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SUPERFICIEY VOtUMEN. ¿algomásqueel trabajo con fórmulas? M,qnÍe ANc¡l-ps onl- Oluo RourRo MnnÍn FnaNclscn MonrNo CIRRET¡Ro FneNclsco Gn Culone
14. Proporcionalidadgeómetricay semejanza Grupo Beta
MATEMATICAS:CULTURA Y APRENDIZATE
15. El mundo de los poliedros Gregoria Guillén Soler
l. Area de conocimiento:didácticade las matemáticas Angcl (iutiérrez, Bemardo Gómez Alfonso. Juan Diaz Gódino y Luis Rico Romero
2. Númerosy operaciones l,uis Rico Romero, Encamación Castro Martínez, Enrique Castro Martínez
3. Numer¡ción y cálculo Bernardo Gómez Alfonso
4. Fracciones.La relaciónparte-todo Salvador Llinares Ciscar,M." Victoria SánchezGarcía
5. Númerosdecimales Julia Centeno Pérez
'ló. Metodologíaactivay lúdica de la geometría Angel Martínez Recio. Francisco Juan Rivaya
17. El problemade la medida CarmerrChamorro Plaza.Juan M. Belmonte Gómez
18. Circulandopor el círculo FranciscoPadilla Diaz, Amulfo SantosHernández,Fidela Velázquez, Manuel Femández Reyes
19. Superficie.Volumen M." Angelesdel Olmo Romero. FranciscaMoreno Carretero,Francico Gil Cuadra
20. Proporcionalidaddirecta.I¡ forma y el número M." Luisa Fiol Mora. JoséM.' Fortuny Aymemi
ó. Númerosenteros JoseL. González Maú M." Dolores lriarte Bustos.Alfonso Ortiz Comas,Inmaculada VargasMachuca, Manuela Jimeno Pérez,Antonio Ortiz Villarejo, EstebanSanz Jiménez
7. Divisibilidad Modesto Sierra Vázquez,Andrés Garcia, M." T. González Astudillo. Mario González Acosta
E. Problemasarifinéticos Luis Puig Espinosa,Femando Cerdán Pérez
9. Estimaciónen cálculoy medida Isidoro SegoviaAle¡L Encamación CastroMartinez, Enrique Castro Martínez, Luis Rico Romero
10.Aritmética y calculadora Frederic Udina i Abelló
11. Materiales para construir la geometria Carme BurguésFlamerich, Claudi Alsina Catalá,JosepM.' Fortuny Aymemi
t2. Inütación a la didácticade la geometría Claudi Alsina Catalá,JosepM." Fortuny Aymemi, Carme BurguésFlamerich
13. Simetríá dinámica Rafael PérezGómez, Claudí Alsina Catalá, Ceferino Ruiz Garrido
21. Nudosy nexos:grafosen la escuela Moisés Coriat Benarroch.Juana SanchoGil. Antonio Marín del Moral. Pilar Gonzalo Martín
22. Por los caminosde la lógica Inés Sanz Lerma. Modesto A¡rieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz
23. Iniciación al álgebra Manuel Martín socasRobayna,MatíasCamachoMachin. M.'Mercedes palareaMedina. JosefaHemándezDominguez
24. Enseñanzade la sumay la resta Carlos Maza Gómez
25. Enseñanzadel productoy de la división CarlosMaza Gómez
2ó. Funcionesy gráficas Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateGiménez
27. llzsr y probabilidad Juan Díaz Godino, Carmen BataneroBernabéu,M." JesúsCañizaresCastellano
28. Encuestasy precios Andrés Nortes Checa
29. Prensay matemáticas Antonio FernándezCano. Luis Rico Romero
30. Ordenadory educaciónmatemática:algunasmodalidadesde uso JoséA. Cajaraville Pegito
31. Ordenary clasificar Carlos Maza Gómez. Carlos A¡ce Jiménez
32. Juegosy pasatiemposen la enseñ¡nzade la matemáticaelemental
SUPERFICIE Y VOLUMEN. ¿algomás que el trabajo con fórmulas?
JosefaFernándezSucasas,M., Inés RodriguezVela
33. Ideas y actividadespara enseñarálgebra Grupo Azarquiel
'34. Recursosen el aula de matemáticas FranciscoHernán Siguero,Elisa Carrillo euintela
I+irni"ono-.ro,¡oreu."porrorryRy-.-il-uirCJffJifrilllorl
Menh ANcer,nspsr, OrMo Rounno M.lnÍ¡, Fn¡.Ncrsc¡,MonnNo CeRnnrnno Fn¡,NcrscoG¡r, Cu¡,pna Profesores Titularesde E. U. del Departamento de Didácticade la Matemática de la Universidad de Granada
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EDITORIAL
SINTESIS
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Primera reimpresión:junio 193 Diseño de cubierta:Juan JoséYázquez Reservadostodos los derechos.Está prohibido bajo las sancionespenalesy el resarcimientociül preüstosen las leyes.reproducir,registraro transmitir estapublicación, íntegrao parcialmentepor cualquiersistemade recuperación y por cualquier medio. sea mecánico.electrónico. magnético electroóptico por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorizaciónprevia por escritode Editorial Sintesis.S.A O MARIA ANGELES DEL OLMO ROMERO MARIA FRANCISCA MORENO CARRETERO FRANCISCO GIL CUADRA O EDITORIAL SINTESIS.S.A Vallehermoso.32.28015Madrid Teléfono(91) 5932098 DepósitoLegal: M-17.748-193 ISBN: 8&7738{65-l Fotocompuestoen MonoComp, S. A Impresoen Lavel, S.A Impresoen España- Printed in Spain . llt¡itr
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Nuestro agradecimiento a Luis Rico Romero v a Luis Rico Castro.
Índice .. ......
In tr oduc c ión
15 15 15 17 19 2l 22
1. Aportacionessobrel¡ adquisicióndel conceptode área 1.1. Aproximación fenomenológica 1.1.1. Vocabulario 1.1.2. Contextosy modelosmatemáticos 1.1.3. Diferentesaproximacionesal área 1.2. Estudiosde tipo psicológicoy cognitivo 1.2.1. Piagety otros . Tareasde conservación. Tareasde medición. 1.2.2. Wagman 1.2.3. Rogalski 1.2.4. Algunas dificultadesy errores 1.3. Conclusionespara la enseñanzadel área 2. Indic¡cionespara le enseñ¡nza del áre¡ 2. 1. P er c epc i ó n 2.2. Comparacrón... 2.3. Medida 2.3.L. Necesidadde la medida 2.3.2. Elecciónde la unidad de medida 2.3.3. Sistema¡de medida actuales 2. 3. 4. I ns tru me n to s d e m e d i d a 2.4. Aritmetización del área 2.4.1. Areas de superficiesplanas . 2.4.2. Areas de superficiesno planas 2.4.3. Resoluciónde problemasde áreas 2.5. Estimación... 2.5.1. Utilidad práctica de la estimación . . . 2.5.2. Estrategiasde estimación 2.5.3. La enseñanzade la estimación . . . 3. Aportacionessobre l¡ edquisicióndel volumen 3. i. A pr ox im a c i ó n fe n o me n o l ó g i c a .... 3.1.1. Vocabulario
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29 37 43 45 ........, ........
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4il 47 58 63 63 66 7l 75 76 76 85 85 88 88 89 92
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3.1.2. Contextosy modelosde la capacidady del volumen 3.1.3. Diferentesaproximacionesal volumen 3.2. Estudiosde tipo psicológicoy cognitivo 3.2.1. Piagety otros . 3.2.2. Vergnaud 3.2.3. Comentarios de Freudenthal ..... 3.2.4. Algunasdificultadesy errores 3.3. Implicacionespara laenseñanza 4. Indicacionespara la enseñ¡nzadel volumen 4.1. Percepción 4.2' Comparación 4.3. Medida 4.3.1. Necesidadde la medida 4.3.2. Elecciónde la unidad de medida 4.3.3. Sistemas de medidaactuales . i..... 4.3.4. Instrumentosde medida 4.4. Aritmetización.... 4,4.1. Cálculode volúmenesde cuerpos 4.4.2. Resoluciónde problemasde volúmenes Estimación -!1 5. Form¡liz¡ción mafemática del área y del volumen 5.1. Noción de magnitud y medida 5.1.1. Estructuraalgebraicade la magnitud . . . . 5. 1. 2 . N o c i ó nd e m e d i d a ..... .. 5.2. Formalizacióndel área 5. 2. 1 . Eq u i v a l e n c i a d e p o l íg o n o s 5.2.2. Medida del área 5.2.3. Limitacionesdel modelo matemático 5.3. Formalizacióndel volumen 5.3.1. Poliedrosequivalentes 5.3.2. Medida del volumen
99 l 0l 103 103 108 109 111 113 l 15 115 122 t24 124 126 131 133 133 133 136 138
...:.,...
r4l t4l l4l t42 142 142 t45 146 t4al 147 150
6. Aspectoshistóricos 6.1. Cómentario general 6.2. Aspectosde la mediciónrelacionadoscon el área y el volumen . . . . 6.2.1. Comienzosde los recipientes. . . 6.2.2. Antiguas civilizaciones:Babilonia, Egipto, China, India, Grecia, Roma 6.2.3. Evoluciónhastanuestrosdías.
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Apéndice:Problemascuriosos
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Bibliografla
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Introducción La utilidad de la medida está hoy social y suficientementereconocida, existiendoademásnumerosostextos escritosque reflexionansobreella. Así, el National council of Teachersof Mathematics(N.G.M.T.)en una de sus publicacionesanuales,concretamenteen el Yearbookde 1976,dedica un capítulo a resaltar los avancestecnológicosconseguidosgraciasa la precisión en las mediciones. También el Informe Cockcroft (1982)justifica su importanciatanto desde de la vida adulta, debido a la cantidad de medicionesque las necesidades del mundo del trabarealizamoscotidianamente,como desdelas necesidades jo; las tareasde estimación,mediciones,uso correcto de las unidadesmétriias, así como desdelas necesidadesmatemáticasde cafa a la enseñanza superior. Desdehaceaños,la medida ha sido objeto de instrucción obligatoria en los paísesmás desarrolladosy también en el nuestro. Los Cuestionarios Nacionalesde 1955,1965y 1970,asícomo los ProgramasRenovados(1982) y los ObjetivosTerminalespara la SegundaEtapa(1980),la incluyenen sus orientacionesy programas,con bastanteamplitud y extensión. con motivo del vI I.C.M.E. (Budapest,1988)se han celebradovarios debatessobrelos problemasde la EducaciónMatemáticaen la décadade los noventa;en los documentospublicadosdespuésdel Simposiode Valenciaen !987, aparececomo conocimiento necesarb
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I
Es más,desearíamos que en los programasa desarrollarpara profesores de EnseñanzaMedia, en la formación inicial de maestrosy de cara a la formación permanentede enseñantes, estuvieraincluida. Al revisarla bibliogralia existenterelativa a magnitudesy medida hemos encontradovariadasposiciones, desdela ya más obsoletay tradicionalque secentraen un aspectoconcretode la medida,el SistemaMétrico Decimal, hastalas más recientes que aboganpor un métodode trabajomáscompleto, tendentea construir la magnitud, posteriormentemedirla (resaltandosu utilidad real) y poder realizar estimaciones. Aunque en el momento de llevar a cabo en Españalas últimas reformas en la E.G.B.,ya se disponíade estudios,realizadosen su mayoría en el extranjero,que proponíancambiosmetodológicos en la líneaanteriormente comentada,creemosque estasnuevastendenciasno han tenido demasiada repercusiónen la enseñanza. Los ProgramasRenovadosparecenhaceruna declaraciónde intencionesen susprólogosque luego no se ve correspondida con la convenientepropuestade actividades.De ahí que la mayoría de los textos,y por consiguienteel trabajo en el aula, sesigacentrandoen aspectos relacionadoscon el uso teórico del S.M.D. y dedicandopoco tiempo a resaltarla utilidad práctica,la captaciónde la cualidad que se va a medir, y la estimación. Y de entre todas las magnitudes,concretamentede las que nos ocuparemos, el áreay el volumen,nos parecenlas menoscuidadasen cuanto a las actividadesque se realizan,ya que se cercenansistemáticamente muchosde sus ricos y variados maticesy no se sueleponer de manifrestosu conexión con otras partes de la matemáticaescolar.Aunque el írea y el volumen presentancaracterísticasque podían habersetratado conjuntamente,hemos optado por realizar tratamientosindependientesde ambas magnitudes.De este modo creemosfacilitar la lectura a la personaque únicamentese encuentreinteresadaen una de ellas.De esteplanteamientoinicial, sesigueque el libro constede tres bloques:los dos primerosdedicados, respectivamente, al áreay al volumen,que conllevanplanteamientosparalelosy otro tercero dondesetratan fundamentosmatemáticos y aspectos históricosrelacionados con estasmagnitudes.Añadimos también un apéndicedonde se incluyen problemascuriososque podrían utilizarse dentro de un método de trabajo donde se contemplela resoluciónde problemas. Los capítulos I y 3 tienen por objeto ofreceral lector una síntesisde los diferentesestudiosque clarificanla adquisiciónde los conceptosde área y volumen por los escolares.Se comienzarealizandouna aproximaciónfenomenológicaa dichos conceptos,.esto es, su descripciónen relación a los fenómenosde la vida real de los cuales es el sustento. Se detallan qué fenómenosreales pueden organizar el área y el volumen y a cuáles se extiende.Ademásdel vocabularioutilizado y las diferentessituacionesreales donde se mide el áneay el volumen, se citan las posiblesaproximacionesa
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dichosconceptosquedan una ideaclarade las diversasposibilidades concretas de las que disponemospara acercarnosa ellos. En 1.2 y 3.2 se compilan investigacionesde tipo psicológicoy cognitivo que constituirán, en parte, un apoyo y una orientación para el desarrollo práctico de actividades.También se comentan algunos errores y dificultades que pueden surgir en la adquisición de estos conceptos.Parte de estasinvestigacionespueden resultar duras y excesivamenteteóricas para el lector poco habituadoa la terminologíausada.De ahí que en 1.3 y 3.3 aparezcanunas conclusionesde tipo práctico de todo lo contenido en los capítulos I y 3. Existen distintos modelospara el tratamientode las magnitudesy la medida.Nuestrapropuestametodológica(capítulos2 y 4), aplicadaen este casoal írea y al volumen,pero válida para otras magnitudes,es un intento de síntesisde esasvariadaspropuestasy de las aportaciones extraídasde los capítulosI y 3. Entendemosla medidade una magnitudcomo un procesoque se inicia con la constituciónde la magnitud y se completa con la medida y la estimaciónde la misma.El procesocomienzacon la percepciónde la cualidad que se va a medir (2.1y 4.1).Posteriormente, se comparanobjetosque comparteneste atributo común medible (2.2 y a.\. De entre todas las cualidadesde los objetos,el niño se centra en una y realizacomparaciones con los términos relacionales
,(menos que>,(tanto como>;precisamentede este término comparativosurge la idea de considerarcomo todos los objetosque han quedadoagrupadosal utilizarlo, obteniéndoseasí la noción de cantidad.Si sedesearealizarun planteamiento coherentedesdeel punto de vista matemático,se puedeordenarlos objetos atendiendoa la cualidad escogiday trabajar con la operaciónde composición (la suma). El paso siguientees, quizás, el que más importancia de tipo práctico conlleva.A una cantidadde maenitudsele asienaun númeroatendiendoa distintasetapas: . . . .
se escogeuna cantidad fija que llamaremosunidad de medida; se reitera, tantas vecescomo se¿Fpreciso, sobre el objeto a medir; se cuenta el número de vecesque se ha iterado; se le asigna al objeto ese número. Dicho número será su medida respectode la unidadelegida.Todoslos demásobjetosque sonequivalentesal dado, esto es, que tenganla misma cantidadde magnitud, mediaránlo mismo (n y a$.
Con todo este procesose debe lograr clarificar qué es < (necesidadde la percepcióny comparación),y la importancia de la eleccióny fijación de la unidad de medida. Se destacala importancia de la realizaciín de medicionesefectivasv el uso de diferentesinstrumentosde
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medida. En 2.4 y 4.4 recogemosla aritmetización,esto es, el modo de calcular áreasy volúmenesde forma práctica medianteel uso de fórmulas. Completamosel procesocon la estimación(2.5y 4.5),esdecir,la posibilidad de apreciara ojo, sin la ayudade instrumentos,la medidade una cantidad de magnitud. Es esta una habilidad que se debefomentar por su indudable valor práctico y que no está suficientementeatendidaen la actualidad. Este acercamientoal área y al volumen nos parece más rico que el tradicional.Por otra parte,ofrece,como se podrá ir comprobandoal avanzar en las páginasde estelibro, múltiplesconexionescon otras partesde la matemáticay del currículum escolar.Extendernospor cada una de ellas hubieseconstituidouna labor interminable;se han esbozadolas líneasa seguir para mostrar que este tema no está aislado,sino que su trabajo implicaa otros conceptosconexoscomo polígonos,cuerpos,poliedros,integral, etc., que han sido tratados en otros libros de la serie. Convieneadvertirque todo el proceso,descritoen los capítulos2 y 4, no resulta tan simple y ordenadocomo en un principio podría parecer;es complejoy a menudo se producenavancesen distintoscampos,distando mucho de progresoslineales. El tercerbloquecomienzafacilitandounasnocionesmatemáticas sobreel conceptode magnitudy medida,y la construcciónmatemáticade las magnitudes área y volumen. Pretendemosdar una visión, con un cierto nivel de rigor, que permita un tratamiento matemáticoy proporcioneuna sintesisde la construcciónmental que subyacea los conceptosde área,volumeny su medida.Finaliza la terceraparte aportando algunosdatos históricos,sin ánimo de ser exhaustivos,sobre el tema que nos ocupa. Considerar la historia de un conceptoes algo bastanterecomendadoen todas las orientacionesde EducaciónMatemática;ademásde su carácteranecdóticoy cultural, aporta una valiosainformaciónsobresu evolucióna lo largo del tiempo que puedeser aprovechada,en ocasiones,para prever un desarrollosimilar en su adquisiciónpor los niños, e incluso para estar prevenidossobre posibles erroresy dificultades. En el apéndiceproponemosalgunosproblemascuriosossobre área y volumen, que permitirán poner en práctica la forma de trabajo conocida como Resoluciónde Problemas.Las cuestionesalli planteadasy algunasde las actividadesy juegos descritosen el libro, no usualesen el ámbito académico, ofrecen,al que se enfrentea ellos, la posibilidad de poner en marcha mecanismosy estrategiaspropias para encontrar su solución desarrollando la creatividad,la habilidad de <>, y evitando la rutina. En dehnitiva,con el contenidode estelibro nos proponemosofreceruna recopilaciónde las investigaciones sobreáreay volumenque permita áctualizarsea.toda personainteresadaen el tema,ademásde abrir nuevoshorizontes a los docentesy a los futuros docentesen el trabajo con estostópicos, proporcionándolesun estímulo para el cambio en las aulas. t4
1. Aportacionessobrela adquisición del conceptode área
1.1. APROXIMACIÓN FENOMENOLÓGICA 1.1.1. Vocabulario Se cuentaque un tomó unos pedruscosy con ellos acotó un terreno,comunicó a todos sus vecinosque eseterreno era suyo y los demásle creyeron. Esta anécdota es una idealización,de un filósofo francés,a cerca del origen de la propiedadentre los hombres.Lo que olvidó el hlósofoes que el también desarrollóel conceptode superficie.El concepto del que nos ocupamoses de reconocidautilidad entoncesy en la actualidad, estandopresenteen gran númerode nuestrasactividadescotidianas. superficieo área. Hay una cualidadde los objetosllamada,generalmente, Algunos autores establecendiferenciasentre estos términos, entendiendo para designardicha cualidad y <área>para su medida, pero r nosotrósno emplearemosesadistinción y seguiremosun tratamiento paralelo al que seaceptaparala magnitud longitud (la longitud es una cualidadde los objetos que puedemedirsea través de las medidasde longitud). En lo sucesivoconsideraremosel área eomo una cualidad que puede medirse a travésde susunidades. Estas disquisicionespueden parecer superfluaso innecesariasal lector, pero coincidirá con nosotrosen que una primera aproximacióna los conceptos son los términos con que se nombran. Se hace necesarioconocer y manejar correctamenteel vocabulario más usual que se empleaen nuestro idioma para nombrarlo, es decir, sus sinónimos,los adjetivoscon los que se establecensus comparacionesy otros vocablos con los que pueda tener relacionessemánticas. 15
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En el Diccionario de sinónimos y antónimos, de F. C. de Robles, la voz aparece como sinónima de ,y ésta, a su vez, admite los siguientestérminos como sinónimos: sobrefaz sobrehaz plana plano cara faceta página lado pared
suelo exterior exterioridad superfrcialidad terreno anterioridad posterioridad lisura llanura
aspereza escabrosidad redondez esfera forma medida área cabida parcela
algunosde estostérminos no son adecuadosporque no se refierena ningún aspectocuantitativode la cualidad<área>o <. A modo de ejerciciose puedenclasilicarlos sustantivosde la lista anterior segúnseconsiderenapropiadoso no para designar,en algunasituación, la cualidadque estamosestudiando. También al trabajar con una magnitud son fundamentaleslas relaciones de comparaciónque puedenestablecerse entre los objetosrespectode esa cualidad.Dichas comparacionesse expresanmedianteadjetivos. Algunos de esosadjetivoslos po-demosemparejarpor tener un signifrcado contrapuesto(son antónimos),así tenemos anchogruesoamplio holgadoahogado-
estrecho delgado reducido ajustado desahogado
sin embargo,con otros esto no es posible o bien su pareja seríauno de los adjetivosanteriores,como apretado extenso vasto
profundo dilatado espacioso
déspejado angosto hondo
y otros muchosque el lector puedeañadir. Así se utilizan expresiones como: < <¿Estaparcelaes más extensaque aquélla?> l6
el áreapuedereducirsea Tambiény debidoa que en bastantesocasiones propias de la longitud como: variantes se utilizan lineales, dos dimensiones alto ancho
largo bajo
estrecho corto...
como: Con expresiones términoscomo grandeo pequeño,que son Igualmente,puedenemplearse y se aplicana otras cualidades.Es usualdecir: Algunosde los adjetivosanterioresdan lugar a adverbioscomo:ampliaprofundamente...;o a verboscomo: espaciar,desmente,desahogadamente, pejar...;que pierden bastantelas connotacionesdel signilicado cualitativo que teníancomo adjetivosy nos permitíanasociarlosa nuestracualidad.
1.1.2. Contextosy modelosmatemáticos o Contextos: La variedadde situacionesen las que sepresentael áteaesprácticamente más ilimitada;a continuaciónreseñamosalgunasde las que'consideramos comunes: - una lámina o rollo de papel o cartulina; - una planchade metal,corcho o chapade madera; - una pieizao corte de tela; - una piel de cabra,vaca,etc.; - un campo de fútbol o una Piscina; - un terreno de granja, ftnca o cortijo; - un local: -bl territorio de un Estado;ComunidadAutónoma;provincia;término municipal, etc.; - la superficiede un lago o un mar; -una pared o una valla para ser pintada o enlucida; - un suelo para ser cubierto de losetas,parqué o moqueta; - el suelo o la superficiede ventanalesde una oficina para limpiar; - una calle para ser asfaltadao pavimentada; - un tejado para cubrir con tejas o aislantespara la humedad,un cielo raso; : un prado que hay que segar; .--un campo que tiene que ser arado, tractorado,sembrado,chapeadoo plantado;
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- una superficiede piel paru juzgar su intercambiode calor o su transpiración; - cuerpospara vestir,mueblespara tapizar; la superficiede un bosquepara juzgarsu evaporacióne intercambio de gas;la extensiónde unas salinas; queso,fruta, etc.); una secciónde un sólido (salchichón, un póster;un tablón de anuncioso una superficiede anuncioscomerciales; una pantallade cine,televisióno mediosaudiovisuales; una superficiecomohuecoo agujeroque hay que tapar:pozo,sartén... una superficiecomo huella; una superficiecomo huecode una plantilla. También se utiliza el área en: - problemasde empaquetamiento y envoltorios,aprovechamientode láminasde metal para construirlatas con el mínimo coste; - construcciónde sombreros:hada,bruja, mexicano...; -etiquetado de botesy latas de conserva,botellas,quesosde.bola; - elaboraciónde planosy mapas. Invitamosal lector a completarestalista aportandootras situaciones en las que también se utiliza el área. Todas estassituacionespodrian sintetizarse, en una primera aproximación"en: - contextosen los que el área representala extensiónde un cuerpo; -contextos en los que el áreaexpresaun huecoo espaciovacío,algo no tangible como el vano de la puerta, y, finalmente, - contextosque tratan de la marca o huella que ha dejado cualquier (la superficiesegadapor una cosechadora móvil al desplazarse en una pasada). . Modelos Desdeel punto de vista matemático,el áreaserelierea figurasgeométricas.Para estudiarlas superficies,éstasseclasilicansegúndiferentesmodelos. Así se distingueentre superficiesplanaso no planas.Y dentro de las planas los polígonosy las de contornocurvo. Las no planas,a su vez,puedenser: desarrollablesy no desarrollables.Para trabajar con ellas, las superlicies puedenvenir expresadas, o no, mediantefórmulas,o bien con un signilicado de expresarrelacionesentre longitudes(una longitud en función de otras) como en el teoremade Pitágoras. La matemática realizauna primera aproximación al íneasobre objetos bidimensionalesen los que se puededistinguir el largo y el ancho,generali18
zándoloposteriormentea figurasbidimensionalesen las que ya no sepueden como en la superficiede una esferao en una cinta distinguirestosconceptos, de Moébius.
al área 1.1.3. Diferentesaproximaciones Ya hemoscomentadolas posiblessituacionesen las que se presentael a dicho conceptoy la gran área.Freudenthal(1983)indica aproximaciones para su formación.Las aproximacioprofundidady sohsticaciónnecesarias nesque consideramás importantesson las siguientes: en las a) Repartirequitatiuamente.En éstasseincluyenlas situaciones quedado un objetohay que repartirlo;estehechoesmuy corrienteen la vida cotidianay se resuelvemedianteuno de los tres modos siguientes: - Aprovechandoregularidades. Es el casode una tarta circularque suele partirse medianteel trazado de diámetrosimaginarios. - Por estimación.'Por ejemplo,seutilizapara partir una cuartillaen tres partesiguales,se superponenlas tres posiblespartesy se van equilibrando hastaconseguirlo. - Por medida.Es el másusualde los tresy consisteen medirla cantidad a repartir, dividir el resultadode esamedidaentre el número de partes que se desea,y medir cada una de las partes. b) Comparary reproducir. Seincluyenaquí aquellassituacionesen las que háy que comparardos superliciesy tambiénaquellasotras en las que hay que obteneruna reproducciónde una superltciecon una forma diferente a la que tiene.Por ejemplo,dibujar un cuadradoque tengala misma área puederealiy reproducciones que un triángulo dado. Estascomparaciones zarse: - Por inclusión.Si una superficieestácontenidaen otra, su comparación es inmediata;así, si el libro está sobre la mesa,la superficiede su portada es menor que la de la mesa. - Por transformaciones de romper y rehacer,que consistenen descomponer una superficieen diversas partes y reorganizarlasposteriorque tienenla mismaárea.Tal esel menteobteniendoformasdiferentes caso de las diferentesfiguras que pueden realizarsecon el tangram, como veremosmás adelante. Esta técnica permite también conseguir reproduccionesde una superhcieque puedan estar contenidasen otras. Por ejemplo,una cinta métricade modistaextendidaexcedeel tablerode una mesade camilla,pero si partimosesacintaen trozosy los colocamosuno junto a otro por su parte más ancha,la cinta puedecaber sobre la mesa. 19
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Por estimación. Se suele utilizar en muchos casos,como cuando vamos a comprar un retal para hacer una falda. Aquí hay que apreciar si el trozo de tejido nos alcanzará o no para la forma que queremos darle. - Por medida. Para comparar dos superficieslo más habitual es recurrir a medir, sobre todo cuando la diferencia entre las dos superficiesa comparar es muy pequeña; también se puede aplicar para obtener copias de otra superficie. - Por medio de funciones. En matemáticas superiores, las superficies suelen expresarsemediante fórmulas y para comparar dos de ellas u obtener una reproducción se recurre a funciones que conservan el área, como los difeomorfismos. También se pueden aplicar funciones matemáticas a situaciones reales como, por ejemplo, para comparar dos figuras dibujadas en papel sometemosuna de ellas a las traslaciones, giros y simetrías necesariashasta superponerlas,estas funciones también conservan el área. c) Midiendo. En muchas situaciones,la superñcie aparece ligada a un proceso de medida, ya sea para comparar, repartir o valorar. Este proceso de medida puede realizarsede diferentesformas: -Por exhausción con unidades. Es decir, rellenando.el interior de la superlicie a medir con unidades (de superficie)colocadas unas junto a otras y no superpuestas,y en aquellas partes de la superficiedonde no quepan se recurre a rellenar con unidades más pequeñas.Este proceso se continúa hasta que se recubra totalmente la superficie a medir o se considere que la porción no recubierta es despreciablepara la actividad que estamos realizando. Esta técnica se utiliza para medir cualquier superlicie irregular. No es práctica, sobre todo porque para medir superlicies se suele recurrir a las unidades de longitud y mediante el uso de alguna técnica se pasa a calcular la medida de la superficieen las unidades derivadas. Sin embargo, puede considerarse como método (reservaD a utilizar para el caso de una superficie ((muy) irregular, donde no se pueden aplicar procedimientos más corrientes. - Por acotación entre un valor superior e inferior podemos obtener una medida aproximada de cualquier superficie.La técnica anteriormente descrita es de este tipo, pues consisteen aproximar la superficiedesde su interior. Hay otros procedimientos que se basan en este proceso, como el de superponer una rejilla (cuadrada de 1 cm de lado, por ejemplo) a la superficiea medir y contar el número de cuadrados que son totalmente interiores a la superficie,y por otra parte, el número de cuadrados que intersecan a la superficie; tenemos así una medida aproximada por defecto(el número de cuadrados interiores) y orra por
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Si sereiterael proceexceso(el númerode cuadradosque intersecan)' de lado) so tomando una rejilla más finá $or ejemplo' de 0'5 cm. obtenemosonunu,uumedidainterioryexterior,conlaparticularidad para las de que la diferenciaentre ambases menor que la obtenida puede También-.se anterioresy, por tanto, la aproximaciónes mejor' lácilmente que sean ufro"l-urlidiante figurasinterioresy exteriores serecurre medibles,tal esel casodel círculo,en el que frecuentemente. para lados de gran número a polígonosinscritosy circunscritosde deducirsu área' de rompery rehacer.Por ejemplo,para calcular - Por transformaciones por una de el área de un triángulo equiláterose puededescomponer susalturasendostriángulosrectángulosyuniréstosporsuhipopor.el que se tenusaobteniendoun rectángulo.Este es el proceso suelendeducirlasfórmulasdelasfigurasgeométricasenlosniveles escolares. Ésteesel procedimiengenerales. geométricas - por mediode relaciones tousualparamediruna-superficie,midiendosusdimensioneslineales la de fórmulasil"gut u su medida' Así' para calcular y po, y largo su ancho su -idio de una habitaciónréctangularmedimos suierficie yaplicamoslaconocidafórmuladeláreadelrectángulo.También paraobtenerlamedidadeláreaenfuncióndelasdimensioneslineales p,r"denemplearseotrasrelacionesgeométricascomofunciones(cono principioscomo el de Cavalieri(quedetallair,rencias,áf-rnidades...) i"rno, más adelante)o teoremascomo el de Pitágoras' Freudenthalconsideratodasestasaproximacionescomodidácticamente una pero con diferentepeso'Fsta amplia gama nos puededar aceptables, idea de la complejidaddel conceptoarea' I,2. ESTUDIOS DE TIPO PSICOLÓGICO Y COGNITIVO Enesteapartadorecogemostrabajosquefacilitaninformaciónsobrela con el área. por parte de los niños,dé conceptosrelacionados adquisición, ^8, de estos desarrollo al prestada pre"isó déstacar la poca atención ello' la de consecuencia y' como en comparacióncln otros tópicos conceptos campo el En instrucción. para la útiles .r.ur"i de los resultadosque son a sobreel desarrollocognitivoefectuadas de las investigaciones considerable partirdelasconservacion-es,lasrelativasalespaciohansidopocoestudiaen los períodos ias: lo revelael hechode que de 300publicacionesrepartidas fisicas(cantidad, iges-geg y ú73-t971,dan on D pór 100sobrecantidades peso);5 por 100sóbrela longitud' y menosde un"3por 100 masa,sustancia, las para'tu superficiéy .i uólu-.n conjuntamente(éstasson esencialmente genéticapiagetianos)' irecha,de los estuáiosde epistemología 1l
El objetivoque pretendemos al ofreceren estelibro una síntesis, por otra parteno exhaustiva,de las investigaciones encontradas en torno a la adquisición del conceptopor los niños(y de volumenen su apartadocorrespondiente)esdoble:por una parteproporcionarunosresultadosque iluminenlo que estáocurriendoal pensamientodel niño y, por otra, poder disponerde las que han proporcionadoesosresultadosy que nosotrospropoexperiencias nemoscomo actividadestipo a realizarcon los alumnosen clasepara.ayudar a una completa y más amplia comprensiónde los conceptosde área y volumen,y para diagnosticarsituaciones concretasen el procesode enseñanza-aprendizaje. Los estudioslos hemosagrupadoen torno a los distintosinvestigadores que sehan destacado. Así,para el área:Piagety otros que realizanexperiencias análogasa las realizadaspor é1,Wagman y Rogalski.Fundamentalmenteestasinvestigaciones son estudiosrelacionados con la constitucióndel área o relacionadoscon la medidade ésta.
: Cy C: B entonces A: B,es B.Entérminossimbólicos,si,4 decir,la altura de la nuevatorre es igual a la de la antiguaen virtud del uso del intermediario C. En la medida, el uso de intermediarios conllevala noción de transitividad. dedicadosa relatarlas Paraayudara la lecturade los párrafossiguientes por tareasde conque agrupadas están lector al indicamos investigaciones, ,raruacióny de medición,la estructuraque llevaremosserá: objetivode la investigaciónque se describe; reláto de la actividado actividadesque Piagetproponea los niños; resultadosde Piaget; que han realizadoel actividadesy resultadosde otros investigadores mismo tipo de experiencia; - conclusiones.
-
a Tareasde conseruación: . Sustracciónde superficiescongruentesmás pequeñas,de superficies más grandes. congruentes
1.2.1. Piagety otros El trabajo que han realizado Piaget y sus colaboradoressignifica una importante contribución a la comprensióndel desarrolloen el niño de conceptosrelacionadoscon la medida,ala vezque han proporcionadouna basepara el debatey necesidadde posterioresinvestigaciones. Piagetidentilica dos operacionesfundamentales de las que dependeel procedode la medida:conseruación y transitiuidad. - La conservación tieneque ver con la invarianzade ciertascualidades de los objetos cuando se ejercen transformacionessobre ellos. Por ejemplo,disponemosde la mismacantidadde tela cuandola tenemos toda en un corte que cuandosehan cortadolos patrones;el rectángulo R de la figura tienela misma áreaque el trapecioisósceles Z.
RT Figura 1.1
La noción de transitividadquedamejor ilustradacon un ejemplo: que se tieneuna torre A construidacon tacosde una Supongamos arquitecturay que sedeseaconstruir otra torre B, con la misma altura dela A, en un lugar distante.Recurrimosala ayudade un palo donde marcamosla altura de la torre A, y lo trasladamospara hacerla torre
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Acrvlnnn: Se les da a los niños dos hojas de cartón verdesidénticasque deben como praderascon pasto para que coman las vacas.PosteriorCOnsiderar mentese les da un granjeroy una vaca y se les preguntasi disponendel mismopasto.Una vez que lo aceptanse van introduciendocasassobrelás igualespara ambospradosy en igual númeroy seles dospraderas(cartones) preguntasi las dos vacasdisponendel mismo pasto. R¡isurrloos: hastalos cinco años,no son capaces En el estadig1, aproximadamente dificil. resulta les la actividad, realizar de En el estadio2, se presentauna subdivisión: - subestadio2a, hastalos seisaños,en el que nieganla equivalenciade las superficiesresultantes; - subestadio2b, hastalos seiso sieteaños,se presentauna gran varieintermedias. dad de respuestas En el estadio3. de sieteaños en adelante,adviertenque las superficies son iguales. resultantes concluye Piaget que existeun paralelismocon el patrón que él y sus describenpara el desarrollode la longitud. colaboradores 23
_-\
T Lovell repiteestaexperienciay encuentraque muy pocosniños admiten la conservaciónhastalos 4, 5 o 6 paresde casas,negándolapara cantidades mayores,lo cual está en desacuerdocon los resultadosde Piaget.Lovell atribuye esta discrepanciaa que la edad cronológica no parece estar en relacióncon la capacidadde resolverestastareas,si bien dicha capacidadva desarrollándosecon la edad. . Conservaciónde las superficiesfrente a reestructuraciones. Piagettrabaja con dos modalidades: a) con superficiesde perímetro cerrado (para las que propone dos actividades),y b) con superficiesfuera de un perímetro cerrado. a) Para las superliciesde perímetro cerrado: Pnlunnn ACTTvTDAD:
Se le proporcionaal niño dos rectángulosformadospor seiscuadrados cada uno; uno se deja intacto y se altera la organizaciónal otro. Se le preguntasi cabenlas mismascasas(losniñospuedenrecubrirambosrectángulos con cubos-casasen el lenguajeinfantil). SncuNnn
ACTIVIDAD:
Entregadosdos rectángulosigualesde una sola pieza cada uno. Uno permanece intacto y al otro sele recortanvariostrozosque se añadena los otros lados.Sepreguntaal niño si ha variado la superficieo siguenteniendo la misma.
pruebaestaparcelasereorganiza,y seinterrogaa los niñossobresi quedala mismaporción de prado sin cultivar. Rnsur,r¡,oosi En los estadiosI y 2 no hay conservación. En el subestadio3a conservanla superficie,puesreconocenque hay la misma superficiede patatas. En el subestadio3b conservanla superficieexterior. Piagety el grupo de Ginebrapusieronmuchoénfasisen la conservación para el desarrollode las nocionesde magnitudy medidaen los niños.Pero como indica Freudenthal, hablar en términos generalesde conservación resultaambiguo;es precisoindicar la transformaciónrespectode la cual se Aún más,tambiénes ambiguodecir que un niño o postulala conservación. por ejemplo, la cantidad de área;esto dependede la adulto conserva, un tarea asignada.K. Hart (1984)se cuestionala secuencia,prácticamente aceptada,de la conservaciónde la longitud, áreay volumen.Propone experienciasparecidasa las clásicasa niños,y eq susresultadosdestacaque el 70 por 100de los niñosque no conservanla longitud,puedenconservarel área y el 70 por 100de los que no puedenconservarel área,puedenconservarla ' longitud. De esta forma, pareceque una capacidadno es requisito para la otra. También esta autora, dentro de un trabajo más amplio [véaseHart y otros (1981)linvestigala conservacióndel área.Proponea niños de doce, trece y catorce años las siguientestareas: dibujo muestracuadradosde estañoque tienen itemT del C.S.M.S.:Este el mismo tamaño:
REsurr¡,oos: En el estadio 1 y el subestadio 2a,losniños creenque la superficiecambia con la forma. En el subestadio2b, efectúanjuicios verdaderospero son incapacesde generalizar. A partir del estadio3 comprendenla conservaciónde la superficiecuando se redistribuyenlas partes o se altera la forma (notemosque son superficiesbordeadaspor un perímetro,sin emb4rgo,no secomprendeel concepto de unidad de medida).
Figura 1.2
Una máquina hace ocho agujerosen cada uno
b) Para las superficiesfuera de un perímetro cerrado: Acrrvro¡.n: Dados dos prados (rectángulos)congruentesy dos parcelasde patatas(cuadrados)congruentes,una de ellascortada en trozos móviles.A lo largo de lp 24
Figura 1.3
25
r Indica la respuestaque te parececorrecta:
I Tareasde medición:
l. 2. 3. 4.
Respectoa la mediciónde superltciesPiagety suscolaboradoresrealizan dos tipos de exPeriencias:
A tiene más estaño. ,Btienemás estaño. A y B tienenla mismacantidadde estaño. Tú no puedesdecir ahora si una tienemás estañdo no.
. De medición: a) por superposición; b) por iteración. . De aritmetizacion.
Da una raz6n para tu respuesta Las contestaciones a 3 son: -Doce años:80 por 100. -Trece años:80 por 100. -Catorce años:82 por 100. Ítem 8 de C.S.M.S.:Corto un cuadradoI en trespiezasy las recompongo sin superponeren una nuevaforma .8.
Medición: a) Superposición: ACTIVIDAD:
Los niños comparanel tamaño de un triángulo rectánguloY una ligura irregular distinta medianteel uso de cuadrados,triángulosY rectángulospara recubrirla.
Figura 1.5
----) Rnsulrnoos:
Figura 1.4
En el estadio1 y el subestadio2a,losniños no sabenqué hacer' En el subestadio2b descubrengradualmenteque el que necesitamenos tarjetaspara ser cubiertoes menor. -En el subestadio3a aún no se adviertela necesidadde que todas las unidadesseaniguales. En el subestadio3b comprendenla nociónde unidady toman en cuenta el tamañode los elementosmedidores.
Señalala respuestacorrecta: 1. 2. 3. 4.
A tieneárea mayor. ,B tieneáreamayor. A y B tienenla mismaárea. Tú no puedesdecir si un área es mayor o no.
Lasrespuestasa3son: - Doce años:80 por 100. - Treceaños:85 por 100. - Catorceaños:44,5por 100. Sobreel 72 por 100de la poblaciónsuperalas dos cuestiones. La autoraaportaun dato relevante: en la tarea8 hay sujetosque afirman la igualdadentreel perímetrode las dos figuras(seguramente por que tienen la mismaárea),concretamente el 36 por 100de doceaños,er29de trecey el 20 de catorce. Tanto la tarea7 como la 8 nos indican que,inclusoniños mayores,no han logrado la denominadaconservación del área. 26
b\ Iteración: Actlvlono: '
El segundotiPo de exPeriencias cs igual que el anterior, Pero Proporcionando una sola unidad de medición(un cuadradoY un láPiz cn un casoy en otro un cuadrado, un rectánguloformadoPor dos cuaa dradosy un triángulo-equivalente mediocuadrado).
tTl tlr T:h t-i- i-l f-1-i-i 1 r-r'i :-I t-II \NI |-l t_t_l Figura 1.6
27
\
I
Resurrlnos: Estadio 1 y subestadio2a, los niños manifrestansólo consideraciones perceptuales. Subestadio2b, en esta fase los niños realizanalgunasmediciones,pero consideranel cuadradoequivalenteal triángulo. Subestadio3a, cuentanel cuadradoigual al triángulo hasta que se les señalael error. Subestadio3b, se impone un esquemaúnico de operaciónunidad. Estadio4, pasande la longituda la superficiepor multiplicaciónaritmética. Lovell realizatambién una experienciasemejantea la anterior, obteniendo que con la edad se produce un progresoen la capacidadde medir por aplicación repetida de la unidad (seacuadrada o triangular), pero algunos superanen esta tareaa los niños de mayor edad. ¡ Aritmetización.Estudiala relaciónentrela medidade los ladosde una figura y su superlicie Acrrvto.rn: Se les pide a los niños que dibujen un cuadrado(y posteriormenteotras figuras)de doble tamaño que uno dado y comprobarlo experimentalmente. Rnsulrnoos: Estadio 1, no se consideraapropiadaestatareapor la edad. Estadio2, duplicarconsiste, para el niño, en aumentarlevemente pero de modo arbitrario. Subestadio3a,en estafase,los niñosyuxtaponendos superficies omitiendo la exigenciade la forma, o bien duplican las dimensiones. Subestadio3b, los niños reconocenque los procedimientosanterioresno son satisfactoriosy realizan intentos de relacionar longitud y superhcie, aunquesin éxito. Estadio 4, es al comienzo de este estadio cuando se comprendenlas relacionesentre las longitudesy las superhcies. Las investigacionessobre el desarrollo de nocionesde magnitud y medida en los niños parecen centrarse en el estudio de la conservación. Sin embargo, no podemos considerarésta como la única idea que intervieneen la adquisición de 28
ffiffi Figura 1.7
esosconceptos.Por ejemplo,la percepciónjuega un importante papel;queda probado en un estudio de Hirstein (1974)citado en Children's Thinking in Measurement Situation, Yearbook 76, pide a los niños que cubran un rectángulocon dos conjuntosde piezasdiferentes(véansefiguras).Hasta'los diez añosningún niño concluyeque las piezasrojas y azulestienenla misma área.
1.2.2. Wagman Wagman consideraque los estudiosrelativos al desarrollodel concepto de árearealizadospor el grupo de Ginebra omiten algunosaspectossignificativos, desde el punto de vista matemático,de dicho concepto. Intenta ampliar en este sentido los resultados,diseñandouna investigación(Wagman, 1982)que contieneal menosuna tarearelacionadacon cadauno de los axiomasde área,de aditividad, de congruenciay de unidad. Podemosformular los axiomasdel siguientemodo: - Axioma de area.Si R es una región poligonal dada,existeuna correspondenciaque asociaa cadarefión poligonal un único número positivo tal que el número asignadoa la región dada R es el uno. - Axioma de aditiuidad. Supongamosque la región poligonal R es la unión de dos regionespoligonalesS y Ttal que la intersecciónde S y T está contenida en la unión de un número finito de segmentos. Entoncesrespectode la unidad dada de área,el área de R es la suma de las áreasde S y 7- Axioma de congruencia. Si dos triángulos son congruentes,entonces las respectivasregionestriangularesconstituidaspor los triángulos y susinteriorestienenla misma árearclativaa una unidad de áreadada. - Axioma de unidad. Dadas un par de unidadespara medir distancias, esel producto el áreade un rectángulorespectoa la unidad < de las medidas(respectoal par de unidadesdadas)de alguno de los lados consecutivosdel rectángulo. Exponemosa continuaciónlas tareaspara cada uno de los axiomasy los resultadosobtenidos;para un estudiomás detalladopuedeconsultarseWag' man (1982). Al igual que lo hacíamosen el apartado anterior, para ayudar a su lectura,describimoslas tareasde cadaaxioma,los resultadosy las conclusioEl autor nes si las hubiere,así como el contrastecon otras investigaciones. realizaestasexperienciascon niños de ocho, diez y once años. 1. Tareade congruencia. Sele presentanal niño dos triángulosrectángulos congruentesy se le pregunta si tienen la misma medida y forma.
29
r Mediante pavimentado,el niño debe encontrar cuántos triángulos necesitapara cubrir el grandey después que ha encontradoeste dato, sele pide que aventurecuántostriángulos pequeñosnecesitarápara cubrir el segundotriángulo,y cómo lo ha determinado. ResuLrlnos: Las respuestasse dividen en dos categorias: -los niños que concluyenque se necesitan las mismas
-
\
N
Figura t .8
piezas para pavimentar los dos triángulos porque tienen la misma medida, o la misma medida y forma, y los niños que tienen que pavimentar el segundo triángulo o que intentan determinar el número de baldosas perceptualmente, sin realizarlo (estosfallan la tarea).
También estudia la relación entre el uso de este axioma y la conservacióndel área;los datosobtenidos le llevan a formular la hipótesis de que la comprensióndel axioma en aplicaciones concretas podría precedera la conservación. 2. Tarea de unicidad de area. Una versiónde estepostuladoestableceque (para cada regiónpoligonal unidad hay una correspondenciaque asignaun número real positivo a cad,aregión poligonal; I se le asigna a la región poligonal unidad>. Utiliza tres regionespoligonales de diferenteforma, las dos primeras tienen la misma area y la tercera diferente. El investigadorproporciona al sujetoun número suficientede unidades y le pide que mediante 30
pavimentadodeterminecuántasnecesitapara cubrir exactamentelas regiones.El niño apila cercade cada región los azulejosnecesitadosy esto le sirve de ayuda para determinarla segundaparte de la tarea.En ésta,el investigador muestragran númerode azulejostriangulares(cadauno la mitad de los cuadradosanteriores)y le pide al niño encontrarcuántosde esostriangulares precisa para cubrir cada región poligonal. Si es necesario,le permite pavimentarlade nuevo. R¡sur,rnnos: Se clasificanlas respuestasen cuatro categorias: i) Incluye las respuestasque son correctasy sebasanen una comparación de las unidadescuadradasy triangulares. correctasbasadasen una regladesarrolladadesii) Agrupa respuestas puésde repavimentarla primerao la segundaregiónpoligonal. correctaspara la primera y tercera iii) Si el sujetoobtienerespuestas correctapara y la respuesta determina por regiones repavimentación primera. En esta categoría con la porque coincide su área la segunda se incluyen las respuestasque son correctasy se basan en una de la primeraregión;para la segunda,seestablece repavimentación sin repavimentary es correcta, y para la tercera región se da la correcta la respuesta sin pavimentar,sefalla,y seestablece respuesta despuésde un pavimentadoefectivo. basadasen la pavimentaciónde las tres regionesiv) Incluyerespuestas La primera categoria de respuestaspertenecea la subetapa denominada 3b por el grupo de Ginebra, ya que exige la comprensión de la medida relativa de las unidades. Las contestacionesde este tipo indican la habilidad de aplicar el axioma de unidad de área en una situación concreta. Según los resultadosobtenidos por este autor, el 80 por 100 de los niños de ocho años están en la etapa 3b o son transicionales a ella (3a-3b); esto indica que la mayoría de los niños de esta edad están en condiciones de aplicar el axioma de unidad de área en situacionesconcretas con la ayuda perceptual. El42por 100 de los niños de once años se encuentran en la etapa 3b; este porcentaje es más bajo de lo que podría esperarsede los resultados del grupo de Piaget. 3. Tarea de aditividad. axioma:
Figura 1.9
Señala dos posibles aproximaciones a este
3.a) Se da la descomposiciónde una región en subregiones,y el sujeto debe descubrir una reordenación de los (trozos) que hagan su unión congruente a una segunda región. 3.b) El sujeto debe realizar cortes en una región para obtener subregio-
31
\
calco y una región rectangular(R); le pide que determinesi tienen o no la misma árez. Se le proporcionan tijeras y si el sujeto no reacciona,el investigadorcoloca las regionescomo en la figura' Si persiste la dilicultad, el investigador realiza la descomposicióny repite la pregunta.
nesy realizararregloscon ellas.Estasegundaaproximaciónesmás que la primera,ya que no sefija el númerode cortes, indeterminada y existenmúltiplessoluciones. (primeraaproximación). Se Tarea3.a) Aditividadcon descomposición le presentanal sujeto dos regionespoligonales(I y II) y un conjunto de de maneraque Sele preguntasi puedearreglaresassubregiones subregiones. la regiónI y despuésla regiónII; luegosele preguntasi cubranexactamente las regionestienenla misma o distinta cantidadde espacio,razonandola respuesta. La tarea se divide en dos partes:3.a1)las regionespoligonalesI y II tienenla misma área,y 3.a2)las regionespoligonalesI y II tienendistinta área. Rrsurrnoos: en dos categorías: Se clasificanlas respuestas i) Son correctasen las dos partesde la tarea.Estetipo de contestación y la transitividad,por presuponela combinaciónde la conservación lo que los sujetosdebenperteneceral nivel 3.a o más alto. incorrectasen una o dos partes.Si el sujeto se ii) Incluye respuestas correctao incorrecta,tambiénse muestraindecisoentrela respuesta incluye aquí. Los individuosde esta categoríaestánen un estadio concretas. anterior al de las operaciones Tarea 3.b) Aditividad sin descomposición (segunda aproximación). Si es posible descomponer una región poligonal arbitraria en un número finito de partesy arreglarlaspara formar una ligura cuya áreaes ya conocida,se determinael área de la región original. Por ejemplo,determinarel área del triángulo rectánguloa travésde la del rectángulo. Divide la tarea de actividades sin descomposición en tres partes: a) El investigador presenta al sujeto un paralelogramo (Pr) construidosobrepapel
Figura l.1l
b) se repite la tarea usando la misma región rectangularR y otro con R' paralélogramoPr, que no es equidescomponible R y un paraleloel rectángulo con tarea misma lá c) 3e urreluéa repetir que tiene tu 41gu pero a R, que es equidescomponible si gramo P.-Es1e (1982)], Wagman en Wertheimer según hecho, [citado óxterior. pareceincrementarla dificultad, pues niños que usabanla fórmula para encontrar el areade un paralelogramocon altura interior, no lo ^hacían en el caso de altura exterior. Tanto P, como Pt tienen la altura interior.
\\
l_\L Figura 1.12
Figura l l0
32
JJ
,/.n',
\
Apareceen estatarea una posiblefuentede error; el método de solución dependedel número de cortes,que no estáprelijado,y esdificil serexactoen los cortes,sobre todo si son muchos. RBsurrnoos: Las respuestasa esta tarea se clasificanen cuatro categorias: -Tienen las tres partesde la tareacorrectas,demostrandola habilidad de usar el axioma de aditividad en situacionesconcretas.Este tipo de respuestasesconsistentecon el nivel de realizacióncaracterísticode la subetapa3b del grupo de Ginebra (el autor lo justifica). - Incluye respuestascorrectasa las dos primeraspartes de la tarea. El individuo está más sujeto a la percepción;es transicional a la 3b. - Los sujetosllegana la solucióncorrectacuandoel investigadorrealizz la descomposición.Ellos no inician la descomposiciónen el segundo paralelogramo aun cuando el investigador lo haya realizado en el primero. Esta categoríaperteneceal nivel 3a; incluso algunosindividuos se refierenal perímetro de las regiones(característicádel nivel 3a). - Las respuestas de estacategoriason las que argumentanque diferentes formas implican diferentesáreas.Esto es contrario a la conservación del área, por lo que los individuos de esta categoríaestán en una subetapaanterior a la de las operacionesconcretas. A pesarde que las tareasse administransólo a niños conservadoreS, casi la tercera parte de los niños de ocho años conservadoresestán por debajo del nivel 3a en estatarea.La dificultad de la mismapuedeserla causade que sus solucionescontradiganla recientementeadquirida conservación. Para ningún grupo de edad,el porcentajedel más alto nivel o transicional a é1,superael 75 por 100.Esteresultadoesmás bajo que el obtenido por el grupo de Ginebra que suponeno menosdel 75 por 100 en el nivel 3b. 4. Tarea del postuladode unidad. En la primera parte el investigador proporciona al sujeto dos regionesrectangularesRr y R2, un número suficientede cuadradoscon los que las pucdecubrir totalmentey reglaspara medir los lados de los rectángulos y las unidadescuadradas.Se le pide al niño que diga cuántos cuadrados se necesitanusando sólo la regla. Los niños mayoreshan recibido información sobre esto en la escuel4 Fig. 1.13 34
pero a vecesno son capacesde explicar por qué lo hacen.Sin embargo,sí se comprendetotalmente el axioma, deberánaplicarlo y generalizarloa una situación p€rceptualmentediferente. En la última parte de la tarea se le proporciona al sujeto un paralelogramoy un número de rombos suficiente para cubrirlo. Usando sólo la regla se le pide una prediccióndel número de rombos necesariospara cubrir el paralelogramo. Las regionesrectangularesRt ! Rz de la primera parte de la tarea tienenuna diferencia:en Rl, el átea es más grande que el perímetro, y en Rr, el perímetro es mayor que el área (se escogede este modo porque algunos sujetoscalculabanel áreay el perímetroy usabanel dato más grandepara el área). Despuésde dar la respuestacorrecta para el primer rectángulo,se les permitía pavimentarlo para evitar ambigüedades. Rnsulrroos: Las etapasmarcadaspor Piaget para esta tarea se adaptan a las de este estudio.Las respuestascorrectaspara las tres figuras (dos rectángulosy un paralelogramo)basadasen medidas lineales de los lados pertenecena la etapa 4. Se considera-unmétodo correcto la adición repetida en vez de la multiplicación. Los sujetostransicionales(3b-a) no demuestrancompleta comprensión del concepto.Ellos usan algunasmedidasno lineales(usandouno o más cuadradoso rombos),en particular con respectoal paralelogramo,pero son capacesde usar esasmedidaspor ensayoy error. Al nivel 3b la coordinaciónde las tres dimensionesse demuestrapor la habilidad de trabajar con regionesrectangularesusandolos cuadradosy las reglas.Los niños transicionales3a-3bpuedenresolverel segundorectángulo despuésde haberle demostradoel primero. Muestran el comienzode una habilidad para resolvercasosperceptualmentefáciles. Las restantesrespuestasson transicionalesa 3a. En algunoscasosel sujeto mueveel cuadrado alrededordel rectángulo;en otros conjeturan. La realizaciünde esta tarea aumentacon la edad.Las respuestasde casi la mitad de los niños de ocho años se inscribenen la etapa más baja de esta tarea; esto indica su incapacidad para aplicar este axioma, aun en casos fáciles.Por el contrario, sobrela mitad de los niños de once añosestánen el más alto nivel o transicionalesa é1.Aplican el axioma a casosfáciles y dificiles con quizás algún tipo de dificultad en la medida. El autor aplica esta tarea a niños de quinto y sexto grado. Los de sexto grado han recibidoinstrucciónen la escuela,pero la semejanzade resultados obtenidos le hacen aventurar la hipótesisde que la instrucción escolarno parecetener un efectoaparenteen la rcalizaciín de esta tarea por los niños.
.^.r^!5
7 Wagman termina estableciendocuatro etapasen el desarrollode la mcdidadel área:logro de la medidade área,transicional,principioy premedicla. El nivel más alto, la etapade logro, se caracterizapor la habilidadde fácilesy aplicar el conjunto entero de axiomasen casosperceptualmente dificiles.Los niños que estánen la etapatransicionalaplicanlos axiomasen casossimples,pero necesitanayudacuandola situaciónsecomplicapercepde resolverla.En el de la emergencia tualmente,o no son capaces de la medidadel área,los sujetosaplicanalgunos,pero no todos,los axiomas.Los niñosde estaetapaconservanel área;sin embargo,los queestánen de del área,pero son incapaces han logradola conservación la de los pesar aplican alguno todo, ellos A de las situaciones. a todas aplicarla axiomasde la medidade área. Estableceen una tabla los resultados:
Edad
Total
Etapa
Premedida. Principio .. Transicional L o g ro ..... T o ta l ..
8
10
4 t4 7 0
8 15 1
I 9 l3 3
6 3l 35 4
25
25
26
76
I
Longitud
l.
Función
La longitud/áreaes una función.
2.
Aditividad
que no se solapentienen La unión de dos segmentos/regiones igual medida que la suma de las medidasde los segmentos/regiones.
Congruencia
congruentestienen igual medida. Segmentos/regiones
Comparación
Si el segmento/regiónR está contenido en el segmento/región S, med(R) < med(S).
5. Unidad
Área
Senecesitauna unidadpara asignaruna medidaa un segmento o región.
Desconocemos cómo es acogidopor los niños esta forma de introducir el área,puesno disponemos de datos.En realidadno setrata de una investigación; es más bien una propuesta.
ll
Casi la mitad de los niños de ocho años están en el principio; estos sujetos no pueden aplicar todos los axiomas en situacionessimples.Las dos terceraspartes, aproximadamente, de niños de diez y once años están en las dos últimas etapas.Sin embargo, sobre la tercera parte de los mayores tienen dilicultad para aplicar al menos uno de los axiomas. Osborne hace, como Wagman, un planteamiento de tipo matemático, considera los axiomas de la medida y propone introducir el concepto de área aprovechando la axiomática común con la magnitud longitud. Lo que se conoce con el nombre de transfer. Asi, después de analizar los sistemas de medida del área y de la longitud, subraya las cinco propiedadescomunes que pueden servir como base consistente para aplicar los seis principios de la enseñanza del transfer (Yearbook, t976).
36
Propiedades comunes
1.2.3. Rogalski Rogalskiestudiala adquisiciónde la dimensionalidad de las longitudesy por el estudiode los invariantesde ciertastransformaciones: las superficies que tratan de maneradiferenciada las tresmedidas;una semejansemejanzas za de raz6n r, para la longitud asociael invariante r, para la superficier2, para el volumen13,propiedadque equivalea la aplicaciónde las ecuaciones de dimensiones. Algunasde las cuestiones central€sque investigason: que pueden tener - ¿Cuál es la disponibilidad de las representaciones los niños de las operacionesde pavimentado?Es decir, si a un niño le presentamosdos figuras semejantes,con una razbn de semejanza sencilla, él es capaz de recubrir mentalmentey de manera inmediata la grande con la pequeña(y decir cuántas vecesla contiene). Este tipo de representaciónmental reduce el problema inicial, que era de tipo multiplicativo, a un problema de conteo y, por tanto, aditivo. - Cuandoestasrepresentaciones mentalesno estáninmediatamente disponibles,puedelograrseque lo esténdando unos ejemploso pistas, ¿enqué casos? - ¿Dequé modosoperatorioslos alumnospuedentratar las medidasde longitud y de superficie? JI
Á
--\
I)csc'ripción Las pruebasque realizapara la superlicieestánagrupadasen dos cuestionariosllamadosSA y SN; el cuestionarioSA constade cuatro fases: . Fase1,pavimentadoespontáneo. definiSetrabajacon tressegmentos dosen la fasede familiarizacióncomo corto,medioy largo.Las figuras Las razones,entre las son delinidascon relacióna estossegmentos. pareja son dos o tresy los de figuras a comparar, de cada dimensiones (véanseFigs.1.14y niñospuedenelegirentrecuatro o cincorespuestas Lls).
Cuestion¡rioSA FASE 4 La superficiedel cuadrado pequeño mide 4 cm2.¿Cuántomide la superficiedel grande?
La superñciedel círculo pequeño mide 6 cmz.¿Cuántomide la superficiedel grande?
CuestionarioSA FASE 1 La superficiedel triángulo pequeño mide 1 cm2.¿Cuántomide la superhciedel grande?
¿Cuántoscuadradospequeñoshay en el grande? 5 123
(señala conunacruz). La superficiedel triángulo pequeño mide 1,5 cm2. ¿Cuánto mide la superficiedel grande?
¿Cuántosrectángulospequeñoshay en el grande? I 234 5 (señalacon una cruz).
Figural.l4 (continuación) Cuestion¡rioSN FASE 4
¿Cuántoscuadradospequeñoshay en el grande? 46 89 (señalacon una cruz).
Medida de las superficies
La superficiede estecuadradomide I cm2. ¿Cuántostriángulos pequeñoshay en el grande? 6 234 (señalacon una cruz).
¿Cuántostriángulos pequeñoshay en el grande? 9 3678 (señalacon una cruz). Figura l.l4
38
A
A A
La superficie de este rectángulo mide 2 cm2; mide el doble de la superhcie del cuadrado.
LÉrsuperficie de este rectángulo mide...
Figura l.l5
39
7'
¡
I
. Fase2, <. Seles muestraparesde figurasanálogasa las anterioresy se pregunta:(si es necesarioun bote de pintura para pintar el cuadradopequeño,¿cuántosse necesitarán para el grande?>. Los niños han de elegir entre cinco respuestas. o Fase3, .Las figurasson las de la faseI en el mismo orden.Para la primera figura,que es un cuadrado,se le da con una línea de puntos en cruz, un modo de descomponerla.Se dan dos ejemplosde descomposición y pavimentado:el cuadradode razón 2 y el triángulo equilátero de nzon 3. Se pide el pavimentado del cuadrado de raz6n 3, del triángulo equiláterode raz6n 2 y del obstusángulode razones2 y 3. o Fase4. Al igual que en la fase2, perodando la medidaen centímetros en lugar del númerode botesde pintura.
CuestionarioSN FASE 4 La superficiede esterectángulomide 2 cm2. ¿Cuántomide la superliciedel triángulo? ¿Cuántomide la superficiedel triángulo?
La superficiede este paralelogramomide 2 cm2. ¿Cuántomide la superficiede esteparalelogramo?
Objetiuos Las fases3 y 4 tienen por fin apreciarla disponibilidadde una representación de pavimentadode una figura por otra semejantey la movilización por la dada de uno o dos modelos. Las parejasde fasesl-2 y 3-4 conciernenal estudio del paso de una que permiteconteoaditivo de
Señalauna figura de superfrciedoble. ¿Cuántoscm2 tiene?
Parapintar el cuadradopequeñoson necesarios4 botesde pintura.¿Cuántosse necesitanpara estecuadradogrande?
NT
¿Cuántosbotespara estecuadradogrande?
NT
Para pintar el paralelogramopequeñose necesitan5 botes.¿Cuántosbotesse necesitan para el grande?
NN
NN
Para pintar el círculo pequeñose necesitan 6 botes de pintura roja. ¿Cuántosbotes se necesitanpara el grande? Para pintar el triángulo pequeñose necesita I bote de pintura amarilla.¿Cuántos botesse necesitanpara el grande? Para pintar el triángulo pequeñose necesitan 2 botes de pintura marrón. ¿Cuántos botes se necesitanpara el grande?
AA 7- -\
Figura l.l5 (continuación)
40
Conclusiones
, --
El modelo lineal funciona de manera relativamente precoz, pero los alumnosencuentrangrandesdificultadespara superarestemodeloe ir hacia un tratamientomultidimensionalapropiadoa las medidasde la superficiey del volumen,inclusocuandoel caráctermultiplicativo sederiva directamente de la descomposiciónaditiva. La apropiaciónde los conceptosdimensionales relativosa la superficiese efectúalentamente,y de maneraincompletapara muchossujetos.Incluso que los cuandola enseñanza de estasnocionesha terminadolas operaciones alumnospuedenrealizarestánlimitadas y muy ligadasa los contenidos. El recursoal método lineal tienelugar cuandoel pavimentadoescomplejo (comoen el casodel triángulo)o imposible(comoen el casodel círculo). Además,una unidadde medidacomo el centímetrocuadradoaparececomo *ingularmentepoco operativa,muy mal enlazadacon la bidimensionalidad 4l
de la superficie,y transportandopropiedadesde la unidad de medida lineal de la cual estácompuesta. El rectánguloy los paralelogramgr.rgl tales que las operacionesque conducenal pavimentadoy a la medida de la superficie transformadaest[ ligadasar productológicoy a ra multiplicación lnumárica¡.L" evoluciónobservadaa propósitode eitas figurassugiereque -rtf"*;;L; las sltuaciones propuestasa los alumnos en er curso de la enseñanza se apoyan sobre adquisiciones cognitivas,pero utilizanpoco estos(puntosd" ;;;j", ü;i; construcciónde un conocimientomái elaborado,ni para la extensióndel dominio de validezoperatoriade los adquiridos. Globalmente es necesariotener una bu"nu representación del carácter unidimensional.de la_longitudpara obtenerun éxiio medio lu rup"rñ"¡", pero estámuy lejos de ser suficiente. "n La adquisiciónde la noción de bidimensionalidad de la superficiese confirma como un proceso largo y comprejo. Las interacciones entre las operacionesmentalesde los niños y adolesóentes y las propied"d", ¿; i;; figuraso de las transformaciones son muy fuertes.ias operaciones mentales figurales que permiten las operacionesdel pavimentado y la enumeración evolucionanen interaccióncon las propiedad^es de las figurásy los de la tarea. jóvenes,como para figurasmuy complejas, ""ru","ro .paraniñosmuy estas representaciones debenser movilizadas.El dar ui ejemploc" paui-entaáo es un modo posible de movilización,la estructuracidn interna á" U tur"u L, otro. La disponibilidadespontánea.del pavimentadopareceun factor impor_ tante en el-éxito de estepaso del pavimentadoal óálculo de la medida.A finales de la
\i---
mensionalde la superficie(cantidad de pintura), por lo generalno son en unidadesbidimensiotenidasen cuentacuandola superficieesexpresada las figuras,el desarrollo de propiedades las entre (cm2). Las relaciones nales de la tarea y el modo operatorio son fuertesy complejas' constatadasparecendebidasa la existencia Las dificultadespersistentes que serefuerzanmutuamente,de de obstáculoscognitivosy epistemológicos los cualeslos principalesson;el pasode las estructurasaditivasa las multiplicativas,y la construcciónde ellascomodominiopropio,el reconocimiento (líneas,superficies relativade los objetosgeométricos áe la dimensionalidad la medida de que fundamenta y volúmenes)y la noción de equivalencia complecontinuidad, propiedades de y subentiende ior-ur no pavimentables jas, pero ciertas. 1,2.4. Algunasdificultadesy errores
El conocimientode las dificultadesy erroresmás frecuentesconstituye una facetapreventivade gran ayuda en la enseñanza;deantemanose puede estar preparado para intentar evitar o algunos escollosque, el niño encontrará.No hemostenidonoticiade estudiosque probablemente, estetema para el área.En diferentesinvestigaciones iraten sistemáticamente aparecencomentarios,de modo aislado,sobreaspectosconcretos:la confual medir. y los erroresmás frecuentes sión área-perímetro Confusión per ímetro-área
Es esteun error bastantefrecuente.En algunoscasos,los niños calculan el áreay el perímetrode una figura y le asignanel dato mayor al área y el menor al perimetro.Incluso puedenllegar a calcular el áreade un rectángulo, pero al cambiar de figura, por ejemplo, un paralelogramo,calculan el perímetro y facilitan esedato como su área. Wagman señalaen el estudio ánteriormentecitado, que, aproximadamente,un tercio de los sujetos que intervinieron en é1,confundíanel área con el perímetro. Una brevereflexiónsobrela metodologíageneralmenteutilizadaen nuestro país nos conducea la conclusiónde que esteerror no es algo descabella do. A los niños seles presentanlas mismasactividades,basadaScasi siempre en dibujos realizadosen la pizarra, para determinar el áreay el perímetro. Podríamosconsiderardos situacionestipo: Sobre la base de un dibujo en la pizarra, por ejemplo, el de la página siguiente. ¿Cuántomide su área? ¿Cuántomide su perímetro? Lo generales que no se hayan tealizadoactividadesde recorte,pegado'
43
coloreado, hilos, lanas, etc., que hayan puestode manifiesto claramente las diferencias entre los dos conceptos. El hecho de que dos figuras tengan la misma área induce a algunos niños a creer que tienen el mismo perímetro. En concreto, con la tarea del item 8 del
. La proporcionalidadinversaentreel tamañode la unidadde mediday la medida. Si la unidadde medidapasade serel centímetrocuadradoa una pequeña baldosade 0,5cm x 0,5cm, a pesarde ver las dos,el 60 por 100de los niños de cada edad doblan la respuestaque obtuvieron al usar el centimetro cuadrado. . El contar unidadesno enteras. Contar cuadradosenterosy mitadesresultafácil (80 por 100 de éxito); la tarease complicasi aparecencuartosde cuadrados,ya que el porcentaje de éxito baja al 57 por 100. Mucho más dilicil resultamedir la figura 1'18,ya que hay que contar partesde cuadradoque no son mitadeso restardos mediosrectángulosal rectángulo3 x 4 y esto suponeque el sujeto esté familiarizadocon la relación entre triángulo-rectánguloy el uso de fórmulas. Seproponela siguientetarea:Dado un rectángulodibujadosobrepapel, se facilita una nueva línea basey se pide dibujar otro rectángulocon un área igual al anterior. Si la nueva línea es entera,lo realizanun 60 por 100 y sólo un 20 por 100 si la nuevaaltura es fraccionaria.Es de destacarque el rectángulooriginal estabadibujadosobreuna rejilla de maneraque no se restringíaa cuadradosenteros.
7 Figura l.16
c.s.M.s. (indicadaanteriormente), así lo creíanel 36 por 100 de los niños de doce años,el 29 de los de trece y el 20 de los de catorce.Esta misma confusiónse daba en niños a los que se les pedíaque dibujasenun nuevo rectángulo,sobreuna basedada,tal que su perimetrofueseál mismo que el original.Aproximadamente, el 36 por 100de cadaedaddibujó un rectángulo que teníala misma área que el original. vinh-Bang y Lunzer estudiantambiénlas reaccionesde los niños ante una seriede rectángulosque tienenel mismo perimetroy aparienciasmuy diferentes.Los niños pequeñosse dejan llevar por ru p.r..piión y estiman que los perímetroshan de ser diferentes;carecende un < de compensación que no se presentahastalos ocho o diez años. Medida En el estudiode Hart se citan tambiénlas siguientesdificultades: . Que las figurasseanmás complicadasque el rectángulo. Pareceque la figura más fácil de medir es el rectángulo.u g7 por r00 de la poblaciónlo realizamidiendocon centímetroscuadrados,embaldosando, o con la fórmula.si la figura no es un rectángulo,los resultadosbaianun 15 por 100. o Que las figuras no aparezcan pavimentadas. Si la figura está pavimentada (con lo que se consigueuna idea más lograda del área como espacio ocupado)seobtienenmejoresresultados que si no lo está,aunquese indiquen las unidadesde medida. En el caso de tener la ligura
Figura 1.19 Figura l.l8
para la enseñanza 1.3. Conclusiones Puede resultarle útil al lector, si es profesor, conocer las experiencias relatadasen los apartadosanteriores;a nivel teóricole facilita una prientavan a seguirsus alumnosy a nivel ción del camino que, presumiblemente, práctico,al realizarlasen el aula, podrá obteneruna interesanteinformación sobreel estadoreal del desarrollode los niños. Pero debeentenderlos resultadosofrecidosde las investigacionesa nivel orientativo.Las edadesy la evoluciónque sedescribeno tienenpor qué ser eshaceren clase igualesen todoslos niños.Lo que sí nos pareceaconsejable en el provocar pues pueden una aceleración experienciascomo las descritas, aprendizajede un determinadoconcepto.
44
fl
Resultaimposibledar normasgenerares o determinarun caminolineal por el que avanzaráel niño; ra reaüzación de ras tareasJependeráde múltiples circunstanciasy er niño progresará simultáneamente en varios caminos.sin embargo,s_ile u"onr"jur-o, que realice actividadescon ros alumnoscomo las relatadasen el aparta¿oi.t oe renomenotolia. Sin alejarlas actividadesde la t."lidud próxima p"¿?*os ofrecer la oportunidadde captarlas caracteristicas "rder ","r, y matices áreacomo cuaridad de los objetos,destacandosu carácterbidimensional.y no limitándonosal caso-de los polígonos,sino trabajandoer áreaen los diferentescontextos dondeaparece. Normalmenteen los textosal uso, se sobreentiende, que el alumno ha descubiertopor sí mismoel conceptoie áreay se suerepasara la medida.o bien,sesaledel pasodando una deiiniciónmáso menos ulrt.u.tu á. superficie, pero sin realizaractividadesorientadasa que distinga estacualiJuád, lu. ,"r_ tanteso compareobjetosrespectode la misma siinnecesidad Je medirlos. El procesode medida.escomplejoy hay que distinguir:primero, que una regiónse componede subregionóry qur iueden realizarsediferenteso un último puro, un n.u,nino "o,no más corto>.para lograr resultado que se ha obieniio"o'no;;;r ;;. medios .un másespontáneos o laboriosos.Las tareasde pavimentadode ng*á, con otras semejantesa ellasayudan en la comprensióndel significado ¿? i", ror-utur. El logro de la bidimensionaridad del área se corrfi.macomo un proceso largo y complejo.La manipulación,la transformación de nguru, ; las tareas de pavimentadopodíancitarsecomo mediospara ir ponieido de manifiesto los variadosmatices.concretamente,el pavimentadop*iuiliá paso de estructurasaditivasa estructurasmultiplicativas.Todo "i no poJrá guirsesi recurrimosexclusivamente "onr"_ a giáficos,dibujoso"llo al uso inmediato de fórmulas.Hay que manipular.Adem-ás,las actividades deben ser ricas y escalonadas.
2. Indicacionespara la ensefianzadel área
En estecapítulo vamos a desarrollara grandesrasgosun tratamiento didácticode la enseñanzadel área.El procesode medidade una magnitud comienzacon la percepciónde la cualidadque se va a medir. Despuésse comparanlos objetosrespectode esacualidadmediantelos términosrelacionales
2.I. PERCEPCIÓN Percibiruna cualidades aislarla,es distinguirlade las restantescualidades de los objetos.Para un adulto, la percepcióndel niño pareceobvia y quizásincluso no esencial.Sin embargo,una de las tareasdel profesores ayudara los niños a percibir atributosmedibles. Actiuidadescon maferialesno estructurqdos actividadesque permiA modo de indicación,proponemoslas siguientes de la cualidadárea.Recomendamos ten iniciar al niño en el descubrimiento al lector que haga y reflexionecada actividad.
46
47
.t
T . Dibujar huellas corporales (mano, pie). colorearlas y recortarlas. o Pintar con el dedo objetos como un camión de juguete, una caja de zapatos abierta, etc. ¡ cortar una patata por la mitad, echarle tinta e intentar cubrir una forma dada. Discutir si es posible o no, dar razones para ello. . Cubrir con cuartillas el tablón de anuncios de clase. . Observar las peladuras de varias frutas, por ejemplo, manzanas, pláta_ nos, naranjas, etc. También se puede deshacer bl rollo interior de cartón del papel higiénico y observar cómo queda. otra posibilidad es observar la envoltura de los helados tipo . o Construir sombreros: de hada, mexicano, etc. . Proporcionar cajas cilíndricas o latas para cubrirlas de papel. . Intentar cubrir con figuras planas una naranja, un balón dé rugby, un balón de fútbol, un flotador de la playa. Se puede hacer con pegarinas de distintas formas. ¿Por qué se forman pliegues?
De los diferentes tiPos de tangram que hay vamos a describir uno, daremos un Procedimiento Para construirlo mediante el plegado y propondremos diferentes actividades con é1. El modelo de tangram que vamos a utilizar está formado Por un cuadrado grande (C), un cuadrado pequeño (c), dos triángulos grandes (fl, dos triángulos Pequeños(t) Y un
Figura 2.1
paralelogramo(p). Su construcciónmedianteel plegadoes sencilla.Tómeseun cuadradode papel,dóblesepor la mitad en una direccióny en su perpendicular
La percepción del área puede desarrollarse a partir de la idea de cubrir objetos; actividad que también debe realizarse para el caso de recintos no planos. . Facilitar diferentesformas planas y conjuntos de cuadrados, círculos y piezas rectangulares.observar y discutir las piezas que mejor cubren las figuras, así como las regiones o figuras que son más fáciles de cubrir. Para desarrollarlo a otro nivel, podemos proponer:
desdóblese,y ya puede recortarse el cuadrado grande
. ¿Qué figuras permiten recubrir el plano? (todas iguales o de distinto tipo).
Actiuidades con materiales estructurados Algunos materiales estructurados que permiten desarrollar esta noción de recubrimientos son: el tangram, los poliminós, los polihexes,los polidiamantes y los poliábolos. Pasamos a describirlos someramente y proponer algunas actividades con cada uno de ellos. Para lograr una buena comprensión de la parte que sigue,el lector debe construirse (en cartulina, por ejemplo) cada uno de los materiales que detallamos y realizar las actividades que se proponen y otras semejantésque él enuncie. El tangram es un rompecabezasconstituido por varias piezasgeométricas quejuntas forman un cuadrado (un triángulo, un rectángulo, un pentágono) u otras muchas figuras. Así, hay diferentestipos de tangram; los más usuales son: el cuadrado, el triangular, el rectangular y el pentagonal. 48
Figura 2.3
doblamosla frgura resultantepor doblez
su eje de simetría Y recortamos
Figura 2.4
obteniendo
-
con todas las piezas formar
Figura 2.5
cada una de las nuevasfiguras igualesestá formada por un triángulo rectánguloadosadoa un cuadrado. En una de ellas doblamos el cuadrado por su diagonal pararera a ra hipotenusadel triánguloque tieneunido y en la otra poi tu aiágonal que es perpendiculara la hipotenusa,
\l
Figura 2.6
recortamospor los plieguesy obte_ nemosdel primer plegado un triángulo grande T y el paralelogramop, ,/rN y del segundo el otro triángulo ,/ | \ ,/ grande T y un trozo que estáforma| \ do. por dos triángulos rectángulos Figura 2.7 unidospor un cateto,doblamospor las alturas trazadassobrela hipotenusade cada uno de los dos triángurosy recortamos,por estaslíneas,obteniendoer cuadradopequeño c y los dos triángulospequeños
,,{s\ Figura 2.8
Se pueden realizar actividades:
- construyede diferentesmanera estetriángulo usandocuatro piezas
i
. Transformaciónde figuras en otraspor movimientode alguna pieza,como formar un trapecio isóscelescon un cuadraFigura 2.ll do y dos triángulos;transformovienmarlo en un trapecio do sólo una pieza,vuélvelaa su posicióninicial, transformala figura en un paralelogramomoviendo sólo una pieza; o Reflexiónsobre la equivalenciade ñguras: -¿puede sustituirse1 c por 2 t?, ¿y 1 p por I c y 2 t'! - ¿ocupanla mismasuperlicieI c y 2 d, ¿puedenconstruirsecon ellas una misma frgura? r Búsquedade relacionesentre figurasdel tangram;o . Comparaciónde áreasy perímetrosde hgurasconstruidascon el tangram. de n cuadrados.su creador Denominamospoliminósa confrguraciones fue SolomonGolomb en un artículopublicadoen AmericanMathematician, en 1953.Las actividadesque sepuedenrcalizarcon ellos abarcanuna amplia que puedenser trabajadospor gama que va desdesimplesrecubrimientos, para los mayores,pasando los niños más pequeños,hasta investigaciones por construcciónde figuras equivalenteso búsquedade relacignesentre figuras o comparaciónde áreasy perímetros. A un solo cuadradole llamamos monominó.Si unimos dos cuadrados por un lado obtenemosun dominó. A un dominó existendos formas de unirle un nuevo cuadrado, bienformandouna 1o bien formanFigura 2.12 do una Z.
r
il
ün
o Construcción de figuras, como -con I T, I p y lc formar la figura
l
tr rrn fn
Figura 2.9
50
Figura2.10
I
ii
rii I
51
J
tfl
\
5
Existen cinco tetraminós diferentesl uno de ellos es: Figura 2.13
dibújalos (no se admiten configuraciones del tipo siguiente) . Con los cinco tetraminós no es posible construir un cuadrado, pues 20 cuadraditos no se pueden disponer en forma de cuadrado. Pero añadiendo un pentominó esto sí es posible, damos a continuación una solución. Encontrar otras soluciones para otros pentominós.
Figtra 2.14
ffi
.m
Fffiffi'FM
Figura2.15
Con pentominós se puede: ¡ Encontrar los posibles modelos distintos de pentominós (hay 12). . Cubrir el plano con pentominós de un solo tipo Fig. 2.1ó
. Construircuadradoso rectángulosde diferentesdimensiones con penpiezas piezas con las o sólo algunas,como tominósutilizandotodaslas que se indicanformar rectángulosde las dimensiones dadas Figura2.17 Número de piezas J
4 6 9 t2 l2 t2 l2 t2
52
Dimensiones del rectángulo 5 f
3x 10 9x 5 2 rectángulosde 5 x 6 10 x 6 (éstaes la forma en que habitualmentese presentael juego) 12 x 5 (l.0l0soluciones) 15 x 4 (3 6 8 s o l u c i o n e s ) 20 x 3 (sólodos soluciones)
O bien combinándolos con alguna otra figura, como con un cuadrado 2 x 2Y los doce Pentominós construir un cuadrado 8x8. o Conectando con las rotaciones, giros Y simetrias, se Pueden realizar mosaicos con los 12 pentominós diferentes'
Figura 2.18
53
. Dado un pentominó,utilizar varios de ellos para obtener una reproducciónmayor del original, utilizando la propia piezao sin utilizarla.
r Con todos los tetrahexesformar las sisuientesfisuras
Figura2.19
. Con varias piezasformar reproduccionesde otra el doble o el triple mayor.
ffiEffi
El Lffi Figura2.20
. Combinar todos los, pentominós para obtener el mayor número de agujeros (se permite la unión simpiemente por vértices o por aristas). o Con cuatro pentominós formar dós figuras congruentes,como
i r,/J L fllt:
Figura2.23 Los polidiamantes, qve son triángulos equiláteros conectados por un lado, permiten rcalizar actividades semejantes,aunque con algunas peculiaridades.
lt
ittt
'j
l-i-]H-
Figura2.21 en cada caso,con las restantes ocho piezasformar una figura semejante Figura 2.24
Figura2,22 '
I-os distintos pentominós formados por cuadrados del tamaño de los de un tablero de ajedrez,se distribuyén entre dos alumnos que tendrán que colocarlos alternativamente (uno cada uno) sobre dicho tablero, perderá el primero que no pueda seguir colocando piezas.
un trabajo semejanteal descrito para los poliminós puede realizarsecon . los polihexes, que son. hexágonos regulares conectados por un lado. Así, pueden proponerse actividades como: ' Dibujar, en papel isométrico, los siete tetrahexesdistintos que existen. 54
. Estosson los 12 hexadiamantes que existen. Dibuja los triángulosalternadosde coloresdistintos,¿tienenla misma razón entre colores?,¿puede el cubrirsecon hexadiamantes siguientetriánguloequilátero? . Usando los hexadiamantes, formar paralelogramosde 3 x 4,3 x 5,3 x 6...,3 x 10.
Figwa 2.25
55
. Con los hexadiamantesformar un hexágonode lado 3
Al igual que para trabajar con los poliminósy los poliábolospodemos usar papel cuadriculado,para los polihexesy los polidiamantespodemos emplearpapel isométrico. Puedenencontrarsemás ideasy sugerenciaspara trabajo con poliminós en Mottershead(1985),A. Parent (1935)y Engel (1971).También en las con irolicubosque se veránen el volumen(apartado4.1). adaptaciones Actiuidadesde subdiuisión Figura 2.26
' Formar una figura usando dos piezasy hacer otra figura congruente con la anterior con otras dos, por ejemplo
(b(b
6,D Ftswa2.27
\'}-
\/*
. Con cuatro hexadiamantes realizar una figura semejante a la dada.
de una región en partes, Para ir introduciendo la idea de subdiuisió¡n caráen la idea de unidad de medidae iteraciónde la procesoque desembo misma,podemos:
. Colorearftguras,algunasde ellassobrepapelmarcado,aprovechando de las mismas(mitades,tercios,etc.). regularidades ¡ Construirformassobrecuadriculao mallastriangulares. o Elaborar puzzlesde formas triangulares. Para la constituciónde una magnitudes precisoque se confrontecon otras.En el caso del área,laposibilidadde confusióncon el perímetrode las figuras es un hecho amPliamente constatadoporque el niño Puede, erróneamente,juzgarel área de una figura por sus dimensioneslineales. Figura 2.30 Ante las figuras puede que le asigne más área a la de la derechaPor tenermayor perímetro. Actiuidadespara distinguirel órea del perímetro
Los poliábolos son triángulos rectángurosisóscelesconectadospor un lado. Permitenuna mayor riquezade actividadesal poder establecerdiferenciasentre los lados (catetoso hipotenusasde los córrespondientes triángulos), así tenemoslos rectángulosbordeadossólo por catetoso sólo for hipotenusas
Figna 2.29
56
lh-
linealesenga. Facilitarejemplosde figurasque a pesarde dimensiones con la misma paralelogramos ñosastenganla misma área (talescomo basey altura), y . Casos de figuras que a pesar de engañosascoincidenciasen sus dimensioneslineales,tengan distinta área (como el Figura 2.31 rombo obtenido por flexión del cuadrado). interesanteslos casosextremos.Por ejemplo,siguienSon especialmente do el casoanterior, al final el rombo .Puedenrealizarse estasexperienciascon materialestipo <. También se puede:
TD:
. Retintar el borde de las figuras y colorearlas. o Recortar figuras.
57
,,
. Trabajo con cuerdasy lanas. Con una cuerda de }na longitud dada (fija) construir diferentesfiguras.(Perimetro constante.) . Trabajo con cuadradosy triángulos de cartulina. Con un número fijo de cuadradoso triángulos,construirdiferentespolígonos.(Area constante.) . Clasificar los pentominós,los tetrahexes,los hexadiamantes..., por su perímetro. . Comparardiversasfigurasconstruidascon poliminós,tetrahexes, etc., respectode su área y su perímetro. En todas estasactividadesse puedenutilizar geoplanos,papel marcado, mallas, etc. También se les puede dar un carácter más real, por ejemplo, considerando la construccióndejardinesde distintaforma,pero rodeadosde la mismacantidadde valla.
Una vez aclaradala terminologia,y a modo de orientación,proponemos al lector las siguientesactividades: Comparacióndefiguras Planas o Comparar las huellasde las manos y los pies de los niños mediante superPosición. . Ordenar distintos círculos, recortados en cartulinas, por superposiclon. . Igualmenterealizarlo con triángulos equiláteros,con cuadradosy con rectánguloscuyasdimensioneslo permitan'
2.2. COMPARACIÓN Al hablar de comparar áreastenemosque mencionarras posiblestransformacionesque, ejercidassobre un objeto, dejan su área invariante. Freudenthal, aparte de las congruenciasde todo el plano, aplicacionesafinesde determinante1 y de las transformacionesde romper y rehacer,cita la de o ((cortaren rebanadas>r, basadaen el principio de cavalieri, y concluye que las hguras planas pueden compararserespectoa sus áreas: - directamente,si una es parte de la otra; - indirectamente,despuésde: r transformacionesde romper y rehacer; . congruenciasy otras transformacionesque conservanel área; . medir. Transformacionesde romper y rehacerson,por ejemplo,todas las transformacionesque ejercemoscuando reorganizamoslas piezasdel tangram para, a partir de una determinadafigura, formar otra. un ejemplo de transformaciónbasadaen el principio de cavalieri es la siguiente:tenemosun mazo de naipesy observamosel área de una de las caras lateralesdel mazo; le empujamos, transformándolo en un >. El área de dicha cara lateral es la misma por estar formada por el (grosor) segúnese lado de las mismas cartas. Otros ejemplosseríanuna torre de libros o una pieza de embutido. Figura 2.32
ffi.
58
Figura 233
. Recurrira rejillas,mallas,papel isométrico,etc.,para ordenarrectángulos, triángulos, cuadrados,y otras hguras irregulares no directamente comparablesmediantesuperposición. o Comparariigur"r construidaspor yuxtaposiciónde cuadrados(trián' gulos, etc.), por simple recuento del número de cuadrados que las configuran. Actividadesde estostipos puedenrealizarseespecialmentesobre el geo' plano de malla cuadrada,triangular'pentagonal"' ¡ Rodear las formas que tengan la misma área'
Figura 2.3
59
¡ Análogamente'con figurasformadaspor distintostipos de piezassiempre que entre las piezaspuedanestablecerse relaciones,"n"illu, "oo,o
I I
=3r
r = 22
I
i
Figura 2.35
l l
o Determinar la relación que existeentre el área del rectángulo y la de la zona sombrea_ da. puedenestablecerse comparaciones defiguras medianteer recor-También tado y añadido de algunaspartesde ellas,por ejemplo: . Un rectánguloy un romboide de igual basey altura
X
EX)
^g g
é€ryg &7,#? \7
Figura 2.37
o bien un rectánguloy un hexágonoregular tar que el doble de la base del rectángulo sea igual al perlmetro del hexágonoy la ufirru, l" apotema. "
Figura 239 Figura 2.38
Si sometemosuna figura que recubra el plano,.por ejemplo,un triángu_ lo, a un determinado tipo dé üansformaciones de romper y rehacer que cumplan ciertas nonnas de simetría axial o puntual, poaemosobtener una serie de figuras equivalentes siguen recubriendo el prano. El reper.gue torio.de figuras que pueden odt"n"ró por esteprocedimientoes inrrnito y se utiliza mucho en el diseño industriai de azulejos, pavimentos,estampados,etc. 60
¡¡-
_
La dilicultad aumentarácuando al realizar la comparación se tengan que contar trozos de cuadradosu ótras figuras. Éste seríael caso de: . Con acetatos,rejillas,PaPelvegetal, etc., comparar las áreas de las dos formas siguientes:
Figura 2.40
61
/
El compararfigurasconstruidas sobresuperficies no planastiene la dificultad añadida de que generalmente no son superponibles(congruentes)las diferentespartes de la superfrcie.Por ejemplo, en un neumático un trozo de su parte másexteriorno essuperponiblecon ningún otro de su parte interior,
Relacionadas con la distinciónentre áreay perímetro: . Con una cuerdao lana de longitud dada (perímetrohjo), comparar utilizandobaldosaso cuadrículas, hgurascon diferenteárea. o De la figura I se pasa medianterecorte y pegadoa la figura B
Figura 2.41
igual ocurre con un balón de rugby. Sin embargo, con figuras sencillas recortadas sobre casquetesde una misma esfera(balón) si es posible realizar actividades de los tipos anteriores y creemos interesante rcalizar alguna de estas experiencias. En los casosen que no es posible la comparación directa (toros, elipsoides), podemos recurrir a procedimientos como superposición de mallas, pavimentado con pequeñasfiguras congruentesadhesivas,etc., que nos permiten una comparación aproximada de liguras construidas sobre dichas superficies. También deben realizarseactividades de comparación de superficiescon agujeros;por ejemplo, dos hexágonoscongruentesen los que se han recortado un rectángulo y un cuadrado, respectivamente.
Figura 2.43
¿quérelaciónexisteentrelas áreasde A y B? ¿Quérelaciónexisteentre el perímetrode A y B? . Con el mismo conjuntode piezas,por ejemplo,el tangram,comparar las ligurasresultantespor su perímetro.Tambiénse puedecortar una figura y observarla variacióndel perímetro(con la mismaárea). puedeproponersecomo actiEl conocidocomo problemaisoperimétrico vidad de investigación.
r
o Encontrar dentro de una clase de figuras con un perímetro dado la que tiene mayor ínea. . Dado un polígono, encontrar otro con menor área y mayor perímetro.
Figna 2.42
En todaslas actividadesde comparaciónseutilizaránlas variantesespecíficasde comparaciónancho-estrecho, amplio-reducido, etc.,que secitan en el vocabulario(apartado1.1)y los términosde comparación.En cualquiera de ellasse puedeañadir el aspectorelacionadocon el orden Pedimosal lector que vaya realizandolas actividadesque semencionan.
El interésde estetipo de actividadesresideen que la relaciónentre las figurases la inversaa la de los agujeros. Un modo para solucionarestetipo de problemasconsisteen construir Ios trozos que faltan y compararlos,utilizandopara ello cualquierade las tócnicasanteriormentedescritas. En otro ordende actividadestambiéndebenrealizarsecomparaciones de superficies de objetosno directamentesuperponibles y en las que se tenga que recurrir a reproduciruna de ellas (sacandouna copia en papel)para procedera la comparación,o bien,recurrira algúnmétodode recuento(por pavimentado,por superposición de mallas,etc.).
2.3. MEDIDA 2.3.1. Necesidadde la medida En algunasde las actividades de comparaciónseha visto la necesidad de recurrir a un criterio adicionalpara obteneruna conclusión.Aprovechando
. Comparardos piezasde un mueblesin desmontarlo. 62
t
63
rogularidadesde las figuras, o soportes de papel marcado o trozos iguales superpuestos,ha surgido la idea de contarlos y mediante esa asociación de r¡rrnúmero alárea de cada figura, lograr resolver la comparación. En términos más generales,la comunicación entre un determinado grupo social se hace más fluida si se utilizan términos cuantitativos en lugar de cualitativos. l,a medida de cualquier magnitud, y, en concreto del área, ha sido precisa a lo largo de toda la historia. El grado de precisión en las medidas,que ha estado vinculado al desarrollo de la técnica, ha sido un factor determinante en muchas ocasiones del clesarrollode nuevas teorías científicas,y por ende, de la ciencia.También es importante para muchas actividades cotidianas y para múltiples profesiones realizar mediciones con un cierto grado de precisión, y manejar con soltura los correspondientes instrumentos de medida. Asi, en el terreno escolar podemos dar varias razones para cuidar el trabajo con medidas: aporta situacionesrealespara ejercitar el cálculo ala vez que lo conecta con la vida rcal y prepara a los individuos para enfrentarse con éxito a determinadas profesionesy a la vida cotidiana. Como paso previo a la elección de la unidad de medida vamos a plantearnos qué polígonos recubren el plano, pues de entre ellos habrá dc realizarse dicha elección, aunque sólo sea desde el punto de vista práctico. Para recubrir el plano, la suma de los ángulos que confluyen en un vértice ha de ser 360 grados. Por tanto, para poder pavimentar el.plano con t¡n solo tipo de polígonos regulares la medida de los ángulos interiores de óstos debe ser un divisor de 360. Así, los únicos polígonos regulares que rccubren el plano son: el triángulo equilátero cuyo ángulo interior mide 60 grados,el cuadrado cuyo ángulo interior mide 90 grados y el hexágono,cuyo ángulo interior mide 120 grados.
tenemos que sólo es posible combinar cinco tipos de polígonos para obtener estas teseiaciones.Estos son el triángulo, el cuadrado, el hexágono, el octógono y el dodecágono. . Con triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos todos construidos en cartulina con el mismo lado formar las ocho teselaciones semirregulares. También es posible pavimentar el plano con polígonos irregulares, en particular cualquier triángulo o cuadrilátero nos serviría para ello. Otros muchos polígonos y formas curvilíneas son teseladoras.
rl
. El modo de pavimentar con un polígono regular no es único. Dibujar distintas formas de pavimentar el plano con triángulos equiláteros. También es posible cubrir el plano combinando varias clasesde polígonos regulares;de este modo se obtienen ocho tipos de teselacionesllamadas somirregulares.Teniendo en cuenta la condición de que la suma de los irngulos en cada vértice ha de ser 360" y la medida de los ángulos interiores dc los polígonos regulares,
I
I I l-,Ll I ) ,l
Número de lados
Medida del ángulo inferior 60"
64
90'
109' 120' 128'24',14" 135" 140"
Figura 2.45
. todos los monominós, dominós, triminós, tetraminós y pentominós son teseladores.Dibujar teselacionespara cada uno de los pentominós. . Dar un heptominóque no seateselador. o ¿Sepuedenformar teselacionespara todos los tridiamantes,tetradiamantesy pentadiamantes?
2.3.2. Elecciónde la unidadde medida Un rápido vistazoa la historia nos haceconcluir: - el problema de la medida del área ha sido resueltode muy diferentes manerassegúnlas épocas; -las unidadesadoptadasdependíande la actividadque se realizase; - la adopción de unidadesestándarcomunesa un grupo amplio de personasfue muy tardia. De cara a la enseñanza,la psicologíay la historia sustentanel hecho de que esmás asequiblerealizarmedidascon unidadesno estándar;estetipo de unidadesayudan al niño a relacionarel procesode medida con el medio ambienteque le rodea. Siemprelas tiene próximas. El principalinterésesiniciarleen el acto de medir;esmostrarel proceso. Se deben plantear situacionesdonde se precise la búsquedade un intermediario para poder comparar hguras. Este intermediario será, generalmente,de tipo lineal. Actividadesmodelo puedenser: . Reflexionarsobresituaciones de acoplamientode mueblesa habitaciones.Compra de alfombraspara determinadoslugares.Instalaciónie una tienda de campaña. ¡ Facilitar al niño distintasunidadesno estándar:piezaspequeñasde papel o madera (cada una debe pertenecera un conjunto de piezas congruentes) en variasformas(triángulos,rectángulos, cuadrados,hexágonos,etc.) pequeñosbaldosinesde cerámica o madera, carpetas cuadradas,etc. Realizar con ellas medidasde figuras de la clase,por ejemplo,la mesa,la silla, la tapa del libro... ,,e P¡ope¡s¡onarobjetos que no valgan como unidades,por ejemplo,la huellade una patata,la siluetade la mano... o Utllizar el geoplanopara medir hguras construidasen é1. Las actividadesde pavimentadoson muy aconsejablesy facilitarán, posteriormente,las tareasde aritmetización.Las más simplesconsistenen recubrir con un cuadrado o rectángulo, otro proporcional, siendo la raz6n sencilla. 66
r ¿CuántoscuadradosPequeños caben en el grande? ¿Cómo los situarías? Figura 2.46
o ¿Cuántos rectángulos Pequeños cabenen el grande?Dibújalos.
\
Figva 247
. Recubre el Paralelogram" Z grande con el Pequeño. ¿Cuántosse necesitan? Figura 2.48
En los casosanteriores,la tarea de pavimentadoes sencillapues la descomposiciónserealizatrazandoparalelasa los lados que unenlas marcas del polígono respectivasde las longitudesde los lados correspondientes actividades: siguientes las con pequeño.No ocurrelo mismo r ¿Cuántostriángulos Pequeños se necesitanpara recubrir el grande?Dibújalos.
Figura 2.49
Las tareaspuedencomplicarsemás si el triángulo no es equilátero. r ¿Cuántostriángulos pequeñosse necesitanpara recubrir el grande? Dibújalos.
Figure 2.f)
Para resolver situacionescon figuras que no se recubren a si mismas (hexágonos,pentágonos...,o círculos),el estudiantedebe generalizarlos resultadosanteriores. También se deben rcalizar actividades de pavimentación en las que no siendo sencilla la solución, permiteavalar la genetalizaciónque se realiceen función de la razbn. r ¿Cuántas pequeñascaben ^en la grande?
Posteriormente,trabajandocon polígonoscon púasinteriores,sellega
s :.f+2i _2 con i : número de púas en el interior (estafórmula nos da el área tomando el triángulo como unidad de superlicie), - Malla cuadrada.Como todo cuadradoestácompuestopor dos triángulos,
n
Figura 2.51
s : ) v +2 i - 2 )
Posteriormentepodrían repetirseestasactividadescon la variante: . Dar la cantidad de pintura que se necesitapara pintar la pequeñay pedir la que se precisaríapara la grande. Como ejercicio,se puederecapacitarsobrecuál es la unidad más indicada para medir una figura dada. ¿Qué ventajas tiene el uso del cuadrado frente al triángulo u otra figura?¿Cuáles más fácil de contar? El papel isométrico y las mallas de distintos tipos son útiles en esté trabajo. Dada una figura, se puedediscutir sobrela idoneidadde una malla cuadrangular,triangular, etc.,e incluso la necesidadde recurrir a otra más fina para aproximar mejor el área de la figura dada. . De entre variasmallas,escoger la másadecuadapara medirla f,rguraF. Todas estas actividades necesitan del conteo para concluir algún resultado resp€ctoal irea, prescindiendo del uso de las fórmulas. La denominada también se basa en una estrategia de conteo. Esta fórmula permiteobtenerel área de cualquierpolígonoconstruido sobre un geoplano (o sobre una malla) en función del número de clavos (vérticesde la malla) de la frontera y del interior del polígono. - Malla triangular. Para obtener la fórmula es convenientepartir de polígonosconstruidossobreun geoplanotriangular,de modo que no tengan púas interiores.Se obtiene:
S :f_2 S : superficie, f - púasen la frontera. 68
Figura 253
- Malla pentagonal
A'
s:lr+2i-2)
| tal
t/l l/
/l
|
u__---____J Figura 2,54
- Malla hexagonal:
s:f,tf+2i-2) Figura 2.55
- Malla n-agonal I
s:_( f+2i_2) ln-¿J
Las fórmulasanterioresno son válidas para el caso de polígonos como
aaaaaa a
o
a
a
a
a
a
a
a
aaa'a
a
Figura 2.56
69
Su área es cinco, pero mediante la fórmula se obtiene | | rl s : ;(f + z ¡ - 2):i 1n : s,s 'z ' + 2.t -2) : = ¿' 2
La peculiaridadresideen el vérticeI que inclusoalgunospodríandudar si es interior o frontera. Distinguiendoen las púas frontera las normalesy las especiales puede llegarsea la siguientefórmula: 1 s:)(fn+2i-2) (esdeeir,no contaremoslas púasespeciales, ya que cualquierfigura
Figura 2,57
puede recomponersemanteniendo el área y suprimiendoese vértice especial). Dejamosal lector la adecuación de la fórmula a casos como el siguiente: y también el proponersenuevos contraejemplos y seguirla fórmula. Para mostrarla necesidadde la unilicaciónde criteriosal considerarla unidadde medidase puedenplantearactividadesdel siguientetipo: . Se divide la clase en grupos; a cada grupo se le proporcionan,dos rectángulosA y B paracompararlos(A y B no son comparables a ojo) y una unidadde medidadistintapara cadagrupo.La conclusiónfrnal obtenidadespuésde realizarcada grupo las mediciones,no les permiten deducircuál es menor o mavor. 70
2.3.3. Sistemas de medüas actuales Despuesde que'ios nlnos han adqurrido experienctacon lás unidades no estándar, es natural orientarles a actividades usando medidas legales,que tienen validez en gran parte de la civilización actual. Inskeep,en un artículo contenido enel Yearbookde 1976,facilita algunas orientaciones para la enseñanzadel S.L (Sistema Internacional): Enseñar el S.I. como un lenguaje. Desarrollar la interrelación entre las medidas básicasy las unidades derivadas (área, volumen, velocidad, aceleración...).Incluir el uso de múltiplos y submúltiplos de la unidad de medida. iii) Relacionar la enseñanzadel S.I. con otras ideas en las que se usa la base decimal. como el dinero o la numeración. iv) Usar gráficos y ayudas visuales para mostrar la relación entre diferentes unidades del S.I. i) ii)
En concreto,para el área,como para las restantesmagnitudes,existeun sistemade medidaspropio (dondesemide el áreaen funciónde una unidad de la mismamagnitud).La unidad fundamentales el área(superficiede un éstatiene cuadradode 10 m de lado o de cualquierotra figura equivalente); un submúltiplo,la centiárea(ca)y un múltiplo,la hectárea(ha).De caraala enseñanza, estesistematiene la dificultad de la materializaciónde las unidaal metro,o cómo ponerde des.¿Cómoconcretarel áreasin hacerreferencia en las que se puede plasmar el área?Po4 manifiestolas > otra parte, no es un sistemamuy utilizado,su uso está reducido,básicamente,al terreno agrícola. Tambiénpara medirestamagnitudseutiliza un sistemaderivado.El área lineales,esdecir,basamosla medidadel área semidea travésde dimensiones en la medidade la longitud. así como los Hay que recordarel sistema,su simbolizacióny relaciones, prefijosno válidos. Se puedenrealizarlas siguientesacfiuidades: r Recortaren papel I cm2,y con variosde ellos,cubrir figurasy contarlos. . Utilizar papel marcado con cm2 y geoplanospara determinarel área de figuras. o Mostrar la necesidad de una unidadmayor,el dm2 y medirlocon cm2. dm2? cm2 tiene un ¿Cuántos ¡ Construir un metro cuadradoy recubrirlocon dm2 y cm2.¿Cuántos dm2 tieneun m2?¿Cuántoscm2 tieneun m2? . Completarla presentaciónde múltiplos y submúltiplosdel m2 empleandoayudasgráficascomo la escalera. 7l
-frI
I
I
Para pasar de una unidad de orden superior a una inferior hay que:
I km2 I hm2
geege*
1 dam2 1m 2 I dm2 Para pasar de una unidad de orden inferior a una superior hay que:
QQa
1 cm2 1 mm2
Otro modo de calcular, aproximadamente, el área de una figura (regular o irregular) consiste en sacar una copia de dicha superficie en un material homogéneo (cartón, papel, lino...) de grosor constante y comparar su peso con el de la de superficie. Junto a la noción de aproximación se puede comentar el error que se comete al medir aproximadamente el área de una figura y reflexionar sobre la importancia de la relatividad del error dependiendo de la tarea que se trabaje. También debe trabajarse la equivalencia entre las unidades propias (a, ha, ca) y las derivadas (m2, cfr2, ,,,).
I j
Unidad agrarta
Equivalea
Se simboliza con
Otra equivalencia
I
Figura2.59
También con las unidades legalesse deben plantear problemas que son, en realidad, más generales,pues atañen a la medida con cualquier tipo de unidades: la elección de una unidad adecuada para medir una figura, y la aproximación de la medida. Respectode este último aspecto,hemos de señalar la importancia de que los niños comprendan y utilicen, desdeel comienzo de su trabajo con medidas, expresionescomo (esta mesa.midemás de 17 cuartillas y menos de 18>; pues esto facilita la pronta introducción de subunidadesy va habituando a los niños a la idea de que todas las medidas son inexactas,determinando su grado de precisión el instrumento de medida que usemos y la actividad que estemosrealizando. La aproximación de medidas de formas irregulares se puede plantear usando, por ejemplo, papel cuadriculado transparente y realizando sucesivas aproximaciones interiores y exteriores (idea de la integral).
l
l m2
1 centiárea
)
. Realizar medidas efectivas de figuras, primero con un solo tipo de unidades y, posteriormente, con varios. Para ello, se debe disponer en el aula de un número suficiente de unidades recortadas.
100m2
l dam2
10.000m2
t hmz
| área
il
ha
I hectárea
l i
Se debe hacer referenciaa las unidades de área propias de la región. Es bastante usual en zonas rurales hablar de las extensionesde tierra según unidades particulares. Se deben comentar y mostrar sus equivalenciasaproximadas.
i
MEDIDAS AGRARIAS
li
Fanega Aranzadas Celemines L uartlllos 1-
I l/ tI l2s-
1:
t2 : 8t/.:
48: 4:
t-
f-
Estadales Varas Pies cuacraoos cuadradas cuadrados
576: 400: 48: t 2: t_
. Medir la sisuiente ñsura:
82,944: 6.439,s't40'.75 57,600: 4.4"n,926440 6,912-* 536,631173 r34,r5'1793 t,728: t4 4 : tt,r79816 9: 0,ó98738 1: 0,077637
0,216: 6,400: 768: 192: 16: 1:
AGRARIASY SUPERFICIALES
Figura 2.60
72
Fanes.
Celem.
Centiárea o metro cuad¡ado .. . ..
0
0
Á rea...
0
0
Hectárea
I
6
Pies cuadrados
Varas cuadr.
Pies cuadr.
0
I
3,800:
8
t5
1,029:
1.288,035
30
7
3,708:
128.803,550
Estad
12,880
73
t;
I'ir li
MEDIDAS SUPERFICIALESY AGRARIAS (continuación)
M E D ID AS S U P ER F IC IA L ES Y AGR A R IA S Varas cuadradas
Orense
Alava
Su fanega:óó0 estadosde 49 pics piescuadrados...... cuadrados:32.340 Albacete Su fan ega . ... ... .. ..... Alicante Su jornal de tierra Almería Su tahulla para tierras de riego Su fanegapara tierras de secano Avila Su fanega Su fanegade puño Su aranzadade viña . Su huebra Su peonadade prado Badajoz Su fanega.superñcial Baleares(Palma) Su cuarterada El destremallorquín superficial Barcelona La mojada superficialde 2.025canas superñciales Burgos Su fanega Cáceres La fanegade 24 estadales,o sean96 varas de lado Cádiz Su fanega Canarias Su fanegadasuperñcial Castellón Su fanegadasuperficial:200 brazasreales Ciudad Real Su fanegasuperlicial Córdoba La fanegasuperficial L a a ranz ada, de . . . . . Coruña El ferradosuperficial, de ..... El ferradosuperÍicial, de .. ... Cuenca Su fa negade . . . . . Gerona La vesanade tierra:900 canascuadradas Granada Su fanega Guadalajara Su fanegasuperlicial Guipúzcoa Su fanegasuperlicial Huelva Su fanegasuperficial Huesca Su fanegasuperficial Jaén Su fanegasuperficial León La émina superficialpara las tierras de secano . fdem ídem para las tierrasde regadio ..... lérida Su jornal superlicia:1.800 canascuadradas. Logroño Su fanega superlicial Lugo Su ferrado superficial Madrid Su marco o fanegasuperficial Si las 4.900varascuadradasde que constala fanegase miden con la vara de Madrid . . . . Málaga Su fanegasuperlicial Murcia Su fanega superficial
74
Varas cuadradas
Metros cuadrados
3.572,22 2.5t0,7956 t0.000 7.005,69 5.776 4.804,1533 1.600 1.118,2336 9.216 6.439,5617 5.625 3.930,396ó 6.000 4.192,4230 ó.,100 4.4',n,9179 3.200 2.23s,9589 5.600 3.9t2,9281 9.216 6.439,5617 7.103,1 184 r7,7578 9,216
7slty2 1.189 9.216 8.76osln 5.256y4 900 625 9.216 9.216 4.M44ls 4.900 5.280 1.200 8.963
Sevilla Soria Tarragona
4.896,5006, ' 6.439,5617
Teruel Toledo
6.439,5617 6.439,56t7 5.248,2025 831,0964 6.439,5617 6.t2t,2287 3.6'.12,7372 639,5841 444,1556 6.439,s6r7 2.t87,4329 6.439,5617 3.105,4985 3.432,7881 3.689,3323 7I 5,1808 6.262,7812
Valencia
2722 625 4900
939,4t33 626,2238 4.358,0448 1.901,9626 436,7r07 3.423,8121
8ó40 9.600
3.482,1801 6.037,0891 6.707,8768
1.34441s 89621s
Oviedo Palencia Pamplona Pontevedra Salamanca Santander Segovia
Valladolid Yizraya (Bilbao) Zamora Zaragoza
El ferrado superficial La cavadura El día de bueyes. La obrada de tierra La robada superficial El ferrado de sembradura Su fanega fdem ídem La obrada de tierra de 400 estadales cuadrados La fanega superficial La aranzada Su fanega superficial Su cana de rey superficial:2.500 canas cuadradas Su fanegade tierra Su fanegade 400 estadales' '... . .... '.. Su fanegade tierrade 500estadales Su fanegasuperficial: 1'0l2tf2 varas valencianas La obrada superficialde ó00 estadales-. ... Su peonadasuPerficial Su fanegasuperficial Su cuartel superficial:40O varasaragonesas cuadradas
900 625 1.800 7.7M/6 1.458 900 9.216 9'216
Metros cuadrados 628,8635 436,7r07 1.257,7269 5.383,1876 898,4560 628,8635 6.439,5617 6.439,5617
3.930,3966 8.50?'%6 5.944,7248 4.755,7799 6.806y4 2.235,9589 3.200
1.600 537711s 6.72221s
6.0840000 1.117,9795 3;t57,6533 4.697,0665
831,0964 6.66621ot 4.658,2478 380,423ó 544nlc 3.3538384 4.800 238,3936
2.3.4. Instrumentosde medid¡ En la práctica,para medir el área,se recurre a las medidasde longitud. Es por esio que tódos los instrumentos válidos pafa fealizar mediciones lineales son utilizados para medir el área. Citamos algunos de los más importantes: regletas reglas cintas de medir metro línea numerada rueda graduada clinómetro cuerdas reloj compensador
calibrador métrico calibrador de esfera altímetro pedímetro micrómetro de metal calibrador de profundidad sombra de un Palo rula, odómetro navaja de esPesores 75
tangram polihexes poliábolos discosfraccionados
poliminós polidiamantes materialesde Ia casaTrusva geoplanométrico(con distintasmallas)
Y los especificos: rn2 (materializados) cuadrados10 cm x 10 cm
tablero (área-perímetro) parrillas transparentescm2
2.4. ARITMETIZACIÓN DEL ÁREA
. Veamos algunos ejemplos de transformacionesde romper y rehacer que nos permite calcular el áreade liguras planas.
2.4.1. Areas de superficiesplanas Hasta ahora seha visto un tratamientounidimensionalde la superficie,la hemospercibido,comparado,medido;todas estasactividadesse han podido realizar con cualquier magnitud. Vamos a ver a continuación el tratamiento bidimensionaldel área. Esta magnitud admite ser expresadacomo producto de dos longifüdes (S : Z x L),lo cual fundamentael que semida con unidadesderivadasde la longitud (comoel m2, cm2...). Esteaspectoesimportante,ya que en la vida cotidiana se suelencalcular áreas,o compararlas,recurriendoa medir longitudesy aplicando posteriormente algunas fórmulas. Para ello hay que conocer cómo pasar de las longitudesa las superficies,y fomentarel desarrollode estrategiasmultiplicativas que son las que se emplearánen estetratamiento,en detrimento de las estrategiasaditivas. Para ayudar al desarrollode las estrategiasmultiplicativases muy necesario el realizartareasde pavimentado,como las propuestaspor Rogalski,o las indicada en el apartado 2.3.2,ya que estasactividadespermiten transformar una tarea multiplicativa en otra de recuentoo aditiva. Despuésde estasactividadesde pavirnentado,se puedenir descubriendo las fórmulas. Área del rectángulo. Se puedenentregara los niños numerososrectángulos en papel cuadriculado(1 cm2),y pedirlesque elaborentablas der tipo
76
Proponiendo varios casospara que completen,sin tener la figura presente,se concluye fácilmenteuna relación entre la medida de los lados y el área. Esta actividad también puederealizarsecon diferentesrectángulosdibujados en el geoplano. Para llegar a las fórmulasde las distintas/iguras geométricasutilizaremos transformacionesde romper y rehacer que transformen la figura en un rectánguloequivalente,o bien procediendocomo en el caso anterior, realizando tablas en las que apafezcanlas dimensionesy el área de diferentes figuras construidassobreel geoplanoo recortablesen papel cuadriculado(o superponiéndolas).
Medida de los lados (en cm)
Medida del área (en cm2)
3,7
2r
4,6
24
l, l
I
Figura 2.61
Eh este caso también se puede procederpor duplicación de la figura para obtener un rectánguloy, en general,un paralelogramo.
Figura 2.62
Para el romboide, trazándoleunaaltura interior por uno de susvértices se aíslaun triángulo rectánguloque añadido por el lado opuestonos da un rectángulo.
En el caso del rombo, Puede procedersede dos formas diferentes: descomponiéndolopor una de sus diagonalesen dos triángulos que se reorganizanen un paralelogramo
AM é+L VFigura2.62(b)
o trazando sus dos diagonales se divide en cuatro triángulos rectángulos que se reagruPan formando un rectángulo.
y dibujar la paralelamedia y sendas perpendicularesa la basemayor por ios-puntos de corte con los lados, con lo que quedan dos triángulos que pueden Yuxtaponerseal resto de la figura para obtenerun rectangulo, de la manera siguiente:
r-)
su centro con los Los polígonos regulares se descomponenuniendo formando reagruparse pueden que distintos vértices,n tri*lotos isósceles un traPecio
Figura 2.62(c)
Con los trapeciospodemostealizat tres tipos de transformaciones:añadirle otro trapecio,del modo siguiente,obteniendoun paralelogramo,
Figura 2.62(9)
de los polígoInvitamos al lector a dar otras posibiesdescomposiciones "' nos más usuales. sencilloen modo un de transformarse pueden Pero no todas las frguras a utilizar otros métodos para ,..tun!.rto, ,quinutrni.i,'rá dut nos obliga it.gut á su fórmula, tal es el caso del círculo'
Figurr 2.62@l
ttazat vnalínea que una el vérticeopuestocon el punto medio de uno de los lados no paralelosy recomponerlas dos partesformando un triángulo
Figur¡ 2.62(e)
los cuadrados y . Área del círculo,sepueSesuperponeruna malla contar vacía con la no intersección tienen y ioriur contenidos,n inirlJr, de la por exceso y "r por defecto figura; así se obtien." upio"it*iones aproximacionesdel figura. Con mallas más finas obtenernósmejores itea. el círculo sobre el Un procedimientoanálogo al anterior sería dibujar por recuento' proceder y geoplanode malla cuadrada, '--'p"r" cualquier fig;;; ir;;;riar, se puede seguir este método o rcalizar triangulaciones. y posterior re¡ otro modo es la descomposiciónen pseudotriángulos comPosicióna otra figura regular 79
78
b.
El área de otro triángulo equiláterosería:S: I x l. Si el triángulo no fueseequilátero su área sería: S:
lt'lz
/r : base' l1 lz : La logitud del segmento con un extremo en el vérFigura 2.66 tice opuesto a la base y otro sobre la misma (o su prolongación)formando con ella un ángulo de 60 grados.
Figura 2.63
el círculo se transformaen un falso rectángulo cuya área aproximada es fácil de calcular. . También se puede accederal área aproximada del círculo medianteel áreade polígonos regularesde un gran número de lados
(para llegar a esta fórmula, resulta muy útil el trabajar con geoplanode malla triangular). Así, el área del rectánguloresulta ser: ,11
S :
2lt 'lz
ll
Figura 2.64 Figura 2.ó7
Número de lados 4 8 t6 32
Polígono inscrito Lado
t4,L-14,2 7,5-7,6 3,8-3,9 t,9-2,0
Apotema
Area
Polígono circunscrito Lado
7-7,1 197,4-20L,64 20 276-282,72 8,2-8,3 9,2-9,3 9,7-9,8 ¿94,88-305,76 3,9-4,0 9,9-10 100,96-320 t,9-2,O
Apotema
Area
10 10 10 t0
400 328-332 312-320 304-320
En lugar de considerarcomo unidad de área el cuadrado, veamoscómo se alteraríanlas fórmulas al usar como unidad de área un triángulo, por ejemplo,equilátero.
S : lz.P, p : perímetro Como puede observarseresulta más fácil quizáspor su familiaridad, tomar las dos direccionesbásicas perpendiculares;así podríamoselegir como unidad un triángulo rectángulo isósceles.
Figura 2.ó8
Las fórmulas en este caso coincidirían con las del cuadrado, con la particularidad de que tendrían que ser multiplicadaspor dos. Figura 2.ó5
80
y la del polígono regular:
r Una cuestiónque dejamosplanteada:si tomamos un hexágonocomo unidad, ¿cuálesson las fórmulas? 8l
Cálculo del area del rectángulo para medidas no enteras
Areas de las figuras Planas
Por ejemplo, si quieres calcular el írea de un rectángulo de 5,5 cm de largo y 4,7 cm de alto, procederíarnos así: 4,7 x 5,5: (4 +'tlr0) x (s + rl2) : (a x | + (4 x rl2) + (s x Tlto) + (7110x rl2) : : 20 + 2 + 3 + 5110+ (7110x rl2) : 2s + 5lr0 + 7l2O: 25 + 17120 5
Area del triángulo: B'h . Ar ea: 2
Area de un polígono regular: - ea: 1'P'a Ar
Area del cuadrado: Ásea : P
Area del círculo: Area : nRz
1/2
4 x 1/2
4x 5= 20
7/1O 5x 7/ 1O = 3- 5/ 10
Area del sector circular:
Area del rectángulo: Lr ea : B'h
Area :
Para efectuarTllO x ll2 observamosque
7/1 0
Area de la corona: circular
Area del romboide: lr ea : B'h
Ar ea: n( Rz- 12\ Se puedenordenar los cálculos:
| 4 | zro.l_
l2 0 l35/rol s | 4pT 7-tznl.ttz
l¿2 0 lzrol_5
|t__{____=+_ 1 35/l o | | 20/10I 35/100I 5/10
o Dlen
Area del rombo: D'd . Area : ,
,, | r
,,,\ .1 ll '(
t.----)vl l
Area del segmento: circular: Area : Area del sector circular - Area del triángulo
4
3 2
l J
0 2
5
8
5
5
Area del trapecio: ( B + á) 'h . Ar ea: z
n(Rz - rz)n . Area : -360
5
Figura 2.69
82
Area del trapecio: circular:
5
0
Figura 2.70
83
Area totales de figuras en el espacio:
Cubo A :6 a 2
2.4.2. Areas de superficiesno planas Tambiéndebentrabajarseestasactividadescon los alumnos. Cilindro A :2n' (h + r)
Tetraedro regular
¿ : a'.,fi
Octaedro regular A :2 a 2 1 6
A:
Cono nr.(g + r)
Tronco de cono
A:nlslR+r)+ +R2+r2l
Icosaedro regular
I : Sa'^,fi
Esfera A : 4nR2
Cilindro: utilizando reproduccionesen papel, calcular el área de una etiquetade una botellade vino o de la de una lata de conservas lde melocotón o piña). Basándonosen diferentesdesarrollosde la superlicie(por ejemplo,los canutosde papel higiénico)encontrarsu área. Cono: Análogo al anterior (cucurucho). Esfera, toro, balón de rugby (elipsoidede revolución) véaseque no se puedepegar bien (se arrugarán)las etiquetashechasde papel (plano). Estehechoes consecuencia de que esassuperficies no son desarrollables, de ahí que estamosacostumbradosa ver representada la esferaterrestre mediantemapasmuy diversos,ninguno de los cualeses una > representación,puesglobalmenteno conservandistancias, áreas,semejanzas, etc.; cadauna de las representaciones usualesdejaninvariantealgunapropiedad, lo que la hacemás idóneapara algunoscometidos.
rii
2.4.3. Resoluciónde problemasde áreas Dodecaedro regular
A : 3a2 lEi + roJE
Prisma recto A:P ' ( h+ a)
Pirámide recta
n :i''@ + a') Tronco de primámide recta I A : + P ' ).a + t (P + Ab + A h Figura 2.70 (continuación)
84
Huso esférico 4nR2 n: n No
Casquete esférico A : 2nR ' h
Zona esférica A : 2nR ' h
La resoluciónde'problemasha sido una de las actividadesque más avancesha producido en el desarrollo de la ciencia y la tecnologia.Un campomuy de moda actualmente en la EducaciónMatemáticaesel trabajo en resoluciónde problemas,que permitepresentara los niños los conocimientos matemáticoscomo una ayuda para la resoluciónde problemas reales. Los trabajos de Piaget han tratado del desarrollode la inteligencia infantil, centrándoseprincipalmenteen el desarrollode la Lógica, pero han prestadopoca atenciónal desarrollode otras capacidadesde la inteligencia queestánmuy presentes en la resoluciónde problemas(comoel razonamiento por analogia...). La necesidadde comprendermejor estetipo de destrezasha conducidoa Vergnaudy colaboradoresa definir la noción de campoconceptualcomo un conjunto de problemasy situacionespara cuyo tratamientoresultanecesario utilizar conceptos,procedimientos y representaciones de diferentestipos estrechamente interconectados, que podríanresultardificilesde estudiarseparadamente,lo que también permite analizarcómo se desarrollala <
rr
I
y.Landau, 1983)son: las estructurasaditivas;las multiplicativas;los desplazamientosy transformacionesespaciares;la clasificaciónde los objetos discretosy caracteristicasy operacionesbooleanas;los movimientosy relaciones entre tiempo, rapidez,distancia,aceleracióny fuerza;relacionesde parentela... Vergnaud y sus colaboradoresdentro de las estructurasmultiplicativas han identificadotres subtiposdiferentesconocidospor los nombrós: a)
b) c)
isomorfismosde medidas; producto de medidas; proporcionesmúltiples que no son producto.
El isomorfismo de medidases una estructura que consisteen una proporción simple directa entre dos espaciosde medida Mt y Mr. Incluye: los repartos iguales(personasy objetos),preciosconstantes (bienesy costos),velocidaduniforme (duracionesy distancias),densidad constanteen una línea (árbolesy distancia)en una superficieo volumen. b) El producto de medidasconsisteen la composicióncartesianadiitos espaciosde medida,Mt y Mz, en un terceroMr. Describeproblemas referentesa áreas,volúmenes,producto cartesiano,trabajo y otros muchosconceptosfisicos. d Las proporcionesmúltiplesconstituyenuna estructuramuy similar a la anterior desdela óptica aritmética: un espaciode medida M3 es proporcional a dos espaciosde medida Mt y Mz distintos e independientes.Las diferenciasestribanen que en esteciso/(l, l) : k, cón ft distinto de 1 y- ademáslas magnitudesimplicadastienen su propio significadoy ninguna puedereducirsea producto de las otras. . El estudio de vergnaud nos permite identificar la estructuraa la que se ajustan los problemasdel cálculo del área a partir de las dimensioies: el producto de medidas,en la que se interpreta el área como producto de dos longitudes.Es posible identificar dos clasesde problemas:di multiplicación y de división. a)
Multiplicación.'Dadoslos valoresde las medidaselementales(longitudes) hallar el valor de la medida producto (área).
A estegrupo de problemaspertenecenlos siguientes: . Las diagonalesde un rombo miden 8 y 4 cm, respectivamente, ¿cuáles su área? . El perímetro de un hexágonoregular mide 48 cm, ¿cuáles su área? Estosproblemaspuedencomplicarsedando una o ambasdimensionesde maneraindirecta,es decir, dando algún otro dato o datos en función'de los cualespuedacalcularse.Éste es el caso del segundode los problemasenunciados. Diuisión:Dado el valor de la medida producto (área)y el valor de una de las medidaselementales(de una dimensión),hallar la otra.
Se recomiendaa la hora de su explicaciónplantearlo como doble proporción, respectode cada una de las medidaselementales. De .estetipo es el siguienteproblema: . Un rectángulo tiene 68 cm2 y su base mide 8 cm, ¿cuántomide su altura? Tambiénestosproblemaspuedencomplicarsedando alguno de los datos de maneraindirecta. Estosdos tipos de problemasdan un tratamiento del área como magnitud bidimensional;pero para que estetratamientoseacompletodebentrabajarse otros tipos de problemas,como los de tipo proporcional y aquéllosen los que se piden cuestionesrelativas al área y al perímetro, que permiten aftanzarlas diferenciasentre ambos. Por problemasde tipo proporcionalentendemosaquellosen los que seda la raz(¡nexistenteentre susdimensionesy sepide la raz6nentre susáreas,o bien se dala razón entre una de las dimensionesy la razbnentre las áreasy se pide la razbn existenteentre las otras dos dimensiones;gran parte de las tareaspropuestaspor Rogalski puedenencuadrarseen estetipo de problemas. Algunos ejemplosdg estosproblemasson: ¡ Un triángulo equiláterotiene suslados el triple que los de otro triángulo equilátero,¿cuántostriángulos pequeñoscabenen el grande?
86
87
. El área de un círculo es el séxtuplode la de otro. ¿cuál es la relación entre sus radios? Para completar la información dada efi este apartado recomendamos la lectura del apaftado 4.4. 2.5. ESTTMACIÓN Estimar es el procesode obteneruna medida o medir sin la ayuda de . instrumentos,es decir, consisteen realizarjuicios subjetivossobrela medida de los objetos. una estimaciónes el r"suitado de estimar; es la < realizada de una determinadacualidad medible áe un objeto. se trata, por tanto, de una conjetura,pero esacapacidaddebe ser educada, las conjeturasdisparatadasno son estimacionesaceptables,tal es el caso del niño que facilita como medida del tablero de la mesauná cantidad que más bien podría correspondera la superficiede un campo de fútbol o a un sello de correos. En casi todos los programase indicacionesoficialespara la ens{anza (véase,por ejemplo,los ProgramasRenovados)seincluyenrecomendaciones sobrela necesidadde que los niños seancapa@sde realizarestimaciones; sin embargo,este tipo de actividadesno sueléndesarrollarseen las aulas por alguna de las siguientesrazones: - Los adultos, en general, y los maestrosen particular, no tenemos desarrolladaesta habilidad. - No sedisponede orientacioneslo sulicientemente piecisassobrecómo hacerlo. - No se tiene en cuentael tiempo precisopara desarrollarlas. - Es diñcil poner a prueba estashabilidadés. .. Pr d9 destacarel pequeñonúmero de estudiosrealizadossobreer aprendaaje y la enseñanzade la estimacióny la escasaexperienciaen la enseñanza de estetema,de la cual extraer conclusionesútiles.^Enlas páginassiguientes vamos a detallar algunosresultadosde investigacionesy sugérenciasextraí_ das de ellas. 2.5.1. Urilidad prácrica de la estimación Es útil poder prescindirde instrumentosde medidaen situacionescomo: . Indicar a otra persona a qué distancia se encuentra de un edificio, comercio,local... ' saber qué cantidad de tela necesitamospara hacer un vestido de gitana, unas faldas de mesacamilla... 88
r Comprar pintura (papel)para pintar una casa. . Realizarla venta de una cosechaantesde su recolección. o Pedir materialesnecesariospara hacer una reparaciónen una vivienda. o Preparar una comida para varias personas... . Hacer una fotografÍaconflash.
Todos estos ejemplosno se refieren a superficies,pero constituyen un buen recorrido de actividadesde estimaciónen diferentescampos. ¿Sabriacalcularla tela de una mesacamilla? El informe Cockcroft nos dice que la estimación. Segúnla opinión de Bright (1976)(Yearbook76),losprincipalesmotivos que hacenincluir los ejerciciosde estimaciónen el currículumde matemáti cas,son:
- ayudar a los estudiantesa desarrollarun marco mental de referencia para los tamañosde las unidadesde medida,relacionandounas con otras y con los objetos reales,y que podríanilustrarpropieactividades proporcionara los estudiantes dadesbásicasde la medida. 2.5.2. Estrategiasde estimación
Hildreth (1983)indicaque estimarla longitud y el áreacon cierto grado de exactitud,es una complejalabor que involucraconceptosy habilidade como: - una comprensiónde la cualidad (áreao longitud) que se va a medir; , - la comprensióndel conceptode unidad; - una imagen mental de la unidad que se va a usar en la tarea de estimación; - la habilidad de comparar objetossegúnel atributo que se va a medir: -la habilidad de realizarla iteración de la unidad; -la habilidad de seleccionary usar estrategiasapropiadaspara realizat estimaciones: . - la habilidad de verificar la adecuaciónde la estimación.
89
t
fácilmente. Por ejemPlo, un trapecio isóscelestransformado en un rectángulo.
En las tareasde estimaciónde áreahay que considerarlas de longitud, pues en muchasocasionesaquéllase obtendrádespuésde multiplicar las estimacionesrealizadassobre las dimensioneslineales. En el estudio anteriormentecitado, Hildreth identifica nueveestrategias apropiadaspara estimar área y longitud y cinco incorrectas.para obtener estas conclusionespropone 24 ítems de estimación de longitud y área a estudiantede 5.o,7.ogrado y de college. Las nueveestrategiascorrectqsson:
I I I
I I I
Estimandolongitud - Iteraciónde la unidad:aplicandomentaly sucesivamente la unidadde longitud y contando. - Usando indicación de subdivisiones:por ejemplo,para estimar la longitud de un pasillo en metros,se puede usar la distanciaentre puertasy las puertascomo subdivisiones. - Conocimientoprevio: usando información que el estimadorposee sobreel objeto o sobre la unidad. Por ejemplo,el conocimientod6,la longitud de una baldosapara estimar el largo de una habitacron. - Comparación:comparandoel objeto a estimarcon otro Queestáa la vista o fuera de ella y sobreel que el estimadorposeeinformación(>). - Hacer trozos:por ejemplo,para estimarla longitud de una línea,se divide mentalmenteen segmentoscongruentes(trozos)y se estima la longitud del segmento. -Acotando: realizarestimacionesde < (por exceso)que el objeto, para acercarse,lo más posible,a la medida.Por ejemplo,<r
Figura2.71
Estrategias no uálidas Estimando longitud Y área . -
-
Longitud inás anchura: por ejemplo t PLfo, encontrar el área de un rectángulo, sumar la estimación de la longitud y la anchura. Se reconoce lá necesidad de integrar las dos dimensiones, pero no se sabe cómo. Contar alrededor: usar una unidad no estándar y recorrer con ella, por ejemplo, la largura del rectángulo, luego, girarla 90 grados para medir la otra dimensión.
Estimandoárea - Adición repetida:usandola iteración de la unidad para estimarel área de un polígono. Este método parecenutilizarlo los sujetosque están adquiriendoel conceptode área,pero que no estánen el nivel de las operacionesformalespara usar la multiplicación al determinarel área. - Longitud por anchura:usandoestrategiasde longitud para estimarlas dimensionesde una región poligonal y aplicando una fórmula para obtenerel área.Esta estrategiaesdilicil si el númerpde lados esmayor que cuatro. con frecuencia,las fórmulas se olvidan o se aplican incorrectamente. - Reestructuración:efectuarun <> (transformaciónde romper y rehacer)en el objeto para obtener otro cuya área se determina más 90
Figtra 2.72
Después,se aplica la regla de longitud por anchura sobre las dos estimaciones. - centering:estimarel áreaa travesde la longitud del objeto o alguna de sus otras dimensiones.Este método no válido es usado por los niños de las primerasetapasen los estudiosde piaget. -wAG: conjeturasdisparatadas. No se utllizauna aproximaciónsistemáticapara resolverel problemade estimarel áreáo la longitud. Tambiéndestacaotras categorias: - erroresaritméticos: - erroresen el tamaño de la unidad; que conducende maneraobvia a obtenermalosresultadosen la estimación realizada.
2.5.3. La enseñanza de la estimación En esteapartadofacilitamosalgunasideaspara el desarrolloprácticode las tareasde estimación.Benton,s. E. (1996),señaladiversosesiudiosque muestranpoco avanceen Ia mejorade las habilidadesde estimaciónde los estudiantes y apuntauna posibrecausa:los profesoresno se sientencompetentespara enseñarestimación.Esto es más que probabledebidoal tipo de habilidadesy aptitudesque se han potenciadoen la enseñanza tradicional. Estamos,pues,ante un campo que permite al profesory al alumno avanzar casiparalelamente. En principio, debemosdistinguir distintos tipos de estimaciones, que puedenquedarreflejadasen el siguientecuadro [Bright (1976)].
AB
,/\ El objeto está fisicamente presenfe /\ {\
{\
Unidad Unidad Unidad Unidad presente ausente presente ausente A1 A2 A3 A4
92
Dada la medida
/\ El objeto está fisicamente ausente
Se nombra objetos a los que puede corresponder /
{
\
v
Además de,estasactividadespueden realizarseotras que impliquen en ciertamedidauna estimación,como, por ejemplo:
No se relacionan los objetos a los que puede corresponder
/
\
Unidad Unidad Unidad' Unidad presente ausente presente ausente 81 92 83 B4
I I
.¡ Delante del mapa de España,ordenar las ComunidadesAutónomas segúnsu superfrcie,o . Conocidala superficiede una ComunidadAutónoma,asignarextensionesa las restantes. . Dejar la huella de un pie sobre papel marcado con cm2 y estimar su un I por 100de área.Sabiendoqueel áreadel pie esaproximadamente la del cuerpo,estimar la medida de la superficiecorporal. De los diferentestipos de estimación,los cuatro de la clase A pueden usarsepara ilustrar y enlatizarlas propiedadesmatemáticasde la medida. Los otros cuatro. de la clase B, ilustran las relacionesreversiblesentre medidasy los objetosa los que se les podría uiignut esasmedidas. la importancia En la claseA, si el objetoestápresentedebeconsiderarse de la posición.Por lo menospara atributoscomo la longitud o el área,debe tenerseen cuentaque puedevariar segúnla posicióndesdeque se mire.
SITUACIONES DE ESTIMACIÓN
Se nombranel atributo y el objeto a medir
A modo de ejemplo,proponemosal lector las siguientesactividadesde acuerdocon el esquemade Bright: . (A1) Estimar la superficiedel suelode la claseen m2, estandoel m2 presentey nosotrosen clase. . iAZ¡ estimar la superficiedel pasillo del colegioen m2, estandoel m2 ausentey nosotrosen el Pasillo. . (A3) Estimar la superficiedet jardín del colegioen m2, estandoel m2 presentey nosotrosen clase. . (A+¡ nstimar la superficiede las pistasdel colegioen m2, estandoel m2 ausentey nosotrosen clase. . (B1) Señálarqué objeto,de entrelos que seindican,mide 2 m2 (estando el m2 presente):un escritorio,un colchón de plaza y media,un dormitorio. tiene una superliciede . (B2) Indicar qué objeto de entre los-señalados 0,5 m2, estandoel m2 ausente. r (B3) Construir un m2. Nombrar objetosque tenganun áreade 6 m2' o (B4) Buscarobjetosposiblesde superhcie1 m2'
Corburn y Shulte,en el Yearbookde 1986,describenvarios programasde ordenadordiseñadospara desarrollarla capacidadde estimar longitudes, ángulos,áreas,etc.El tercerprograma
93
ili
haciendootras actividadesque tenganpresentela unidad. También serámás diñcil estimarobjetosmás pequeñosque la unidad,o mucho más grandeque ella. Bright describeuna muestra de programa de estimaciónque se basa en trabajar, con los estudiantes,educadoresy padres,los siguientesprincipios: 1. Dotar a cadaindividuo de unos referentesmentalespara cadaunidad seleccionada(objetosfamiliaresdel entorno que hemosmedido con dicha unidad y hemos< su medida). Practicar la estimación.Enfrentarsea situacionesprácticas donde haya que conjeturar la medida. Practicar los ocho tipos de estimación del cuadro anteriormente reseñado. 4, Variar las actividades,cambiandolas unidadespara un mismo atributo y dando distintasunidadesque midan distintosatributos. 5. Practicar de manera continuada la habilidad de estimar. a fin de mantenerlas habilidadesadquiridas.
ffi
ü
Figura2.73
,r
Elegidauna habitacióny un tipo de losa debeestimarla chntidad necesaria; ante una respuestadel usuario, el ordenador presentaen pantalla el plano de la h¿bitacióncon el número de losasdado. Esta representaciónse mantiene dos segundos,tiempo suficiente para que el alumno revise su imagenmental del tamaño de la unidad, pero insuficientepara medir. IJna vez que el usuario da la respuestacorrecta puede pasar a otra elecciónde habitación y baldosa. Estetipo de softwarefacilita la incorporaciónprácticade la estimacióna los currículum de matemáticas.El microordenadorgs un vehículoideal para intensificarla estimaciónde la medida en la instrucción por: -qu capacidadgráfica,que puedeayudaral.estudiante a desarrollarun marco mental de referenciasobreel tamaño de la unidad de medida: - poder juzgar si una estimaciónestá dentro de un intervalo; - proporcionar un inmediatofeedback,y - su capacidadde almacenary recuperarlas respuestasde los estudiantes. Las mejorasde la tecnologíadel ordenador,sobre todo en el campo de los gráficos,repercutiránpositivamenteen la mejora de estetipo de software educativo. En la secuenciade actividadesse debe tener presente,sudificultad; por ejemplo,esmás dificil estimarcu4ndola unidad estaausente(sedebeesperar menosexactitud en el resultado por ser un procesomental),pero ayuda a formar una imagenmental de la unidad que puedereforzarseposteriormente 94
Los estüdianteshan de estimaren cada nivel segúnsu desarrollocognitivo. Par4,realizar buenasestimaciones: - Los niños han debido realizar bastantesprácticas de estimaciónde medidasde objetos con unidadesestándary no estándar.Despuésde realizaruna estimación,constituyeun buen refuerzorcalizat una medición del objeto. -Deben disponer de un cgnjunto de objetos de referenciade los que conocensu medida,por ejemplo,medidasde las partesde su cuerpo, la altura del profesor,la longitud y el áneade una cartulina, la longitud (largura),anch-uray altura de su pupitre,la longitud y el áreade la pizarta,etc. Si setrabaja con cm o mm sepuedeañadir la anchuradel dedo índice del niño, el diámetro de una moneda,o el de su lápiz, etc. - Las tareas de estimación y medida se adecúanespecialmentepara realizarlasdividiendo la claseen pequeñosgrupos de trabajo. De esta forma, los niños puedendiscutir sobrela
-Tf medida real y la estimación. (No es lo mismo equivocarseen 5 m2 al estimar la superficie de una habitación, que equivocarse en ra misma cantidad al estimar la superficie de un campo de fútbol.) En este sentido, se aconseja evaluar este tipo de actividades de modo inversamente proporcional a la razón entre el error cometido y la medida real de la cantidad a estimar.
3.
Ejercicios para el lector 1. completar la lista de adjetivos,verbos y adverbiosdel apartado l.l.l. 2. Describir situaciones de la vida real donde apaÍezca el área. 3. En caso de tener experiencia,recopilar los errores que haya detectado en la enseñanzade este tema a los niños. 4. Analizar en algún texto escolar el tratamiento que se le da ar área. 5. Construir parejas de liguras, con igual y distinta forma, unas que se puedan y otras que no so puedan comparar directamente. 6. Recortar parejas de figuras, no comparablesdirectamente,de modo que al descomponery recomponer una de ellas se compruebe que es maygr, menor o igual que la otra. 7. Pintar diferentes figuras sobre mallas cuadriculadas o triangulares y compararlas a partir de las mallas. utilizando la fórmula de pick, determinar la medida de cada una de ellas en la correspondiente unidad. 8. Dibujar y ordenar varias superficies que tengan la misma forma y diferentesagujeros internos. 9. Escribir los tres motivos más importantes para medir superficies. 10. Nombrar cuatro figuras planas importantes que, sin embargo, no son útiles como unidades de medida. Explicar en cada caso su razon, ll. Señalar las ventajas e inconvenientesde cada una de las figurasátiles para medir en el plano. 12. Describir otras formas de medir una superficie que no implique el uso de una unidad de medida. 13. Realizar una lista de las diferentes unidades de medida de superficie que conozca y relaciónarlas con el m2. 14. Coleccionar diferentes instrumentos de medida del área. 15. Escribir todas las fórmulas conocidas para calcular una superficie. 16. Enunciar un problema de área de cada tipo de los descritos en el apartado 2.4.3. 17. De cada una de las unidades de superficieque ha nombrado, y de cada uno de sus múltiplos y divisores,indique objetos que midan aproximadamente dicha unidad.
96
Aportacionessobre la adquisicióndel volumen
3.1. APROXIMACIÓN FENOMENOLÓGICA
I i
3.1.1. Vocabulario Como en el área comenzamosel volumenlocalizandolos términosde nuestrolenguajeque seutilizan para estacualidadde los cuerpos.Así hemos encontrado:volumen,capacidady sussinónimos Volumen bulto balumba cuerpo corpulencia capacidad solidez mole espacio magnitud dimensión tomo libro obra
Capacidad cabida espacio extensión volumen tonelaje aforo porte desplazamiento arqueo cabimiento
algunosde estostérminosson másapropiadospara expresarla cualidadque vamosa estudiar. Una primera tarea que dejamosal lector es que subrayelos términosque consideramás apropiadospara expresarla cualidadvolumen. 97
Puede llamar la atención el hecho de que el volumen y la capacidad aparezcancomo sinónimos, cuando usualmentese sueleentender el volumen como espacioocupado y la capacidad como espaciovacio con posibilidad de ser llenado.
Así el término r sugiere un barril o reclplente para poner cosasen é1,mientras que sugiereuna cosa que reclama espacio. un continentetiene capacidad,que nos indica cuánto puedeguardar, pero tiene tambiénun volumen-un poco más grandeque el contenidoque habríaque considerarsi tuviésemos que almacenarun ciertonúmerode ellosen un almacén. Ademásla capacidaddependetanto de la vasijacomo de la sustanciaa que se relieredicha cualidad;así un sacode arpilleratienecapacidad para almacenartrigo y no la tienepara almacenaragua,También d" capacidaddependede la posiciónde la vasija;la capacidadde"fun "on""pto vasovaria segúnsu inclinación,siendomáximacuandoestáen posiciónverticaly.nula cuando está volcado.En lo que siguevamos a prescindirde este tipo de consideraciones. Para nosotroscontinentey contenidoson dos situacionesdistintasde una mismacualidadde los cuerpos((ocuparespacio>. Por ello debemosentender,identificary si es necesariodistinguirentre: capacidadcomo espaciocreado (espaciovacío), y volumen com-oespacio reclamado(espacioocupado);y hemosde tratar el volumen-capacidád de forma conjunta. Para hacer comparacionesrespectode esta cualidad, se suelenutilizar sinónimosde voluminoso,como son.
ahuecado abultado cuerpudo desarrollado gordo grueso inflado obeso orondo turgente gordinflón rollizo rebultado pesado redoblado 98
y los calificativossiguientes: profundo - superficial capaz espacioso- reducido estrecho apretado amplio
;Tfi: como: siendousualesexpresiones
\
> También se empleael término generalgrande-pequeñoen frasescomo: ' para expresarlas accionesde medir estamagExistenverbosespecíficos nitud, asílos verbosaforaro arquearseutilizan parala capacidad,y cubicar para el volumen.
3.1.2. Contextosy modelosmatemáticosde la capacidad y del volumen
lr
Contextos Dice Freudenthalque el volumenestámenosexpuestoa un empobrecique el area,y en parte lo atribuyeal doble aspecto miento fenomenológico de capacidady volumen. La relación entre capacidady volumen es complicaday se puedemostrar a travésdel efectode empaquetary meter.Las situacionesson muy variadas: cajasembalandocartonesde tabaco botesde cristalcon canicas botellasde refresco maletas 99
il
Hay razonespara que en el sistemamétrico aparezcan .. c[3, dm3,m3,...,. y
...l, hl, ...
aunqueambasesténconectadas por la expresión1 I : I dm3. cuando medimoscajasde cartón o balasde lana estamosante situacionesdiferentesa si necesitamosmedir aceite,cervezao vino. para esteúltimo casoprecisamosvasijaspara contenerlíquidos;recipientes con capacidad. Las medidasde volumenseutilizanpara objetosde tresdimensiones que permitenmedir linealmentecada una de ellas,como: -la maderaque produceun bosqueo se necesitapara algo; - la tierra que hay que removerpara perforar un túnel; - el mármol que contieneun bloque; - la cantidad de hormigón que se necesitapara rellenar un cimiento; -el espacioque ocupa un cargamentoa transportar. Sin embargo,es bastantefrecuenteutilizar medidasde volumen'para medir capacidades o contenidos,por ejemplo: - la cantidad de gas que puedealmacenarun depósito; - la cantidadde aguao líquido que cabeen un depósito,piscina,erc.,o bien que ha consumidouna familia; - la capacidadde un motor; - la capacidadde un frasco de medicina o una jeringuilla.
El lector puedeengrosarlas listasanteriorescon otras muchassituacionesdonde se utilicenla capacidado el volumen. En lo que sigue,utilizaremossóloel términovolumen,aunque,en ocasiones,se puedasustituirpor el de capacidad. Modelosmatemáticos La matemáticano ha elaboradoningúnmodelopara la capacidadcomo tal, por lo que hay que recurrira su relacióncon el volumenpara manejarla Así para calcularla capacidadde un recipiente,por ejemmatemáticamente. plo el foso de un cimiento,se procedea calcularel volumen del cuerpo en nuestroejemplosería (macizo)que encajaperfectamente en eserecipiente, el volumende hormigónque lo rellena,podemosimaginarloya fraguadoy tendremosun cuerpo ,con forma, incluido entre los que compiende el modelomatemáticode volumen. El volumen se refierea cuerposo a regionesgeométricas.Para trabajar mediantefórmulas.Tambiénpuecon ellos puedenvenir,o no, expresados pueden estar limitados por diferentestipos de den ser de revolución;o superlicies. Para el volumen,la matemáticarealizauna primeraaproximaciónsobre largo,anchoy los prismas,en los que se puededistinguirtres dimensiones: alto, y generalizadespuésa otros cuerposgeométricosy regionesespaciales. a
Las medidasde capacidadse usanpara hablar de la cantidadde líquido que cabeen: - un depósito,barril, cuba,botella,frasco..., - una bañera,piscina,balsa..., - una olla, un frigorífico... referirnosa la cantidad de grano (si no son demasiadogruesos)que cabeen - un silo, saco,cubo... y en general,a cosasque puedenalmacenarse en vasiias.pero tambiénse utilizan unasmedidasmenosestandarizadas pard medir contenidos: - 28 de pie y 12 sentados; - 130camas; -250 butacas para indicar la capacidadde autobuses, hoteles,teatros,automóviles,hospitales,aviones,trenes,barcos,cines,salasde fiestas,estadios,plazasde toros..., y en situacionesmás raras el número de animalesque cabeen un corral, granja,toril... 100
3.1.3. Diferentesaproximacionesal volumen en el al volumensonlas mismasque hemosreseñado Las aproximaciones y comparar-reproducir apartado1.1.3para el área:repartirequitativamente, medir; y puedenrealizarsede las diferentesmanerasallí indicadas. Siguiendoa Freudenthal;para'la constitucióndel objeto mental volumen, proponemosla siguientesecuencia: de rompery rehacer. i) Comenzar con transformaciones con cubos congruentesy teorganizandolas Realizandoconstrucciones sobre reflexionando piezasde una construcciónpara obtenerotrasdiferentes, dejuntar (o el volumende cadauna de ellasy la aditividad(o sustractividad) ademásde marcarla diferenciaentreel volumeny el separar)construcciones, área superfrcial. de capacidadde recipientesabiertosy ii) Continuar con la equiualencia sólidos. de cuerpos uolumen Un modo de realizarla comparaciónconsisteen intentarmeterel sólido en la vasija,en algunoscasostendremosque trocearloo molerlo' Así para. compararel volumende una barra de plastilina y la capacidadde una cajita{ intentaríamos meterladentro,pero si fueseun botede bocaestrechatendría101
ii
i.i
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t,,
rl
mos que recurrir a romperla en trocitos. También se puederecurrir a la inmersióntotal del sólidoen un recipientecon líquido,comparandoel nivel que éste alcanzacon el que tiene despuésde retirar el sólido y añadirle la cantidad de agua que cabeen el recipiente. iii) Seguircon transformaciones realesde uaciar paracompararcontenidos. Así podemoscomparar la capacidadde dos cajas por el número de bloquesque cabenen cada una de ellas.O llenar las dos vasijasde grano (por ejemplo,garbanzos)y compararla cantidadque cabeen cadauna. Un procedimientomás exacto que los anterioresconsisteen llenar los dos recipientes con un líquido,vertiendoluegoel contenidode cadauna de ellas en sendasvasijasiguales,comparandofinalmentela altura que alcanzanlos líquidos;esta operaciónpuederealizarsecon una sola vasija,llenándolacon el contenidode uno de los iecipientes,marcandosu nivel, vaciándola.y rellenándolacon el del otro. El trabajar con materialesmenosestructuradosestimulaa que el volumen se coqlparemedianteestimaciónl como hemosvisto en bsqemFlbs se puedenconectarestasactividads.s con el efectode empaquetarque favorecela interrelacióncapacidad-volumeii y el paso a la tridimensionalidad de éste. iv) Abordar las transformaciones que conseruany no conservanel volumen. Pero no sólo con la arcilla o la plastilina que se deforman,sino también aplastandomigasde pan, o cortandoen rodajasuna tripa de salchichón,y otras muchasque el lector puedepensar. Las transformaciones respectoa las que tienesentidohablarde conservación de volumenson estas: - Frente al paso del tiempo. Un balón tiene el mismo volumen que dentro de dos horas (si no se pincha, se calienta...).Un vaso tiene la mismacapacidadhoy y el mesque viene.Sin embarjo,hay.sustancias que deben protegersede fenómenoscomo la evaporaóión,para que conserven su volumena lo largo de períodosdilatadosde tiemfo. _ - Bajo cambiosde puntos de vista. La capacidado el Volumende un cuerpo frelmaneceninalterablesaunque varíe el punto de vista del observador. Esas transformacionesson generales,en el sentido de afectar a otras magnitudes.Para el volumen podemosañadir: - Transformacionesde meneo,sacudida,temblor. EI volumen de una jarra o su capacidadno se ven afectadospor estastransformaciones, pues ocupan el mismo espacio y tienen la misma cabida antes y despuésde moverla. 102
- Quitar cortando.Es el casode la tripa de salchichónque serebanaen rodajas. - Transformaciones de rompery rehacer.Como cuandoreorganizamos las piezasde una construcción. - Transformacionesde vaciar y moldear,moldeando,,tr'troro de arcilla. =_ Transformacionesde inmersión,sumergiendoun trozo de plastilinaen un recipientecon agua. - Traslacionesy otras aplicacionesdefinidasgeométricamente, como los desplazamientos en el espacio. Las actividadesde determinacióndel volumen por inmersión seríanla culminacióndel proceso,y no debenrealizarseantesde haber estudiadoel peso y la fuerza.
3.2. ESTUDIOS DE TIPO PSICOLÓGICO Y COGNITIVO 3.2.1, Fiaget y otros en su estudiodel desarrollodel pensamiento Piagety suscolaboradores, infantil y su comprensióndel número,realizarondiversasexperienciassobre conservaciónde cantidadescontinuas. En una de ellas hacen un estudio a recipientes con distinde líquidosque son trasvasados sobreconservación concluyendoque a tas formas (véaser), partir de los seisy medio a los ocho añosel niño reconoceque la cantidadde líquido permanececonstanteaunque se vierta en un recipientecon distinta forma. Si aceptamoslos resultadosesencialesde estas experienciaspodemos argumentar que el niño, a partir de dicha edad, está en condicionesde reconocercuando dos recipientestienen la misma capacidad,y por tanto de adquirir el conceptode capacidad. Estos investigadorestambién realizanexperienciassimilaresa las de la aritmetizacióndel área,pero con cubos en lugar de con cuadradosy obtienen los mismosresultados. Ademásrealizancomo pruebasespecíficas: del uolumeninterno Actiuidadesde conseruación de 3x3 cubitos'debasey 4 de altura, se pide Dado un paralelepípedo que"construyan otro con el mismovolumeny base4L3x2 o I x2... Se pide que reproduzcanel modelo con de diferentestamaños y formas;se les pide también que comparenlos dadrillos> y digan cuál tiene mayor cantidad de madera;o se les entrega un bloque y se les pide que hallen otro con el mismo volumen entre una seriedada.
103
Actiuidadesde conseruación del espacioocupado Con cubos.Se colocanuna seriede cubosen el fondo de un recipiente (3 x 3 x 4) y se preguntasi se alteraríael nivel de agua al modificarla construcción. Rnsurr¡.oos: EstadioI : La experienciaes impracticable. Estadio2a: El niño razonaen términosde una sola dimensión,por lo que deja de construircuando alcanzala mismaaltura que el modelo. Estadio2b: Comienzaa variar la altura de susmodelosen relacióncon el tamañode la base,pero no llegaa la solución. Estadio3a: Obtienelas relaciones entrelas dimensiones, pero sin medir. Estadio 3b: Comienzaa medir utilizando como unidadeslos cubos, pero no llevana cabo el producto(tienex cubos). Estadio4 : Lograla comprensiónde la fórmula.Hay conservación del volumendel medio espacial,y no como volumendefinido por las superficies limítrofes. Con arcilla.Toma una bolita de arcillaque sedeformay seintroduceen un recipientecon agua,para ver hastadóndela desplaza. Estadiosl, 2, 3: No existeconservación. Estadio4a: Transición. Estadio4b: Conservación. Seapreciapuesel caráctertardío de la comprensiónde la constanciadel volumentotal de un sólido que se deforma(frentea otras cualidades, cantidadesde materia,peso).
las tres dimensioneslinealesaparezcaespontáneamente en el niño para determinar el volumen de un sólido, y ello se debe a la influenciade la escuela. Lovell y Ogilvie,en 1961,estudianlas nocionesde volumeninterno,es o espaciodesadecir,como espacioocupado,y de volumencomplementario lojado. El 40 por 100 de los niños de ocho años conservanvolumen como espaciodesalojadoy el 80 por 100de los niños de oncetambiénlo hacían. Muchos niños creenque un cubo más pesadodesplazarámás agua que otro más ligero. También creenque la cantidad de agua desplazadade una vasija varía segúnque el cubo seacolocadoen el fondo o suspendidosin tocar el sumergido.Para los alumnosde la escuelaprifondo,pero completamente maria,el volumendesalojadoparecedependerdel pesodel objeto sumergido, de la profundidada que es sumergido,del tamaño del recipientey de otros factoresque no influyen.Piensanque (es posibleque los niñospudieran aprendermás rápidamentecuestionesrelativasal volumen si en la escuelase llevasena cabo experienciasque pusierande relieve simultáneamentela efectividadde los factoresinfluyentesy la inoperanciade los otros>. M. Laurendauy A. Pinard encuentranun adelantode la conservacióndel volumen(al estadio3a). Carpenter,en 1971,realizaun estudio donde propone a los niños trece tareas.En una de ellassele muestranal sujetodos vasosidénticosconteniendo igual cantidad de agua, y se les pide que comparen los dos vasos.Se para que los niños esténde sobre las respuestas realizanconsideraciones acuerdoen que los dos vasoscontienenla mismacantidadde líquido.Luego, el agua de cada vaso se vacía en dos recipientesopacos,uno más largo y estrechoque el otro. Usando dos unidadesde medidadiferentes,resultatres unidadesen un vasoy cincoen el otro. A los niños seles preguntasi hay la mismacantidaden los dos recipientesopacos.
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I
;l I
Otros estudiosque confirman o modifican los resultadosde Piaget Vinh-Bange Inhelderconhrmanque al repetir las experienciasseproduce un cierto aprendizaje(que podría explicar los adelantosencontradospor Lovell y Ogilvie),pero esteaprendizaje es sólo parcialy no consiguequemar totalmentelas etapasdel desarrollo. Lunzer,en 1960,realizí una experienciacon niños de seisa catorceaños y no encontróque alguno pasasepor una épocaen que se entendierael volumen como
FP
1l l
1r I ll
UL-J Figura 3.1
10s
Otra tarea era parecidaa la anterior, pero la unidad de medida pequeña pareaa serla misma que la grande.Realizaronestaspruebascon 61 niños de I y 2 grado.De estos,26 concluíanque había la misma cantidad de líquido en los vasosopacos,despuésde usar diferentesunidades,mientras sólo 20 llegaron a esta conclusión cuando no había diferenciaentre las unidades usadas.Aproximadamenteel 60 por 1ü) de los niños fracasaronen ambas cuestiones,pero tres de las respuestasincorrectas se basaban más en la medida del vaso que en las unidades. El resultado de Carpenter parece estar de acuerdo con los de otros investigadores: la conservacióndel volumeninterno seelaboragradualmente durantelos tres o cuatro primerosañosde escuela. Sugierecuatro nivelesen el desarrollode la conservacióny la medida: i) El niño respondeen basea sencillasdimensionesdominantes,visuales o numéricas. ii) El niño es capazde cambiar de consideraciones visualesa numéricas,pero en una tarea dada tiende a centrarseen una dimensión.A estenivel pareceignorar el estadopresentey utiliza respuestascomo: <Esto marcala transicióna nivelesffiás altos de pensamientosobre conservacióny medida. iii) El niño obtienela flexibilidad para considerarvariasdimensionesde una misma cantidad simultáneamentey elige la condición que proporciona una baseracional para la comparación. iv) El niño puede usar información sobre el estado inicial y final del agua para descubrir la correcta relación entre el tamaño de la unidad de mediday el número de unidades,un procesoesencialpara la medidaracional. K. Hart (1982) trabaja, en el C.S.M.S., cuestiones relacionadas con.el volumenocupado. Item 18del C.S.M.S.:Un bloque I se construye poniendo 8 cubos como este(Figura 3.2)juntos. a) ¿Cuántos cubos formarían el bloque B (sin agujeros dentro)? b) El bloque C se construye poniendo pequeñosbloques juntos. ¿Cuántosbloquesse necesitan si en C no hay agujeros dentro?
Al
^w
fl Figura 3.2
Figura 33
Figura 3.4
Figura 3.5
B
c) Todos los cubosdel bloque C se apilan. Vamos a usar todos los cubos del bloque C para construir un rascacielosque tengan 4 cubos en la planta baja.¿Cuálserála altura del rascacielos?
Figura3.6
Figura 3.7
El problemade encontrarel volumende un cuboidecontandocuboses que muchosno se ven.A menudo,los niños cuentanlos que ven y así a la pregunta 18b respondieroncorrectamenteel 10,7por 100 de doce años, el 13,5por 100de trecey el 12,6por 100de catorce. correctapara c) es del 40-50por 100,pero el 10 por 100de La respuesta cada edad contestaa esta pregunta dando un cuarto del volumen obtenido en el apartado á). El volumen de C puede encontrarsemediantemultiplicaciones,pero alrededor de un tercio de los niños de cada edad lo obtienen mediante adición (una capade 12 y otra y otro). En la última parte,van sumando4, 4, ... hasta alcanzar36. Piaget también realiza experienciastendentesa la distinción entre el volumen y el peso,pidiendo las - equivalenciasdel volumen entre objetos de la misma forma y peso, - equivalenciasentre objetos de la misma forma y el mismo volumen, pero distinto peso. - equivalenciade volumen entre objetosde peso y forma distinta. - comparacionesaditivas. Rnsulrepos: Estadio l: Fracasanen todos loq puntos. simplesde la equivalenciaentre objeEstadio2: Efectúancomposicionés tos de forma homogéneay pesoscualesquiera.Apareceun principiode disociacióndel factor pesoy del factor volumen. -equivlte\cia incluso con objetos áe foima heterogénea.AlEstadio 3: gunascomposicionesaditivas,pero ligadasal factor peso.La está en ley de subida del nivel se descubreprogresivamente, construcción. Estadio 4: El factor volumen se disocia del factor peso y todas las composicionespedidasse efectúanen términosde volumen. La ley se elabora deductivamente.
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106
107
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3.2.2. Vergnaud
Definicionessobre el volumen
Para vergnaud el volumenes una magnitud que es susceptiblede dos tratamientos,uno como magnitudunidimensional, que puedeser comparada, medida,evaluada,aproximada,sumada,restada,etc.,en función dé e[a misma, y otro como magnitud tridimensional,que permite medirla en función de o(ra magnitud (la longitud). El segundotratamientodel volumencorresponde a modelosmultiplicativos que se puedenver obstaculizados por modelosaditivos que anteriormente ha desarrollado el niño y conducirle a errores (como los del tipo perimétrico). Estas propiedadesdel volumen ligadas con su aspecto tridimensional merecenun estudiomás profundo. Lo anterior,unido a que pone en juego aspectoscomo la proporcionalidad, etc., hacen del volumen un concepto rico y dificil de captár por los alumnos. Junto con el aspectounidimensionaly tridimensionaldel volumen debe trabajarsela coordinación de ambos,para lo cual es muy útil el trabalq de rellenado. El conceptode volumen,segúnsusinvestigaciones, no secaptahastalos catorceo quince años. En una experienciaal pedir a los niños una definición del volumen se obtieneel cuadro de la figura 3.8 que nos muestrala diversidadde definicionesobtenidas;se presentantres categoríasde respuestas: de tipo <>, de tipo <<área>>, de tipo .Estasúltimasse dan sobretodo en los cursosmás inferiores(sexto)¿unquetambiénseencuentraen los superiores (tercero).
5.o
El contenido de un objeto Lo que contiene
1222 2-1
Una cantidad (ejemploscitados:lápices,hojas (sólidos),aire, agua (líquidos) Es llenar (de agua,de cubos,de cajas)
JJ
Es el peso
l-
4.o
3.o Total
J
t7
t2
Es una masa que estáen el aire Es eI área (señalacon un gestola superficie) que hay aquí dentro Es el conjunto de toda la habitación
3 I
1-2 124 l2
l-
23
Es la superhcie
a
El total de m2 de una habitación Todo el largo de la habitación
1-
El contorno
2l
Cuántrola habitación totaliza(contorno) Todos los lados: largo, ancho,alto
2-
t3 I 1
1-
l4 3
1I
Todas las dimensionesde una habitación Otros
l-
Sin respuesta
ll
1-2 1-2 1-2 35
Figure 3A (continuación)
Definicionessobre el volumen ó.o
5.o
Es el lugar ocupado por...
3.o Total
112 224 l-1
Es el espacioocupadopor... Es el largo x anchox alto Son las tres dimensionesen las cualesuno puededesplazarse, moverse.. El interior de algo... Es la cantidadque puedeconteneruna cosa (ejemploscitados:botella, habitación,caja) Figure 3"8
108
4."
4.oy 3.olos niñosllegana conceptualiSolamenteen los cursossuperiores zar y a definir el volumen, los alumnos de 6.o y 5.' hablan del volumen utilizando una cantidad de materia que sirve de referencia.También es de señalarla confusióndel volumen con el peso o la masa. 3.2.3. Comentariosde Freudenthal
I
3
I
I
2
5
2
lt 8
del volumen> ha sido Freudenthal (1983)indica que la <
r09
La conservaciónde la capacidady el volumenpresuponentransformacionessuaves,no demasiadoduras,no demasiadocalientes. señalala transformaciónde vaciar (derramar)líquidos como <
identificación,pero estabanequivocadosal tratar esostres objetosmentales por separado. Atribuyen a la conservacióndel volumen un nivel de desarrollo mayor que la cantidad o el peso.La dificultad estáen cómo distinguir los tres,¿por t¿st separados,o, si se hace en uno solo, cómo formular las preguntas?El pesopareceno tenerproblemaal utilizar el adjetivo u ;en particular, la segundz pafte presuponeun desarrollo lingüistico del sujeto y la habilidad lingüísticadel entrevistador. El autor realizael siguienteanálisis: signifrcaalgo que sólo de la misma materia; no tiene sentido puedecompararseentre especímenes y la otra de hierro, cuál tienemás. piezas, de arcilla una preguntarseante dos permanece que igual si no se quita ni se puede que decir se bantidad es lo peso.Pero mediante mismo el tiene de algo misma cantidad La nada. añade el pesopodemoscomparardiferentesmaterias.El pesotieneuna aplicación más universal.Ademásla misma cantidad de materia puede,bajo diversas circunstancias,ocupar distintas partesde espacioen el sentidode volumen Si los metalesse calientan,se expanden.Muchos materialesencogenbajo fisica.Cabepensarque un sujeto presión.Estosson hechosde la experiencia óon unu idea clara de volumenreaccioneen sentidoerróneopor no estaral corriente de ciertos hechoslisicos o cuestionablesteoríasacercade ellos. 3.2.4. Algunasdificultadesy errores
K. Kart indica que el contaje de cubos(aunquese realicecorrectamente más complicado cuando las dimensionesson fraccionarias;incluso si se es aplica la fórmula resultamás complicadoya que hay que multiplicar fraccio nás. En las siguientestareasse prueba esto, ya que al utilizar dimensione fraccionariashay una bajada de éxito del 40 por 100.
ftem 20 del C.S.M.S.:La cantidadde espaciodentro de un bloque se llama su volumen. A El volumen del bloque I es I cm3.
3.e t .*l Figura
Án lcm
lü4 ",
B
2 ll2 cmt. .Bmide delbloque Elvolumen Figura3.10
, " ffi,r. T;ñ
lll
Encontrarel volumende los bloquesC, D y E en cm3.
Respuestas a la cuestión19á)(en porcentaje)
c Contestación
12años
13 años
l4 años
t28 32
0,6 7t,6
8,3 61,3
6,2 63,3
21/"cm
2cm
Sobre el 60 por 100 de cada edad respondía correctamentesobre el volumen interior de la caja cuando tenían un cubo de pastilina dentro (¿cuántoespaciodeja?),y cuando la plastilina se cortaba en 3 trozos y se ponían otta vez dentro de la caja (¿cuántoespaciodeja?).Esto indica que hay un 40 por 100 de sujetos de la escuelasecundariaque creen que el espacioque quedalibre cambiacon sólo cambiarla forma del contenido.
1c m Figura 3.11
Porcentajede respuestascorrectasa Ia cuestión20. 12 años
13 años
14 años
56,2 65,7 14,2
57,0 70,7 18,7
68,1 81,5 27,9
Volumen de C Volumen de D Volumende.E
La pregunta más dificil sobre el volumen es similar a la del casodel área.Sefacilitan al niño dos unidades diferentes para medir y debe establecerla razónde conversiónde una unidad en otra. En la tarea siguiente, el niño, generalmente, iguala dos pequeñoscubos de ll2 cm3 a un cubo de I cm3.
,"^ffi"
ftem t9 del C.S.M.S.:¿Cuántos cubosde I crn de lado puedesintroducir en la caja? Número de cubos de I cm de lado...
Figura3.12
b) ¿Cuántos pequeños cubos como estospodríasmeteren la misma caja?
tl 2cnfl ,tncn 1/2c m
Número de pequeñoscubos... tt2
Figura 3.13
El problema del cubo de la esquina, apareceen numerosósgrupos de niños, según Vergnaud, en algunos de manera fugaz, y consisteen que determinadosniños habiendocontado el número de cubos que se necesitan para rellenar una caja en una de sus dimensiones,considerannecesari contar, porlllo, un cubo menos en cada una de las otras dos, . Ello refleja una contradicción entre la concepciónunidimensionaldel volumen,en la que no se cuentados vecesuna misma unidad y la tridimensional en la cual el volumen es producto de tres dimensiones.
3.3. IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA
Los matices del concepto de volumen son tan variados que carecede sentidoposponerla instrucciónde estanoción hastanivelesavanzados.La capacidad,el volumen interno, objetosque tienencapacidad,otros que no la ti'enen,etc.,-podrían citarsecomo ejemplosde tópicos a enseñara los niños pequeños.Las aproximaciones al conceptode volumen(véaseapartado3.1) se deben graduar, realizandotareasadecuadasa los distintos nivelesde la E.G.B.Y no limitándosea unos temassobrela capacidaden el Ciclo Medio y a otros sobreel volumen en el Ciclo Superior,sin más conexiónque la de mostrar cómo estánrelacionadassus unidadesde medida. Lo mismo que para el irea, en el casodel volumen debenrealizarseun estudiointegral de la cualidad y de su medida,que permita aislarla,comparar objetosrespectode ella, plantear la necesidadde una unidad de medida, conocery usar las diferentesunidades,estimarla medida del volumen de un objeto,y finalmente,aplicar todos estosconocimientosa situacionesproblemáticasde la vida cotidiana. Ha sido frecuenteencontrar textos en los que
113
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tras una muy breveintroducción sobrela cualidad han estudiadolas unidadesde medida,olvidándosede los demásaspectos,lo que en nuestraopinión es un tratamiento empobrecidoe incompleto que sólo puedeconducir a un aprendizajememorísticoy nada útil. En el conceptode volumen influyen un gran número de hechoslísicos que pueden provocar lagunas en su comprensión.Los niños tienen que aprendera eliminar los factoresno influyentesy eso requieretiempo. A su vez, lz escueladebe proporcionar experienciasvariadas y con diferentes materialesque pongan de manifiestola importancia de unos factoresy la inoperanciade otros, es decir,que permitan al niño eliminar los factoresque perturban para llegar al volumen geométrico. La actividad de empaquetares una contribución importante al concepto de volumen. También lo es el efecto de llenar y vaciar recipientescon distintos materiales,desdelíquidos hastagarbanzoso canicas.Es evidentela diferenciaque existeentre una caja de zapatosempaquetadacon cubos de madera o rellena de pelotasde ping-pong. El experimentode inmersiónparecemás adecuadopara medir volúmenes que para adquirir el concepto.Es precisoque el alumno realiceefectivamgnte esetipo de actividadesy no se le conformecon o'con su relato. Paralelamenteal caso del área,lastareasde empaquetamientoo rellenado favorecenel paso a estrategiasmultiplicativas. Es igualmenteimportante llevar a cabo manipulacionesrealescon sólidos, que conducirán a evitar errotes provocados por el uso excesivode gráficos;por ejemplo, no contar en un dibujo los cubos que (no se venD cuando se trata de determinarsu volumen. Al principio los niños utilizan diferentesestrategiaspara determinar el volumende un cuerpo;el uso de las fórmulasno aparecede maneraespontánea.Por tanto, no debenpresentarselas fórmulas hastaque el alumno haya realizadosulicientesactividadesque le permitan utilizar la fórmula comprensivamentev entendersu utilidad.
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4.
Indicacionespara la ensefianza del volumen l
4.1. PERCEPCIÓN En ebte capítulo podríamos repetir gran parte de los comentarios y recomendaci*ones de caráctergeneralque hicimos para el casodel área,pero para no ser redundantessugerimosal lector una lectura paralela de ambos dadasallí, comparancapítulos:criticando la validezde las recomendaciones para que proponen constatandola magnitud, cada las se do actividades mayor complejidady variedadde situacionesen que sepresentael volumen, y la menor nquezade materialesy manejabilidadque tiene en comparación con el área. La percepcióndel volumen de un cuerpo es una tarea más dificil que la percepcióndel área, pues mientras esta última cualidad puede captarse en su globalidad a travésdel sentidode la vista, para la primera han de elaborarse representacionesmentales del objeto a partir de los diferentes datos que recibimosmediantenuestrossentidos,principalmentede la vista y del tacto. La percepcióndel conceptode volumen sepuedeir logrando a travésde actividadescomo las que proponemosy que hemosagrupadoen: Actiuidadestáctiles
\
lt4
. Tomar cajas vacíaso diferentesrecipientesy pasar las manos por el interior. . Tomar objetos sólidos y palparlos con las manos. Se puedenutilizar distintos materialespara una misma forma y tamaño, por ejemplo, cartón, corcho blanco, hierro, e incluso variar característicascomo el color, la textura, etc. 115
I l
¡ Construir una casa pequeña con cartón y hacer que entren en ella el máximo número de niños; variar el volumen de las cajas y discutir con los niños su diferente capacidad. Actiuidades de llenado o Llenar: -
Objetos que se pueden llenar y otros que no. Objetos que pueden llenarse según el material del que estén hechos. Por ejemplo, un saco para llenarlo con harina, arroz o agua. - Vaciar líquidos o grano (no demasiado grueso),harina, arena...,en distintas vasijas. - con vasos cilindricos de diferente anchura y altura, uno se llena de líquido y se trasvasaa otro. Se trata de predecir el nivel (formulando la pregunta ¿hastadónde se llenará?). Actiuidades de empaquetado o Empaquetar cajas y recipientesde variadas formas con diferentesobjetos, poniendo atención en qué y con qué se empaqueta mejor, porejemplo: -
-
además,con la nociÓn r Actividadessobreinmersión,relacionándolas, de densidaddel líquido donde se sumergeel cuerpo (cuerposque que se hunden). flotan-cuerpos - Sumergiren aguadiferentesmateriales:piedra,patata,taco de madera,esponja. - Sumergiren aceite:agua,piedra... - Sumergiren recipientesllenoshastael borde y observarel agua o líquido que se derrama. - Sumergirun trozo de plastilinaa distintaprofundidady observarel deformarlao hacerlatrozosy repetirla expenivel.Posteriormente, riencia. Materiales se van a utilizar con frecuenciaen El cubo y otros cuerposgeométricos actividadesrelacionadascon el volumen.En el aula se debe disponerde sencillasy suficientenúmero de ellos. Facilitamosalgunasconstrucciones y plegado. los propiosniños puedenrealizarlascon cartulina asequibles,
Caja de zapatos, bolsa de plástico, recipientes en forma cilíndrica (macetas),cucuruchos de helados, cartones de tabaco. botes de cris_ tal, peceras,etc. Cubos multibase, tacos de madera, regletas,tizas, canicas,etc.
o Observar cómo, por ejemplo, una caja de zapatos se puede llenar con arena o adoquinar con tacos de madera. Actiuidades para obseruar el comportamiento del uolumen También en el concepto de volumen intervinen de manera importante propiedades y hechos ñsicos que pueden perturbar su adquisición. El profesor debe proporcionar experienciasque ayuden al niño a delimitar el volumen como ente geométrico Así es conveniente realizar actividades como: . Llenar sacos o bolsas de forma alargada o esférica con canicas y luego con arena y preguntar al niño con cuáles se empaquetan mejor. (Existen una tendencia a asignar menor volumen al que peor se empaqueta.) . Prensar o apretar ovillos de lana, migas de pan...,y plantear al alumno, ¿hastadónde se puede llenar una maleta? r Calentar gaseso metales: - Hinchar un globo y posteriormente calentarlo. - Observar las juntas de dilatación en puentes o edificios. 'Leer las etiquetasde los aerosoles. iló
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I Figura 4.1
"il7
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También se pueden re.alizarmodelostridimensionalescon gomaselásticasy cartulinas. (-, \A./
4
/\ // \\ ¡-7(----\., 'Jo (-.'
El soma es un juego formado por los tricubos y tetracubos que son irregulares,esdecir,que presentanalgunaconcavidad.Las actividadescon el a las soma consistenen formar diferentesfiguras con sus piezas(semejantes piezasde una arquitectura).
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iltl l [¡
. Realizarconstruccionescon tetracubosy pentacubos. . Con parejasde tetracubosen forma de Z, construir y dibujar diferentes formas. r Construir, con tetracubosen forma de Z, un cubo, un ortoedro, un módulo en forma de Z más grande.
el l
\*l' Figura4'2' , nu Al igual que en el casodel área trabajamoscon poliminós,en el'basodel volumen podemoshacerlo con policuboJ,que son construccionesrealfzadas con varioscubosigualesunidospor una cara.Si tomamosdos cubosidénticosy los pegamospor una cara obtenemosun dicubo.Si le agregamos otro, obtenemosun tricubo; en este caso existen dos posibilidadesde pegar el cubo: en forma de I o L. Si a cualquier tricubo le añadirnos .uh cubo obtenemosun tetracubo Actividadesque proponemos:
g A&,$,mü,ú '
Figura 4.4
. Formar varioscuboscon todaslas piezasdel soma.
o Construir todos los posiblestetracubos.¿Cuántosse pueden lograr? Repetir la experienciacon pentacubos.
filti)
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qiJ' lFr
HBhRq \SRRM hSwsñ
nLFó e Nw Figura 4.3
118
Figura 45
119
Actividadescomo las descritasantes del soma puedenrealizarsecon cualquier tipo de z-cubos,pero el número de posiblesn-cuboscada vez es más grande.A modo de curiosidadseñalarque hay rg.sgg.427dodecacubos. Actiuidadesde uisualizaciónespacial Algunasde las dificultadesque los niños encuentranen la medidadel volumenpuedenestaroriginadaspor el hechode que sonforzadosa > y visualizarinformaciónsobreobjetossólidosa partir de gráficos,sin habei manipuladopreviamentedichosobjetos.No dominanla visualizaciónespacial, es decir, carecende la habilidad de manipular mentalmente,rotar, doblar, o invertir un objeto representadoen forma gráfica.La visualización espacialpermite manipular mentalmentefiguras rigidas. Esta capacidadsepuededesarrollarmedianteentrenamiento,secuencializando las actividadesde representación de objetosde tres dimensiones en dibujosde dos y viceversa, esdecir,construcciónde objetostridimensionales con bloquesa partir de su representación para másdetallede bidimensional. esasecuencia sepuedeconsultarBen-Haim(1985);tambiénen I.E.p.S.(lgg6) aparecenalgunasideassobre el particular.En todas estasactividadeslos niños deben disponer de suficientescubos y rearizarlos dibujos en papel isométrico.Así se les puedeproponer: . Dado el dibujo de una construcción,realizarlacon cubos. . Dada la construcción,dibujarla,desdeuna determinadaperspectiva,en papelisométrico. . vistas de un edificiodesdelas cuatroesquinas. En una hoja de papelse facilita la planta de un edificio, indicando las alturas y se f¡un tut esquinas.se debe realizarla construccióny posteriormentedibujar las perspectivas de la mismadesdelas esquinas.
c ao
. Dada la representación de un edificiomirado desdela esquinafrontalderecha,encontrar su representacióndesdela parte de atrás.
nF F-'..,F F., rFn
ri-T.l -F ri-F] t-T-n rrrn Figura 4.7
Continuando estalínea de trabajo, se puedenproponer actividadestales como: . Dada la vista frontal y lateral de una construcción con bloques; dar diferentesconfigura' cionesque correspondana esta representación. Determinar cuál es la que requiere el mayor/menor número de bloques.
ffidfl Figura 4.8
Attiuidades de teselacióndel espacio Lá situaciónanálogaa la de cubrir el plano con polígonossepresentaal intentar empaquetarel espaciocon polie{ros. r ¿Quépoliedros regularesempaquetanel espacio? ' . Con poliedrosregularesy de Arquímedes(poliedrosque tienen por caraspolígonosregularesde más de un tipo) el espacio' Actividadesde estetipo puedenrealizarsecon materialescomo palillos y plastilina,pajitasy limpiapipas,cuerposde cartulina,etc.,y en el marco del arte, la arquitectura,la naturaleza,el comercio (formas más usualesen el mercadopara empaquetarartículos),etc.
aa aa
aa aa
aa
aa
120
Actiuidadespara distinguirel uolumende otras cualidades También medianteactividadesde percepciónla magnitud volumen debe ' diferenciarsede otras como el peso,la masa,el área,etc. Para ello ie puede: . Pintar, por dentro y por fuera,un tambor de detergenteo una caja de zapatosy llenarla luego de arena. . Pintar un balón, un globo inflado... o Llenar recipientesiguales(con el mismo volumen)con diferentessustanciaspara apreciarsu peso. . Apreciar los diferentescostosde un mismo producto en relacióncon la capacidadde los recipientesque los contienen.
t2l
lr
. Realizardesarrollosplanos de cuerposgeométricos,colorearlos terv minar la construccióndel cuerpo. . Realizarconstruccionescon cubos del mismo volumen,pero de diferentematerial,por ejemplo,cartulina y maderasólida.percibir diferente masa (comparandocon una balanzal. . Colorearlas paredesde un edificioconstruidocon cubos. 4.2. COMPARACIÓN se pueden realizartres tipos de comparacionespara esta magnitud: - Capacidad-capacidad (medianteun líquido o grano). - volumen-volumen(por inmersióno en caso de cuerposconstruidos con cubos la comparaciónpuederealizarsepor ). - capacidad-volumen (por comparacióndel complementario de un volumen sumergidoy el líquido que cabe en el recipiente). A modo orientativo, proponemosactividadespara cadauna de las variantes. Actiuidadespara compararcapacidades . con tres vasoscilíndricos de diferentesanchurasy alturas, y con tres botellasdiferentes,ordenar los vasosy botellasiegún su óapacidad. Para realizarcomparacionesse puederecurrir a un recipienteúnico. . vaciar el contenidode un vasolargo y estrechoen otro vasoancho v bajo y preguntar sobre cuál tiene más o menos. . coleccionar contenedoresde la misma capacidady forma diferente: botella cristal, botella plástico,tetrabrik, lita, caja, etc. . comparar la capacidadde variascajasmedianteel llenadocon diferentes objetos,como cubos,bolitas,arena,semillas...
. Con un cubo de arcilla, partirlo en tres trozos y componerlosen otra forma. ¿Cuál ocupa más volumen? . Con 20 cubos, realizar distintas.constrpcciones,¿cuáltiene más volumen? . Utilizando las piezasdel soma,formar figuras con el mismo volumen. . Tomar una barra de pan enteray posteriormenterebanarla.Planteara los niños dóndetenemosmás pan. Tambiénpuedevaler una piezade salchichónentera o cortada a ruedas. La inmersiónse puedeutilizar para compararvolúmenes,sobretodo, si los cuerposson irregulares.Es irnportanteconsiderarla densidaddel cuerpo sumergidoy la del líquido dondese sumerge'Con dos recipientesigualesy llenos de, por ejemplo,agua hasta el mismo nivel: . Introducir un cubo de hierro y otro de madera (iguales,pero de diferentepeso)y comparar sus volúmenes. . Sumergirdos construcciones realizadascon el mismo número de cupero de distinta área superficial. Qos, . Compararel volumende dos patatas. Estas actividades pueden presentar las siguientesdificultades para el alumno: - qúe no sumerjancompletamentelos cuerpos; - tenerque añadir líquido o agua para sumergirloscompletamente; - que al añadir líquido a los recipientespara llegar al mismo nivel deduzcala igualdadentrelos volúmenes; - que al retirar los cuerposy compararel líquido,deduzcaque esmayor el que ha necesitadomás liquido para llegar al mismo nivel. A pesarde la incomodidadpropia del trabajocon líquidos,esconveniente realizat estastareasen la escuela,por su influenciapositiva en la formade volumen y por su importancia práctica. ción de las nocion_es
Actíuidqdespara compararuolúmenes . citar sustanciascuyo volumen merma con el transcursodel tiempo y otras que no lo hacen. . Los niños seagrupan de tres en tres y con arenallenan el huecode su mano derecha,¿cuáltiene más?,¿cuáltiene menos? . comparar la profundidad(volumen)de agua de dos bidonesde igual forma introduciendo una vara para medir el nivel. . con una disposición semejantea la enterior de los niños, beber un sorbo de agua y preguntar cuál ha bebido más o menos.La dificultad de estaactividad resideen que hay que compararlos complementarios; habrá bebidomás el que menosagua tenga.
r22
Actiuidadespara compararuolúmenescon capacidades . Tomar una caja vacía de quesitosy algunasporcionesde elfos y comprobar si caben. . Preguntar si cabe la cera de una lela, sin fundirla, en un recipiente. Esta tarea presentala dificultad de descubrir el modo de realizar la comparación,y percibir el contenido del recipientecomo complementario del volumenpleno (cerade la vela)y no como sustituiblepor é1. En todas las actividadesque se realicense debe utilizar el vocabulario propio del volumen y sus variantesespecíficas.
t23
También en la comparación se debe procurar distinguir el uolurnende otras magnitudes.En estesentido se puede: . Comparardos cantidadesde sustancias de igual pesoy distinto volumen.(Igual con dos objetosde igual volumeny distinto peso.) . Considerarcasosde cuerposque tengan la misma area y distinto volumen, como una lata de conservay otra igual deformadapor aplastamiento.Ídem para cuerposcon el mismo volumen y distinta área,como dos tretrabriks de un litro de diferentesdimensiones. . Con cubosy un volumenfijo, construir la configuraciónde mayor área. Con cubosy lijada un área,construirla conliguraciónde mayor volumen. . Con cubos,realizarconstrucciones del mismo volumen,determinando la de mayor/menor(sumade las longitudesde las aristas de la construcción).Con igualdadde ,determinarla de mayor/menorvolumen.
4.3. MEDIDA 4.3.1. Necesidadde la medida Para introducir al niño en el procesode medida sepuedecomenzar utilizando unidades como: lo que cabeen el huecode la mano, lo que cabe en la boca, una cuchara, un vaso de yogourt, botellas vacías, cajas congruentes,tazas y vasosde plástico,etc. Sed,ividea la claseen grupos de Figura 4.9 tres niños. A cada grupo se le dan cuatro recipientesllenos de arena; los recipientesson diferentes,por ejemplo,un cubo de plástico,un tetrabrik, uno cilíndrico,y un balón desinflado.Selespide que los ordenende mayor a menor. Para comprobar su ordenaciónse verán obligadosa escogerde entre las unidadesde medida,antescitadasy que puedenestaren el aula,algunade ellas.Precisanun intermediario. Como planteamientoprevio a la eleqciónde la unida{ de medida del volumen,vamosa extendernos sobrela pregunta,ya formuladaen las activi: dadesde percepción,de qué cuerposempaquetanel espacio. Para poder rellenar el espaciocon poliedros,-la suma de los ángulos 124
_ ,il
diedrosque confluyenen cadaaristaha de ser 360grados,y por tanto, éste debeser el valor de la sumade varios de los ángulosdiedrosde poliedros. Si el poliedroesregular(cuerpoplatónico),todossusángulosdiedrosson iguales,y para poder llenar el espacio,su valor ha de ser un divisor de 360.
Poliedroregular
Medida del ángulo diedro
Cubo Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
90" 70" 32', 109'2g' 116" 34', 138'11',
Si observamosla tabla aiterior, podemosconcluir que el únibo poliedro regular que tesela el espacioes el cubo. .. De los cuerpos semirregulares g cuerpos arquimedianos (poliedrog formadospor más de un tipo de polígonos regulares de modo que en todos sus vértices confluFigura 4.10 yen el mismo número de aristas) tan sólo el octaedro trúncado, cuyps ángulos miden 109' 28' y I25" 16', permite el llenado del espacio. Es posible teselar el espaciocon más de un cuerpo, por ejemplo, con tetraedrosy octoedros,con cubos o con tetraedrosy tetraedrostruncados. Esto puedeexperimentarseo descubrirsetrabajandola construcciónde poliedros con plantillas y gomas y engaruándolosunos a otros, o bien con cuerposcon las carashuecaso con otro tipo de materialessemejantes.
Figura 4.ll
t25
Está claro que con prismasrectosu oblicuoscuya baseseauna ligura que pavimentael plano,es posiblellenar el espacio. Otra posibilidadsurgeal tomar como baseel cubo, o cualquierotro poliedroteseladory estudiarsusdistintassecciones modulares,es decir,las diversasdescomposiciones en dos o más poliedroscongruentes. Algunasde puedenconstruirsecon los recortablesde J. Carvajalllamaestassecciones dos ,editadospor la GeneralitatValenciana. Tambiénpuedenconseguirse seccionando cubosde plastilinao porespán. Las transformaciones de rompery rehaceraplicadasconvenientemente a por ejemplo, un cuerpoteseladornos permitenencontrarnuevassoluciones, quitándoleuna pirámidbcuadrangular'poruna cara de un cubo y añadiéndoselapor otra. Esto es importanteen arquitectura.
puedemedir el contenidode la botella,la caja de zapatos,y si vale, por ejemplo,la canicacomo unidad. Si a todos los gruposseles ha dado la mismabotellacon igual cantidad de agua y una caja de zapatosigual, pero existenen las bolsasde posibles ' unidades,dos vasosdiferentes el resultado al preguntarles o cubosdiferentes, y de b medidade la caja la botella,nos encontramoscon dos posibilidades. de llegar a un acuerdo. Sedebedebatir la necesidad . Medir la cajade zapatoscon el cubo y con el tetraedroy preguntarleal' niño qué es más exacto. ¡ Tomar un cubo vacío y llenarlo con arena,¿sepodría medir con un vaso? . Tomar un vaso lleno de arena,¿sepodría volcar en un cubo vacío y medirlo? La proporcionalidadinversaque existeentreel tamañode la unidad de medida y el resultadode las medidasrealizadascon ella, sueleser una les cuestacomprenderque si cambiamosla dificultad para los escolares; unidadpor otra mayor la medidade un mismoobjeto respectoa estanueva unidad serámenor.Para prevenirestadificultades convenientereflexionar, en cada una de las actividadesanteriores,sobrela relaciónentreel tamaño de la unidad y los resultadosde la medida. A modo de curiosidadfacilitamosdiferentesunidadesde capacidaduticon la unidad lizadasen distintasprovinciasy épocasy sus equivalencias convencional. MEDIDAS DE CAPACIDAD Para granos,sal,etc. Fanegas t2: I-
Cabiz 1-
Celemines 144: 12: 1:
Figura 4.12
Moyo
Es importantemostrarla necesidad de la adopciónde medidascomunes. Sefacilitaa los gruposde niñosuna bolsacon posiblesunidades:un vaso de plástico,un cubo, un tetraedro,una canica,y objetospara.medir: una botellade agua,una caja de zapatos.Se les preguntacon qué unidadesse
r26
Litros 666,000666 55.500055 4,62500/. 1.156251
Para líquidos
Otra posibilidadconsisteen estudiarlos policubosque llenanel espacio
4.3.2. Elecciónde la unidad
Cuartillos 576: 48: 4: 1:
1:
Cántaras Cuartillas 16: 1:
64: 4-1:
Azumbres Cuartillos 128: 8: 2: t:
5r2: 32: 8: 41:
Copas 2,048: 128: 32: 16: 4: 1:
Litros 258,126964 16,13293s 4.033243 2. 016618 0, 504155 0,126039
r27
Para aceite Arroba mensural
l:
Libras
Panillas
25: 1:
100: 4: l:
Litros
Medidas de capacidad
12,5ó300 0,50252 0,50252 Cádiz
Pies cúbicos 1m 3:
46, 226:
Varas cúbicas
Canarias
1,512
Decímetrooacúbicos o litros
Medidas de capacidad
Alava Albacete Alicante
Almeria Avila Badajoz
Baleares(Palma)
Barcelona
Burgos
r28
S u c á n ta ra S u m e d i a fa n e g a d e á ri d o s ........ Su mediaarroba para líquidos S u m e d i a fa n e g a d e á ri d o s . Su media libra para aceite . S u c á n ta ro S u b a rc h i l l a Su media arroba para líquidos Su media fanegapara áridos . Su media cán.tara Su media fanegapara ári{os . Su media arroba para aceite . Su mediaarrobapara'losdemáslíquidos Su media fanegapara áridos . La mesurapara aceite Su carta para vino Su libra para aguardiente... Su media cuarterapara áridos El b a rri l ó n El cuartan para aceite La media cuarterapara áridos Su media cántarapara líquidos Su media fanegapara áridos .
..... .....
16,365 27,81 6,365 ..... 28,325 0,60 ..... 11.55 ....20;,775 8,18 . . . 27,531 7,96 . . . 28,20 6,21 8,21 . . . 27,92 16,58 0,78 0,41 . . 35,17 ..... 30,35 4,15 . . 34,750 7,05 . . . 27,17
Decímetros cúbicos o litros
El medio cuarto para vino . . Ídem para aceite . La media fanega para áridos . La media arroba para vino Ídem para aceite . La media fanegapara áridos . La arroba de líquidos de Santa Cruz de Tener if e. . . fdem de la ciudad de las Palmas El cuartillo de la Guía de Canarias fdem del Arrecife de Lanzarote La media fanega de áridos de Santa Cruz de ...... Tener if e
El medioarmudderu.iuiui;. i;. ;"il;; Castellón
Ciudad-Real
Córdoba Coruña
Cuenca Gerona Granada Guadalajara
Guipúzcoa . Huelva
.....
1,73 1,60 26,88 7,922 6,26 )7 )1)
5,03 5,08 0,995 2,46 31. -;:,L33
2.84 fdem de la Guía de Canarias ... 12,14 La arroba para aceite 11, 27 El cánt ar opar alos dem áslí quidos. . . . . . . . . . . . . . . . 16. 60 Labar chilla 6,22 Su media arroba para medir aceite . 8,0 Ídem para los demáslíquidos . . 27,20 Sus media fanegapara áridos . . . 16,31 Su arroba para medir líquidos . . . 27,60 Su media fanegapara áridos . . . . i. . . . . . . 16, 15 El f er r adopar at r igo Í dem par am aiz. . . . . . . . 20, 87 . . . 15,58 La cántarapara vino .. 16,43 fdem para aguardiente . . . 12,43 La arroba para aceite 7,88 Su media arroba para liquidos . . . 27,10 Su media fanegapara áridos . El m allalpar avino . . . . . 15, 48 .. 18,08 El cuartánpara áridos Su media arroba para líquidos . .. 27,35 Su mediafanegapara áridos . 8,21 Su media arroba para liquidos 6,35 fdem para aceite . . .. 27,40 Su mediafanegapara áridos . L,26 Su media azumbre . . . 27,65 Su media fanegapara áridos . 7,89 Su media arroba para líquidos . .. 27,531 Su mediafanegapara áridos .
129
Medidas de capacidad
Huesca
Jaen
Lérida Logroño Lugo Madrid Málaga Murcia Orense
Oviedo Palencia
Pamplona
Pontevedra
Salamanca Santander Segovia
130
Decímetros cúbicos o litros
9.98 Su cántaro 0,36 S u me d i al i b ra p a ra " s " ;;;;;.:.. 0,37 aceite :.:::::.::. Su medida de libra para . . . 22,46 Su fanegapara áridos 8,02 Su media arroba para vino 7,12 Ídem para aceite . . . . 27,37 Su media fanegapara áridos . 7.92 Su media cántara 18,11 Su éminapara áridos .. ... 11.38 S u c á n ta rad e v i n o 18,34 Su medidade tres cuartanespara áridos. 16,04 Su cántara . . . 27,47 Su media fanegapara áridos . 0,4?. Su cuartillo para líquidos 13,13 El ferradopara áridos 8,15 Su mediaarroba para líquidos . . . 27,67 Su media fanegapara áridos . 8,33 Su media arroba para líquidos . . . 26,97 Su media fanegapara áridos . 7,80 Su media arroba para vino . . . 27,U Su media fanegapara áridos . ..... 15,96 S u c á n ta ra . . . 13,88 El ferrado para medir grano . 18,79 Ídem colmado para medir maiz . ..... 18,41 S u c á n ta ra 37,07 La media fanegaasturianapara áridos . 7,88 Su media cíntara 6,12 Su media arroba para aceite . . . 27,75 Su media fanegapara áridos . 11.77 Su cántaro 0,41 Su libra para aceite .... 28,13 S u ro b o p a raá ri d o s 16,35 Su mediocañadopara líquidos 15,58 Su ferrando para trigo ...... 20,86 S u fe rra d o p a ra e l ma i z .. 7,99 El medio cántaro . . . 27,29 Su media fanegapara áridos . 7,90 Su media cániara . . .27,42 Su media fanegapara áridos . 8,00 Su media arroba para líquidos . . . 27,30 Su media fanegapara áridos .
Medidas de capacidad
Sevilla Soria Tarragona
Teruel Toledo
Valencia
Valladolid ,Yizcaya(Bilbao)
Zamora Zaragoza
-
Su arroba para líquidos Su media fanegapara áridos . Su media cántara Su media fanegapara áridos . Laar m iñapar alí quidos La sinquenapara aceite La media cuarterapara áridos Su medio cántaro Su fanegapara áridos Sum ediacánt ar a . . . i. . . Su media arroba para aceite Sum ediaf anegadeár idos. Sucánt ar odevino Su ar r obade aceit e Su barchilla para áridos Su media cántara Su mediafanegapara áridos . Su mediaazumbre Su media arroba de aceite Sum ediaf anegadeár idos. Su mediocántaro Sp media fanegapara áridos . Su cántarode vino Su arrobapara aceite Su arroba para aguardiente... Su fanegapara áridos
Decímetros cúbicoso litros 15,66 . . . 27,35 7,90 . . . 27,57 . . . . . . . 34, 66 20,65 . . 35,40 10.96 ... 21,40 8, 12 6,25 . . . . . 27, 75 . . . . . 10. 77 . . . . . 11. 93 . rc:,75 7,82 ... 27,39 1,11 6,74 . . . . . 28, 46 7,98 . . . 27,64 9.91 ... 13,93 13,33 ... 22,42
4.3,3, Sistemasde medida Si setrata de medirlíquidoso capacidades seutilizanmedidaslineales.Se debenrealizaractividadestalescomo: r Mostrar diferentesrecipientesde litro. . Dividir la cantidad de 1 litro en dos partes iguales,conduciendoa la experienciadel ll2l; también en cuatro partesigualespara obtenerel
rl4r,
Los divisoressurgende sucesivas divisionesen 10 (1 dl : 0,1l; 1 cl : 0,011;1 ml : 0,001l)y los múltiplosde sucesivos agrupamientos de diezen diez(101 : 1 dal; 1001: t hl...). 131
. Completarla presentaciónde múltiplos y submúltiplosde litro con ayudasgráficas. Tambiénel volumensepuedemedir a travésde la longitud,considerando que los objetosa medir son tridimensionales. Actividadesa realizarson: ¡ Construirun cm3,un dm3,y un m3. . Medir el dm3con el cm3y el m3 con el dm3y cm3.¿Cuántos cm3tiene un dm3?¿Cuántosdm3 tieneun m3?,¿y cm3? Sedebecomentarque,aunqueel metro tiene 10 dm y 100cm (sepueden justificar los prelijos),esasequivalenciassedan en cada una de las dimensionesy, de ahi, que al conjugarlas tres se obtenganesosresultados. . Completarla presentaciónde múltiplos y submúltiplosdel metro cúbico, recurriendoa ayudasgráficas. . Realizarmedidasefectivasde cuerpos,primero con una sola unidad y posteriormente con varias. . Discutir y elegirentre varias,la unidad más adecuadaparamedir un cuerpo. . Mostrar la equivalenciaentre medidaslinealesy cúbicas.(Se pueden utilizar frascosde medicamentos,cucharasdosificadorasy cubos <de diferentesdimensiones.) La inmersiónde cuerpossólidosen recipientesgraduadosy llenos de líquido es la forma en la que es posible determinarsu volumen. Aquí hacemosuso de la equivalenciaentreunidadesde capacidady unidadesde volumen.Quizásseapara la determinación de volúmenesde cuerpossólidos, el aspectomás importantede la transformaciónpor inmersión,mucho más que para introducir algunosmaticesdel conceptode volumen. o Determinar la unidad más adecuadapara medir el volumen de: una piscina,un <
r32
expresarse en términosde capacidad,en términosde volumen.Esteseríael casode contenidosde frascosde medicamentos, piscinas,embalses, carbura dores, etc. En el uso real y cotidiano de las medidas, cada vez parece aumentarel predominio de las unidadesde volumen sobrelas de capacidad
4.3.4. Instrumentosde medida -
Metro cúbicoconstruidocon palosy vértices. Centímetroscúbicos(regletas,arquitecturas, diferentescolores,etc.). Cubo diseccionado. Conjunto de medir volúmenes10 ml, 100 ml, 250 ml, 500 ml, 1 I (contenedorespara volcar líquidos y medir). - Cucharasde 5 ml, vasosy medidasde medicamentos. -Copas de boca anchagraduadas. - Conjunto de botellasde plástico. - Cubo para medir desplazamientos. - Conjunto de cubosy cilindrosde diferentetamaño. --Medida de líquidos:recipientede pintas,galones,ll4, ll2, etc. - Sólidosde plásticodistintosy con el mismo volumen. - Transportador de ángulosde contacto para medir ángulosdiedros.
4.4. ARITMETIZACIÓN 4.4.1. Cálculo de volúmenesde cuerpos
Vamos a ftataÍ de obtener el volumen de unos cuerposen función de otros que hemosllamado unidades.Para ello nos valdremosde técnica como el rellenado,el llenado,la inmersión,la realizaciónde transformaciones de romper y rehacer,etc. El empaquetado o rellendode una caja o recipientecon unidadescúbicas es un tipo de actividad que debe trabajarse mucho con los niños, pues favoreceel pasoa estrategias multiplicativas,sobretodo si despuésde diversas actividadesde empaquetado,se restringeel número de upidadesque puedeutilizar cada alumno, de modo que sin poder rellenar completamente la caja deba respondercuántasnecesitaríapara ello. También deben plantearseactividadesde empaquetadocon diferentes tipos de unidadescorno paralelepípedosy prismasrectos y oblicuos;y con cuerposque no teselenbien el espaciocomo cilindros,esferas,tetraedros,etc. El rellenadocon paralelepípedos, en el casoen que no seproporcioneun número suficientepara completarlo, obliga al niño a rellenar en las tres dimensiones, contar el númerode unidadesque cabenen cadadimensióny
133
multiplicar.Planteala dilicultad de la colocaciónde las unidades,ya que para dar una respuestacorrectahay que teher presentela colocaciónde las unidadessegúnla dimensión,es decir,contar por ejemplolos que cabgnen el largo, los que cabenen el ancho y los que cabenen el alto. El llenadoes otra técnicaque nos permite medir capacidadesy por tanto posibilita el llegar a deducirlas fórmulasde la capacidadde los recipientesen función de las dimensiones, medianteel uso de tablas,por ejemplo. El papelanálogoal anteriorpara los cuerposmacizoslo juegala inmersión. Para realizar estas actividadeses convenientedisponer de cuerpos geométricosmacizosy huecos. La obtenciónde fórmulasmediantetransformaciones de rompery rehacer, procedimientoque tan útil se ha mostrado en el caso del área, tiene un campode aplicaciónmuy limitado en el volumen,puescomo argumentaremos másen profundidaden el capítulo5, soncasiúnicamente los prismaslos mediante cuerposque puedentransformarse en paralelepípedos equivalentes transformaciones de romper y rehacer. Por ejemplo, paÍa transformar un prisma hexagonal recto en un paralelepípedopodemos hacer uso i/\/\ de las transformacionesplanas que hemosvisto. Mediante la aproximación por prismas inscritos y circunscritos,y pirámides inscritas y circunscritas, ,con base polígonos regulares,pueFigurá'4.13 den aproximarseel volumen del cilindro y cono respectivamente. El Principio de Cavalieri puede utilizarse para demostrar algunas fórmulas, como para el caso del volumen de la esfera,en el que se demuestraque el volumen de una es igual al volumen comsemiesfera prendido entre un cilindro y un coFigura 4.14 no de igual radio que la semiesfera, y que tienenpor altura dicho radio. Otra técnicaconsisteen descomponerun cuerporegularo semiregularen pirámidesuniendo los vérticescon el centro y calculandoel volumen de las pirámides que se forman; puede ayudar el rcalizar la descomposicióncon materialescomo cartulinas y gomas. En la siguientepáginadamosun listado de volúmenesde los cuerposmás utilizados. t34
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135
4.4.2. Problemasde volúmenes Como ya hemos señaladoel volumen es un conceptomultiplicativo de tipo producto que permite plantear dos tipos de situaciones-problemas: de multiplicación y de división. A continuaciónvamosa describirlase indicaremos las estrategiascorrectasy erróneasque usan los niños en su resolución. De multiplicación,comopor ejemplo,dadaslas dimensionesde un cuerpo pedir su volumen. Los procedimientosmás utilizadospor los alumnospara resolvereste tipo de problemasson: (largoxancho)xalto (largoxalto) xancho (anchoxalto) xlargo el primero que consisteen calcular el área de la cara del fondo (base)y aplicar un operadoraltura, es el más utilizado y coincidecon la expresión ..\ usualde la fórmula del volumen. SegúnVergnaudy suscolaboradoresse observauna cierta estabilidaden los razonamientosque empleanlos niños para resolverestetipo de problemas. Los erroresmás frecuentesen estetipo de situaciones-problemas son: - De tipo perimétrico, que proceden de componer aditivamente las dimensioneslineales,razonandosobre las aristasdel cuerpo. --De tipo superhcie,que consistenen calcular el área de las caras y sumarlas. - De tipo mixto, sumandoaristascon áreas. - Otros errores(cálculo,unidades...). Los erroresde tipo perimétricosedan en los nivelesmás bajos y desaparecenen los más elevados.Los procedimientosde tipo superficie,perduran más en los niños, lo que provoca que la confusión superficie-volumensea bastanteduradera. Los procedimientosde tipo mixto son consecuencia de dar un tratamiento distinto a la tercera dimensión,es decir, multiplicar las dos primeras y sumar la tercera.Estos erroresdesaparecenrápidamente. De diuisión.Es el casoen que seconoceel volumeny dos de las dimensiot nes y se preguntapor la tercera. Este tipo de problema se resuelvepor: 1. Una ecuación. 2. Reconstrucciónde una cara v división. 136
de una cara,se levantauna capasobreesacara con 3. Reconstrucción altura unidad, y se reitera esa capa (iteración). 4. Reconstrucciónde una cara y aplicaciónde un operadormultiplicativo.
El segundoprocedimientoimplica la comprensiónde la operación inversa y se aplica a valores cualesquiera,mientras que el tercero y el cuarto, que se basan en la adición y multiplicación, dependende los valores dados. SegúnVergnaud los procedimientosmás usados(por niños francesesde sexto a tercero)son el segundoy el cuarto que procedende la descompos ción del volumen en capassucesivas. Para estaclasede problemasse dan erroresanálogosa los anteriores:de tipo perimétrico,de tipo superficie,de tipo mixto y otros. Las situacionesde división resultan más dificiles que las del producto, debido a la dificultad que la operacióninversaplantea,al menosen aquellos ¡iño\ue necesitandel rellenadopara superarel producto.
Otro tipo de situacionesque hay que trabajar con los niños para consolidai en profundidad las estrategiasmultiplicativas,son las de tipo proporcional, qve incluyenproblemascomo calcular el número de cajaspequeñasque contiene una grande, conocida la relación entre sus lados, o entre dos l¡grposen forma de L, o entre dos esferas... \ Las estrategiasusadaspor los niños para resolverestetipo de situacione sori:
- Productode razones. - Pavimentadomental de un cuerpo con el otro. - Atribuir medidashipotéticasa los lados, calcular los volúmenesy hallar la razbn.
usadoen problemasde El primer procedimientoesel más frecuentemente paralelepípedos.El segundoes muy empleadopor los niños para resolve problemasde esferasproporcionales;cabeseñalarque, aunqueesteprocedimiento no es realista,les puedeconducir a la respuestacorrecta.También es empleadoen problemascomo el de la L Este tipo de problemasson los que más dificultadespresentanpara los alumnosy son los menostrabajadosen la enseñanza. Los erroresmás frecuentesson: -
Sumar razones. Considerarsólo la razón en una dimensión. Hacer un promedio de las razones. De tipo perímetro o superficie. Otros, como repetir las razoneso considerarque falta información.
t37
También debenrealizarseproblemasen los que se diferencieel volumen del área o de la longitud, como el siguiente: < 45,. ESTIMACIÓN Para estimarel volumensiempreserecurreal uso de algunaestrategiade estimaciónde longitudes,tal es el casodel agua que hay en una botella, o el volumen de un pilar de hormigón. No vamos a repetir aquí las distintas estrategiasde estimaciónde longitudes,pues ya las dimos para el caso del área,tan sólo hemosde añadir que estrategiasespecíficas como la de reestructuración que en el caso del áreatenian algún uso,aquí donmucho menos empleadaspor la dificultadpropia del volumen(su tridimensionalidad). Considerandoel cuadro de situacionesde estimacióndel apartado2,6.3 vamos a dar algunosejemplos,siguiendolos distintos tipos de comparacionesque hemosvisto. Capacidad-capacidad (Al) Estimarel volumende cucharadasde agua que cabenen un vaso, estandopresentesel vaso y la cuchara. (A2) Estimar el número de vasosde <> botellade litro, en presenciade éstay estandoel vasoausente. (A3) ¿Cuántoslitros de agua cabenen un cubo de fregona?,estandoel litro delantey el cubo ausente. (44) ¿Cuántoslitros de agua son necesariospara llenar una piscina olímpica? (Bl) En presenciade un dl, indicar cuálesde los siguientesobjetostienen una capacidadde 2dl: una cucharasopera,un vaso,una olla. (B2) Indicar, de entre los siguientes,qué objeto puedecontenerun HL un cubo de fregar, un camión-cuba,un tonel. 138
(83) Enumerarobjetosque tengan una capacidadde 10 cubos (como uno dado). (84) Nombrar objetosque tenganuna capacidadde 50 cl. Capacidad-oolumen Puedenproponerseactividadessemejantesa las anteriorescomo:
(A1) ¿Cuántoslibros cabenen esacartera?(semuestranlos libros y la cartera). (B1) ¿Cuálde los siguientesobjetospuedeteneruna de 30 pelotasde tenis (comola que semuestra)?:Un cubo, una olla, una maletade viaje grande Volumen-uolumen
para construirun ban(43) ¿Cuántosladrilloscomo ésteson necesarios co de obra como el del parque? (B3)-Nlqmbrarobjetos que ocupen un espaciode 3 m3. seemplea,ademásde para estima á compdraciónde volumen-volumen
un /olumen, como la cantidad de madera de un tronco, para estimar masas
qug no podemossopesar,por ejemplopara apreciarel pesode una persona sofemoscomparar su altura y grosor con el de otra cuyo pesoconocemosy enlfunciónde estacomparacióndeducimosel de la primera. Las dificultadesde las actividadesde estimación.como en las restante m{gnitudes,dependede:
- el grado de familiaridad de los objetosa estimaro de las unidadesque se usen, - la variante de comparaciónque impliquen, -la raz6nexistenteentrela unidady el objeto;si éstaesmuy pequeñao muy grandela dificultad aumenta, - las referenciasmentalesque el sujeto posea, - que las medidasseanenteraso decimales...
Nuestro objetivo en estosprimeros capítulosha sido proponer una serie de actividadesque orientenal profesorsobrecómo presentaral niño situaya seancorrectaso cionesque le induzcana elaborarsuspropiasestrategias, erróneas,y a contrastarlas ya elaboradaspara su consolidacióno reelaboración. En el momento de la práctica, cada enseñantedeberá seleccionarlas que consideremásidóneasparael nivel de susalumnos,teniendo actividades presentela finalidad de los diferentestipos de actividadesy la posibilidad de realizar un aprendizajeno dirigido desarrollandola creatividadal trabajar con los materiales,a vecesno usuales,que hemospresentado.
139
Ejerciciospara el lector 1. Completarlas listasde términosdel apartado3.1.1. 2, Relacionartodas aquellasmedidasno estandarizada$ que conozcapara medir una capacidad,como: el número de camas,el número de butacas... 3. Si tiene posibilidad,pasea sus alumnoslos test del C.S.M.S.que se refierenal volumeny comparesusresultadoscon los obtenidospor K. Hart. 4. Analizar el tratamiento que dan al volumen-capacidadlos libros de . E.G.B:y los programasrenovados. 5. Descompoherun prisma recto de base triangular en tres tetraedros (irregulares)de igual volumen. 6. Construirparejasde cuerposque tenganel mismo volumen. 7. Comprobar que el octaedro truncado rellenael espacio. 8. ¿Quéventajaspresentael elegir un poliedro teseladordel espaciocomo unidadde medida? 9. Razonarpor qué tomamosel cubo como unidad y no otro poliedro et teselador. 10. Mediante transformacionesde romper y rehacer,construir a partir de un cubo de plastilina un nuevo cuerpo teselador. 11. Enumerarlas distintas unidadesde capacidady de volumen conocidas dando susequivalenciascon las unidadesestándar. 12. Coleccionardistintos recipientesque se usan,o se han usado en otras épocas,para medir líquidos o áridos. 13. Describir otras formas de medir un volumen o una capacidad. 14. Escribir todas las fórmulas de volúmenesque conozca. 15. Asociara cadauna de las unidadesfunto con susmúltiplos y divisores) de volumeny de capacidaddiferentesobjetosde modo que seaapropiado medirloscon esaunidad. 16. Estimar cuánto mediríacadacuerpodel ejercicioanterior con la unidad correspondiente. 17. Antesde explicarla fórmula del volumende un paralelepípedo, proponga a los niños que determinenel número de cubitos que cabenen una cajade zapatos,sin darlessuficientescubitospara rellenarlatotalmente. Anote las diferentesestrategiasque usan para resolverloy los errores que cometen. 18. Enunciar un problema de volumen de cada uno de los tipos señalados.
140
F
J. Formalizaciilnmatemática del área y del volumen
6.T. NbcTÓN DE MAGNITUD Y MEDIDA En éste,y en los siguientesapartadosde estecapítulo,nos proponemos dar unasnocionessobreel conceptode magnitud y la estructuramatemática de las magnitudes área y volumen. No pretendemoshacer un desarrollo puramenteformal de estos conceptos,pero sí trabajar con cierto nivel de rigor que, por un lado, permita un tratamiento matemático, y por otro proporcione una síntesisque nos recuerdela construcciónmental que hay subyacente a los conceptosde área,volumeny su medida.
5.1.1. Estructuraalgebraicade la magnitud Para delinir el conceptode magnitud partimos de un conjunto M (que normalmentees el conjunto cocientede un conjunto db objetos rospectode la propiedad-cualidada estudiar).En dicho conjunto M sedefineuna operación (usualmentela suma: + ), que verifica las propiedadesasociativa,conmutativa y existenclade elemento neutro. Además, en M se define una relación de orden, (, compatible con la operación anterior. También se defineel producto por un número natural, ampliándose,en algunoscasos,a otros tiposde números;verificandola pseudo-asociativa del productode dos números por una cantidad, y las distributivas del producto respectode la suma de númerosy la suma de cantidades.El producto es cancelativo. Estasoperaciones,con las propiedadesque hemosmencionado,determinan la estructura de magnitud, es decir, una magnitud es un semimódulo ordenadoy cancelativosobre el semianillode medición S(M) formado por los números realesmultiplicablespor todos los elementosde M. Para ver t4l
esta definición con más detalle puede consultarseChamorro y Belmontb (1988)(El problemade la medida.Didáctica de las magnitudeslineales>, Síntesis(Madrid) y Roanes(1980).
5.1.2, La nociónde medida Al medir una magnitud: - fijamos, en primer lugar, una cantidad u, que llamamosunidad, y, - posteriormente,a cada cantidadde magnitud le asignamosun número por comparacióncon la unidad z, es decir, establecemos una aplicación, que notaremosmedu,del conjunto que definela magnitud M en el semianillode medición S(M)
Figure 5.1
Congruencia. Dos polígonos P y P' se dicen congruenteso igualessi puedenestablecerse ordenacionesde los vérticesde susrespectivaspoligonaAn ! A't, A'r, ..., Al,, que verifiquen las siguientes les borde Ay A condiciones:
medu:M --+S(M) m __+medu(m) el valor med"(m): r sii m : ru. (r es el número de vecesque hay que < u para obtener z.) Esta aplicaciónes un isomorfismode semigrupos,es decir,es una aplicación biyectivacompatiblecon las operacionesdefinidasen M y S(M) respectivamentey, por tanto, verifica que: medu(m* n) : med"(m)* med,(r)
i) ii) iii)
I , 2, "', il A¡ A¡ ¡ r Pat ai: ,: Ái, para i : 1,2, -., fl.
5.2. FORMALIZACIÓN DEL AREA 5.2.1. Equivalenciade pollgonos Para formalizar el concepto de área partimos de la equivalenciade poligonos.Para ello vamosa dar unasdefiniciones. Llamaremosdescomposición de un polígonoP en polígonos P1,P2, ..., P, y escribiremos P : & @ ..' @ P", si se verificaque P : P1 u ... v P,! cadaPb..., Pnson no solapadoscon los restantes(no existeningúntriángulo contenido en la intersección). t42
l'
si tienen sus lados y sus ángulos iguales. o congruentes respectivamente También sepuededefrnir que dos polígonosson congruenteso iguales,si existeun movimiento del plano que transformauno en otro. Esta definición es equivalentea la anterior. del polígonoP, Se dice que la descomposicién P:Pí@...@P;
meduQm): r medu(m) También conservael orden de M, si a es positiva, si la ( n, entonces med"(m)( med,(z),y lo inviertesi a esnegativa,rn ( n, enton@sme{(m) >med,(n).
-
del mismopolígono esposteriora la descomposición P:
Pt @ "'@ P"
si cadaP; (i : I,...,m) estácontenidoen algún Pt(i : 1,...n). de un polígono P en polígonos convexos, Dadas dos descomposiciones siempreexisteotra descomposiciónde P en polígonosconvexos,posterior a de ellas. ambas,la formada por la <
t/
ll
t/
ii
/l
/"
\l
\ t\
Figura 52
r43
Equiualencia.El polígono P es equivalenteal Q @ : descomposiciones en polígonosconvexos P :
PtO'..
O) si admiten
@P, ; Q : Qr@... @Q,
que verifiquenque rn : n y queP¡ : Qa i : 1,2, ...,fr. La idea de estadefiniciónes que si cortamosde cierto modo la figura P en un número finito de partes, con ellas podemoscomponer la figulra Q. Algunos-autoresllaman a estapropiedadequicomposición, y dicen que las figurasP y Q son equicompuestas. Esta condiciónes equivalentea que dos polígonosson equivalentessi adjuntándoles a ambosun mismo polígono,no solapadocon ellos,obtene(Estapropiedadse conocecomo equiadición.) mos figurascongruentes. La equivalenciade polígonos es una relación de equivalencia,a cada clasede equivalencia sele llama polígonogeneral.Los notaremospor p, q, ... p y q, existenpolígonosconsecutiuos, Dados dos polígonosgenerales, Py Q, talesque [P] : p y l/l : q,lo cual permitedefinir la suma de dos polígonosgenerales
p+q:[P ]+lQl:lP vQ)
P y Q elegidosy verificalas estasumaesindependientede los representantes propiedades: i) Conmutativzp+ q: q + p. ii) Asociativa(p + q) t r : p + (q + r). + Q:r. iii) Cancelativap+q:p+r Puede definirse un isomorfismo entre el semigrupo de los polígonos generalesy el de los segmentosgeneralesdel siguientemodo: dado un segmentogeneralno nulo, l, designamospor hr(p)el segmentogeneraligual a la altura del rectánguloR de basg,+-(al que [R] : p. /
fho:r - - > Este resultado nos permi/tedefinir el producto de un número real y positivopor un polígonoSen{eral, del siguientemodo: qeR+
144
; a'p:(h)-'(ohr(p))
es decir, seríaotro polígono generalcuya del rectángulode baseu seríaa vecesla del rectánguloR que representaa P. En el coniunto P se define una relación de orden.
P,4eP NOTA: Seobtienenalgunosresultados interesantesde esta relación, como A el llamado teorema fundamental de la equivalenciaque afirma que dado un ,, polígono P y un segmentol,B, existe(y puede construirse*) un rectángulo R, I I oquivalentea P y uno de cuyos lados I seaAB. Se traza la diagonal ^Biny una paralela por l, seprolonga /trEhastacortarE la obteniendoel vértice G y el polígono Figura 5.3 BCDEG es equivalenteal ABCDEF y tieneun lado menos. Esta relación engloba a los movimientosy a las transformacionesde romper y rehacerque hemosmencionadoen otros capítulos,es decir,el polígono transformado medianteun movimiento o una transformaciónde romper y rehaceres equivalenteal de partida. * Esta construcciónpuederealizarsetransformandoel polígono en otro equivafentede un lado menos.Para ello supongamos, por facilidad,que el polígonoABCDEF es convexo.
; pVP
p
freP
I
p+r:e
dejamosal lector el comprobarlas propiedades. El conjunto P con la operación -f y la relación de orden anterior, <, verifica las condicionesde la definición de magnitud, dada en el apartado 5.1.1,es la magnitud áreao superlicie.
5,2,2. Medida de área Para definir la medidadel áreahemosde dar una aplicaciónque asociea cada polígono general un número real, para lo cual nos basamosen la aplicación h¡:P--+2 que es un isomorfismo y mediante la aplicación medida med¡ (medida de segmentos)que también es un isomorfismo le hacemoscorresponderun número. Es decir,a cadapolígono generalle hacemoscorresponderla medida de r45
la altura del rectángulo R con base z que representaa dicho polígono general. P
ho,
med¡,
med¡
\/
R'
Esta medidaasí definida,que la notaremosmedr,,es una medida indirecta ya que medimos la magnitud área a través de un isomorfismo con la longitud; la unidad de medida,en estecaso,es el cuadradode lado u. La ventaja que representaesta definición de la medida frente a la usual (elegirun polígono,no nulo, y compararlos restantescon él para obtenersus respectivasmedidas)es que evita la molestia de realizar esta comparación por pavimentadode los polígonoscon el polígonounidad,pavimentadoque, .en la mayoríade los casos,no es exacto. En función de esta definiciónde la medida del área puedenobtenerselas conocidasfórmulas para el área de los polígonos (rectángulos,triángufós, polígonosregulares...).
5.2.3. Limitacionesdel modelomatemático Esta construcciónde la magnitud área presentalimitaciones,pues no incluye a todas las figuras del plano, tampoco comprendea las construidas sobre superficiesno planas(como la esfera). 5.2.3.1. Para extenderel conceptode áreaa figurasplanasno poligonales acotadas,se procede básicamentedel siguientemodo: se define figura acotadacomoaquellaque estácontenidaen algúnpolígonoy en estecasose puedecalcularel ínfimo de la medida del área de todos los polígonosque la contieneny el supremode la medidadel área de todos los polígonosque estáncontenidosen ella; si estosdos númerosrealescoincidense dice que la figura es medible.La medida de su área seráesevalor
ésta como el límite del Para el área de la esfera,puede considerarse cuerpode revoluciónque engendraun poligonoregularde z lados,cuando el númerode ladostiendea inlinito, y por tanto su áreaseráel límite de las áreaslateralesde dichos cuerposde revoluciónque están formados por troncosde cono.
Antes de pasar al volumen, una breve consideración.Hemos visto que tienenla mismaárea,sin embargo,¿dosfigurascon dos figurasequivalentes una en la es decir,puedenrecomponerse la misma área son equivalentes, afirmativaa estapreguntanos la proporcionael teorema otra?La respuesta de Bolyai-Gerwien.Este mismo teorematambiénnos garantizaque si dos polígonostienenla mismaárea son equiadicionales.
s.3. FOF.I'{&úZACIÓ¡ü DEL VOLUMEN // equivalentes 5.3.1. /liedros Al igual que en la formalizacióndel área definimosalgunostérminos' Partimos del conceptode descomposiciónde un poliedro, para lo cual decimos que dos poliedros P y Q estánsolapadossi existe un tetraedro contenido en ambos. del poliedro Los poliedrosPp P2,..., Podeterminanuna descomposición P, si se verifican las dos condicionessiguientes:P, w P, u "' \J Pn : P y Pi es no solapado con P¡, V i + i, lo cual expresaremoscon P : & @ P2 @ "'@ P'' Congruencia. Dos poliedrossedicen congruenteso igualessi tienen sus o iguales,es decir,si las caras congruentes carasy diedrosrespectivamente puedennumerarse cy c2;...>cny c\, ...,cli i\ ii) iii) iv)
m:n. c'í : cb i : l, ...,n. c',y C, son consecutivossii c, y cj son consecutivos. Los diedros c¡c¡! c'¡C¡son congruentes.
También puededefinirseque dospoliedrosson congruentessi existe un movimiento del espacioque transformauno en el otro. Equivalencia. Los poliedrosP y Q se dicen equivalentesy senota P = si Q, admitendescomposiciones P :
Pt@... @P" ; Q : Qt@ "' @Q,
talesque Q¡ : Pt,i -- 1, ...,n. La equivalenciade poliedros es una relación de equivalencia.
147
Estadefiniciónenglobaa los movimientosdel espacioy a las transformacionesde rompery rehacer,esdecir,un poliedrotransformadomedianteun movimientoo una transformaciónde romper y rehaceres equivalenteal de partida. Sin embargo,al contrariode lo que ocurríacon el área,estadefiniciónno general,ya que existenpoliedrosque teniendoel mismo eslo sulicientemente volumen no son equivalentes.Esto es lo que ocurre con un cubo y un tetraedroque tenganel mismo volumen;a pesarde ello, no son equicompuestos,puesno esposibledescomponer uno de ellosen otros poliedroscon los cualesreconstruir el otro. Este resultado fue demostradopor Dehn en 1901. su Tampocoresuelveel problematomar como definiciónde equivalencia el teorema de Sydler, la equiadición es equivalente equiadición,porque a la equicomposición. Por tanto,la construcci la magnitud volumen va a quedar limitada te caso las clasesde equivalenciaserán al caso de loq prismas, y en llamadas prismas generales.
generalno nulo, u, existe(y puede Dado un prisma P y un a P, y cuya baseseaun cuadrado'üe construirse)un ortoedro, equiva ncia de que >, altura cuyasbasessean un >.A partir de a P y cuyabase estosresultadossepuedehallar un ortoedro,P', equivalente seaun rectángulode lado u, y aplicándolosposteriormentea una de las caras de P' perpendicularesa r¿obtendriamosun ortoedro, P", equivalentea P y una de cuyascarases un cuadrado de lado u.
t I I
a I I I
p y q, puedenelegirseprismasP y Q como Dados dos prismasgenerales, representantes (no solapa de cadauna de estasclasesque seanconsecutivos dos y cuya unión seaotro prisma) y definir p+q:lPvQf
El conjuntoI de los prismasgenerales, es un semigrupoconmutativoy cancelativo,respectode la suma. Al igual que se hizo para el áreapuededefinirsela aplicación h¡: I -+ 2+
que asociaa cadaprisma generulp e 9,la altura de un ortoedro pertenecien te a p y cuya basees un cuadradode lado u; estaaplicaciónes un isomorfis mo de semigrupos. Se define el producto de un número real y positivo a por un prisma seneralcomo
ih
a.p : (ho)-'(o.ha@))
I
I
I
I
in
t
I
I I I
u
Figura 5.4
148
la clasedel ortoedro que tienepor baseun cuadradode lado Ay por altura el producto de a por la altura de p (esdecir, por fto@)). Se dice que p
sii 3reP
I
p+r:Q
El conjunto P con la operación * y la relación de orden ( es una magnitudque llamrimosvolumen.
r49
5.3.2. Medida del volumen Para la medición del volumen se procededel siguientemodo: -1 Se define la medida de un prisma generalp respectode la unidad u-, como el número real h¡(p)
6.
med¡,@): h¡@)
Aspectoshistóricos
se trata de una medida indirecta de 9.
gho \/
V \
z
med¡
RI
Esta definición a las conocidasfórmulasdel volumen de los prismas. -\ \ 5.3.3. Para extenderel conceptode volumen a cuerposmás generales que los primas,sedefineel poliprismacomo el cuerpo que puededescomponerseen un númerofinito de prismas.Su volumenesla sumade los volúmenes de los prismasque lo componen. Si F es un cuerpo acotado (contenido en un tetraedro),y P, y P, son subconjuntosde poliprismasinterioresy exterioresque estáncontenidosy contienenrespectivamente a d se dice que F es mediblecuando inf med¡. P" : sup med¡. Pt y a esenúmero real se le llama la medida de F. Segúnla delinición anterior para calcularel volumende cualquiercuerpo geométricose recurre al límite de poliprismas interiores y exteriorescuyas seancada vez más pequeñas.
150
6.I. COMENTARIO GENERAL
La medición,segúnChilde y otros autores,debesertan antiguacomo la industria y el quehacerhumano.No sepuedeajustar la cuerdaa un arco, ni el hacha a su mango, sin medir. En la Antigüedad los objetos a ajustar se comparabandirectamenteentre sí; pero tan pronto como las operaciones industrialesse hicieron más complicadas,resultó más convenientecOmparar cadaparte con un patrón. En la construcciónde embarcaciones hubiera sido muy incómodo compararcada tablón por cortar, directamentecon la quilla ya colocaday hastacon el último tablón ya cortado.Era másfácil comparar la quilla, por ejemplo,con el brazo del constructory cortar cada tablón a la longitud del número de brazoscomprendidosen la quilla. La evolución de la elecciónde las unidadesha pasado por diferentes períodos;primero un período antropométrico,en el que las unidadesson partes del cuerpo.Despuésun período ergométricoen el que se toman las unidadesde las condiciones,objetos y resultadosdel trabajo del hombre.Y finalmenteun período convencionalen el que las unidadesson hjadas por conveniosentre hombresy naciones. Así en un principio, los patronespara comparareran objeto¡ naturalese individuales,como el dedo,la palma de la mano, el antebrazo,el codo, etc.; eran unidadespersonales de longitud.En los intercambios,un grano de cebada o un sacolleno de grano debenhaberseusadocomo unidadesde peso. Pero como el trabajo social requiereprecisióny necesitade la cooperación de varios trabajadores,las medidaspersonalesresultaron inadecuadas;dos trabajadoresno tenían los brazos, necesariamentede una longitud igual. Asimismo,el intercambiode grano y la desproporciónen los contenidosde los sacosconducíana transaccionesinjustas.Sehizo necesariofrjar patrones
151
de pesasy medidas.La sociedaddebió conveniren asignarun valor fijo al dedo,a la palma,al codo, al grano o al sacolleno. Pronto seacordóque las diversasunidadesde longitud,volumen,pesoy otras magnitudes,guardaranentre sí determinadasrelacionesmatemáticas simples,aunqueconservaransus viejos nombres,por ejemplo,el codo se convirtió en múltiplo del palmo. Si tenemospresenteque hasta el siglo xlx la agricultura ha sido la principal actividad del hombre resulta normal que fueseen este campo dondemás se usaronlas unidadesersométricas. La elecciónde la unidad que se hizo en cada períodoy lugar, indica la propiedadde la tierra que consideraban más importante.Así se usarondos tipos de unidades,las basadasen la cantidad de trabajo que había que dedicara la tierr4 para que éstadiesesusfrutos,y tenemosunidadescomoel jornal catalán;y lps basadasen la cantidadde grano necesariopara sembrar la tierra, que en cierto sentido era una medida de longitud dividida en pasos o equivalentemenfeen puñados, y tenemos unidades como la fanega. q Estos sistema$ de medidas han sido muy utilizados a lo largo de la
historia,y sobrefodo en la Edad Media y en el Renacimiento.
celemín.Confundiéndoseen un mismo sistemalas medidasagrícolasy de capacidad,confusiónque se ha dado mucho a lo largo de la historia. El establecimiento de normas para pesar y medir se apoya, como el lenguajey la escrituraen una convención.Las pesasy medidas,al igual que las palabrasy las letras,debenestarautorizadaspor el uso social. Dos factoresfueron determinantespara la unificaciónde los sistemasde unidadesde las diferentesregiones:el comercioy el poder.La intensilicación de las relacionescomercialesentre las diferentesregionesy nacionesha impulsadofuertementeestaunificación.Por otra parte, la fijación de unidades siempre ha sido un atributo del poder; quien desempeñabael poder, hjaba las unidades y les confería obligatoriedad,y conforme se han ido agrupandoterritorios bajo un mismo poder se han unificado sus unidades..
6.2. ASPECTOS DE LA MEDICIÓN RELACIONADOS CON EL ANNI Y EL VOLUMEN 6.2.1. Comienzode los recipientes En la antigua sociedadagrícola,la producciónde alimentosprovocabael problema de almacenamientode sobrantes.Los granos debían conservarse hastala siguientecosecha.Esta conservaciónesfácil, pero conllevala necesit52
para almacenarlos, dad de receptáculos haciéndose éstostan esenciales como las viviendas, y en la práctica pudieran haber sido construido con más cuidado que ellas.En los pobladosNeolíticosde Fayum, tal vez los más antiguosde su especie,las construccionesmás importantesque han sobrevivido son los silos excavados,forrados con paja o con esteras. La preparacióny el almacenamientode alimentos hechoscon cereale debe suponer,segúnChilde (1982),-elhaber logrado antesla fabricaciónde vasijasque pudierancontenerlíquidos calientes.La técnicaque caracterizaa las culturas Neolíticases, sin duda, la cerámica,consideradageneralment testimoniocronológicoy cultural de valor indiscutiblee indicador de las migracionesde los pueblos.La cerámica,o sea,la arcilla modeladay cocida por el hombre, no es, sin embargo,una técnicaexclusivadel Neolítico puestoque se conocenfigurillas de arcilla cocida en el PaleolíticoSuperior. El hombre del Neolítico aporta la creacióndel vacío rnediantela arcilla y la coversiónde esadel vacío en soportede expresiónartística. En realidad, la alfareria pudo habersedescubiertoantes del estableci mientode la economíaproductorade alimentos.Es posibleque seoriginase en el cocimiento accidentalde una cesta recubierta de arcilla para poder servir de recipienteal agua. Un par de fragmentosencontradosen una supuestacapa Paleolítica,en Kenya, sugiereesta posibilidad. Pero hasta el período Paleolíticola fabricaciónde piezasde alfareríano escomprobadaen gran escala;,un lugar neolíticoestálleno,generalmente, de restosde objetos de alfareríarotos. El desarrollode estetipo de cerámicaseha relacionadocomúnmentecon el cambio de hábitos culinarios. Las variacionesculinarias producto de la agricultura (platos cocidos,gachas,sopas,etc.) exigieron la sustitución de recipientescombustiblespor otros que pudiesenir directamenteal fuego.No obstante.el nacimientode la cerámicaes un tanto confuso. En el Neolítico Antiguo y Medio sedesconocíael torno de alfarero,que aparecióen Irán al final del Neolítico. El moldeadode vasijasse realizabaa mano segúndos procedimientos:el moldeadosobreun modelo o el moldeado por adición de tiras de pastasarcillosapegadasen bandassucesivas. La técnicacerámicase desarrolló inicialmenteen el Próximo Oriente y desplazóal utillaje de piedra, empleadohasta el VII milenio. La expansión de la cerámicaNeolítica es patente ya a principios del VI milenio en los Balcanes,Bulgaria,Yugoslavia,Rumanía,Hungría. En la Europa mediterránea, las piezasprobablementemás antiguas(Camprafauden Langedoc,y Verdelpinoen Cuenca),muestranuna gran austeridadformal y ningún tipo de decoración,pudiéndosecentraren torno a los iniciosdel VI milenio.Sin (Cataluña,Provenza,Liguria, Córembargo,la cerámica.más característica cega,Apulia y Dalmacia)es probablementedel III milenio. En el Neolítico Medio se produjo una renovacióndel gusto cerámico tanto en la forma como en la decoración.
153
La calidad alcanzadapor la cerámicaen el Neolítico Medio, tiende a desapareceren el Reciente,debido, quizás, al aumento considerablede la población,y por tanto, el de la producción de cerámica. En la Penínsulalbérica la mayoría es lisa y sin decoración,y la dispersión de tipos es variada,desdela zona Nordeste,caracterizadzpor su boca cuadradahasta los de la cultura almeriense(El Garcel).
6.2.2. Antiguascivilizaciones:Babilonia,Egipto, China, India, Grecia, Roma o Babilonia Las matemá s babilonias y egipciasestabanrelacionadascon probleilonia han quedado tablillas que contienen grupos de mas reales.De tablilla de Estrasburgo(con 30 problemas)y en una del rproblemas.En 32) aparecen,entre otros, problemasrelacionadoscon: MuseoBritánico tierra movidas y tareaspor asignar a los trabajadores?n obrasde ingeniería. de ladrillos para los muros de una cisternacilíndrica. - Estimaciónde cosechasen camposde diferentessuperfrcies. - Masas compli
Entre las relacionesgeométricasnecesariaspara solucionarestosy otros problemas,podemosdecir que, en relación al tema que nos interesa,conocian las áreasde los triángulos,trapecios,así como el volumen de prismasy cilindros; en cambio, para la longitud de la circunferenciay el área del círculo adoptan el valor, poco apropiado, de dar para la circunferenciael valor de tresdiámetros(valoresque seconservanen la Biblia) y para el círculo el triple del cuadrado del radio. En cuanto a las unidadesde medidaque utilizaban,O. A. W. Dilke (1987) indica las siguientes: Unidadesde longitud Estabanbasadasen el cubit sumerio (antebrazo)de 49,5 cm. 30 dedos,de 1,65cm cada uno : 1 cubit (kus),49,5cm. Para cuestionesrelacionadascon la agrimensura,utilizaban una unidad equivalentea 6 cubit, llamada un junco, y una equivalentea 12cubit, la vara. Unidadesde área I gar cuadrado : 1 sar, aprox,36 m2. 100sar:1iku. 1.800¡ka:7bur. 154
El sar seusabaprincipalmentepara medir el áreade casas,el iku y el bur para los campos;había otras medidasde átea menosfrecuentes. Unidadesde capacidad
lO sila, cada uno de aprox.0,82litros : I ban,aprox. 6 ban : I nigida, aprox. 49,2l. 5 nigida : I gur, aprox.266 l. En el período Neo-babilónico,también se utilizaba una medidade capacidad para designarun área,esto es,seentendíaI qu como el átea de tierra que podía sembrarsecon I qu de semilla. . Egipto
En diferentespapiros aparecenproblemasprovocadospor las necesida des de almacenargranoso derivadosde la agrimensura'En un papiro de la colecciónRind los problemasestán agrupados;entre otros grupos destaca mos: 4l-47. Cantidad de grano contenidaen receptáculosde diferentesformas. 48-55. Superficiesde terreno de formas variadas.
También en China, como veremos más adelante,conocían el cálculo exacto para determinarel volumen de una pirámide truncada.El hecho de utilizar la mismafórmula para estecálculoes,segúnvan der Waerdat (1983) un fuerte argumento para sustentar la hipótesis de la existenciade una fuente,común, pre-babilónica. Los egipciostambiénconocíanun valor más aproximadoque los babilónicos para pi, y una excelenteaproximaciónpara la cuadraturadel círculo. Las unidadesde medidautilizadas(Dilke, 1987)eran: Unidadesde longitud
Los egipciosbasabansusmedidasen el cubit real (antebrazo),de aproximadamente52,3 cm. Sus divisoreseran el palmo (la anchura de un palmo excluyendoel pulgar) y el dedo(la anchura del dedo). 4 dedos(4 por 1,87cm) : I palmo, aprox. 7,5 cm. 7 palmos : I cubit, aprox. 52,3crn. I00 cubits : I ht o khet (vara),aprox. 52 m 30 cm. Unidadde área
I cubit por.100 cubits se llamaba I cubit,27,35 m2 (los egipciosno utilizaban ninguna palabra equivalentea cuadrado). 100 de esoscubits : I khet cuadrado. de esoskhet cuadrados,1/8, U4,ll2. Subdivisiones
155
Unidadesde capacidad 32 ro (9 aprox.0,015l) : 1 hin (aprox.0,489l). l0 hennu(plural de hin) : I hekat(aprox.4,89l). 20 6 16 hekat : t khar (aprox.97,86 78,21). . China La colecciónchina fue compuestadurante el período Han, este es, entre 206 a. de C. y 221 d. de C. Pareceestar basadaen una colecciónanterior que ardió en el tiempo del emperadorCh'in Shih Huang (221-206a. de C.). En el capítufo I se encuentranreglaspara el cálculo del área del rectángulo, triángulos\trapecios,círculos,segmentoscircularesy sectorescircula,' res. Las fórmula{ para rectángulos,triángulos y trapeciosson todas correctas. Para el sector\circular(problema33),la regla dice:multiplicar el diámetro por el arco y dividir por cuatro. Esta regla es correcta,pero indica que el autor del problenfa ignoraba la relación entre el arco, el radio y el área del círculo o del sectórcircular:
En los casosde: Fang pao lao.' Bloque rectangular. Fang t'ing: Pirámidetruncadacon basecuadrada. Fang chui: Pirámide con basecuadrada. Ch'ien tu: Cuña (prisma triangular). Yangma: Pirámide con basecuadrada,en la que uno de sus vérticeses perpendicularal plano de la base da relacionescorrectaspara calcular el volumen.En particularpara el volumende la pirámidetruncada,
v : ! @ ' + ab +
b2)h
donde a es el lado del cuadrado de arriba, ó el lado del cuadrado de la base y h la altura,
-t :/ (l) ,\rea rudio'arco. \--,/ ¿ La primera prueba conocidade estarelaciónsedebea Arquímedesen su .Si la relación(1) se aplica a todo el círculo,se obtiene: (\
Lrea:
(3) Área :
Figuraó,1
1
En cuanto a las unidades de medida podemos citar:
1
-
I radio'circunferenciao equivalentemente. ¿ , diámetro'circunferencia.
4
El texto presentalas dos fórmulas (2) V (3) y también otra tercera (4) Área : ; diámetro'diámetroy una cuarta. 4
Para la longitud, el ch'ih equivalente a un pequeño pie de 23 cm. Para el área, el pu de aprox. I ll3 m; la unidad principal de área es el pu cuadrado, pero se solía designar por el mismo nombre. Para el volumen, la más frecuente, era el ch'ih cúbico, pero también se le denominaba ch'ih. Existía un múltiplo de esta unidad, el mon, equivalente a 240 ch'ih.
1
(fl Area : ] circunferencia'circunferencia. t¿ Si comparamos(4) y (5) con (3),vemosque la circunferenciade un círculo se iguala a 3 vecesel diámetro. Ésta es la misma relación adoptada en los textosbabilonios. Para el área del segmentocircular proporciona'una fórmula inexacta (véasevan der Waerden(1983),págs.39 y a0). capítulos>,los primeros sieteproblemas En el capítulo 5 de los <
c India El Suluasutra (aprox. anterior al siglo u a. de C.) proporciona reglas para la construcción de cuadrados y rectángulos, relaciones entre la diagonal y el lado de un cuadrado y equivalencias entre el rectángulo, el cuadrado y el círculo. Para esto trabajan con una aproximación de raiz de 2 exacta hasta la quinta décima. Este mismo valor es el que utilizan para resolver, aproximadamente, el problema inverso de la cuadratura del círculo. Algunos de estos problemas vienen provocados por la ubicación y forma de los altares para los sacrificios.
157
en el 476 d. de C., en Posteriormente, Aryabhata,nacidoprobablemente (escritoen verso),utiliza para pi el valor su tratado astronómico-matemático 3.177 I 1.250( : 3,1416). En el siglo vtt, Brahmagupta,y probablementepor influencia griega, trabaja propiedadesde los cuadriláterosinscriptibles;en particular indica que si S es el área de un cuadrilátero inscriptible de lados a, b, c, d y semiperímetrop
,s-
(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
Unidades de medidq
r
En el Sulvd aparececomo unidad de medidade longitud el purusha, la altura de un\hombrecon los brazosalzados.La mismapalabrase usaba para el cuadrado,esto es, al igual que en los chino, se utilizal la misma palabra para designarla unidad de medida de longitud y
Ya en el siglo v a. de C. habían surgido los hoy llamados <>con que a vecesse le designa.Pero el nombre de < mesolabio>r (véaseRey Pastor(1984),pág. 55). Para encontrarbibliografia dondesedetalla el desarrollo,a lo largo de la
r58
historia,de estosproblemasse puedeconsultarCollette (1985),págs.332 333. Son múltiples y variadaslas aportacionesde los matemáticosgriegosr los conceptosde área y volumen. Demócrito, estableciócorrectamentel¿ fórmula del volumen de un cono o de una pirámide. Para alcanzar su conclusiones, consideróestossólidoscomo si estuvieranformadospor innu merablescapasparalelas. Podriamos considerareste planteamientocomo la infancia del cálculc infinitesimal,ya que prefigurala labor de Arquímedes, y siglosmás tarde,la de Cavalieriy Newton. Eudoxode Cnido establece el denominadométodode exahusción, méto do griego equivalenteal método integral,con el que se podía abordar, entre otros, el problema de calcular el área de figurasplanas no poligonales.Con anterioridad ya habia surgido la idea de inscribir y circunscribir figuras y procedera multiplicarel númerode lados,obteniéndose rectilíneas mejore aproximacionesde las curvilíneas.SegúnArquímedes,fue Eudoxo quien enunció el conocido hoy como axioma de Arquimedes,que sirve de base para el método de exhausción.Dicho axioma afirma que si dos cantidadesde magnitud tienen razón (es decir, son del mismo tipo y ninguna es nula) entoncessepuedeencontrarun múltiplo de una de ellasqueexcedaala oÍa. A partir de este axioma se puede demostrar,por reducción al absurdo, la siguienteproposiciónque fundamentael método de exhausción:
>
Esta proposiciónes equivalentea la propiedadque afirma que si m es una cantidad de magnitud dada,E es otra cantidad de magnitud arbitraria, dada también, y r es un número tal que ll2 < r < 1, entoncespodemos encontrar un natural N tal que m(t_r)n
i n)N,
esdecir,
)\_tt_,X.:0
Los griegosusaronestapropiedadpara demostrarteoremasrelacionado con áreasy volúmenesde figuras curvilíneas,y así Arquímedesatribuye a Eudoxo la primera demostraciónde que el volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de la misma base y altura. Y es muy probable que se deban a Eudoxo y no a Hipócrates las demostra cioneseuclídeasque hacenreferenciaa áreasde círculosy volúmenesde esferas.
159
Euclides,en sus Elementos(concretamenteen el segundode los tres últimos libros de los Elementos),aplica el método de exahusciónen cuatro CASOS:
lidad entre los círculosv los cuadradosconstruidossobre diámetrosrespectivos. Proporcionalidadentreesferasy cubosconstruidossobreesosdiámetros. - Equivalenciaentre la pirámide y la terceraparte del prisma de igual base. - Esa misma equivalenciaentre cilindro y cono. En <> de Euclidesque contienenla parte de la matemática gnegacompatiblecon el sistemaeuclídeo,existenimportantesomisionesen geometríade la medida, por ejemplo,no aparecenada relacionadocon la duplicación del cubo o la cuadraturadel círculo. Arquímedesde Siracusaproporcionademostraciones del áreade la esfera, del segmentoesférico,árealaterul del cono, del cilindro, alguna de ellnp de tal sencillezque sehan incorporado a la geometríaelemental.Utiliza una aproximacióncómoda para pi. Muchos de los resultadoslogrados por Arquímedesrelacionadoscon el tema que nos ocupa,se debena la utilización del , Hacela observaciónde que las abejasalmacenanmiel en prismashexagonalesy no con basecuadradao triangular;dg.entretodosellos,el hexagonales el que más miel puede almacenar y a partir de este hecho investiga y desarrollala siguienteidea: de entre todas las figuras planas equiláterasy equiángulasde idéntico perímetro,la que tiene un número mayor de ángulos es siempremayor, y la mayor de todas es el círculo que tiene su mismo perímetro. Las unidadesde medidautilizadaspor los griegosvariabande una ciudad a otta, pero podemoscitar: 160
Unidadesde longitud
El pie pous que vanaba,segúnla región de 27 a 35 cm. 4 daktyloi (anchuradel dedo) : I palqste(palmo). 3 palastai : 1 spithame(espacioentre el dedo pulgar y el meñique). 4palastai:lpie. I ll2 pie : I cubit. 4cubits: torguia. l0 orguiai : I amma(cuerda). l0ammata:lstadion. Alternativamente, 10 pies : I akaina,l0 akainai : I plethron,6plethra : I sfadion. Unidadesde órea 10.000pies cuadrados : medida lineal de 100 pies).
1 plethron (también el plethron puede ser la
Unidadesde capacidad También variaban con el lugar, pero las más corrienteseran: Para medir líquidos 6 kyathoi, cada uno de 0,04 ó 0,045| : I kotyle,O,246 0,27 l. 2 kotylai : I xestes,O,48ó 0,54 l. 6 xestqi : I khous,2,886 3,24l. 12 khoes : I metretes,34,56 ó 38,88l. Para medir áridos: 6kyathoi: tkotyle. 4 kotylai : I khoinix,0,96ó 1,08l. 8 khoinikes : I hekteus,7,68 ó 8,64l. 6 hekteis: I medimnos, 46,08ó 51,841. . Roma
La civilización romana poco aporta al desarrollo de la matemáticaen general.En las enciclopediasromanas,ademásde las reglasexactaspara la determinacióndel área del cuadrado,del rectánguloy del triángulo rectángulo, se encuentra una fórmula aproximada para el cálculo del área del triángulo equilátero,que supone tomar para raíz de tres el valor, bastante aproximado,de26115;otra para los cuadriláterosno rectángulosque no es sino la antigua fórmula egipciaque adopta como áreael producto de las dos semisumasde los lados opuestos;y una para el área del círculo, tomando para pi el valor de Arquímedes2217.
161
Unidades de medida
cálculo integral, por las que vamos a comenzar,podrían ser tema para escribirtodo un libro. BonaventuraCavalieri,discípulode Galileo, publicó en 1635su obra > Y para el volumen:>. Como puede apreciarse,en este método no hay ninguna aproximación continua,ni tampocosedesprecianingún tipo de términos.Una justificación de esteprincipio puededarseconsiderandolos cuerposformadospor delgadas láminas;si dos cuerpostienen el mismo número de láminas y cada una de uno de los cuerposcoincide con la otra del otro, los cuerpostienen el por ejemplo,en dos mazosde mismo volumen (igual para el área),Piénsese, cartas iguales,uno colocado recto y el otro deformado. Podría objetarseque el cuerpo realmenteseríaescalonadoo preguntarse por lo que ocume entre una lámina y la siguiente.Su demostraciónse fundamentaen que para calcular el área de una figura .Fcurvilíneaprocedemos mediante aproximacionespoligonalespor excesoA(F) y por defecto a(F). Si dadasdos figuras,Fy G se demuestraque para cualquieraproximación
Tampoco existeuna unidad total en cuanto a equivalencias; dependíade Unidadesde longitud 4 digitus (anchurade un dedo) : I palmo. 4 palmos : I pie, aprox. 29,57cm. 5 piespedes : I passus. LOO0passus: I milla romana. Unidadesde órea Para medir terrenosla unidad más usual era el iugerum,además14.400 pies cuadradospedesquadrati : I actus quadratus,aprox. 0)26ha. 2 actusquadrati : I iugerum,aprox. 0,252lta. 2 iugera : t heredium,apfox.0,504 ha. lN heredia : I centuria,aprox. 50,4 ha. Medidas de capacidad Para líquidos: 4 cochlearia(cucharadallena) : I cyathus,aprox.0,0455l. 3 cyathi : I quartanas,aprox. 0,137l. 2 quartarii : I hemina,aprox. 0,273l. 2 heminae: I sextarius,aprox. 0,546l. 6 sextarii : I congius,aprox. 3,275L 8 congii : I amphora, aprox. 26,2 l. 20 amphorae: I culleus,aprox. 524 l. Para áridos: 4 cochlearia: I cyathus. 3cyathi:lquartar ius. 2quartarii: I hemina. 2heminae:lsextarius. 16 sextarii : I modius,aprox. 8,736l.
A(F)>a(G)
y A(G)>a(F)
entoncesambas figuras tienen la misma área. Esto es lo que se demuestra para cadauna de las en las que se descomponenlas figuras. Esteprincipio puedeaplicarsepara calcularel volumende una semiesfer por comparacióncon el volumen comprendidoentre un cilindro y un cono de igual radio que la esferay con altura igual al radio, o el volumen de la intersecciónde dos cilindros perpendiculares,o el de un toro, o el área de algunascurvascomo la cicloide.Las dificultadespara su aplicaciónproceden siemprede la búsquedadel cuerpo o figura aproximadacon la que realizar las comparaciones. Además de B. Cavalieri son múltiples los matemáticosque realizaron aportacionesal desarrollodel cálculo integral.Entre otros podemosmencio-
6.2.3. Evoluciónhastanuestrosdfas En esteapartado vamos a dar unas ligeraspinceladasde la evoluciónde la medidadel áreay del volumenhastanuestrosdías,no esnuestraintención ser exahustivosen este recorrido, pues aspectoscomo las apórtacionesal t62
163 h
r\
nar a Fermat, que desarrolló un procedimiento para determinar el área encerradabajo la curva J, : x- (con m racional);consistíaen subdividir el intervalo [0, a] en una cantidad inlinita de subintervalosde abcisasa, aE, aEz,a83,...,dohdeE esun númeromenorque 1. De estaforma,aproximaba fl áred,bajo la curva por medio de rectánguloscircunscritos. { Barrow reconocióel carácterinverso de los problemasrelativos a cua\draturas y tangentes,aunquehizo poco uso de esta propiedad. \ Son grandeslas aportacionesde los analistasque desarrollaronlos conc\ptos relacionadoscon las funciones,entre otros Dirichlet, Gauss...,y un lar\o etcétera. L\efinición de infegral definida sobreun intervalo que se sueleutilizar actualméqte,en términos de sumassuperiorese inferiores,se conocecomo a 4, (caen en el intervalo Ay, al que pertenecenq), y considerabalas sumas
parte de la distanciadel Ecuadoral Polo, unidadg/m) y la diezmillonésima y por ftnalmente, se adoptó estaúltima. Legendre otros; medida La Comisióncasifinalizósustrabajosen 1791,pero seretrasósu puesta de su composiciónconcluyóen 1799 en vigor,y trasliversas modificaciones A partir de esemomento,la adopcióndel SistemaMétrico fue ampliándosecada vez a máspaísesdel mundo civilizado.Concretamenteen España se introdujo, por ley, el 19 de julio de 1849;Gran Bretañalo ha adoptado hacepoco. Sin embargo,es bastantefrecuenteseguirutilizando unidadesde medida propias del país o región particular. Aunquesu introducciónen nuestropaísfue casiinmediata,tardó bastante en implantarseen la vida cotidiana.Ello se debea que el sistemadecimal sólo es divisible una vez por dos, teniendoque recurrir a decimalespara expresarfraccionestan usuales como ll4 o ll8; y a que la agrupación cuando se dominan los fundamentosde la multidecimalsólo es < plicación y división por diez,conocimientosde los que aún a principios del siglo xx una gran parte de la población mundial carecía. Destacamostambién el hecho de que a pesar de existir unidadesde volumen y unidades de capacidad,en la práctica, y cada vez en mayor medianteunidades medida,se sueledesignarla capacidadde los recipientes propias de volumen;es decir,las unidadesde volumen parecenestar desplazando a las de capacidad.
S, : 1¡m(E¡) y haciendotender a cero Ay,. Esta definición se basa en la extensiónde la medida de los conceptos clásicosde longitud, área,volumen...,a los conjuntos. Para terminar, realizamosun comentario sobre unidadesde medida.En nuestrosdías,sereducea hablarde la pdopcióndel S.M.D.En 1790,Talleyraud propuso la reforma del sistemade pesosy medidas;el problema fue encargadopor la Francia revolucionaria a la Académiedes Sciences,que formó un Comité, en el que aparecianmatemáticostan ilustres como Lagrange o Condorcet, para elaborar un proyecto. Aunque había defensores del sistemaduodecimal,el comité acordó adoptar un sistemadecimal.Lagrangey otros matemáticosapoyaron decididamentea los decimalistaspues el argumento de la divisibilidad esgrimido por los duodecimalistasno les convenciódemasiado. El comité consideródos posibles¿lternativasde unidadesde longitud para .el nuevo sistema,la longitud del péndulo que bate segundos(con 164
165
Apéndice: Problemascuriosos
La resoluciónde problemases una de las actividadesmás propiasde la inteligenciahumana, donde se ponen de manifiestola mayor parte de las del individuo,no sólo su capacidadde recordardatos,sino el capacidades y diferencias,etc. A continuación relacionarhechos,el encontrarsemejanzas puedamos una colecciónde situacionesque trabajadasconvenientemente den suponerauténticosretosdonde se ponganen juego nuestrascapacidades,así como nuestrasconcepcionesdel áreay del volumen.Esperamosque algunasde ellas motiven al lector lo suficientecomo para intentar acometer con interéssu resolución. . Supongamosque se dispone de suficientespentominós coqgruentes. Probar que si pavimentanun rectángulo,entoncestambiénlavimenEsterectánguloa tan una reproducciónde ellosmismos.(Sugerencia: xá puedeusarsepara cubrir un cuadradoabxab.) . Con piezas2 x 1, encontrardistintos modos de pavimentarcaminoso vallasde dimensión2xn. (Sugerencia: Comenzzrpof n:1,2, -.) . Con cuadradosblancosy negros,pavimentaruna carreterade lxn con la condiciónde que dos baldosasnegrasno esténal lado la una de la otra. Seap, el número de distintos modelos.Encontrarpr pz, py ... . Es posible pavimentarla siguientefigura formada por 40 # con rectángulosformadospor dos # adosadosasi # #
##### ####### ####### ####### ####### ####### 167
Una ideaútil espintarla figuracomoun damero. Ídemcon la ligura ####### ######## ######## ######## ######## ######## ######## #######
Supongamos que la cereza y el hueso tengan la misma forma cslólicrr ¿Puedeusted calcular cuántas veceses mayor el volumen de la plrrlc jugosa que la del hueso? o Muestra cómo se puede cortar la ligura I en dos partes, de manctrt que, al volver a reunirlas, se pueda formar cualquiera de las firguras /1, C, E, FyG .
. Divide las siguientesregiones en cuatro partescongruentes.
Figura P.l
. Copia y recorta las siguientes piezas y forma con ellas una T, ¡ Construir con 8 cerillas la figura de área máxima.. Un ladrillo, de los usadosen la construcción,pesa 4 kg. ¿Cuántopesaráun ladrillo de juguete hecho del mismo material y cuyas dimensiones seancuatro vecesmenores? e Hay a la ventados sandíasde Figura P.2 tamañodiferente.Una de ellas esla cuarta parte más anchaque la otra y cuestavezy mediamás cara. ¿Cuálde las dos es más ventajosocomprar? ¡ Tenemosdos cacerolasde cobre de igual forma con las paredesde idéntico espesor.La capacidadde la primera es 8 vecesmayor que la segunda.¿Cuántasvecesserámás pesadala primera? c La parte carnosay el huesode una cetezason de la misma anchura. 168
Figura P.3
o A cuatro cubosse les han cortadoalgunasesquinas.Sólo quedandos cubos iguales,¿cuálesson?
Figura P.4
. Imagineseque tieneocho cubosde maderade I cm de arista;expliqu cómo se podrían pintar de manera que puedan reunirsepara format otro cubo de 2 cm de arista,todo él de color rojo o todo él de colo azul.
óe uruiVIRS|DAD D¡STRl |¡,1
4hIC'5COJOSTDECAI t,)A
.:'il UvtADt brBLtOI tLr
Considere ahora el problema análogo para 27 cubos de I cm. ¿Podríacolorearlosde maneraque puedanformar otro cubo de 3 cm de aristatodo rojo, o todo azul o todo amarillo? . Divide cada una de las figuras siguientesen dos partesiguales.
o ¿Cómo puede descomponerseun triángulo equilátero en cuatro partes áe modó que éstas puedan reordenarsepara formar un cuadrado? B
A
n Figura P.6
o ¿Cuántoscubosdiferentesse puedenobtenerpintando cuboscon cuade distintocolor y cadacarade iro colores,pintandocarasadyacentes un solo color? o ¿Cómopuededividirseuna cruz griega,mediantedoscortesrectilíneos partesde maneraque con ellas se puedaformar un cuadraén "uutio do? Al igual que en el easoanterior realizalas siguientestransformaciones: - Una ctuz griegaen rombo. - Una cruz griegaen dos crucesgriegas. -Un cuadradoen dos crucesgriegas. - Un triángulo rectánguloisóscelesen cÍvz griega'
Figura P.5
. ¿Quélongitud debe tener como mínimo una tira de papel de 5 cm dc sea posible formar c'lt ánchura para que, plegadaconvenientemente, d"5 cm de arista?No puederecortarseningúntrozo dc l¡t ella un tira. "ubo un cuadradoformadopor 13x 13 cuadraditos|tr o ¿cómo descomponer de modo que su númerosealo'máspc(¡rr'llr óuadradosmáspequeños, posible y sin partir ningún cuadradito? rlc l¡trpt rectangularcs . Sedeseapavimentarvna teffzzacon baldosineS t'll tl¡! que conctlrt¡rlr quiere No se tud iguaial doblede la anchura. ttlrtll r¡'r rlc formas distintas las Hallar puntó cuatro ángulosrectos. indicado. modelo del todo el plano con baldosas ea lr¡tl,lr,¡rt¡ ¿Decuántasmaneraspodráncolocarse6,8, l0
t7l
t70
---¡d
r ¿Esposible que una frgura limitada por un contorno que seextiendehastael infinito, es decir, más lejos que cualquier distancia asignada,tenga, sin embargo,una superficiefinita, por ejemplo: un metro cuadrado? Dibújala. También existencurvas de longitud infinita que pueden encerrar un área finita, tal es el caso de algunasfractales.
¡ Construir diversasfiguras con el tangram. . Recubrircon los docepentominóslas siguientes figuras.
Pin gü ino
Figura P.8
. Consideremosla superfrciede revoluciónengendradapor la semirama de la hipérbolade ecuación! : Ilx cuyospuntosestánsituadosa la derechadel punto (1, 1).El cuerpoengendradotienesuperficielinita y volumenlinito. ¿Esposiblellenarestede pintura?¿Y pintarlo?
Elefante
Figura P.9 Cerdo
Hombre
Perro Figura P.7
172
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I I
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