Fatela PREUNIVERSITARIOS
Matemática: Guía Nº 4 “GEOMETRÍA” ÁNGULOS : Un ángulo es un sector o región de plano limitado por dos semirrectas que parten desde un mismo punto llamado vértice.
Semirecta
Ángulo Semirecta
Vértice Según su amplitud los ángulos se clasifican en:
0° 〈 α 〈 90°
α = 90°
α = 0° Nulo
Agudo
90 〈 α 〈 180 ° Obtuso
Recto
α = 180° Llano
Convexos
180 〈 α 〈 360 ° Cóncavo
α = 360° Pleno
Ángulos Opuestos por el Vértice :
α
β
Son de igual amplitud α=β
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 1
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
Complementarios β α
α + β = 90º
Suplementarios α + β = 180º β
α
β α Adyacentes, α + β = 180º
Consecutivos β α
Ángulos entre paralelas
α
Correspondientes
Conjugados
Alternos
Internos
α + β = 180º
Internos α = β α
α= β
β
α
β
β
α
α α + β = 180º
β
Externos α = β
Externos β
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 2
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
TRIÁNGULOS Según sus lados se clasifican en:
Equilátero
Escaleno
Isósceles
Según sus ángulos interiores se clasifican en: hipotenusa cateto cateto Acutángulo Todos sus ángulos son agudos
Rectángulo Un ángulo interior recto
Obtusángulo Un ángulo interior obtuso
Suma de los Angulos Interiores de un Triángulo: En el vértice B : α' + β + γ’ = 180º
B α + β + γ = 180º
γ’
α’ β α
γ
C
A
α’ = α y γ’ = γ (por ser Alternos Internos entre paralelas)
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º En todo triángulo equilátero, además de ser iguales sus tres lados también son iguales sus tres ángulos interiores y por lo tanto igual a 60º cada uno. En todo triángulo isósceles se cumple: MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 3
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
1) Tiene dos lados iguales y uno desigual. 2) Tiene dos ángulos interiores iguales y uno desigual. 3) La altura correspondiente a la base desigual, divide en dos partes iguales a dicha base. 4) Esta altura es también bisectriz del ángulo desigual, o sea que divide en dos partes iguales a dicho ángulo.
α
α α 2 2
b/2 b/2 b
En los triángulos rectángulos se aplica el Teorema de Pitágoras, que dice : “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
a2 = b2 + c2 cateto b
a hipotenusa
Se llaman catetos a los lados que forman el ángulo recto, y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. La hipotenusa es siempre el lado de mayor longitud
cateto c En los triángulos oblicuángulos, que son triángulos cualquiera (no rectángulos) se puede aplicar los teoremas del seno y coseno.
a
γ
b α
β c
Teorema del Seno
sen α sen β sen γ = = a b c
Para que estos Teoremas tengan validez y sean fáciles de recordar, debe llamarse “α” al ángulo opuesto al lado “a”, “β” al ángulo opuesto al lado “b” y “γ” al ángulo opuesto al lado “c”. Teorema del Coseno
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c. cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos γ MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 4
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
PERÍMETROS Y SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS FIGURA
PERÍMETRO
SUPERFICIE
P=l+l+l+l
Sup = l . l
P=4.l
Sup = l2
CUADRADO l
h
RECTÁNGULO
P = b +h +b +h
Sup = b . h P = 2.b + 2.h
b L
l h
TRIÁNGULO
P=b+L+l
Sup =
b.h 2
Sup =
b.h 2
Sup =
b.h 2
b
TRIÁNGULO ISÓSCELES
P=l+l+b
l
l h
P = 2.l + b
b
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
l
h
P=b+h+l b
PARALELOGRAMO
h b
l
P=b+l+b+l
Sup = b . h P = 2.b + 2.l
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 5
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
FIGURA
PERÍMETRO
SUPERFICIE
d P=l+l+l+l D
ROMBO
l
Sup =
D.d 2
Sup =
D.d 2
P=4.l
d l
l P = l + l +L +L
ROMBOIDE
D
P = 2.l + 2.L
L
L
b TRAPECIO
l
L
h
P = B + b + L + l Sup =
(B + b ) 2
.h
B
TRAPECIO ISÓSCELES
b l
P=B+b+l+l h
l
Sup =
(B + b ) .h
Sup =
(B + b ) .h
P = B + b + 2.l
2
B
b TRAPECIO RECTÁNGULO
P=B+b+h+l
h
l
2
B
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 6
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
FIGURA
PERÍMETRO
SUPERFICIE
Sup = π . R2
R
D Sup = π . 2
P=π.D
CÍRCULO P=2.π .R
Sup =
D
2
π . D2 4
l POLÍGONO REGULAR de “n” lados
n . l . Ap 2 P. Ap Sup = 2
Sup = P=n.l Ap
SUPERFICIE Y VOLUMEN DE CUERPOS SUPERFICIE Lateral y total
CUERPO
VOLUMEN
Sup lat= 4 . a2 a
CUBO a
Sup tot = 6 . a
2
Vol = a3
a
Sup lat.= 2.a.c + 2.b.c Paralelepípedo
c a
St = 2ab + 2bc + 2ac
Vol = a.b.c
b
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 7
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
SUPERFICIE Lateral y total
CUERPO
PRISMA RECTO
V = Sup Base . h
h
R
CILINDRO
VOLUMEN
Sl = 2π.R.h h
h
2π.R h R St = 2π.R.h+2π.R2
R
Vol =π. R2. h
St = 2π.R(h+R) Slat = π.R.g g
g
h CONO
2π.R
R St = π.R.g +π.R2
R
ESFERA
PIRÁMIDE
1 Vol = π .R 2 .h 3
St = π.R.(g+R) π.
R
h
Sup = 4.π.R2
4 Vol = π .R 3 3
1 Vol = Sup( base ) .h 3
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 8
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO : RECTAS PARALELAS
RECTAS SECANTES
Rectas Oblicuas R1
Rectas Perpendiculares
Paralelas Disjuntas
Paralelas Coincidentes
R1
R1 R2
R2
R2
R1 ≡ R2
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 9
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
Trabajo Práctico Nº 4: “Cálculos Geométricos” 4.1) Calcular el valor exacto (usando números irracionales cuando corresponda) del perímetro y el área de las siguientes figuras planas. a)
b) 6m
3. 2 cm
2. 8 cm
2m
c)
12 cm
d)
2. 3 m
3 cm
27 cm f)
e)
3 5m
3. 2 cm 2. 5 m
5m
2. 2 cm
h)
g)
18 m
3 cm 9 cm
8m
50 m 8 cm MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 10
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
4.2) Calcular las dimensiones (radio y altura) de un cilindro de 500 cm3, cuya altura es el doble del diámetro. 4.3) ¿Cuál es el radio (en cm) de una esfera cuya capacidad es de 6 800 cm3? 4.4) Se dispone de una pieza metálica de forma cilíndrica con 5 cm de radio y 12 cm de altura. Si dicha pieza se funde para formar una esfera: ¿Cuál será el radio de la esfera que podrá formarse con ese material, si no se pierde nada del mismo? 4.5) ¿Cuál es la superficie de una esfera de 12 cm de diámetro? 4.6) ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya altura es el triple del radio y cuya superficie lateral es de 120 cm2? 4.7) Calcular la superficie de un triángulo isósceles rectángulo cuyo perímetro es igual a 48 m. 4.8) Calcular el volumen de un cono cuya base circular tiene un área de 25 cm2 y cuya altura es cinco veces su diámetro. 4.9) Calcular el volumen de un cilindro cuyo radio es la mitad de la altura, si se sabe que su superficie lateral es de 55 cm2. 4.10) Calcular la generatriz de un cono de 630 cm3 si la razón entre el radio y la altura es 2 : 3. 4.11) ¿Cuál es el volumen de una esfera que tiene una superficie total de 45 cm2? 4.12) ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya superficie total es de 54 cm2? 4.13) Se dispone de un prisma recto con un volumen de 125 cm3. Si la base este prisma es un trapecio cuyas bases miden 8 y 12 cm con una altura de 4 cm: ¿Cuál es la altura del prisma? 4.14) Calcular la superficie de un triángulo isósceles cuya base desigual mide 8 m si su perímetro es de 18 m. 4.15) Calcular la superficie de un octógono regular cuyo perímetro es de 32 cm?
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 11
-12
Fatela PREUNIVERSITARIOS
Resultados del Trabajo Práctico N° 4: "Cálculos Geométricos" S = 6 m2
4.1) a) P = 4 10 m b) P = 14 2 cm
S = 24 cm2
c) P =4 3π m ≅ 21,77m
S = 12 π m2 ≈ 37,70 m2
(
)
15 3 cm2 2
d) P = 3 + 7 3 cm
S=
e) P = 8 2 cm
S = 4 2 cm2
( ) g) P = (10 + 4 13 ) cm h) P = ( 8 2 + 2 10 ) m
S = 30 m2
f) P = 10 + 6 5 m
4.2) r = 3,41 cm
S = 36 cm2 S = 16 m2
h = 13,66 cm
4.3) r = 11,75 cm 4.4) r = 6,08 cm 4.5) r = 452,39 cm2 4.6) Vol = 151,39 cm3 4.7) Sup = 98,83 m2 4.8) Vol = 235,08 cm3 4.9) Vol = 57,53 cm3 4.10) g = 13,29 cm 4.11) Vol = 28,39 cm3 4.12) Vol = 27 cm3 4.13) h = 3,125 cm 4.14) Sup = 12 m2 4.15) Sup = 77,25 cm2
MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 12
-12