6.40
7.52 4
Fs2 = 122.40 ∗
VERIFICANDO
Cálculo del Pn:
. − .
= 24.79
Fs1 = 85.68 Cc = 8.092 * 7.524
= 60.88
Pn= s2 + - s1 P = 122.40 ∗ . − - 85.68 + 8.092 *7.524 = 0 ton
→
Valor Nominal
7.524
6.40
Cálculo del Mn:
M = 85.68 * (0.20 - 0.06) + 60.884 * (0.20 - .) + 24.79 * (0.20 – 0.06)
M = 24.70 ton.m
PAR ORDENADO 5 (Mn ; Pn) → (24.70 ; 0)
Asumimos en Tracción para que ningún elemento de acero ni de concreto trabaje a compresión; solo el acero a tracción.
= ∗
= 40.8 ∗ 4200 = 171.36
= 0 .
PAR ORDENADO 6 (Mn ; Pn) → (0 ; -
MMM
M+
Punto 6: Tracción pura
Diagrama de iteraccion:
Se qu quie ierr e co con n st stru ruir ir el di dia agr gra am a de in inte terr acc cció ión n pa parr a la co colu lumn mna a de co conc ncrr eto ar ma mado do de 0.40*0.40m a co cont ntin inua uaci ción ón.. Se u sa sara ra co como mo ce cen n tr tro o de re redu ducc cció ión n el ce cen n tr tro o id ide e d e l a se secc ccii ón .
Análisis con excentricidad excentricidad en “y”:
Punto 1: Compresión Pura Fórmula a usar:
= 0.85 ∗ ´ ∗ + ∗
= 0.85 ∗ 280 ∗ 40 ∗ 40 40.80 + 40.80 ∗ 4200 = 542 .
Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es: á = ∅ ∗ 0.8 ∗ ∅ = 0.70 → . á = 0.8 ∗ 542 = 433.6 á = 0.7 ∗ 0.8 ∗ 542 = 303.5
M = 0 . ∴ 1 (0,542)
Es la deformación por agotamiento del concreto.
Punto 2: Fisuración incipiente. Cálculo de “c”: =
.
.−∗
*34=34 c
Cálculo de “a”: a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 34 = 28.90 cm
Cálculo del Pn: (34 6)
=
0.003 34
= 0.0025 >
= 2 + = 85.68 + 275.13 = 360.81 P = 360.81
Cálculo del Mn:
= ∗
= 4200 /2
2 = 2 ∗ 2
2 = 20.40 ∗ 4200
Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.
2 = 85.68 .
M = 85.68
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 28.90 ∗ 40 = 275.13
∗ 0.20 0.06 + 275.13 ∗ (0.20
.
)
M = 27.30 ∴ 2 (27.30,360.81) =
ton
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
Punto 3: Falla balanceada. Cálculo de “c”:
7 1
0.003
=
34
= 20 0.003 + 0.0021
Cálculo de “a”: a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 20 = 17 cm
(20 6)
=
0.003
= 0.0021 =
20
= 2 + 1 = 85.68 + 161.84 85.68 = 161.84
= ∗
= 4200 /2
2 = 2 ∗ 2
2 = 20.40 ∗ 4200 = +85.68
Pb= 161.84 Cálculo del Mb:
Compresión Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.
= 0.0021 =
Mb= 85.68 ∗ 0.20 0.06 Mb= 42.60
= 4200 /2 1 = 1 ∗ 1
Cálculo del Pb:
1 = 20.40 ∗ 4200 = 85.68
Tracción
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 17 ∗ 40 = 161.84
∗ 2 + 161.84 ∗ 0.20
.
= 42.60
∴ 3 (42.60,161.84) =
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
ton∴ > → ∅ = 0.70
Punto 4: Cambio del valor de “c” por tanteos: 11.40
cm. Cálculo de “a”:
a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 11.40 = 9.69cm
=
. .
(22.60)
∗ ′ ∗ = =
0.003 11.40
(0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton = 0.0059 = 2.83
Pn= 2 + 1 = 57.12 + 92.25 85.68 = 63.69
= ∗
= 4200 /2
2 = 2 ∗ 2
1 = 20.40 ∗ 4200 = 85.68
0.003
= (11.40 6) 11.40
Cálculo del Pn:
Tracción
= 0.0014 <
= ∗
= 2 ∗ 10 ∗ 0.0014 = 2800 /2
2 = 2 ∗ 2
2 = 20.40 ∗ 2800 = +57.12
Compresión
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 9.69 ∗ 40 = 92.25
Pn = 63.69 Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección. Mn= 85.68 ∗
0.20 0.06 + 92.25 ∗ 0.20
.
+57.12 ∗ 0.20 0.06 = 33.97.
Mb= 33.97 ∴ 4 (33.97,63.69) ∅ = 0.70
Punto 5: Punto cercano a la flexión pura. “c” por tanteos: 7.56
cm. Cálculo de “a”:
a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 7.56 = 6.43cm
0.003 = (32.44 6) 7.56
Cálculo del Pn:
= 0.010 = 5
Pn= 2 + 1 = 25.30 + 61.21 85.68 = 0.83 ≈ 0
= ∗
= 4200 /2
1 = 1 ∗ 1
1 = 20.40 ∗ 4200 = 85.68
(7.56 6)
=
Tracción
0.003 7.56
= 0.00062 <
= ∗
= 2 ∗ 10 ∗ 0.00062 = 1240 /2
2 = 2 ∗ 2
2 = 20.40 ∗ 1240 = +25.30
Compresión
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 6.43 ∗ 40 = 61.21
Pn = 0 Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección. Mn= 85.68 ∗
0.20 0.06 + 61.21 ∗ 0.20
.
+25.30 ∗ 0.20 0.06 = 25.81 .
Mb= 25.81 ∴ 5 (25.81,0) ∅ = 0.90
Punto 6: Tracción pura. Fórmula a usar: = ∗ = 40.80 ∗ 4200=171.36
ton
∴ 6 (0,171.36)
M = 0 . ∅ = 0.90
600 542 500 400
379.4
Pn
Mn
379.4 252.57 113.29 44.58 0 -154.22
0 19.11 29.82 23.78 23.23 0
360.81
252.567 200 161.84 113.288
100
63.69
44.583 0 0
5
-100
-300
Mn 0 27.3 42.6 33.97 25.81 0
303.52
300
-200
Pn 542 360.81 161.84 63.69 0 -171.36
-154.224 -171.36
10
15
20
0 25
0 30
35
40
45
Análisis con excentricidad en “x”:
Análisis con excentricidad en “x”: M
COMPRESIÓN
TRACCIÓN COMPRESIÓN 0.06 0.09 0.10
M
0.09 0.06 TRACCIÓN
C 0.06 0.09 0.10
M
0.09 0.06
T f´c=280 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2 Es=2*106 kg/cm2
As4= 2*5.1=10.2 cm2 As3= 2*5.1=10.2 cm2 As2= 2*5.1=10.2 cm2 As1= 2*5.1=10.2 cm2 Ast = 40.8 cm2
6 cm 15 cm 25 cm 34 cm
Punto 1: Compresión Pura Fórmula a usar: = . ∗ ´ ∗ + ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 40 ∗ 40 40.80 + 40.80 ∗ 4200 = 542 .
Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es: á = ∅ ∗ 0.8 ∗ á = 0.8 ∗ 542 = 433.6 á = 0.7 ∗ 0.8 ∗ 542 = 303.5
M = 0 .
∴ (, )
Punto 2: El eje neutro coincide con el As 1 4 3 2 1
c= 0.34m
“c”: 34 cm a= 0.289m
Cálculo de a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 34 = 28.9 cm “a”:
= 0.003*9/34= 0.00079 ˂
= 0.003*28/34= 0.00247 ˃
= ∗ 2 ∗ 106 = 1588 /2
= 4200 /2
2 = 2 ∗ 10.2 = 16.2 ton
4 = 4 ∗ 10.2 = 42.8 ton
= 0.003*19/34= 0.00168 ˂ = ∗ 2 ∗ 106 = 3353 /2 3 = 3 ∗ 10.2 = 34.2 ton
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 40 ∗ (0.85 ∗ 34) = 275
4 3 2 1
c= 0.34m
a= 0.289m
0.2m
Fs4 Cc Fs3 Fs2
Cálculo del Pn: = 2 + 3 + 4 + = 16.8 + 33.6 + 42.8 + 275 = 368.2
Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro . = 16.2 ∗ 0.20 0.25 + 34.2 ∗ 0.2 0.15 + 42.8 ∗ 0.2 0.06 + 275 ∗ (0.20 ) Mgeométrico.
M = 22.2 ∴ (. , . )
=
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
ton ∴ > → ∅ = .
Punto 3: El eje neutro coincide con el As 2 4 3 2 1
c= 0.25m
a
“c”: 25 cm Cálculo de 1 ∗ = 0.85 ∗ 25 = 21.25 cm a= “a”:
=0.003*34/25 – 0.003= .00108 ˂ = 0.003*19/25= 0.00228 ˃ = ∗ 2 ∗ 106 = 2160 /2 1 = 1 ∗ 10.2 = 22 ton (tracción) = 0.003*10/25= 0.0012 ˂ = ∗ 2 ∗ 106 = 2400 /2 3 = 3 ∗ 10.2 = 24.5 ton (compresión)
= 4200 /2 4 = 4 ∗ 10.2 = 42.8 ton
(compresión)
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 40 ∗ (0.85 ∗ 25) = 202
4 3 2 1
c= 0.25m
a
0.2m
Fs4 Cc Fs3 Fs1
Cálculo del Pn: = 1 + 3 + 4 + = 22 + 24.5 + 42.8 + 202 = 247.3
Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico. ) M = 22 ∗ 0.20 0.06 + 24.5 ∗ 0.2 0.15 + 42.8 ∗ 0.2 0.06 + 202 ∗ (0.20 . M = 29.2 ∴ (. , . )
=
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
ton ∴ > → ∅ = .
Punto 4: El eje neutro coincide con el As 3 4 3 2 1
=0.003*34/15 –
a
c= 0.15m
“c”: 15 cm Cálculo de
1 ∗ = 0.85 ∗ 15 15 = 12.75 cm a= “a”:
0.003= .0038 ˃
= 4200/2 1 = 1 ∗ 10. 10.2 2 = 42.8 42.8 to ton n (tracción) = 0.003*25/15= 0.002 ˂ = ∗ 2 ∗ 106 = 4000 /2 2 2= 2 2 ∗ 10 10.2 .2 = 40 40.8 .8 to ton n (tracción)
= 0.003*9/15= 0.0018 ˂
= ∗ 2 ∗ 106 = 3600 /2 4 4 = 4 4 ∗ 10 10.2 .2 = 36. 36.7 7 to ton n
(compresión)
= 0.8 0.85 ∗ ´ ´ ∗ ∗ = 0.85 0.85 ∗ 28 280 0 ∗ 40 ∗ (0 (0.8 .85 5 ∗ 15 15)) = 121.4
4 3 2 1
c= 0.15m
a
0.2m
Fs4Cc Fs2 Fs1
Cálculo del Pn: = 1 + 2 + 4 + = 42 42.8 .8 40.8 40.8 + 36. 36.7 7 + 121 121.4 .4 = 74.8 74.8
Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro = 42 42.8 .8 ∗ 0. 0.20 20 0. 0.06 06 + 40 40.8 .8 ∗ 0. 0.2 2 0. 0.15 15 + 36 36.7 .7 ∗ 0. 0.2 2 0. 0.06 06 + Mgeométrico. . 121.4 1.4 ∗ (0.20 (0.20 ) + 12 M = 29.7 =
∴ (. , . )
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
ton ∴ > → ∅ = .
Punto 5: Falla balanceada. 0.003 4 3 2 1
c= 0.2m
7 1
=
=
=
34
= 20 0.003 0.0 03 + 0.0 0.0021 021
Cálculo de “a”:
= 4200/2
1 = 1 ∗ 10. 10.2 2 = 42.8 42.8 to ton n (tr (tracci acción) ón)
Cálculo de “c”: 0.003
0.0021
a
= 4200/2
4 = 42.8 ton ton (com (compresi presión) ón) = 0.0021*5/14= 0.00075 ˂ = ∗ 2 ∗ 106 = 1500 /2 2 2= 2 2 ∗ 10 10.2 .2 = 15 15.3 .3 to ton n (tracción)
0.85 ∗ 20 = 17 17 cm a= 1 ∗ = 0.85
= 0.0021*5/14= 0.00075˂ = ∗ 2 ∗ 106 = 1500 /2 3 3 = 3 3 ∗ 10 10.2 .2 = 15. 15.3 3 to ton n
(compresión)
= 0.8 0.85 ∗ ´ ´ ∗ ∗ = 0.85 0.85 ∗ 28 280 0 ∗ 40 ∗ (0 (0.8 .85 5 ∗ 20 20)) = 161.8
4 3 2 1
0.00 3 c= 0.2m
a
7 1
0.2m
Fs4Cc Fs3 Fs2 Fs1
0.002 1
Cálculo del Pn: = 1 + 2 + 3 + 4 + = 42.8 15.3 + 15.3 + 42.8 + 161.8 = 161.8
Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro . = 42.8 ∗ 0.20 0.06 ∗ 2 + 15.3 ∗ 0.2 0.15 ∗ 2 + 161.8 ∗ (0.20 ) Mgeométrico. M = 32.1 =
∴ (. , . )
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
ton ∴ > → ∅ = .
Punto 6: Cambio del valor de “c” por tanteos: 14.40
4 3 2 1
=
c= 0.14.4m
=
= 4200/2 = 4200/2
2 = 42.8 ton (tracción)
a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 14.40 = 12.24cm
1 = 1 ∗ 10.2 = 42.8 ton (tracción)
a
cm. Cálculo de “c”: Cálculo de “a”:
= 0.003*15/14.4-0.003= 0.000125 ˂
= ∗ 2 ∗ 106 = 250 /2 3 = 3 ∗ 10.2 = 2.55 ton (tracción)
= 0.003*8.4/14.4= 0.00175˂ = ∗ 2 ∗ 106 = 3500 /2 43 = 4 ∗ 10.2 = 35.7 ton
(compresión)
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 40 ∗ (0.85 ∗ 14.4) = 116.5
4
c= 0.144m
3 2 1
a= 0.122
Fs4Cc 0.20m
Fs3 Fs2 Fs1
Cálculo del Pn: = 1 + 2 + 3 + 4 + = 42.8 ∗ 2 2.55 + 35.7 + 116.5 = 64.1
Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico M = 42.8 ∗ 0.20 0.06 + 42.8 ∗ 0.20 0.15 + 2.55 0.2 0.25 + . 35.7 ∗ 0.2 0.06 + 116.5 ∗ (0.20 ) . M = 29.2 =
∴ (. , . )
. .
∗ ′ ∗ =
(0.1/0.7)*280*40*40= 64
ton ∴ > → ∅ = .
Punto 7: Punto cercano a la flexión pura. “c” por tanteos: 10.5
4 3 2 1
=
c= 0.105m
=
= 4200/2 = 4200/2
2 = 42.8 ton (tracción)
a= 1 ∗ = 0.85 ∗ 10.5 = 8.93cm
1 = 1 ∗ 10.2 = 42.8 ton (tracción)
a
cm. Cálculo de “a”:
= 0.003*15/10.5-0.003= 0.000129 ˂
= ∗ 2 ∗ 106 3 = 3 ∗ 10.2 = 26.2ton (tracción)
= 0.003*4.5/10.5= 0.00129˂ = ∗ 2 ∗ 106 43 = 4 ∗ 10.2 = 26.2 ton
(compresión)
= 0.85 ∗ ´ ∗ ∗ = 0.85 ∗ 280 ∗ 40 ∗ (0.85 ∗ 10.5) = 85
4 3 2 1
c= 0.105m
a
0.2m
Fs4Cc Fs3 Fs2 Fs1
Cálculo del Pn: = 1 + 2 + 3 + 4 + = 42.8 ∗ 2 26.2 + 26.2 + 85 = 0.6 = 0
Cálculo del Mn: Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro = 42.8 ∗ 0.20 0.06 + 42.8 ∗ 0.20 0.15 + 26.2 0.2 0.25 + Mgeométrico. 26.2 ∗ 0.2 0.06 + 85 ∗ (0.20
.
)
M = 23.7 ∴ (. , )
∴ ∅ = .
Punto 8: Tracción pura. Fórmula a usar: = ∗ = 40.80 ∗ 4200=171.36
ton
∴ 6 (171.36, 0)
M = 0 . ∅ = 0.90
600 500
.
400
. ∅ 300 200 100 0 0 -100 -200 -300
5
10
15
20
25
30
35
Mn
Pn
0
542
22,15
367,6
29,2
247,3
32,12
161,8
29,71
74,8
29,2
64,05
23,7
0
0
-171
ØM
ØP
0
379,4
15,505
257,32
20,44
173,11
22,484
113,26
20,797
52,36
20,44
44,835
21,33
0
0
-153,9
