4.3. MATEMÁTICA - EXERCÍCIOS PROPOSTOS - VOLUME 4.pdf

MÓDULO 26 SISTEMA NORMAL, REGRA DE CRAMER E ESCALONAMENTO 1. (UFMG)  – Se a inversa da matriz M =

M – 1 =



 – 2

1

3  ––– 2

1  – –– 2



a) (1; 0) d) (1; – 2)

a 3

2 b

 é a matriz

, então a solução (x;y) do sistema linear

 ax3x ++ 2yby == 13

possível e determinado



é

b) (0; – 1) e) (– 1; 2)

c) (1; 1)

RESOLUÇÃO: Senhor professor, utilize este exercício para comentar com os alunos como a teoria de matrizes está ligada à teoria de sistemas.

 ax3x ++ 2yby == 13 a

2 b

3



ax + 2y 3x + by

x

1

X

B

. y = 3 

M

M –1 . M . X = M – 1 . B X=



=

 – 2

1

3  ––– 2

1  – –– 2



1 3

 13 

10 6 8

1 2 3

1  – 2 = 32  – 1

Dy =

1 5 2

10 1 6  – 2 = 48 8  – 1

Dz =

1 5 2

1 2 3

10 6 = 80 8

Regra de Cramer: Dx 32 x = ––– = ––– = 2 D 16 Dy 48 y = ––– = ––– = 3 D 16 Dz 80 z = ––– = ––– = 5 D 16



Resposta: B

M.X=B

X=

 10  , portanto, x = 1 e y = 0.

O par (1;0) é a solução do sistema.

3. Ana, Beatriz e Claudia foram ao shopping fazer compras e quando voltaram reclamaram de terem gasto muito dinheiro. Juntas elas gastaram R$ 210,00. Ana disse a Beatriz “a culpa é sua que gastou o dobro do que gastei”. Beatriz se defendeu dizendo que a culpa foi da Claudia, pois gastou o dobro do que ela, Beatriz havia gasto. Se as informações delas forem corretas, Beatriz gastou a) R$ 30,00 b) R$ 45,00 c) R$ 60,00 d) R$ 80,00 e) R$ 90,00 RESOLUÇÃO: Sendo a, b e c o gasto de cada uma temos, em reais a + b + c = 210 a + b + c = 210 b = 2a 2a – b = 0 c = 2b 2b – c = 0

Resposta: A





Sendo,  1 D= 2 0

1 1  – 1 0 = 1 + 4 + 2 = 7 e 2  – 1

1 2 0

210 1 0 0 = 420, temos que Beatriz gastou 0  – 1

2. Os valores de x, y e z do sistema linear: x + y + z = 10 5x + 2y – 2z = 6 2x + 3y – z = 8

Db =



Db 420 b =  –––– =  –––– = 60 7 D

são tais que x . y . z é igual a: a) 10 b) 30 c) 40

Resposta: C

d) 50

e) 60

RESOLUÇÃO: Professor, utilize este exercício para apresentar a Regra de Cramer (não perca tempo calculando os determinantes). D=

18 –

1 5 2

x . y . z = 30



I . X = M – 1 . B .

Dx =

1 2 3

1  – 2 = 16  – 1