Chapitre 1
Modélisation du moteur asynchrone
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Chapitre I
Modélisation de la Machine Asyn As ynch chro rone ne I.MODÉLISATION ANALYTIQUE DE LA MACHINE ASYNCHRONE I.1.
Introduction
La machine asynchrone a fait l'objet de nombreuses études les trois dernières décennies. Elle Elle prése présent ntee l'ava l'avant ntag agee d'êt d'être re robu robust ste e peu peu co!t co!teu euse se de cons constru truct ctio ion n simp simple le et de mainte maintenan nance ce réduit réduite e en partic particuli ulier er lors"u lors"u#il #il s#agit s#agit de la machin machinee asynch asynchron ronee $ cage cage d'écur d'écureui euil. l. %ette %ette derniè dernière re est la machin machinee la plus plus utilisé utiliséee pour pour obten obtenir ir de la puissan puissance ce mécani"ue $ partir du réseau alternatif& mais elle présente un système d'é"uations très comp comple lee e $ étudi étudier er "ui "ui eig eigee un recou recours rs au au calcu calculs ls matr matrici iciels els.. (ar (ar suit suitee de cett cettee compleité on doit développer un modèle dont le comportement dynami"ue soit aussi proche "ue possible de celui de la réalité. (ar consé"uent la théorie générale a pour but de traiter une large gamme de machines de fa)on unifiée en les ramenant $ un modèle uni"ue dit *machine primitive+. %e modèle est caractérisé par un système d'aes en "uadratures indicé ,d , d q- %ha/0 dans la mesure o2 l'on admet comme première approimation les hypothèses simplificatrices suivantes 3
La saturation dans le circuit magnéti"ue est négligée cela permet d#eprimer les flu comme fonctions linéaires des courants.
Le circui circuitt magnét magnéti"u i"uee est parfai parfaitem tement ent feuill feuilleté eté afin afin de néglig négliger er les couran courants ts de 4oucault.
Les pertes par hystéresis et effet de peau sont négligées.
L#épaisseur de l#entrefer est considérée constante sur toute la périphérie de la machine en négligeant l#effet des encoches.
La force magnétomotrice créée par chacune des phases est $ répartition sinuso5dale ce "ui "ui revi revien entt $ ne cons consid idér érer er "ue "ue la fond fondam amen enta tale le.. %e "ui "ui sign signif ifie ie "ue "ue le flu flu d#enroulement $ travers cha"ue phase et l#inductance mutuelle entre un enroulement rotori"ue et statori"ue suivent une loi sinuso5dale en fonction de l#angle rotori"ue.
6e même la machine est considérée comme symétri"ue et é"uilibrée.
Chapitre 1. Modélisation analytique de la MAS
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6ans ce chapitre nous décrirons le modèle triphasé de la machine utilisant les hypothèses simplificatrices mentionnées ci9dessus et le modèle biphasé é"uivalent. :ous présenterons ensuite le modèle complet et réduit dans le référentiel fie et tournant sous forme de représentation d#état. (uis nous présenterons un retour d#état linéaris ant de la machine asynchrone "ui consiste $ appli"uer une boucle interne permettant une linéarisation eacte ou partielle du système pour un cas idéal ,connaissance parfaite du système- et après un changement convenable de coordonnées de l#espace d#état. ;insi nous mettrons l#accent sur un retour d#état non9linéaire permettant l#obtention d#un modèle mieu adapté au systèmes approimatifs tels "ue les systèmes d#inférence floue tout en gardant décentralisée la commande du moteur.
I.<.
Mise en équations de la machine asynchrone triphasée
En tenant compte des hypothèses simplificatrices et en adoptant la convention de signe moteur les epressions générales de la machine eprimées en fonction des flu et des courants sont définies comme suit =ar><%ha/0 3
Équations électriques v s? vr ?
d dt d dt
ψ s @ R s ι s ,1.1ψ r @ Rr ιr
o2 v s ? , v sa v sb v sc - t et vr ? , vra vrb vrc - t représentent les tensions des trois phases statori"ues et rotori"ues respectivement. ι s ? , ι sa ι sb ι sc - t et ιr ? , ιra ιrb ιrc - t sont les vecteurs des courants traversant ces phases. ψ s ? ,
Φ sa Φ sb Φ sc - t ψ r ? , Φra Φrb Φrc - t
correspondent au vecteurs des flu
totalisés traversant les enroulements statori"ues et rotori"ues.
Équations magnétiques : Les epressions des flu statori"ues et rotori"ues sous la forme matricielle condensée s#écrivent 3 ψ s ? L ss⋅ι s @ A sr ⋅ιr ψ r ? Lrr ⋅ιr @ Ars⋅ι s
Thèse de Magister
,1.<-
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Chapitre 1
Modélisation du moteur asynchrone
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avec 3
L ss ?
$ s M s M s
M s M s $ s
M s
M s
$ s
& Lrr ?
cos ,θ r <π cos θ r − B cos θ r + <π B A sr ? M sr θr 3 angle entre la phase
$r M r M r
M r M r
$r
$r M r M r
<π B B <π cos ,θ r cos θ r + B <π cos θ r − cos ,θ r - B ? Ars t
cos θ r +
<π
cos θ r −
a du stator et celle du rotor. , Ω ? d θr Cdt -
$ s , $r - 3 inductance propre d#une phase statori"ue ,rotori"ue- M s , M r- 3 inductance mutuelle entre deu phases statori"ues ,rotori"ues-. M sr 3 inductance mutuelle maimale entre une phase du stator et une phase du rotor.
Équations mécaniques : C em D C r D % r Ω ? &
d dt
Ω
,1.B-
avec C em C r % r & 3 le couple électromagnéti"ue le couple résistant le coefficient de frottement et le moment d#inertie respectivement. :ous aboutirons ainsi $ un système de si é"uations différentielles et une epression du couple dont certains coefficientsfont intervenir des fonctions sinuso5dales dues au mouvement de rotation du rotor d'o2 la compleité de la résolution analyti"ue. ;fin de surmonter cette difficulté on considère les enroulements biphasés é"uivalents au enroulements statori"ue et rotori"ue.
I.B.
Transformation de PARK
rFce $ la structure symétri"ue et é"uilibrée de la machine la transformation de (arG permet le passage du système triphasé ,abc- au système biphasé $ deu aes fictifs ,d q- en "uadrature é"uivalents comme illustré $ la figure 1.1.
Chapitre 1. Modélisation analytique de la MAS
>
b s
br
ar
θm a s
c s
%oncordia
(arG
,abc- → ,αβ-
,abc- → ,d qcr
β s
q s
βr
d r
αr qr
θm
α s
d s
rotation de θ
θ
,αβ- → ,d q-
α s
Figure 1.1 : Représentation spatiale de la trans%ormation triphasée ' biphasée 6e ce fait il est donc possible de définir une matrice A permettant le passage des composantes abc du système triphasé au composantes dqo du système biphasé tournant $ la même vitesse telle "ue 3
A ?
θ3
< B
<π cos θ + <π cos( θ) cos θ − B B π π < < − sin ( θ) − sin θ − − sin θ + B B 1 < 1 < 1 <
,1.J-
étant l'angle entre la phase a du stator et l#ae d du référentiel.
Les courants tensions et flu dans le nouveau repère sont définis comme suit 3
id ia i = [ A] ⋅ i & q b iο ic Thèse de Magister
v d v a v = [ A] ⋅ v & q b vο vc
Φ d Φ a Φ = [ A] ⋅ Φ q b Φ ο Φ c
,1.7-
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Modélisation du moteur asynchrone
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La transformation A peut s#effectuer $ partir de deu transformations successives 3 D la première transforme l#enroulement triphasé en un enroulement é"uivalent bipolaire dans un repère fie , αβo- ,4igure 1.1-. Elle est donnée par 3
;1 ?
< B
1 − 0.7 − 0.7 0 B < − B < 1 < 1 < 1 <
,1.8-
D la deuième consiste en une rotation des aes du repère ,αβ- d#un angle "uelcon"ue
θ
pour donner le référentiel tournant. Elle est donnée par 3 ;< ?
I.J.
cos( θ) − sin( θ)
sin( θ)
,1.H-
cos( θ)
Équations de la machine biphasée équivalente
(our simplifier la représentation des é"uations électri"ues de la machine asynchrone on a utilisé la transformation de (arG dont le but est d'arriver $ rendre la matrice impédance indépendante de la variable θ r . Les é"uations électri"ues et magnéti"ues donnent alors le système suivant 3 vds ? R s ιds @ vqs ? R s ιqs @
d dt d dt
Φds D ωa Φqs Φqs @ ωa Φds
vdr ? Rr ιdr @ vqr ? Rr ιqr @
d dt d dt
Φdr D ,ωa D ωr - Φqr ,1.>-
Φqr @ ,ωa D ωr - Φdr
et 3
Φds ? $ s ιds @ $m ιdr
Φdr ? $r ιdr @ $m ιds
Φqs ? $ s ιqs @ $m ιqr
Φqr ? $r ιqr @ $m ιqs
en posant3
ωa ? d θ C dt
la vitesse de rotation du référentiel.
ωr ? p ⋅ Ω ? p ⋅ d θr C dt
la vitesse électri"ue de rotation du rotor.
$ s $r inductances propres cycli"ues du stator et du rotor respectivement & $ s ? $as D M as et $r ? $ar D M ar $m 3 inductance mutuelle cycli"ue entre stator et rotor & $m ? BC< M sr
,1./-
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10
Équation du couple : &
d dt
Ω ( C em ) C r ) % r Ω
,1.10-
o2 3 C em (
I.7.
p $ m $ r
(Φ dr ⋅ ι qs − Φ qr ⋅ ι ds )
,1.11-
Définition des différents référentiels
Le référentiel est le système ,d q- associé de rotation. 6ans notre cas nous adoptons un seul référentiel pour le rotor et le stator. Il eiste trois possibilités de référentiels dans la prati"ue. Le choi se fait en fonction du problème étudié. (armi les relations "ue nous venons de présenter les seules "ui soient affectées par le choi du référentiel sont les é"uations ,1.>-.
Référentiel fixe par rapport au stator Il se traduit par la condition 3
ωa ? 0.
Les é"uations électri"ues prennent ainsi la forme suivante 3 vds ? R s ιds @
d dt
Φds
vdr ? Rr ιdr @
d dt
Φdr @ ωr Φqr ,1.1<-
vqs ? R s ιqs @
d dt
Φqs
vqr ? Rr ιqr @
d dt
Φqr D ωr Φdr
Le référentiel fie est intéressant lors"u#on veut étudier la variation de la fré"uence d#alimentation associée ou non $ la variation de la vitesse de rotation.
Référentiel fixe par rapport au rotor Il correspond au transformations des grandeurs de la machine dans un référentiel tournant $ la vitesse synchrone c.9$9d. 3 ωa ? ωr . Les é"uations électri"ues sont données par 3 vds ? R s ιds @
d dt
Φds D ωr Φqs
vdr ? Rr ιdr @
d dt
Φdr ,1.1B-
vqs ? R s ιqs @
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d dt
Φ"s @ ωr Φds
vqr ? Rr ιqr @
d dt
Φqr
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%e référentiel est particulièrement avantageu dans l#étude des régimes transitoires o2 la vitesse de rotation du rotor est considérée comme constante par eemple pour l#étude des contraintes résultant d#un court9circuit.
Référentiel fixe par rapport au champ tournant
ωa ? ω s .
La condition "ui régit ce cas est3
Les é"uations électri"ues du moteur sont données par 3 vds ? R s ιds @
d dt
Φds D ω s Φqs
vdr ? Rr ιdr @
d dt
Φdr D ,ω s D ωr - Φqr ,1.1J-
vqs ? R s ιqs @
d dt
Φqs @ ω s Φds
vqr ? Rr ιqr @
d dt
Φqr @ ,ω s D ωr - Φdr
%'est le seul référentiel "ui n'introduit pas de simplification dans les é"uations de la machine. Il est utilisé dans les problèmes d'alimentation des machines asynchrones par convertisseur stati"ue de fré"uenc et lors"u'on veut étudier la fonction de transfert du moteur par rapport $ de petites variations de la vitesse autour d'un régime donné =ar><.
I.8.
Modélisation de lassociation convertisseur ! moteur asynchrone
Le moteur asynchrone est alimenté par un onduleur de tension commandé par la stratégie *delta+ "ui permet une commande en courant et l#utilisation du modèle réduit du moteur ,4igure 1.<-.
éseau
4iltre (=
edresseur
vd Mnduleur ALI
MAS
commande des interrupteurs + c + b + a
ι b
K
ιcK
ιaK
ιa
ι b
ιc
Figure 1.2 : Association convertisseur * moteur asynchrone Les interrupteurs de l#onduleur $ deu niveau sont commandés de telle sorte "ue le courant de cha"ue phase évolue dans une bande d#hystérésis encadrant le courant de
Chapitre 1. Modélisation analytique de la MAS
1<
référence correspondant. Le contrNle des courants se fait par une comparaison $ hystérésis entre les courants réels et ceu de référence. Les tensions composées au bornes de l#onduleur sont eprimées en fonction des variables logi"ues + a + b + c telle "ue 3
va < − 1 − 1 + a vd = − − v 1 < 1 b ⋅ + b ⋅ B v − 1 − 1 < + c c
,1.17-
avec 3 vd la tension continue fournie par redressement et filtrage de la tension triphasée du secteur. + i , i ? abc - représentent l#état logi"ue des interrupteurs dont la commutation est supposée instantanée. + i ?
0
si
Oi conduit et Oi# blo"ué
1
si
Oi# conduit et Oi blo"ué
Oi Oi# , i ? abc - représentent les états des transistors de l#onduleur ,4igure 1.B-
vd
Oa
O b
Oa#
Oc
O b#
Oc#
va vb vc
énération des signau de commande
Figure 1.3 : ,nduleur de tension Le modèle du comparateur $ hystérésis pour une phase est donné par 3
1 + i , - + 1- = 0 + ,- i
si si si
∆ι i > h ∆ι i < − h ∆ι i ≤ h
,1.18-
avec 3 ∆ιi ? ιi D ιi∗ , i ( abc h 3 la bande d#hystérésis
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La figure 1.J donne l#allure du courant statori"ue d#une phase et de la fonction logi"ue + i .
7
0
97 0.01
0.017
0.0<
0.0<7
0.0B
0.0B7
0.0J
0.017
0.0<
0.0<7
0.0B
0.0B7
0.0J
1 0.> 0.8 0.J 0.< 0 0.01
Figure 1.4 : +orme d.un courant de phase statorique et de la %onction logique + i I.H.
Représentation détat du syst"me
(our une commande en tension de la machine asynchrone $ cage le modèle correspondant dans le repère lié au champ tournant est obtenu en considérant les composantes de tension , vds / v qs - comme grandeurs de commande et les variables , ιds /ιqs /
Φdr / Φqr / Ω
- comme variables d#état. %e modèle est régi par 4u/1 3 0 = % , 0- + g , 0- ⋅ u
o2 3 0 ? , 01 0< 0B 0J 07 - t ? , ιds / ιqs / Φdr / Φqr / Ω - t & u ? , u1 u< - t ? , vds v"s - t
,1.1H-
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1J
− γ 0 + ω 0 + - 0 + p - 0 0 1 s < B J 7 T r - % 1 − γ 0 < − ω s 01 + 0 J − p - 0B 07 T r % < $ 1 m 01 − 0B + ,ω s − p 07 - ⋅ 0 J % , 0- ? % B ? T r T r % J $m 1 % 0 < − 0 J − ,ω s − p 07 - ⋅ 0B 7 T r T r p$m C r − − , 0 0 0 0 B < 1 J &$r &
g , 0- ? ( g 1 , 0- g < , 0- ) ?
1 0 σ $ s 1 0 σ $ s 0 0 0 0 0 0
avec 3 T r (
$r Rr
&
σ ( 1 )
ω gl ? ω s D p 07
$m< $r $ s
& -(
$m $r $ s − $m<
&
γ (
1
σ $ s
Rr $m< ⋅ R s − < $r
3 la vitesse du glissement.
En prenant les courants statori"ues comme variables de commande on obtient le modèle réduit de la machine comme suit 3 0 = % , 0- + g , 0- ⋅ u
,1.1>-
avec 3 0 ? , 0B 0J 07 - t ? , Φdr Φqr Ω - t u ? , u1 u< - t ? , ιds ιqs - t
− 0B + ,ω − p ⋅ 0 - ⋅ 0 s 7 J T r % , 0 1 − 0 J − ,ω − p ⋅ 0 - ⋅ 0 % , 0- ? % < , 0 - ? s 7 B T r % B , 0- C r − &
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Chapitre 1
g , 0- ? [ g 1, 0-
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$m T r 0 g <, 0-] ? − p$ m 0 &$r J
0 $m T r p$m 0B &$r
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