Calculo a´ lculo Diferencial - Taller sobre Modelamiento de Funciones - Semestre 2016-02 Escuela Escuela de Matem´aticas aticas - Universidad Nacional de Colombia, sede Medell´ın ın
1. Expr Expres esee el area ´ A de un tri´ tri´angulo angulo equil´ equil´atero atero como como funci´ funcion o´ n de la altura h altura h del del tri´ triangulo. a´ ngulo.
12. Se debe construir construir una pista de atletismo, con dos segmentos rectos y dos semicirculares, cuya longitud es 1 km:
2. Se va a construir una caja rectangular abierta con una base cuadrada de longitud x longitud x y y un volumen de 16000 cm 3 . Exprese el area A area ´ A de de la caja como funci´on on de x de x.. 3. Considere Considere un un rect´ rect´angulo angulo inscrit i nscrito o en un c´ırculo ırculo de radio a radio a cm. Exprese tanto el ´ el ´area A area A como como el per´ per´ımetro P ımetro P de de dicho rect´ rectangulo a´ ngulo en funci on o´ n de la longitud de su base x base x.. 4. Un enva envase se cerr cerrad ado o de hoja hojala lata ta cuyo cuyo volu volume men n es de 60 cm3 tiene la forma de un cilindro circular circular recto. recto. Exprese Exprese el area A a´ rea A de de la superficie total del envase como funci´on on de (a) el radio r radio r de de la base. (b) la altura h altura h del del cilindro. 5. Para el envase del ejercicio ejercicio anterior, anterior, si el precio del material que se usa para la base y la tapa es de $ 4 por cm 2 , mientras que el costo del material para la parte curva es de $ 2 por cm 2 , exprese el costo total C total C del material del envase como funci´on on del radio r radio r de la base e indique el dominio dominio de la funci funcion ´ resultante. 6. Un fabricante de envases de cart´on on construye cajas sin tapa usando l´aminas aminas cuadradas de cart´on on de 120 cm de lado, lado, recort recortand ando o cuadra cuadrados dos iguale igualess de las cuatro cuatro esquina esquinass y doblando los lados hacia arriba. arriba. Si x Si x es es la longitud del lado (en cm) del cuadrado que debe recortarse, exprese el ´ de x volumen V volumen V de de la caja fabricada como funcion de x.. Diga ´ resultante. cu´ cual a´ l es el dominio de la funci´ funcion 7. Un granjero tiene 750 pies de cerca, desea encerrar encerrar un lote rectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rect´angulo. angulo. Exprese Exprese el area a´ rea total A del lote en t´erminos erminos de la longitud x del lado del lote paralelo a las cercas interiores. interiores. Indique Indique el ´ dominio de la funci´ funcion. 8. Se bombea agua en un tanque c´onico onico invertido, cuya altura tura es de 1.2 m y cuyo radio radio es de 40 cm. Expre Exprese, se, en 3 m , el volumen del agua dentro del tanque, como una funci´on on del radio r radio r de de la superficie de agua. 9. Exprese Exprese la distancia distancia del punto ( 0, 0) a un punto ( x, y) so bre la recta y recta y = 2x 3, en t´erminos erminos de x de x solamente. solamente. Indique el dominio dominio de la funci funcion. ´
−
10. En el proyecto de una helader´ıa ıa se calcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas, la ganancia diaria ser´ sera´ de $ 8000 por silla, pero si la capacidad de sillas sobrepasa las 80, entonces la ganancia diaria por cada silla disminuye disminuye $40 por el numero ´ de sillas excedentes. Si x es el n´umero umero de sillas y G y G la la ganancia diaria, exprese a G como funci´on de x de x indicand indicando o el dominio dominio de la funci´on resultante. 11. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m 3 /min hacia el interior de un dep´osito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. Exprese
Halle el area a´ rea limitada por la pista como funci´on del radio r de cada segmento semicircular. 13. Suponga que una farola se encuentra en el extremo superior de un poste de 15 pies de altura, situado en una calle calle horizont horizontal al y recta. recta. Si un hombre hombre de 6 pies de estatura camina por dicha calle, alej´andose andose del poste, exprese la longitud de sus sombra s sombra s (en cualquier instante t) en t´erminos erminos de la distancia x distancia x del del hombre al poste. 14. 14. Una Una vent ventan anaa rect rectan angu gula larr est´ est´a rematada por un semic´ırculo. ırculo. El per´ımetro ımetro de la ventana ventan a es 200 cm. cm . Exprese el area a´ rea A de la ventana como funci´on del radio x del semic´ırculo ırculo e indique i ndique el dominio de la funcion ´ resultante. 15. Un avi´on de una compa compan´ ˜ ıa ıa tiene cupo para 100 pasajeros. pasa jeros. Para una excursi´on, on, la compa˜n´ıa ıa cobra $ 800,000 a cada pasajero m´as as $ 10,000 por cada puesto que quede vac´ıo. ıo. Si viajan x viajan x pasajeros, pasajeros, (a) exprese cu´anto anto dinero D dinero D pagar´ pagar´a cada uno; ´ de x (b) exprese, mediante una funci funci´on de x,, el ingreso T ingreso T que que recibe la compan˜ ´ıa ıa por todos los pasajeros. 16. Los arboles a´ rboles de naranja que crecen en La Pintada pro˜ cada uno, si no se plantan ducen 600 naranjas por ano mas a´ s de 20 arboles a´ rboles por hect´ hectarea. a´ rea. Por cada arbol a´ rbol plantado adicional por hect´area area el rendimiento por arbol a´ rbol decrece en 15 naran naranjas jas.. Expre Exprese se el numero ´ de naranjas N proN producidas en cada hect´ hectarea a´ rea por ano ˜ como una funcion ´ del numero ´ de ´ de ´arboles x arboles x plantados plantados por hect´ hectarea. a´ rea. 17. Losv´erti e rtice cess de un rect´ rect´angulo angulo est´an a n uno uno sobr sobree el eje eje x, x, otro 2 sobre el eje y eje y,, otro sobre la gr´ grafica a´ fica de y de y = 4 x y el otro es el origen. Exprese el area A a´ rea A del rect´ rectangulo a´ ngulo en funci on o´ n de uno de sus lados.
−
18. Dos lados lados de un tri´ tri´angulo angulo tienen 4 y 5 metros de longitud y el ´ el ´angulo angulo entre ellos es θ . Exprese ´ de θ . (a) el ´ el ´area A area A de de dicho tri´ triangulo a´ ngulo como funcion (b) la longitud longitud del tercer lado lado z z en en terminos e´ rminos de θ . 19. Un equipo de f´utbol juega en un estadio con una capacidad de 15,000 espectado espectadores. res. Con el precio de la boleta fijado en 12 dolares, olare ´ s, la asistencia promedio promedio a un partido es de 11,000 espectadores. Un estudio de mercado indica que por cada d´olar que disminuya el precio de la boleta, boleta, la asistencia promedio aumentar´a 1000 espectadores. Ex-
20. Se circunscribe un cono circular recto alrededor de un cilindro circular recto de 2 cm de radio y 3 cm de altura:
√
3. A( x) = x 4a2 x2 , 0 < x < 2a. P( x ) = 2 x + 2 4a2 x2 , 0 < x < 2a. 4.
(a) A(r )
√ −
= 2 π r2
−
+ 120 r ,0
6. 7. 8.
−
A( x) = 52 x(150 V (r ) = π r 3 , 0 <
(a) del radio r de la base del cono; (b) de la altura h del cono.
18.
16. 17.
√ , h > 0.
19. 20.
2. A( x ) = x 2 + 64000 x , x
>
0.
<
.
<
∞
.
150.
0,4. R.
si si
− 40(x − 80)] x
40 x x > 80.
≤ ≤ 80,
.
2 x, 0 3
<
− 2π r)r, 0
x
<
∞
<
r
<
1 2π .
,0
<
.
− π x − 2x)x +
π x 2
2
x < π 200 +2 . x ).
− (b) T ( x) = [ 800000 + 10000(100 − x)] x. 600x si 0 ≤ x ≤ 20, N ( x ) = 2 900x − 15x si 20 x ≤ 60. A( x) = x (4 − x2 ), 0 x 2. (a) A(θ ) = 10 sen θ , 0 θ π . √ (b) z(θ ) = 41 − 40cos θ , 0 θ π . I ( x) = ( 23000 − 1000x) x, 8 ≤ x ≤ 23. <
<
<
<
(a) V (r ) = (b) V (h) =
22.
3
∞
(a) D( x) = 800000 + 10000(100
<
(a) (b)
π r3 r 2 , r
−
4h3 π
>
3( h 3)2
−
<
2.
, h
>
3.
1 x2 x )2 , 0 x 4π + 16 (10 V (r ) = 13 π r2 R2 r2 , 0 < r V (h) = 13 π ( R2 h2 )h, 0 < h
21. A( x) = h2
<
<
(b) de la altura h del cono.
1. A(h) =
π
14. A( x) = ( 200
22. Se elabora un cono a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar un sector circular y unir los bordes. Exprese la capacidad V del cono como funci´on
Respuestas
96t
13. s( x ) =
15.
(a) del radio r del cono;
[8000
12. A(r ) = π r2 + (1
21. Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. Si x es la longitud del trozo de alambre usado para construir la circunferencia, exprese el area ´ total A de las dos figuras como una funci´on de x. Indique el dominio de la funci´on.
<
x
8000− x12x + 9, x ∈
3
r
<
5x2
10. G( x) = 11. h =
− x ), 0
√
9. d( x) =
Exprese el volumen V del cono en funci´on
r
120 + 4 15π h, 0 < h h C (r ) = 8 π r2 + 240 r , 0 < r < ∞. V ( x) = ( 120 2x)2 x, 0 < x < 60.
(b) A(h) =
5.
<
√
− √
−
≤ ≤ 10.
−
<
R.
<
R.
