Engenharia de Produção 7º Período – Noturno Pesquisa Operacional e Modelagem II Prof. José Maria do Carmo B. Alves
2ª Lista de Exercício – Teoria das Filas 1.
Um escritório tem 3 datilógrafas e cada uma pode datilografar em média, 6 cartas por hora. As cartas chegam para serem datilografadas com taxa média de 15 por hora: a. Qual é o número médio de cartas esperando para serem datilografadas? b. Quanto tempo em média uma carta demora para ficar pronta? c. Se cada datilografa recebe-se de maneira independente (fila individual) 5 cartas por hora, em média, para datilografar. O tempo médio que uma carta demoraria para ficar pronta seria maior ou menor que no caso com fila única?
2.
As probabilidades
Pn
de
n
clientes no sistema para um modelo M/M/1/5 são apresentadas na
tabela abaixo: n Pn
0 0,399
1 0,249
2 0,156
3 0,097
4 0,061
5 0,038
A taxa de chegada de clientes é de 5 por hora. A taxa de serviço é de 8 atendimentos por hora. Calcule: a. A probabilidade de um cliente que chega conseguir entrar no sistema; b. A taxa de clientes que chegam e não conseguem entrar no sistema; c. Número médio de clientes no sistema; d. Tempo médio de permanência no sistema; e. Número médio de clientes na fila; f. Tempo médio de fila. 3.
Uma lanchonete pode acomodar um máximo de 50 pessoas sentadas. Clientes chegam de acordo com uma distribuição de Poisson à taxa de 10 por hora e são atendidos à uma taxa de 8 por hora. a. Qual é a probabilidade de um cliente que chega não comer na lanchonete porque ela está cheia? b. Quantos clientes a lanchonete perde para a concorrência por hora? c. Em média, quantos clientes ficam na lanchonete? d. Quanto tempo em média um cliente fica na lanchonete? e. Qual o tempo médio de espera? f. Sabe-se que um cliente gasta, em média, R$ 25,00 na lanchonete. Devido ao grande número de reclamações dos clientes, o dono da lanchonete está pensando em contratar mais funcionários e tem para isso tem duas opções: i. Contratar um ajudante de cozinha, a um custo de R$ 2.000,00 por mês. Com isso a taxa de atendimento aumentará para 10 por hora; ii. Contratar um novo cozinheiro, a um custo de R$ 4. 500,00 por mês. Com isso o sistema (lanchonete) terá dois canais de atendimento. A lanchonete funciona 16 horas por dia, 25 dias por mês. Determine qual das duas opções é mais favorável.
4.
O restaurante de fast-food McBurger tem 3 caixas. Os clientes chegam de acordo com uma distribuição de Poisson a cada 3 minutos e formam uma fila. O tempo para atender a um pedido segue uma distribuição exponencial com uma média de 5 minutos. a. Qual a probabilidade do restaurante estar vazio; b. Qual o tempo de permanência no restaurante; c. Qual o número médio de clientes no restaurante; d. Quanto tempo, em média, um cliente espera para ser atendido.
5.
Deseja-se determinar o número ótimo de caixas em uma agência bancária. O tempo que cada cliente “perde” dentro da agência está estimado em R$5/hora e o custo de funcionamento de uma caixa é de R$4/hora. Se os clientes chegam a taxa média de 40 clientes/hora e cada caixa pode atender, em média, 30 clientes/hora, qual é o número mínimo de caixas que produz o menor custo de operação? Dica: Ao incrementar o número de caixas, o custo de operação diminui até atingir um mínimo e logo volta a crescer.
6.
Uma pequena agência de correio tem dois guichês abertos. Os clientes chegam a cada 3 minutos. Contudo, somente 80,0% deles se dirigem aos guichês. O tempo de atendimento por cliente segue uma exponencial, com uma média de 5 minutos. Os clientes que vão utilizar os guichês formam uma única fila com disciplina FIFO. a. Qual é a probabilidade de um cliente que chega ter de esperar na fila? b. Qual é a probabilidade de ambos os guichês estarem ociosos? c. Qual é o comprimento médio da fila? d. Em média, quanto tempo que um cliente que utiliza o guichê fica na agência?
7.
O lava-rápido Automata funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma distribuição de Poisson com média igual a 4 carros por hora e podem esperar em um estacionamento oferecido se a baia estiver ocupada. O tempo para lavar e limpar um carro segue distribuição exponencial, com média de 10 minutos. Carros que não conseguem vaga no estacionamento vão embora, isso significa que a capacidade do sistema é 5 carros. Determine: a. Probabilidade de um carro que chega passar imediatamente à baia de lavagem; b. Tempo de espera estimado até o início do serviço; c. Número médio de vagas vazias; d. Probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas. e. O número de vagas no estacionamento tal que a porcentagem de carros que não conseguem vagas seja menor que 1%.
8.
A montagem final de geradores elétricos na Electro é realizada à taxa de 10 unidades por hora, seguindo uma distribuição de Poisson. Em seguida, os geradores são transportados por uma esteira rolante até o departamento de inspeção para um teste final. A esteira pode suportar um máximo de 7 geradores. Um sensor eletrônico para automaticamente a esteira quando ela estiver cheia, o que impede que o departamento de montagem final monte mais unidades até
haver espaço disponível. O tempo para inspecionar os geradores segue uma exponencial, com uma média de 15 minutos. a. Qual a probabilidade de o departamento de montagem final parar a produção? b. Qual o número médio de geradores na esteira transportadora? c. Quanto tempo em média um gerador leva para ser liberado pela inspeção? d. O engenheiro de produção afirma que as interrupções no departamento de montagem podem ser reduzidas, aumentando a capacidade da esteira. Na verdade, ele afirma que a capacidade pode ser aumentada até o ponto em que o departamento de montagem poderá trabalhar 95% do tempo sem interrupção. Essa afirmação é justificável? 9.
Na Universidade A, calouros são famosos porque querem ir às aulas de carro (ainda que a maioria deles tenha de morar no campus e possa usar o conveniente sistema de transporte interno grátis oferecido pela universidade). Durante as duas primeiras semanas do semestre o caos impera no campus porque os calouros tentam desesperadamente encontrar vagas para estacionar. Com dedicação fora do comum, eles esperam pacientemente nos corredores do estacionamento que alguém saia para que possam estacionar seus carros. Vamos considerar um cenário específico: o estacionamento tem 30 vagas, mas também pode acomodar 10 carros a mais nos corredores. Esses 10 carros a mais não podem estacionar nos corredores permanentemente e devem esperar pela disponibilidade de uma das 30 vagas. Os calouros chegam ao estacionamento de acordo com uma distribuição de Poisson, com média de 20 carros por hora. A média de tempo de estacionamento por carro é aproximadamente 60 minutos e segue uma distribuição exponencial. Determine: a. A porcentagem de calouros que têm de ir embora porque não podem entrar no estacionamento; b. A probabilidade de um carro que entra no estacionamento ter que esperar nos corredores; c. O número médio de vagas ocupadas; d. O número médio de carros nos corredores; e. A probabilidade de um calouro chegar atrasado na sala de aula.
10. A loja de conveniência EAT&GAS opera um posto de gasolina com duas bombas. A faixa de tráfego interno que leva às bombas pode conter no máximo 6 carros. Carros que chegam procuram outro posto se a faixa estiver cheia. A distribuição dos carros que chegam é uma Poisson e sua média varia de acordo com o horário do dia, conforme tabela abaixo. O tempo para encher o tanque e pagar pelo combustível segue uma exponencial com média de 6 minutos. Faixa de Horário
05h00min às 07h00min 07h00min às 10h00min 10h00min às 14h00min 14h00min às 17h30min 17h30min às 19h00min 19h00min às 21h00min
Taxa de Chegada (cheg./h) 10 35 30 20 45 15
a. Determine o número de carros que procurarão outro posto de gasolina por dia; b. Determine a porcentagem de tempo em que pelo menos uma bomba está em uso (por faixa de horário); c. Determine o percentual de utilização das bombas (por faixa de horário); d. O dono da loja de conveniência é proprietário de um terreno ao lado do posto e está pensando em aumentar a faixa de tráfego interno para 10 carros, para isso precisará fazer um investimento de R$ 7.500,00. Sabendo-se que em média cada cliente dá um lucro de R$ 45,00 para o posto. Determine se é lucrativo para o proprietário fazer este investimento, se sim em quanto tempo ele terá retorno do investimento?
