Signos y operaciones ( con números enteros y fracciones ) El ALGEBRA es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible ( Baldor ) En el álgebra los símbolos que se emplean para expresar cantidades son números y letras, mientras que en la aritmética solo se emplean números. La consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras dan origen a las FORMULAS ALGEBRAICAS. Los signos empleados en álgebra son de tres clases : signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.
A.- Los signos de operación más empleados son : suma ( se lee más ), resta ( se lee menos ), multiplicación ( se lee multiplicado por ), división ( se lee dividido entre ), elevación a potencia ( se lee con exponente .. ) y extracción de raíces ( se lee raíz con radical .. ). Nota.- Potencia es producto que resulta de multiplicar una cantidad o expresión expresión por sí misma una o más veces. Exponente es el número o expresión algebraica que denota la potencia a que se ha de elevar otro número u otra expresión, y se coloca en su parte superior a la derecha. ( Poner ejemplos de cómo se leen diferentes operaciones ) * Definición de Término : cada una de las partes ligadas entre sí por el signo de sumar o de restar dentro de una expresión algebraica.
factor numérico numérico o literal literal que multip multiplic licaa una expresió expresión, n, * Definición de coeficiente : es el factor situándose generalmente a la izquierda .En el producto de dos factores, cualquiera de los dos factores es llamado coeficiente del otro. Cuando la cantidad no tiene coeficiente numérico su coeficiente es la unidad. ( Poner ejemplos ) B.- Los signos de relación entre cantidades más empleados son : = ( se lee igual ), > ( se lee mayor que ) y < ( se lee menor que ). Poner ejemplos. C.- Los signos de agrupación más empleados son : el paréntesis ordinario ( ), el corchete [ ] y la llave { } Ejemplo de resolución de problemas :
Jerarquizacion de operaciones matemáticas ( con números enteros y fracciones )
1 º. E f e c t u a r l a s o p e r a c i o n e s e n t r e p a r é n t e s i s , c o r c h e t e s y l l a v e s . 2 º. C a l c u l a r l a s p o t e n c i a s y r a í c e s. 3 º . E f e c t u a r l o s p r o d u c t o s y c o c i e n t e s. 4 º . R e a l i z a r l a s sumas y restas . Antes de continuar revisaremos una importante importante regla.
REGLA DE LOS SIGNOS : MULTIPLICACION Y DIVISION DE SIGNOS
Para multiplicar o dividir números con igual o distinto signo, debemos aprender la siguiente regla:
+ + -
x x x x
+ + -
= = = =
+ +
Podemos resumirlo en que la multiplicación de dos números con el mismo signo (da igual que sea o +) siempre da como resultado un número positivo (+), mientras que la multiplicación de números con signo diferente siempre da como resultado un número negativo (-) En la división pasa exactamente lo mismo:
+ + -
: : : :
+ + -
= = = =
+ +
Continuando con la jerarquización de las operaciones veremos los siguientes ejemplos. Tipos de operacio operaciones nes combinad combinadas as 1 . Operaciones combinadas sin paréntesis 1 . 1 Combinación de sumas y diferencias. 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. = 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7 1 . 2 Combinación de sumas, restas y productos. 3·2-5+4·3-8+5·2= Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 1 5 1 . 3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =
Efectuamos las sumas y restas. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 1 0 1 . 4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias. 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 2 - 16 : 4 = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes. = 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 26 2 . Operaciones combinadas con paréntesis
(15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 2 3)= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 1 8 3 . Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes [15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. = [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = 12 · 7 - 3 + 2 Multiplicamos. = 84 - 3 + 2=
Restamos y sumamos. = 83
4 . Con fracciones
Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis .
Operamos en el primer paréntesis , quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos .
Realizamos las operaciones del paréntesis .
Hacemos las operaciones del numerador , dividimos y simplificamos el resultado.
Ejercicio de operaciones combinadas 14 − {7 + 4 · 3 - [(-2) 2 · 2 - 6)]}+ (2 2 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 2 3 : 2) =
Primero operamos con las potencias, produ ctos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) = Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =
Realizamos las sumas y diferencias de los par éntesis.
14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) = 14 − (17) + (-5) + 3 - (1) = La supresión de paréntesis ha de realizars e considerando que:
Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga. Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga. 14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6
