134559722 Diseno Estructuras Acero AISC 2010 3

Diseño de estructuras de acero conforme a la especificación AISC-2010-Tema 3

TEMA 3. MIEMBROS A COMPRESIÓN

3.1 FORMULA FORMULA DE EULER 3.2 ESTADOS LIMITE DE MIEMBROS A COMPRESIÓN 3.3 REVISIÓN REVISIÓN DE MIEMBROS A COMPRESIÓN 3.4 DISEÑO DE DE MIEMBROS A COMPRESIÓN COMPRESIÓN 3.5 PLACAS DE APOYO PARA PARA COLUMNAS

A. Zambrano Zambrano

1


3.1 FORMULA DE EULER Consideremos una columna con ambos extremos articulados y sometida a una carga de compresión axial como se muestra en la siguiente figura. P Y x 1

1

L

X Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la columna cortada a una distancia x del origen en su configuración deformada P

x

M = -Py y P La ecuación de la curva elástica establece que EIy′′ = M EIy′′ = -Py EIy′′ + Py = 0


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3.1 FORMULA DE EULER Consideremos una columna con ambos extremos articulados y sometida a una carga de compresión axial como se muestra en la siguiente figura. P Y x 1

1

L

X Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la columna cortada a una distancia x del origen en su configuración deformada P

x

M = -Py y P La ecuación de la curva elástica establece que EIy′′ = M EIy′′ = -Py EIy′′ + Py = 0


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y′′ +P/(EI)y = 0 Definimos k 2 = P/(EI), entonces y′′ + k2y = 0

(a)

La ecuación (a) es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y su solución general está dada por y = A sen kx + B cos kx

(b)

Las constantes de integración de la solución (b) se obtienen aplicando las condiciones de frontera siguientes (i) (ii)

x=0, y=0 x=L, y=0

De (i) 0 = A sen (0) + B cos (0) = A (0) + B (1) = B



B=0

Entonces la solucion se reduce a y = A sen kx

(c)

Aplicando (ii) 0 = A sen kL Entonces, como A es arbitraria, A ≠0, por lo tanto sen kL = 0 

kL = π, 2π, 3π, …, n π

En general kL = nπ sustituyendo k= √P/(EI), se obtiene A. Zambrano Zambrano

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√P/(EI) L = n π nπ √P/(EI) = –––– L n2π2 P/(EI) = –––– L2 n2π2EI P = ––––– L2

donde n=1, 2, 3,…, n

La carga de pandeo ocurre para el valor más pequeño n=1, entonces:

π2EI Pcr = ––––– L2

(d)

La formula (d) se le conoce como Formula de Euler y proporciona la carga de pandeo para una columna con ambos extremos articulados. Podemos escribir la carga crítica de pandeo en forma general como sigue

π2EI Pcr = ––––– (kL)2

(e)

Donde k = factor de longitud efectiva kL= longitud efectiva En la tabla siguiente se muestran los valores de k para diferentes condiciones de apoyos.


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Para miembros de marcos rígidos se pueden usar las siguientes formulas para el cálculo de k a) Marcos contraventeados 3G1G2 + 1.4(G1+G2) + 0.64 k = –––––––––––––––––––––– 3G1G2 + 2(G1+G2) + 1.28 b) Marcos no contraventeados

k=

1.6G1G2 + 4(G1+G2) + 7.5 ––––––––––––––––––––– G1+G2 + 7.5

Donde:

Σ(I/L)columnas Gi = –––––––––– Σ(I/L)vigas

del extremo i de la columna

Además, para extremos empotrados usar G=1 y para extremos articulados usar G=10 Las columnas largas se distinguen por su relación de esbeltez dada por la relación entre la longitud efectiva y el radio de giro, es decir Relación de esbeltez = kL/r

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3.2 ESTADOS LÍMITE DE MIEMBROS A COMPRESIÓN Un miembro a compresión es un miembro sometido a un esfuerzo de compresión axial uniforme. Este tipo de miembro de acero tiene tendencia al pandeo. Los miembros a compresión en estructuras de acero se presentan en una gran variedad de estructuras como: -puentes -armaduras de techo -torres -arriostramientos -puntales -etc. Los perfiles más comunes usados como miembros a compresión son los siguientes: (a) ángulo simple (b) ángulos dobles (c) HSS (d) canales (e) miembros armados (f) W, WT

(a)

(d)

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(b)

(c)

(e)

(f)

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(a)

(b)

(c)

Un miembro a compresión típico de acero se muestra en la figura anterior: Este miembro puede fallar de cinco formas diferentes: 1) Pandeo flexionante. Es el tipo de pandeo que ocurre causado por flexión respecto a la mayor relación de esbeltez. Cualquier miembro a compresión puede fallar de esta manera. 2) Pandeo torsional . Torsión respecto al eje longitudinal del miembro. Puede ocurrir solamente con secciones transversales doblemente simétricas con elementos muy esbeltos (p.ej. elementos armados de placas delgadas). Los perfiles laminados estándar no son susceptibles de este tipo de pandeo. 3) Pandeo flexo-torsional. Una combinación de pandeo flexionante y torsional. Puede ocurrir solamente con secciones transversales que son simétricas respecto a un eje o sin ningún eje de simetría. 4) Pandeo local del patín . Ocurre cuando b/t > λr 5) Pandeo local del alma. Ocurre cuando h/t w > λr Para revisar el pandeo local se utiliza la tabla B4.1a que se anexa en la siguiente página.

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Para aplicar la tabla anterior debemos distinguir entre miembros no atiesados (unstiffened) y miembros atiesados (stiffened). Un miembro es ATIESADO (A) si esta soportado a lo largo de los dos bordes paralelos a la fuerza de compresión. Un miembro es NO ATIESADO (NA) es una pieza proyectante con un borde libre paralelo a la fuerza de compresión. NA

NA A

NA

A

A

NA A

A NA NA

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3.3 REVISIÓN DE MIEMBROS A COMPRESIÓN La revisión de un miembro a compresión consiste en determinar la resistencia a compresión del miembro y compararla con la resistencia requerida por las cargas factorizadas. También debe revisarse que cumpla con la relación de esbeltez limitante. La especificación AISC-2010 en el capitulo E es la que nos proporciona las fórmulas para calcular la resistencia para cada uno de los estados limite. A continuación se presenta una copia del capítulo E de la Especificación AISC-2010.

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Resumiendo, la resistencia de un miembro a compresión es 1) Por pandeo flexionante (sección E3)

φcPn1 = φ*Fcr*Ag Donde:

φ = 0.90 [0.658(Fy/Fe)]Fy

si Fy/Fe ≤ 2.25 (pandeo inelástico)

0.877Fe

si Fy/Fe > 2.25 (pandeo elástico)

Fcr =

π2E Fe = –––––– (kL/r)2 2) Por pandeo torsional o flexo-torsional (sección E4)

φcPn2 = φ*Fcr*Ag a) Angulos dobles y Tes

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b(i) Miembros doblemente simétricos

b(ii) miembros simplemente simétricos

b(iii) miembros asimétricos, la raíz menor de la siguiente ecuación:

3) Pandeo local (sección E7)

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EJEMPLO 1 Revisar la columna W14x132 de acero A992 para soportar las cargas mostradas en la figura. La columna tiene 30 pies de longitud y está articulada en ambos extremos.

DATOS: Sección W14x32, A g = 38.8 in2, rx=6.28 in, r y= 3.76 in, b f/2tf=7.15 , h/t w=17.7 Material: A992, F y=50 ksi, E=29,000 ksi, G=11,200 ksi kx = ky = 1 Lx = Ly = 30 x12 = 360 in CÁLCULOS: -Resistencia requerida a compresión Pu = 1.2PD+1.6PL = 1.2(140)+1.6(420)=840 kips -Revisión de pandeo local De tabla B4.1a Patín: λr = 0.56√E/Fy = 0.56√(29000/50)= 13.49 > b f/2tf = 7.15 => patín no esbelto Alma: λr = 1.49√E/Fy = 1.49√(29000/50)= 35.88 > h/t w = 17.7 => alma no esbelta  No hay pandeo local

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-Resistencia por pandeo flexionante (sec. E3) kx*Lx/rx = (1)(360)/6.28 =57.32 ky*Ly/ry = (1)(360)/3.76 =95.74  controla  kL/r=95.74 < 200 OK Fe =π2E/(kL/r)2 = π2(29000)/(95.74)2=31.23 ksi Fy/Fe=50/31.23=1.601 <2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658Fy/Fe]Fy = [0.6581.601](50)=25.58 ksi φcPn1 = φ*Fcr*Ag =0.90(25.58)(38.8) = 893.25 kips -Resistencia por pandeo torsional o flexo-torsional (Sec. E4) --Para miembros doblemente simétricos

De la tabla de propiedades: Cw=25500 in6 J=12.3 in4 Kz=1 Ix=1530 in4 Iy=548 in4 π2(29000)(25500)

1

Fe = ––––––––––––––– + (11200)(12.3) –––––––––– = 93.40 (1x360)2 1530+548 Fy/Fe = 50/93.40=0.535 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658Fy/Fe]Fy = [0.6580.535](50)=39.97 ksi φcPn2 = φ*Fcr*Ag =0.90(39.97)(38.8) = 1395.75 kips -Resistencia de diseño a compresión

φcPn =min{φcPn1, φcPn2} = min{893.25, 1395.75} = 893.25 kips > Pu= 840 kips OK

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EJERCICIO 1 Calcular la resistencia de diseño a compresión de una columna W14x90 con una longitud no arriostrada en el eje fuerte de 30 pies y longitudes no arriostradas en el eje débil y torsional de 15 pies. El material es ASTM A992.

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EJEMPLO 2 Calcular la resistencia a compresión de un C15x50 de 20 pies de longitud. Use acero A36, kx=1 y ky=kz=0.5 DATOS: Sección C15x50, A g=14.7 in2, rx=5.24”, r y=0.865”, d=15”, t w=0.716”, bf=3.72”, tf=0.650” Material: A36, F y=36 ksi, E=29,000 ksi, G=11,200 ksi Lx=Ly=20 x12=240 in kx=1, ky=kz=0.5 CÁLCULOS: -Revisión de pandeo local h=d -2tf =15 – 2(0.650)=13.7”, h/t w=13.7/0.716=19.13 bf/tf=3.72/0.650=5.72 De tabla B4.1a Patín: λr = 0.56√E/Fy = 0.56√(29000/36)= 15.89 > b f/tf = 5.72 => patín no esbelto Alma: λr = 1.49√E/Fy = 1.49√(29000/36)= 42.29 > h/t w = 19.13 => alma no esbelta  No hay pandeo local -Resistencia por pandeo flexionante (Sec. E3) kx*Lx/rx = (1)(240)/5.24 =45.80 ky*Ly/ry = (0.5)(240)/0.865 =138.73  controla  kL/r=138.73 <200 OK Fe =π2E/(kL/r)2 = π2(29000)/(138.73)2=14.87 ksi Fy/Fe=36/14.87=2.42 > 2.25  pandeo elástico Fcr = 0.877Fe=0.877(14.87)=13.04 ksi φcPn1 = φ*Fcr*Ag =0.90(13.04)(14.7) = 172.52 kips -Resistencia por pandeo torsional o flexo-torsional (sec. E4) Fex + Fez 4 FexFezH Fe = ––––––––– 1 – 2H

π2E

1 – –––––––––––– (Fex + Fez)2

π2(29000)

Fex= ––––––––– = ––––––––– = 136.45 ksi (kxLx/rx)2 (45.80)2

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Cw=492 in6 J=2.65 in4 = 5.49 2=30.14 in2

H=0.937 1 π2(29000)(492) Fez= –––––––––––– + (11200)(2.65) ––––––––––– = 89.06 ksi (0.5x240)2 (14.7)(30.14) 136.45+ 89.06 Fe = ––––––––––– 1 – 2(0.937)

4(136.45)(89.06)(0.937) 1 – ––––––––––––––––––––– (136.45+89.06)2

Fe =81.46 ksi Fy/Fe= 36/81.46=0.442 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658Fy/Fe]Fy = [0.6580.442](36)=29.92 ksi φcPn2 = φ*Fcr*Ag =0.90(29.92)(14.7) = 395.84 kips -Resistencia de diseño a compresión

φcPn =min{φcPn1, φcPn2} = min{172.52, 395.84} = 172.52 kips

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EJEMPLO 3 Compute the compressive strength of a WT12x81 of A992 steel. The effective length with respect to the x-axis is 25 feet 6 inches, the effective length with respect to the yaxis is 20 feet, and the effective length with respect to the z-axis is 20 feet. DATOS: Sección: WT12x81, A g=23.9 in2, rx=3.50”, ry=3.05”, bf/2tf=5.31, h/tw=17.7, yc=2.70”,tf=1.22”, Ix=293 in4, Iy=221 in4 Material: A992, F y=50 ksi, E=29,000 ksi, G=11,200 ksi kxLx=(25.5)(12)=306 in kyLy= kzLz=(20)(12)=240 in CÁLCULOS: -Revisión de pandeo local De tabla B4.1a Patín: λr = 0.56√E/Fy = 0.56√(29000/50)= 13.49 > b f/tf = 5.31 => patín no esbelto Alma: λr = 0.75√E/Fy = 0.75√(29000/50)= 18.06 > h/t w = 17.7 => alma no esbelta  No hay pandeo local -Resistencia por pandeo flexionante (sec. E3) kx*Lx/rx = (306)/3.5 =87.43  controla  kL/r=87.43 <200 OK ky*Ly/ry = (240)/3.05 =78.69 Fe =π2E/(kL/r)2 = π2(29000)/(87.43)2=37.44 ksi Fy/Fe=50/37.44=1.335 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658Fy/Fe]Fy = [0.6581.335](50)=28.60 ksi φcPn1 = φ*Fcr*Ag =0.90(28.60)(23.9) = 615.19 kips -Resistencia por pandeo torsional o flexo-torsional (sec. E4) Fcry + Fcrz Fcr = ––––––––– 1 – 2H

4 FcryFcrzH 1 – –––––––––––– (Fcry + Fcrz)2

Fey=π2E/(kyLy/ry)2 = π2(29000)/(78.79)2=46.11 ksi Fy/Fey=50/46.11=1.084 < 2.25 Fcry = [0.658Fy/Fey]Fy = [0.6581.084](50)=31.76 ksi

J=9.22 in4

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x0=0 y0=yc-tf/2=2.70 – 1.22/2=2.09 in =(0)2+(2.09) 2 +(293+221)/23.9=27.87 in 2

x02 + y02 (0)2 + (2.09)2 H=1 – –––––––––– = 1 – ––––––––––– = 0.843 27.87

Fcrz=(11200)(9.22)/(23.9x27.87)=155.03 ksi 31.76+ 155.03 Fcr = ––––––––––– 1 – 2(0.843)

4(31.76)(155.03)(0.843) 1 – ––––––––––––––––––––– = 30.58 ksi (31.76+155.03)2

φcPn2 = φ*Fcr*Ag =0.90(30.58)(23.9) = 657.78 kips -Resistencia de diseño a compresión


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EJEMPLO 4

DATOS: Sección: HSS10x8x3/16, A g=6.06 in2, rx=3.88”, ry=3.28”, b/t=43.0, h/t=54.5 Material: A500, grado B, F y=46 ksi, E=29,000 ksi, G=11,200 ksi Lx=Ly=12x12=144 in Kx=ky=kz=2.0 CÁLCULOS: -Revisión de pandeo local De tabla B4.1a Patín: λr = 1.40√E/Fy = 1.40√(29000/46)= 35.15 < b/t = 43 => patín esbelto Alma: λr = 1.40√E/Fy = 1.40√(29000/46)= 35.15 < h/t w = 54.5 => alma esbelta  Si hay pandeo local -Factor de reducción por esbeltez (sección E7) Q=Qs*Qa Qs=1 Qa=Ae/Ag Ae=be*he

f=Fy=46 ksi be=1.92(0.174)

29000 0.38 ––––––– 1 – ––– 46 43

29000 ––––––– = 6.53” 46

he=1.92(0.174)

29000 0.38 ––––––– 1 – ––– 46 54.5

29000 ––––––– = 6.92” 46

Ae=(2)(6.53+6.92)(0.174)=4.68 in 2 A. Zambrano

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Qa=4.68/6.06=0.77 Q=(1)(0.77)=0.77 -Resistencia por pandeo flexionante (sec. E3) kx*Lx/rx = (2)(144)/3.88 =74.23 ky*Ly/ry = (2)(144)/3.28 =87.80  controla  kL/r=87.80 <200 OK Fe =π2E/(kL/r)2 = π2(29000)/(87.80)2=37.13 ksi QFy/Fe=(0.77)(46)/37.13=0.954 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658QFy/Fe]QFy = [0.6580.954](0.77x46)=23.76 ksi φcPn1 = φ*Fcr*Ag =0.90(23.76)(6.06) = 129.59 kips -Pandeo torsional o flexo-torsional (sec. E4) --Para miembros doblemente simétricos

De la tabla de propiedades: Cw=0 J=118 in4 Kz=2 Ix=91.4 in4 Iy=65.1 in4 π2(29000)(0)

1

Fe = ––––––––––––––– + (11200)(118) –––––––––– = 8444.73 (1x360)2 91.4+65.1 QFy/Fe = (0.77)(46)/8444.73=0.0042 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658QFy/Fe]QFy = [0.6580.0042](0.77)(46)=35.36 ksi φcPn2 = φ*Fcr*Ag =0.90(35.36)(6.06) = 192.85 kips -Resistencia de diseño a compresión


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EJEMPLO 5 Calcular la resistencia a compresión de un ángulo simple L4x4x1/2 de 12 pies de longitud. Use acero A36 y k=1 DATOS: Sección: L4x4x1/2, A g=3.75 in2, rx=1.21”, ry=1.21”, Material: A36, F y=36 ksi, E=29,000 ksi, G=11,200 ksi Lx=Ly=12x12=144 in Kx=ky=kz=1.0 CÁLCULOS: -Revisión de pandeo local b/t=4/(1/2)=8 De tabla B4.1a Patín: λr = 0.45√E/Fy = 0.45√(29000/36)= 12.77 < b/t = 8 patín no esbelto  No hay pandeo local -Resistencia por pandeo flexionante (sección E5) L/rx=144/1.21=119 > 80 KL/r=32 + 1.25(L/r x) = 32 + 1.25(119)=180.75 <200 OK Fe =π2E/(kL/r)2 = π2(29000)/(180.75)2=8.76 ksi Fy/Fe=36/8.76=4.11 > 2.25  pandeo elástico Fcr = 0.877Fe=(0.877)(8.76)=7.68 ksi φcPn1 = φ*Fcr*Ag =0.90(7.68)(3.75) = 25.92 kips -Resistencia por pandeo torsional o flexo-torsional (sección E4) b/t =8 <20  Este estado limite no se aplica. -Resistencia de diseño a compresión

φcPn =φcPn1 = 25.92 kips

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EJERCICIOS

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3.4 DISEÑO DE MIEMBROS A COMPRESIÓN El diseño de miembros a compresión consiste en seleccionar la sección más ligera para soportar las cargas dadas para un material especificado. Esta sección debe cumplir con los tres estados límite: a) Pandeo flexionante b) Pandeo torsional o flexo-torsional c) Pandeo local Y con el límite de la relación de esbeltez KL/r ≤ 200 PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO Podemos distinguir cuatro procedimientos de diseño de miembros a compresión, que son los siguientes: 1.- TANTEOS (también conocido como PRUEBA Y AJUSTE). Consiste en proponer una sección y revisarla. Se debe cumplir que φcPn ≥ Pu. También debe ser económica por lo que Pu/ φcPn > ψ , donde ψ es un índice de aprovechamiento que puede ser elegido convenientemente (por ejemplo ψ =0.85) 2.- ANALÍTICO. Consiste en utilizar formulas para seleccionar la sección de prueba basados en los datos de las cargas y del material. En este caso podemos seleccionar la sección en base al estado límite de pandeo flexionante. McCormac propone el siguiente procedimiento para seleccionar la sección de prueba: 1-Suponer una relación de esbeltez kL/r min entre 40 y 60 2-Calcular Fe=π2E/(kL/r)2 3-Calcular Fcr 4-Calcular Ag de la desigualdad φcPn = 0.90*Fcr*Ag ≥ Pu despejar Ag Pu  Ag ≥ ––––– 0.90Fcr 5-Calcular el radio de giro mínimo r min del paso 1 6-Seleccionar la sección de prueba con A g y rmin y revisarla.

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3.- TABLAS DEL MANUAL AISC (14ava edición) Las tablas 4 del manual AISC proporcionan las resistencias de diferentes perfiles por pandeo flexionante. También consideran solamente cierto m aterial según el perfil como se muestra en la siguiente tabla. TABLA 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12

PERFIL W HP HSS rectangular HSS cuadrado HSS redondo Tubo circular WT 2L lados iguales 2L lados desiguales (LLBB) 2L lados desiguales (SLBB) L (carga concéntrica) L (carga excéntrica)

Fy (ksi) 50 50 46 46 42 35 50 36 36 36 36 36

4.- SOFTWARE. Existen programas para diseñar miembros de acero a tensión, pero la mayoría no se encuentra actualizada con la especificación AISC-2010. Algunos son: MIDAS/SET 3.3.1

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EJEMPLO 6 Seleccione el perfil más ligero W14 disponible de acero A36 para las cargas compresivas de PD=100 kips y P L=160 kips y kL= 10 pies. Use el método analítico. DATOS: Sección: W14 Material: A36, F y=36 ksi, E=29,000 ksi, G=11,200 ksi kxLx=kyLy=10 x12=120 in CÁLCULOS: • Resistencia requerida Pu=1.2PD+1.6PL=1.2(100)+1.6(160)= 376 kips • Sección de prueba 1-Suponer kL/r=50 2-Calcular Fe=π2(29000)/(50)2=114.49 ksi 3-Calcular Fcr Fy/Fe=36/114.49=0.314 < 2.25  pandeo inelástico Fcr=(0.6580.314)(36)=31.57 ksi 4-Calcular Ag 376 Ag ≥ ––––––––– = 13.24 in2 0.90(31.57) 5-Calcular rmin Kl/rmin=50  rmin = kL/50 = 120/50=2.4 in 6-Seleccionar perfil con A g > 13.24 y r min >2.4 in Probar W14x53 con A g =15.6 in2, rx=5.89 in, r y=1.92 in, bf/2tf=6.11, h/tw=30.9 REVISIÓN: -Revisión de pandeo local De tabla B4.1a Patín: λr = 0.56√E/Fy = 0.56√(29000/36)= 15.89 > b f/2tf = 6.11 => patín no esbelto Alma: λr = 1.49√E/Fy = 1.49√(29000/36)= 42.29 > h/t w = 30.9 => alma no esbelta  No hay pandeo local

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-Resistencia por pandeo flexionante (sec. E3) kx*Lx/rx = (1)(120)/5.89 =20.37 ky*Ly/ry = (1)(120)/1.92 =62.5  controla  kL/r=62.5 < 200 OK Fe =π2E/(kL/r)2 = π2(29000)/(62.5)2=73.27 ksi Fy/Fe=36/73.27=0.491 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658Fy/Fe]Fy = [0.6580.491](36)=29.31 ksi φcPn1 = φ*Fcr*Ag =0.90(29.31)(15.6) = 411.51 kips -Resistencia por pandeo torsional o flexo-torsional (Sec. E4) --Para miembros doblemente simétricos

De la tabla de propiedades: Cw=2540 in6 J=1.94 in4 Kz=1 Ix=541 in4 Iy=57.7 in4 π2(29000)(2540)

1

Fe = ––––––––––––––– + (11200)(1.94) –––––––––– = 120.62 ksi (1x120)2 541+57.7 Fy/Fe = 36/120.62=0.298 < 2.25  pandeo inelástico Fcr = [0.658Fy/Fe]Fy = [0.6580.298](36)=31.78 ksi φcPn2 = φ*Fcr*Ag =0.90(31.78)(15.6) = 446.19 kips -Resistencia de diseño a compresión

φcPn =min{φcPn1, φcPn2} = min{411.51, 446.19} = 411.51 kips > P u= 376 kips OK -Eficiencia Pu/φcPn = 376/411.51=0.914 OK USAR W14x53

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EJERCICIO 2 Seleccione el perfil W14 más ligero para las siguientes condiciones: Fy=50 ksi, P u=900 kips, k xLx=26 pies, k yLy=13 pies Use el método analítico.

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TABLAS 4 DEL MANUAL AISC (14ava edicion) Las Tablas 4 del manual nos proporcionan las resistencias φcPn por pandeo flexionante para diferentes perfiles. Algunas observaciones para el uso de estas tablas son las siguientes: 1) Siempre entramos a las tablas con kyLy 2) Para perfiles W y HSS rectangular si k xLx es mayor que kyLy, debemos calcular

una (kL)y eq = (kxLx)/(rx/ry). Entonces, si (kL) y eq ≤ kyLy, aceptamos la resistencia obtenido; si (kL) y eq > kyLy, entramos a la tabla con (kL) y eq y obtenemos la resistencia corregida.(nota: el valor de r x/ry viene dado por la tabla 4) 3) Las resistencias dadas por la tabla no consideran pandeo local 4) Los perfiles con un superíndice c tienen elementos esbeltos y debe calcularse el factor Q con la sección E7 y reducirse la resistencia dada en la tabla. 5) Para un esfuerzo de fluencia dado (Fy) menor que el de la tabla (F yT) se puede entrar a la tabla con una P u’=(FyT/Fy)Pu y obtener un perfil de prueba que debe revisarse.

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EJEMPLO 7 Seleccione el perfil W12 mas ligero para las siguientes condiciones: Fy=50 ksi, P u=900 kips, k xLx=26 pies, k yLy=13 pies Use las tablas 4 del manual AISC DATOS: Pu=900 kips kyLy=26 pies CÁLCULOS: De tabla 4-1, entramos con k yLy=13 pies y buscamos en la columna LRFD un valor de resistencia φcPn semejante a P u pero no menor. Escogemos la sección W12x87 con φcPn=953 kips y rx/ry=1.75 Como kxLx=26 pies > k yLy debemos revisar la resistencia con (kL) y eq kxLx 26 (kL)y eq = ––––– = –––––– = 14.86 > 13 rx/ry 1.75 Entrar de nuevo a la tabla con 14.86 para encontrar la resistencia corregida. En este caso, tenemos que interpolar como sigue para la sección W12x87: (kL)y φcPn 14 ------------- 924 kips 14.86 -------- x 15 ------------- 895 kips x= (895-924)/(15-14)(14.86-14)+924= 899.06 < Pu=900 kips NO PASA PROBAR W12x96, φcPn=1050 kips con kL y = 13 pies, r x/ry=1.76 (kL)y eq= 26/1.76=14.77 Interpolando (kL)y φcPn 14 ------------- 1020 kips 14.86 -------- x 15 ------------- 990 kips x= (990-1020)/(15-14)(14.77-14)+1020= 996.9 > Pu=900 kips OK Eficiencia: 900/996.9=0.903 OK

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USAR W12x96 EJERCICIOS

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3.5. PLACAS DE APOYO PARA COLUMNAS Para apoyar una columna de acero sobre un pedestal de concreto, se debe utilizar una placa de apoyo para reducir los esfuerzos de aplastamiento.

ESTADOS LIMITE 1-Aplastamiento del concreto del pedestal 2-Fluencia por flexión de la placa de apoyo ESTADO LIMITE 1: Aplastamiento del concreto Para determinar la resistencia al aplastamiento del concreto se tienen dos casos, dependiendo si el área del pedestal es igual al área de la placa o es mayor. Designaremos por A 1 al área de la placa y A 2 al área del pedestal. CASO 1: A1=A2 La resistencia al aplastamiento del concreto

φcPp está dada por

φcPp = φc*0.85*f’ c*A1

donde:

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φc = 0.60 f’c= resistencia a compresión del concreto Se debe cumplir que

φcPp ≥ Pu φc*0.85*f’ c*A1 ≥ Pu Pu A1 ≥ –––––––– φc*0.85*f’ c CASO 2: A1 < A2 La resistencia al aplastamiento del concreto

φcPp está dada por

φcPp = φc*0.85*f’ c*A1*ψ

donde: ψ = min{√ A2/A1, 2} Se debe cumplir que

φcPp ≥ Pu φc*0.85*f’ c*A1*ψ ≥ Pu Si ψ = √ A2/A1, entonces φc*0.85*f’ c*A1√ A2/A1 ≥ Pu φc*0.85*f’ c*√(A1)2 A2/A1 ≥ Pu φc*0.85*f’ c*√ A1* A2 ≥ Pu φc*0.85*f’ c*√ A1√ A2 ≥ Pu Pu √ A1 ≥ –––––––––– φc*0.85*f’ c*√ A2

A1

≥

2 Pu –––––––––– φc*0.85*f’ c*√ A2

Por otra parte, si ψ =2 φc*0.85*f’ c*A1(2)≥ Pu φc*1.7*f’ c*A1 ≥ Pu Pu A1 ≥ ––––––––

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φc*1.7*f’ c Entonces, para el caso 2

A1

≥ max

2 Pu –––––––––––– φc*0.85*f’ c*√ A2

Pu , –––––––––– φc*1.7*f’ c

Sin embargo, en ningún caso el área de la placa puede ser menor que las dimensiones de la columna, esto es A1min= d*bf Entonces, el área requerida de la placa base es Caso 1:A1=A2 Pu A1req = max –––––––– , A 1min φc*0.85*f’ c

(3.5-1)

Caso 2:A1 < A2

A1req = max

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2 Pu –––––––––––– φc*0.85*f’ c*√ A2

Pu , –––––––––, A 1min φc*1.7*f’ c

(3.5-2)

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ESTADO LIMITE 2: Fluencia en la placa base La placa base se flexiona en dos direcciones al presionar al concreto como se muestra en la siguiente figura. Pu l

N

qu=Pu/(B*N)

El momento flexionante máximo ocurre en el volado de longitud l y esta dado por: qu*B*l2 Pu*B*l2 Pu*l2 Mu = –––––– = –––––––– = ––––– (a) 2 2*B*N 2*N Por otra parte, la resistencia de la placa (que es una sección rectangular solida) a flexión está dada por:

φbMn=φ*Fy*Zx Donde:

φ=0.90 Zx = modulo plástico de la sección = B*t 2/4 Entonces

φbMn=0.90*Fy*B*t2/4

(b)

Se debe cumplir

φbMn ≥ Mu

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Sustituyendo (a) y (b) obtenemos 0.90*Fy*B*t2 Pu*l2 –––––––––– = –––––– 4 2*N De aquí despejamos el espesor de la placa, t 2*Pu*l2 t2= –––––––––––– 0.90*Fy*B*N t=

2*Pu*l2 –––––––––––– 0.90*Fy*A1

 redondear

a octavos de plg.

(3.5-3)

Ahora se requiere de determinar la longitud del volado l. Esta longitud depende de la distribución de presiones bajo la placa. Mediante pruebas, se han determinado dos tipos de distribución dependiendo de las cargas. Para cargas grandes se tiene una distribución rectangular como se muestra en la siguiente figura. n 0.80bf n m N

0.95d

m B Donde: m= ½(N – 0.95d) n = ½(B – 0.80b f) Entonces, la longitud del volado es l=max{m, n} A. Zambrano

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Para cargas pequeñas se tiene una distribución semejante al perfil como se muestra en la siguiente figura.

N

B En este caso, la longitud del volado para el cálculo del momento flexionante es l=λn′ donde

λ√A1min λn′= –––––––– 4 2√X λ = ––––––––––– ≤ 1 1 + √(1 – X) 4*A1min Pu X = ––––––––– ––––– (d + bf)2 φcPp Entonces, la longitud del volado es l=max{m, n, λn′}

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Para minimizar la diferencia entre las dimensiones m y n, se determina la distancia

∆ = ½(0.95d – 0.80bf) Y se calcula la longitud N como sigue N = √A1 + ∆



redondear N a pulgadas enteras

Y la distancia B se determina como B = A1/N

 redondear B a pulgadas enteras

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EJEMPLO 8 Diseñar la placa base para una columna W12x152 (Fy=50 ksi) que soporta una carga muerta de 220 kips y una carga viva de 440 kips. Usar una placa de acero A36 para cubrir el área completa de un pedestal de concreto de 3 ksi. DATOS: Sección:W12x152, d=13.7”, b f=12.5” Material: A36, F y=36 ksi CÁLCULOS: -Carga factorizada Pu=1.2PD+1.6PL=1.2(220)+1.6(440)=968 kips -Área de la placa Caso 1: A 1=A2 Pu A1req = max –––––––– , A 1min φc*0.85*f’ c

A1min=(13.7)(12.5)=171.25 in 2 A1req = max

968 ––––––––––, 171.25 0.60(0.85)(3)

=max{632.68, 171.25} = 632.68 in 2

-Dimensiones de la placa

∆ = ½(0.95d – 0.80bf) = ½(0.95x13.7 – 0.80x12.5)=1.51 in N = √A1 + ∆ = √632.68 + 1.51=26.66”

 USAR

N=27”

B = A1/N = 632.68/27=23.43”  USAR B=24” Área real de la placa, A 1=B*N=(24)(27)=648 in2

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-Espesor de la placa m= ½(N – 0.95d) = ½(27 – 0.95x13.7)= 6.99 in n = ½(B – 0.80b f) = ½(24 – 0.80x12.5)= 7.00 in φcPp = φc*0.85*f’ c*A1=(0.60)(0.85)(3)(648)=991.44 kips > P u=968 kips OK 4*A1min Pu X = ––––––––– ––––– (d + bf)2 φcPp 4x171.25 968 X = ––––––––– –––––– = 0.974 (13.7+12.5)2 991.44 2√X λ = ––––––––––– ≤ 1 1 + √(1 – X) 2√0.974 λ = –––––––––––––– = 1.70 > 1 1 + √(1 – 0.974)



USAR λ=1

λ√A1min

(1) √171.25 λn′= –––––––– = –––––––––––– = 3.27 in 4 4 l= max{m, n, λn′} = max{6.99, 7.00, 3.27} = 7.00 in

t=

2*Pu*l2 –––––––––––– = 0.90*Fy*A1

2(968)(7)2 –––––––––––– = 2.126 in (0.90)(36)(648)



USAR t=2 ¼”

USAR PLACA BASE DE: B=24”, N=27”, t=2 ¼”

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134559722 Diseno Estructuras Acero AISC 2010 3

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