3.geometría 5to

I.E.P.

Rafael Mariscal Quintanilla

Geometría

Geometría 5to Secundaria

17

Capítulo:

Círculo

Áreas de Regiones Circulares Trapecio T rapecio Circular

Demostración: Por ser semejantes S1 AB2 S2 BC2 S2 = AC2 ∧ S = AC2 Sumando: S1+S2 AB2+BC2 = S AC2 Pero: AB2+BC2=AC2 S1+S2 AC2 = 2 =1 AC S ∴ S1+S2=S

A

A R

r α R

A : área R : radio

α.π. A= 360° (R 2-r2)

A= πR 2

Sector Circular

Segmento Circular A

A R

R A

α

R

B

α

Lúnulas de Hipócrates

R

O

2. B

R

R

S1

.π.R A= α360°

2

A=A(sector AOB)-A(∆ AOB) 2 A= 360° - R 2 senα

r R

A= π(R 2-r2)

1. En todo triángulo rectángulo la 1. suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos, es igual al área de la gura

semejante construida sobre la hipotenusa. B S1

S C

S1+S2=S

Propiedades A

M

A

απR 2

Corona Circular

S2 N L

Demostración: Por la propiedad anterior: (S1+M)+(S2+N)=S+M+N S1+S2=S 3.

B y A

S2

C x

A

S S1+S2=S 107

C SABC=x- y


2)

Demostración: B

En la figura se muestra dos semicircunferencias concéntricas en el punto O. Calcula Sx si S=2m2 y AC=OC.

y Z

A P

W

4)

Sx

C

S

Q A

(Z+y+P)+(y+W+Q)=P+Q+x y+Z+W=x-y ⇒ SABC=x-y

C

O

B

C

S2

Sx

P S

A r

D

Resolución: B

C

S2 r 2r

S

2r

2r

r

C r O r D

r B

S son semejantes, siendo PO y TO los lados homólogos. 2

⇒

S1+S=

2

2

Sx = TO = 2r =4 S PO r

( ) ( )

Rpta.: 8 m2

sombreada, en función del radio R del semicírculo mayor si ABCD es un cuadrado y en él se inscribe la semicircunferencia de menor radio. Además O es centro de las semicircunferencias. B

A

5

54°

T 54°

S1 72°

O

5

B

Se observa que PB//QO ⇒ S OTB = S PT Q (OQPB trapecio) Sx=SPTQ+STPB+S1 Sx=SOTB+STPB+S1 (sector circular OPB) 72°π(5)2 Sx= =5π 360°

Rpta: 5π u2

C S

D

R A

2

B

(1)-(2): S1-S2= 3 πr2 2 2 12 = πr .........................................(3) 3 2 (2)=(3) ⇒ S+S2=4

O

D

r r r 5

Nivel I 1) El área del círculo mostrado es 64π u2. Calcula el radio “R”.

Resolución:

S2+S= πr ....................................(2) 2

Rpta.: 4 m

Q

r

=2πR 2 ...................(1)

2

B

P

108°

Se observa que las guras de áreas S x y

Se observa que AD=2CD π(2R)2

O

Resolución:

3) Determina el área área de la supercie supercie

A

Q A

⇒ Sx=4S=8 m2

S1

B

T

1) En el gráco mostrado, ABCD es un

rectángulo. Si S1-S2=12 m2, halla el área de la semicircunferencia menor.

D

Resolución:

2r

A

Si mAP=108°,AQ=QP y AB=10u, calcula el área de la región sombreada. P

x

S1

2 2 Pero: r 5=R ⇒ r = R 2 10 2 R R 2 ∴ S= (8-π) Rpta.: (8-π)u2 10 10

C R

r A r O r D

S ABCD=4r2 πr2 S = 2 2 r S= (8-π) 2

R

a) 2 u d) 8 u 108

b) 4 u e) 10 u

c) 6 u


2) Calcul Calculaa “A-B”. B

6) Halla el área de de la región sombreada si el triángulo ABC es equilátero de lado 4 y “M”, “N” y “P” son puntos medios.

4u

8u 30° 8u

A

120°

10) Halla “r” si S1+S2=16π u2.

r

S1

B

r

4u

O M

N

a) 32π u2 b) 64π u2 c) 0 d) 16π u2 e) 8π u2

a) 4 u b) 8 u c) 2 u d) 2 2 u e) 4 2 u A

3) Calcula el área de la región sombreada.

P

a) 3-π b) 2 3-π c) 4 3-π

A

C

d) 2 3-2π e) 4 3-2π

4m

a) 4(π-2) m2 b) (4π-2) m2 c) (8π-4) m2

B

B

D

a) (π - 2) u2 b) (π +2) u2 c) 2(π-2) u2

d) 2(π-1) u2 e) 2(π+2) u2

5) Si el lado del cuadrado ABCD es 6, calcula el área de la región sombreada (A y D: centros). B

C

O

60° R B

a) 2πu2 d) 6πu2 A

D

a) 9π m2 b) 9 m2 c) 12π m2 d) 12 m2 e) 8π m2

C

A

R

C

d) 2(π-4) m2 e) (π-1) m2

4) Halla el área sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide 2u. B

11) Halla el área de un círculo inscrito en el sector circular mostrado si R=6. A

7) En la gura se pide calcular el área de la región sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide 6m.

4m

O

S2

8) En un trapecio rectángulo el perímetro es 18 u y el lado mayor no paralelo es 7 u. Entonces el área del círculo inscrito en el trapecio es: a) 2π u2 b) π u2 c) π/2 u2 d) 4π u2 e) 3π/2 u2 9) Halla el área sombreada si AO=OB=10, además PRQS es un cuadrado.

P

Q

R

b) 3πu2 e) 9πu2

c) 4πu2

12) Halla el área de la corona circular mostrada si AB=2 m. (T: punto de tangencia) T

A

B

a) πm2 b) 2πm2 c) 3πm2 d) 4πm2 e) 6πm2 13) Calcula el área de la corona circular sabiendo que AB=12 y CD=8. A

C D

A

a) π cm2 b) 2π cm2 c) 3π cm2

D

d) 4π cm2 e) 5π cm2

A

P

O

S

B

a) (5π-8)u2 d) 10(5π-4)u2 b) (10π-80)u2 e) N.A. c) 10(5π-8)u2 109

B a) 8πu2 b) 16πu2 c) 20πu2 d) 24πu2 e) 25πu2


14) En la gura, halla “S2-S1” si el lado del cuadrado ABCD es igual a 4cm. B

17) Si AO=OB, calcula x/y. A

C y

45°

x

S2 O A

D

a) (3π-8)cm d) 2(3π+4)cm b) 2(3π-8)cm2 e) N.A. c) 2(3π-4)cm2 2

2

15) Halla el área Sx si: S1+S2+S3=100u2. B S1

a) 1/2 d) 3/4

b) 2/3 e) 4/5

O

B

a) (π-1)m2 d) (π+2) m2 b) (π+1) m2 e) (2π-1) m2 c) (π-2)m2

c) 1

18) Calcula el área de la región sombreada si AO=OB y R=2.

22) Calcula el área de la región sombreada.

A 2

Sx

R

S3

O D

a) 50 u b) 100 u c) 80 u d) 120 u2 e) 200 u2 2

2

2

Nivel II 16) Halla el área sombreada si el lado del cuadrado ABCD es igual a 4cm.

2

B

a) π(2 2-1) u2 d) π(4 2-3) u2 b) π( 2-1) u2 e) N.A. c) π(3 2-1) u2 19) Determina el área área de de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 4u. B

C

C

A A

A

B

C

S2 A

D

C

S1

B

21) En la figura, calcula el área de la región sombreada si AO=OB=2m.

D

a) (π-2) cm2 d) 2(π+2) cm2 b) (π+2) cm2 e) N.A. c) 2(π-2) cm2

D

a) (16π-9) u2 d) (16-5π) u2 b) (32-9π)/2 u2 e) N.A. c) (32-9π) u2 20) En la fgura, halla el área de la región sombreada si AP=3 y QC=4.

a) (π+2)u2 d) (3π+4)u2 b) (π+4)u2 e) π u2 c) (2π+4)u2 23) En una circunferencia de radio 2 se trazan los diámetros perpendiculares perpendicula res AB y CD; además la tangente en A a la circunferencia corta en F a la prolongación de BC. Calcula el área de la región limitada por el arco AC, AF y FC. a) (4-π)u2 b) (3-π)u2 c) (3+π)u2

d) (4+π)u2 e) (6-π)u2

24) Calcula el área de la región sombreada si AOB es un cuadrante y DH=4. A D

B P

Q

A

C

a) 2 3 u2 b) 12 u2 c) 24 u2 d) 4 3 u2 e) 18 u2 110

O

30°

H

B

a) 16(π-1)u2 d) 32(π-1)u2 b) 16πu2 e) πu2 c) 32πu2


25) Calcula el área de la corona circular formada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero de lado 6 3.

29) Calcula “S1-S2”.

32) En el gráco, halla el área de la región sombreada en función de R si α=30°, P es punto de tangencia y ACB es un sector circular (O:centro).

C A S2

a) 20πu2 b) 24πu2 c) 27πu2 d) 28πu2 e) 30πu2

4

26) En la gura AOB es un cuadrante y además AM=MO=3m. Halla el área sombreada.

A

6

S1

P

O

4

B

C

A

M

a) 6(π-3)u2 d) 4(π-1)u2 b) 12(π-3)u2 e) 4(π-3)u2 c) 8(π-3)u2

F

O

B

a) 3(4π-3 3)m2 d) 9(4π-3 3) 3)m m2 2 b) 3(4π-2 3)m2 e) 3(2π- 3) 3)m m2 c) 4π-3 3m2 27) ABCD es un romboide, calcula el área de la región sombreada si E y F son puntos medios de BC B C y AD. B

E

30) La figura muestra un círculo donde AB y CD son dos diámetros perpendiculares. Calcula el área de la región sombreada si AB=2. C

O

B

a) R 2(5π-6) d) R 2 (5π-6 3) 12 6 b) R 2(5π+6 3) e) R 2 (5π-6 3) 12 12 c) R 2(5π+6 3) 6 33) Si ABCD es un rectángulo donde CD=2 3u y AD=2 AD=2 u, calcula el área de la región sombreada. (A:centro del cuadrante DAP) A

P

B

B

A

C 12 F

D

D

60° A

R

α

D

a) 48( 3-1)u2 d) 32(3 3-π)u2 b) 48(3 3-π)u2 e) 64(3 3-π)u2 c) 36(3 3-π)u2 28) Tres circunferencias congruentes de radio igual a 1cm son tangentes exteriormente dos a dos. Calcula el área del triángulo curvilíneo comprendido entre ellas. a)( 3-π/2)cm2 d)( 3+π/4)cm2 b)( 3+π/2)cm e)(2 3-π/2)cm2 c)( 3-π/4)cm2

a) (π-2)u2 b) 2(π-2)u2 c) (π-1)u2

C

a) (2+π)u2 b) (2-π/4)u2 c) (2-π/2)u2

d) 2(π-1)u2 e) (2π- 2)u2

d) (2-π/3)u2 e) (2+π/2)u2

34) En la gura, calcula el área de la región sombreada si CD=L.

Nivel III

B

C

31) Un círculo y un cuadrado tienen igual perímetro, entonces: a) El área del círculo es el doble del área del cuadrado. b) El área del cuadrado es mayor. c) El área del círculo es mayor, pero no llega al doble de la del cuadrado. d) Tienen igual área. e) No se pueden comparar sus áreas. 111

L 60° A

L

D

a) L2 3 3 - π d) L2 3 3- π 8 6 6 b) L2 3 3 - π e) L2 2 3- π 2 2 6 c) L2 3 3- π 3

( ( (

) ) )

( (

) )


35) Se tiene tiene un cuadrado ABCD de lado 4cm. Calcula el área del círculo limitado por la circunferencia que contiene al punto medio de AB, al centro del cuadrado y al vértice C.

42) Calcula el área de la región sombreada si AO=OB= 6, además m AOM=m NOB=15°. M

a) 4πcm2 b) 5πcm2 c) 8πcm2 d) 10πcm2 e) 12πcm2 36) En la gura se pide el área de la región sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide 4u. B

A

N

39) En la gura, calcula el área del sector circular sombreado si AC x AG=60 y m AGB=63°.

B

a) (π- 2)u2 b) (π- 3)u2 c) (π+ 2)u2

A

C 63°

O

G

d) (π- 5)u2 e) (π+ 3)u2

43) En la gura mostrada, calcula el área de la región sombreada. B A

D

a) 2(π-3)u2 b) 2(π-6)u2 c) 3(2-π)u2

d) 3(π-2)u2 e) N.A.

37) En la gura si “O” y “O1” son centros, calcula el área de la región sombreada, además R=2.

C

a) 9πu2 d) 6πu2

b) 12πu2 c) 3πu2 e) 15πu2

a

40) En la gura se tiene un círculo, un semicírculo y un cuadrante. Halla el área del círculo si la suma de las áreas sombreadas es 48u 2.

a

a) a2 (3π-2) 12 b) a2 (3π-2) 24 c) a2(3π-4) 12

A

R O

a) (π-1)u2 b) (π-2)u2 c) (π-4)u2

O1

O

d) π u2 e) 2π u2

38) Calcula el área de la región sombreada si CF=6.

a) 36u2 d) 42u2

D

b) 24u2 e) 32u2

N

41) La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculo. Si AM=MO=2 3, halla el área de la región sombreada. A

a) 9πu2 d) 6πu2

B

b) 18πu2 c) 12πu2 e) 20πu2

P

A

M

O

Q B

a) 16 u2 b) 18 u2 c) 24 u2 d) 36 u2 e) 32 u2

M

F

44) Calcula el área de la región sombreada MNPQ si MQ=8 u y mNP=90°.

c) 48u2

C

A

d) a2 (3π-4) 24 e) a2 (2π-1) 24

N

O

B

a) (5π-6 3)u2 d) (4π+ 3)u2 b) (5π+6 3)u2 e) (10π-3 3)u2 c) (4π- 3)u2 112


45) En la figura se tiene un 45) cuadrado de lado 2m. Calcula el área sombreada (O:centro del cuadrado). B

48) Halla el área de la región sombreada si AB=4 y BC=6. (A,B y C: puntos de tangencia)

C A

C

B

O

A

a) 15π d) 18π

D

a) (2 2+1-π)m2 b) (2 2-π)m2 c) (3 2-π)m2 d) (4 2-π-2)m2 e) (4 2-π)m2

b) 16π e) 19π

c) 17π

49) Halla el área de la región sombreada donde los lados del cuadrado ABCD son diámetros de los semicírculos, además AB=6.

46) En la gura AM=MC, halla el área de la región sombreada si el diámetro AB mide 20u.

B

C

A

D

Se dedicó al estudio de la geometría tras arruinarse por un fraude en Bizancio. Según Proclo escribió unos Elementos de Geometría que se perdieron, como todo lo escrito en este siglo. En una obra de Simplicio ( siglo VI d.C.) que dice haberla copiado de la Historia de las Matemáticas de Eudemo (también perdida) se encuentra la descripción de la cuadratura de

C M 18°

A

O

B

a) πu b) 2πu c) 5πu 2 d) 10πu e) 20πu2 2

2

2

47) Halla el área del hexágono regular ABCDEF si el área sombreada limitada por el círculo y los semicí semicírculos rculos es igual a 10 u2. B A

C

F

D

a) (15π-6 3)u2 b) (15π-18 3)u2 c) (6π-15 3)u2 d) (6π+15 3)u2 e) (5π-6 3)u2

las lúnulas de Hipócrates (gura

50) En la figura, AC y BD son diámetros perpendiculares del círculo mayor cuyo radio mide 5m. Halla el área de la región sombreada siendo AB, BC, CD y AD diámetros de los círculos menores. B

E

a) 20u2 d) 10u2

b) 12u2 e) 18u2

c) 15u2 A

C

D

a) 20πm2 b) 30πm2 c) 24πm2 d) 15πm2 e) 25πm2 113

Hipócrates de Quíos

curva limitada por dos arcos de circunferencia de distintos radios) y el siguiente teorema: “Segmentos semejantes de círculos están entre sí en la misma razón que los cuadrados construidos sobre sus bases”.


Capítulo:

18

Nociones Básicas de la Geometría del Espacio

Introducción

B L

Hasta el momento conocemos guras geométricas ubicadas sólo en un plano,

tales como el triángulo, el cuadrilátero, el círculo, etc. Sin embargo, en nuestra vida cotidiana observamos que en nuestro entorno existen objetos que no están

P

ubicados en un solo plano; tales como una caja, una columna, un edicio, etc.

Notación.- Plano P: P

Esto nos hace ver la necesidad de analizar la forma y extensión de los objetos ubicados en el espacio, lo cual se puede hacer representán representándolos dolos mediante guras

geométricas espaciales denominados ‘‘sólidos geométricos’’, para esto también será necesario tener un manejo adecuado de las rectas, planos, ángulos diedros, etc., y sobre todo paciencia, orden y perseverancia por parte del alumnado.

Determinación de un plano Un plano ‘‘P’’ queda determinado por uno de los cuatro casos.

1. Teorema Tres puntos no colinea les determinan un plano. Figura en el plano P

Figura en el espacio P

B

Conceptos previos A) PUNTO

B) RECTA

Representación gráfica de un punto.

Representación gráfica de una recta. L

P

Notación.- Recta L: L A Notación.- Punto A

B A

C) PLANO

C

A

Notación.- Segmento de recta AB o AB

Si A, B y C son puntos no colineales. A, B y C determinan el plano P. P.



2. Teorema Una recta y un punto, que no pertenece a ella, determinan un plano.

Se denomina supercie plana pla na o plano a una supercie tal que la recta que une a dos puntos cualesquiera tiene todos sus otros puntos en la misma supercie.

Todo plano se supone de extensión ilimitada. La mayor parte de los objetos planos que observamos son porciones de plano de forma rectangular; por esta

A

L

P

razón y ante la imposibilidad de representar los planos indenidos adoptaremos

la representación convencional por regiones paralelográmicas que es el aspecto que tiene aproximadamente los rectángulos vistos en perspectiva desde cierta distancia. 114

Si A ∉ L 

A y L determin determinan an al plano P. P.


3. Teorema

Punto M : Pie de la recta secante

Dos rectas secantes determinan un plano. L1

Q

L

⇒ L y Arista P

Si

L1 y L2 determinan al plano P. ⇒

4. Teorema Dos rectas paralelas determinan un plano. L1

P∩

Q=L

P

L1 y L2 determinan al plano P.

Dos planos son paralelos o paralelos entre sí, cuando no tienen un punto en común, es decir, no se intersecan.

P

Si L ∩

Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.

P

⇒ L //

Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicha recta está contenida en dicho plano. Si A ∈ P y B ∈ P ⇒

P

El Dato

A Observación

P

P=∅

B

L

Posiciones Relativas de dos planos A. Planos Paralelos Paralelos

L

Posiciones Relativas de una Recta y un Plano

Si L1 // L2 

Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.

P y Q son secantes.

1. Recta contenida en un plano L2

P : Secantes

3. Recta paralela a un plano

Si L1 ∩ L2 = {Q} 

P = {M}

Q

L2

P

Si L ∩

Dos rectas son no coplanares si no son paralelas ni secantes.

POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO ES PACIO 1. Rectas Secantes

L⊂ P

a

b

P

2. Recta secante al plano Q

Si

P∩ Q=∅ ⇒ P // Q ∅ : Vacío o Nulo

Una recta se denomina secante a un plano, si sólo tiene un punto en común con el plano, al cual se le denomina punto de intersección o traza de la recta sobre el plano.

a y b son secantes y pertenecen al plano P.

2. Rectas Paralelas

L

B. Planos Secantes Son dos planos que tienen una recta en común denominada arista o traza de un plano sobre el otro.

P

M P

115

n

m

m y n son paralelas y pertenecen al plano P.


3. R e c t a s C r u z a d a s Alabeadas

o ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS RECTAS ALABEADAS Es el ángulo determinado por dos rayos respectivamente paralelos a las rectas dadas y cuyo origen es un punto cualquiera en el espacio.

a P

A

d

O

m

b

Q

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en dicho plano.

Por un punto de una de ellas se traza traza una recta paralela paralela a la otra otra determinandose determinandose así el ángulo que se busca. l

Si n // m

n

q



P

P

P

Si a ⊥ L1 y L2 → a ⊥ al plano P.

“q” es el ángulo entre m y n

OTRA FORMA

m L2



P

a L1

Si OA // m y OB // n

n

a∈ P b ∈ Q “d” : distancia entre a y b

Recta perpendicular a un plano

B

q

“q” es el ángulo entre l y n

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA RECTA Y UN PLANO Es el ángulo formado por la proyección ortogonal de la recta respecto al plano.

Observación

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

T e o r e m a d e l a s t r e s perpendiculares a

A

l

Si AH ⊥ P α



H

P

“α” es el ángulo entre l y el

TEOREMA DE TALES TALES EN EL ESPACIO

F

Si H

A b

Q

E

Si se cumple: a ⊥ plano Q b está contenida en el plano Q HE ⊥ b “F” es un punto cualquiera de a. 

D

P

Q

R

P // Q // R →

B

E

C

F

EF ⊥ b 116

AB = DE BC EF

P


AF ∆ ABC ⇒ AF ⊥ AM FAM rectángulo: AM = l ∴ FAM notable: x = 30° ∴

En una circunferen circunferencia cia de diámetro AB; se traza AF perpendicular al plano de la circunferencia. Si la cuerda BC de la circunferencia mide 6 m y AF = 8 m, calcula la longitud del segmento que une el punto medio de AB con el punto medio de FC.

1)

Resolución:

Rpta.: 30 3)

Se tienen los cuadrados ABCD y AB E F u b i c a d o s e n p l a n o s perpendiculares. Calcula la distancia entre los puntos medios de AD y MC (M punto medio de EF) si AB = 4 u.

∴

3l2 ⇒ l = 2 2

2pABCD = 4 2 u Rpta.: 4 2 u

E M Q

F 8

H

2

A

x

4

B

O

3

6

C

Si AF ⊥ C ⇒ AF ⊥ AC AB diámetro ⇒ m ACB = 90° MH // AF ⇒ MH ⊥ C ⇒ MH ⊥ HO Pero: AH = HC y MH = FA/2 = 4 (T.. Puntos medios) (T En ACB: AO = OB ∧ AH = HC ⇒ HO = 6/2 = 3 En

4

C

M

A

MHO:

x2 = 32 + 42 ⇒

x=5 Rpta.: 5

N P

2

B

2

Nivel I

2

H

3

C 4

D

2

MN // AF ⇒ MN ⊥ AB; MN ⊥ ABCD ⇒ MN ⊥ NC En MNC: QH // MN ⇒ Q QH H ⊥ NC NC;; QH = MN/2 ⇒ QH = 2; NH = HC (Teorema puntos medios) ⇒ En el trapecio DANC: PH es mediana ⇒ PH =

4+2 ⇒ PH = 3 2

Como QH // MN ⇒ QH ⊥ ABCD ⇒ QH ⊥ PH ∴ PHQ:

Por el vértice A de un triángulo equilátero ABC se traza AF perpendicular al plano del triángulo, además 2 AF = AB. Calcula el ángulo que forma FM con el plano del triángulo si “M” es punto medio de BC.

2)

⇒ 3 =

Resolución:

F

∴

3

Si ABCD ⊥ ABMN ⇒ CB ⊥ BO Si AB = l ⇒ OB = l 2/2; BC = l CBO: (OC)2 = (BC)2 + (BO)2 ( 3)2 = l2+ (l 2/2)2

Resolución:

T. Pitágoras: x2 = 32 + 22 ⇒ x = 13 Rpta.: 13 u 4)

Los cuadrados cuadrados ABCD y ABMN ABMN se encuentran en planos perpendiculares, siendo “O” centro del cuadrado ABMN. Calcula el perímetro de ABCD si CO = 3 u.

Resolución:

F

C

B l

l

l

x

A

D

M

3 B

M

l

2l C

A

O

117

l

N

1) Indica verdadero (V) o falso (F). según corresponda: I. Una recta y un punto, que no pertenece a ella, determinan un plano. ( ) II. Dos rectas secantes no forman un plano. ( ) III. Dos rec tas par ale las determinan un plano. ( ) a) VFV d) FFF

b) VVV c) FVF e) VFF

2) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Tres pun tos cual quie ra determinan un plano. ( ) II. Una recta y un punto determinan un plano. ( ) III. Dos puntos no colineales forman un plano. ( ) a) VVV b) VFF d) FVV e) VFV

c) FFF

3) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La intersección de un plano y u n a e s f e r a n o s d a u n círculo. ( ) II. Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano. ( ) III. Todo Todo plano tiene porciones limitadas. ( ) a) VFV b) FFV d) VVV e) VVF

c) VFF


4) Calcula el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio. a) 4 d) 10

b) 6 e) 15

c) 8

5) ¿Cuántos planos como máximo forman 6 rectas paralelas? a) 1 d) 20

b) 10 e) 25

b) 11 e) 15

a) L2 d) L2/4

b) 2L2 e) L2/6

a) 2 u b) 2 2 u c) 2 u d) 3 2 u e) 5 2 u 8) Calcula la proyección de AB sobre el plano ‘‘P’’ si ‘‘A’’ pertenece al plano ‘‘P’’, AB = 50 y BH = 48.

B 11) Si OA es perpendicular al plano “P”, OA = 5, r = 2 y “T” es punto de tangencia. Halla AM si TM = 8. A

L

P

a) 9 d) 95

r O T b) 12 e) 97

M c) 93

12) En el gráfico “A “A”, “B” y “C” pertenecen al plano “Q”. Si PA, PB y PC forman en el plano ángulos de 45°, 30° y 53°, además PC = 15, calcula cal cula PA/PB. P

A

H c) 16

a) 2 d) 3/4

B

D

a) a2 2 /2 b) a2 2 /4 c) a2/4

d) 3 a2/8 e) a2 2

14) Si AB y CD son dos segmentos ortogonales que miden 6 y 8 cm respectivamente, calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de AD y BC. B C. A D B C

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

15) En la gura se muestra un cubo. Calcula la medida del ángulo que forman PQ y MN.

Q

N M

b) 24 u e) 10 u

c) 5

N

Q

C a) 12 u d) 26 u

C

b) 2 /2 c) 2 /4 e) 5/6

9) Calcula la proyección de AC sobre el plano ‘‘Q’’ si ‘‘B’’ pertenece al plano ‘‘Q’’, AN = 4 u, MC = 6 u y AC = 26 u. A M

A

Q

P

b) 14 e) 24

B

C M

P

B

a) 7 d) 18

F

c) L2/2

c) 12

7) Se tiene dos cuadrados ABCD y AB ABEF EF ub ubic icad ados os en pl plan anos os perpendiculares y cuyos centros son P y Q, respectivamente. Calcula la distancia PQ si AB = 4 u.

A

13) En el gráco, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si AB = BF = BC = a y “M” es punto medio de CD. Halla el área de la región sombreada.

c) 15

6) Con “K” rectas paralelas se determinan 66 planos como máximo. Halla “K”. a) 10 d) 13

10) Sea ABC un triángulo equilátero de lado “L”, por “B” se levanta la perpendicular BT al plano del triángulo tal que BT = L/2. Calcula el área de la región triangular ATC.

a) 45° d) 30°

c) 13 u

118

P b) 60° e) 120°

c) 90°


Nivel II 16) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: -

-

-

Tres puntos determinan siempre un plano. ( ) Dos rectas determinan siempre un plano. ( ) Un plano queda determinad determinadoo cuando una recta se desplaza paralelamente a sí misma. ( )

a) VVV b) VVF d) FVF e) FFF

c) FFV

17) ¿Cuántos planos como máximo determinan 8 puntos no colineales en el espacio? a) 28 d) 56

b) 20 e) 60

c) 36

18) ¿Cuántos planos como máximo determinan 10 rectas paralelas en el espacio? a) 45 d) 96

b) 90 e) 68

c) 120

19) La distancia de un punto “A “A” a otro “B” contenido en un plano “P” es 8 m. La distancia de “A” al plano “P” es 5 m. Halla la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano “P”. a) 4 m b) 3 m d) 39 m e) N.A.

c) 37 m

21) En la figura, A'B' A'B' = 12 12 y la diferencia de las distancias de B y A al plano P es 5. Halla AB. B A A'

B'

a) 2 6 u b) 3 5 u c) 4 6 u d) 2 7 u e) 5 3 u

a) 9 m b) 10 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m

P

a) 10 d) 13

b) 11 e) 15

c) 12

22) Se tiene un plano Q, un 22) segmento de recta AB de 8 m situado en el plano y un punto ‘‘P’’ que dista 12 m del plano. Halla la distancia de AB al pie de la distancia de “P” al plano “Q” si AP = BP = 13 m. a) 2 m d) 5 m

b) 3 m c) 4 m e) 5,2 m

23) La recta L es la intersección de 2 planos X e Y perpendiculares entre sí; además L es paralelo a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre R y L es 8 m y entre L y S es 15 m, calcula la distancia entre R y S.

27) Se traza PQ perpendicular a un plano “H” (“Q” en el plano “H”). Haciendo centro en “Q” se traza una circunferencia de radio 9 m; y por un punto “B” de ésta se traza la tangente BC que mide 8 m. Calcula PC si PQ = 12 m.

a) 15 m b) 17 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m

28) En un plano se ubican los puntos A y B, exterior al plano se ubica el punto P de modo que AP y BP forman ángulos que miden 30° y 45° con dicho plano. Si AP = 4, calcula BP. a) 2 d) 3 2

b) 3 e) 4

c) 2 2

a) 10 m b) 12 m c) 15 m d) 17 m e) 19 m 24) Calcula la longitud de un segmento exterior a un plano sabiendo que su proyección sobre el plano mide 15 cm y las distancias de sus extremos al plano se diferencian en 8 cm. a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cm d) 20 cm e) 23 cm

20) Si la distancia de un punto a un plano “Q” es 6 u y la distancia del punto a una recta contenida en el plano es 9 u. Halla la distancia desde la proyección de dicho punto al plano hacia la recta.

26) Dos puntos “A “A” y “B” situados a uno y otro lado de un plano distan de él 3 m y 5 m. Si la proyección de AB sobre el plano mide 6 m, calcula AB.

25) La distancia de un punto “P” a una recta contenida en un plano es de 13 cm, y además la distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de “P” al plano es 12 cm. Calcula la distancia de “P” al plano. a) 3 cm d) 6 cm

b) 1 cm e) 8 cm 119

c) 5 cm

29) Una habitación tiene 4 m de altura y en un punto del techo se sujeta una cuerda de 8 m de longitud y con el extremo libre se traza una circunferencia en el piso procurando tener bien tensa la cuerda. Calcula el área del círculo formado. a) 18π m2 b) 24π m2 c) 36π m2 d) 48π m2 e) 52π m2

30) Se tienen los cuadrados 30) perpendiculares perpen diculares ABCD AB CD y ABEF. ABEF. Halla DE si BC = 2. a) 3 d) 2 3

b) 4 e) 4 3

c) 2 2


Nivel III 31) Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB, sobre otra recta secante L2 los segmentos CF y FD. Si AB = 8, CD = 12 y FD - EB = 1, halla CF. a) 6 d) 4

b) 8 e) 2

c) 9

32) Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7 m. Si se levanta por C la perpendicular CE, y EB mide 25 m, calcula EC + ED. a) 24 m b) 25 m c) 49 m d) 50 m e) 59 m 33) En la gura, OA es perpendicular al plano plan o P. P. Si OA = 4 u, OB = 3 u y AD = 29 u, calcula DB. A

O

B

35) Calcula el máximo máximo número número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a) 48 d) 96

b) 72 e) 106

c) 84

N

36) ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s 36) proposiciones es falsa? a) Todos los planos paralelos a un plano dado son paralelos entre sí. b) Todos los planos paralelos a una recta, son paralelos entre sí. c) Si un plano intersecta a una de tres rectas paralelas, también intersecta a las otras dos. d) Si una recta es paralela a un plano la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano, está contenida en el plano. e) Por cualquier punto exterior exterior de un plano sólo puede trazarse un plano paralelo al primero.

D

P

a) 8 u d) 4 u

b) 6 u e) 2 u

c) 7 u

34) En la gura, la circunferencia está contenida en el plano P y tiene un diámetro de 8 m. Si la distancia de A al plano es 3 m, calcula la distancia más larga de A a la circunferencia sabiendo que la más corta mide 5 m. A 5m P

a) 12 m b) 15 m c) 3 17 m

d) 89 m e) 16 m

39) Si ABCD - EFGH es un hexaedro regular, calcula la medida del ángulo que forman EM y DN. B C M D A

37) Dado un triángulo ABC, se traza BP perpendicular al plano que lo contiene. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y PC si BP = 10 u y AC = 24 u. a) 12 d) 13

b) 13 e) 15

c) 15

38) Dos puntos “A” y “B” se 38) encuentran a uno y otro lado de un plano. Si las distancias de “A” y “B” al plano miden 6 y 2 cm respectivamente, halla AB si la proyección del segmento AB sobre el plano mide 15 cm. a) 15 cm b) 16 cm c) 17 cm d) 18 cm e) 2200 cm 120

F

G

E

H

a) 60° d) 90°

b) 45° e) 120°

c) 30°

40) En la gura, G es el baricentro de la región triangular ABC y PG es perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC. Si m PBA = m CBP; AC = 12 y PG = 17, calcula la distancia de P a AB. P

C B

G A

a) 3 2 d) 5

b) 26 e) 30

c) 23

41) Con “n” “n” rectas paralelas y 6 puntos en el espacio se han determinado como máximo 125 planos. Halla “n”. a) 8 d) 12

b) 10 e) 15

c) 11


42) Si los planos “P”, “Q”, “R” “R” y “T” son paralelos, halla k - n si n + k = 8.

P

C a

k

R a+6

45) El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero ABE se encuentran en plano perpendiculares. Calcula la distancia entre los puntos medios de BE y AD si AB =8 u.

10

T

b) 2 e) 6

c) 3

43) El ángulo entre L1 y L2 es 60°. Si DA = AB = BC = 6, calcula CD. L1 D A

C b) 6 2 e) 9

-

-

-

b) 10 u e) 6 u

c) 12 u

46) En un cuadrado ABCD, 46) con diámetro AB se traza la semicircunferencia perpendicular al plano del cuadrado. Si M, N y P son puntos medios de AB, AC y CD respectivamente, calcula m MNP. b) 120° e) 135°

B

A G

F

c) 3

Si una recta es paralela a un par de plano, entonces dichos planos son paralelos entre sí. ( ) Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí. ( ) Por un punto exterior exterior a un plano sólo pasa una recta paralela a dicho plano. ( ) La intersección de 3 planos es siempre una recta. ( )

a) b) c)

a) VVVV b) FFFF c) FVFV d) VVFF e) FVFF

b) 9 e) 12

121

d) 3 /3 u e) 3 /6 u

50) La gura muestra un cubo de arista “a”. Calcula la menor distancia entre BE y FH. B A

C D

F

d) 12 u2 e) 36 u2

48) Las rectas L1 y L2 son alabeadas y ortogonales siendo AB la menor distancia entre ellas (A ∈ L1; B ∈ L2); además se ubican R y S en L1 y L2 respectivamente, AB = 17; AR = 2 3; BS = 2 13. Calcula RS. a) 10 d) 11

2 /2 u 6 /2 u 6 /3 u

c) 90°

47) Las rectas L1 y L2 son alabeadas y fo form rman an un án ángu gulo lo de 60 60°, °, además AB es la menor distancia entre ellas (A ∈ L1; B ∈ L2). Si se ubica “P” en L1 y “Q” en L2; AB = 2 5u; AP = 4u; BQ = 6u, calcula el área del triángulo PBQ. a) 12 2 u2 b) 24 u2 c) 24 2 u2

H E

L2

44) Indica si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: -

a) 8 u d) 16 u

a) 100° d) 150°

B

a) 6 d) 3 2

D

n

Q a+3

a) 1 d) 4

49) En la gura se tiene un hexaedro regular. Calcula la menor distancia entre BH y EG si la arista mide 2u.

c) 8

E a) a 3 /2 b) a 3 /3 c) a 2 /3

G H d) a 6 /2 e) a 6 /3


Capítulo:

Ángulos Diedros y Triedros T riedros

19

Ángulo Áng uloss Died Diedros ros Es la figura geométrica formada por la unión de dos semiplanos que tienen una recta en común a la cual se le denomina arista del ángulo diedro.

P

x

cara q

B

Por definición, la proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada de este punto al plano. De esto se concluye que la proyección ortogonal de cualquier

Dos diedros adyacentes son suplementarios.

Arista A cara

PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UN PLANO

Observación

fgura geométrica sobre un plano es la

Q α

Q

reunión de las proyeccio proyecciones nes ortogonales de todos sus puntos sobre dicho plano. L P

q

P

y

α + q = 180° Notación

Ángulo diedro AB o Ángulo diedro P - AB - Q q : : Medida Medida del ángulo diedro

PLANOS PERPENDICULARES Dos planos son perpendiculares, cuando determinan diedros que miden 90°. Q

Q

PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y que determina con las caras otros dos ángulos diedros de igual medida. ‘‘Todo punto del plano bisector está ‘‘Todo a igual distancia de las caras de dicho ángulo diedro’’. R

B

N

Q

q

q

T A

q : Medida del ángulo diedro. Si q = 90°

⇒

P⊥ Q

R: Plano bisector del ángulo diedro R: Plano P - AB - Q. Se cumple: MN = MT 122

P’

Sea PP’ ⊥

Q⇒

P’ es la proyección del punto P sobre el plano Q. Además, m es la proyección ortogonal de L sobre el plano Q. El Dato

Los ángulos poliedros son guras

M P

P

m

q

formadas por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice.


Ángulo Áng uloss Trie Triedro dross

B

Es aquel ángulo poliedro de tres caras.

C O

A

q

A α

b ca

O

C

q

q q

B) Triedro Birectángulo Es aquel que tiene dos caras que miden 90°, a las cuales se oponen diedros que miden 90°.

β

B

F) Triedro Escaleno Sus tres caras son de diferente medida.

B Notación

Ángulo triedro O - ABC o triedro O - ABC  

C

β α

O A

Medidas de las las caras: a, a, b y c Medidas de los diedros: α, β y q.

C) Triedro Trirectángulo PROPIEDADES DE UN ÁNGULO TRIEDRO 

En todo ángulo triedro triedro la suma de los valores de sus caras es mayor que 0°, pero menor que 360°.

Es aquel que tiene sus tres caras que miden 90°. Entonces sus tres diedros miden 90°.

En todo ángulo triedro el valor valor de una cara es menor que la suma de las otras dos pero mayor que la diferencia de ellas mismas. b - c < a < b + c a - c < b < a + c a - b < c < a + b



G) Triedros Polares Llamados también triedros suplementarios,, son dos triedros donde suplementarios las caras de uno de ellos son los suplementos de los ángulos diedros del otro. O O

B C

0° < a + b + c < 360° 

q

O

α

A

β

M

q

P

D) Triedro Triedro Isósceles Is ósceles Dos caras son de igual medida.

N B

O'

En todo ángulo triedro triedro la suma de sus ángulos diedros es mayor que 180°, pero menor que 540°. 180° < α + β + q < 540°

C

α

A

α

CLASES DE ÁNGULOS TRIEDROS A) Triedro Rectángulo Es aquel que tiene una cara que mide 90°.

E) Triedro Equilátero Las tres caras son de igual medida. 123

a

c b O


El D AND : equilátero (AD = 2)

a + α = 180° b + β = 180° c + q = 180°

AOC : isósceles x=2 2

El triedro O' - ABC es el triedro polar del triedro O - MNP.

Nivel I 3)

1)

Las caras de un diedro son cortadas en los puntos “P” y “Q” por una recta. Si “A” es la proyección ortogonal de estos puntos sobre la arista y la medida del diedro es la media aritmética de las medidas de los ángulos APQ y AQP siendo estos últimos proporcionales a 1 y 3. Halla la medida del diedro.

Dos caras de un ángulo triedro miden 100° y 130°. ¿Entre qué límites se encuentra la tercera cara?

I. Dos planos son perpendicu perpendiculares lares cuando determinan diedros que miden 90°. ( ) II. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano bisector del diedro. ( ) III. Dos planos que se cortan forman diedros adyacentes suplementarios. ( )

Resolución:

100°

130° x

Resolución: A α

3α

P Del dato: x =

Se sabe que: 130° - 100° < x < 130° + 100° 30° < x < 230°

x

Q

α + 3α

2

= 2α

∴ α + 2α + 3α = 180° → α = 30° x = 2α = 60°

también: 0° < x + 100° + 130° < 360° x + 230° < 360° x < 130° ∴

2)

Se tiene una hoja rectangular de papel ABCD donde AB = 2 y BC = 4. Se dobla el papel por los puntos medios de BC y AD formándose un diedro de 60°. Halla la distancia entre los vértices

4)

“A” y “C” en la posición nal.

D

A 2

2 60° 2

B

C D

c) VVV

2) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. En todo triedro la suma de las medidas de las caras es mayor de 0° y menor de 360°. ( ) II. Un triedro birectángulo es aquel que tiene dos caras que miden 45°. ( ) III. Un ángulo triedro es aquel ángulo poliedro de tres caras. ( ) b) VVV c) VFV e) FFV

2

y 5

3 4

y 3

Del gráco, por el T. de Pitágoras:

x

M

x

3 x

2

b) VVF e) FVF

C

N

nal

a) VFF d) FFV

a) FFF d) VVF 5

Posición

N

En el interior de un triedro tri rectángulo se ubica un punto “E” que dista de las caras 3; 4 y 5 u. Calcula la distancia desde “E” hacia el vértice del triedro.

z

M

B

Posición inicial A

30° < x < 130° 130°

Resolución:

Resolución:

1) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

y2 = 32 + 52 = 34 ⇒ x2 = y2 + 42 x2 = 34 + 16 x2 = 50 x=5 2 124

3) En un rectángulo ABCD, AB = 2u y BC = 4u. Se dobla el rectángulo por los puntos medios de BC y AD formándose un ángulo diedro de 60°. Halla la distancia entre los vértices A y C en la posición nal.

a) 2 u b) 3 3 u c) 3 u d) 2 2 u e) 6 u


4) Dado un triedro trirectángulo O - ABC. Sobre sus aristas se toman longitudes OA = OB = OC = 10 m. Calcula el área de la región triangular ABC. a) 25 6 m b) 75 6 m c) 50 3 m

d) 50 6 m e) 25 3 m

5) Dado un triedro trirectángulo O - ABC cuyas aristas OA, OB y OC miden 4 2. Calcula el área de la región triangular ABC. a) 16 d) 8 3

b) 16 3 c) 8 e) 17 3

6) Se tiene un triángulo isósceles AOB, donde AO = OB = 2a. Se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo, tal que OM = a 6. Si se une M con A y B, Halla el diedro AB si m AOB = 90°. a) 30° d) 53°

b) 60° e) 45°

c) 37°

7) Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB (O = 90°) donde AO = OB = 2m. Por O se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo, tal que OM = 2 y se une M con A y B. Halla la medida del diedro AB.

a) 30° d) 53°

b) 60° e) 45°

c) 37°

9) Dos caras de un triedro miden 115° y 125°. Determina entre qué valores puede variar la tercera cara. a) 30° y 150° b) 40° y 150° c) 60° y 200°

d) 50° y 200° e) 10° y 120°

10) Se tiene tiene un cuadrado cuadrado ABCD de lado 6 cm. En el lado AB se toma el punto P y exterior al plano del cuadrado se toma Q de modo que PQ sea perpendicular al plano. Calcula el ángulo diedro que forman los planos del triángulo CDQ y el cuadrado ABCD, sabiendo que PQ = 3cm. a) 53° b) 53°/2 c) 37° d) 37°/2 e) 30° 11) Se tiene un plano P y un segmento AB exterior. Calcula la medida del ángulo que forman AB y el plano P; sabiendo que A y B distan del plano 13 cm y 7 cm, respectivamente, además la proyección de AB sobre el plano mide 6 cm. a) 45° d) 15°

b) 30° e) 18°

c) 22°33’

12) Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB (AO = OB = 2 u). Por Por ‘‘O’’ ‘‘O’’ se levanta la perpendicular OF al plano del triángulo. Halla OF para que el diedro AB mida 30°. a) 1/3 u b) 3 u c) 3 3 u d) 3 /3 u e) 3 /2 u

8) En la gura, c = 140° y b = 120°. Halla el intervalo de la tercera cara ‘‘a’’. a) b) c) d) e)

10° y 120° 30° y 100° 20° y 100° 40° y 115° 30° y 120°

a

b c

13) Un ángulo diedro es de 13) 114°. Calcula la medida del ángulo formado por los rayos perpendiculares a sus caras trazadas desde un punto cualquiera del plano bisector del diedro. a) 214° d) 60°

b) 46° e) 90° 125

c) 66°

14) La siguiente gura representa un libro cerrado donde M y N indican las esquinas de la tapa inferior.. Si se supone un punto P inferior en la tapa superior, entre M y N, ¿que ángulo debe debe girar esta esta tapa para que MNP sea un triángulo equilátero? 2a a M

P N a) 60° d) 150°

b) 90° e) 80°

c) 120°

15) Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Se eleva por B, BF perpendicular al plano ABC, siendo BF = 12. Halla la medida del ángulo diedro que determinan los planos AFC y ABC. a) 45° d) 37°

b) 30° e) 53°

c) 60°

Nivel II 16) En el interior de un ángulo diedro se ubica un punto “P” que distan 6 cm y 5 cm de las caras y 10 cm de la arista. Calcula la medida de dicho ángulo diedro.

a) 45° d) 53°

b) 60° e) 97°

c) 67°

17) El ángulo diedro diedro formado por los rectángulos ABCD y ABEF mide 60°. Si las dimensiones de ambos rectángulos son de 2 u y 3 u, calcula la distancia entre los vértices “C” y “F”. a) 11 d) 2 3

b) 4 3 e) 13

c) 17


18) Se tiene un triángulo equilátero ABC de lado igual a 8 cm. Por el vértice “B” se levanta la perpendicular BR = 4 3 cm al plano del triángulo. Halla el valor del ángulo diedro formado por los planos ABC y ARC. a) 45° d) 37°

b) 30° e) 53°

c) 60°

19) Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB (AO = OB =2 2). Por Por “O” “O” se levanta la perpendicular OF al plano del triángulo. Halla OF para que el diedro AB mida 30°. a) 1/3 b) 3 c) 3 3 d) 2 3 /3 e) 3 /2 20) En la gura “G” “G” es la proyección de “C” sobre el plano “Q”. Si el área de ABC es 30 u2 y el ángulo diedro que forman ABC y el plano “Q” mide 37°, calcula el área del triángulo AGB (A, B ∈ Q). C A Q

G B

a) 18 u2 b) 20 u2 c) 24 u2 d) 15 u2 e) 22 u2 21) Dos caras de un ángulo triedro miden 80° y 120°. ¿Entre qué límites varía la tercera cara? a) 40° y 200° b) 80° y 160° c) 40° y 240°

d) 40° y 160° e) 60° y 180°

22) Dos caras de un ángulo triedro miden 140° y 160°, entonces la tercera cara puede medir: a) 80° d) 40°

b) 90° e) 20°

c) 60°

23) Se tiene un triedro isósceles en el cual dos de sus caras miden 45° y el diedro en la arista común mide 90°. Calcula la medida de la tercera cara. a) 53° d) 45°

b) 37° e) 90°

c) 60° a) 15° d) 60°

24) Dado un triedro trirectángulo O - ABC, sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 6 u. Calcula el área de la región triangular ABC. a) 4 3 u2 b) 12 3 u2 c) 18 3 u2

d) 36 3 u2 e) 72 3 u2

25) En el interior de un triedro rectángulo se ubica un punto “E” que dista de las caras 3; 4 y 5 u. Calcula la distancia desde “E” hasta el vértice del triedro. a) 5 2 u2 b) 10 2 u2 c) 12 2 u2

d) 10 u 2 e) 15 u2

26) Por el vértice “B” de un triángulo equilátero ABC se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo. Halla el ángulo diedro que forman los planos ABC y AEC si BC = 6 y BE = 3 3.

a) 60° d) 37°

b) 45° e) 53°

c) 30°

27) La gura muestra los rectángulos ABCD y ADEF que forman un diedro de 60°. Si AB = 2 y EF = 3, calcula BE. C B

D

A a) 11 d) 17

28) Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los triángulos mide:

E

126

c) 30°

29) Del centro “O” del círculo circunscrito a un triángulo equilátero ABC de lado “a” se levanta la perpendicular OP al plano ABC. Si se une el punto “P” con los tres vértices del triángulo ABC, calcula la longitud del segmento OP para que el triedro P - ABC sea trirectángulo. a) a 3 /3 b) a 2 /2 c) a 5 /5

d) a 6 /6 e) a 10 /10

30) Se tiene un triedro O - ABC cuyas caras miden 53°, 53° y 60°. Sobre la arista común a las caras iguales se toma el punto “P” tal que OP = 5 u. Calcula la distancia que existe desde “P” hacia la cara opuesta. a) 11 u b) 13 u c) 4 3 u d) 2 5 u e) N.A.

Nivel III 31) En la gura, AB = 15, BC = 20, AC = 25 25 y BP es perpendicular al plano del triángulo ABC. Calcula el ángulo diedro que forman los planos de los triángulos ABC y APC. Además BP = 12. P

C

B

F b) 13 e) N.A.

b) 45° e) 75°

A c) 15

a) 37° d) 30°

b) 15° e) 45°

c) 60°


32) Los planos P y Q forman un ángulo diedro de 37°. Si AB = 12 cm (AB es perpendicular) y L es la intersección de los planos P y Q, calcula la distancia de B a la recta L. P

A

35) En la gura el triángulo ABC es equilátero, AD = 9 y BC = 6. Calcula la medida del diedro BC. D

L B

A B

a) 30° d) 37°

a) 15 cm b) 16 cm c) 17 cm d) 18 cm e) 19 cm 33) La gura muestra dos cuadrados que forman un diedro que mide 45°. Si el lado mide 6 dm, halla la distancia entre sus centros. Q R B

C

A a) b) c) d) e)

D 6( 2 + 3) dm 6 2 - 2 dm 3 2 - 2 dm 2( 2 - 1) dm 2( 2 + 1) dm

34) Los catetos AB y BC de un triángulo rectángulo miden 3 m y 4 m. Por B se levanta BE perpendicular al plano del triángulo. Calcula BE si el diedro AC mide 45°. a) 2 m b) 2,4 m c) 2,4 2 m

C

P

Q

b) 60° e) 53°

c) 45°

39) ¿Cuál es el máximo valor entero que puede asumir una cara de un triedro equilátero? a) 90° d) 120°

b) 105° e) 135°

c) 119°

36) En un triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden 15m y 20m, respec respectivamen tivamente. te. Po Porr “B” se levanta BP perpendicular al plano del triángulo, luego se une “P” con A y C. Calcula la medida del diedro AC si BP = 16.

a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

b) 20° e) 130°

a) 30° d) 90°

b) 45° e) 120°

c) 110°

38) En la gura “P” es un triedro trirectángulo y PA = PB = PC = 6. Calcula el área del triángulo ABC. A

41) Dado el triedro O - ABC, b = c = 53° y a = 60°. Sobre OA se toma el punto “P” tal que OP = 5 m. Calcula la distancia de “P” a la cara opuesta. a) 2 3 d) 2 5

b) 13 e) 7

d) 2,4 3 m e) 4 m B P

C a) 12 3 b) 16 2 c) 16 3 d) 18 2 e) 18 3

c) 4 3

42) Dos caras de un ángulo triedro miden 100° y 130°. ¿Entre qué límites se encuentra la tercera cara? a) 30° y 230° b) 30° y 130° c) 60° y 230°

127

c) 60°

c) 45°

37) Dos caras caras de de un triedro miden 120° y 130°, entonces la tercera cara puede medir: a) 10° d) 120°

40) En un triedro O - ABC, el diedro OA es recto y las caras AOB y AOC miden 45°. Calcula la cara BOC.

d) 60° y 130° e) N.A.

43) Halla la la medida medida de de un diedro si las distancias desde un punto interior a cada una de sus caras y a su arista miden 3 2; 3 y 6 m; respectivamente. a) 45° d) 75°

b) 35° e) 90°

c) 15°


44) Dos caras caras de un triedro triedro miden miden 45 cada una, siendo el valor del diedro que forman 90°. ¿Cuánto mide la tercera cara? a) 30° d) 60°

b) 45° e) 15°

c) 75°

45) Dos ángulos diedros de un ángulo triedro miden 111° y 82°. ¿Entre qué valores estará comprendida la medida del tercer diedro? a) 18° y 22° b) 22° y 138° c) 16° y 152°

a) 2 cm2 b) 3 cm2 c) 2 2 cm2

a) 3 b) 3 /2 c) 3 /3 d) 2 3 /3 e) 3 3

47) Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC en el cual AB = BC = 4. Desde “B” se levanta la perpendicular BP al plano del triángulo. Si une “P” con los vértices “A” y “C”, calcula BP para que el diedro AC mida 45°. b) 2 2 c) 2 e) 2 /2

48) Se tiene tiene una hoja rectangular rectangular de papel ABCD donde AB = 2 y BC = 4. Se dobla el papel por los puntos medios de BC y AD formándose un diedro de 60°. Halla la distancia entre los vértices “A” y “C” en la posición

a) b) c) d) e)

arc tg( arc tg arc tg arc tg( arc tg(

6 /3) 6 3 2 /3) 6 /2)

Gaspard de Monge (Beaune Francia, 1746-París, 1818) Fue un Matemático francés. Convencido de la importancia de la educación, intervino en la creación de instituciones académicas como la École Normale Supérieure o la Polytechnique. Amigo personal de Napoleón Bonaparte, acompañó al entonces general en su campaña de Egipto (1798 - 1801). A su regreso continuó dando clases en la Polytechnique; Poly technique; su labor pedagógica resultó decisiva en la formación de una espléndida generación de geómetras franceses, entre los que cabe citar a Poncelet, Dupin, Meusnier y Rodriguez. La contribución de Monge a la geometría fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amén de la rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometría diferencial. En su obra Apl Aplic icac acion ion es de dell an análi áli sis a la ge geome ome trí a introdujo importantes conceptos. concep tos. Además fue el primero en emplear de forma sistemática las ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las supercies. En su doble faceta de cientíco y pedagogo,

se le considera el principal responsable de la gran expansión experimentada por la geometría en el siglo XIX.

nal.

a) 2 d) 2 2

d) 3 2 cm2 e) 2 3 cm2

50) E l p l a n o d e u n a semicircunferencia de diámetro AB, es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. En la semicircunferencia se ubica el punto F, de modo que mFB = 60°. Calcula la medida del ángulo diedro formado por los planos AFC y ABCD.

d) 13° y 151° e) 15° y 146°

46) Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AQB (AQ = QB =3 2), por Q se levanta una perpendicular QF al plano del triángulo. Calcula QF, para que el diedro AB mida 30°.

a) 2 d) 4

49) Sobre una de las aristas de un ángulo triedro, cuyas caras miden 60°, se ubica un punto “A” que dista del vértice 2 cm, por el cual se traza un plano perpendicular a dicha arista que interseca a las otras dos aristas en B y C. Halla el área del triángulo ABC.

b) 3 3 e) 6

c) 3

128


Miscelánea

20

Capítulo:

Nivel I 1) En la gura AQ = QB; EQ = 4 y QF = 9. Calcula AB.

4) En la gura ABC es un triángulo equilátero. Calcula BP si PC = 7 u y PA = 10 u. B P

7) En la gura, calcula x. L3

L10

x

B

E A

a) 3 u d) 8 u

F

a) 6 d) 12

C

A

Q

b) 8 e) 14

c) 10

b) 4 u e) 17 u

b) 36° e) 45°

c) 40°

c) 5 u

5) En la gura, calcula x.

8) Calcula x si AB = L3, BC = L5, CD = L8 y DE = L18. A

L4

L6

B

x O

2) En la gura, halla x.

E x

3

x

a) 30° d) 42°

4

a) 60° d) 80°

8

b) 70° e) 90°

D c) 75°

a) 100° d) 110°

b) 105° e) 108°

C c) 103°

6) En la gura, calcula x. a) 10 d) 15

b) 12 e) 16

c) 13 L3

3) En la gura, halla x. (T : punto de tangencia) T

x

a) 60° d) 90°

x b) 75° e) 100°

P

10 b) 10 e) 18

c) 80°

a) 3 u2 b) 2 3 u2 c) 3 3 u2 d) 4 3 u2 e) 5 3 u2

10) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 7 cm y la hipotenusa mide 5 cm. Calcula su área.

8

a) 9 d) 16

L6

9) Calcula el área de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 4 y un ángulo agudo mide 30 º.

a) 4 cm2 b) 6 cm2 c) 8 cm2 d) 10 cm2 e) 12 cm2

c) 12

129


11) Calcula el área área de un triángulo triángulo equilátero cuyo circunradio mide 2 cm.

16) La gura muestra a un trapecio que encierra un área de 28 cm2. d) 4 3 cm2 Calcula su altura. e) 6 3 cm2 5 cm

a) 3 cm2 b) 2 3 cm2 c) 3 3 cm2

12) En un triángulo rectángulo ABC, se traza la ceviana interior AD tal que BD = 6 cm, AD = 10 cm y AC = 17 cm. Calcula el área del triángulo ADC. a) 24 cm2 b) 30 cm2 c) 36 cm2 d) 40 cm2 e) 42 cm2 13) Calcula el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC es 120 m 2.

Q

n

2n

P

C

a) 20 m2 b) 30 m2 c) 40 m2 d) 50 m2 e) 60 m2 14) La base de un triángulo mide mide 4m. ¿Cuál es la longitud de una paralela a la base que divide a dicho triángulo en dos partes equivalentes? a) 2 m b) 2 m c) 2 2 m d) 3 m e) 6 m

c) 3 cm

17) Las diagonales de un trapezoide miden 6 y 8. Calcula su área máxima. a) 12 u2 b) 18 u2 c) 20 u2 d) 24 u2 e) 48 u2

a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

5m2

13m2

x x b) 18 m c) 36 m e) 12 m

c) 9

19) Calcula el área de un círculo cuya circunferencia mide 6π m. a) 3π m2 b) 6π m2 c) 8π m2 d) 9π m2 e) 12π m2 20) En la gura, calcula el área de la región sombreada, si m CD = 30° y AO = OB = 4. C D

B O a) 5π/3 u2 b) π/2 u2 c) 3π/2 u2 d) 4π/3 u2 e) 20π/3 u2

21) Calcula el área del sector circular de 60° que esta ubicado en un círculo cuya circunferencia tiene por longitud 12πu. a) 6π u2 b) 8π u2 c) 9π u2 d) 12π u2 e) 16π u2 130

22) Calcula el área área de un círculo, círculo, sabiendo que es numéricamente igual a la longitud de su circunferencia. a) πu2 d) 4πu2

b) 2πu2 e) 6πu2

c) 3πu2

23) Un sector circular de 60° 60° es equivalente a un semicírculo de radio 2 3. Calcula el radio del sector. a) 3 2 d) 3

A

15) Calcula x.

a) 20 m d) 6 m

a) 1 cm d) 4 cm

9 cm b) 2 cm e) 6 cm

18) Las alturas de un rombo miden 3 y 2 2. Si uno de sus ángulos ángulos mide 45°, calcula su área.

B

A

Nivel II

b) 4 2 e) 6

c) 4 3

24) ¿Cuántos planos como máximo forman 15 rectas paralelas? a) 35 d) 105

b) 55 e) 120

c) 85

25) Con 10 puntos no colineales, ¿cuántos planos como máximo se puede determinar? a) 100 d) 130

b) 110 e) 140

c) 120

26) Sean M y N dos planos paralelos que distan entre si 40 m. La proyección de AB (con A en M y B en N) sobre el plano N mide 30 m, calcula AB. a) 20 m b) 40 m c) 50 m d) 30 m e) 45 m 27) L o s c u a d r a d o s A B C D y 27) ADMN pertenecen a planos perpendiculares. Calcula BM, si AC = 4 2 u. C B D A a) 4 u d) 8 u

M

N b) 4 2 u c) 4 3 u e) 8 3 u


28) Del gráco, el triángulo ABC es perpendicular al plano de cuadrado ACDE. Calcula BD si AB = 2 u.

33) El perímetro de un hexágono regular es 60 m. Calcula su apotema. a) 4 3 m b) 5 3 m c) 6 3 m d) 7 3 m e) 8 3 m

B C

D

34) Calcula CT si AC AC = 10 y AM = 8.

29) Si ABCD y ABMN son dos rectángulos iguales que forman un diedro de 120°; AN = 4 y MN = 2. Calcula DO si MO = ON. a) 2 3 d) 7 2

b) 4 3 e) 7 3

c) 7

30) Si ABCD y ABEF son regiones rectangulares que forman un diedro de 60°. Además AD = AF = 4 y FE = 3, calcula DE. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

E I

C

M b) 1/2 c) 1 e) 3 /3

C

B A a) 4 d) 7

F

a) 2 d) 2

T

A E a) 2 u b) 2 2 u c) 3 3 u d) 3 u e) 4 u

37) En el triángulo ABC, BI es biscetriz y BM es una mediana. Calcula (AE/FC). B

38) Halla CL CL si AO = OB = BC = R. A

M b) 5 e) 8

c) 6

L

35) En el gráco mostrado AB y OB OB son diámetros. Si PS = 18 dm y SQ = 8 dm, calcula la longitud de SB. Q

S P A

B O a) 10 dm b) 12 dm c) 13 dm d) 1144 dm dm e) 16 dm

O

C

B

a) R 5 b) 2R 5 c) 3R 5

d) 3R 5 /5 e) N.A.

39) Calcula el área área de un rombo rombo de de perímetro 32 m circunscrito a una circunferencia de radio 2 m. a) 16 m2 b) 24 m2 c) 28 m2 d) 32 m2 e) 36 m2

Nivel III 31) En el gráco mostrado se cumple que L62 + L102 = 100. Calcula L5.

36) Si E y F son puntos de tangencia y (EB) 2 + (AF)2 = 36, calcula AB. E

a) 18 d) 39

L6 L10 a) 10 2 b) 6 d) 8 e) 14

L5 c) 10

A a) 4 d) 12

F b) 6 e) 18

40) Calcula el área de un trapecio cuyas bases miden 4 y 9 si su altura es media proporcional entre sus bases.

B c) 9

b) 26 e) 42

41) Si S1 = S2, calcula la relación entre a, b y c. S1 a

32) El apotema apotema de un triángulo triángulo equilátero mide 5 cm. Calcula su perímetro. a) 10 3 cm b) 15 3 cm c) 20 3 cm

a) b) c) d) e)

d) 30 3 cm e) 40 3 cm

131

c) 34

S2

ab = c a + c = 2b a2 = bc 2c2 = a2 + b2 a2 + b2 = c2

b

c


42) Dado un triángulo triángulo ABC cuya área mide 18 m 2 se traza la altura BH, si la mediatriz de AC intersecta a BC en N, calcula el área del cuadrilátero ABNH.

46) En la gura, g ura, los planos P, P, Q y R son paralelos. Si MB = 12 m, y ND = 9 m, halla AB sabiendo que excede a CD en 7 m. A

a) 6 m2 b) 8 m2 c) 9 m2 d) 10 m2 e) 12 m2

C

M 43) Sea AB un segmento segmento exterior exterior a un plano “Q”. Si las distancias desde “A” y “B” al plano miden 12 y 4, halla la proyeccción de AB sobre el plano si además AB = 10. a) 4 d) 8

b) 6 e) 5

c) 9

44) Si ABCD es un rectángulo , PC es perpendicular a ABCD, AB=6 u, BC=8 u y PC =12 u, halla OP siendo “O” el centro del rectángulo. P B

C O

A

D a) 10 u d) 15 u

b) 12 u e) 20 u

c) 13 u

45) Si ABCD y ABEF son dos cuadrados que forman un diedro de 120° y tienen 4 m de lado. Calcula DF. a) 2 3 m b) 2 2 m c) 4 m d) 4 2 m e) 4 3 m

P

Q

N

B

D

R

a) 16 m b) 12 m c) 21 m d) 24 m e) 28 m 47) En un triángulo ABC(B = 90°), AB = 3 m y BC = 4 m. Por el incentro “I” se levanta la perpendicular IE al plano del triángulo de modo que EB = 2 2 m. m. Halla la suma de las las distancias de “E” a los lados del triángulo ABC. a) 7 m b) 2 7 m c) 3 7 m d) 5 7 m e) 4 7 m 48) En un triedro trirectángulo A - BCD, la proyección de “A” sobre el plano BCD es “O” y AB= AC = AD = 6. Calcula la distancia del punto “O” a la arista AB. a) 2 d) 3

b) 2 e) 2 3

c) 2 2

49) En un triedro O - ABC, a = 90° y b = c = 60°. 60°. Calcula el ángulo formado por la arista OA con el plano BOC. a) 30° d) 53°

b) 37° e) 60°

c) 45°

50) En un triedro O - ABC las caras miden a = 60°, b = 60° y c = 45°. Calcula la medida del diedro OA. a) 53° d) 100°

b) 60° e) 135° 132

c) 90°

Benoit B. Mandelbrot Es un matemático conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es el principal responsable del auge de este dominio de las matemáticas utilizando el ordenador para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot por supuesto, así como los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia quien inventó las matemáticas de los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot. Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, (Polonia) dentro de una familia judía culta de origen lituano. En 1967 publicó en Science “¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?”, donde se exponen sus ideas tempranas tempran as sobre los fractales. Principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional. En 1985 recibió el premio “Barnard Medal for Meritorious Service to Science”. En los años siguientes recibió la “Franklin Medal”. En 1987 fue galardonado con el premio “Alexander von Humboldt”; también recibió la “Medalla Steindal” en 1988 y muchos muchos otro otross prem premios, ios, incluyen incluyendo do la “Medalla Nevada” en 1991.


Capítulo:

21

Sólidos Geométricos I Poliedr oliedros os y Polied Poliedros ros Regulares

Sólido Geométrico Es aquella porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto

Caras

Teor T eorema ema de Eul Euler er

Vértice Aristas

de puntos que conforman la supercie

del sólido.

1. En todo poliedro, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas aumentado en dos.

Un sólido de acuerdo a su supercie

puede ser: poliedro (pirámide, prisma, etc.) o cuerpo redondo (esfera, cilindro, etc.). Cuerpo redondo (Esfera)

Poliedro (Pirámide)

C+V=A+2 C: Número de caras. V: Número de vértices. A: Número de aristas.

Diagonal del Poliedro

Tipos Tip os de Poli oliedr edros os

2. En todo poliedro, la suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras es igual a 360° por el número de vértices disminuido en dos. S caras=360°(v-2)

Poliedro

Poliedros convexos

Es aquel sólido geométrico cuya superficie está formada por cuatro o más regiones poligonales planas a las cuales se les denomina caras del poliedro. Al lado común de dos caras se le denomina arista arista y al punto de concurrencia de las aristas, vértice del poliedro.

DIAGONAL DEL POLIEDRO Es el segmento cuyos extremos son dos vértices ubicados en caras distintas.

S caras: Suma de medidas de los ángulos internos de todas las caras. V: Número de vértices. 3. Para calcular el número de artistas de un poliedro, usaremos la siguiente fórmula: N.° de Aristas=

Poliedros no convexos

* Los poliedros se nombran de acuerdo a su número de caras y pueden pue den ser: Tetraedro ......... (4 caras) Pentaedro entaedro ......... (5 caras) - P Hexaedro xaedro ......... (6 caras) - He -

133

a.m+b.n+c.p+... 2

Donde: a : Cantidad de caras de “m” lados.b : Cantidad de caras de “n” lados.c : Cantidad de caras de “p” lados. .. ... ... .


POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares. Solamente existen 5 poliedros regulares y son:

3. Octaedro regular: Poliedro formado por ocho triángulos equiláteros.

1. Tetraedro regular: Poliedro Pol iedro formado por cuatro triángulos equiláteros.

a

a

a

a

a

Forma de cara (Triángulo equilátero)

5. Icosaedro regular: Poliedroo formado por veinte triángulos Poliedr equiláteros.

Forma de cara (Triángulo equilátero) a

a a

Número de caras C Número de vértices V Número de aristas A

a

Forma de cara (Triángulo equilátero)

8

Número de caras C

20 12 30

a

Número de caras C

a

a a

4

Número de vértices V

6


4

Número de aristas A

12


6

2. Hexaedro regular o cubo: Poliedro Poli edro formado por seis cuadrados.

4. Dodecaedro regular: Poliedro Polied ro formado por doce pentágonos regulares.

a

PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS REGULARES . Tetraedro regular: a

h

a

a a a

Baricentro de la base

a

a 6 h= 3 Forma de cara (cuadrado) Número de caras C

a a

a a

Forma de cara (Pentágono regular)

a a

a

6

Número de caras C

12


8


20


12


30

134

a

a a

3 V= a 2 12

A=a2 3 h: altura A: área V: volumen


ABCD es cuadrado

. Octaedro regular: a

d

1)

a a

a a

Calcula el número de aristas y vértices que tiene un poliedro que está formado por 6 triángulos, 8 cuadriláteros y 10 pentágonos.

Resolución:

C=6+8+10=24

d=a 2

d: diagonal del sólido A: área V: volumen

A=2a 3 2

3 V= a 2 3

a

A= (6x3)+(8x4)+(10x5) 2 A=50

a a

Resolución:

a

V=a3

3 N 3 A

2

H

2

POLIEDROS CONJUGADOS Son conjugados aquellos poliedros regulares en los que el número de caras de uno, es igual al número de vértices del otro (uniendo los centros de las caras de uno, se obtiene el otro). Así, por ejemplo, el conjugado del hexaedro es el octaedro.

3)

Resolución: F h

B L 2

C

⇒

x= BH (T (Teorema eorema puntos medios) 2

∴

x= 3

T 2T = 2 2

El volumen del octaedro que se obtiene al unir los centros de las caras contiguas de un cubo de lado L es:

L 2

B

∆HOB: ON=NH; OM=MB

D=a 3= 3a2 ............. (1) Dato: 6a2=T ⇒ 3a2=T 2 En (1): D=

2

∆ABC: BH=2 3

a

d: diagonal del cubo A: área V: volumen

M

En ∆AOC: OH=2 3

a D

A=6a

2

Resolución:

a

2

O

La superficie de un cubo es T, entonces la diagonal de dicho cubo es igual.

a

d=a 3

En un tetraedro regular O -ABC de arista 4 u, calcula la distancia entre los puntos medios de OB y OH (H punto medio de AC).

24+V=50+2 V=28

2)

d

( )

4)

Teorema de Euler: C+V=A+2

. Hexaedro regular (cubo):

BA=L 2 ; h= L 2 2 2(S .h) V= ABCD 3 2 2 L V=3 L 2 . 2 2 3 L V= 6

L

C D

A

Nivel I 1) Un poliedro está formado por 12 triángulos y 8 cuadriláteros, entonces el número de aristas y el número de vértices del poliedro es:

h

E

135

a) 24 y 18 b) 26 y 18 c) 32 y 14

d) 34 y 16 e) 48 y 24


2) Un poliedro está formado por “2K” pentágonos, “4K” cuadriláteros y “6K” triángulos. Calcula “K” si el número de vértices es 62. a) 4 d) 8

b) 5 e) 10

a) 3 u b) 5 u c) 6 u d) 2 3 u e) 2 2 u

c) 6

3) La suma entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo es 98. Calcula el número de caras, sabiendo que la suma de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 7200°. a) 28 d) 22

b) 30 e) 32

9) Calcula el volumen del octaedro regular que se forma al unir los centros de las caras de un hexaedro regular de arista 6m. a) 36m b) 72m c) 216m d) 36 2m3 e) 72 2m3 3

3

d) 384 y 8 3 e) 600 y 10 3

a) 1 u d) 4 u

b) 2 u e) 6 u

3

c) 3 u

11) En el cubo mostrado, mostrado, “O” “O” es el centro de la cara EFGH. Calcula el área del triángulo AOC. C

G

a) 3 d) 3/9

b) 3/3 e) 3

a) 2/3u b) 2 2/3u c)8 2/3u d)6 2/3u3 e) N.A. 3

A

H E

a) 80 2u2 b) 10 2u2 c) 50 2u2 d) 20 2u2 e) 25 2u2

c) 3/6

6) Calcula el volumen de un tetraedro regular en el cual la altura de una de sus caras mide 3u. 3

D

3

12) En un cubo, la distancia desde un vértice a la diagonal del mismo mide 6. Halla el volumen y el área del sólido. a) 8 y 24 b) 27 y 54 c) 64 y 96

supercie total de su respectivo

poliedro conjugado. a) 3m2 b) 2 3m2 c) 3m2 d) 6m2 e) 3 3m2 15) Calcula el número de diagonales de un poliedro que está formado por 6 triángulos, 8 cuadriláteros y 4 pentágonos. a) 36 d) 106

b) 66 e) 126

c) 100

10 u

O

5) El volumen de un cubo equivale a “K” veces el cubo de lo que mide su diagonal. Calcula “K”.

14) La altura de un tetraedro regular mide 6. Calcula el área de la

Nivel II

F

B

13) La arista de un tetraedro regular mide “a”. Un plano pasa por una arista y el punto medio de la arista opuesta. Calcula el área de la sección determinada. a) a2 2 b) a2 2/2 c) a2 2/4 d) a2 3/2 e) N.A.

10) Halla la altura de un tetraedro tetraedro regular cuya área área total es 6 3u2.

c) 24

4) Halla el área y la diagonal de un cubo, sabiendo que la suma de todas sus aristas es 60 u. a) 300 y 10 3 b) 150 y 5 3 c) 216 y 6 3

8) La arista de un cubo mide 2u. Calcula la distancia desde un vértice hacia el centro de la cara opuesta.

d) 2 2 y 12 e) 3 3 y 18

16) ¿Cuántas caras tiene aquel poliedro que tiene 20 aristas y 12 vértices? a) 5 d) 12

b) 10 e) 20

c) 15

17) Halla la diferencia entre el número de aristas y vértices de un icosaedro. a) 16 d) 20

b) 17 e) 24

c) 18

18) Un poliedro está formado por 8 triángulos y “x” cuadriláteros. Halla “x” si el número de aristas es 28.

7) El área total de un octaedro octaedro 2 regular es 18 3u . Halla la longitud de su diagonal.

a) 6 d) 12

a) 2 u b) 3 u c) 2 3 u d) 3 2 u e) 2 2 u

136

b) 8 e) 20

c) 10


19) Halla el ángulo formado por las diagonales de dos caras contiguas de un cubo si ambas diagonales parten del mismo vértice. a) 30° d) 15°

b) 60° e) 75°

c) 45°

24) Calcula el volumen de un octaedro regular cuya área es igual al área de un cubo de arista igual a 4 3 cm. a) 2 cm3 b) 3 cm3 c) 5 cm3

d) 6 cm3 e) 12 cm3

30) Si la diagonal de un octaedro regular mide mide 3 2u, calcula su volumen. a) 4,5 2 u3 b) 6 2 u3 c) 3 6 u3

d) 9 2 u3 e) 12 u3

Nivel III 20) El área área total de un tetraedro regular es 9 3 u 2. Calcula el volumen de dicho tetraedro. a) 9 2/2 u3 b) 7 2/2 u3 c) 8 2/3 u3

d) 9 2/4 u3 e) 9 2/5 u3

21) Halla la relación relación en la que se encuentran las áreas totales de un tetraedro regular y un octaedro regular si la arista del primero es el doble del segundo. a) 1:2 d) 3:1

b) 2:1 e) 4:1

c) 3:2

22) Calcula el volumen del cubo si el área sombreada es 2 2 u2.

25) Calcula el volumen de un tetraedro regular cuya altura es igual a la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 144 m 3. a) 9 3 m3 b) 12 3 cm3 c) 18 3 m3

d) 18 6 m3 e) 12 6 m3

26) Calcula la relación entre los volúmenes de un cubo y un tetraedro regular inscrito en él. a) 2 d) 3/2

b) 4 e) 3

c) 5

27) Calcula la distancia entre los centros de dos caras de un tetraedro regular cuya arista mide “a”. a) a/2 d) a/3

b) a/6 e) 2a/5

31) Halla el volumen del tetraedro regular cuya altura mide “h”. a) 9h3 2/8 b) h3 3/8 c) 3h3 2/5

d) 3h3 3/8 e) 3h3 3/4

32) En un cubo de 4cm de arista se une el punto medio de una arista con los extremos de la arista diametralmente opuesta. Halla el perímetro del triángulo formado. a) 16 cm d) (5 6+1)cm b) (2 3+1)cm e) (2 5+4) cm c) 4( 2+2)cm 33) Calcula el número de caras que tiene el poliedro mostrado.

c) 2a/3

28) Calcula el volumen volumen del sólido que se forma al unir los centros de las caras de un cubo cuya arista es igual a 2 cm. a) 2 u3 d) 4 u3

b) 2 u3 c) 2 2 u3 e) 4 2 u3

23) El área de una cara de un tetraedro regular es de 40 cm 2. ¿Cuál es el área del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de tres aristas que parten de un mismo vértice? a) 20 cm2 b) 10 cm2 c) 5 cm2 d) 2,5 cm2 e) 12 cm2

a) 2/2 cm3 b) 2/3 cm3 c) 8 cm3

d) 3 cm3 e) 6 2 cm3

a) 8 d) 12

b) 6 e) 16

c) 4

34) Calcula el número de caras que tiene el poliedro mostrado.

29) Se dan un octaedro regular y un tetraedro regular, donde la arista del segundo es el triple de la arista del primero. Halla la relación de áreas de estos sólidos. a) 2/7 d) 2/9

b) 2/11 e) 4/9

137

c) 3/8

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6


35) La fgura muestra un cubo en la cual se pide el ángulo que forman los segmentos segment os alabeados BE y CF. CF. B

C D

A

F

G

E

a) 30° d) 120°

H

b) 45° e) 90°

c) 60°

41) Si se unen los baricentros de las caras de un octaedro regular de arista 6 cm, se forma un sólido de volumen: d) 16 3 cm3 e) 16 16 2 cm3

42) En la figura se pide la arista del cubo, sabiendo que el área sombreada es 3 3 m2.

d) 170 y 56 e) 190 y 62

b) 13 e) 16

c) 14

38) Calcula el número de vértices de un poliedro en el cual el número de aristas es el doble del número de caras, además el número de aristas excede al número de vértices en 8. b) 10 e) 13

c) 11

39) El volumen de un hexaedro hexaedro regular es igual a su diagonal al cubo dividido entre: a) 2 2 d) 3 3

b) 3 2 e) 3

a) 64 cm3 b) 72 cm3 c) 80 cm3

d) 32 3cm3 e) 64 2/3 cm3

46) Calcula el área de la proyección de un tetraedro regular, cuya arista mide 2m, sobre un plano perpendicular a una arista. a) 2 m2 b) 3 m2 c) 2 m2 d) 3 m2 e) 4 m2 47) En el octaedro mostrado, calcula la distancia de “G” a ABCD si AG=3 2 y G es baricentro baricentro de la cara OCD.

B

a) 2 m d) 2 m

43) En el cubo de arista “a”, 43) GP=PQ=QD.. Halla el área de GP=PQ=QD la región sombreada.

c) 2 3

G H

E

P Q

B A

a) 1 d) 5

b) 3 e) 6

C

c) 2

48) En la figura se muestra un tetraedro regular de arista 4cm. Calcula el área de la región sombreada.

C O

D

a) a2 2/4 b) 2a2 c) 2a2 2/3

d) 3a2 2/4 e) 3a2

M A

B H

44) En un tetrae dro regular, regular, la distancia entre dos aristas que se cruzan es 3 2. Calcula Calcula la longitud de la arista del poliedro conjugado del tetraedro. a) 1 d) 3,5

D

A

b) 3 m c) 1 m e) 3 m

F

a) 9 d) 12

45) En un octaedro regular 45) P-ABCD-Q, M es punto medio de PC, tal que AM=2 5 cm. Calcula su volumen.

O

37) En un poliedro la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcula el número de aristas. a) 12 d) 15

a) 216 m3 b) 244 m3 c) 250 m3 d) 270 m3 e) 288 m3

a) 16 cm3 b) 8 cm3 c) 8 2 cm3

36) Un poliedro está formado por 10 pentágonos, 15 cuadriláteros y 20 triángulos. ¿Cuántas aristas y cuantos vértices tiene? a) 85 y 42 b) 105 y 40 c) 150 y 38

40) La distancia distancia entre los centros de dos caras contiguas de un octaedro regular es de 4m. Calcula su volumen.

b) 4 e) 3 138

c) 2

C

a) 2 d) 4

b) 6 e) 3/4

c) 4 3


Capítulo:

Sólidos Geométricos II Prisma - Cilindro

22

Prisma

CLASES DE PRISMA

Es el poliedro donde dos de sus caras son A) Prisma Oblicuo polígonos planos paralelos y sus otras Es el que tiene las aristas laterales oblicuas con respecto a la base (ver la caras son regiones paralelográmicas. gura anterior). Un prisma se nombra de acuerdo al número de lados que tenga la base; por ejemplo: si la base tiene seis lados, se le B) Prisma Recto denomina prisma hexagonal. Es el que tiene sus aristas laterales perpendiculares a la base. B

Base

C

A

D

S

S

E

F Cara lateral Arista lateral

h

h

h

h B'

A'

S

C'

S

S

S

D' F'

E'

h : altura

Arista básica

S : área de la base

Desarrollo de un prisma recto. Notación

Prisma: ABCDEF - A'B'C'D'E'F'

AL = ( Perímetro ) . h de la base h

Área lateral

AT = 2Sbase+ AL

Volumen: V Perímetro de la base

⇒

V = (Abase . h)

Abase : área de la base. h : longitud de la altura.

AL: área lateral

AT: área total

V = Sbase . h V : volumen

C) Prisma Regular Es el prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.

139


D) Paralelepípedo Paralelepípedo rectangular rectangular (Rectoedro u Ortoedro) Es el prisma cuyas caras son regiones rectángulares. A = 2(ab+ac+bc) c

d

d = a2 + b2 + c2

B) Cilindro Circular Recto Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos. También es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

b

V = abc

a

h=g

A: área total

d: diagonal

V : volumen R

R

CILINDRO Es el sólido limitado por una supercie

cilíndrica cerrada y por dos planos abiertos entre sí y secantes a todas las generatrices.

Generatriz

Las secciones determinadas en los planos paralelos se denominan bases y son cong congruen ruentes. tes. La porc porción ión de

Desarrollo de la supercie lateral

de un cilindro recto. Directriz

supercie cilíndrica comprendida entre dichos planos es la supercie lateral del

cilindro, en la cual se ubican segmentos paralelos de igual longitud, cuyos extremos están ubicados en el contorno de sus bases denominadas generatrices.

h : altura del cilindro. g : generatriz o generador del cilindro. R : radio de la base.

R

Supercie Cilíndrica Abierta

h=g

Área lateral

CLASES DE CILINDRO

2π R

A) Cilindro Recto Es aquel cilindro cuyas generatrices son perpendiculares a sus bases.

AL = 2π Rh = 2π Rg g

h

h=g ASR = Abase

AL : Área lateral

AT = 2π R (g + R)

ASR : Área de la sección recta.

AT : Área total

V = π R 2 h V : volumen

140


Halla el volumen de un cilindro recto de altura "h" si el desarrollo de su superficie lateral es un rectángulo cuya diagonal forma un ángulo de 53°/2 con un lado.

3)

1)

La arista lateral de un paralelepípedo rectangular mide 4 cm y las otras dos medidas están en relación de 1 a 3. Si el área total es 88 cm2, calcula el volumen (en cm 3) del paralelepípedo.

A

Multiplicando ambos:

B 53º/2

h

h

3k k

3k

abS2 = (2 × 144) (4 × 96)

D

R

k

C

4 4

4

Área total: 2(12k + 4k + 3k2) = 88 k(16 + 3k) = 44 ⇒ k = 2

Si gira alrededor del eje Y. Y. 384π = ( b ) 2πs ⇒ bS = 384 2

Resolución:

Resolución:

288π = ( a ) 2πs ⇒ aS = 288 2

S3 = 23 × 123 × 23 Vcil = πR 2h El desarrollo lateral es el rectángulo ABCD. ⇒ AB = 2 π R; longitud de la circunferencia de la base 2h = 2 πR ⇒ R = h

⇒

S = 48 u2

π

2

En (1) : V cil = π ( h ) h π

V = 4x (2) (3 × 2) V = 48 cm3 2)

h3 Vcil = π

Calcula el volumen de un prisma triangular recto si la base es un triángulo rectángulo circunscrito a una circunferencia que determina sobre la hipotenusa dos segmentos de 6 y 4 u, además la arista lateral mide 10 u.

4)

Al girar un rectángulo de lados a y b alrededor del lado b se obtiene un cilindro de 288π u3 de volumen y al girar el rectángulo alrededor del lado a, se obtiene un cilindro de 384π u3 de volumen. Determina el área del rectángulo.

Resolución: Resolución:

A

Y

B C

b

a 2

10 A' 4 6

B'

a

b 2

C'

Vx = SA'B'C' × BB'

Apliquenos el teorema de Pappus

En

Guldin.

A'B'C': Propiedad

S = 4 × 6 = 24u 2. ∴ En (1) Vx ⇒

= (24u2)

Vx = 240 u3

(10u)

Nivel I

X

Área del rectángulo: S = ab

Si gira alrededor del eje X 141

-

1) La base de de un prisma recto de 8u de altura es un pentágono regular.. ¿Cuánto mide el lado de regular este pentágono si el área lateral del prisma es 120 u2? a) 1 u b) 2 u c) 3 u

d) 4 u e) 5 u


2) La base de un prisma prisma recto es un triángulo rectángulo de lados 8; 15 y 17 u, y el área lateral es 400 u2. Calcula su volumen. a) 300 u3 b) 450 u3 c) 600 u3 d) 250 u3 e) N.A.

8) Una región rectangular de perímetro 24 m se hace girar sobre uno de sus lados que mide "H", obteniéndose un sólido cilíndrico. La expresión para determinar el volumen del sólido obtenido en términos de "H" es: a) V = πH2(24 - H)m2 b) V = πH2(12 - H)m2 c) V = πH(12 - H)2m2 d) V = πH(24 - H)2m2 e) V = πH(6 - H)2m2

3) Calcula el área total de un prisma recto cuya base es un hexágono regular si el área lateral es 1500 u2 y su altura es 25 u. a) 300 ( b) 200 ( c) 400 ( d) 250 ( e) N.A.

3 + 5) u2 3 + 3) u2 3 + 5) u2 3 + 2) 2) u2

a) 4 000 b) 4 224 c) 4 424 d) 4 624 e) 4 864 5) Las 3 dimensio nes de un rectoedro están en progresión aritmética y suman 18; además el área total es 208 u 2. Calcula el volumen del sólido. a) 192 u3 d) 96 u3

u3

b) 144 c) e) 98 u3

a) 200 π cm3 d) 4 000 π cm3 b) 1 800 π cm3 e) 2 100 π cm3 c) 2 000 π cm3 10) Un cilindro recto tiene agua hasta un cierto nivel, se suelta un cubo metálico y el nivel de agua sube en (4/ π) unidades. Calcula la longitud de la arista del cubo si el diámetro de la base del cilindro mide 8u. a) 1 u d) 6 u

196 u3

6) Halla el volumen de un cilindro de revolución si el área total es 100π y la suma del radio de la base y la generatriz es 25. a) 92 πu3 b) 125 πu3c) 46 πu3 d) 50 πu3 e) 23 πu3

b) 2 u e) 8 u

c) 4 u

mostrada en la gura, entonces

la cantidad de agua necesaria para llenarla es: 1m

a) 600 π m3 b) 500 π m3 c) 300 π m3

d) 550 π m3 e) 450 π m3

a) 10 u2 b) 20 u2 c) 10 π u2 d) 20 π u2 e) 15 π u2 14) Calcula el volumen del cilindro recto circunscrito a un cubo cuya diagonal mide 6 3 u. a) 24 πu3 b) 36 πu3 c) 54 πu3 d) 72 πu3 e) 108 πu3 15) En el desarrollo del área lateral de un prisma triangular regular, regular, la diagonal diagonal mide 6 5 y la altura del prisma mide 12u. Halla el volumen del prisma. a) 14 3 b) 13 3 c) 12 2 d) 2 3 e) 12 3

Nivel II

11) Una piscina piscina de 10 m de ancho tiene la sección longitudinal

16) En el siguiente gráfico, las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular son entre sí como 3, 4 y 12, respectivamente. Si su diagonal mide 6,5 m; halla su área total.

2m

7) Calcula el volumen de un cilindro si su altura mide 20 m y el desarrollo de la supercie lateral tiene un área de 200 π m2.

a) 24 3 b) 48 3 c) 96 3 d) 72 3 e) 144 13) Un cilindro es generado generado por la rotación de un rectángulo de área igual a 10 u2. Calcula el área lateral del cilindro.

9) U n c i l i n d r o r e c t o e s t á 9) circunscrito a una esfera de radio igual a 10 cm. Halla el volumen del cilindro.

4) Calcula el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y la suma de sus 3 dimensiones es 82.

12) El desarrollo de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular es un cuadrado de perímetro 48. Calcula el volumen del prisma.

4m

*

10

*

5

*

5

*

a) 650 m3 b) 600 m3 c) 700 m3 d) 800 m3 e) 550 m3 142

a) 12m2 b) 24m2 c) 48m2 d) 60m2 e) 72m2


17) La diagonal de un rectoedro mide 10 m y su área total es 261 m2. Calcula la suma de las longitudes de todas sus aristas. a) 76 m b) 38 m c) 28 m d) 56 m e) 66 m 18) Se tiene un prisma triangular regular. Si la diagonal de una sus caras mide 4m y el ángulo que ésta forma con la base mide 60°, calcula su volumen. a) 6 m3 d) 1 m3

b) 2 m3 e) 8 m3

c) 4 m3

19) Calcula el volumen del prisma mostrado si S = 3 m2.

2m S

22) Calcula el área total de un cilindro recto de revolución cuya base tiene por área 24 πm2 y cuya altura es 6 m. a) 12π ( 6 + 2)m2 b) 24π ( 6 + 2)m2 c) 48π ( 6 + 2)m2 d) 6π ( 6 + 4)m2 e) 12π ( 6 + 1)m2

b) 2 m3 c) 2 m3 e) 3 m3

20) El largo de un paralelepípedo rectángular es el triple de la altura y el ancho es el doble de la altura. Si la diagonal mide 2 14 m, el volumen del paralelepípedo es: a) 50 m3 b) 24 m3 c) 36 m3 d) 64 m3 e) 48 m3

b) 3 u e) 6 u

d) 128π m3 e) 168π m3

25) Calcula el área total de un cilindro de revolución circunscrito a una esfera de radio "r". a) 2πr2 d) 6πr2

b) 3πr2 e) 8πr2

c) 4πr2

D3

8π 2 3 b) D 4π 2 3 c) D 2π 2

3 d) 2D 2π 3 e) D π 2

28) La altura de un prisma hexagonal regular es el doble de la arista de su base. Si el volumen del prisma es 192 3m3, calcula el área lateral. a) 96 m2 b) 96 2 m2 c) 96 3 m2

d) 192 m2 e) 144 m2

29) Un prisma regular tiene 18 aristas y cada una de ellas mide 2 cm. Calcula su volumen. a) 12 3 cm3 b) 18 cm3 c) 15 3 cm3

d) 18 3 cm3 e) 21 3 cm3

30) El desarrollo del área lateral de un prisma triangular regular tiene por diagonal 12 m y por altura 6 3 m. Calcula el área total. a) 24 3 m2 b) 30 3 m3 c) 34 3 m3

d) 38 3 m3 e) 45 3 m3

Nivel III 26) Del problema anterior anterior,, calcula el volumen del cilindro circunscrito. a) πr3 d) 4πr3

b) 2πr3 e) 5πr3

21) La base base de un prisma prisma recto de 10u de altura es un triángulo equilátero. Calcula el lado de este triángulo, sabiendo que el área lateral del prisma es 120 u2. a) 2 u d) 5 u

d) 130π m2 e) 160π m2

24) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto de revolución es un cuadrado de área 64 m2. Calcula el volumen de dicho cilindro. a) 112/ π m3 b) 100/ π m3 c) 142/ π m3

a) 1 m3 d) 3 m3

a)

23) Calcula el área lateral lateral de un cilindro recto de revolución cuya base tiene por área 36 πm2 y cuya altura es 10m. a) 100π m2 b) 120π m2 c) 124π m2

27) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto de revolución es un cuadrado de diagonal “D”. Calcula el volumen de dicho cilindro.

c) 3πr3

31) En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34, 58 y 74. Calcula su volumen. a) 78 u3 b) 94 u3 c) 98 u3 d) 102 u3 e) 105 u3 32) La generatriz de un cilindro mide 6m y el radio de la base mide 5m. Calcula el área total. a) 50 πcm2 b) 60 πcm2 c) 80πcm2

c) 4 u

143

d)100πcm2 e)110πcm2


33) Un cilindro tiene una base cuya área es 36πcm2 y una superfcie lateral de 144πcm2. Calcula su generatriz. a) 4 cm d) 9 cm

b) 6 cm c) 8 cm e) 12 cm

34) Calcula el volumen de un cilindro sabiendo, que tiene un área lateral de 18πcm2 y la altura mide 3m. a) 21πm3 b) 24πm3 c) 27πm3 d) 30πm3 e) 36πm3 35) Se funde un bloque de metal de forma cilíndrica de radio 8 cm y altura 6 cm, a fn de obtener

cilindros menores de radio 2 cm y altura 2 cm. ¿Cuántos de estos últimos se obtendrán? a) 24 d) 40

b) 36 e) 48

c) 30

39) La altura y el diámetro de la base de un cilindro de revolución tiene igual longitud y su área total es 24π. Calcula el volumen de dicho cilindro. a) 32πu3 b) 24πu3 c) 12πu3 d) 20πu3 e) 16πu3 40) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de área "A". Calcula el volumen de dicho cilindro. a) A A π

b) A A 2π c) 2A A π

41) Si “O” “O” es centro de la base, OA = 16 y el m OAF = 15°, 15°, calcula el área lateral.

36) Al cortar a un cilindro de revolución con un plano que pasa por los centros de sus dos bases, se determina una región cuadrada de 36 m 2. Calcula su volumen. a) 36πm3 b) 48πm3 c) 54πm3 d) 60πm3 e) 72πm3 37) La altura de un cilindro recto es de 6m y el área lateral es de 24πm2. Calcula el volumen. a) 24πm3 b) 48πm3 c) 32πm3 d) πm3 e) 36πm3 38) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto de revolución es un cuadrado de área "k". Calcula el área total del cilindro. a) 2πk b) k(2π+1)

d) k (2π+1) 2π e) k (2π+1)

d) 2A A 3π e) A A 4π

44) Determina el área total de un cilindro circunscrito a un prisma hexagonal regular donde el lado de la base mide 6 cm y la altura mide 8 cm. a) 96 πcm2 b) 192 πcm2 c) 168 πcm2

d) 170 πcm2 e) 84 πcm2

45) Se tiene un ladrillo que pesa 4kg, si todas sus dimensiones fueran reducidas a un quinto de su actual magnitud, el ladrillo pesaría: a) 880 g b) 1 kg d) 32 g e)

c) 160 g

46) El volumen del cilindro recto es 96πu3 y su área lateral es 48πu2. Calcula su área total. a) 72πu2 b) 81πu2 c) 76πu2 d) 80πu2 e) 96πu2

A

O

a) 64π d) 96π

47) El desarrollo de la superficie lateral de un prisma cuadrangular regular recto es un cuadrado de 2m de radio. Calcula su volumen.

F

b) 72π e) 128π

c) 84π

42) Si "S" es el área lateral de un cilindro de revolución y R es el radio de la circunferencia de su base, calcula su volumen. a) SR/4 b) SR/3 c) SR/2 d) 3SR/2 e) 5SR/2 43) Halla el volumen del cilindro recto de altura h si la longitud de la circunferencia de la base es 2h. a) h3/ π b) h3/ π c) 4h3/ π d) 2h3/ π e) 3h3/ π

π

a) 2 m3 b) 3 m3 c) 2 2 m3 d) 3 2 m3 e) 4 2 m3

48) Calcula el volumen de un rectoedro si su diagonal mide 10 y forma un ángulo ángu lo de 45° 45° con la base y un ángulo de 30° 30 ° con una cara lateral. a) 25 2u3 b) 50 2u3 c) 75 2u3 d) 100 3u 3 e) 125 125 2u3 49) En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro recto. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos 2 sólidos? a) 3/ π b) 2 3/ π c) 3 3/ π d) 4 3/ π e) 3 3/2π

c) k (2π+1) 2 144


Sólidos Geométricos III Pirámide - Cono

23

Capítulo:

Pirámide

A) PIRÁMIDE REGULAR

Es el poliedro donde una de sus caras es una región poligonal cualquiera denominada base y sus otras caras son regiones triangulares que tienen un vértice en común. Una pirámide se nombra según la cantidad de lados que tenga la base; por ejemplo: si la base tiene seis lados, se denomina pirámide hexagonal.

Es la pirámide de base regular que tiene Es el sólido limitado por una supercie sus caras laterales congruentes. Estas cónica cerrada y un plano secante a ella condiciones originan que en dicha que interseca a todas las generatrices pirámide las aristas laterales tengan de una misma hoja. longitudes iguales y el pie de la altura sea el centro de la base. A) CONO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN Área lateral (AL): Es aquel cono recto cuya base es un círculo. También También se denomina cono de revolución, porque se genera con una AL = (pbase) . ap región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto.

Vértice o Cúspide O

Arista Lateral

Altura (h)

Cara Lateral

A

Área total (AT): AT = AL + Abase

E

F

D B

V

360°

g

g

ap : Apotema de la pirámide

Base

Notación

h

Pirámide: O - ABCDEF

r

r

V=

0

B

En el gráco, se muestra un cono de

revolución. VO : Altura del cono (VO = h) VO : Eje del cono.

Volumen: V ⇒

h

A

C

Arista Básica

Cono

(Abase . h) 3

Abase : Área de la base.

2 V = πr h 3

pbase : Semiperímetro de la base.

145


B) DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL LATERAL DE UN CONO DE REVOLUCIÓN El desarrollo de la supercie superc ie lateral de un cono de revolución es un sector circular circula r

cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz de dicho cono, y cuyo arco tiene igual longitud que la circunferencia que limita la base.

Conos Semejantes Así como en las pirámides semejantes, también para los conos semejantes se cumplen las siguientes relaciones: O h

En el gráco, se muestra un cono de revolución y el desarrollo de su supercie lateral.

r B’

A’

H

r

q : Medida del ángulo

g

q=

de desarrollo.

r g (360°) R

A

AL = πrg

Área lateral (AL). q

g

B

AT=πr(g+r)

Área total (AT).

1 OA OB OA’’ OB’ OA =

2πr

=

R r

=

H h

2 2 Área del Cono Mayor (OA) Área del Cono Menor (OA’)2 =

=

Pirámides Semejantes Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirámide O - ABC, ésta determinará una sección MNL (sección transversal), la cual será base de otra pirámide O - MNL semejante a la primera.

(OB)2 R 2 (OB’)2 r2 =

M

Se cumple: L

G

1 OA OB OM ON

N A

=

=

OC OH OL OG =

C 2 2 2 Área de (O ABC) OA OB Área de (O MNL) OM2 ON2 OC2 OH2 OL2 OG2 -

H

=

-

=

B

∆MNL // ∆ABC

=

3 Volumen de (O ABC) Volumen de (O MNL) -

-

Pirámide O-ABC ~ Pirámide O-MNL

=

=

OB3 ON3

=

OC3 OL3

146

=

OH3 OG3

=

OA3 OM3

H2 h2

3 3 Volumen del Cono Mayor (OA) Volumen del Cono Menor (OA’)3 =

(OB)3 R 3 = (OB’)3 r3 =

O

=

=

H3 h3


4)

Resolución: 3 1)

El volumen de un cilindro de revolución es 12 3 m3. Calcula el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero inscrito en la base del cilindro y cuyo vértice está en la circunferencia de la otra base.

Resolución:

h B

C R A

Vcil = πR 2 h = 12 3π (1) ⇒ R 2h = 12 3 1 Vpir = SABC × h (2) 3 SABC = (AB)2 3 4 AB = R 3 ⇒ SABCD = (R 3)2 3 4 En (2): 1 Vpir = . 3R 2 × 3 h 3 4 2 3 Vpir = R h 4 De (1): Vpir = 3 . 12 3 4 Vpir = 9

2)

O A'

Calcula el volumen de un cono equilátero cuya longitud de la circunferencia de la base es 12π m.

C'

S B'

Resolución:

6

O

C A

18u2

h B

VTP = H [18+S+ 18.S] (1) 3 O - A'B'C' ∼ O - ABC 2 ⇒ S = (3) ⇒ S = 2u2 18 (9)2 H=6 ∴ En (1): VTP = 6 [18+2+ 18×2] 3 VTP = 2 [26] VTP = 52 u3 Rpta.:= 52 u3 La generatriz de un cono recto mide 10 u y que al desarrollar su superficie lateral resulta un sector circular de 216º de ángulo central. Calcula el volumen del cono.

3)

Resolución:

O A

A

H

B

H

(1)

Si el cono es equilátero OA=OB=AB=2R ∴OH=h= R 3 Dato: 2πR = 12π m ⇒ R = 6 En (1) : VC = 1 π(6)2 × 6 3 3 VC = 72 3 π m3 Rpta.:=72 3 π m3 5)

Se tiene un triángulo ABC; AC = 8u y la altura relativa a dicha base igual a 6u. Calcula el volumen del sólido que se genera al rotar 360º, dicho triángulo, alrededor de un eje que contiene a AC.

Resolución:

B

216°

O R

R

VC = 1 π(R)2 h 3

g=10 u

A

R

6

C

A

R

H 6

L

A π R 2h VC = (1) 3 Superficie lateral del cono = Ssector circular

m3 Rpta.:= 9 m3

En una pirámide triangular triangular,, el área de su base es 18 u2 y la altura 9 u; a la tercera parte de la altura a partir del vértice se traza un plano secante paralelo a la base. Calcula el volumen del tronco de pirámide determinado.

216º ⇒ R = 3 g 360º 5 3 R = 5 (10) ⇒ R = 6

πRg = πg2 ⇒

En

AHO: g = 10; R = 6 ⇒ h = 8

En (1): 2 VC = π(6) ×8 3 VC = 96πu3

Rpta.:= 96πu3 147

B'

Al rotar alrededor de L se generan dos conos que tienen la misma base. Radio de giro = 6 Alturas: AH y HC ⇒ VT = 1 π(6)2 . AH + 1 π(6)2 HC 3 3 2 2 VT = π(6) (AH+HC) = π(6) (AC) 3 3 2 = π(6) × 8 3 VT = 96πu3

Rpta.:= 96πu3


Nivel I 1) Calcula el volumen de la pirámide cuadrangular regular cuya arista básica es 2u y su altura 6u.

4) Del gráco, calcula el volumen de la pirámide cuadrangular regular.

8) Halla el área total del siguiente cono recto.

V 6 2m 6u B

45°

15 u

C O 53°

O

a) 4u3 b) 2u3 c) 3 u3

d) 2 u3 e) 3 u3

A

D

a) 144 m3 b) 128 m3 c) 36 m3

d) 168 m3 e) 288 m3

5) El área lateral de una pirámide 2) Del gráco, calcula el volumen de la pirámide de base cuadrangular regular.

a) 72 cm b) 24 cm c) 18 cm d) 36 cm e) 4422 cm

6u

45°

a) 72 u3 b) 144 u3 c) 180 u3

d) 190 u3 e) 200 u3

3) Calcula el volumen de la pirámide triangular regular, si la altura es igual al semiperímetro de la base y AB=2m. V h

B

2 m

A

C

a) 2 m b) 3 m3 c) 4 m3 3

regular es 180 cm2 y el apotema de la pirámide mide 10cm. Calcula el perímetro de la base.

d) 2 3 m3 e) 2 m3

6) Halla el área total de un cono de de revolución de 13cm de generatriz y 12cm de altura. a) 80π cm2 b) 70π cm2 c) 60π m2

d) 90π cm2 e) 100π cm2

7) El área de la supercie total de un cono de revolución es 24πu2 y su generatriz mide 5u. 5u. Calcula el volumen de dicho cono. a) 12π u3 b) 18π u3 c) 24π u3

d) 36π u3 e) 48π u3

148

a) 108π u2 b) 216π u2 d) 512π u2

d) 532π u2 e) 232π u2

9) En el problema anterior, anterior, el volumen del cono es: a) 972π u3 b) 636π u3 c) 324π u3

d) 256π u3 e) N.A.

10) El volumen de un cono circular recto es 324π cm3. Si el radio de la base mide 9cm; la generatriz del cono mide: a) 12 cm b) 15 cm c) 9 cm d) 16 cm e) 30 cm

11) Una pirámide de 3 32u de altura es cortada por un plano paralelo a la base determinando un tronco de pirámide cuyo volumen es el triple de la pirámide parcial determinada. ¿A qué distancia del vértice de la pirámide se ha trazado el plano? a) 1 u d) 3 u

b) 2 u c) 3 32/3 u e) N.A.


12) Se tiene un cono recto de revolución que es cortado por un plano paralelo a la base de tal manera que la relación entre las áreas de la sección determinada y de la base es de 9 a 16. Halla la relación entre los volúmenes sólidos resultantes. a) 25/39 b) 27/64 c) 27/37 d) 3/4 e) 9/16 13) El volumen de un cono recto es 27u3. Si la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base, calcula el volumen de la porción central. a) 6 u3 b) 7 u3 c) 9 u3 d) 10 u3 e) 13,5 u3 14) El desarrollo de la superficie lateral de un cono circular recto es un sector de 120°. Calcula en qué relación está el radio de la base con la generatriz. a) 1 d) 1/4

b) 1/2 e) 1/5

c) 1/3

15) La generatriz de un cono recto recto mide 5m y la supercie lateral

desarrollada forma un sector circular de 216° de ángulo central. Calcula el volumen de dicho cono. a) 12π m3 b) 36π m3 c) 18π m3

d) 20π m3 e) 16π m3

Nivel II 16) La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6m de lado. Si las aristas laterales también miden 6m, ¿cuál es el área total de dicha pirámide? a) 18( 3+1)m2 b) 36( 3+1)m2 c) 72( 3+1)m2 e) 34( 3+1) m2 e) N.A.

17) La base de una pirámide regular es un cuadrado de lado 3u y su altura es 5u. Halla el volumen del sólido. a) 45 u3 b) 30 u3 c) 15 u3 d) 20 u3 24 u3 18) Calcula la arista arista básica básica de de una pirámide cuadrangular regular de 156 u2 de área total y 10 u de apotema. a) 4 u d) 8 u

b) 5 u e) 10 u

c) 6 u

19) El volumen de una pirámide hexagonal regular, cuya arista lateral mide 6u y forma un ángulo de 30° con la base es: a) 35,1 u3 b) 40,1 u3 c) 55,1 u3

d) 70,1 u3 e) 29,6 u3

20) Si la altura de una pirámide es 2m, determina la distancia del vértice de dicha pirámide a un plano paralelo a la base que la divide en dos partes de volúmenes equivalentes. d) 3 6 m e) 1 m

a) 2 m b) 3 4 m c) 3 8 m

21) Si el área lateral lateral de de un cono recto es el doble del área de su base, calcula la medida del ángulo que forma la generatriz con la altura. a) 10° d) 60°

b) 30° e) 75°

c) 45°

22) Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de un cubo de 24cm2 de área total. Determina el volumen del cono. d) 8/3 cm3 e) 83/17 cm3

a) 6 cm3 b) 9 cm3 c) 8 cm3 149

23) El diámetro de la base de un cono recto de revolución mide 20cm. Si las generatrices forman un angulo de 60° con el plano de la base, encuentra el área total del cono. a) 150π cm2 b) 200π cm2 c) 300π cm2

d) 400π cm2 e) 500π cm2

24) El volumen de un cono circular recto de 32m de diámetro es 1024πm3. Halla el área total del cono. a) 576π m2 b) 320π m2 c) 432π m2

d) 288π m2 e) 360π m2

25) El volumen de un cono es 16m3. Si por el punto medio de su altura se traza un plano paralelo a la base, calcula el volumen del cono pequeño formado. a) 1 m b) 2 m c) 3 m

d) 4 m e) 6 m

26) ¿A qué distancia del vértice vértice debe cortarse un cono de 10cm de altura por un plano paralelo a la base para que resulten dos partes equivalentes? a) 4 3 4 cm b) 3 3 4 cm c) 5 3 4 cm

d) 2 3 4 cm e) 3 4 cm

27) Calcula a qué distancia del vértice debe cortarse una pirámide con un plano paralelo a la base, de manera que el área de la sección sea la mitad del área de la base sabiendo que la altura de la la pirámide es 2 2m. a) 2 2 m b) 2 m c) 3 m d) 1 m e) 3 2 m


28) El radio de la circunferencia circunscrita a la base de una pirámide de base cuadrada mide 4u. Calcula el apotema de la pirámide, sabiendo que su arista lateral mide 8u. a) 2 13 u b) 2 14 u c) 2 15 u

d) 2 17 u e) 2 19 u

33) La diferencia entre el área total y el área lateral de una pirámide hexagonal es 96 3cm2. Calcula el lado de la base.

calcula x. a) 2 cm b) 4 cm c) 8 cm

d) 12 cm e) 16 cm

V

a) 24πcm2 b) 12π 2cm2 c) 12πcm2

A

d) 24π 3cm2 e) 24π 2cm2

30) Una pirámide regular hexagonal tiene sus aristas básicas de 2m y las aristas laterales miden 6m. Calcula su área lateral. a) 7 26 m b) 5 29 m2 c) 4 31 m2 2

d) 6 35 m e) 6 33 m2

34) Halla el área lateral de un cono de revolución cuya generatriz mide 6cm y el diámetro de su base 8cm. a) 12π cm2 b) 24π cm2 c) 18π cm2

d) 48π cm2 e) 32π cm2

35) El área lateral de un cono de revolución es 6 0 π c m 2 y s u generatriz mide 12cm. Halla la longitud de la circunferencia de la base.

2

a) 10π cm b) 8π cm c) 5π cm

d) 6π cm e) N.A.

Nivel III 31) La base de una pirámide regular es un cuadrado cuya área es 25cm 2. Si el apotema de la pirámide mide 12cm, halla el área lateral. a) 240 cm2 b) 120 cm2 c) 100 cm2

d) 60 cm2 e) 300 cm2

32) Halla el volumen de una 32) pirámide triangular regular cuya base tiene 6cm de lado y además la altura de la pirámide mide 8 3cm. a) 72 cm b) 108 cm3 c) 140 cm3

3

d) 156 cm e) 204 cm3

36) En una pirámide regular 36) hexagonal su área lateral es el doble de la base. Si la arista de la base es 4m, calcula su volumen. a) 12 3 m3 b) 24 3 m3 c) 48 48 3 m3

d) 64 3 m3 e) 96 3 m3

37) Calcula la arista básica de una pirámide cuadrangular regular de 600m2 de área total y 25m de apotema. a) 2,5 m b) 5 m c) 7,5 m

C

B

x

29) Calcula el área lateral lateral de un cono que se genera al girar un triángulo rectángulo isósceles de área 12cm2 alrededor de una cateto.

3

38) Si ABCD // PQRS SABCD= 32 m2 SPQRS= 288 m2

d) 8 m e) 10 m

150

Q

P

D

R

12m

S

a) 2 m b) 4 m c) 6 m

d) 8 m e) 9 m

39) La altura de una pirámide es 3 10. ¿A qué distancia de la cúspide pasará un plano paralelo a la base de la pirámide de tal manera que los volúmenes obtenidos sean iguales? a) 3 16/2 b) 1/2 c) 3 5

d) 2 e) 3

40) El área total de un cono es 2000 π m 2, y el producto de la 20 generatriz y el radio es 136m 2. Calcula su volumen. a) 165πm3 b) 180πm3 c) 230πm3

d) 285πm3 e) 320πm3


41) Calcula el volumen de un cono de revolución si el desarrollo de la superficie lateral es un semicírculo de 18πm2 de área. a) 6 3πm3 b) 9 3πm3 c) 12 3πm3

d) 15 3πm3 e)18 3πm3

42) El área lateral de una pirámide regular hexagonal es de 48m2. Halla el lado de la base si el apotema de la pirámide tiene una medida igual a cuatro veces la medida del radio que circunscribe a la base. a) 1 m d) 3 m

b) 2 m e) 4 m

c) 2,5 m

43) El volumen de una pirámide de altura “h” es 18m3 . Se trazan dos planos paralelos a la base a una distancia de h/3 y 2h/3 de dicha base. Halla el volumen entre los planos paralelos. a) 14m3 b) 7/3m3 c) 7/27m3 d) 5m3 e) 14/3m3

46) La altura de una pirámide regular hexagonal es 18 y al arista de la base media mide 12. Calcula a qué distancia de la cúspide se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección transversal tenga el área de 72 3. a) 12 3 b) 6 3 c) 8 3

47) Una esfera cuyo radio mide 3cm está inscrita en un cono recto. Se traza un plano tangente a la esfera perpendicular a la generatriz del cono. Si el plano dista 1cm del vértice del cono, calcula el volumen de dicho cono. a) 82πcm3 b) 96πcm3 c) 89πcm3 d) 92πcm3 e) 84πcm3 48) En una pirámide pentagonal regular, halla la medida del ángulo diedro que forma una cara lateral con la base. V SVBC=5u2

44) Halla el volumen de una 44) pirámide regular cuya base es un hexágono regular de lado “a”, sabiendo que la arista lateral es el doble de la arista de la base. a) 3 2 a3 b) 2a3/6 c) a3

d) 3a3 6 e) 3a3/2

45) Halla el volumen de una 45) pirámide regular cuadrangular, sabiendo que el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista later lateral al en 3 y 4cm, respectivamente. a) 4608 2 cm3 7 b) 4608 cm3

d) 10 3 e) 5 3

O

α

C

A

B S =4u2 BOC

a) 30° b) 37° c) 45°

d) 60° e) 75°

d) 1 cm3 e) 2 cm3

c) 4608 cm3 7 151

49) Sea V–ABCD una pirámide regular en la cual la distancia de B a VD es 2 2u y además las regiones AVC y ABCD son equivalentes. Calcula su volumen. a) 40 10 u3 3 b) 40 u3 3 c) 5 10 u3 3

d) 40 u3 e) 10 u3

50) Calcula el volumen de una pirámide V-ABC, si VA= 17m, VB=VC=6m, AB=AC=5m y BC=8m. a) 2m3 d) 4m3

b) 8m3 c) 16m3 e) 32m3

Nikolai Ivanov Nikolai Ivanovich ich Lobachevski

Matemático ruso, fue uno de los primeros en aplicar un tratamiento crítico a los postulados fundamentales de la geometría euclídea. Nació en Nizhny Nóvgorod y estudió en la Universidad de Kazán. Enseñó en Kazán desde 1812 hasta 1846, llegando a ser profesor de matemáticas en 1823. Con independencia del húngaro János Bolyai y del alemán Carl Gauss, Lobachevski descubrió un sistema de geometría no euclídea. Entre sus obras destacan Sobre los principios princi pios de la geometr geometría ía (1829) y Geometría imaginaria (1835).


Sólidos Geométricos IV Esfera y Sólidos de Revolución 24 (Teorema de Pappus y Gulding)

Capítulo:

Superficie Esférica

Esfera

Es aquella supercie generada por una

Es aquella sólido generado por un semicírculo al girar 360°, en torno a su diámetro.

semicircunferencia al girar 360° en torno a su diámetro.

Semicírculo generador

360°

ZONA ESFÉRICA Y SEGMENTO ESFÉRICO

r1

A

360°

B a

R R

r2

D

O 2R

C

R

Zona Esférica: ABCD (Superficie)

Eje de giro

Circunferencia menor

Eje de giro

Plano secante

Círculo menor

Plano secante

SZE= 2π Ra Segmento Esférico Esfé rico (Volumen) (Volumen) VSE =

O

O

R

6

+

πr12a

2

+

πr22a

CASQUETE ESFÉRICO

R

a B

A

Circunferencia máxima

Plano tangente

Plano tangente

A = 4π R 2 SE

2

F

R

R

R

πa3

R

Círculo máximo

V = 4 πR 3 3 E

A : Área de la superfice esférica.

Casquete Esférico: AFB SCE= 2π Ra

SE

152


Ár ea y Vol Área Volúm úmen enes es de Cuerpos Generados

SECTOR ESFÉRICO (VOLUMEN)

HUSO ESFÉRICO (SUPERFICIE)

TEOREMA DE PAPPU TEOREMA APPUS SY GULDING

R

R α

h

O

1.er Caso (Superficie)

O

El área de la supercie generada

R

por la línea de longitud lo ngitud ‘‘L’’ ‘‘L’’ cuando gira gi ra una vuelta completa alrededor de la recta L .

R

SG = 2π(x).L

O: centro SHE =πR 2 .

α° 90°

L

O R

B

R h

CG x

CUÑA ESFÉRICA (VOLUMEN) h R

A

R O

R

α

O

CG: Centro de gravedad de la línea de longitud L.

R R

O: centro

2.do Caso (Volumen) El volumen del sólido generado por una región regió n de área ‘‘A’’ cuando gira una vuelta completa alrededor de la recta L.

V = 2 πR 2h 3 SE

VCE =πR 3 .

α°

270°

VG = 2π( x ) . A

ANILLO ESFÉRICO (VOLUMEN) (VOLUMEN) L A

A O

h

R

CG

x

B

V = 1 π(AB)2h 6 AE

153

CG: Centro de gravedad de la región de área ‘‘A’’.


[

[

Sconos=2 8x2xπ(4 3) = 64π 3 cm2 2 1)

Se tiene 7 esferas de modo que el volumen de una es el doble de la anterior. Calcula la relación entre los radios de las esferas menor y mayor. a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8

Scilindro = 2π(4 3)x 4 = 32π 3

Rpta.: e

3)

Resolución:

Los volúmenes de las esferas son: V; 2V; 4V;... 2°V; 21V; 22V; ....2 .. ..26V El volumen es proporcional al radio al cubo. V = r3 26V R 3 ⇒

⇒

d) 2r

(

(

b) 1 + 3 r 2 c) ( 3 + 1)r

13 = r3 (22)3 R 3

1 = r R 4

El radio R de la menor esfera hueca que contiene a cuatro esferas sólidas de radio r es igual a: a) 2r

e) 3 r 2

Resolución:

C

a) 64π 3 b) 128π 3 c) 32π 3

d) 112π 3 e) 96π 3

Resolución:

4

D

r H

O

A

R= r 1+ 3 2

[

] Rpta.: b

4)

Con centro en los vértices de un cubo de lado “a” se trazan esferas de radio a/2. Si la esfera de radio r contiene a estas 8 esferas y es tangente a cada una de ellas, entonces el valor de a/r es: d)

Resolución:

a 2

B

Cada vértice del tetraedro es el centro de cada esfera. R : OC + r 2 (r 3). 3

Teorema de Pitágoras en el ∆CHB

(

⇒

3

e) 2 3

O

4

CO = 3r 6

r

CH2 = (2r)2 - 2r 3 3

4 3

( (

⇒

r

En el ∆ABD, HB = 8

4r 6

c) 1 2

P

Una superficie “S” se obtiene por la rotación de un trapecio isósceles alrededor del eje que contiene a su lado mayor. mayor. Si dicho trapecio tiene un ángulo de 60° y bases de 4 cm y 12 cm de longitud, ¿cuál es la medida del área, en cm2, de “S”?

3 4

a) 3 1 2 b) 2 - 1

Rpta.: b

2)

CO=

R= 3r + r = 3r 3 + r 6 6 3

S = Sconos + Scil = 96π 3

d) 1/16 e) 1/32

Por propiedad:

CH = 4r 6

4

154

2

(

a B 2 Q r

P A

R= OQ + a 2 PQ a2 + a2 + a2 OQ= = 2 2 OQ= a 3 2 ∴R= a 3 + a 2 2 Luego: a = 3-1 R Rpta.: b

-


Nivel I 1) El volumen de una esfera es (π/6) u3. Halla el área de la supercie esférica. a) π u b) 2π u2 c) π/2 u2 2

d) 4π u e) π/4 u2 2

d) 2 3 cm e) 4 3 cm

3) Calcula el volumen de la esfera inscrita en un cubo de área total 24 m2. a) 4π m3 3 b) 4π m3 39 c) 7π m3 9

d) 18π m3 28 e) π m3 8

π

3

d) 2π 3

π

b) 6

π

c) 19

e) π 2

a) 6π m2 b) 8π m2 c) 12π m2

el área de la supercie esférica.

d) 20 m2 e) 25 m2

d) 16π m2 e) 20π m2

7) El círculo máximo de una esfera tiene como área 36π m2. Calcula el volumen de la esfera. a) 188π m3 b) 268π m3 c) 278π m3

d) 288π m3 e) 386π m3

8) Calcula la longitud del radio de una esfera, sabiendo que su área es numéricamente igual a su volumen. a) 1 d) 3

4) Una esfera se proyecta sobre un plano tangente a ella. Si el área de la proyección es 5m2, calcula a) 5 m2 b) 10 m2 c) 15 m2

a)

6) Calcula el área de la supercie total de una semiesfera de radio 2m.

2) El centro de una esfera de 4 cm de radio se encuentra a 2 cm del centro de uno de los círculos menores. Calcula el radio del círculo menor respectivo. a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm

5) Un cubo y una esfera tienen igual área. Calcula la relación entre sus volúmenes.

b) 2 e) 3

c) 2

b) 12 e) 28

155

a) 8π cm2 b) 12π cm2 c) 16π cm2

d) 20π cm2 e) 24π cm2

11) Calcula el volumen volumen de de la cuña esférica si el área del huso esférico de 30° es de 180 π. a) 438π b) 564π c) 600π

d) 648π e) 700π

12) Halla el volumen de una cuña esférica de 30° si su área total es 12π. a) π d) 4π

b) 2π e) 5π

c) 3π

13) En el gráco adjunto se muestra un cuadrante de radio 5m y el segmento OA mide 3m. Determina el volumen generado por la región sombreada al rotarla en torno al eje Y. y

9) Un almacén tiene la forma de un semiesfera. Si se necesitan 8 galones de pintura para cubrir el piso, ¿cuántos galones se necesitarán para pintar el interior del almacén? a) 8 d) 24

10) Calcula el área de la supercie de una esfera inscrita en un cono equilátero de altura 6 cm.

c) 16

C

B

O

A

a) 143π/3 m3 b) 134π/3 m3 d) 124π/3 m3

x

d) 132π/3 m3 e) 142π/3 m3


14) La línea AB gira alrededor del eje “L”, determinando deter minando una superfcie de revolución cuya área es igual a 216π cm2. Si la longitud de dicha línea es el triple de la distancia de su centro de gravedad al eje “L”, halla dicha longitud. l ongitud.

17) Una esfera de radio igual a 1,5m tiene el mismo volumen que un cono circular recto cuyo radio de la base es 0,75m. Calcula la altura del cono. a) 20 m b) 22 m c) 24 m

d) 25 m e) 27 m A 4

A Eje “L”

a) 36 cm b) 18 cm c) 24 cm d) 48 cm e) 9 cm 15) El círculo de radio “R” gira alrededor del eje “L”. Halla el volumen del sólido generado.

18) Calcula el radio de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista mide a. a) a 7 3 b) a 2 4 c) a 3 2

d) a 6 6 e) a 2

19) Un triángulo equilátero de lado “a” gira alrededor de uno de sus lados. Halla el volumen del sólido generado. πa3

R

Eje “L”

a) 2πR 3 b) 2π2R 3 c) π2R 3 d) 4π2R 3 e) 8πR 3

16) Calcula el volumen de una esfera circunscrita a un cubo de 6m de arista.

H

9

B

a) 152πu3 b) 234πu3 c) 210πu3 d) 156πu3 e) 186πu3 22) En la figura, AB=PC=6m. El volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar el triángulo ABC alrededor de la recta “L” es: A

B

πa3

a) 2 3 b) πa 3 3 c) πa 4

d) 6 3 e) πa 8

20) Halla el volumen del sólido generado cuando la región sombreada gira alrededor del eje “L”.

Nivel II

c) 108 3π m3

la gura. C

B

a) 105 3π m3

21) Calcula el volumen volumen del del sólido sólido generado por la rotación sobre el segmento AB del triángulo de

37° 8

P

C

a) 18π m3 b) 72π m3 c) 60π m3

d) 27π m3 e) 24π m3

23) Calcula el área del sólido generado al girar la región triangular ABC alrededor de AC si AB=BC=AC=12m.

A

B 4

d) 105 3π m3 8 e) 408 3π m3 7

12m C L

e) 110 3π m3 a) 120πu3 b) 300πu3 c) 240πu3 d) 360πu3 e) 60πu3

156

a) 196 3πm2 b) 146 3πm2 c) 144 3πm2

d) 150 3πm2 e) 152 3πm2


24) Una esfera es cortada por un plano en dos casquetes cuyas supercies están en relación de

4 a 5; además la cuerda del arco generador del casquete menor es de 60m. Halla la longitud del radio de la esfera.

28) En la figura, BH=BC=4. 28) Calcula el volumen del sólido engendrado por la región trapecial ABCD (AB=CD) al girar en torno al eje coplanar L. B

C

a) 15 m b) 30 m c) 36 m d) 45 m e) 48 m 25) Un recipiente cilíndrico de 5dm de radio contiene cierta cantidad de agua. Si se introducen 3 bolas de igual radio, el nivel de agua sube 4,32 dm. ¿Cuánto mide el radio de cada bola? a) 3 dm b) 6 dm c) 2 dm d) 4 dm e) 8 dm 26) La región triangular mostrada gira en torno al eje coplanar ‘‘ L ’’. Calcula el volumen del sólido engendrado.

L

53° D

53°

A

H

a) 36 cm b) 35 cm c) 360 cm d) 3,6 m e) 360 m

T

a) 48πu3 b) 64πu3 c) 80πu3 d) 100πu3 e) 96πu3

29) Calcula el volumen volumen del sólido generado por la región cuadrada ABCD al rotar 360° alrededor del eje coplanar xy (π= 22 ). 7 B 5

A

C

30° 37°

6

32) Imaginemos que es posible enrollar un cable de 2 mm de diámetro hasta que adopte la forma de una esfera (un ovillo). Si no hay supuestamente espacio vacío en dicho enrollamiento, ¿qué longitud de cable es necesario para obtener una esfera de radio 3 cm?

x

y

a) 625 u3 b) 610 u3 c) 600 u3 d) 550 u3 e) 530 u3

33) En una esfera de radio “r” su volumen es 3 veces mayor a su área. Calcula su volumen. a) 36πu3 b) 72πu3 c) 243πu3 d) 486πu3 e) 972πu3 34) Calcula el volumen de una gota de agua formada por un cono de altura 3r y una semiesfera de radio “r”. d) 65 πr3 e) 52 πr3

a) 5 πr3 3 4 b) 3 πr3 c) 7 πr3 3

L a) 3 3πu3 b) 6 3πu3 c c)) 9πu3 d) 9 3πu3 e) 12πu3 27) La región cuadrada que se muestra gira en torno t orno al eje ej e ‘‘L’’. ‘‘L’’. Calcula el volumen del sólido engendrado.

L C

35) Calcula el angulo “α” si el área de la esfera es al área de la base del cono como 4 es a 3.

a) 420 u2 b) 440 u2 c) 510 u2 d) 530 u2 e) 540 u2

α

Nivel III

3 2

B

30) Del problema anterior, calcula el área generada por la región cuadrada.

D

A a) 6πu3 b) 9πu3 c) 18πu3 d) 36πu3 e) 24πu3

31) Calcula el área lateral de un cono que se genera al girar un triángulo rectángulo isósceles de área 12 cm 2 alrededor de un cateto. a) 24π cm2 b) 12π 2 cm2 c) 12π cm2 157

d) 24 3π cm2 e) 24 2π cm2

a) 15° d) 45°

b) 30° e) 53°

c) 60°


36) En la fgura mostrada, calcula el área de la región sombreada la cual se obtiene al girar el arco AB, 10° alrededor de OA. Se sabe que OA=OB=6m.

39) En un cesto se han colocado colocado dos pelotas de igual radio y el volumen de una de ellas es 32πcm3. Calcula el volumen del cesto.

43) El volumen de un segmento esférico es 20π/3 y su altura es 1. Calcula la longitud del radio de la base mayor si la diferencia entre los radios de sus bases es de 1.

A

a) 1 d) 4 B'

O B

a) 4πm2 b) πm2 c) 2πm2 d) 6πm2 e) 8πm2 37) Calcula el volumen de una cuña esférica, sabiendo que la esfera inscrita en dicha cuña tiene un radio de 1 metro y los semicírculos que lo limitan forman un diedro de 60°. a) 4πm3 b) 5πm3 c) 6πm3 d) 8πm3 e) 10πm3 38) La gura gura muestra un triángulo equilátero de lado “2a” que ha sido dividido en 4 triángulos equiláteros congruentes de lado “a”. Calcula el volumen que genera el triángulo sombreado al girar alrededor del eje “L”.

a) 8π cm3 b) 16π cm3 c) 24π cm3

b) 32π cm3 d) 36π cm3

40) Calcula el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio 2m. a) πm3 b) 2πm3 c) 3πm3 d) 4πm3 e) 5πm3

41) En una esfera de 13m de radio, se le traza un plano secante a 5m del centro. Halla el área total del segmento esférico de una base.

a) 362πm2 b) 352πm2 c) 402πm2

d) 256πm2 e) N.A.

supercie esférica de radio 8u, de modo que el área de la supercie

a) π 2 a3 4 b) π 3 a3

d) π 3 a3 2 e) 3π 3 a3 2

de esta zona aumentada en el área de la base sea igual a los 7/16 del área de la superficie esférica. a) 3u d) 6u

c) 3

44) En el gráco la proyección de AB sobre el eje de giro es de R 2/2. Si el arco AB mide 120°, halla el volumen del sólido que genera el segmento circular AB. B

A

R

Eje

a) πR 3 3 4 b) πR 3 2 2 c) πR 3 2 6

d) πR 3 5 2 e) πR 3 2 4

45) Una esfera está inscrita en un cilindro recto de revolución cuyo volumen es 54πu3. Calcula el área del huso esférico que corresponde a una cuña esférica de πu3 de volumen. a) 2πu2 b) π/2u2 c) 2π/3u2 d) 3π/2u2 e) πu2

42) Determina la altura de la zona esférica de una base, en una

Eje L

b) 2 e) 5

b) 4u e) 8u

c) π 3 a3 4

158

c) 5u

46) Calcula el volumen de de la la cuña esférica en la cual se ha inscrito una esfera de 1m de radio. Los semicírculos que lo limitan forman un ángulo diedro de 60°. a) 9π d) 3π/2

b) 6π e) 6π/5

c) 3π

3.geometría 5to

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