Analisis Fourier Las ondas armónicas continuas que continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas más compleas como las que producen los instrumentos musicales. !l análisis de Fourier sur"ió a partir del intento de #ste matemático franc#s por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. $emostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. !sta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas obeciones de los matemáticos más importantes de su #poca como La"ran"e, Laplace, etc.
Descripción A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas compleas representa una tarea formidable. %in embar"o, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un n&mero suficientemente "rande de ondas senoidales que forman una serie armónica. 'oda función f función f (t ) periódica de periodo P periodo P , se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,
donde el periodo P= periodo P=* *π+ω , y a0 a1 ...ai ... y ... y b1 b2 .... bi .... son .... son los denominados coeficientes de Fourier. onocida la función periódica f periódica f (t ), ), calculamos los coeficientes ai y bi del si"uiente modo
Las inte"rales tienen como l-mite inferior P P +* +* y como l-mite superior P superior P +*. +*. !n el pro"rama interactivo, transformamos la función periódica de periodo P , en otra función periódica de periodo * π, mediante un simple cambio de escala en el ee t .
!scribiendo x=ω t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo * π de x, y la función f (t ) convertida en
definida en el intervalo que va de π a /π. La serie se expresa en la forma más simple
donde
%i la función "( x) tiene simetr-a, al"unos de los coeficientes resultan nulos. %i g ( x) es una función par, g ( x)=g(-x), los t#rminos bi son nulos
•
%i g ( x) es impar g ( x)=-g (-x), los coeficientes ai son nulos
•
0or eemplo, para el pulso rectan"ular sim#trico de anchura 1, y periodo * se obtienen los si"uientes coeficientes.
orden
a
b
4
1
1
4.5655
4
*
4
4
6
4.*1**
4
7
4
4
8
4.1*96
4
5
4
4
9
4.4:4:9
4
;
4
4
:
4.4949;
4
Actividades !l applet nos permite ele"ir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos periódicos. • • • •
2ectan"ular $oble escalón $iente de sierra sim#trico $iente de sierra antisim#trico
Una vez ele"ido la función, introducimos los parámetros requeridos en los controles de edición y pulsamos el botón cuyo t-tulo da nombre a la función. • • • •
Rectangular Doble escalón Diente de sierra 1 Diente de sierra 2
0ulsando sucesivamente en el botón titulado Siguiente >> se representa3 1. !n la parte superior, la función f (t ) ele"ida y las sucesivas aproximaciones de dicha función. *. !n la parte central, el armónico actual, en color azul ai·cos(ix) y en color roo bi sin(ix).
6. !n la parte inferior, mediante se"mentos verticales, la ma"nitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes ai, y a la derecha en color roo los coeficientes bi. uanto mayor sea la lon"itud de estos se"mentos mayor es la contribución del armónico a la s-ntesis de la función periódica. %e puede observar, que la lon"itud de los se"mentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armónico menor es su contribución. La separación entre estos se"mentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los se"mentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier. 0ulsando en el botón titulado Anterior<< podemos volver a la aproximación anterior y compararla con la si"uiente.
Ejemplos Pulso rectangular
!l pulso rectan"ular nos permite verificar que son nulos los coeficientes bi en una función cuya simetr-a es par. 0robar el si"uiente eemplo3 • • •
0eriodo, 8.4 Anchura, *.4 'raslación, 4.4.
%i trasladamos el pulso rectan"ular, la función dea de tener simetr-a y por tanto, aparecen coeficientes ai y bi. 0robar el si"uiente eemplo3 • • •
0eriodo, 8.4 Anchura, *.4 'raslación, 4.8.
Pulso doble escalón
!l pulso doble escalón nos permite verificar que son nulos los coeficientes ai en una función cuya simetr-a es impar . 0robar el si"uiente eemplo3 • • •
0eriodo, 6.4 Anchura, *.4 0rofundidad, 1.4.
%i cambiamos la profundidad del escalón derecho, la función dea de tener simetr-a y por tanto, aparecen coeficientes ai y bi. 0robar el si"uiente eemplo3 • • •
0eriodo, 6.4 Anchura, *.4 0rofundidad, 4.8.
Pulso diente de sierra simétrico
!emplo3 •
0eriodo, 7.4.
Pulso diente de sierra antisimétrico
!emplo3 •
0eriodo, 1.4.
