Chapitre I
Modélisation de la Machine Asyn As ynch chro rone ne I.MODÉLISATION ANALYTIQUE DE LA MACHINE ASYNCHRONE I.1.
Introduction
La machine asynchrone a fait l'objet de nombreuses études les trois dernières décennies. Elle Elle prése présent ntee l'ava l'avant ntag agee d'êt d'être re robu robust ste, e, peu peu coût coûteu euse, se, de cons constru truct ctio ion n simp simple le et de mainte maintenan nance ce réduit réduite, e, en partic particulie ulierr lorsqu lorsqu’il ’il s’agit s’agit de la machin machinee asynch asynchron ronee à cage cage d'écur d'écureui euil. l. Cette Cette derniè dernière re est la machin machinee la plus plus utilisé utiliséee pour pour obteni obtenirr de la puissa puissance nce mécanique à partir du réseau alternatif; mais elle présente un système d'équations très comp complex lexee à étudi étudier er qui qui exig exigee un recou recours rs aux aux calcu calculs ls matri matricie ciels ls.. Par Par suit suitee de cette cette complexité, on doit développer un modèle dont le comportement dynamique soit aussi proche que possible de celui de la réalité. Par conséquent, la théorie générale a pour but de traiter une large gamme de machines de façon unifiée, en les ramenant à un modèle unique dit “machine primitive”. Ce modèle est caractérisé par un système d'axes en quadratures indicé (d ( d ,q) [Cha90], dans la mesure où l'on admet comme première approximation les hypothèses simplificatrices suivantes :
La saturation dans le circuit magnétique est négligée, cela permet d’exprimer les flux comme fonctions linéaires des courants.
Le circui circuitt magnét magnétiqu iquee est parfai parfaitem tement ent feuill feuilleté eté,, afin afin de néglig négliger er les couran courants ts de Foucault.
Les pertes par hystéresis et effet de peau sont négligées.
L’épaisseur L’épaisseur de l’entrefer l’entrefer est considérée considérée constante sur toute la périphérie périphérie de la machine, en négligeant l’effet des encoches.
La force magnétomotrice créée par chacune des phases est à répartition sinusoïdale, ce qui qui revi revien entt à ne cons consid idér érer er que que la fond fondam amen enta tale le.. Ce qui qui sign signif ifie ie que que le flux flux d’enroulement à travers chaque phase et l’inductance mutuelle entre un enroulement rotorique et statorique suivent une loi sinusoïdale en fonction de l’angle rotorique.
De même, la machine est considérée comme symétrique et équilibrée.
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Dans ce chapitre, nous décrirons le modèle triphasé de la machine utilisant les hypothèses simplificatrices mentionnées ci-dessus, et le modèle biphasé équivalent. Nous présenterons ensuite le modèle complet et réduit, dans le référentiel fixe et tournant, sous forme de représentation d’état. Puis, nous présenterons un retour d’état linéarisant de la machine asynchrone qui consiste à appliquer une boucle interne permettant une linéarisation exacte ou partielle du système pour un cas idéal (connaissance parfaite du système) et après un changement convenable de coordonnées de l’espace d’état. Ainsi nous mettrons l’accent sur un retour d’état non-linéaire permettant l’obtention d’un modèle mieux adapté aux systèmes approximatifs, tels que les systèmes d’inférence floue, tout en gardant décentralisée la commande du moteur.
I.2.
Mise en équations de la machine asynchrone triphasée
En tenant compte des hypothèses simplificatrices et en adoptant la convention de signe moteur, les expressions générales de la machine exprimées en fonction des flux et des courants sont définies comme suit [Bar82][Cha90] :
Équations électriques d
[v s]= [vr ]=
dt d dt
[ψ s] + R s [ι s] (1.1)
[ψ r ] + Rr [ιr ]
où [v s] = ( v sa , v sb , v sc ) t et [vr ] = ( vra , vrb , vrc ) t représentent les tensions des trois phases statoriques et rotoriques, respectivement. [ι s] = ( ι sa , ι sb , ι sc ) t et [ιr ] = ( ιra ,
ιrb , ιrc ) t
sont les vecteurs des courants traversant ces
phases. [ψ s] = (
Φ sa , Φ sb , Φ sc ) t
, [ψ r] = (
Φra , Φrb , Φrc ) t
correspondent aux vecteurs des flux
totalisés traversant les enroulements statoriques et rotoriques.
Équations magnétiques : Les expressions des flux statoriques et rotoriques sous la forme matricielle condensée s’écrivent : [ψ s] = [L ss]⋅[ι s] + [M sr ]⋅[ιr ] [ψ r] = [Lrr ]⋅[ιr ] + [Mrs]⋅[ι s]
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(1.2)
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avec :
[L ss] =
L s M s M s
M s M s L s
M s
M s
L s
; [Lrr ] =
cos (θ r ) 2π cos θ r − 3 cos θ r + 2π 3 [M sr ] = M sr θr : angle entre la phase
Lr M r M r
M r M r
Lr
Lr M r M r
2π 3 3 2π cos (θ r ) cos θ r + 3 2π cos θ r − cos (θ r ) 3
cos θ r +
2π
cos θ r −
a du stator et celle du rotor. (
= [Mrs] t
Ω = d θr /dt )
L s, ( Lr ) : inductance propre d’une phase statorique (rotorique), M s ( M r) : inductance mutuelle entre deux phases statoriques (rotoriques). M sr : inductance mutuelle maximale entre une phase du stator et une phase du rotor.
Équations mécaniques : C em – C r – f r Ω = J
d dt
Ω
(1.3)
avec C em , C r , f r , J : le couple électromagnétique, le couple résistant, le coefficient de frottement et le moment d’inertie, respectivement. Nous aboutirons ainsi à un système de six équations différentielles et une expression du couple dont certains coefficients font intervenir des fonctions sinusoïdales dues au mouvement de rotation du rotor, d'où la complexité de la résolution analytique. Afin de surmonter cette difficulté, on considère les enroulements biphasés équivalents aux enroulements statorique et rotorique.
I.3.
Transformation de PARK
Grâce à la structure symétrique et équilibrée de la machine, la transformation de Park permet le passage du système triphasé (a,b,c) au système biphasé à deux axes fictifs (d ,q) en quadrature équivalents, comme illustré à la figure 1.1.
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8
b s
br
ar
θm a s
c s
Concordia
Park
(a,b,c) → (α,β)
(a,b,c) → (d ,q) cr
β s
q s
βr
d r
αr qr
θm
α s
d s
rotation de θ
θ
(α,β) → (d ,q)
α s
Figure 1.1 : Représentation spatiale de la transformation triphasée / biphasée De ce fait, il est donc possible de définir une matrice [ A], permettant le passage des composantes Xabc du système triphasé aux composantes X dqo du système biphasé tournant à la même vitesse, telle que :
[ A] =
θ:
2 3
2π cos θ + 2π cos( θ) cos θ − 3 3 π π 2 2 − sin ( θ) − sin θ − − sin θ + 3 3 1 2 1 2 1 2
(1.4)
étant l'angle entre la phase a du stator et l’axe d du référentiel.
Les courants, tensions et flux dans le nouveau repère sont définis comme suit :
id ia i = [ A] ⋅ i q b iο ic Thèse de Magister
;
vd v a v = [ A] ⋅ v q b vο vc
;
Φ d Φ a Φ = [ A] ⋅ Φ q b Φ ο Φ c
(1.5)
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La transformation [ A] peut s’effectuer à partir de deux transformations successives : – la première transforme l’enroulement triphasé en un enroulement équivalent bipolaire dans un repère fixe ( α,β,o) (Figure 1.1). Elle est donnée par :
[A1] =
2 3
1 − 0.5 − 0.5 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2
(1.6)
– la deuxième consiste en une rotation des axes du repère (α,β) d’un angle quelconque
θ
pour donner le référentiel tournant. Elle est donnée par : [A2] =
I.4.
cos( θ) − sin( θ)
sin ( θ)
(1.7)
cos( θ)
Équations de la machine biphasée équivalente
Pour simplifier la représentation des équations électriques de la machine asynchrone, on a utilisé la transformation de Park, dont le but est d'arriver à rendre la matrice impédance indépendante de la variable θ r . Les équations électriques et magnétiques donnent alors le système suivant : vds = R s ιds + vqs = R s ιqs +
d dt d dt
Φds – ωa Φqs Φqs + ωa Φds
vdr = Rr ιdr + vqr = Rr ιqr +
d dt d dt
Φdr – (ωa – ωr ) Φqr (1.8)
Φqr + (ωa – ωr ) Φdr
et :
Φds = L s ιds + Lm ιdr
Φdr = Lr ιdr + Lm ιds
Φqs = L s ιqs + Lm ιqr
Φqr = Lr ιqr + Lm ιqs
en posant:
ωa = d θ / dt
la vitesse de rotation du référentiel.
ωr = p ⋅ Ω = p ⋅ d θr / dt
la vitesse électrique de rotation du rotor.
L s, Lr inductances propres cycliques du stator et du rotor respectivement ; L s = Las – M as et Lr = Lar – M ar Lm : inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor ; Lm = 3/2 M sr
(1.9)
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Équation du couple : J
d dt
Ω = C em – C r – f r Ω
(1.10)
où : C em =
I.5.
p L m L r
(Φ dr ⋅ ι qs − Φ qr ⋅ ι ds )
(1.11)
Définition des différents référentiels
Le référentiel est le système (d , q) associé de rotation. Dans notre cas, nous adoptons un seul référentiel pour le rotor et le stator. Il existe trois possibilités de référentiels dans la pratique. Le choix se fait en fonction du problème étudié. Parmi les relations que nous venons de présenter, les seules qui soient affectées par le choix du référentiel sont les équations (1.8).
Référentiel fixe par rapport au stator Il se traduit par la condition :
ωa = 0.
Les équations électriques prennent ainsi la forme suivante : vds = R s ιds +
d dt
Φds
vdr = Rr ιdr +
d dt
Φdr + ωr Φqr (1.12)
vqs = R s ιqs +
d dt
Φqs
vqr = Rr ιqr +
d dt
Φqr – ωr Φdr
Le référentiel fixe est intéressant lorsqu’on veut étudier la variation de la fréquence d’alimentation, associée ou non à la variation de la vitesse de rotation.
Référentiel fixe par rapport au rotor Il correspond aux transformations des grandeurs de la machine dans un référentiel tournant à la vitesse synchrone, c.-à-d. : ωa = ωr . Les équations électriques sont données par : vds = R s ιds +
d dt
Φds – ωr Φqs
vdr = Rr ιdr +
d dt
Φdr (1.13)
vqs = R s ιqs +
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d dt
Φqs + ωr Φds
vqr = Rr ιqr +
d dt
Φqr
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Ce référentiel est particulièrement avantageux dans l’étude des régimes transitoires où la vitesse de rotation du rotor est considérée comme constante, par exemple pour l’étude des contraintes résultant d’un court-circuit.
Référentiel fixe par rapport au champ tournant
ωa = ω s .
La condition qui régit ce cas est:
Les équations électriques du moteur sont données par : vds = R s ιds +
d dt
Φds – ω s Φqs
vdr = Rr ιdr +
d dt
Φdr – (ω s – ωr ) Φqr (1.14)
vqs = R s ιqs +
d dt
Φqs + ω s Φds
vqr = Rr ιqr +
d dt
Φqr + (ω s – ωr ) Φdr
C'est le seul référentiel qui n'introduit pas de simplification dans les équations de la machine. Il est utilisé dans les problèmes d'alimentation des machines asynchrones par convertisseur statique de fréquence, et lorsqu'on veut étudier la fonction de transfert du moteur par rapport à de petites variations de la vitesse autour d'un régime donné [Bar82].
I.6.
Modélisation de l’association convertisseur - moteur asynchrone
Le moteur asynchrone est alimenté par un onduleur de tension commandé par la stratégie “delta” qui permet une commande en courant et l’utilisation du modèle réduit du moteur (Figure 1.2).
Réseau
Redresseur
Filtre PB
vd Onduleur MLI
MAS
commande des interrupteurs F c F b F a
ι b
*
ιc*
ιa*
ιa
ι b
ιc
Figure 1.2 : Association convertisseur - moteur asynchrone Les interrupteurs de l’onduleur à deux niveaux sont commandés de telle sorte que le courant de chaque phase évolue dans une bande d’hystérésis encadrant le courant de
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référence correspondant. Le contrôle des courants se fait par une comparaison à hystérésis entre les courants réels et ceux de référence. Les tensions composées aux bornes de l’onduleur sont exprimées en fonction des variables logiques F a , F b , F c telle que :
va 2 − 1 − 1 F a v d = − − v 1 2 1 b ⋅ F b ⋅ 3 v − 1 − 1 2 F c c
(1.15)
avec : vd la tension continue fournie par redressement et filtrage de la tension triphasée du secteur. F i ( i = a,b,c ) représentent l’état logique des interrupteurs dont la commutation est supposée instantanée. F i =
0
si
Ti conduit et Ti’ bloqué
1
si
Ti’ conduit et Ti bloqué
Ti , Ti’ ( i = a,b,c ) représentent les états des transistors de l’onduleur (Figure 1.3)
vd
Ta
T b
Ta’
Tc
T b’
Tc’
va vb vc
Génération des signaux de commande
Figure 1.3 : Onduleur de tension Le modèle du comparateur à hystérésis pour une phase est donné par :
1 F (k + 1) = 0 F (k ) i
i
si si si
∆ι > h ∆ι < − h ∆ι ≤ h i
i
(1.16)
i
avec : ∆ιi = ιi – ιi∗ ( i = a,b,c ) h : la bande d’hystérésis
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La figure 1.4 donne l’allure du courant statorique d’une phase et de la fonction logique F i .
5
0
-5 0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.01
Figure 1.4 : Forme d’un courant de phase statorique et de la fonction logique F i I.7.
Représentation d’état du système
Pour une commande en tension de la machine asynchrone à cage, le modèle correspondant dans le repère lié au champ tournant est obtenu en considérant les composantes de tension ( vds , v qs ) comme grandeurs de commande, et les variables ( ιds ,ιqs ,
Φdr , Φqr , Ω
) comme variables d’état. Ce modèle est régi par [Fu91] : x = f ( x) + g ( x) ⋅ u
où : x = ( x1, x2, x3, x4, x5 ) t = ( ιds , ιqs , Φdr , Φqr , Ω ) t ; u = ( u1, u2 ) t = ( vds, vqs ) t
(1.17)
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− γ x + ω x + k x + p k x x 1 s 2 3 4 5 T r k f 1 − γ x 2 − ω s x1 + x 4 − p k x3 x5 T r f 2 L 1 m x1 − x3 + (ω s − p x5 ) ⋅ x 4 f ( x) = f 3 = T r T r f 4 Lm 1 f x 2 − x 4 − (ω s − p x5 ) ⋅ x3 5 T r T r pLm C r − − ( x x x x ) 3 2 1 4 JLr J
1 σ L 0 g 2 ( x) ) = 0 0 0
1 σ L 0 0 0 0
s
g ( x) = ( g 1 ( x)
s
avec : T r =
Lr Rr
;
σ = 1 –
ω gl = ω s – p x5
Lm2
Lr L s
; k=
Lm Lr L s − Lm2
;
γ =
1
σ L s
Rr Lm2 ⋅ R s − 2 Lr
: la vitesse du glissement.
En prenant les courants statoriques comme variables de commande, on obtient le modèle réduit de la machine comme suit : x = f ( x) + g ( x) ⋅u
(1.18)
avec : x = ( x3 , x4 , x5 ) t = ( Φdr , Φqr , Ω ) t u = ( u1 , u2 ) t = ( ιds , ιqs ) t
− x3 + ω − ⋅ ⋅ T ( s p x5 ) x 4 f 1( x) r − x 4 − (ω − p ⋅ x ) ⋅ x f ( x) = f 2 ( x ) = s 5 3 T r f 3 ( x) C r − J
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g ( x) = [ g 1( x)
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Lm T r 0 g 2( x)] = − pL m x JLr 4
0 Lm T r pLm x3 JLr
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