UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELECTRICA Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica Curso: Probabilidad y Estadística Profesores: Lic. Gregoria Natividad Ramón Quispe.
Práctica N°5 Agosto -
Diciembre 2018 Lic. Heráclides Carlos Dávila.
Semestre: 2018-II
V ar i able ale alea ator tor i a Di D i scre scr eta
Si X es una variable con distribución binomial negativa con parámetros r y p rq rq E X V X p p2 entonces
1. Un problema en un examen aplicado a niños pequeños les pide relacionar
cada una de tres imágenes de animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un niño asigna tres palabras al azar a las tres imágenes, encuentre la distribución de probabilidad de Y, el número de pares correctos.
2. La siguiente tabla muestra la densidad para la variable aleatoria X , número
de personas que solicitan un tratamiento innecesario en el servicio de urgencias de un pequeño hospital. x f(x)
0 0.01
1 0.10
2 0.30
3 0.40
4 0.10
5 ?
a) Encontrar f(5). ¿Qué probabilidad representa en el contexto del problema? b) Encontrar [ ≤ 2]. Interpretar esta probabilidad en el contexto del problema.
c) Encontrar [ < 2]. d) Encontrar [ > 3]. 3. La siguiente tabla muestra la densidad para la variable aleatoria X. número
de aleteos por segundo de una especie de polillas grandes mientras vuelan. x f(x)
6 0.05
7 0.10
8 0.60
9 0.15
10 ?
a) Encontrar (10). b) Encontrar [ ≤ 8]. Interpretar esta probabilidad en el contexto del problema. c) Encontrar [ < 8]. d) Encontrar [ ≥ 7]. e) Encontrar [ > 7]. 4. Sea la densidad. x f(x)
-2 0.10
-1 0.20
0 0.30
1 0.20
2 0.20
Hallar E(X) 5. La tabla siguiente nos muestra la densidad para la variable aleatoria X,
numero de hembras adultas en un grupo de monos aulladores: x f(x)
1 0.10
2 0.15
3 0.50
4 0.15
5 0.10
6. Tres pacientes reciben inyecciones de desensibilización contra las
picaduras de insectos. Se calcula que este suero tiene una eficacia del 95%. Sea X el número de pacientes desensibilizados. a) Utilice un diagrama del árbol para obtener la tabla de f(x). b) Hallar e interpretar E [X]. c) Hallar Var X y . 7. Sea X el número de casos nuevos de SIDA diagnosticados en un
importante hospital, durante un día. La distribución acumulada para X se supone que es: x f(x)
0 0.10
1 0.20
2 0.30
3 0.60
4 0.80
5 0.90
6 1.00
a) Hallar la probabilidad de que en un día cualquiera, i) Sean diagnosticados tres casos nuevos, a lo sumo. ii) Por lo menos sea diagnosticado un caso nuevo. iii) Ningún caso sea diagnosticado.
iv)
Sean diagnosticados entre dos y cuatro casos nuevos, ambos inclusive. b) Calcular la media de casos diagnosticados al día. c) Hallar . d) Calcular la desviación típica de X. 8. Un economista quiere estimar el costo total de un proyecto para hacer una oferta adecuada del mismo. Su trabajo la valora en una parte fija de 12,000 euros y otra variable de 300 euros por día trabajado. El proyecto lo puede realizar entre 7 y 11 días, por lo que construye una distribución de probabilidades subjetivas para la variable aleatoria X : “Número de días que tardara en realizar el proyecto”.
X: n° de días
7
8
9
10
11
P(X = x)
0,10
0,20
?
0,30
0,10
a) ¿Qué probabilidad le habrá asignado, necesariamente, a que el proyecto le cueste 9 días? Justificar la respuesta. b) Calcular la esperanza y la varianza de X. c) Determinar el costo esperado del proyecto y la varianza del mismo. 9. Una empresa fabrica un tipo de caramelo que pone a la venta en cajitas
que contienen entre 28 y 32 unidades. Según la siguiente distribución de probabilidad: X P(X = x)
28 0,08
29 0,40
30 0,40
31 0,10
32 0,02
a) Que es más probable, que haya más de 30 o menos de 30 caramelos en una cajita. b) Calcular el número de caramelos esperado por caja y su varianza. c) Sabiendo que el costo por fabricar una caja con caramelos tiene una parte fija de 0,10 euros y otra variable de 0,05 euros por caramelo. Calcular el costo esperado y la varianza del mismo.
10. En un proceso de fabricación de semiconductores se prueban tres obleas
de un lote. Cada oblea se clasifica como pasa o falla. Suponga que la probabilidad de que una oblea pase la prueba es 0,8 y que las obleas son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres obleas pasen las pruebas? b) Determine la función de masa de probabilidad del número de obleas de un lote que pasan la prueba.
11. Un ensamblaje consta de tres componentes mecánicos. Suponga que las
probabilidades de que el primero, el segundo y el tercer componente cumplan con las especificaciones son 0.95, 0.98 y 0.99. suponga que los componentes son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los componentes de un ensamblaje cumplan con las especificaciones? b) Determine la función de masa de probabilidad del número de componentes del ensamblaje que cumplen con las especificaciones. 12. En una lotería organizada a beneficio del cuerpo de bomberos local se
venderán 8 000 boletos a 5 dólares cada uno. El premio es un automóvil de 12 000 dólares. Si usted compra dos boletos. ¿Cuál es su ganancia esperada?
13. Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos: dos mujeres y tres
hombres. Suponga que los cinco candidatos están igualmente calificados y que no existe preferencia por ningún género al escoger. Sea x igual al número de mujeres elegido para cubrir los dos puestos. a) Determine p(x). b) Grafique p(x).
14. La vida máxima para la patente de un nuevo fármaco es 17 años. Si se
resta el tiempo que requiere la FDA para probar y aprobar el fármaco se obtiene la vida real de la patente del fármaco, es decir, el tiempo el tiempo que tiene la compañía para recuperar los costos de la investigación y desarrollo, y conseguir una utilidad. Suponga que la distribución del tiempo de vida de la patente para los nuevos fármacos es como la que se muestra enseguida: Años x p(x)
3 0.03
4 0.05
5 0.07
6 0.10
7 0.14
8 0.20
9 0.18
10 0.12
11 0.07
12 0.03
13 0.01
a) Encuentre el número esperado de años de vigencia de la patente para un nuevo medicamento. b) Encuentre la desviación estándar de X . 15. Un Psicólogo encuentra que el número de sesiones necesarias para generar
la confianza de un paciente es 1, 2 o 3. Sea x la variable aleatoria que representa el número de sesiones necesarias para ganarse la confianza de un paciente. Se ha propuesto la función de probabilidad siguiente. () = para x = 1,2 0 3
a) ¿Es válida esta función de probabilidad? Explique. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 2 sesiones para ganarse la confianza del paciente? c) ¿De qué se necesiten por lo menos 2 sesiones para ganarse la confianza del paciente? 16. La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las
ganancias proyectadas de MRA Company ( x ganancias en miles de dólares) durante el primer año de operación (los valores negativos indican perdida). X f(x)
-100 0.10
0 0.20
50 0.30
100 0.25
150 0.10
200 ?
a) ¿Cuál es el valor adecuado para f(200)? ¿Qué interpretación le da a este valor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa sea rentable? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane por lo menos $100 000? 17. La siguiente distribución de probabilidad sobre puntuaciones dadas a la
satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos de alto nivel y de nivel medio en sistemas de la información va desde 1 (muy insatisfecho) hasta 5 (muy satisfecho). Probabilidad Puntuación de la Directivo de Directivo de nivel alto satisfacción con el trabajo nivel medio 1 2 3 4 5
0.05 0.09 0.03 0.42 0.41
0.04 0.1 0.12 0.46 0.28
a) Elabore una distribución de probabilidad con las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel alto. b) Elabore una distribución de probabilidad con las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel medio. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho? 18. Suponga que un lote de 5000 fusibles eléctricos contiene 5% de piezas
defectuosas. Si se prueba una muestra de 5 fusibles; encuentre la probabilidad de hallar al menos un defectuoso.
19. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad
estomacal es de 0,8. Suponga que se sabe que 20 personas han contraído la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 14 se recuperen? 20. El detector de control de calidad de una empresa de automóviles se
encuentra revisando los transmisores automáticos. Se retiran 10 transmisores y se busca el defecto de fabricación. A lo largo del tiempo, sólo el 2% de transmisores tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de número independiente en diferentes transmisores) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre más de un transmisor con defecto de fábrica? 21. En el distrito de Paccha, el 40% de la población pertenece al partido
“Arenga Perú”, se selecciona una muestra aleat oria de 10 adultos. ¿Qué probabilidad hay de que 3 de ellos pertenezcan al partido “Arenga Perú”?
22. Todos los días se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un
proceso de manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base en información pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0,05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o mas defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día, la producción se detenga?
23. Un club de automovilistas comienza una campaña telefónica con el
propósito de aumentar el número de miembros. Con base a la experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada se une al club. Si en un día 25personas reciben la llamada telefónica, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriban al club? ¿Cuántos miembros se espera que se inscriban en un día? 24. Suponiendo que los nacimientos de niño y niña son iguales: a) calcular la probabilidad de que un matrimonio de 6 hijos tenga 2 niñas. ii) En 320 matrimonios con 4 hijos cada uno, ¿Cuántos esperarían tener 3 niños? 25. El equipo Universitario tiene 2/3 de probabilidad de victoria cuando
juega.Si universitario juega 5 partidos, calcule la probabilidad de que: a) Universitario gane exactamente 3 partidos b) Universitario gane por lo menos 1 partido 26. El 5% de las lámparas de cierta marca son defectuosas, halle la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 100 lámparas ninguna sea defectuosa.
27. Un cierto tratamiento es capaz de inmunizar 78% de los conejos contra una cierta enfermedad. Se selecciona una muestra de 50 conejos. Sea X el número de animales que se tornaron inmunes, ¿cuál es la esperanza y la desviación están dar de X? 28. En Arequipa, el 30% de los trabajadores emplean el transporte público. ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 10 trabajadores exactamente 3 empleen el transporte público? 29. Cuando una máquina nueva funciona adecuadamente, sólo el 3% de los artículos producidos presentan algún defecto. Suponga que se selecciona aleatoriamente dos piezas producidas con la nueva máquina y que se cuenta el número de piezas defectuosas producidas.Calcule las probabilidades de hallar: a) Ninguna pieza defectuosa b) Exactamente una pieza defectuosa 30. El 23% de los automóviles no cuenta con un seguro. En un fin de semana determinado hay 35 automóviles que sufren un accidente, ¿cuál es el número esperado de éstos automóviles que no cuentan con un seguro? ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar? 31. 23% de los automóviles no cuenta con un seguro . En un fin de semana determinado hay 35 automóviles que sufren un accidente, 32. ¿Cuál es el número esperado de estos automóviles que no cuentan con un seguro? ¿cuál es la varianza y la desviación estándar? 33. Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo investigados en busca de asbesto en sus pulmones, La empresa ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos de asbestos a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si 40% delos empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones a) Encuentre la probabilidad de que 10 empleados deban ser examinados para hallar 3 positivos. b) Si cada examen cuesta 20 dólares encuentre la varianza esperada del costo total de realizar los exámenes necesarios para hallar los 3 positivos. 34. Diez por ciento de los motores fabricados en una línea de ensamble son defectuosos. Si los motores se seleccionan al azar uno a la vez y se prueban, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer motor no defectuoso sea hallado en el segundo intento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer motor no defectuoso sea hallado en el quinto intento? c) Encuentre la media y la varianza del número del intento en que sea hallado el primer motor no defectuoso. d) Encuentre la media y la varianza del número del intento en que sea hallado el tercer motor no defectuoso. e) Dado que los 2 primeros motores probados resultaron defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos
motores mas deban ser probados antes de hallar el primero no defectuoso? 35. Las líneas telefónicas que dan servicio a la oficina de reservaciones de una aerolínea están todas ocupadas alrededor de 60% del tiempo. a) Si una persona llama a esta oficina, ¿cuál es la probabilidad de que complete su llamada en el primer intento? b) ¿En el segundo intento? c) ¿En el tercer intento? 36. Un estudio geológico indica que un pozo petrolero de exploración debe descubrir petróleo con probabilidad de 0,2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer hallazgo sea en el tercer pozo perforado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer hallazgo sea en el sétimo pozo perforado? c) Encuentre la media y la varianza del número de pozos que deben ser perforados si la compañía desea abrir tres pozos productores. 37. Suponga que P(nacimiento de un varón)=0,5.Una pareja desea tener exactamente 2 niñas en su familia .Tendrán hijos hasta que esta condición se satisfaga. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga 4 hijos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga cuando mucho 4 hijos? c) ¿Cuántos varones cree que tenga esta familia? d) ¿Cuántos hijos esperaría que tenga esta familia? 38. Determinar la constante k para que p(x) sea una función de cuantía de la
variable aleatoria X . a) p(x) = x / k ; k = 1, 2, 3, 4 b) p(x) = xk; k = 1, 2, 3,….., 11, 12 39. la AFP Profuturo quien invierte con frecuencia en el Mercado de valores,
estudia con detenimiento cualquier inversión potencial. En la actualidad examina la posibilidad de invertir en la compañía minera VOLCAN. Mediante el estudio de rendimiento en el pasado Profuturo ha desglosado los resultados potenciales en 5 resultados posibles con sus probabilidades asociadas. Los resultados son tasas de rendimiento anuales sobre una sola acción que hoy cuesta $ 150. Encuentre el valor esperado del rendimiento sobre la inversión en una sola acción de la VOLCAN. 0.00 10.00 15.00 25.00 50.00 Rendimiento de la inversión ($) 0.20 0.25 0.30 0.15 0.10 Probabilidad Si la AFP Profuturo compra acciones siempre que la tasa de rendimiento esperada exceda al 10%. ¿Comprará acción de acuerdo a estos datos?
40. La única información con la cuenta usted, con respecto a la distribución de
probabilidad de un conjunto de resultados, es la siguiente lista de frecuencias: x
Frecuencia
0
15
30
45
60
75
25
125
75
175
75
25
e) Construya una distribución de probabilidad para el conjunto de resultados. f) Encuentre el valor esperado de un resultado. 41. Bill Johnson acaba de comprar una Blue Ray en Jim´s Video Service a un
costo de $300. Ahora tiene la opción de comprar una póliza de servicio extendido que ofrece 5 años de cobertura por $100. Después de hablar con sus amigos y leer los informes, Bill cree que puede incurrir en los siguientes gastos de mantenimiento durante los próximos 5 años. Gasto Probabilidad
0
50
100
150
200
250
300
0.35
0.25
0.15
0.1
0.08
0.05
0.02
Encuentre el valor esperado de los costos de mantenimiento pronosticados. ¿Debe Bill pagar por la garantía? 42. Una empresa, que atiende pedidos por correo, tiene 5 líneas telefónicas.
Sea X la v.a. que representa el “número de líneas en uso en un momento especifico”. La f.d.p. esta dada en la siguiente tabla: x
0
1
2
3
4
5
()
0.2
0.25
0.1
0.15
0.09
( )
a) Calcular . b) Determinar y representar la f.d.a. de x y con esta calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes elementos: ● A lo sumo dos líneas están en uso. ● Menos de 4 líneas están en uso. 43. Un distribuidor de computadoras, vende tres modelos diferentes con capacidad de 200, 250 y 300 Gb de disco duro. Sea X la v.a. que representa a la cantidad de espacio de un disco duro de computador comprado por el siguiente cliente. La f.m.p. de X está dada por:
a) b)
x
200
250
f(x)
0.29
0.31
Calcular . Calcular e interpretar E( x) y V( x).
300
44. Usted y un amigo participan en un juego donde cada uno tira al aire una
moneda balanceada. Si las caras superiores de las monedas son cruces en ambos casos, el lector gana $1; si salen caras en ambos tiros, gana $2; si las caras de las monedas no son iguales (cara en una y cruz en la otra), el lector pierde $1 (gana ( – $1)). Obtenga la distribución de probabilidad para sus ganancias, Y , en un solo intento.
45. ¿Quién es el rey de los programas de TV por la noche? Una encuesta en
Internet estima que, cuando se les da a elegir entre David Letterman y Jay Leno, 52% de la población prefiere ver a Jay Leno. Al azar se seleccionan tres personas que ven TV hasta tarde y se les pregunta cuál de los dos presentadores de programas prefieren. a) Encuentre la distribución de probabilidad para Y , el número de personas de la muestra que prefieren a Leno. b) Grafique p( y). c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de esas tres personas prefiera a Leno? d) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar para Y ? 46. Aproximadamente 10% de las botellas de vidrio que salen de una línea de producción presentan defectos serios en el vidrio. Si dos botellas se seleccionan al azar, encuentre la media y la varianza del número de botellas que presentan defectos serios. 47. Un psicólogo encuentra que el número de sesiones necesarias para ganarse
la confianza de un paciente es 1, 2 o 3. Sea x la variable aleatoria que representa el número de sesiones necesarias para ganarse la confianza de un paciente. Se ha propuesto la función de probabilidad siguiente. () =
6
= 1, 2 3
a) ¿Es válida esta función de probabilidad? Explique. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 2 sesiones para ganarse la confianza del paciente? c) ¿De que se necesiten por lo menos 2 sesiones para ganarse la confianza del paciente? 48. La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las
ganancias proyectadas de MRA Company ( x ganancias en miles de dólares) durante el primer año de operación (los valores negativos indican pérdida). x -100 0 50
f(x) 0,1 0,2 0,3
100 150 200
0,25 0,1
a) ¿Cuál es el valor adecuado para f (200)? ¿Qué interpretación le da a este valor? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa sea rentable? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane por lo menos $100 000? 49. Una ambulancia de voluntarios realiza de 0 a 5 servicios por día. A
continuación se presenta la distribución de probabilidad de los servicios por día Número de servicio
Probabilidad
Número de servicio
Probabilidad
0
0,1
3
0,2
1
0,15
4
0,15
2
0,3
5
0,1
a) ¿Cuál es el valor esperado del número de servicios? b) ¿Cuál es la varianza del número de servicios? ¿Cuál es la desviación estándar? 50. La siguiente distribución de probabilidad sobre puntuaciones dadas a la
satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos de alto nivel y de nivel medio en sistemas de la información va desde 1 (muy insatisfecho) hasta 5 (muy satisfecho).
Probabilidad Puntuación de la satisfacción del trabajo
a) b) c) d)
Directivo de nivel año
Directivo de nivel medio
1 0,05 0,04 2 0,09 0,1 3 0,03 0,12 4 0,42 0,46 5 0,41 0,28 ¿Cuál es el valor esperado en las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los ejecutivos de nivel alto? ¿Cuál es el valor esperado en las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel medio? Calcule la varianza de las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel medio. Calcule la desviación estándar de las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo en las dos distribuciones de probabilidad.