Tema
3.3. .3.
Volúm lúmenes enes
de
sóli sólido dos s
de
revolución.
En los ejercicios del 1-3, escribir y calcular la integral que representa el volumen del sólido generado al hacer girar la región en torno al eje x. x. 1.
y
= −
x +1
2.
y
=
En los ejercicios " y #, hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones en torno a las rectas que se especi!ican. ".
x
#.
, y = % , a) El eje x eje x b) 'a recta x recta x = 4 x = " = " y
y
=
x = 4
x
=
x 2 ,
y
4 x
=
a& El eje y
b& El eje y eje y c& 'a recta
−
x2
b& 'a recta x recta x = " = "
En los ejercicios ( y ), escribir el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones en torno a la recta y recta y = 4. 3.
y
=
x 2 ,
y
=
x 3
(.
y = x
).
y
, y
1 =
x
,
=
y
3
=
,
x = %
%,
x
=1
,
x = 4
En los ejercicios 1% y 11, hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones en torno a la recta x recta x = ". En los ejercicios 4 y , !ormular y calcular la integral que representa el volumen del sólido generado al hacer girar la región en torno al eje y. y. 4.
y
=
x 2
. y
=
x 2 3
1%.
, y
y = x
11. x
=
y 2 ,
=
%,
x = 4
,
x = "
x = 4
En los ejercicios 12, 13 y 14, hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones en torno al eje x eje x.. 1
12.
y =
13. y 14.
x + 1
1 =
y =
x
e
, y −x
, y =
, y
=
%,
=
%,
%,
x
x = % ,
=1
,
x = % ,
x = 3
x = 4
x
=
1
1. *all *allar ar el volu volume men n del del sóli sólido do gene genera rado do al girar la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones y = 3 ( 2 − x) , y % , x = % , en torno al eje y eje y.. =
En los ejercicios 1"-1(, usar integración en la calc calcul ulad adora ora para para apro apro+i +ima marr el volum volumen en del del sólido generado al girar la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones en torno al eje x eje x.. 1". 1#.
y = sen x , y =
−x
e
, y
x 2
1(. y = e
y
+e
=
%,
=
%,
−x
2
,
x = % , x = % ,
y
=
%,
x
x
x
=
=
2
= −1
,
π
x
=
2
1). Para pensar a& 'a regió gión acotada por la par$bola y = 4 x − x y el eje +. al alcula cularr el volumen del solido resultante. b& i se cambiase la ecuación de la par$bola en el apartado a& por y = 4 − x , ser/a distinto el volumen del del sól sólido ido gene generrado0 ado0 E+pl E+pliicar car la respuesta.
En los ejercicios 24-2), usar el mtodo de capas para !ormular y calcular la integral que da el volumen del sólido generado al hacer girar la región en torno al eje y eje y..
2
24.
y = x
2.
y
=
x
2
2%. 2%. i la la porci porción ón de la la recta recta y =
1 2
x que est$
en el primer cuadrante gira en torno al eje +, se genera un cono. *allar el volumen del cono entre x = % y x = " . 21. eri!icar ri!icar con el mtodo mtodo de los los discos discos que el volumen de una es!era de radio dio r es y
4 =
π
3
3
r .
22. n cono cono con con base base de radi radio o r y y altura H altura H se se cort cortaa por por un plano plano paral paralel elo o a la base y situ situad ado o h unidad unidades es sobre sobre ella. ella. *allar *allar el volumen del sólido tronco de cono& que queda por debajo del plano. 23. El depós depósit ito o en el ala ala de un avión avión tiene tiene la !orma !orma de un sólido sólido de revolución revolución generado al hace hacerr gira girarr la regi región ón acot acotad adaa por por la gr$!ica
1 y =
(
x
2
2 − x
y el eje x eje x,, en torno
al ste vase !igura&, donde + e y se miden en metros. *allar el volumen del depósito. depó sito.
2". y
=
x 2 ,
2#. y
=
x 2 , y
2(. y
=
4 x
2). y
=
y
−
1 2π
x
=
= 2
e
1 , x = 2 4 x
−
x
2
,
x = % ,
x2
2
−
,
y
=
y
=
4
% , x = % ,
x
=
1
En los ejercicios 3%-31, usar el mtodo de capas para escribir y calcular la integral que da el volumen del sólido generado al hacer girar la región en torno al eje x. eje x. 3 %.
y = x
31. y
1 =
, x
x
=
1 , x
=
2 , y
=
%
En los ejercicios 32-33, calcular, por el mtodo de capas, el volumen del sólido generado al girar la región plana dada alrededor de la recta que se especi!ica. 32. y
=
x 2 , y
x = 4
33. y
=
=
4 x
−
x2 ,
en torno a la recta
%,
en torno a la recta
.
4 x
−
x2 ,
y
=
x =
En los ejercicios 34-3, usar el mtodo de los discos o el de las capas para hallar el volumen del sólido generado, al girar en torno a la recta dada, la región acotada por las gr$!icas de las ecuaciones. 3
34. y = x , y = a& El ej eje x
% , x = 2
b& el eje eje y
c& la recta recta
x = 4 1 2
1 2
3. x + y = a a& El ej eje x x
=
1 2
, x = % , y b& el eje eje y
=
%
c& la recta recta
a
3". 3". n sóli ólido se gene genera ra haci hacien endo do gira girarr la regi egión acotada por
1 y =
2
x
2
e y
=
2
alrededor del eje y. e per!ora un ori!icio circ circul ular ar,, cent centra rado do en el eje eje de giro giro,, de modo que el sólido pierde un cuarto de su volumen. 5u di$metro tiene el ori!icio0 3#. e per!o per!ora ra una es!er es!eraa de radio radio r va vase se la !igura& de modo que la altura del anillo es!rico que queda tiene altura h. 6robar que el volumen del anillo es y = π h " . 3
