SEMANA 6: Movimiento circular: Velocidad angular y aceleración angular. Movimiento circular uniforme . Movimiento circular uniformemente variado. Componente tangencial y normal de la aceleración. Aplicaciones
Movimiento Circular Uniforme (MCU) y Variado MCUV movimiento circular uniforme ocurre cuando un objeto se mueve El movimiento en un camino circular con rapidez constante. El análisis de este movimiento corresponde a una partícula una partícula que realiza un movimiento circular uniforme . uniforme . Existe aceleración en este caso pues la dirección del movimiento esta movimiento esta cambiando permanentemente. El cambio de la velocidad produce aceleración El vector velocidad siempre sigue al objeto en movimiento. En el movimiento circular uniforme un objeto se mueve en una trayectoria trayectoria no rectilínea, es decir en trayectorias curvilíneas.
Movimiento Circular Uniforme (MCU) y Variado MCUV movimiento circular uniforme ocurre cuando un objeto se mueve El movimiento en un camino circular con rapidez constante. El análisis de este movimiento corresponde a una partícula una partícula que realiza un movimiento circular uniforme . uniforme . Existe aceleración en este caso pues la dirección del movimiento esta movimiento esta cambiando permanentemente. El cambio de la velocidad produce aceleración El vector velocidad siempre sigue al objeto en movimiento. En el movimiento circular uniforme un objeto se mueve en una trayectoria trayectoria no rectilínea, es decir en trayectorias curvilíneas.
Vector unitario
Al tomar el límite de Ds/Dt
Ahora podemos escribir v de la forma: Donde v nos da el valor de la velocidad y uT la dirección. Esto es, ahora ds juega en el movimiento curvilíneo el mismo papel que dx en el movimiento rectilíneo. Lo nuevo ahora es que hemos incluido un vector unitario tangente. En el movimiento curvilíneo cambia tanto la velocidad como la dirección en cada instante debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta se curva continuamente.
Velocidad cambiante en un MCU El cambio de la velocidad se debe al cambio de su dirección El diagrama vectorial muestra que
= + ∆
Igualmente podemos aplicar nuestra definición de aceleración en un movimiento curvilíneo:
Si la trayectoria fuera una recta uT sería constante en magnitud y dirección, no cambiaría de dirección, entonces d uT /dt = 0. Pero como la trayectoria es curvilínea el vector tangente cambia y d uT /dt es diferente de 0.
La pregunta es ahora cómo calculamos d uT /dt ? Para ello se va a introducir un nuevo vector unitario uN perpendicular a uT , es decir es normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavo. (véase el gráfico anterior) Si j es el ángulo que hace la curva en el punto 1 con el eje X, entonces se puede escribir:
= + = cos + + + 2 2 = − + De aquí tendremos que:
= − + =
Esto significa que uN es normal a la curva. Pero:
= = Obsérvese que ds = AA` con las normales que se intersectan en C denominado centro de curvatura. r = CA el radio de curvatura. Como ds = r d j entonces
1 = = = De aquí ya podemos escribir para a = dv/dt :
= = +
es
lo que se conoce como aceleración tangencial asociado con el cambio de la
magnitud de la velocidad. El término
se le conoce como la aceleración normal.
Asociado con el cambio de dirección. La magnitud de la aceleración es entonces:
Aceleración Centrípeta La aceleración centrípeta en un punto de la trayectoria seguida es siempre perpendicular a ésta. La aceleración siempre señala hacia el centro del camino circular Esta aceleración se denomina aceleración centrípeta La magnitud de la aceleración centrípeta ac es:
=
La dirección de ac está cambiando en todo momento, para apuntar siempre al centro. El periodo, T, es el tiempo en el cual el objeto completa una vuelta La rapidez de la partícula es la longitud de la circunferencia dividido por el periodo. Luego, el periodo se define como T = 2 r/v
Aceleración Tangencial y radial Así como cambia la dirección en el movimiento circular, también puede cambiar la magnitud de la velocidad. En este caso se produce una aceleración tangencial. El movimiento será influenciado por las aceleraciones tangencial y centrípeta
Notar que o
o
la aceleración tangencial causa cambios en la rapidez de la partícula y la aceleración radial surge por el cambio de dirección del vector velocidad.
Ecuaciones de la aceleración total Aceleración tangencial:
= Aceleración radial:
= − = − Aceleración total:
= •
•
+
Magnitud: Dirección: La misma que la del vector velocidad si v esta creciendo, opuesta si v esta decreciendo
Consideremos el caso especial en el cual la trayectoria es un círculo; esto es, movimiento circular . La velocidad v, siendo tangente al círculo, es perpendicular al radio R = CA. Cuando medimos distancias a lo largo de la circunferencia del círculo a partir de O, tenemos que s = Rq. Como
Y considerando el hecho que R permanece constante, obtenemos:
La cantidad
se denomina velocidad angular y es igual a la
variación del ángulo descrito en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo, rad/s. Luego
La velocidad angular puede expresarse como una cantidad vectorial cuya dirección es perpendicular al plano del movimiento en el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha girando en el mismo sentido en que se mueve la partícula (ver figura anterior). Allí se observa que R = r sen g y que w = u z (dq/dt); por los tanto podemos escribir, en lugar de v = w R la siguiente ecuación:
Indicando que la siguiente relación vectorial se cumple, tanto en magnitud como en dirección. Notar que es válido solamente para el movimiento circular o rotacional con R y g constantes.
Aceleración angular Cuando la velocidad angular de una partícula cambia con el tiempo, la aceleración angular está definida por el vector
Como el movimiento circular es en un plano, la dirección de w permanece invariante, y la relación anterior también se cumple para las magnitudes de las cantidades involucradas. Esto es,
Cuando la aceleración angular es constante (movimiento circular es uniformemente variado) tendremos al integrar la ecuación anterior:
ó
Donde w o es el valor de w para el tiempo t o. Al realizar las sustituciones respectivas obtenemos e integrando nuevamente
De modo que
Esto da la posición angular para cualquier tiempo. En el caso particular de movimiento uniforme, encontramos combinando las ecuaciones anteriores que la aceleración tangencial (o transversal) es
Y que la aceleración normal (o centrípeta) es Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el movimiento circular se ilustran en la figura:
Notar que en el movimiento circular uniforme (aceleración angular nula, a = 0). No hay aceleración tangencial, pero si aceleración normal o centrípeta debido al cambio de dirección de la velocidad. En este caso de movimiento circular uniforme podemos calcular la aceleración directamente usando , luego como w es constante:
Ya que d r /dt = v. En la ecuación anterior podemos reemplazar v = x r y obtener
Como el movimiento circular es uniforme, la aceleración anterior dada debe ser la aceleración centrípeta. En la figura se observa que el vector x v señala hacia el centro del círculo y su magnitud es
ya que w y v son perpendiculares y v = R.
Movimiento curvilíneo en un plano En la figura se mueve una partícula describiendo una trayectoria curvilínea en un plano. Cuando se encuentra en A su velocidad está dada por v = d r /dt . Usando los
vectores unitarios ur (paralelo a r) y u (perpendicular a r) podemos escribir:
Usando las componentes rectangulares de los vectores unitarios
Vemos que
Y por consiguiente podemos escribir la velocidad de la partícula como
La primera parte de esta ecuación es un vector paralelo a r y se llama la velocidad radial; es debida al cambio de la distancia r de la partícula del punto O. La segunda parte es un vector paralelo a r y es debido al cambio en la dirección de r , o la rotación de la partícula alrededor de O; se denomina la velocidad transversal. Esto es
Un camión ligero entra a una curva que tiene un radio de 150 m con una rapidez máxima de 32.0 m/s. Para tener la misma aceleración, ¿a que rapidez máxima puede ir alrededor de una curva que tiene un radio de 75.0 m? a) b) c) d) e)
64 m/s 45 m/s 32 m/s 23 m/s 16 m/s
Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio r con rapidez v . Luego aumenta su rapidez a 2v mientras viaja a lo largo de la misma trayectoria circular. i) ¿En que factor cambio la aceleración centrípeta de la partícula (elija una)? a) 0.25, b) 0.5, c) 2, d) 4, e) imposible de determinar. ii) De las mismas opciones, ¿en que factor cambió el periodo de la partícula?
El vector de posición de una partícula varia en el tiempo de acuerdo con la expresión 3 00
6 00
2
a) Encuentre expresiones para la velocidad y aceleración de la partícula como funciones del tiempo. b) Determine la posición y velocidad de la partícula en t = 1.00 s.
En un bar local, un cliente desliza sobre la barra un tarro de cerveza vacío para que lo vuelvan a llenar. El cantinero esta momentáneamente distraído y no ve el tarro, que se desliza de la barra y golpea el suelo a 1.40 m de la base de la barra. Si la altura de la barra es de 0.860 m, a) ¿con que velocidad el tarro dejo la barra? b) ¿Cual fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de golpear el suelo?
Problema
Una bola se balancea en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de 1,50 de largo. Cuando la bola esta a 36,9° después del punto mas bajo en su viaje hacia arriba, su aceleración total es −22,5 + 20,2 /2. En ese instante: a) bosqueje un diagrama vectorial que muestre las componentes de su aceleración, b) determine la magnitud de su aceleración radial y c) determine la rapidez y velocidad de la bola.
Un camión ligero entra a una curva que tiene un radio de 150 m con una rapidez máxima de 32.0 m/s. Para tener la misma aceleración, ¿a que rapidez máxima puede ir alrededor de una curva que tiene un radio de 75.0 m? a) b) c) d) e)
64 m/s 45 m/s 32 m/s 23 m/s 16 m/s
