 − | = tan /2
/2
(13-21)
/2
/2
las expresiones dadas por las ecuaciones 13-19, 13-20 y 13-21 se hacen infinitas si es un múltiplo de , ya que esto hace a cos igual a cero, y a tan , infinita. Enunciado algebraicamente, lo anterior sucede cuando
=√ =
(13-22)
Donde n es un entero, resolviendo esta ecuación para determinar P, se obtiene el valor de esta carga, que causa deflexiones o momento flexionante de magnitud infinita. Esto corresponde a la condición de la fuerza axial critica para esta barra:
=
(13-23)
