I N G E N I E R Í A C I V I L I N D U S T R I A L
Estadística Aplicada II Dayana Jaque S.
I N G E N I E R Í A C I V I L I N D U S T R I A L
UNIDAD III PARTE 1: DISEÑO
DE EXPERIMENTOS
2
Definicioness Preliminares Definicione Para llevar a cabo diseños de experimentos a menudo utilizaremos los conceptos Factor y Niveles, lo que se define a continuación.
Factor:
Es la característica que diferencia a los tratamientos o poblaciones entre sí. Puede ser cuantitativo o cualitativo.
Niveles: Los diferentes tratamientos o poblaciones.
3
¿Qué es un diseño de experimento? Es el estudio experimentales cuantitativas.
del efecto que tienen sobre
distintas ciertas
situaciones respuestas
Ejemplos:
4
Un experimento para estudiar los efectos de cinco marcas de gasolina en el desempeño de un motor de automóvil (mpg). Un experimento para estudiar los efectos de la presencia de cuatro soluciones azucaradas (glucosa, sacarosa, fructuosa y una mezcla de las tres) en el desarrollo bacteriano. Un experimento para investigar si la concentración de madera dura en la pulpa (%) tiene un efecto en la resistencia a la tensión de bolsas hechas de pulpa. Un experimento para decidir si la densidad de color de especímenes de tela depende de la cantidad de colorante utilizado.
Diseño de Experimentos Todo experimento involucra una secuencia de actividades: 1. 2. 3. 4.
5
Conjetura: la hipótesis original que motiva el experimento. Experimento: prueba efectuada para investigar la conjetura. Análisis: análisis estadístico de los datos obtenidos del experimento. Conclusión: lo que se ha aprendido de la conjetura original con la realización del experimento. A menudo, ésta conduce a una conjetura nueva y a un experimento nuevo, y así sucesivamente.
Diseño de Experimentos de Un Factor Unidad III, Capítulo 3: Diseño de Experimentos
Diseño de Experimentos de Un Factor Lo que deseamos probar es si la media de cada nivel del factor (de cada tratamiento) es igual para todos, o bien, si el efecto de cada nivel del factor es nulo sobre la verdadera media poblacional, es decir: Efecto del tratamiento sobre la variable de respuesta (nulo)
La hipótesis alternativa es que al menos una de las verdaderas medias de los tratamientos difiere de las demás.
7
Ejercicio 3.1 Ejemplo 10.1 de Devore: El artículo “Compression of Single-Wall Corrugated Shipping Containers Using Fixed and Floating Test Platens” ( J. Testing and Evaluation, 1992: 318-320) describe un experimento en el cual se compararon varios tipos diferentes de cajas con respecto a resistencia a la compresión (lb). La tabla siguiente presenta los resultados de un experimento ANOVA unifactorial que implica 4 tipos de cajas (las medias y desviaciones estándar muestrales concuerdan con los valores dados en el artículo).
8
Ejercicio 3.1 Con μi denotando la resistencia a la compresión promedio verdadera de las cajas de tipo i (i : 1, 2, 3, 4), la hipótesis nula es: H0: μ1 = μ 2 = μ3 = μ 4.
Análisis de caja comparativo:
9
Diseño de Experimentos de Un Factor Modelo estadístico lineal:
Y ij
i ij
Efecto del i-ésimo tratamiento También puede escribirse:
10
Tratamiento 1 2 . . nA
i 1, 2, ... n A j 1, 2, ... n n: cantidad de observaciones por tratamiento
Residuo ~ N(0,σ2)
Y ij
i ij
y 11
Observaciones y 12 …
y 21 . . ynA1
y 22 . . ynA2
… … … …
Promedios
y1n
Totales y 1.
y 2n . . y nAn
y 2. . . ynA.
y2. . . yn .
y..
y..
y1.
A
Diseño de Experimentos de Un Factor Los efectos de los tratamientos corresponden a desviaciones respecto de la media global μ. Luego: n A
0 i
i 1
La prueba de hipótesis está definida por:
2 ... n 0 al menos para una i H a : i 0 H 0 : 1
11
A
Diseño de Experimentos de Un Factor
Los efectos de los tratamientos se anulan entre sí
12
Tipos de Experimentos Tipos de Experimentos Completamente Aleatoriazados
Modelo de Efectos Fijos
Modelo de Efectos Aleatorios
Las conclusiones obtenidas no pueden extenderse a tratamientos similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento no constituyen una muestra aleatoria)
Las conclusiones obtenidas pueden extenderse a tratamientos similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento constituyen una muestra aleatoria)
13
Modelos de Efectos Fijos Variabilidad Variabilidad Total
de los Datos (SST) Variabilidad debido al tratamiento (SSTr)
Variabilidad inherente de los datos (SSE)
(Variabilidad Entre)
(Variabilidad Dentro)
SST n A
n
y i 1 j 1
14
n A
SSTr SSE nA
n
y.. n y i . y.. yij y i . 2
ij
2
i 1
2
i 1 j 1
Dif. entre tratamientos
Error aleatorio
(variabilidad entre)
(variabilidad dentro)
Modelos de Efectos Fijos Definiciones Puede demostrarse que:
E SSTr n A 1 2
n A
n i2 i 1
Considerando las hipótesis:
Pero, si Ha es cierta, entonces:
Luego, si H0 se cumple, entonces:
n A
SSTr 2 E n A 1
SSTr 2 E n A 1
n
2
i
i 1
n A 1
Cuadrado medio de los tratamientos
Si H0 es falsa, MSTr sobreestima a estimador insesgado de 2 15
2 ,
pero si H 0 es verdadera MSTr es
Modelos de Efectos Fijos Definiciones También puede demostrarse que:
E SSE n A n 1 2
Luego, sin importar si H0 es cierta o falsa, se cumple que:
SSE 2 E n A n 1
Error cuadrático medio
16
Modelos de Efectos Fijos Estadístico de Prueba
Si las poblaciones son normales, es demostrable que el estadístico F 0 sigue una distribución F-Fisher:
17
Modelos de Efectos Fijos Estadístico de Prueba
Región de Rechazo: f ≥ c P F
c | H 0 es verdadera
TEOREMA: Sea F = MSTr/MSE el estadístico de un ANOVA de un factor con “nA” poblaciones y el tamaño de cada muestra es “n”. Cuando H0 es verdadera y se cumplen las suposiciones anteriormente planteadas, entonces F tiene una distribución F con 1 = nA - 1 y 2 = nA(n - 1). Es una prueba de cola superior, cuya región de rechazo es de la forma:
18
Modelos de Efectos Fijos Fórmulas de Cálculo Muestras con igual tamaño en cada tratamiento
SST
n A
n
y
2 ij
i 1 j 1
SSTr
n A
i 1
2 i
y . n
y 2 .. nAn
Muestras con distinto tamaño en cada tratamiento
SST
n A
SSTr
n A
y 2 .. N
2 .. y y . 2 i
n i 1
SSE SST SSTr 19
yij2
i 1 j 1
y 2 .. nAn
ni
i
N
¿Qué opinas sobre esta cita? 20
Modelos de Efectos Fijos ANOVA TABLA ANOVA (con igual tamaño muestral en cada tratamiento) Fuente de Variación Tratamientos
Grados de Libertad nA-1
Suma de Cuadrados SSTr
MSTr = SSTr / (nA-1)
Error
nA(n-1)
SSE
MSE = SSE / [nA(n-1)]
Total
nAn-1
SST
Cuadrado Medio
f MSTr/MSE
TABLA ANOVA (con distinto tamaño muestral en cada tratamiento) Fuente de Variación
Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
Tratamientos
nA-1
SSTr
MSTr = SSTr / (nA-1)
Error
N-nA
SSE
MSE = SSE / [N-nA]
Total
N-1
SST
f MSTr/MSE
Todos los cálculos necesarios para llegar al estadístico f pueden escribirse utilizando el formato de la tabla. 21
Ejercicio 3.2 (Ejemplo 10.13 J.L. Devore) Los datos adjuntos se obtuvieron con un experimento que compara el grado de manchado de telas copolimerizadas con tres mezclas diferentes de ácido metracrílico (datos similares aparecieron en el artículo “Chemical Factors Affecting Soiling and Soil Release from Cotton DP Fabric”, American Dyestuff Reporter , 1983: 25-30).
Use el análisis de varianza (ANOVA) para determinar si existe un efecto de las mezclas de ácido metracrílico en el grado de manchado de las telas copolimerizadas.
22
Ejercicio 3.2 Solución: La hipótesis a probar es:
Se deben calcular las sumas de cuadrados a fin de completar la tabla ANOVA. Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
Tratamientos
2
0,061
0,0304
Error
12
0,370
0,0308
Total
14
0,431
Fuente de Variación
f
0,987
A una significancia del 5%, F 5%,2,12 = 3,89
Conclusión: Como el estadístico de prueba (f=0,987) es menor al punto crítico (F=3,89) no hay evidencia para rechazar Ho, por lo tanto, no se puede decir que existen diferencias significativas entre las mezclas que afecten en el manchado. 23
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples
Método LSD de Fisher
Fácil de calcular
Trabaja con la distribución t Student
Muy sensible a pequeñas variaciones
El nivel de confianza es individual y no grupal
Trabaja con la distribución de rango estudentizado
Requiere de fuerte evidencia para detectar diferencias
El nivel de confianza viene dado en forma grupal
Concepto de tasa de error por experimento
Métodos de Comparaciones Múltiples
Método de Tuckey
24
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples Definiciones Sea la variable T:
T
Y i i MSE / n
~ t n A ( n 1)
Un Intervalo de Confianza del 100(1- α)% para la media de los Tratamientos µi es:
y i t / 2,n A ( n1)
25
MSE n
i y i t / 2,n
MSE A (n
1)
n
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples Definiciones El interés es encontrar un IC para la diferencia entre las medias de dos tratamientos, digamos i – j . El estimador puntual de i – j es:
Y i Y j La varianza de este estimador es:
V Y i Y j
2
n
2
n
2 2 n
Así, la varianza estimada y su desviación estándar son: 2
sY i Y j 26
2 MSE n
sY Y i
j
2 MSE n
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples Definiciones Luego se tiene que: T
Y i Y j i
j
2 MSE / n
~ t n A ( n1)
Intervalo de Confianza del 100(1- α)% para la Diferencia entre las Medias de dos Tratamientos µi - µ j es:
y i y j t / 2,n A ( n 1)
2 MSE n
i j y i y j t / 2,n
2 MSE A (n
1)
n
Si el IC calculado contiene el 0, diremos que las medias de los tratamientos, no son significativamente distintas . 27
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples 1. Método LSD de Fisher (least significant difference) Sea la variable T:
T
Y i Y j
2 MSE
~ t n A ( n 1)
n Entonces, el par de medias i - j se considerará significativamente diferente si:
y i y j
LSD
t / 2 , n
A
LSD t / 2, N n A
28
2 MSE ( n 1)
n
1 1 MSE ni n j
LSD
Igual tamaño de muestra por tratamiento
Distinto tamaño de muestra por tratamiento
Ejercicio 3.3 Un fabricante de papel utilizado para fabricar bolsas de caramelo, está interesado en mejorar la resistencia a la tensión del producto. El grupo de ingeniería del producto piensa que la resistencia a la tensión es una función de la concentración de madera dura en la pulpa, y que el rango de interés práctico de las concentraciones de madera dura está entre 5% y 20%. El equipo de ingenieros responsable del estudio decide investigar cuatro niveles de concentración de madera dura: 5, 10, 15 y 20%. Para ello, deciden fabricar seis especímenes de prueba para cada nivel de concentración, utilizando una planta piloto. Los 24 especímenes se someten a prueba en un probador de tensión de laboratorio, en orden aleatorio. Concentración de madera dura (%) 5 10 15 20
29
1 7 12 14 19
2 8 17 18 25
Observaciones 3 4 15 11 13 18 19 17 22 23
5 9 19 16 18
6 10 15 18 20
Ejercicio 3.3 Los datos son:
nA = 4, n = 6, MSE = 6,51 y t 0,025;20 = 2,086. Las medias de cada tratamiento son:
y1
10,00 [psi]
y 2
15,67 [psi]
y 3
17,00 [psi]
y 4
21,17 [psi]
A partir del método LSD de Fisher concluya si existe diferencia entre los tratamientos, identificándolos.
30
Ejercicio 3.3 Solución: El valor de LSD es:
LSD t 0, 025; 20
2 MSE n
2,086
2 6,51 6
3,07
Por lo tanto cualquier par de medias observadas de tratamiento que difiera en más de 3,07 (LSD), implica que el correspondiente par de medias son distintas. Comparaciones entre las medias de tratamiento observadas:
31
4 v/s 1 y 4 y1
21,17 10,00 11,17 3,07
4 v/s 2 y 4 y 2
21,17 15,67 5,50 3,07
4 v/s 3 y 4 y 3
21,17 17,00 4,17 3,07
3 v/s 1 y 3 y1
17,00 10,00 7,00 3,07
3 v/s 2 y 3 y 2
17,00 15,67 1,33 3,07
2 v/s 1 y 2 y1
15,67 10,00 5,67 3,07
Ejercicio 3.3 Solución: A partir del análisis, se deduce que existen diferencias significativas entre todos los pares de medias excepto los pares 2 y 3. Esto implica que el 10% y 15% de concentración de madera dura producen aproximadamente la misma resistencia a la tensión y que todos los otros niveles de concentración probados producen diferentes resistencias a la tensión.
En ocasiones es de utilidad dibujar un gráfico de las medias de tratamiento observadas con las medias que no difieren significativamente subrayadas. Este gráfico revela los resultados del experimento y muestra que el 20% de madera dura produce la máxima resistencia a la l a tensión.
32
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparacio Comparaciones nes Múltiples
Método LSD de Fisher
Fácil de calcular
Trabaja con la distribución t Student
Muy sensible a pequeñas variaciones
El nivel de confianza es individual y no grupal
Trabaja con la distribución de rango estudentizado
Requiere de fuerte evidencia para detectar diferencias
El nivel de confianza viene dado en forma grupal
Concepto de tasa de error por experimento
Métodos de Comparaciones Múltiples
Método de Tukey
33
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparacio Comparaciones nes Múltiples 2. Método de Tukey Objetivo: Identificar cuáles son las medias que difieren entre sí. Utiliza una distribución de probabilidad llamada “Distribución de rango estudentizado”. Esta distribución depende de dos parámetros: grados de libertad m del numerador y grados de libertad del denominador.
Q , m,
Valor crítico de cola superior
donde m = nA y
= nA(n - 1)
Ver Tabla de valores críticos para la distribución de Rango Estudentizado (Pág. 682, J.L. Devore)
34
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples 2. Método de Tukey Proposición: Con el reemplazo de los valores apropiados en el enunciado siguiente se obtienen enunciados simultáneos de confianza acerca de las diferencias entre las medias de tratamiento
P Y i Y j Q ,n
A , n A ( n
35
MSE 1)
n
i j Y i Y j Q ,n
A , n A ( n
MSE 1)
1 n
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples 2. Método de Tukey Procedimiento: 1.
Seleccione y encuentre Q , nA, nA(n - 1) de la tabla.
2.
Determine:
3.
Haga una lista de las medias muestrales en orden creciente y subraye los pares que difieren en menos de W. Cualquier par de medias muestrales no subrayadas por la misma línea corresponde a un par de medias de tratamiento significativamente diferentes.
W Q ,n A ,n A ( n1) MSE / n
Cualquier par de medias que difieran en más que la cantidad definida por W, serán juzgadas como significativamente diferentes entre sí. 36
Ejercicio 3.4 (J.L. Devore) Se efectuó un experimento para comparar 5 marcas distintas de filtros de aceite automotrices, en relación con su capacidad para capturar materia extraña. Se usó una muestra de nueve filtros de cada marca y se obtuvieron las siguientes cantidades promedio:
¿Los datos indican que la cantidad promedio real de material capturado depende de la marca de los filtros? Utilice un nivel = 0,05. Si es así, use el método T para identificar diferencias significativas.
37
Ejercicio 3.4 1.- Hipótesis a probar:
2.- Calcular estadístico de prueba a partir de la tabla ANOVA f=37,73 3.- Comparar con valor crítico F, nA - 1, nA (n - 1) = F0,05, 4, 40 = 2,61 4.- Concluir Como 37,73 >>> 2,61, H 0 es rechazada al nivel 0,05 En caso de que la Ho se rechace, utilizamos el test de Tukey para determinar si existe diferencia significativa entre los tratamientos.
38
Ejercicio 3.4 Procedimiento de Tukey: 1.- Para = 0,05 el valor de Q , nA, nA (n - 1) es igual a: Q0,05; 5; 40 = 4,04 2.- Cálculo de W:
W Q ,n A ,n A ( n1) MSE / n
4,04 0,088 / 9 0,4
3.- Listado de las medias: Las cinco medias muestrales se disponen en orden creciente y se subraya cada par que difiera en menos de 0,4.
y5
y3
y2
y4
13,1
13,3
13,8
14,3
y1 14,5
4. Conclusiones: Las marcas 1 y 4 no son considerablemente diferentes entre sí, pero son considerablemente más altas que las otras tres marcas en el verdadero promedio de su contenido. La marca 2 es considerablemente mejor que la 3 y la 5, pero peor que la 1 y la 4; y las marcas 3 y 5 no difieren en forma significativa.
39
Modelos de Efectos Fijos Métodos de Comparaciones Múltiples 2.1. Procedimiento de Tukey – Kramer (tamaños muestrales desiguales) Se consideran tamaños muestrales diferentes n 1, n2, ..., nnA razonablemente cercanos entre sí. Se utilizan promedios en parejas (es decir 1/n i en vez de 1/n).
W ij
Q ,n
A , N n A
MSE 1
1
2 ni n j
El nivel de confianza simultáneo es al menos del 100(1- )% (solo aproximado, no exacto), para tamaños muestrales desiguales.
40
Ejercicio 3.5 (J.L. Devore) Un artículo presentó los siguientes datos del módulo de elasticidad, en GPa, obtenidos con un nuevo método ultrasónico, para muestras de cierta aleación producida con tres métodos de colado diferente.
Moldeo permanente 45,5
ni
y i.
ȳi.
45,3
45,4
44,4
44,6
43,9
44,6
44
8
357,7
44,71
44,6
43,1
8
352,5
44,06
6
273,5
45,58
22
983,7
Colado a presión
44,2
43,9
44,7
44,2
44
43,8
Moldeo de yeso
46,0
45,9
44,8
46,2
45,1
45,5 y..
¿Los datos indican que el módulo de elasticidad promedio depende de la forma del proceso de colado que se utilice? Si es así, utilice el procedimiento de Tukey-Kramer para identificar diferencias significativas entre las medias de tratamiento.
41
Ejercicio 3.5 1.- Hipótesis a probar:
2.- Calcular estadístico de prueba a partir de la tabla ANOVA f=12,56 3.- Comparar con valor crítico F, na - 1, N-na = 3,52 4.- Concluir Como 12,56 >>> 3,52, H 0 es rechazada al nivel 0,05, por lo tanto, hay pruebas convincentes para llegar a la conclusión de que el módulo de elasticidad promedio depende de cierta forma del proceso de colado que se utilice.
42
Ejercicio 3.5 Luego, utilizando el procedimiento de Tukey-Kramer, tenemos que: n1 = 8, n2 = 8, n3 = 6 y na = 3, N – na = 22 - 3 = 19, MSE = 0,316. Por lo tanto, un nivel de confianza simultáneo de aproximadamente 95% requiere: W ij
W 12
Q0,05;3;19 3,59
MSE 1
1
2 ni n j
0,316 1
1
0,713, W 13 0,771, W 23 0,771 2 8 8
Esquema de subrayado: 2. A presión 44,06
1. Permanente 44,71
3.Yeso 45,58
Se concluye que 1 y 2 no son considerablemente diferentes, sin embargo, tanto 1 como 2 parecen diferir en forma significativa de 3. 43
Verificación de supuestos del Modelo por medio de Residuos Supuestos del modelo:
Normalidad (eij ~ N(0,
ei
yij yij ˆ
2 ))
yij
yi
Hacer gráficas de probabilidad normal
Homocedasticidad (igualdad de varianzas) Hacer gráficas de los ei vs. los niveles del factor Hacer gráficas de los ei vs. medias de tratamiento observadas
44
Ejercicio 3.6 Un economista obtuvo datos sobre la mejora en la productividad el año pasado, para una muestra de empresas que producen accesorios para equipos eléctricos. Las empresas fueron clasificadas de acuerdo al promedio de los gastos en investigación y desarrollo en los últimos 3 años (nivel bajo, moderado y alto). Los resultados del estudio se detallan a continuación, donde la mejora en la productividad se mide en una escala de 0 a 10.
Gasto en I&D
Mejora en la productividad
Bajo
8,9
8,5
8,6
5,1
6,1
8,5
5,3
6,4
5,4
7,4
Moderado
7,8
6,8
8,4
7,7
6,3
7,7
9,3
7,1
7,2
6,1
Alto
8,9
8,7
7,7
9,7
8,6
9,0
8,9
8,8
8,7
8,5
a) b)
c)
45
Construya la tabla ANOVA para estos datos Basándose en la mejora de productividad de las empresas, ¿existe diferencia atribuible a los distintos niveles de I&D? considere una significancia del 5%. Si lo hubiera, ¿Qué grupo de empresas difieren estadísticamente de las demás? Verifique los supuestos del modelo
Tipos de Experimentos Tipos de Experimentos Completamente Aleatoriazados
Modelo de Efectos Fijos
Modelo de Efectos Aleatorios
Las conclusiones obtenidas no pueden extenderse a tratamientos similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento no constituyen una muestra aleatoria)
Las conclusiones obtenidas pueden extenderse a tratamientos similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento constituyen una muestra aleatoria)
46
Modelos de Efectos Aleatorios En muchas situaciones, el factor de interés tiene un número muy grande de niveles posibles. El analista está interesado en obtener conclusiones acerca de la toda la población de niveles del factor. Si el experimentador selecciona al azar nA de estos niveles de la población de todos los niveles del factor, entonces se dice que el factor es un factor aleatorio. Dado que los niveles del factor utilizados en el experimento fueron escogidos al azar, las conclusiones alcanzadas serán
válidas para toda la población de niveles del factor. Se supondrá que la población
de niveles del factor es de tamaño infinito o lo bastante grande como para ser considerada infinita. 47
Modelos de Efectos Aleatorios ANOVA y Componentes de la Varianza El modelo estadístico lineal es:
Y ij
i ij
Variable aleatoria que explique el efecto aleatorio del factor,
i 1, 2, ... n A j 1, 2, ... n
Residuos, ε
ij
~ N(0,σ 2)
i ~ N(0,σ 2)
(Para efectos fijos, se supone que σ 2 = 0) •
•
•
Los i son independientes para i = 1…nA, cada uno con varianza σ 2 Los ε ij son independientes para i = 1…nA, y j = 1…n cada uno con σ 2 Los i y ε ij son independientes para cada combinación de i y j 48
Modelos de Efectos Aleatorios ANOVA y Componentes de la Varianza La varianza de la respuesta es: donde
cada
término
en
V Y ij el
lado
2 2 derecho
es
llamado
componente de la varianza. La hipótesis de que las {i } son independientes, implica que la hipótesis usual de que: n A
0 i
i 1
del modelo de efectos fijos no se aplica al modelo de efectos aleatorios. 49
Modelos de Efectos Aleatorios ANOVA y Componentes de la Varianza Para un modelo de efectos aleatorios , las hipótesis apropiadas a probar son:
0 2 H a : 0 H 0 : 2
La descomposición ANOVA de la variabilidad total sigue siendo válida:
SST SSTr SSE
50
Modelos de Efectos Aleatorios ANOVA y Componentes de la Varianza En el modelo ANOVA de un solo factor, experimento completamente aleatorizado, el valor esperado de la media de cuadrados de los tratamientos es:
SSTr 2 n 2 E MSTr E n A 1 Y el valor esperado de media de cuadrados para el error es:
SSE 2 E MSE E n A (n 1) Los estimadores de los
s 51
2
MSE
son: y
2
s
MSTr MSE n
Ejercicio 3.7 En el texto “Design and Analysis of Experiments ” de Montgomery, se describe un experimento de un solo factor donde se utiliza un modelo de efectos aleatorios, en el que una compañía textil produce una tela en varios telares. La compañía tiene interés en la variabilidad de la resistencia a la tensión de un telar a otro. Para investigar esta variabilidad, un ingeniero de producción selecciona al azar cuatro telares y determina la resistencia a la tensión de las muestras de tela tomadas aleatoriamente de cada telar. Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla: Observaciones
52
Telar
1
2
3
4
To t al es
Pr o m ed i o s
1 2 3 4
98 91 96 95
97 90 95 96
99 93 97 99
96 92 95 98
391 368 386 392
97,50 91,50 95,75 97,00
1537
95,44
Ejercicio 3.7 Solución: Fuente de Variación Telar Error Total
Suma de Grados de Cuadrados Libertad 89,19 22,75 111,94
Media de Cuadrados
f 0
Valor P
29,73 1,9
15,68
1,88E-04
3 12 15
Desde el Análisis de Varianza, se concluye que la resistencia a la tensión de los telares en la planta difieren significativamente en su capacidad para producir telas de uniformes. La varianza es estimada por s2 = 1,90 y: 2
s
53
29,73 1,90 4
6,96
Ejercicio 3.7 Por lo tanto, la varianza de la resistencia en el proceso de fabricación es estimada por:
V Y ij s 2 s 2 ˆ
6,96 1,90 8,86
Así, la mayor parte de esta variabilidad es atribuible a las diferencias entre telares.
54
Ejercicio 3.7
Este ejemplo ilustra el aislamiento de diferentes fuentes de variabilidad en un proceso de fabricación.
Problemas de variabilidad excesiva aparecen con frecuencia en programas de mejora de la calidad.
En el ejemplo anterior, las estimaciones de los parámetros del proceso son: y sY
95,45 [psi]
V Y ij 8,86 ˆ
2,98 [psi]
Si el límite inferior de especificación de la resistencia está en 90 [psi], entonces una parte sustancial de la producción se encuentra degradada (aprox. 3,37%)
55
Ejercicio 3.7 Si el ingeniero o administrador lograra detectar y eliminar las fuentes de variabilidad del proceso, asociadas a las diferencias entre los telares, la reducción en la variabilidad del proceso sería notable:
sY
s
2
1,90 1,38 [psi]
En este nuevo proceso mejorado, la reducción en la variabilidad de la resistencia disminuye en gran medida la degradación del proceso, lo que trae como resultado:
un costo menor una calidad mayor un cliente más satisfecho una posición competitiva mejor para la compañía.
56
Diseño completamente aleatorizado por Bloques El diseño aleatorizado por bloques es una extensión de la prueba para datos pareados, donde el factor de interés tiene más de dos niveles. Bloque 1
Bloque 2
Bloque 3
Bloque 4
t1 t2 t3
t1 t2 t3
t1 t2 t3
t1 t2 t3
Diseño aleatorizado por bloques 57
Diseño completamente aleatorizado por Bloques Por ejemplo, considere la situación donde cuatro diferentes métodos fueron usados para predecir la resistencia al corte de vigas de acero. Digamos que ahora se usan 4 vigas como unidades experimentales. Tratamiento (M é to d o ) 1 2 3
58
1
y11 y21 y31
Bloq ues (Viga) 2 3
y12 y22 y32
y13 y23 y33
4
y14 y24 y34
Diseño completamente aleatorizado por Bloques Procedimiento general para un diseño aleatorizado por bloques completo:
Bloques
59
Tratamiento 1
1 y 11
2 y 12
…
nB y1nB
Totales y 1.
Promedios
2 . . nA
y 21 . . ynA1
y 22 . . ynA2
…
y2nB . . y nAnB
y 2. . . ynA.
y2. . . yn .
Totales
y. 1
y. 2
…
y.nB
y..
Promedios
y.1
y. 2
…
y .n
…
… … …
y 1.
A
y.. B
Diseño completamente aleatorizado por Bloques El apropiado Modelo Estadístico Lineal es:
Y ij
i 1, 2, ... n A j 1, 2, ... n B
i j ij
Cantidad de bloques
Asumimos que: •
tratamientos y bloques son inicialmente efectos fijos.
•
bloques no interactúan.
•
dentro de cada bloque las unidades son homogéneas frente a otros factores que podrían afectar la respuesta. n A
0 i
i 1
60
n B
y
0 j
j 1
Diseño completamente aleatorizado por Bloques Estamos interesados en probar:
2 ... n 0 al menos para una i H a : i 0 H 0 : 1
A
La suma de cuadrados para el experimento completamente aleatorizado en bloques es: n A
nB
y i 1 j 1
ij
n A
n B
n A
2
i 1
2
j 1
i 1 j 1
O equivalentemente
SST SS A SS B (tratamientos) 61
nB
y.. n B yi . y.. n A y. j y.. yij y. j yi . y.. 2
SSE
(bloques)
2
Diseño completamente aleatorizado por Bloques Cuadrados Medios
MS A
MS B MSE
62
SS A n A 1
SS B n B 1 SSE
n A 1n B 1
Valores Esperados n A
SS A 2 E n A 1
n B
i2
i 1
n A 1 n B
SS B 2 j 1 E n B 1 n B 1 n A
E MSE 2
j2
Diseño completamente aleatorizado por Bloques Las fórmulas de cálculo para la suma de cuadrados en el análisis de varianzas para experimentos completamente aleatorizados en bloques son:
SST
n A
nB
yij2
i 1 j 1
SS A SS B
1 n B
1 n A
n A
i 1
n AnB 2
yi2 .
i 1 n B
y 2 ..
y 2 . j
y .. n AnB
y 2 .. n AnB
SSE SST SS A SS B 63
Diseño completamente aleatorizado por Bloques TABLA ANOVA Fuente de Variación
Grados de Suma de Libertad Cuadrados
Cuadrado Medio
Tratamientos
n A-1
SS A
MS A = SS A / (n A-1)
Bloques
nB-1
SSB
MSB = SSB / (nB-1)
Error
(n A-1)(nB-1)
SSE
MSE = SSE / (n A-1)(nB-1)
Total
n AnB-1
SST
64
f MS A / MSE MSB / MSE
Ejercicio 3.8 (13-5 Montgomery, 4th ed.) Se realiza un experimento para determinar el efecto de cuatro sustancias químicas diferentes sobre la resistencia de una tela. Las sustancias se emplean como parte del proceso terminal de planchado permanente. Para ello se escogen cinco muestras de tela y se aplica un diseño completamente aleatorizado por bloques mediante la prueba de cada sustancia en un orden aleatorio sobre cada una de las muestras de tela. Observe que cada muestra de tela puede tener características propias que haga obtener distintas resistencias, sin deberse esto a la sustancia química aplicada (por eso se bloqueará el posible efecto de la muestra de tela en el experimento). En caso de existir efecto por parte de las sustancias químicas sobre la resistencia de las telas, se identificarán aquellas sustancias que provoquen efecto sobre la resistencia, con = 0,05. Sustancia Química 1 2 3 4 Totales Promedios 65
1 1,3 2,2 1,8 3,9 9,2 2,3
Muestra de Tela 2 3 4 1,6 0,5 1,2 2,4 0,4 2,0 1,7 0,6 1,5 4,4 2,0 4,1 10,1 3,5 8,8 2,5 0,9 2,2
5 1,1 1,8 1,3 3,4 7,6 1,9
Totales 5,7 8,8 6,9 17,8 39,2
Promedios 1,14 1,76 1,38 3,56 1,96
Ejercicio 3.8
Solución
A partir de esta información, MINITAB entrega los siguientes resultados: ANOVA: Resistencia de la Tela vs. Sustancia Química. Muestra de Tela
Factor Sustancia Química Muestra de Tela
Tipo fijo fijo
Niveles 4 5
Valores 1. 2. 3. 4 1. 2. 3. 4. 5
Análisis de varianza de Resistencia de la Tela Fuente Sustancia Química Muestra de Tela Error Total
S = 0,281514
GL 3 4 12 19
SC 18,0440 6,6930 0,9510 25,6880
R-cuad. = 96,30%
MC 6,0147 1,6733 0,0793
F 75,89 21,11
P 0,000 0,000
R-cuad.(ajustado) = 94,14%
Minitab -> Estadísticas -> Anova -> Modelo lineal general (modelo: factor, bloque) 66
Ejercicio 3.8
Solución
En la tabla ANOVA se observa que el estadístico de prueba f0 = 75,89 > f0,05;3;12 = 3,49, concluimos que hay diferencias significativas en las resistencias de las telas bajo los distintos tipos de sustancias químicas. Y además como el valor p = 0, entonces esta decisión no cambia independiente del nivel de significancia usado en la prueba. Comparaciones Múltiples
Aplicaremos el método LSD de Fisher:
67
Ejercicio 3.8
Del gráfico anterior se desprende que la sustancia química 4 da como resultado una resistencia mucho mayor a las otras tres sustancias. Notamos que el método se aplica tal cual como lo vimos anteriormente, con la salvedad de que el número de muestras por tratamiento en este tipo de diseños lo denotamos por (bloques) y no por .
68
Análisis Residual y Adecuación del Modelo Para este tipo de diseños, los residuos los definiremos como:
eij yij ˆ
eij
yij yij ˆ
i j y.. y i . y.. y. j y.. y i . y. j y.. ˆ
ˆ
ˆ
yij y.. y i . y. j
Note que el valor ajustado representa la estimación de la respuesta promedio cuando el i-ésimo tratamiento se efectúa en el j-ésimo bloque. 69
Análisis Residual y Adecuación del Modelo En la siguiente tabla se muestran los residuos calculados del experimento para el tipo de sustancia química, visto en un ejemplo anterior.
Tipo de Sustancia Quimica 1 2 3 4
Muestra de Tejido 1
2
3
4
5
-0,18 0.10 0,08 0,00
-0,10 0,08 -0,24 0,28
0,44 -0,28 0,30 -0,48
-0,18 0,00 -0,12 0,30
0,02 0,10 -0,02 -0,10
Lo siguientes gráficos muestran importantes gráficos de residuos calculados para el experimento para el tipo de sustancia química.
70
Análisis Residual y Adecuación del Modelo
Gráfico de probabilidad normal de los residuos del diseño completamente aleatorizado por bloques. 71
Análisis Residual y Adecuación del Modelo
Gráfico de residuos por tratamientos (tipo de sustancia química).
72
Análisis Residual y Adecuación del Modelo
Gráfico de residuos por bloques (muestra de tela).
73
Análisis Residual y Adecuación del Modelo
Gráfico de residuos versus ŷij 74
Diseño de Experimentos de Varios Factores Unidad III, Capítulo 3: Diseño de Experimentos
¿Qué opinas sobre esta cita? 76
Diseño de Experimentos de Varios Factores
Un experimento es una prueba o una serie de pruebas.
El diseño de un experimento juega un papel principal en la eventual solución del problema.
En un diseño experimental factorial , los ensayos del experimento (o corridas) se ejecutan con todas las combinaciones de los niveles de los factores.
El análisis de varianza (ANOVA) será usado como una de las herramientas primarias para el análisis estadístico de los datos.
77
Experimentos Factoriales Definición Por experimento factorial entendemos aquel donde en cada ensayo o réplica completa del experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores.
Factor B
78
Factor A Abajo
Bbajo
Balto
10
20
Aalto
30
40
Experimento Factorial sin Interacción
79
Experimento Factorial con Interacción
Factor B
80
Factor A
Bbajo
Balto
Abajo
10
20
Aalto
30
0
Experimento Factorial con Interacción
81
Gráficos Experimentos Factoriales
Gráfico tridimensional de superficie de los datos del experimento sin interacción, mostrando efectos en los dos factores A y B. 82
Gráficos Experimentos Factoriales
Gráfico tridimensional de superficie de los datos del experimento, mostrando el efecto de la interacción entre A y B. 83
Configuración Experimental
Cada combinación de dos niveles de diferentes factores se conoce como CONFIGURACIÓN EXPERIMENTAL. La cantidad total de observaciones es: N = nA nB n. 84
Modelo Estadístico Lineal
Y ij
i j ij ijk
Con: n A
i 1
i
0
n B
j
j 1
0
n A
ij 0 i 1
n B
i 1, 2, ... n A j 1, 2, ... n B k 1, 2, ... n
ij 0
ijk ~ N 0, 2
j 1
Yijk : es la k-ésima observación tomada en el i-ésimo nivel del Factor A y en el j-ésimo nivel del Factor B.
85
Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos
yi .. y. j.
n B
n
y
ijk
y i ..
j 1 k 1
n B n
n A
y. j.
n
y
ijk
y. j.
i 1 k 1
yij .
n
y ij .
yijk
k 1
y...
n A
nB
n
i 1 j 1 k 1
86
yi ..
yijk
y...
n A n
i 1, 2, ... n A
yij .
j 1, 2, ... n B
n y... n A n B n
Pruebas de Hipótesis
2 ... n 0 H a : i 0 al menos para una i H 0 : 1
A
2 ... n 0 al menos para una j H a : j 0 H 0 : 1
H 0 : 11
B
12 ... n n 0 al menos para una pareja ij H a : ij 0 87
A B
Estimadores A continuación se definen los estimadores puntuales insesgados de los parámetros desconocidos , i , i y ()ij.
y... ˆ
i ˆ
yi .. y...
y. j. y... ij yij . yi .. y. j. y... j ˆ
Se deduce de
i j ˆ
ˆ
ˆ
E (Y ij ) yij . y de E (Y ij ) i j ˆ
ˆ
ij
ij yij . ij yij . i j yij . y... yi .. y... y. j. y... ˆ
ˆ
88
ˆ
ˆ
Estadísticos Para probar H0: i = 0 use la razón
F
MS A MSE
Para probar H0: j = 0 use la razón
F
MS B MSE
Para probar H0: ()ij = 0 use la razón
F 89
MS AB MSE
Fórmulas Sumas de Cuadrados SST
n A
nB
n
2
yijk 2
i 1 j 1 k 1
n A
SS A SS B
i 1
nB n
n B
y j
j 1
nAn
n A
SS AB
2
yi
i 1 j 1
2
n A n B n 2
y n A n B n
2
yij n
2
SSE SST SS AB 90
n A n B n
y
2
nB
y
y n A n B n
SS A SS B
SS A SS B
ANOVA
Fuente de Variación
Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
F
Tratamiento A
nA-1
SSA
MSA = SSA / (nA-1)
MSA / MSE
Tratamiento B
nB-1
SSB
MSB = SSB / (nB-1)
MSB / MSE
Interacción
(nA-1)(nB-1)
SSAB
MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)]
MSAB / MSE
Error
nAnB (n-1)
SSE
MSE = SSE / [nAnB(n-1)]
Total
nAnBn-1
SST
91
Ejercicio 3.9 Se aplican pinturas tapaporos para aeronaves en superficies de aluminio, con dos métodos: inmersión y rociado. La finalidad del tapaporos es mejorar la adhesión de la pintura, y puede aplicarse en algunas partes utilizando cualquier método. El grupo de ingeniería de procesos responsable de esta operación se encuentra interesado en saber si existen diferencias entre tres tapaporos diferentes en cuanto a sus propiedades de adhesión. Para investigar el efecto que tienen el tipo de pintura tapaporos y el método de aplicación sobre la adhesión de la pintura, se realiza un experimento factorial. Para ello se pintan tres especímenes con cada tapaporo utilizando cada método de aplicación, después se aplica una capa final de pintura y a continuación se mide la fuerza de adhesión. Los datos de este experimento aparecen en la siguiente tabla.
92
Ejercicio 3.9
Tipo de Tapaporo
Inmersión
1 2
4,0; 4,5; 4,3 5,6; 4,9; 5,4
12,8 15,9
5,4; 4,9; 5,6 5,8; 6,1; 6,3
15,9 18,2
28,7 34,1
3
3,8; 3,7; 4,0
11,5
5,5; 5,0; 5,0
15,5
27,0
y. j .
40,2
93
Rociado
49,6
yi ..
y… = 89,8
Ejercicio 3.9 (Solución) SST
nTipos n Métodos
2
n
y i 1
j 1
2 ijk
k 1
y nTiposn Métodosn
4,0 4,5 ... 5,0 2
2
nTipos
SS Tipos
i 1
SS Métodos
2
yi nMétodosn
89,82 18
10,72
y2 nTipos n Método sn
28,7 2 34,12 27,0 2 89,8 2
6
n Métodos
j 1
94
2
2
y j nTiposn
2
y nTiposn Métodosn
40,22 49,62 89,82 9
18
4,58
18
4,91
Ejercicio 3.9 (Solución) SS Interac.
nTipos n Métodos
i 1
j 1
2
yij n
2
y Tipos Métodos
n
n
n
SS Tipos SS Métodos
12,82 15,9 2 11,5 2 15,9 2 18,2 2 15,5 2 3
0,24
SSE SST SS Interac SS Tipos SS Métodos
10,72 0,24 4,58 4,91 0,99 95
89,8 2 18
4,58 4,91
Ejercicio 3.9 (Solución) Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
Tipo de Tapaporos Métodos de Aplicación Interacción Error
4,58
2
2,29
28,63 2,7 E-05
4,91
1
4,91
61,38
5,0E-07
0,24
2
0,12
1,50
0,2621
0,99
12
0,08
10,72
17
Total
96
F 0
Valor P
Análisis de Varianza desde Minitab En Minitab (Estadísticas -> ANOVA -> Dos factores (para detectar la interacción no debe estar pinchado ajustar modelo aditivo))
ANOVA de dos factores: Fuerza de Adhesi vs. Tipo Tapaporo. Método de Aplica Fuente Tipo Tapaporo Método de Aplicación Interacción Error Total S = 0,2867
GL 2 1 2 12 17
SC 4,5811 4,9089 0,2411 0,9867 10,7178
R-cuad. = 90,79%
MC 2,29056 4,90889 0,12056 0,08222
F 27,86 59,70 1,47
P 0,000 0,000 0,269
R-cuad.(ajustado) = 86,96%
El modelo nos indica que no hay efecto de interacción 97
Gráficos de Interacción Gráficos que nos ayudan a inferir si los factores interactúan entre sí o no.
Paralelos (más o menos)
Paralelos (más o menos)
(Curvas paralelas implican que no hay interacción significativa) 98
Gráficos de Efectos Principales Gráficos que ayudan a inferir el efecto de cada factor en la respuesta.
99
Adecuación del Modelo Los residuos se definen como:
eijk yijk y ij .
Método de Aplicación
100
Tipo de Tapaporo
Inmersión
Rociado
1
-0.27, 0.23, 0.03
0.10, -0.40, 0.30
2
0.30, -0.40, 0.10
-0.27, 0.03, 0.23
3
-0.03, -0.13, 0.17
0.33, -0,17, -0.17
Adecuación del Modelo Gráfico de probabilidad normal de los residuos del ejemplo 3.9
101
Adecuación del Modelo Gráfico de los residuos versus tipo de tapaporos
102
Adecuación del Modelo Gráfico de los residuos versus método de aplicación
103
Adecuación del Modelo Gráfico de los residuos versus los valores estimados
104
Experimentos Factoriales Generales Modelo para el experimento de tres factores:
Y ij
i j k ij ik jk ijk ijkl
i 1, 2, ... n A j 1, 2, ... n B k n 1, 2, ... C l 1, 2, ... n 105
Interacciones de 2 factores
Interacción de los 3 factores
ANOVA Fuente de Variación
Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
F
Tratamiento A
n A-1
SS A
MS A = SS A / (n A-1)
MS A / MSE
Tratamiento B
nB-1
SSB
MSB = SSB / (nB-1)
MSB / MSE
Tratamiento C
nC-1
SSC
MSC = SSC / (nC-1)
MSC / MSE
Interacción AB
(n A-1)(nB-1)
SS AB
Interacción AC
(n A-1)(nC-1)
SS AC
Interacción BC
(nB-1)(nC-1)
SSBC
Interacción ABC
(n A-1)(nB-1)(nC-1)
SS ABC
Error
n AnBnC(n-1)
SSE
Total
n AnBnCn-1
SST
106
MS AB = SS AB / [(n A-1)(nB-1)] MS AB / MSE MS AC = SS AC / [(n A-1)(nCMS AC / MSE 1)] MSBC = SS BC / [(nB-1)(nCMSBC / MSE 1)] MS ABC = SS ABC / [(n A-1)(nBMS ABC / MSE 1) (nC-1)] MSE = SSE / [n AnBnC(n-1)]
Ejercicio 3.10 (14-2 Montgomery, 4th ed.) Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de corte de metal. El interés recae en tres factores: la rapidez con la que se hace el corte ( ), la profundidad de éste () y el ángulo de la herramienta (). A los tres factores se les asignan dos niveles, y se realizan dos réplicas del diseño factorial. Los datos aparecen en la siguiente tabla.
107
Ejercicio 3.10 Profundidad de corte (B) 0,025 '' 0,040 '' Rapidez de Ángulo de la herramienta Corte (A) (C)
20''/min.
30''/min.
Ángulo de la herramienta (C)
15° 9 7
25° 11 10
15° 9 11
25° 10 8
16
21
20
18
10 12
10 13
12 15
16 14
22
23
27
30
38
44
47
48
yi… 75
102
Totales BxC y.jk. 108
177
y….
Ejercicio 3.10 Modelo lineal general: Rugosidad Su vs. Rapidez de C. Profundidad . ...
Factor Rapidez de Corte (A) Profundidad de Corte (B) Ángulo de la herramienta (C)
Tipo Niveles fijo 2 fijo 2 fijo 2
Valores 20. 30 0,025. 0,040 15. 25
Análisis de varianza para Rugosidad Superficial, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Rapidez de Corte (A) Profundidad de Corte (B) Ángulo de la herramienta (C) Rapidez de Corte (A)* Profundidad de Corte (B) Rapidez de Corte (A)* Ángulo de la herramienta (C) Profundidad de Corte (B)* Ángulo de la herramienta (C) Rapidez de Corte (A)* Profundidad de Corte (B)* Ángulo de la herramienta (C) Error Total
S = 1,56125
109
R-cuad. = 79,02%
GL 1 1 1 1
SC sec. 45,562 10,563 3,063 7,563
SC ajust. 45,562 10,563 3,063 7,563
MC ajust. 45,562 10,563 3,063 7,563
F 18,69 4,33 1,26 3,10
P 0,003 0,071 0,295 0,116
1
0,063
0,063
0,063
0,03
0,877
1
1,563
1,563
1,563
0,64
0,446
1
5,062
5,062
5,062
2,08
0,188
8 15
19,500 92,938
19,500
2,438
R-cuad.(ajustado) = 60,66%
Diseños Factoriales 2k Si un experimentador desea estudiar al mismo tiempo el efecto de k factores diferentes en una variable de respuesta y los factores tienen I 1, I2, . . . , Ik niveles, respectivamente, entonces un experimento completo requiere por lo menos I 1, I 2, . . . , I k observaciones. En tales situaciones, el experimentador a menudo puede realizar un “experimento de filtración” con cada factor a solo dos niveles para obtener información preliminar sobre los efectos del factor. Un experimento en el cual existen k factores, cada uno a dos niveles, se conoce como experimento 2k factorial. El análisis de los datos de tal experimento es computacionalmente más simple que para experimentos factoriales más generales. Además, un experimento 2 k proporciona un entorno más simple para introducir los importantes conceptos de confusión y réplicas fraccionarias. (J.L. Devore)
110
Diseños Factoriales 2k Diseño 22
111
Diseños Factoriales 2k Diseño 22 El efecto principal del factor A es estimado por:
El efecto principal del factor B es estimado por:
112
Diseños Factoriales 2k Diseño 22 El efecto interacción AB es estimado por:
113
Diseños Factoriales 2k Las cantidades entre corchetes, se llaman contrastes. Por ejemplo, el contraste de A es: ContrasteA = a + ab – b – (1)
114
Diseños Factoriales 2k Estos contrastes se utilizan para estimar el tamaño de los efectos (principales e interaccionales).
También se utilizan para calcular las sumas de cuadrados:
115
Ejercicio 3.11 Un artículo publicado en el AT&T Technical Journal, describe la aplicación de diseños factoriales de dos factores a la fabricación de circuitos integrados. Un paso básico de procesamiento en esta industria es el crecimiento de una capa epitaxial sobre pastillas de silicio pulidas. Las pastillas se montan en un dispositivo sensible y se introducen en una campana de percusión. Después se introducen vapores químicos a través de boquillas ubicadas cerca de la parte superior de la campana. Se gira el dispositivo sensible y se aplica calor. Estas condiciones se mantienen hasta que la capa epitaxial tiene un espesor suficiente.
116
Ejercicio 3.11
La tabla anterior presenta los resultados de un diseño factorial 2 2 con = 4 réplicas utilizando como factores A: tiempo de descomposición y B: rapidez de flujo de arsénico. Los dos niveles de tiempo de descomposición son: − = , + = . Los niveles de rapidez de arsénico son − = 55% y + = 59%. La variable de respuesta es el espesor de la capa epitaxial (µm). Las estimaciones son las siguientes: 117
Ejercicio 3.11
118
Ejercicio 3.11
119
Análisis Residual
Gráfico de probabilidad normal de los residuos para el experiemento del proceso epitaxial.
120
Análisis Residual
Gráfico de los residuos v/s el tiempo de descomposición
121
Análisis Residual
Gráfico de los residuos v/s la rapidez de flujo de arsénico
122
Análisis Residual
Desviación estándar del espesor de la capa epitaxial en las cuatro corridas del diseño 2 2. 123
Diseños Factoriales 2k Diseño 23
124
Diseños Factoriales 2k Diseño 23
Geometric presentation of contrasts corresponding to the main effects and interaction in the 2 3 design. (a) Main effects. (b) Two-factor interactions. (c) Three-factor interaction. Figure
125
Diseños Factoriales 2k Estimación de efectos principales de A, B y C por:
126
Diseños Factoriales 2k Interacciones de dos factores:
Interacciones de los tres factores:
127
Diseños Factoriales 2k
128
Diseños Factoriales 2k Propiedades de la tabla anterior: 1. Aparte de la columna de la identidad (I), cada columna tiene la misma cantidad de “-” y de “+” 2. La suma-producto de cualquier pareja de columnas es cero; es decir que las columnas son ortogonales 3. La multiplicación de cualquier columna por I no cambia la columna; es decir que I es un elemento de identidad 4. El producto de cualquier pareja de columnas da una columna que está en la tabla,
por ejemplo:
129
AB = AB AB ABC = A 2B2C = C
Diseños Factoriales 2k Cálculo de los contrastes:
Efecto
Contraste n2
k 1
Contraste
2
SS
130
n2
k
Ejercicio 3.12 Considérese el experimento de rugosidad superficial descrito en el ejemplo 3.10 (14-2 Mont.). Este es un diseño 23 en los factores velocidad de corte ( ), profundidad de corte () y ángulo de la herramienta ( ), con = 2 réplicas. La tabla presenta los datos observados de rugosidad superficial.
131
Ejercicio 3.12 Solución:
Para A se calcula:
Se hace igual para los otros factores (columnas). Minitab entrega los siguientes resultados: 132
Ejercicio 3.12
Eliminar interacciones del modelo
133
Análisis Residual
Gráfico de probabilidad normal de los residuos del experimento de rugosidad superficial.
134
Réplica única del diseño para k grande Según aumenta k, el número de observaciones que deben realizarse aumenta, haciendo difícil poder realizar réplicas del diseño. Además, la falta de réplicas haría que el número de grados de libertad disminuyera. Una solución es considerar solo algunas interacciones.
135
Ejemplo 3.13 (14-5 Montgomery, 4th ed.) Un artículo publicado en Solid State Technology describe la aplicación de los diseños factoriales en el desarrollo de un proceso de grabado nitroso sobre una sola oblea de plasma de grabado. El proceso utiliza C2F6 como gas reactivo. Es posible modificar la rapidez de flujo de gas, la potencia aplicada al cátodo, la presión en la cámara de reacción y el espaciamiento entre el ánodo y el cátodo (hueco). Lo usual en este proceso es que el interés recaiga en varias variables de respuesta, pero en este ejemplo sólo se considera la rapidez de grabado del nitruro de silicio.
136
Ejemplo 3.13 Para investigar el proceso se hace uso de una sola réplica de un diseño 24. Puesto que es poco probable que las interacciones entre tres y cuatro factores sean significativas, el plan tentativo es combinarlas como una estimación del error. Los niveles de los factores utilizados en el diseño son los siguientes:
137
Ejemplo 3.13 La siguiente tabla presenta los datos provenientes de 16 corridas del diseño 24. Los signos de las columnas de esta tabla pueden emplearse para estimar los efectos de los factores. Por ejemplo, la estimación del efecto del factor A es:
138
Ejemplo 3.13
139
Ejemplo 3.13
140
Ejemplo 3.13 Solución: Verificar (usando Minitab por ejemplo) que el conjunto completo de estimaciones de efectos es:
141
Ejemplo 3.13
142
Gráfico de probabilidad normal de efectos
Gráfico de probabilidad Normal de los efectos del experimento de rapidez de grabado.
143
Gráfico de interacción AD
144
Análisis residual
Gráfico de probabilidad normal de los residuos del experimento de rapidez de grabado.
145
