Ayudantía/Laboratorio 4 Anisotropías, Anisotropías, validación cruzada y soporte MIN 235 – Geoestadística Rodrigo Estay Huidobro
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Anisotropía Definición Un variograma es isótropo si es idéntico en todas las direcciones del espacio. En caso contrario, existe existe anisotropía, la cual indica que la variable regionalizada posee direcciones preferenciales preferenciales en cuanto a su continuidad espacial.
Identificación Una herramienta para detectar las anisotropías es el mapa variográfico, o sea el mapa de isovalores del variograma experimental en función de la separación (distancia y orientación).
Anisotropía Anisotropía geométrica El mapa variográfico dibuja elipses (2D) o elipsoides (3D). El modelamiento sólo requiere especificar las direcciones principales (ortogonales entre sí) y los alcances correspondientes.
Anisotropía Anisotropía geométrica Ejemplo con anisotropía geométrica Variograma Vertical
l a c i t r e V
Meseta
Variograma Horizontal
Horizontal
Distancia
Anisotropía geométrica: alcances diferentes en direcciones diferentes Explicado por: Dirección de flujo preferencial de los fluidos mineralizantes Depositación en direcciones preferenciales (gradiente en temperatura, pH,…) Muy común en la vertical y común en la horizontal •
•
Anisotropía Anisotropía zonal El mapa variográfico dibuja bandas; se trata de un caso límite de anisotropía geométrica, donde el alcance en una dirección se vuelve muy grande. A la escala de trabajo, la meseta cambia según la dirección.
Anisotropía Anisotropía zonal Ejemplo con anisotropía zonal Meseta
Variograma Vertical
Meseta aparente
l a c i t r e V
Variograma Horizontal
Horizontal
Distancia (h)
Anisotropía zonal: cambio de meseta según la dirección •
Cuando el variograma vertical alcanza una meseta más alta: –
•
Presumiblemente por varianza adicional de la estratificación
Cuando el variograma vertical alcanza una meseta más baja: –
Presumiblemente por una diferencia significativa en el valor promedio en cada zona el variograma horizontal tiene varianza adicional entre zonas
Anisotropía Anisotropías complejas Se obtiene formas más complejas de anisotropía al superponer anisotropías geométricas y/o zonales de orientación y razón diferentes.
Mapa variográfico Esta herramienta consiste en calcular y visualizar el variograma experimental en todas las direcciones del espacio, bajo la forma de un mapa de color. De este modo, se puede distinguir si existe anisotropía y calcular el variograma a lo largo de las direcciones principales de anisotropía.
Reglas de ajuste
Ejercicio
Proponer un modelo para el siguiente variograma, suponiendo que las direcciones principales corresponden a los ejes de coordenada
Reglas de ajuste
Regla:
1) Determinar el efecto pepita 2) Determinar los alcances y mesetas en cada dirección 3) Determinar la cantidad y los tipos de modelos que se anidarán para el ajuste
Reglas de ajuste Empezamos con un efecto pepita de amplitud (meseta) 0.1 Luego se agrega una estructura (exponencial) que llega a la primera meseta, con alcances propios a cada dirección
g(h)
= 0.1 pepa
+ 0.9 exp(200m,120m,50m) + 0.3 exp(,120m,50m) + 0.2 exp(,,50m)
Luego se agrega una segunda estructura para llegar a la segunda meseta, dejando infinito el alcance en la dirección 1 Finalmente se agrega una tercera estructura para llegar a la meseta total, dejando infinitos los alcances en las direcciones 1 y 2 La suma de las mesetas de los modelos anidados vale: 0.1 + 0.9 + 0.3 + 0.2 = 1.5 = meseta total
Consideraciones prácticas • Generalmente, se busca modelar anisotropías sencillas, con 2 ó 3 direcciones principales ortogonales entre sí buscar
la elipse o el elipsoide que mejor se acerca al mapa variográfico • El variograma experimental es poco confiable para las distancias grandes (superiores a la mitad del diámetro del campo). • La meseta del variograma (varianza teórica) puede diferir de la varianza del histograma (varianza empírica).
Consideraciones prácticas • Se debe prestar atención a la representatividad de los puntos experimentales, a la información disponible sobre la variable regionalizada y a la escala de trabajo. • Las distancias pequeñas son las más importantes. describen son
la continuidad a pequeña escala.
cruciales para la interpolación a partir de los datos cercanos.
• Desconfiar de los procedimientos de ajuste automáticos
variográfico debe ser un trabajo interactivo , donde el usuario tiene la palabra final.
el análisis
• No existe un modelo único.
Validación cruzada Objetivos • validar el modelo teórico de variograma • comparar la calidad de varios modelos posibles
• validar los parámetros del kriging (“plan” o vecindad de kriging)
El kriging es un método que permite estimar el valor de una variable con un promedio ponderado de los valores de los datos vecinos. La ponderación óptima depende del modelo de variograma. Como resultado, el kriging también entrega la desviación estándar del error, que mide la amplitud potencial de éste.
Validación cruzada Procedimiento • estimar sucesivamente por kriging cada dato, considerando solamente los datos restantes • calcular el error de estimación (valor estimado menos valor real) cometido en cada sitio con dato • estudiar la calidad de los errores de estimación por medio de herramientas estadísticas y gráficas. Se puede complementar con el estudio de errores estandarizados (es decir, los errores divididos por su desviación estándar calculada por el kriging).
Validación cruzada Factores a considerar para la validación del modelo • medias de los errores y de los errores estandarizados
deben ser cercanas a cero estimador insesgado • varianza de los errores
debe ser la más pequeña posible estimador preciso • varianza de los errores estandarizados
debe ser cercana a 1 el
variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre
• nube de dispersión entre valores reales y estimados
la regresión debe acercarse a la diagonal insesgo condicional
Validación cruzada ¿Qué implica tener sesgo condicional? Supongamos que se produce sesgo condicional al momento del control de leyes (selección entre mineral y estéril)
botadero
Centro de gravedad de la nube en la diagonal: la ley media estimada es igual a la ley media verdadera.
Centro de gravedad sobre la diagonal: la ley media estimada es menor que la ley verdadera. ley de corte
Validación cruzada ¿Qué implica tener sesgo condicional? Supongamos que se produce sesgo condicional al momento del control de leyes (selección entre mineral y estéril)
planta
Centro de gravedad bajo la diagonal: la ley media estimada es mayor que la ley verdadera. ley de corte
Validación cruzada Estudio del insesgo condicional Comparar las leyes promedio reales y estimadas al seleccionar los datos cuyos valores estimados superan una ley de corte Ley de corte [%Cu]
Media efectiva
Media estimada
0.00
1.054
1.056
0.20
1.054
1.056
0.40
1.092
1.094
0.60
1.182
1.186
0.80
1.299
1.301
1.00
1.446
1.451
1.20
1.628
1.629
1.40
1.849
1.846
1.60
2.043
2.046
1.80
2.325
2.295
2.00
2.608
2.563
2.20
2.996
2.922
2.40
3.301
3.123
2.60
3.746
3.490
2.80
3.970
3.657
Validación cruzada Jack-knife Una técnica similar a la validación cruzada es el llamado “ jack-knife”, el cual no considera una reposición de los datos: se divide los datos en dos sub-conjuntos y se estima los datos del primer sub-conjunto a partir de los datos del segundo sub-conjunto.
Aditividad Se dice que una variable regionalizada es aditiva cuando el valor de un soporte grande (“bloque”) es el promedio aritmético o la suma de los valores “puntuales” dentro del bloque. Esta propiedad permite que se realice un cambio de soporte.
Ejemplos • potencia, acumulación • ley?
Contra-ejemplos • razón de solubilidad, recuperación metalúrgica • pH • permeabilidad de la roca • código de tipo de roca
Efecto soporte Definición •
SOPORTE: El soporte es el volumen sobre el cual se mide o se considera la variable en estudio (testigo, compósito, pozo de tronadura, unidad selectiva de explotación o “bloque”).
•
CAMBIO DE SOPORTE o REGULARIZACIÓN: La variable regularizada sobre el bloque V, denotada como Z(V), se define como el promedio de los valores puntuales en V: 1 Z(V) Z(u)du V V
en donde |V| representa el volumen del bloque V •
Requisito: que la variable sea aditiva
Efecto de soporte
Media: 201
Media: 201
Var: 27.334
Var: 16.604
Efecto de soporte en histograma El soporte tiene impacto en la cantidad de recursos recuperables sobre una determinada ley de corte, luego en la selectividad de la explotación
Efecto de soporte en histograma El soporte tiene impacto en la cantidad de días de alerta ambiental (> 195 mg/m 3), pre-emergencia (> 240 mg/m3) y emergencia (> 330 mg/m 3)
Efecto de soporte en mapa Banco de una faena a rajo abierto conocido completamente, con altura de banco 12m. La variable considerada es la ley de cobre. soporte 1m × 1m
soporte 5m × 5m
soporte 25m × 25m
Efecto de soporte en variograma Cambio en el variograma: El paso de un soporte pequeño a un soporte mayor es una operación reguladora ( “suavizamiento ” de los mapas).
Compósitos Para su estudio geoestadístico, un mismo conjunto de datos no debería contener muestras de soporte distinto. En caso de datos a lo largo de sondajes, se puede llevar las muestras a compósitos de la misma longitud que se pueden agrupar en el estudio geoestadístico. Mientras más largo el compósito, menos dispersos son los valores (efecto de soporte).
muestras originales con su ley de cobre
compósitos de igual soporte
