MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR
© 2006-200 9 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
I2299 I22
IESDE Bra IESDE Brasil sil S.A S.A.. / Pré-ve Pré-vesti stibul bular ar / IES IESDE DE Bra Brasil sil S.A S.A.. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Literatura Matemática
Física Química Biologia História
Geografa
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
Produção
Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
© 2006-200 9 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
I2299 I22
IESDE Bra IESDE Brasil sil S.A S.A.. / Pré-ve Pré-vesti stibul bular ar / IES IESDE DE Bra Brasil sil S.A S.A.. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Literatura Matemática
Física Química Biologia História
Geografa
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
Produção
Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Área de figuras planas, ângulos na circunferência e Teorema de Tales O cálculo das áreas de figuras planas é uma ferramenta muito utilizada na Engenharia e na Arqui tetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo de áreas para melhor compreensão do tamanho da obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na colocação de azulejos, pois a compra é dada por uma unidade de área.
A diagonal do retângulo o divide em duas partes iguais.
Retângulo Quadrado
S=b.h 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
S=
2
1
Paralelogramo
Trapézio
S=b.h `
S=
Demonstração:
`
(B+b) . h 2
Demonstração:
S1 + S2 = b . h
Triângulo S = b . h+ S=
S=
`
S=
2 2bh+Bh − bh
S=
2
(Bh + bh) 2 (B + h) . h 2
Losango
2
Demonstração:
2S1 S1
2
b.h
(B+b) . h
+ 2S2 = b . h
+ S2 =
b.h 2
S=
d.D 2 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
`
Setor circular
Demonstração:
a
S= 2S1 S1
a 360°
R ou S = 2
a . R 2 , para a em radianos. 2
+ 2S 2 + 2S 3 + 2S4 = d . D
+ S2 + S3 + S4 =
d.D 2
Círculo
`
Exemplo: 2 Para a = 60° temos S = 60° pR 2 → S = pR 360° 6
Coroa circular
S = R2 S = R2 – r2 S = (R2 – r2)
Casos particulares Circunferência é a região externa ao círculo e o seu comprimento é dado pela fórmula 2pR.
`
Triângulo equilátero
Demonstração:
S= 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
S=
2pR . R 2
3
4
= pR 2 3
Triângulo qualquer
S=
Divisão de lados de um triângulo em partes proporcionais
a . c . sena 2
Dado que o perímetro (2p) é igual a a + b + c, também temos outra relação: 2p = a + b + c p=
SABC =
b.h 2
a+b+c 2 S=
p(p − a)(p − b)(p − c)
Triângulo circunscrito SABC = SACD = SADE = SAEF
p=
a+b+c 2
S=p.r
Triângulo inscrito
Ao girar o triângulo ABF, podemos notar que as áreas continuam iguais.
Razão entre áreas semelhantes
1
S=
4
a.b.c 4r
S1
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
r G O A E
2
F
B C
S
D
Raio S1 S2
2
= 1 2
Corda
Q1 e Q2 são quadrados:
1
Segmento que une o centro a um ponto da circunferência (OD, AO, OB).
Segmento que une dois pontos da circunferência ( CE e AB ).
Arco
2
Uma parte da circunferência ( EC ou EDC).
Diâmetro É uma corda que corta o centro da circunferência (AB é a maior corda).
Flecha
Errado S1 S2
=
1 2
→
SQ1 SQ 2
=
2
→
SQ1 SQ 2
1
= → SQ 2 = 2 . SQ1 2
Certo S1 S2
2
2 1 SQ1 S 1 = → = → Q1 = → SQ 2 = 4 . SQ1 2 SQ 2 2 SQ 2 4
Circunferência É o lugar geométrico dos pontos cuja distância (raio) a um ponto fixo é constante (o centro da circunferência).
Círculo 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
O lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um número real fixo (raio).
Segmento que o une o ponto médio da corda à circunferência, formando um ângulo reto (FD).
Secante Reta que passa por exatamente 2 pontos da circunferência ( s ).
Tangente Reta que passa por apenas 1 ponto da circunferência ( r ).
Arcos e ângulos Ângulo central É o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. 5
A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.
α=
ο α
β=
A
AB + CD
2 AD
Ângulo excêntrico exterior
Ângulo inscrito É o ângulo que tem vértice na circunferência. A medida do ângulo inscrito é igual à metade do arco correspondente. A V
+ BC 2
B
= AB
α
É o ângulo formado por duas secantes que se cruzam num ponto externo à circunferência. A medida do ângulo é igual ao módulo da semidiferença dos arcos determinados pelos seus lados. D A α P B C
B CD
α=
AB
2
=
− AB
2
Ângulo do segmento É o ângulo que tem o vértice na circunferência e cujos lados são formados por uma secante e uma tangente. A medida do ângulo de segmento é igual a metade do arco correspondente.
Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos ângulos opostos igual a 180º.
A
A D
α
B
2
Ângulo excêntrico interior São ângulos formados pelo cruzamento de duas secantes no interior da circunferência, não necessariamente no centro. A medida desses ângulos é igual a semissoma dos arcos determinados pelos seus lados. A
D α
B
6
β
^ A + ^ C = ^ B + ^ D = 180º Retas paralelas compreendem arcos de medidas iguais.
AB
=
B C
C
s
r
A
D
B
C
r//s AB = CD O raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência.
Q O
r = tangente OQ = raio OQ = ⊥ r
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
Duas tangentes traçadas do mesmo ponto possuem medidas iguais.
Concêntrica d=0
A P
B
O ≡ O’
PA = PB
Lei Linear de Tales Posições relativas de duas circunferências d = distância entre os centros.
Exteriores
As linhas proporcionais foram muito utilizadas por Tales para realizar a medição de algumas distâncias de pontos localizados em lugares muito altos, de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao cais, assim criando o seu teorema. Um feixe de retas paralelas cortadas por retas secantes determina sobre as secantes segmentos proporcionais.
d>R+r
a1 a2
d O
b3
an
Tangentes exteriores
r2
b2
a3
O’
r1
b1
r3 r4
bn
rn+1
Para, r1 // r2 // r3 // r4 //... // r n + 1 temos:
d = R + r O
a1
d
b1
O’
=
a2 b2
=
a3 b3
= ... = K =
+ a 2 + a 3 + ... b1 + b2 + b3 + ... a1
K = constante de proporcionalidade.
Secantes R–r
O’
Tangentes interiores
Ao traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, ela divide os outros dois lados em segmentos proporcionais. A C
B O
d
O’ AE AD
Interiores 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
D
E
d=R–r
=
EB DC
=
AB AC
= K
d
O’ 7
Teorema das Bissetrizes
Temos:
AB BM
Bissetriz interna A bissetriz de um ângulo interno do triângulo divide o lado oposto em segmentos que são proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido. `
=
AC CM
a b c a m
n b
Demonstração:
m+n
=
c n
Traçando PC tal que: P
aa B
Potência de pontos
a
A
O estudo da potência de um ponto está diretamente relacionado com a posição do ponto no interior ou exterior de uma circunferência dada. Também é muito utilizado em construções trigonométricas. Ponto P no interior da circunferência:
a C
M
AM // PC AB BM
=
AP MC
, como AP = AC
AB
temos:
BM
=
AP CM
A b θ θ c m n B M C b m
=
1.° Caso Cordas: AA’, BB’, CC’
c
Ponto P no exterior da circunferência:
n
Bissetriz externa A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo divide externamente o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido. `
Demonstração:
Traçando CP, tal que:
A P a
a
B
2.° Caso
a a
C
Secantes: PB’, PC’, PD’
M
AM // PC AB
8
BM
=
AP CM
, como AP // AC
Tangentes : PA, PE
Observando a posição do ponto P, reparamos que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas, enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção de secantes e tangentes.
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
Ao destacarmos duas cordas com interseção em P, podemos obter a seguinte relação:
PC = PA PA PC’
O produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda.
(PA 2= PC.PC’)
∆PAB’ ~ ∆PA’B
Podemos observar que, se duas tangentes concorrem de um mesmo ponto P, elas terão medidas iguais.
PA = PB’ PB PA’ (PA.PA’ = PB.PB’)
Ao destacarmos duas secantes com interseção em P, podemos obter a seguinte relação: O produto da secante por sua parte exterior é igual ao produto da outra secante por sua parte exterior.
PA = PC
Teorema de Pitot Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados opostos.
∆PB’D ~ ∆PBD’ PD = PB’ PB PD’ (PB.PB’ = PD.PD’)
Ao destacarmos uma secante e uma tangente com interseção em P, obtemos a seguinte relação: O quadrado da tangente é igual ao produto da secante por sua par te exterior.
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
AB + CD = AD + BC
∆PAC ~ ∆PAC’ 9
`
Demonstração:
S c − S ∆ACD 4 pR 2 2 S 1 = − 4 2 2 p.4 4.4 S 1 = − 4 2 S1 =
S1 = 4 p − 8 S1 = 4( p − 2 )cm 2 Logo SF = 2S1 → SF = 8( p − 2 )cm 2
2. Ache a razão entre a área do retângulo ABCD e do retângulo BDEF, na gura.
AB = x + y CD = z + w AB + CD = x + y + z + w AD = x + w BC = y + z AD + BC = x + w + y + z
`
Solução:
1. O quadrado ABC da gura tem 4cm de lado, calcule a área da região hachurada.
S ABCD = 2S1 + 2S 2 SBDEF = 2S1 + 2S 2 S 2S + 2S 2 =1 Logo ABCD = 1 SBDEF 2S1 + 2S 2 `
Solução:
3. Calcule a área da região hachurada na gura, sendo os círculos concêntricos, com a corda ABd o círculo maior tangente ao menor, valendo 10cm.
M = Ponto médio de AB
10
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
`
Solução:
R = r + 5 0
2
2
R 2 – r 2 = 25
6. A área do quadrilátero ABCD da gura vale 32cm 2. Calcule a área da região hachurada, se M e N são pontos médios.
Como S F = p (R 2 – r 2 ) S F = 25 pcm 2
4. João pretende escolher entre dois muros para pintar ganhando a mesma quantia em ambos. O muro A tem base 20% maior que a base do muro B e altura 20% menor do que a altura do muro B. Qual a melhor escolha, entre os muros, que João pode fazer? Justique. `
Solução:
Muro B: altura = h e base = b Muro A: altura = 0,8 h e base = 1,2b
`
Solução:
Área B = b . h Área A = 1,2 b . 0,8 h = 0,96b . h Área de A < Área de B. Logo o muro A é o mais vanta- joso para o João.
5. A área do triângulo ABC vale S, calcule a área da região hachurada, se CD = DE = EA e BF = FD.
2S 1 + 2S 2 = 32 S 1 + S 2 = 16m 2
7.
`
A área do triângulo ABC da gura vale k, calcule a área do trapézio BCDE em função de k.
Solução:
S ABC S = 3 3 S S S S BDF = BDE = 3 = 2 2 6 S BDE =
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
11
`
Solução:
SBCDE = S ABC − S AED 4k SBCDE = k − 9 5k S BCDE = 9
2
S AED 2 x = S ABC 3 x S AED 4 = k 9 4k S AED = 9
Como ABCE é um quadrilátero inscrito na circunferência, ^ + ^ A C = 180º, assim ^ C = 80º. Logo: a + 30º + 80º = 180º a= 70º 11. Na gura, O é o centro da circunferência e SR é igual ao raio desta. Calcule a em função de β.
8. Um aluno pegou uma gura geométrica de área igual a k, em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma cópia com redução da gura e a nova diagonal passou a valer d/3. Calcule a nova área em função de k. `
`
Solução:
S 1 = S 2
R
2 2
k d = S2 d / 3
a
A
R
C
D
o
E `
B
a
A
o
20º
O
P
Entre 5 e 10 salários mínimos
Acima de 20 salários mínimos `
De 10 a 20 salários mínimos
Solução:
Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e 7, temos:
E
a + 3a + 4 a + 7 a = 360º 5 a = 360º a = 24º
D
Assim, temos:
A
a
C
Q
2β a
β
a D
10. Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência. Determine o valor de an a gura.
30º
β
Abaixo de 5 salários mínimos
C
Como BC // AD, os arcos AB e CD são côngruos, assim a = 40º.
100º
T
12. O diagrama abaixo representa a distribuição da popula ção de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4 e 7. As maiores rendas são destinadas ao menor número de pessoas. Determine o percentual de pessoas com renda acima de 20 salários mínimos.
E
B
P
a = β + 2 β a = 3 β
Solução:
40º
O
S
9. No círculo da gura a corda BC é paralela ao diâmetro AD. Se A ^ E B vale 20°, calcule o ângulo B ^ C O. B
a
Solução:
k = 9 S 2 k S 2 = 9
1
β
T
S Q
360º _________ 100% `
Solução:
24º_________ x A
100º
B
E
30º
C
24.100 360 x = 6.66% x =
a a 80º
12
360 x = 24 . 100
D
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
13. Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas:
`
Solução:
v
u
A
a 4 a
r 8
s t
12
x
6
B x M y
6
C
x + y + 4 + 6 = 25 x + y = 15 `
Solução:
4 6 = x y 4y = 6 x 3 x y = 2
A fgura acima é equivalente a:
v
u
r
8
s 12 t x
6
3 x = 15 2 5 x = 30 → x = 6 e y = 9
x +
12 x = 8 6 8 x = 72 x = 9
16. Na gura, O é o centro da circunferência com AB CD . Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE = 2cm.
14. No triângulo ABC da gura, AB // EF //DG e os seg mentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, 2 e 3. Se BC vale 12cm, calcule FG. `
Solução: B
D
F G
A
C
D
E
y
3x
B
2x
`
Solução:
12
x
12 y = → 6 x . y = 12 . 2 x 6x 2x 24x y = =4 6 x
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
15. O perímetro de um triângulo ABC é 25cm. Sabendo que AB= 4cm e AC= 6cm, calcular os segmentos determi nados pela bissetriz interna de A no lado oposto.
x – 2 Raio = x (x + 2) (x – 2) = 4 . 4 x 2 – 4 = 16, x 2 = 20
x = 2 5 cm 13
17. Na gura, PT é tangente da circunferência de raio r. Sabendo-se que PT = 2r, calcule o valor de PB .
2P PRS = 15 – x + 15 – y + x + y 2P PRS = 30cm
19. João tem uma horta em formato circular e a cercou com arame tangenciando, construindo um triângulo conforme a gura. Calcule a quantidade de metros usados por João para cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas.
`
Solução:
v `
Solução:
x (x + 2r) = (2r)2 x 2 + 2rx = 4r 2 x 2 + 2rx – 4r 2 = 0
ou seja: 8 + 10 + 12 = 30m
x – r – r 5 → não pode, por ser menor que zero. – r + r 5 x = r ( 5 – 1 )
15cm. Calcule o perímetro do triângulo 18. Na gura, PA = PRS, se PA , PB e RS são tangentes.
B `
Solução:
PA = PB = 15
1. (UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M, representado na gura a seguir.
A área, em cm2, do triângulo obtido, unindo-se os pontos médios de PM , MN e NP , é: a) 4 b)
6
c) 12 d) 20 e) 24
14
B
2. (UERJ) O decágono da gura a seguir foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
6. (Unicamp) Quantos ladrilhos de 20cm por 20cm são necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m? 7.
(Unirio) A área da região hachurada, na gura a seguir, onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunfe rência mede 5cm, é igual a:
Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: a) 14T + 3Q b) 14T + 2Q c) 18T + 3Q d) 18T + 2Q
3. (UFF) Determine a área da coroa circular da gura abai xo, sabendo-se que o segmento PQ , medindo 8cm, é tangente à circunferência menor no ponto T.
2 a) 25(4 − p ) cm
2
b) 25( p – 2) cm 2 c) 25(4 – p ) cm2 2 d) 25( − 2) cm π
2 5(4 − π ) cm 2 e) 4
8. Se o lado de um quadrado aumenta de 20%, sua área aumentará de: a) 10% b) 20% a) 8pcm
2
c) 40%
b) 16pcm
2
c) 24pcm
2
d) 32pcm
2
4. (PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência: a) a área é multiplicada por 9 p. b) o comprimento é multiplicado por 3 p. c) a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3. d) a área e o comprimento são ambos multiplicados por 3. e) a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.
5.
(Unirio) A gura representa um hexágono regular.
d) 44% e) 50%
9. (Cesgranrio) A base de um retângulo de área S é au mentada de 20% e sua altura diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é: a) 1,04S b) 1,02S c) S d) 0,96S e) 0,98S
10. (UFF) Duas circunferências de raios iguais a 2cm e uma reta tangenciam-se em três pontos distintos. O valor da área delimitada pelas circunferências e pela reta é igual a: a) 2(4 – p )cm2 b) 2(5 – p )cm2
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
c) 2(6 – p )cm2 Calcule a área da região sombreada.
d) 2(7 – p )cm2 e) 2(8 – p )cm2
15
11. Na gura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais e 2cm e tangenciam-se externamente nos pontos A, B e C.
15. (PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectiva mente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área desse triângulo é de: a) 11cm2 b) 15cm2 c) 20cm2 d) 25cm2 e) 30cm2
Calcule a área hachurada delimitada pelos menores arcos. 12. (Unirio) Na gura abaixo, ABCD é um retângulo.
16. (UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}.
A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD). Calcule essa fração. 17. (UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a gura: a) Qual a medida do segmento EF ? b) Qual a área do triângulo AED?
13. (PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um qua drado Q circunscrito a C. A área interior a Q e exterior a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma valendo: a) (4–p ) r2 p r b) 1− 4
2
c) 3 − p r 2 p d) r 3 − 1 p e) r 2 − 1
2
2
2
14. (PUC) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem em seis partes iguais o círculo de raio R.
16
Determine a área hachurada.
Se S1r epresenta a área do triângulo ABC, S 2r epresenta a área do paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do segmento AD , então a razão S1 é igual a: S2 a) 1 b) 4 1 c) 4 d) 2 1 e) 2
18. (UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezes de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assi nalados na gura.
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
d) 35 e) 40
21. (UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II, através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a gura:
� � a) Determine as medidas dos ângulos a, b,�c e d .
b) Calcule a razão entre a área sombreada e a área do quadrado.
19. (Cesgranrio) No paralelogramo ABCD de área 24cm 2, os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em 4 partes iguais. A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B. 22. (UFRJ) Observe a gura a seguir (ABCD), que sugere um quadrado de lado a, onde M e N são, respectiva mente, os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos segmentos AM e BN. A área do triângulo AQR é: a) 2cm2 b) 3cm2 c) 4cm2 d) 5cm2 e) 6cm2
20. (UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e R são os pontos médios dos lados.
Utilizando esses dados, resolva os itens a e b. ˆ é reto. a) Demonstre que o ângulo AFN b) Calcule a área do triângulo AFN em função de a.
23. (UFRJ) A gura abaixo mostra dois arcos de circunferên cia de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais.
Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é: a) 20 b) 25 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada e não-hachurada.
c) 30 17
24. (UFRJ) No círculo abaixo, a gura é formada a partir de semicircunferências e AC = CD = DE = EB.
Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então o raio do circulo intermediário é: a) 12m b) 10m Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas. 25. (Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma monta gem xando, uns sobre outros, quadrados de acrílico de cores e tamanhos diferentes, como mostra a gura a seguir.
c) 11m d)
65 m
e) 5 3 m
28. Na gura a seguir, calcule a razão entre a área do triân gulo ABC e do triângulo hachurado. A
3
O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de acrílico é R$6,40, o custo total do material será de: a) R$34,00
1
B
b) R$48,00 c) R$68,00 d) R$96,00 e) R$102,00
26. Dois círculos se cortam de tal forma que determinam três regiões, como mostra o esquema abaixo:
C
1 3
29. A1 A2 ... A n é um polígono regular convexo, de n lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15é diametralmente oposto ao vértice A46, o valor de n é: a) 62 b) 60 c) 58 d) 56 e) 54
30. Na gura a seguir, os pontos M, N e P são de um triângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices de um quadrado. Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que a região S1 equivale ao dobro de S 2 e que a região S3 equivale ao triplo de S 2. Calcule o raio do maior círculo. 27. Na gura, os três círculos são concêntricos e as áreas das regiões hachuradas são iguais.
18
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
QN corresponde ao lado do: a) hexágono regular. b) octógono regular. c) eneágono regular. d) decágono regular. e) dodecágono regular.
31. (Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo.
O ângulo MPN vale: a) 76° b) 80° c) 90° d) 108° e) 120°
34. (UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada na gura abaixo. A soma, em radianos, dos ângulos e mostrados na gura é: a) 4 b) 2 c)
o
d)
2 e) 2 20°, 32. (Cesgranrio) Na gura abaixo, AB= = 36° e DE = 90°.
BC= 124°,
CD
A medida , do ângulo assinalado, é: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
35. Calcule nas questões de 35 a 39. Calcule o ângulo . a) 56º b) 48º c) 46º d) 39º e) 37º
33. As semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da gura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN. 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 19
36. (Unisantos-SP)
39. (UFES)
a) 31° b) 38°
a) 50º
c) 48°
b) 52º
d) 50°
c) 54º
e) 56º
d) 56º
37. (Cesgranrio)
e) 58º
40. O valor de x, na gura abaixo, é:
a) 20º b) 30º
a) 30º
c) 40º
b) 35º
d) 50º
c) 55º
e) 60º
d) 75º
38. (UCBA)
e) 90º
41. (UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um pentágono regular.
a) 10º b) 15º c) 20º
20
d) 25º
A soma a) 360º
e) 30º
b) 330º
+
+
+
+
é:
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
c) 270º
d)
8
d) 240º
e)
6
e) 180º
45. O valor de x na gura, é:
42. (UFRJ) Na gura dada a seguir:
a)
7
b)
6
c) 5 •
ABé lado de um octógono regular inscrito;
d) 4
•
t é uma tangente.
e) 3
Qual a medida de ?
46. O valor de x na gura, é:
43. Na gura, as retas s e t são paralelas.
O valor de x + y é: a) 6
a) 10
b)
7
c) 12
c)
8
d) 14
d) 9
e) 16
e) 10
44. O valor de x na gura, é:
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
a) 16 b) 14 c) 12
b) 11
47. (Cesgranrio) As retas r1, r 2, r 3 são paralelas e os com primentos dos segmentos de transversais são indicados na gura.
Então x é igual a: 1 a) 4 5 b) 15 2 c) 5 21
d)
8
e)
6
50. (MAPFEI) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B”, como na gura.
5
48. (Vunesp) Na gura, o triângulo ABD é reto em B, e AC é a bissetriz de BÂD.
As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo-se que a frente total para essa rua é 180m. a) 80m, 60m, 40m b) 90m, 70m, 40m c) 80m, 50m, 30m d) 60m, 40m, 30m Se AB = 2 BC , fazendo BC = b e CD = d, então: a) d = b b)
d=
c)
d=
d)
d=
e) 80m, 50m, 20m
51. Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.
5 b 2 5 b 3 6
b 5 e) d = 5 b 4 49. (UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes para a rua “A” dos quarteirões I e II medem, respectiva mente, 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a rua “B” mede 40m a mais que a frente do quarteirão II para a mesma rua.
52. Na gura, os pontos A, B, C e D situam-se na circunferência de centro O e raio r.
Ponto P é tal que OP < r . Então: Sendo assim, pode-se armar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: a) 160
a) BD = CP
b) 180
b)
AC
c) 200 d) 220 e) 240 22
c)
BD AC AP
DP
BP
=
AP
=
CP
DP
BP
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
d) e)
DP AP
BD AC
=
CP
c) AB.
BP
d) a metade de AB.
=
AP
e) 1 de AB. 3
PC
53. O valor de X na gura é:
56. (UFRJ) Na gura a seguir, vale a relação:
O
a)
a) 20 3
a2 = xy
b) a = x (x + y)
3 5 c) 1 b)
c)
a2 = x (x + y)
d)
a2 = y (x + y)
e) a = x (x – y)
d) 4 e) 5
54. Na gura, são dados AE = 1 BE = 8cm e ED = 6cm. EC 3 Calcule AC :
57. (Cesgranrio) Na gura abaixo, AB = 8cm, BC = 10cm, AD = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência.
O
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: a) 26 a) 10
b) 45
b) 12
c) 48
c) 16
d) 50
d) 18
e) 54
e) 20
55. Na gura, ABC representa um trecho reto de uma estrada que cruza o pátio circular de centro O e raio r.
58. Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC, como mostra a gura.
O O
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
Se AC = 2r = AO, então BC vale: a) o dobro de AB. b)
2 de AB. 3
Se AC = 16, o segmento AD mede: a) 8 2 b) 12,0
23
c) 12,5 d) 13,0 e) 6 3
59. Nesta gura AT é tangente à circunferência do raio r.
1. (UFRJ) Na gura abaixo, o quadrado ABCD tem lados 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16.
Sabendo-se que AT = 2r , então o valor de AC é: a) ( 5 + 1)r b) 1 + 2 r c)
r2
2.
d) 5 r e) ( 5 − 1) r
60. (RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P, distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O com primento da tangente entre P e o ponto de contato, é:
Determine x. (UFRJ) Na gura abaixo, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC. Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.
a) 4m b) 6m c) 8m d) 10m e) 12m
61. Na gura, AB = 8, AC = 10 e
BC = 6.
Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale
pq . bc
3. (UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados.
A medida do segmento BT é: a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
24
A área do hexágono ABCDEF é igual a ( 3 + 3 ) cm 2 . Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP. 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
4. (UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero ABC foram prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’, de modo que a medida do segmento AA’ corresponde a 20% da medida do lado AC, conforme indicado na gura a seguir.
Determine o valor da razão das áreas hachuradas, 1 2 1 b) 2
a
b
.
a)
c)
π
4
d) 1 e)
7.
5.
Determine o percentual de aumento que a área do triângulo A’B’C’ apresenta em relação à área do triângulo original ABC. (UFF) Considere uma folha de papel em forma do retângulo RSTU, como na gura 1. São feitas, suces sivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, de acordo com a gura 2. A segunda é feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento MN, conforme a gura 3.
8.
π
3
Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos lados de um triângulo retângulo ABC, como mostra a gura.
O semicírculo de hipotenusa AB sobrepõe-se, em parte, aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas, tracejadas na gura. Que relação existe entre a área total das duas lúnulas e a área do triângulo? (Associado) Um espiral, começando na origem dos eixos coordenados, é construído traçando-se semicírculos de diâmetros OM , MS e SP .
A área do triângulo MPQ é: a) 18 2 cm 2
b)
36 2 cm
2
c) 30cm2 d)
2
45 3 c m
6. (Unicado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ.
A área da região hachurada vale: a)
π
2 3π b) 4 c) 4π − 3 3 6
d) 7π − 3 3 6
e) 11 − 6 3 π
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
12
25
9. Na gura, ABCD é um quadrado e os dos semicírculos encontram-se em P.
12. (UFRJ) Na gura dada temos um semicírculo de raio R e centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é a.
a) Calcule a área do retângulo ABCD, em função de R e a. Sabendo que a) 2
PC = 2
2 , a área hachurada é igual a:
b) 4 c) 2 6
b) Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima para a = 45º.
13. (UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo WXYZ, como mostra a gura.
d) 4 6 e)
6
10. (UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste em formar um quadrado com as partes de um triângulo equilátero, como mostram as guras.
Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm, calcule o perímetro do quadrado. 11. (UFRJ) A gura abaixo é formada por dois quadrados ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 1cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a dia gonal A’C’ um ângulo de 45º.
Determine a área da região sombreada da gura.
26
Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determine o ângulo θ para que a área de WXYZ seja a maior possível. 14. (Unicamp) Construir “fractais” no computador corres ponde a um procedimento como descrito a seguir. A partir de um triângulo equilátero de área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres desses triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessiva mente, construímos uma gura com uma innidade de triângulos (veja o desenho).
Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo. 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
15. (UFF) Na gura, cada lado do quadrado de lado 3cm é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado cujos lados também são divididos em três partes iguais e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados são construídos.
18. (UFF) Sendo 4cm 3a área do menor quadrado da gura, determine a área do maior.
19. Em um triângulo ABC, M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de AC . Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a área do quadrilátero BMNC vale 15m 2. Determine a área total da gura que será obtida se o processo for repetido análoga e indenidamente.
16. (UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular, um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas dimensões de 20cm x 30cm. Entretanto, ele possui, em estoque, 1 300 cerâmicas do mesmo tipo, nas dimensões de 20cm x 20cm. Usando o seu estoque, o construtor teria: a) que comprar mais 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.
20. (Cesgranrio) O quadrado da gura tem diagonal CD igual a 10cm. Os segmentos paralelos AB , CD e EF , dividem o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o comprimento do segmento AB .
21. Na gura abaixo, S 1é a área do quadrilátero MNBA, S 2 é a área do triângulo ABC e MN é paralelo a BA .
b) que comprar mais 20 cerâmicas de 20cm x 20cm. c) o número exato de cerâmicas a serem aplicadas. d) uma sobra de 20 cerâmicas de 20cm x 20cm. e) uma sobra de 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.
17. Na gura, ABC é um triângulo retângulo isósceles com AC = CB . DEF é um arco de circunferência de centro A. Calcule x, sabendo que S1 = 51% de S 2. 22. Nas guras a seguir, calcule as áreas hachuradas em função da área S do triângulo ABC. a)
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
Calcule a razão AD , sabendo que as áreas hachuradas CB são iguais.
27
b)
h)
c)
i)
d)
j)
k) e)
l) f)
m) g)
28
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
25. Os pontos ABCDE da gura resultaram da divisão de uma circunferência em 5 pares congruentes.
n)
E
A B
D
o)
C
Por consequência, a soma dos ângulos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é igual a: a) 800° b) 700° c) 720º d) 760° e) 780°
23. Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua. Se cada lata custa R$25,00, calcule o valor gasto por Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a primeira, porém com o dobro da altura.
26. Na gura, os círculos são iguais. AC contém os dois centros e AD é tangente ao círculo de centro O’.
24. (PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos lados do triângulo ABC da gura abaixo. Prove que CD = BD + BE
27. Determine x na gura a seguir.
S , onde AB BC BC T S é a área do triângulo ABC e T é a área do triângulo PQR. Sabendo que
AP
=
BQ
=
CR
2 3
= , encontre
a) 100 b) 110 c) 120
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
d) 130 e) 140 29
28. (Unicado) Em relação à gura a seguir, considere: I.
AB
é um diâmetro da circunferência de centro O;
Então, x + y é igual a: a) 180º
II. a reta t, paralela à corda AR, é tangente à circunferência no ponto T;
b) 185º
III. o ângulo BÂR mede 20°.
d) 210º
c) 190º e) 250º
31. (U.F. Uberlândia) Em um dado triângulo retângulo inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e cir cunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do triângulo vale: a) d + D Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela corda AT é: a) 25º
b) 2d + D
b) 35º
e) 2(d + D)
c) 40º d) 45º
c) d + 2D d) 3/2(d + D)
32. O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência, como mostra a gura abaixo.
e) 60º
29. (FGV) A medida do ângulo ADC inscrito na circunfe rência de centro O é:
a) 125° b) 110°
^ . Calcule a medida do ângulo QSR 33. Seja P o centro de um quadrado construído sobre a hipotenusa AC do triângulo ABC.
c) 120° d) 100° e) 135°
30. O pentágono ABCDE, da gura, está inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60°. Calcule o ângulo
30
PBC
.
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
34. Na gura a seguir, AD e BE são duas alturas do triân gulo ABC.
37. São dados da gura abaixo: AB = x, BC = 4, CD = 12.
Pede-se o valor de AB. Sabendo que o ângulo BACm ede 64º, calcule o ângulo ADE .
38. Determine o valor da razão JA , considerando a gura JD e as medidas abaixo. AB = 9 AC = 6
BC = 10
35. Na gura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro do arco XL.
Y
O
39. O perímetro de um triângulo ABC é 45cm. Sabendo que AB = 10cm e AC = 15cm, calcular os segmentos determinados pela bissetriz interna de  no lado oposto.
X
Com esses dados, determine a medida do ângulo LÔX.
36. Seja uma partícula A com velocidade angular w A = 2 rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em quanto tempo ela atinge a partícula B que está com velocidade igual a w B = r ad/min (ambas no sentido 2 horário)? P
WA
O comprimento do segmento MN é: a) 16cm b) 17cm
A
c) 13cm
120o
WB B
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
40. Na gura abaixo, ABCD é um trapézio, AB = 22cm, 1 CD = 13cm, MA = e MN é paralelo a AB . MD 2
d) 19cm e) nenhuma das anteriores.
31
41. (IME) Considere a gura abaixo, onde APOR é um paralelogramo. AO é bissetriz interna, AB = 6cm e AC = 3cm.
46. Na gura a seguir, BC = 32, BD = 1 DE // BC , 4 BA DF // AC e EG // AB .
Calcule o perímetro do paralelogramo APOR e a razão BO . BC
42. Na gura abaixo, x e y são paralelos às bases do tra pézio.
Calcule o segmento FG .
47. O circuito triangular de uma corrida está esquema tizado na gura a seguir: Calcule y – x. 43. Num triângulo ABC, AB = 12cm, AC = 8cm e BC = 5cm. Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o incentro do triângulo, calcule a razão IA . ID 44. Um triângulo ABC é tal que AC / BC = 3/4. A bissetriz C corta AB no ponto P. Calcule a do ângulo externo ^ razão PA / AB .
45. (Integrado) Considere um decágono regular convexo inscrito em uma circunferência de raio R.
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, nalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetr o do circuito. a) 4,5km b) 19,5km c) 20,0km d) 22,5km e) 24,0km
Sabendo que BC é bissetriz do ângulo ABO , prove que o lado do decágono é 10 = ( 5 – 1)R . 2
48. (IME) Prolonga-se o raio AO de um círculo de um comprimento AB igual a AO; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares NA e BC. ^ = ^ ? Se OAC 126°, qual o valor do ângulo ACB
32
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
49. O valor de x, considerando que o quadrilátero ABCD está circunscrito ao círculo, é:
52. Na gura abaixo, O é o centro do círculo.
Calcule as potências de A, B, C e O. 53. Calcule x para que a pot A + pot B + pot C seja igual a zero.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
50. Nas guras abaixo, mostre que
O
PA . PB
= PC . PD .
a)
54. Um ponto P está no interior de uma circunferência de 13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo ponto P traça-se uma corda AB de 25cm. Determine os comprimentos dos segmentos que P determina sobre a corda AB . 55. Considere as cordas AP = 13 e BD = 12 d e uma circun ferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C da corda AP tal que ABCD seja um paralelogramo.
b)
51. Na gura abaixo, mostre que PT = PA . PB = d − R , onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo e R o raio. 2
2
2
Determinado este ponto C, calcule AC . 56. Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de 7cm de raio, traça-se a secante PBC ao círculo de modo que PB v alha a metade do PC . Calcule o comprimento do segmento PC.
57. Na gura abaixo, PA é tangente em A ao círculo. PA = PC = CB , PD = 1 e DE = 8 .
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
Calcule AC . 33
58. Considere um arco AB de um círculo. Seja N o pon to médio do arco e M o ponto médio da corda AB . Calcule o raio do círculo sabendo que AB = 18 cm e MN = 3 cm .
62. (PUC-SP) A gura é uma circunferência de centro O e o raio a com os segmentos de tangentes CB em T e BA em A.
59. As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule a altura do trapézio. 60. Um trapézio isósceles ABC tem base igual a 4cm e está circunscrito a um círculo de 1cm de raio. Se AB m ede b, a medida de a)
AC é igual a:
2ab b +a ab
b) b − a 2ab 2 b2 − a2 a 2b d) b 2 + a 2
c)
Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo inscrito. Calcule o segmento EF .
a 2b 2 e) b 2 − a 2
61. O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato do trapézio da gura, e por motivos estéticos foi cortado formando um círculo que seria inscrito no trapézio.
Calcule o raio do círculo, se BC = 8 m.
34
AB = 12 m ,
AD = 6 m e
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
13.
1.
B
2.
A
3.
B
4.
C
π 3 14. − R2 3 2 15. B 16. 1 18 17. C
24 3 − 32 2 cm 3 6. 500 π
5. 7.
A
8. D 9. D 10. A 11. 2 (2 3 − π )cm2 12. 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
14 5 216 b) 25 a)
B
18. a) 22°30’ b)
19.
2 −1
B
20. E 21. 5m 22. a) Resposta pessoal. b)
a
2
20
23. 5 7
35
24. 1
61. D
25. A 26. 27.
10 3 cm 3 A
1. x = 1 ou x = 2
28. 2
2. Demonstração.
29. A
3. 1cm
30. E
4. 72%
31.
5.
C
32. E
6. D
33. D
7.
34. E
8. E
35.
B
9.
36.
C
37. E 38.
C
39. E
São iguais. B
10. 16 4 3 cm 2 11. (6 − 4 2 ) cm
12. a) R2.sen2a
40. A
b) Resposta pessoal.
41. E 42. 157° 30’
13. 45°
43.
14. 10 A
B
7
44. A
15. 15cm2
45. E
16.
46.
C
B
2
π
47. E
17.
48.
18. 16cm2
C
π
49. A
19. 20m2
50. A
20. 5 2cm
51. y = 16;
21. 8,4
x = 15
52.
C
53.
B
54.
C
55. E 56.
C
57. E 58.
C
59. E 60. 36
A
C
22. a) S/2 b) 2S/3 c) S/6 d) S/3 e) S/6 f) S/12 g) S/3 h) S/4 i) S/24
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
j) S/21
43. AI = 4 DI 44. PA = 3 4 PB 45.
k) S/7 l) S/6 m) 2S/15 n) S/3 o) S/70
23. R$300,00 (trezentos reais) 24. 3 25.
C
26. Demonstração. 27. E 28.
R =
R– l = R – Rl l2 + Rl – R 2 = 0 ( 5 – 1)R = 2 46. FG = 16
B
2
29. A 30. D 31.
C
32. 45°
47.
33.
2
B
C B = 54° 48. A^
A
49.
B
50. Resposta pessoal.
B
51. Resposta pessoal. P
P^ BC = 45°
52. 96; 0; –16; –25 53.
2 2
54. 16cm e 9cm 55. C
8
56. 8cm
34. 26°
57. 4
= 15° 35. 2 = 300 36. 26 2 segundos 3 37. x = 8
58. 15cm
38. x = 6
61. Raio = 2,4cm
3 2 JD 39. BD = 8cm
62.
AJ =
59. 6m 60. 1cm C
DC = 12cm 40. D 7 2 0 _ T A M _ V _ M E
41. O perímetro de APOR vale 8cm. BO = 2 OC = 2 2 OC 3 BC 42. y – x = 4 37
38
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
7 2 0 _ T A M _ V _ M E
39
