2. Dinámica Estructural. Sistemas de un Grado de Libertad
2.1 Caracterí sticas sticas del Problema Dinámico
Amador Terán Gilmore
Dentro del ámbito de la di námica estructural, el movimiento de una estructura se caracteriza por medio del desplazamiento, velocidad y aceleración que sufre su masa. Estos Estos parámetros de respuesta, respuesta, así como la descripción analítica de la carga dinámica que actúa sobre dicha masa, constituyen la base a partir de la cual se plantea una ecuación de movimiento. Dicha ecuación se utiliza para predecir y caracterizar el estado de movimiento de la estructura y de las fuerzas internas que se generan en sus componentes estructurales. estructurales. Desplazamiento Velocidad Aceleracion
du dt
u
= u&
d 2u dt 2
= u&&
2.2 Sistemas de un Grado de Libertad
Un sistema de un grado de l ibertad (S1GL) es el modelo estructural más simple con que se puede modelar una estructura. Toda estructura que pueda modelarse a través de un S1GL debe satisfacer dos tipos de condiciones: A) Físicas y B) De comportamiento. Una vez que se ha decidido que una estructura puede modelarse a través de un S1GL, es necesario plantear una ecuación de movimiento, cuya solución nos permitirá describir como responde la estructura ante una excitación dinámica dada.
M
M
M
M
En cuanto a las condiciones físicas, una estructura puede modelarse razonablemente a través de un S1GL si su masa puede idealizarse como concentrada en un solo punto. Además de la masa, un S1GL posee elementos estructurales que aportan rigidez al sistema y unen la masa a una serie de apoyos (soportes), y un amortiguador viscoso que disipa la energía de vibración de la estructura.
El número de desplazamientos independientes que se requieren para definir la posición desplazada de una estructura en relación a su posición original se conoce como número de grados de li bertad. En cuanto a las condiciones de comportamiento, un sistema de un grado de libertad se caracteriza porque solo se requiere un grado de libertad o desplazamiento independiente para definir la configuración deformada del sistema. En el caso de la dinámica estructural, el grado de libertad esta asociado al desplazamiento, velocidad y aceleración de la masa concentrada.
Considere una estructura que cumple con las condiciones físicas para ser un S1GL, y cuya masa exhibe movimiento traslacional. Dicha estructura puede modelarse como un S1GL si el movimiento de su masa puede describirse en su totalidad al proyectarlo en un eje cartesiano; esto es, cuando el movimiento de la masa este contenido en una línea recta. El grado de libertad asociado a la estructura debe ir orientado en la dirección en la que se espera se mueva la masa.
u
En caso de que la masa de la estructura se traslade lo largo y ancho de un plano, el movimiento solo podrá ser caracterizado mediante dos componentes independientes de desplazamiento, una en el sentido X y otra en el sentido Y. En el espacio se requieren tres componentes de desplazamiento: X, Y y Z.
w
u
u v
Debido a que el movimiento del terreno durante una excitación sísmica se da en el espacio, el movimiento de la masa de una estructura sismorresistente simple también se da en el espacio. Estrictamente hablando, no existen los S1GL en el ámbito de la ingeniería sísmica, ya que una sola componente de desplazamiento no es suficiente para describir el movimiento de una partícula en el espacio.
Durante el diseño sismorresistente, es práctica común despreciar los efectos derivados del movimiento vertical de la masa del sistema estructural. En casos muy particulares, y dependiendo de muchos factores, los efectos de la aceleración vertical del terreno deben contemplarse durante el diseño sismorresistente. Si se desprecia el movimiento vertical de la masa, el movimiento de la masa puede caracterizarse completamente a partir de dos componentes independientes de desplazamiento
A partir de la consideración de independencia entre los movimientos que se dan en direcciones X y Y, es práctica común modelar de manera independiente el estado de movimiento de la masa en cada una de estas dos direcciones. Para efectos de diseño, se superponen al final los efectos que sobre el sistema estructural tienen los movimientos de la masa en X y en Y. De esta manera, es posible utilizar el concepto de S1GL para el modelado analítico de muchas estructuras simples durante el proceso de diseño sismorresistente.
u
u
v
u
v
v
=
En algunos casos, el movimiento de la masa solo puede caracterizarse si se consideran las componentes rotacionales de movimiento. En este caso, hay que contemplar otras componentes independientes de desplazamiento, denotadas giros, que consideran la rotación de la masa. Movimientos en el plano XY requieren la consideración de un giro alrededor del eje Z, mientras que movimientos en el espacio deben contemplar tres componentes independientes de giro alrededor de los ejes X, Y y Z.
θ
+
Toda estructura simple que pueda modelarse a través de un S1GL puede modelarse a través del modelo masa-resorte-amortiguador, el cuál es de gran utilidad para plantear la ecuación de movimiento de l a estructura. El modelo masa-resorte-amortiguador esta formado por los siguientes componentes: 1) Masa. La masa de los diferentes elementos que conforman la estructura simple se modela a partir de una masa concentrada. Esto es, toda la masa de la estructura se ubica en un solo punto. Dicho punto es el punto de referencia a partir del cual se establece el estado de movimiento del S1GL. 2) Resorte: La rigidez que los elementos estructurales de la estructura simple aportan a la masa se modela a partir de un resorte paralelo al grado de libertad asociado S1GL. 3) Amortiguador: La capacidad que tiene la estructura simple para disipar la energía de vibración que almacena se modela a partir de un amortiguador viscoso.
1.50 m
1.50 m
K
Viga de acero
=
M
P(t) = 25 sen 10πt
P(t) M
Cabe mencionar que el amortiguador no representa un elemento que físicamente se encuentre en la estructura, sino que es un modelo matemático simple que permite modelar la reducción paulatina de movimiento que se observa en las estructuras reales.
C
2.3 Ecuación de Movimiento
La ecuación de movimiento es en realidad una ecuación de equilibrio dinámico que involucra las fuerzas que se generan en los diferentes componentes de un S1GL (representado por un sistema masa-resorte-amortiguador). En particular, establece dicho equilibrio entre la fuerza dinámica externa, y las fuerzas internas que se generan en el sistema como consecuencia de su movimiento: A) Fuerzas de inercia generadas en la masa; B) Fuerzas viscosas generadas en el amortiguador; y C) Fuerzas de deformación generadas en el resorte.
En este curso se estudiarán diferentes casos para la ecuación de movimiento de un sistema de un grado de libertad.
2.4 Vibraciones Libres 0 ⎧ ⎪ P o senΩ t ⎪ P ( t ) = ⎨ arbitraria ⎪ ⎪⎩excitacion sismica
Considere un S1GL que este en reposo hasta un tiempo inicial t 0. Se dice que este S1GL oscila libremente a partir de dicho tiempo cuando responde ante el efecto exclusivo de una excitación inicial (desplazamiento y/o velocidad) aplicada en t 0. A partir de t 0, el sistema no se ve sujeto al efecto de otra excitación externa. Tanto el desplazamiento como velocidad inicial se aplican de manera instantánea al S1GL.
mu&& + cu& + ku = P ( t )
P(t ) = 0
Para el caso de oscilaciones libres, P(t) = 0 , la solución a la ecuación de movimiento esta dada por:
⎛
u& o + ξω u o
⎝
ω d
u (t ) = e −ξω t ⎜⎜ u o cos ω d t +
mu&& + cu& + ku = 0
⎠
que para el caso de amortiguamiento cero se simplifica a
u (t ) = u o cosω t +
Si a partir del tiempo cero no hay fuerza externa actuando sobre la masa, el término de la ecuación de m ovimiento asociado a la fuerza externa es igual a cero. Esto es, P(t) = 0 :
⎞
senω d t ⎟⎟
u& o
senω t ω donde las condiciones iniciales de movimiento están dadas por u0 y ů0, que son el desplazamiento inicial y velocidad inicial, respectivamente, a los que se sujeta al S1GL; y d son la frecuencia natural de vibración y la frecuencia natural amortiguada del S1GL, respectivamente; y , conocido como porcentaje de amortiguamiento crítico, es un parámetro que cuantifica el nivel de amortiguamiento viscoso en la estructura.
Los valores de ,
d y
pueden estimarse conforme a lo siguiente:
k
ω =
m
ω d = ω 1 − ξ 2 y ξ =
c 2mω
El valor de es una medida del número de ciclos que un S1GL no amortiguado acomoda por unidad de tiempo durante su respuesta a las condiciones iniciales. El valor de d da una medida similar para el caso de un S1GL con amortiguamiento.
La solución a la ecuación de movimiento de vibraciones libres de un S1GL esta planteada en función de funciones periódicas. Debido a la periodicidad de las funciones seno y coseno, el desplazamiento u(t) del sistema oscila entre una serie de máximos y una serie de mínimos. La grafica de u(t) contra t de un S1GL sin amortiguamiento sujeto a oscilaciones libres tiene la siguiente forma: u(t) u(t ) T T
El valor del periodo puede estimarse conforme a lo siguiente:
⎧ 2π
⎪⎪ ω T = ⎨ 2π
si ξ = 0
si ξ ≠ 0 ⎪ ⎪⎩ω d
t t T T
El periodo del S1GL, denotado T en la figura, puede definirse como el tiempo que transcurre entre dos máximos o dos mínimos de la curva u(t) . Físicamente, T representa el tiempo que transcurre para que el S1GL complete un ciclo de movimiento.
Puede demostrarse que el desplazamiento máximo para un S1GL no amortiguado sujeto a vibraciones libres esta dado por:
⎛ u&o ⎞ ⎟ ⎝ ω ⎠
umax = uo2 + ⎜
2
Dinamica S1GL.xls
Ejemplo. Una masa que pesa 500 kilogramos se ancla, por medio de un resorte de rigidez 2000 kg/cm, al extremo de una viga en voladizo. El claro de la viga es de 3 metros. El momento de inercia de la viga es de 50 cm4 y el módulo de elasticidad del acero es 2’000,000 kg/cm2. Desprecie el peso propio de la viga y considere un amortiguamiento viscoso de 2% ( = 0.02). Establezca la frecuencia y periodo de vibración del sistema. Estime la variación de la deflexión en el centro del claro de la viga que resulta de darle un desplazamiento inicial hacia abajo de 2 cm. 3.00 m Viga de acero
M P(t) = 0
2.5 Carga Armónica P(t) = P o sen( Ωt)
Recuerde que la ecuación de movimiento de un S1GL se expresa como: m ü+ ců + k u = P(t)
donde m es la masa del S1GL, c el coeficiente asociado al amortiguador y k la rigidez del resorte. P(t) es una carga externa aplicada directamente en la masa.
Considere un S1GL que este en reposo hasta un tiempo ini cial t o igual a cero. Se dice que este S1GL oscila bajo carga armónica a partir de ese tiempo inicial, cuando se le aplica una carga externa que varia en el tiempo de acuerdo a: P (t ) = P o senΩt
m ü+ c ů + k u = P o sen
donde P o define la amplitud máxima de la carga, y la frecuencia de la excitación. A continuación se muestra de manera cualitativa la variación de P(t) con respecto al tiempo. )
2π = 2π T Texc exc = Ω Ω
P(t P(t)
Si a partir del tiempo cero se considera que actúa una fuerza armónica sobre la masa, entonces la ecuación de movimiento se expresa como:
La ecuación de movimiento de un S1GL sujeto a carga armónica tiene una solución homogénea y una solución particular.
u( t ) = e −ξω t ( A cos ω d t + Bsenω d t ) +
P Poo
t t
Solución homogenea o transitoria
π 22π Ω Ω
Generalmente, solo la solución particular o respuesta forzada es de interés. Si consideramos que las condiciones iniciales de movimiento de un S1GL son cero, y se considera que la respuesta transitoria de un sistema se desvanece con el tiempo, tenemos que la respuesta forzada de un sistema sujeta a excitaciones armónicas puede expresarse como: u (t ) =
sen(Ωt − θ )
K
(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2
2
que para el caso de amortiguamiento cero se simplifica a u (t ) =
Además:
ω =
P o
P o sen(Ωt )
K (1 − β 2 )
donde , conocido como coeficiente equivalente de amortiguamiento, es un parámetro que cuantifica el nivel de amortiguamiento viscoso en la estructura; , igual a / , es la relación de frecuencias de la excitación y del S1GL, es la frecuencia natural de vibración del S1GL y un ángulo de fase que cuantifica el tiempo que transcurre entre la aplicación de la carga y la respuesta del sistema a esta carga.
ξ =
k m c 2mω
⎛ 2ξβ ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎝ 1 − β ⎠
θ = tan −1 ⎜⎜
P o
sen( Ω t − θ )
K
(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2
2
Solución particular o forzada
-P -P oo Texc== T exc
t
Note que la solución a l a ecuación de movimiento esta planteada en función de la función seno, la cual es periódica. Esto implica que la respuesta forzada del sistema oscila entre una serie de máximos y mínimos cuya amplitud máxima esta dada cuando la función seno se maximiza: u max =
P o
1
K
(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2
Note que el tiempo que transcurre entre dos máximos o dos mínimos de u(t) puede estimarse como: T exc =
2π Ω
Aunque la carga y la respuesta del sistema exhiben una variación similar con respecto al tiempo, normalmente van fuera de fase. De manera cualitativa:
2
P(t), u(t)
De manera cualitativa: )
∆t =
2π = 2π T Texc exc = Ω Ω
u(t) u(t
θ Ω
Texc
=
2π Ω
umax umax
u(t)
t
t t -umax -umax
P(t) 2π π Texc==2 T exc Ω Ω
Texc
Dinamica S1GL.xls
=
2π Ω
Un concepto importante dentro de la dinámica es el de factor de amplificación dinámica (FAD). El FAD es el cociente directo entre el máximo desplazamiento que exhibe un S1GL cuando se l e sujeta a una excitación dinámica ( umax ), y el desplazamiento máximo que se produciría en ese S1GL si la excitación dinámica se aplicará de manera estática ( uest ), esto es, si la excitación se aplicará muy lentamente. Para el caso de una excitación armónica:
FAD =
umax uest
=
P o K
1
(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2
2
P o K
=
1
(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2
2
El FAD es muy importante, ya que puede demostrarse que la fuerza máxima que se desarrolla en el resorte de un S1GL (que modelan los elementos resistentes de un sistema) durante una excitación sísmica ( f smax ), es igual a:
f s max = FAD ⋅ P o
En ocasiones el FAD puede tener valores significativamente mayores que uno, lo que implica que aunque P(t) oscile entre valores de P o y –P o, la fuerza que debe resistir el resorte es mucho mayor que P o. En otras ocasiones, FAD adquiere valores mucho menores que uno, de tal manera que aunque P(t) oscile entre valores de P o y –P o, la fuerza que debe resistir el resorte es mucho menor que P o. En resumen, la fuerza P(t) aplicada directamente en la masa puede amplificarse o deamplificarse de manera importante cuando la resiste el resorte.
Dinamica S1GL.xls
10
FAD
9
¡La mayoría de nuestras estructuras andan por aca!
8 7 6
ξ = 0.05 ξ = 0.10 ξ = 0.20 ξ = 0.30 ξ = 0.50 ξ = 0.80
5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
β
4
Significado físico de la solución forzada (para valores de amortiguamiento consistentes con los observados en nuestras estructuras) 1) Frecuencia del movimiento corresponde a Ω . El sistema no vibra con su propia frecuencia ( ωd ), sino con la frecuencia de la excitación. 2) Amplitud del movimiento, depende de Ω / ω y de .
Zona Amplificación FAD
10
ξ = 0.05 ξ = 0.10 ξ = 0.20 ξ = 0.30 ξ = 0.50 ξ = 0.80
9 8
-
Si β → 0 (caso estático), los efectos dinámicos son despreciables u p max =
-
P o
1
K
(1 − 0 ) + (2ξ 0 )
=
2
K
P o
1
K
(1 − ∞ ) + (2ξ ∞ ) 2 2
6
=0
2
mucho del amortiguamiento disponible P o
1
K
(1 − 1 ) + (2ξ 1) 2 2
2
=
5 4 3
Zona Deamplificación
2
Zona Estática
1 0 0
Si β → 1, existe una amplificacion importante que depende en u p max =
7
= uest
Si β → , el sistema practicamente no responde a la excitación dinámica (deamplifica el movimiento) u p max =
-
2 2
P o
P o 1 K 2ξ
1
2
3
β
4
4) Fuerzas dominantes dependen del valor de β Si β → 0, la respuesta del S1GL esta controlada por su resorte (domina la fuerza por deformación). En este rango de frecuencias, es muy importante aportar resistencia suficiente al resorte.
3) Ángulo de fase , depende de β y .
u p ( t ) =
P o
sen( Ω t − θ )
K
(1 − β ) + (2ξβ ) 2 2
= a sen( Ω t − θ )
u p max =
P o
1
K
(1 − 0 ) + (2ξ 0 )
2
P ( t ) = P o senΩ t
P o
1
K
(1 − β ) + (2ξβ )
3.00 m Viga de acero
M P(t) = 0
P o K
2 2
=
2
P o P ω 2 P = o = o K β 2 K Ω 2 mΩ 2
β → 1, la respuesta esta controlada por su amortiguador (domina la fuerza de amortiguamiento). En este rango de frecuencias se vuelve muy importante aportar al sistema con una capacidad adecuada de disipación de energía. u p max =
Ejemplo. Una masa que pesa 500 kilogramos se ancla, por medio de un resorte de rigidez 2000 kg/cm, al extremo de una viga en voladizo. El claro de la viga es de 3 metros. El momento de inercia de la viga es de 50 cm4 y el módulo de elasticidad del acero es 2’000,000 kg/cm2. Desprecie el peso propio de la viga y considere un amortiguamiento viscoso de 2% ( = 0.02). Estime la variación de la deflexión en el centro del claro de la viga que resulta de aplicar la siguiente carga armónica: P(t) = 25 sen(10t).
=
2
Si β → , la respuesta del S1GL esta controlada por la masa (domina la fuerza de inercia). En la gran mayoría de los casos la masa del sistema esta dada. u p max =
Los máximos y mínimos de P(t) y u p(t) se presentan con un defasamiento de θ . Se dice que u p(t) se defasa θ con respecto a la excitación. Puede demostrarse que la respuesta se defasa θ / Ω en el eje del tiempo.
2 2
P o
1
K
(1 − 1 ) + (2ξ 1) 2 2
2
=
P o K 2ξ
=
P o cω
2.6 Respuesta ante Cargas Arbitrarias
Muchas de las aplicaciones de la dinámica estructural estan asociadas a cargas que no pueden caracterizarse a través de un patrón repetitivo. P(t)
Existen muchas maneras de obtener u(t ) bajo esta circunstancia. Algunas de ellas son analíticas, otras numéricas. En el caso de sistemas que exhiban comportamiento elástico, se puede recurrir a la integral de Duhamel.
t
u( t ) =
t
1 mω d
∫ p( τ )e
−ξω ( t −τ )
sen[ω d ( t − τ )]d τ
0
mu&& + cu& + ku = P ( t ) arbitraria
En este curso se ilustrará el Método de Newmark con aceleración constante. Este método constituye una solución numérica a la ecuación de movimiento de un S1GL (que puede permanecer elástico o no).
Veamos que sucede en el intervalo de tiempo que va de t i a t i+1.
Suponga que la aceleración del S1GL ( ü) tiene la siguiente dependencia con respecto a t:
Se define un eje coordenado local para medir el tiempo a partir de t i . El tiempo medido con respecto a este eje de referencia lo denotamos τ .
t
ü(t) ü(t)
üi+1
üi+1 üi
Si la aceleración es constante en el intervalo
üi t i t i+1
t
τ
t t i
t i+1
∆t e igual al promedio de l as aceleraciones en t i y t i+1 , entonces:
u&&( τ ) =
1 2
( u&&i +1 + u&&i )
¿Si conocemos ůi , cuanto vale ůi+1 dado que la aceleración se ha supuesto constante en el intervalo ∆t ? t
ů(t)
Dada una aceleración constante, la velocidad tiene una variación lineal.
ůi+1
1 u&( τ ) = u&i + ( u&&i +1 + u&&i )τ 2 1 u&i +1 = u&i + ( u&&i +1 + u&&i )∆t 2
u&&( τ ) = cons tan te
ůi
τ t i
t t i+1
Con base en que la aceleración es constante y que la velocidad es lineal dentro del intervalo t , es posible llegar a las siguientes dos ecuaciones:
∆u&&i =
4 ∆t 2
∆u&i =
∆ui +
2 ∆t
4 u&i − 2u&&i ∆t
∆ui − 2u&i
La ecuación de movimiento para t = t i puede expresarse como: mu&&i + cu&i + kui = pi
Dado que se conoce la historia de carga, pi es conocido. Gracias a la suposición de aceleracion constante en el intervalo de interés, se cuenta con dos ecuaciones extras (una en términos de aceleración y otra en terminos de velocidad), de tal manera que junto con la ecuación de movimiento del intervalo se dispone de tres ecuaciones para establecer tres incógnitas.
Mientras que para t = t i+1, tenemos: mu&&i +1 + cu&i +1 + kui +1 = pi+1
Para cualquier instante contenido en el intervalo que va de t i a t i+1 , es necesario plantear una ecuación de movimiento i ncremental: i+1
m( u&&i +1 − u&&i ) + c( u&i +1 − u&i ) + k ( ui +1 − ui ) = pi+1 − pi m ∆u&&i + c ∆u&i + k ∆ui = ∆pi
i ∆u&&i =
4 2 ∆t
∆ui +
4
u&i − 2u&&i ∆t
∆u&i =
2
∆t
∆ui − 2u&i
Para el intervalo i , se tiene una ecuación de movimiento y tres variables.
A partir de sustituir las dos ecuaciones extras en la ecuación de movimiento se obtiene lo siguiente:
⎡ 4 m 2c ⎤ ⎡ 4m ⎤ ⎢⎣ ∆t 2 + ∆t + k ⎥⎦ ∆ui = ∆ pi + ⎢⎣ ∆t + 2c ⎥⎦u&i + 2 mu&&i
~ K = Rigidez efectiva
~ ∆ P i = fuerza efectiva
Resolviendo para el i ncremento de desplazamiento:
~ ~ K ∆ui = ∆ p i ~ ∆ pi ∆ui = ~ K Y los incrementos de velocidad y aceleración en el intervalo pueden estimarse como: 4
&&i = ∆u
∆t 2
∆u&i =
∆ui +
2 ∆t
Cualitativamente el esquema funciona conforme a lo siguiente: ~ ∆ p ∆u2 = ~2
u(t) ~ ∆ p ∆u1 = ~1 K
~ ∆ p ∆uo = ~o K
K
ü3 , ů3 , u3
ü2 , ů2 , u2
ü1 , ů1 , u1 t üo , ůo , uo
4 u&i − 2u&&i ∆t
∆ui − 2u&i
1.0 Cálculos Iniciales
2.0 Cálculos para el i-ésimo intervalo de tiempo ~
2.1 Calcule el incremento de fuerza efectiva: ∆ P i = ∆ pi
1.1Calcule la aceleración para t =0. La velocidad y desplazamiento iniciales son conocidos u&&o =
1 m
1.3 Calcule las siguientes constantes: 4m ∆t
~
2.3 Calcule la rigidez efectiva: K i =
4m ∆t 2
+
2c ∆t
+ k i
( P o − cu&o − kuo )
1.2 Seleccione el intervalo de tiempo ∆t
a=
+ au&i + bu&&i
2.2 Determine la rigidez tangente k i
+ 2c y b = 2 m
2.4 Resuelva para el incremento de ~ desplazamiento: ∆ p ∆ui = ~ i K i 2.5 Calcule la velocidad incremental: ∆u&i =
2 ∆t
∆ui − 2u&i
2.6 Determine el desplazamiento y velocidad al final del intervalo: ui +1 = ui + ∆ui , u&i +1 = u&i + ∆u&i note que en el caso no lineal , u&&i +1 ≠ u&&i + ∆u&&i 2.7 Corrija el error que se introduce al usar k sec en lugar de k tan, esto es, determine la p − cu&i +1 + ( f s )i +1 fuerza resistente y calcule la aceleracion al u &&i +1 = i +1 final del intervalo de tiempo: m
3.0 Repetición para el próximo intervalo de tiempo. Sustituya i+1 por i y repita los pasos 2.1 al 2.7 para el siguiente intervalo de tiempo.
ut
Primero note que no hay carga externa aplicada en la m asa: P(t) = 0
Considere un marco sujeto a deformación lateral en el que pueda despreciarse la deformación axial de viga y columnas. El desplazamiento lateral total del sistema (de la masa) es igual a:
f I + f D + f R = 0
u g
u
ut = u + u g u&t = u& + u& g
¿Como afecta lo anterior la ecuación de movimiento?
u&&t = u&& + u&& g
donde u es el desplazamiento de la masa relativo a la base y u g el desplazamiento del terreno.
2.7 Respuesta ante Excitaciones Sí smicas smicas
En cuanto a las fuerzas que se generan en el S1GL, note que u g representa un movimiento de cuerpo rígido de la estructura, y que u es la porción del desplazamiento total que induce deformación en los elementos resistentes (resorte y amortiguador). Las fuerzas en el resorte y amortiguador dependen de la deformación de la estructura: f R = ku
f D = ců
Por otro lado, el movimiento de cuerpo rígido de una masa genera fuerzas de inercia en ella: f I = m(ü + ü g )
Por tanto, la ecuación de movimiento puede plantearse como: f I + f D + f R = 0 m(ü + ü g ) + c ů + ku = 0 mü+ ců + ku = -mü g (t)
Interpretación:
2.8 Concepto y uso de Espectros
puede interpretarse como una carga externa p(t) aplicada en la masa
p( t ) = −mu&& g ( t ) ü g (t)
≈ Base fija
Nuestros acelerografos registran aceleración del terreno
Para llevar a cabo un diseño sísmico, resulta impráctico resolver la ecuación de movimiento mediante una integración numérica. En esta sección se discute como se ha resuelto el problema del análisis sísmico de un S1GL desde un punto de vista práctico
Mediante el Método de Newmark (o cualquier otro), es posible estimar la respuesta de un S1GL con T y dados ante el movimiento Centro NS 1940.
Caso Elástico Los aparatos de medición de movimientos del terreno registran dicho movimiento como una secuencia de aceleraciones. Esta secuencia, denotada acelerograma, se caracteriza por su variación en el tiempo. Considere el caso del acelerograma registrado en la dirección N-S de el Centro, California (sitio de suelo firme) en 1940.
ü g (t)
Suponga que resulta de interés caracterizar de manera numérica este acelerograma de tal manera que sea posible estimar, de manera rápida y razonable, las acciones de diseño en un S1GL.
t (seg)
m
u (pulg)
k
ξ = 0.02 T = 0.5 seg
t (seg)
Para un S1GL con T = 0.5 seg y ξ = 0.02, y que permanezca elástico, el movimiento Centro NS 1940 demanda un desplazamiento máximo de 2.67”. Note que este sería el caso de cualquier S1GL con estas propiedades dinámicas, independientemente de su masa y rigidez.
mu&& + cu& + ku = − mu&& g (t )
2m
m k
ξ = 0.02
T = 2π
m k
= 0.5 seg
mu&& + 2mωξ u& + ku = −mu&& g (t )
2k
ξ = 0.02
T = 2π
2m 2 k
= 0.5 seg
¿Cómo puede diseñarse, bajo este contexto, la resistencia lateral requerida por un S1GL? Una manera de hacer esto consiste en definir una carga lateral equivalente que produzca en el S1GL la misma deformación que la excitación sísmica induce en él.
2mu&& + 2( 2m)ωξ u& + 2ku = −2mu&& g (t )
f smax = kumax
Note que mientras dos S1GL sujetos a sismo tengan el mismo periodo (aunque el valor de absoluto de su masa y rigidez cambien), su ecuación de movimiento será la misma. Puede decirse que la historia u(t) contra t mostrada en la lámina anterior aplica a cualquier S1GL con T =0.5 seg y = 0.02 sujeto al Centro NS 1940. Lo mismo puede decirse del valor máximo de desplazamiento asociado a dicha historia umax .
En un segundo paso se procede a llevar a cabo un análisis estructural del S1GL bajo los efectos de la carga lateral equivalente. Se obtienen así los elementos mecánicos que definen la resistencia de diseño de los elementos estructurales.
m
k
¿Cómo usamos este conocimiento con fines de diseño? La historia u(t) contra t y el valor de umax de todos los S1GL elásticos con el mismo valor de T y ξ serán igual. Puede entonces plantearse, para un valor dado de ξ , el análisis de varios S1GL con diferente valor de T, y resumir el valor de umax correspondiente a todos ellos en una gráfica de acuerdo a lo siguiente: Espectro de desplazamientos para ξ de 0.02
u (pulg)
f smax
umax
T = 0.5 seg ξ = 0.02
El Centro 1940 NS
t (seg)
umax (pulg)
T = 1.0 seg ξ = 0.02
Axiales, cortantes, momentos. Note que a diferencia del desplazamiento, la fuerza que se genera en el S1GL no solo depende del periodo y amortiguamiento, sino del valor de su masa y rigidez ( f smax = kumax ).
El Centro 1940 NS T = 2.0 seg ξ = 0.02
El Centro 1940 NS
T (seg)
Note que es posible obtener espectros para otros valores de ξ .
Con fines de diseño se procede conforme a lo siguiente: umax
1. Se estima el valor de T y ξ asociado al S1GL
3. Se determina el desplazamiento máximo en función de T
u*max T (seg)
2. Se entra con el valor de T al espectro elástico
Desde un punto de vista práctico, es mas fácil estimar el peso (o la masa) de una estructura que su rigidez. Por ello, se plantean espectros de aceleración conforme a lo siguiente.
f s max = kumax = mu&&max =
Aunque el procedimiento anterior es válido, tiene la gran desventaja de que requiere la determinación de k para estimar f .
W g
u&&max
Se plantea la fuerza sísmica en términos de inercia, es decir, en términos de la masa o peso del sistema
f = kumax *
u&&max =
K m
umax
u&&max = ω 2u max 4. Se estima la fuerza lateral equivalente
5. Se lleva a cabo un análisis estructural con la fuerza lateral equivalente
Es posible plantear un espectro de resistencia conforme a lo siguiente: T (seg)
umax
ω
(cm)
(1/seg)
(cm/seg2)
0.5 1.0 2.0
6.81 15.16 18.97
157.91 39.48 9.87
1075.36 598.5 187.23
ω2umax =
ümax
ümax /g
1.10 0.61 0.19
Al graficar, para un valor dado de ξ , los valores de ümax /g para diferentes valores de T , se establece lo que se conoce como espectro de pseudoaceleración (o resistencia).
Note que si conocemos T , y por tanto ω, es posible estimar la aceleración máxima del sistema a partir del desplazamiento máximo.
Con fines de diseño, un espectro de pseudo-aceleración se utiliza conforme a lo siguiente: ümax /g
g
3. Se determina la pseudo-aceleración de diseño
f = W
ümax /g
Zona Estática
Zona Amplificación
Zona Deamplificación T (seg)
1. Se estima el valor de T y ξ asociado al S1GL
u&&*max
&&*max u
T (seg) 2. Se entra con el valor de T al espectro elástico
g
4. Se estima la fuerza lateral equivalente
umax
5. Se lleva a cabo el análisis estructural. Se estiman desplazamientos y elementos mecánicos
Es importante mencionar que el espectro de pseudo-aceleración de diseño debe establecerse a partir de una familia de acelerogramas que en conjunto representan la excitación sísmica de diseño. A partir de considerar la aleatoriedad e incertidumbre en la definición de la excitación sísmica de diseño, pueden plantearse un espectro elástico de diseño, que en términos generales corresponde a una envolvente estadística de los espectros correspondientes a los diferentes acelerogramas. Domina velocidad
1.6
S a
Zona Amplificación (disipación de energía en el amortiguador)
1.4 1.2
Los espectros de diseño se simplifican para poder ser utilizados: 1.2
1.2
S a
S a
µ = 1 µ = 2 µ = 3 µ = 4
1
0.8
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0 0
1
2
1
a) Media 0.8
3
T (seg)
4
0
1
2
b) Media + σ
3
T (seg)
0.6 0.4
Zona estática
Zona Deamplificación
0.2
Domina dezplazamiento (resistencia del resorte) 0
0
1
2
3
T (seg)
4
Domina aceleración (masa del sistema)
Nuestras estructuras de ocupación estándar se diseñan bajo el entendimiento de que pueden exhibir comportamiento plástico de importancia durante sismos severos. Una grafica típica de fuerza contra desplazamiento lateral de una estructura sujeta a un estado de deformación lateral monótonamente creciente tiene la siguiente forma: f
u (pulg) t (seg)
Es común idealizar la curva fuerzadesplazamiento mediante un modelo bilineal (elastoplástico perfecto).
f y
u u y
f y es la resistencia de fluencia; u y el desplazamiento de fluencia; y umax el desplazamiento máximo
umax
Definimos la ductilidad como una medida cuantitativa de la demanda de deformación plástica en la estructura
µ =
umax u y
En términos generales, mientras menor sea la resistencia mayor será la demanda de ductilidad.
4
Es posible establecer conforme a esto espectros de resistencia para sistemas que exhiben comportamiento plástico ( µ > 1). Un espectro de resistencia para ductilidad máxima µmax resume, para cualquier S1GL, la resistencia requerida para controlar su demanda máxima de ductilidad dentro del umbral dado por el valor de µmax . Note que es necesario especificar el valor de ξ asociado al espectro, y que para valores dados de T y ξ , la resistencia de diseño se reduce conforme se incrementa el valor de µmax .
Con fines de diseño, un espectro de pseudo-aceleración no lineal se utiliza conforme a lo siguiente: ümax /g
µ = µ max
u*max
T (seg) 2. Se entra con el valor de T al espectro no lineal correspondiente a µmax
g
f = W
Suelo Firme
Suelo Firme
1. Se estima el valor de T, ξ y µmax asociados al S1GL. El valor de µmax se establece en función del detallado por utilizarse.
µ = 1
3. Se determina la pseudo-aceleración de diseño
u&&*max
u y
g
4. Se estima la fuerza lateral equivalente Suelo Blando
*** u max =
Suelo Muy Blando
Con fines normativos, normalmente se define el espectro elástico de pseudo-aceleración, y se prescriben factores de reducción de resistencia para establecer el espectro de diseño de resistencia. Mientras que los espectros suelen establecerse para un de 0.05, los factores de reducción suelen plantearse en función de la ductilidad máxima que se considera puede acomodar la estructura durante la excitación sísmica de diseño.
Suelo Firme
Suelo Muy Blando
1.2
µ = 1 1
R = f(µ) 0.8
R
0.6
µ= 2
0.4
0.2
µ= 4 0 0
1
2
3
T (seg)
4
u y µmax
Los valores asignados al factor de reduccion de resistencia depende del tipo de suelo donde se desplanta la estructura.
1.4
S a /g
5. Se lleva a cabo análisis estructural. Se estiman desplazamientos*** y elementos mecánicos
R
Ejemplo. Una torre de agua con peso de 250 toneladas se ve sujeta a una excitación sísmica cuya intensidad se caracteriza por medio del espectro mostrado. Estime la rigidez lateral que se requiere para controlar el desplazamiento lateral de la torre dentro del umbral de 25 cm4 si se acepta que esta es capaz de desarrollar un ductilidad de 2. Estime la fuerza lateral para el cual hay que diseñar la torre. 1.4
S a /g
u
1.2
µ= 1 1
R = f(µ) 0.8
0.6
µ = 2
0.4
0.2
µ = 4 0 0
1
2
3
T (seg)
4
