EJERCICIOS RESUELTOS: CAMPO ELECTRICO 1. Una esfera de masa m cuelga de un hilo aislante. Todo el sistema se encuentra en un campo campo eléctrico uniforme E dirigido dirigido verticalmente hacia arriba. arriba. Encuentre una expresión expresión para para la relación entre las tensiones en la cuerda, cuando la esfera tiene una carga q negativa y cuando no está cargada.
Solución: Llamemos T 1 a la tensión en la cuerda cuando la esfera no tiene carga, y T 2 cuando la esfera tiene carga negativa. Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la esfera para cada una de estas condiciones. T1
T2
mg
mg
FE = qE
ESFERA SIN CARGA
ESFERA CON CARGA NEGATIVA
T 2 T 1
mg qE
T2
mg
T1
1
qE mg
2. Se coloca una carga -q en el interior de una esfera metálica hueca neutra y conectada a tierra, la esfera es seguidamente desconectada de tierra como se indica en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?
Radio = a
-q
Radio = b
a) b) c) d) e)
Al campo eléctrico en el interior de la esfera hueca para r < a es cero. El campo eléctrico en a < r < b es radial hacia afuera. El campo eléctrico para r > b es radial hacia fuera Si la esfera metálica se conecta a tierra, el campo eléctrico para r > b es nulo. Las alternativas a y c son correctas.
Solución:
a) Falso; la carga – q induce una carga + q en la superficie interior de la esfera ( y una carga – q en la superficie exterior), creando un campo eléctrico que se dirige desde la carga positiva de esta superficie interior a la carga negativa ubicada en el centro. b) Falso; el campo eléctrico en el interior de un conductor cargado electrostáticamente es cero. c) Falso; Si la superficie exterior de la esfera (r = b) se cargó negativamente por inducción, el campo eléctrico estará dirigido desde el infinito hasta la superficie de la esfera.
d) Correcto; Si l a esfera se conecta a ti err a, la car ga elé ctr ica negativa de la superf ici e exteri or migrar áa Ti err a, quedando sin carga esta superficie y en consecuencia no habr ácampo el é ctrico.
3. Una esfera cargada eléctricamente cuelga de un hilo aislante y en presencia de un campo eléctrico uniforme, como se indica en la figura. Si la esfera tiene una masa de 1 g, determine el valor de la carga eléctrica neta de la esfera cuando la cuerda forma un ángulo de 10 grados con la vertical.
Solución: Para la dirección del campo eléctrico indicado en la figura se concluye que el signo de la carga eléctrica suspendida de la cuerda debe ser negativa. Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la esfera. T Cos 10
Fx = 0
T
T Sen 10 = q E 10
(1)
Fy = 0 T Cos 10 = mg
qE
(2)
T Sen 10
Dividiendo la ecuación (1) para la ecuación (2) tenemos.
TSen10
mg
TCos10
tan 10
q
qE mg
qE mg
mgTan10 E
q = - 3,456 x10 -8 C q = - 34,56 nC
4. Una esfera conductora hueca de radio interior a y exterior b posee una carga neta +Q. Unida a un hilo aislante y sin hacer contacto con la esfera se introduce en su cavidad una partícula con carga -q. Encuentre expresiones para la magnitud del campo eléctrico en puntos ubicados a: a) r > b b) a < r < b c) r < a
Solución; Para partículas cargadas eléctricamente, el campo eléctrico en un punto se lo calcula utilizando la expresión:
E
Kq 2
r
Don de q r epresenta el val or de la carga neta que gener a el campo y r la distancia radial entre la carga y el punto. Esta expresión también es válida para puntos ubicados fuera de esferas o cascarones esféricos con carga eléctrica uniformemente distribuida. Para puntos ubi cados a distancias r mayores que b, (r
b).
La carga neta que crea el campo sería la carga neta de la esfera (Q) más la carga de la partícula que se introduce en su interior (-q), esto es: Q neta = Q + (-q) Q neta = Q – q
O tambi é n, l a car ga inducida en l a superficie exteri or de la esfera, ya que é sta carga es la que genera el campo al exteri or de la esfera.
E
K (Q q ) r 2
Para puntos ubi cados dentr o de la esfer a, (a
r
b)
Para puntos ubicados dentro de un conductor cargado electrostáticamente el campo eléctrico es cero. E = 0
Par a pun tos ubi cados dentr o el cascarón esfé rico, (r
a).
Para puntos ubicados dentro del cascarón esférico, dentro de una esfera de radio r, (r < a). La carga neta es la carga contenida por la partícula ubicada en su centro, esto es Qneta = - q
E
Kq r 2
5. Una partícula de 2 g y 20 C de carga eléctrica se lanza horizontalmente hacia una región donde existe un campo eléctrico uniforme de 400 N/C como se indica en la figura. Calcule la distancia máxima horizontal que alcanzará la partícula al llegar al suelo.
Solución:
Al actuar sobre la partícula la fuerza gravitatoria (mg) y la fuerza eléctrica (qE), la aceleración que ella experimentará será: A partir de la II ley de Newton, FR = ma Donde FR es la fuerza resultante actuando sobre la partícula. R = mg +qE F
a
qE mg
a=
m
; apuntando hacia abajo.
20 x10 6 (400) 2 x10 3 (9,8) 2 x10 3 a = 13,8 m/s2
Como la partícula es lanzada horizontalmente, el tiempo que tarda en llegar al suelo es:
t
2h
t
2(1)
a
13,8
t = 0,38 s.
Por lo tanto el al cance hor izontal de la par tícul a será; X = V o t X = 7,6 m.
6. Un triángulo isósceles tiene cargas en sus vértices, como se indica en la figura. Calcul e el valor del campo elé ctr ico en el punto A.
Solución:
Llamemos E 1 al campo producido por la carga de 6 C, E 2 al campo producido por C, y Calculemos ella carga valor dedel-2 campo E 3 al campo producido por la carga (magnitud) creado por cada una de las partículas. de +4 C.
E 1
Kq1 r 12
9 x10 9 (6 x10 6 ) (0,04) 2
= 7
3,375x10 N/C
E 2
Kq 2
E 3
2 2
r
Kq3 2 3
r
9 x10 9 (2 x10 6 ) (0,04)
2
9 x10 9 (4 x10 6 ) (0,04)
2
7
= 1,125 x10 N/C
7
= 2,25 x10 N/c
Determinemos la magnitud del campo en el punto A. Utilizando el teorema de Pitágoras. E2
E3
x
E 2 E 3 3,375 x10 7 N / C
E R ( E 1 ) 2 ( E 2 E 3 ) 2
E R 4,77 x10 7 N / C
E1 ER
y
campo resultante
Observe que los catetos del triángulo que forman los vectores tienen la misma magnitud, en consecuencia el ángulo que forma la resultante con la horizontal es de -45
7. Una gotita de agua tiene un diámetro de 4x10 -6m. Si tiene una carga de 12 electrones en exceso. ¿Cuál es la magnitud y di r ección de u n campo elé ctr ico un iforme que compense exactamente al peso de la gotita?
carga del electrón=1,6x10-19C volumen de la esfera= (4/3) r 3 superficie de la esfera= 4r 2
Solución: Determinemos la masa de la gota de agua. m = V
V
4 3
( r ) 3 3,351 x10 17 m 3
m = 3,351x10
14
kg
Determinemos la carga eléctrica de la gota de agua. q = - 12 e = - 12x1,6x10
19
C
18 q = - 1,92 x10 C Si la gota está cargada negativamente, el campo elé , ctr ico debe estar apuntando hacia abaj o para que la fuerza que ejerza sobre la gota apunte hacia arriba y equilibre su peso
qE = mg E=
E
qE
mg q
3,351 x10 14 (9,8) 1,92 x10 18
E 1,71 x105 N / C mg
E
ctr ico en el 8. ¿Cuál de los siguientes vectores podría representar la di rección del campo elé punto p , producido por las cargas A, B y C?
Solución: Ubiquemos en el punto p el campo eléctrico generado por cada una de las partículas.
L a suma de estos tres vector es apun tar ían en l a dirección del vector I V. 9. Una esfera conductora hueca no posee carga eléctrica neta. Si se introduce en su interior (centro) una partícula con carga +2q como se indica en la figura. El campo eléctrico en el punto p es: a) cero b) c) d) e)
K 2q r 2 K (2q ) r 2 K ( 2q ) ( r R )
R r
+2q
p
2
K ( 2q ) (r R ) 2
Solución: Recordemos que el campo eléctrico para puntos ubicados fuera de esferas con carga eléctrica uniformemente distribuida, es equivalente al campo creado por una partícula, la carga en la esfera se comporta como si estuviese concentrada en su centro. Como la esfera no posee carga neta, ella no contribuye al valor del campo en el punto p, la contribución al campo en el punto p se debe a la carga introducida al interior de la esfera.
E
K ( 2q ) r 2
10. El campo eléctrico de una placa o de una lámina muy grande y cargada eléctricamente es independiente de la distancia entre el punto y la placa. Esta propiedad hace fácil analizar un sistema de varias placas y/o láminas usando superposición. Considere la placa de área infinita mostrada a la izquierda. La placa es de material no-conductor y tiene una carga neta por unidad de área σ, la cual está distribuida uniformemente a través del interior de la placa.
Recordemos ahora como tratar con conductores. Suponga que la placa descrita arriba estuviera ¿qué cambiaría? hecha de METAL en lugar de un material aislante …
a) ¿Cambiaría el campo fuera de la placa (en el punto x)? no, σ se mantiene igual fuera b) ¿Cambiaría el campo dentro de la placa? si, el campo dentro es cero c) Escriba una expression para el campo eléctrico E en el punto x. E = σ/2εo
d) ¿Cambiaría el campo si la placa se moviera lejos a la izquierda? No e) ¿Cambiará el campo si el espesor de la placa se incrementara? No f)
¿Cambiaría el campo si la placa fuera reemplazada por dos placas, cada una transportando carga de densidad σ/2? no
11. Ahora que tenemos todos los ingredientes, analicemos un sistema más complicado. Dos láminas no-conductoras de área infinita se les comunica carga por unidad de área 2 2 σa = -4 C/m y σ b = +1.5 C/m respectivamente. Una tercera placa, hecha de metal, es colocada entre las dos láminas. La carga por unidad de área comunicada a la placa metálica de densidad σm e s 0 (la placa está descargada).
No conductor
Metal
No conductor
(a) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos A, B y C. 2 EA = EB = (-5.5 C/m )/2εo 2 EC = (-2.5 C/ m )/2εo Ambos en la dirección x negativa. (b) Ahora pensemos físicamente sobre la placa metálica. Una de las propiedades de un conductor es que las cargas tienen facilidad de moverse libremente y responderán ante la presencia de un campo eléctrico. Como resultado, cargas superficiales σL y σR se acumularán sobre las superficies izquierda y derecho de la placa conductor. ¿Cuáles son los signos de estas cargas superficiales? σL – positiva
σR - negativa
(c) Ahora utilice la ley de Gauss más su respuesta de la pregunta (a) para calcular la densidad superficial de carga σL y σR inducida sobre la placa metálica. 2 σL = 2.75 C/m 2 σR = -2.75 C/m 2 (d) Finalmente, vamos a añadir carga neta por unidad de área σm = +3 C/m a la placa metálica. ¿Cuáles son los valores de las cargas superficiales inducidas σL y σR ? 2 σL = 4.25 C/m 2 σR = -1.25 C/m
12. Un dipolo eléctrico está formado de dos cargas eléctricas de magnitud Q = 1.20 nC separadas una distancia de 22.0 mm. El dipolo se encuentra dentro de un campo eléctrico externo
E = 1.5 N/C, si el momento de dipolo eléctrico forma un ángulo de 30o con la dirección del campo externo. Determine:
g) El torque que produce el campo E sobre el dipolo. h) El trabajo que debe realizar un agente externo para llevar el dipolo desde su posición de equilibrio hasta un ángulo de 30o respecto al campo E.
El torque sobre un dipolo eléctrico con momento de dipolo p en un campo externo uniforme E es
p E pE sen ( z ) (2 aQ)E sen (22 x10 3 x1.20 x109 )(1.5)(0.5) = 19.8 x 10-12 Nm (entrando al plano de la página)
El trabajo para cambia de posición angular al dipolo eléctrico es
W d
30o
0o
30o
pE sen d pE cos 0 o
W pE cos0 o cos30o W 2a Q E 1.00 0.86 -3
-9
W = 22x10 x 1.2x10 x 1.5 x 0.14 W = 5.544 x 10
-12
J
13. Una barra de longitud L tiene carga positiva Q uniformemente distribuida a lo largo de ella, de densidad lineal λ . Calcule el campo eléctrico en el punto P localizado sobre el eje de la barra a una distancia b medida desde uno de sus extremos de la barra.
Observando la contribución al campo eléctrico, dE en el punto p generado por el diferencial de carga dq, nos podemos dar cuenta de que al mover el diferencial de carga dq, el campo dE de cada contribución no cambia de dirección, sólo cambia en magnitud, en consecuencia la expresión para el diferencial de campo eléctrico dE
kdq r 2
x la podemos integrar de manera ˆ
L directa, ya que la suma algebraica coincide con la suma vectorial.
dE x
k dx r 2
, donde el valor de r lo podemos poner en función de x, la variable que finalmente
vamos a integrar:
dE x
k dx ( L b x) 2
kQdx L ( L b x )2
Si observamos nuestro punto de referencia, para sumar TODAS las contribuciones de cada diferencial de carga de la barra, la variable x se debe integrar desde x = 0 hasta x = L. L
E x
kQdx
L( L b x)
2
0
E x
1 Q 4 0 L b L b 4 0b(L b) 1
Q1
p
14. Determine el campo eléctrico en el punto p debido a una línea de longitud L con carga positiva uniformemente distribuida
Ubiquemos nuestro punto de referencia y tomemos un diferencial de línea con su correspondiente diferencial de carga.
Encontremos la contribución del diferencial de campo d E en el punto p. Aquí nos damos cuenta que no podemos integrar directamente el diferencial de campo dE ya que al mover el diferencial de carga dq a lo largo de la barra observamos que el vector dE
cambia de dirección, en consecuencia la suma algebraica ( dE ) no va a ser igual a la
magnitud de la suma vectorial ( dE ). Por lo tanto tenemos que descomponer la contribución del campo en sus componentes rectangulares, que lo permite este problema:
dE dE dE x dE y . Una vez realizado esto, podemos calcular de manera independiente cada una de las componentes del campo en el punto p, esto es:
E x dEx
y
E y dE y
Observemos si el problema presenta simetría. Esto se hace tomando un diferencial de carga “opuesta” al punto de referencia, y observamos si alguna de las componentes ( dE x ó dE y ) se cancelan al estar en direcciones opuestas.
Sumemos finalmente todas las contribuciones a lo largo de la línea de carga.
dE
kdq 2
r
ˆ r
E E x E y
E x dE x
kdq 2
r
sen 0
dE y
E y dE y
kdq r 2
cos
kdq 2
r
cos
Pongamos r y en función de x
dE y k dx
y
dx
dE y k y
r 3
x2 y 2
3/ 2
Ubiquemos los límites de integración L / 2
¡Elija la variable a integrar!
E y k y
L / 2
dx ( x 2 y 2 ) 3/ 2
Integrales para recordar
( x
dx 2
a ) 2
3
2
x 1 1 2 2 a ( x a2 ) 2
( x L / 2
E y k y
L / 2
xdx 2
a2 )
3
2
1 ( x 2 a 2 )
1
2
dx ( x 2 y 2 ) 3/ 2 L /2
x 1 dE E k y y y 2 2 y 2 ( x y ) L /2 1
2
2k sen o 2 y / 2 y 2 L
2k E y y
L/2
o es el ángulo formado entre la recta que une el punto p con el extremo de la barra y el eje vertical.
15. Encuentre el campo eléctrico sobre el eje x producido por un anillo con carga Q distribuida uniformemente a lo largo del anillo, = Q/2πa.
dE k
dq r
2
dl
k
2
r
Como la contribución del campo dE , producido por el diferencial de carga dq, cambia de dirección al mover el diferencial de carga a lo largo del anillo, nos vemos en la necesidad de descomponer el vector dE , para poder integrar de manera independiente sus componentes, ya que estas mantienen sus direcciones!
E E x E y
E x
k cos 2
r
Por simetría
E y dE sen 0
E P Ex dE cos E x
E x
k dl cos 2
r
k cos 2
r
dl
E x E x
k x r 3
2 a
kQx ( x 2 a 2 )3/2
dl
