Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas)
Capítulo 13
Turbinas Francis
1
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) TURBINAS DE REACCIÓN (FRANCIS Y KAPLAN) Si nos dan de dato: Dmed (Media aritmética de Dint y Dext ) y V m1 = V m 2 = V m
Si D1 = D2
U 1 = U 2
Si nos dicen:
“Sin componente acimutal en la salida” o “el agua sale del rodete con dirección radial”: α 2
= 90º
V 2 = V m2
Ángulos:
α 0 : Ángulo de entrada álabes del distribuidor
β 2 : Ángulo de salida álabes del rodete
α 1 : Ángulo de salida álabes del distribuidor
α 3 : Ángulo de entrada álabes del difusor
β 1 : Ángulo de entrada álabes del rodete Triángulo de velocidades:
Velocidades: V x :
Velocidad absoluta del fluido. Velocidad relativa del fluido respecto al rotor. Velocidad lineal/periférica/de arrastre del rotor. Componente meridiana /radial del vector velocidad absoluta. Componente acimutal del vector velocidad absoluta.
W x : U x : V mx : V ux :
Fórmulas (triángulos de velocidades): U x =
H u =
π Dx n
60
;
U =
U 1V u1 − U 2V u 2 g
π Dmed n
; V mx
60 ;
U 1 D1
=
=
U 2 D2
Qη v
π b x D x
; V m
=
Qη v 4
2 2 − Dint ) π ( Dext
;
V ux = U x + V mx cot gβ x ;
Se suele usar cuando no conocemos la velocidad de giro n
Al variar α : V x y U x
se mantienen constantes - al aumentar α aumenta el caudal (Q)
V mx , V cx , W x y Q varían, haciéndolo en la misma proporción en todos los triángulos t riángulos senα ′ senα
=
V m x′ V mx
= ....
∆ β = β x′ − β x
Conservación momento cinético: V u 0 * D0 = V u1 * D1
Siendo D0 el diámetro sección de salida del distribuidor y V uo = V 0 cos α 0
2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Fórmulas varias: H n =
H u
Si H Lr = 0 → η h = 1 → H n
η h
= H u
H n = H b − H ϕ
Siendo H ϕ la pérdida de carga en la conducción hasta la turbina.
H n = H L + H u
Siendo H L la altura de pérdidas de carga.
H L = H Lv − d + H Lr + H Ldif + H Ldist + H Lest
Si tenemos que incluir las pérdidas a la salida H sal
2
= V x / (2 g )
*Cómo estos cinco sumandos sólo aparecen en esta expresión si no nos dicen nada los tomamos como cero
W t = ρ gQH nη t
W u = W t / η η 0
Siendo η t = η 0η vη h
η h
= 1 − ϕ iny − ϕ roz − ϕ sal
η v
= Q − Q fi − Q fe
W e = W t η e
Siendo ϕ iny−roz−sal las pérdidas por unidad de salto neto.
/ Q
Si no hay fugas ni internas ni externas, η v
=1
Tipos de turbinas: Velocidad específica 5 – 30 30 – 50 50 – 100 100 – 200 200 – 300 300 – 500 + 500
ns =
n W / 735 4 H 5
Tipo de turbina Pelton con un inyector Pelton con varios inyectores Francis lenta Francis normal Francis rápida Francis doble gemela rápida o express Naplan o hélice
Siendo ns la velocidad específica en rpm
n
Bernoulli: V 12 − V 22
2g
+
p1 − p2
ρ g
+ ( z1 − z2 ) = H n
Si se considera el movimiento plano: ( z1 − z2 ) = 0 V 22 − V 32
2g
+
p2 − p3
ρ g
+ ( z2 − z3 ) = H Ldif
Siendo: V =
Qη v A
=
Q 4η v
π D x2
Circulación, paso y componentes de la fuerza por unidad de anchura: Γ = t (V u1 − V u 2 )
F x / b = t ( p1 − p2 )
t = π Dm / Z
F y / b = ρ V mt (V u1 − V u 2 )
Unidades magnitudes y otras:
1
kg cm
= 98100Pa 2 0 ,75
W s =
Ωρ
4 ∆ p 5 t
W t
1Pa = 1 Ω=
N
1CV = 735W 1rev = 2π rad
m2
n2π
∆ pt = QgH n
60
3
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas)
Plantilla Turbina Francis
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Entrada Salida
4
Turbina
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.1.- (C.U. 161) En una turbina hidráulica de flujo radial, α 1 es el ángulo de salida de los álabes del distribuidor y β 1 el de entrada a los álabes del rodete. La velocidad absoluta a la salida del rodete es radial. Las componentes radiales de la velocidad absoluta a la entrada y a la salida del rodete son iguales. La altura de pérdidas internas en la turbina, H L es igual al doble de la altura correspondiente a la energía cinética del agua a la salida del rodete. Expresar el rendimiento hidráulico de la turbina en función de los ángulos α 1 y β 1 .
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Entrada Salida
Turbina H L = 2(v22 / 2 g )
α 1 = α 1 V r 1 = V r 2
β 1 = β 1
V u 2 =
0
5
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Rendimiento hidráulico en función de los ángulos α 1 y β 1 : El rendimiento hidráulico viene dado por: η h
=
H u H n
Partiendo del triángulo de velocidades a la salida del difusor,
Podemos obtener la altura útil cómo: H u =
U 1V u1 − U 2V u 2 g
(Dónde V u 2
=
0 ya que la velocidad a la salida del rodete es radial)
Por lo tanto: H u =
U 1V u1 g
En la expresión del rendimiento hidráulico podemos definir la altura neta en función de la altura útil (que es la que podemos calcular) y de la altura de pérdida de carga (que nos dan en el enunciado) H n = H u + H L
Sustituyendo en la expresión del rendimiento hidráulico: η h
=
H u
=
H u + H L
1 H u + H L H u
η h
1
=
1+
Ahora lo que se ha de calcular es el cociente: H L H u
6
H L H u
1
=
1+
H L H u
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) En función de los ángulos α 1 y β 1 : H L
Del cociente,
H L = 2
H u =
conocemos:
H u v22
(Dado en el enunciado)
2g
U 1V u1
(Que podemos obtener del triángulo de velocidades)
g
V u1 = U 1 + ctg (180º − β 1 ) = U 1 +
V m1
=>
tg (180º − β 1 )
U 1 = V u1 +
V m1 tg (180º −β 1 )
Además: V u1 =
V m1 tgα 1
Cómo: =>
V m1 = V r 1
V u1 =
V r 1 tgα 1
=>
U 1 =
V r 1
+
tgα 1
V r 1 tg (180º − β 1 )
1 tgα 1
= V r 1
+
1 tg (180º −β 1 )
Por lo que podemos expresar la altura útil como: 1 tgα 1
V r 1 H u =
+
V r 1 1 * tg (180º + β 1 ) tgα 1 g
2
V r 1 =
1
En la altura de pérdidas, puesto que: V 2 = V r 2 = V r 1
Tendremos: 2
H L =
2
V 2
2g
2
=
1
tg α tg β 1 1 g * tgα 1
V r 1 g
7
−
2 tg β 1 − tgα 1
V r 1 =
tgα 1 * tg β 1 g * tgα 1
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Por lo que sustituyendo valores en el cociente,
H L H u
2
V r 1 H L H u
=
g 2 tg β 1 − tgα 1 V r 1 α β * tg tg 1 1 g * tgα 1
=
tgα 1
tg β 1 − tgα 1 α β * tg tg 1 1
=
2 tg α 1 * ta β 1
tg β 1 − tgα 1
Luego el rendimiento hidráulico en función de los ángulos, será:
η h
1
=
2
1+
tg α 1 * tg β 1 tg β 1 − tg α 1
8
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.2.- (C.U. 161) Una turbina de flujo radial tiene un rodete de diámetro exterior D1 = 38cm y diámetro interior D2 = 26cm . Las anchuras de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida son, respectivamente, b1 = 6cm y b2 = 18cm . El área de la sección de paso en la entrada del rodete se reduce en un 5% debido a la presencia de los álabes. El ángulo de los álabes del rodete en la sección de entrada es β 1 = 90º . El agua sale del rodete con una velocidad absoluta sin componente acimutal. La potencia en el eje de la turbina es W t = 196kW . La velocidad de giro del rodete es n = 950 rpm . Los rendimientos hidráulico, volumétrico y orgánico son, respectivamente, η h = 0,9; η v = 0,97 y η 0 = 0,98. Calcular: a) Salto neto. b) Ángulo de salida de los álabes del distribuidor necesario para que el agua entre al rodete sin choque. c) Ángulo de los álabes del rodete en la sección de salida.
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Turbina Entrada Salida W t = 196kW n = 950 rpm D1 = 0,38m D2 = 0,26m η h = 0,90 b1 = 0,06m b2 = 0,18m η v = 0,97 β 1 = 90º V u 2 = 0 η 0 = 0,98
9
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) El salto neto. Viene dado por: H n =
H u
η h
Dónde: η h
H u =
U 1 = n
π
60
(Según dato del problema)
0,9
=
U 1V u 1 − U 2V u 2
D1 =
g
950 *
π
60
( V u 2 = 0 Componente ac acimutal nnuulo a la salida de del ro rodet dete)
* 0,38 m
= 18 ,90 m / s
Del triángulo de velocidades, tenemos: V u1 = U 1 + V m1ctg β 1 = U 1
( ctg β 1 = ctg90º = 0 )
Por lo tanto, la altura útil será: H u =
U 1V u1 g
(18,90 )2 m 2 / s 2 = 9,81m / s 2
=
36,42 m
Por lo que la altura neta es: H n =
H u
η h
=
36 , 42 m 0 ,9
=
40 , 47 m
H n = 40,47m
10
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Ángulo de salida de los álabes del distribuidor necesario para que el agua entre al rodete sin choque. Del triángulo de velocidades: tg α 1 =
V m1 U 1
Dónde: V m 1 =
Q
π b1 D1
Q=
W t
ρ gH t
H t = H n *η t
η t = η hη vη 0
=
0,9 * 0,97 * 0,98 = 0,85554
H t = H n * η t = 40,46 * 0,85554 = 34,62m
Q=
W t
ρ gH t
=
196 * 10 3 Nm / s 1000 kg / m 3 * 9,81m / s 2 * m
=
0,5772 m 3 / s
0,5772 m 3 / s V m1 = = π 0,95b1 D1 π * 0,95 * 0,06 m * 0,38m Q
tg α 1 =
V m 1 U 1
=
8 , 48 m / s 18 ,90 m / s
=
= 8,48 m / s
0 , 4488
α 1 = arctg0,4488 = 24,17º α 1 = 24,17º
11
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Ángulo de los álabes del rodete en la sección de salida. Del triángulo de velocidades: tg (180 º − β 2 ) =
β 2
Dónde: V m 2 =
Q
=
S 2
U 2 = n
π
60
Q
π * b2 * D2
D 2 =
950 *
=
π
60
0,5772 m 3 / s π * 0,18 m * 0,26 m * 0 , 26 m
= 3,926 m / s
= 12 ,933 m / s
Sustituyendo valores: β 2
V m 2 3,926 = 180 º − arctg = 180 º − 16 ,88 º = 163 ,12 º 12 ,933 U 2
= 180 º − arctag
β 2 = 163,12º
12
= 180 º − arctag
V m 2 U 2
V m 2 U 2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.3.- (C.U. 161) El rodete de una turbina Francis, con un diámetro D = 1,5 m y girando a una velocidad n = 430 rpm , desarrolla una potencia W t = 12500 kW con un caudal Q = 12,3m 3 / s . El agua entra en el rodete sin choque, con una componente meridiana de velocidad V m1 = 9,6m / s , y sale hacia el tubo difusor con una velocidad de C 2 = 7,2m / s , sin componente acimutal. La diferencia entre las cotas piezométricas a la entrada y salida del rodete es de 60m. Calcular: a) Velocidad y dirección del agua a la entrada del rodete. b) Ángulo de entrada de los álabes del rodete. c) Altura de pérdidas en el rodete.
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Entrada Salida D = 1, 5 m
V m1 = 9,6m / s
Turbina W t = 12500 kW n =
V 2 = 7,2m / s
13
430 rpm
Q = 12,3m3 / s
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Velocidad y dirección del agua a la entrada del rodete. a.1) Velocidad a la entrada del rodete: V 1 = V m21 + V u21
Partiendo del dato de la velocidad meridiana y de la ecuación de Euler: (Según enunciado)
V m1 = 9,6m / s H u =
Despejando V u1 =
V u1U 1 − V u 2U 2
=
V u1U 1
g
( V u 2 = 0 )
g
V u1
H u * g U 1
Dónde: =>
W t = ρ gQH u
U 1 = n
V u1 =
H u * g U 1
π
60
D1 =
12500 *10 3 Nm / s H u = = = 103,594 m ρ gQ 9,81 *10 3 N / m 3 *12,3m 3 / s W t
430
π
60
1,5 m
=
103,594m * 9,81m / s 2 = 33,77m / s
V 1 = V m21 + V u21 =
33 ,77 m / s
= 30,094m / s
(9,6m / s)2 + (30,094m / s )2
= 31,588m / s
V 1 = 31,588m / s
14
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a.2) Dirección del agua a la entrada del rodete: Del triángulo de velocidades tenemos: tgα 1 =
V m1 V u1
Despejando el ángulo: V 9,6m / s α 1 = arctg m1 = arctg = 17,69º V m s 30 , 094 / u1
α 1 = 17,69º
b) Ángulo de entrada de los álabes del rodete. Teniendo en cuenta nuevamente el triángulo de velocidades a la entrada del rodete:
V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1
V u1 − U 1 V m1
ctg β 1 =
Despejando el ángulo β 1 : V − U 1 30,094 − 33,77 = arcctg β 1 = arcctg u1 = 110,973º V 9 , 6 m1
β 1 = 110,973º
15
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Altura de pérdidas en el rodete. Puesto que el salto neto viene dada por: P H n = ρ g
1
+ + z 2g 2 v2
Y además: H n = H u + H Lr
Tendremos: P1 − P2 V 12 − V 22 ρ g + 2 g + ( z1 − z2 ) = H u + H Lr
En el enunciado nos dicen, que la altura piezométrica: P1 − P2 ρ g + ( z1 − z 2 ) = 60m
Las velocidades absolutas: V 12 − V 22 (31,588m / s )2 − (7,2m / s )2 2g = 2 * 9,81m / s 2
= 48,21m
Despejando la altura de pérdidas: V 12 − V 22 P1 − P2 H Lr = − H u + + ( z1 − z2 ) + 2 g ρ g H Lr = −103,594m + 60m + 48,21m = 4,616m
H Lr = 4,616m
16
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.4.- (C.U. 161) Una turbina Francis de flujo proporciona una potencia en el eje & = 4000 kW funcionan funcionando do bajo un salto neto H n = 50 m y girando a una velocidad W t n = 250 rpm . Los diámetros interior y exterior del rodete son D2 = 80cm y D1 = 160cm , respectivamente. La relación entre las anchuras de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida es b1 / b2 = 0,5 . El agua sale del rodete con una velocidad absoluta v2 = 8m / s , sin componente acimutal. El rendimiento total es η t = 0,85 , el rendimiento volumétrico es η v = 0,98 y el rendimiento orgánico es η 0 = 0,97 . Determinar: a) Ángulo de salida de los álabes del distribuidor y ángulo de entrada de los álabes del rodete. b) Anchura de los álabes en las secciones de entrada y salida del rodete. c) Triángulo de velocidades a la salida del rodete. La sección de salida del tubo difusor tiene un diámetro Ds = 3m . La pérdida de altura en el interior del tubo difusor es H Ld = 1m , y en el conjunto voluta-dist voluta-distribuidor ribuidor es H Lvd = 0,9m . El salto bruto es H b = 54 m . La tubería forzada tiene una longitud de 550 m y un diámetro de 2 m. d) Calcular la altura de pérdidas en el rodete. e) Calcular el factor de fricción en la tubería forzada.
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Turbina & = 4000 kW Entrada Salida W t n = 250rpm D1 = 1,60m D2 = 0,80m H n = 50 m b1 / b2 = 0,5 η t = 0,85 η v = 0,98 V 2 = 8m / s V u 2 = 0 η 0 = 0,97 H b = 54 m
17
Difusor Ds = 3m H Ld = 1m H Lvd = 0,9m
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Ángulo de salida de los álabes del distribuidor y ángulo de entrada de los álabes del rodete.
Del triángulo de velocidades tenemos: V m1
tg α 1 =
=>
V u 1
α 1
= arctg
V m 1 V u 1 V u 1 =
=>
V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1
ctg β 1 =
H u g U 1
V u 1 − U 1 V m1 U 1 = n
2π D1 60 2
Dónde: H u = H nη h
U 1 = n
V u 1 =
η h
2π D1 60 2
=
=
250
η t η vη 0 π
60
=
0 ,85 0 ,98 * 0 ,97
1, 6 m
44 ,708 m * 9 ,81 m / s 2 20 ,944 m / s
=
=
=
H u = 50 * 0,894 = 44,708m
0 ,894
20 ,944 m / s
20 ,941 m / s
A1 * V m1 = A2 * V m 2
π * b1 * D1 * V m1 V m1 =
b2 * D 2 b1 * D1
= π * b2 * D2
* V m 2
V m 2
Cómo: Vu 2 = 0
=>
V m 2 = V 2 = 8m / s
18
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Por lo tanto: V m1 =
b2 * D2 b1 * D1
V m 2 =
D2 V m 2 = b1 D1 b2
V m1
α 1
= arctg
β 1
= arcctg
V u1
0,8m * 8m / s = 8m / s 0,5 * 1,6m
8 = 20,91º 20 , 941
= arctg
V u 1 − U 1 20 ,941 − = arcctg V m 1 8
20 ,944
α 1 = 20,91º
=
90 ,02 º
β 1 = 90,02º
b) Anchura de los álabes en las secciones de entrada y salida del rodete. Puesto que:
V m 1 =
Q
b1 =
π b1 D1
Q
π D1V m 1 W t
W t = ρ gQH nη t
Q=
9,594 m3 / s b1 = = π D1V m1 π *1,6m * 8m / s
= 0,238m
Q
b1 b2
=
0 ,5
=>
b2 =
b1
0 ,5
=
ρ gH nη t
0 , 238 0 ,5
=
=
4000 KW 1000 * 9,81 * 50 m * 0 ,85
=
9,594 m 3 / s
0 , 477 m
b1 = 0,238m
b2 = 0,477m
19
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Triángulo de velocidades a la salida del rodete. V 2 = 8m / s
U 2 = n
π
60
D 2 =
250
π
60
* 0 ,8 = 10 , 472 m / s
V 2 U 2
tg (180 º − B1 ) =
Por lo tanto: β 1
V 2 8 = 180 º − arctg = 180 º − 37 ,8 º = 142 ,62 º 10 , 472 U 2
= 180 º − actg
β 1 = 142,62º
α 2
20
= 90º
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) La sección de salida del tubo difusor tiene un diámetro Ds = 3m . La pérdida de altura en el interior del tubo difusor es H Ld = 1m , y en el conjunto voluta-dist voluta-distribuidor ribuidor es H Lvd = 0,9m . El salto bruto es H b = 54 m . La tubería forzada tiene una longitud de 550 m y un diámetro de 2 m. d) Calcular la altura de pérdidas en el rodete. La suma de la altura de pérdidas viene dada por: H L = H Lr + H Ld + H Lvd +
v 32
2g
H L = H n − H u = 50 m − 44,708 m = 5,292 m
Por lo tanto: H n − H u = H Lr + H Ld + H Lvd +
v 32
2g
Dónde: H Ld = 1m H Lvd = 0,9 m v3 =
Q A3
=
4Q
= π D 32
4 * 9 ,594 π 3 2
H Lr = H n − H u − H Ld − H Lvd −
= 1,357 m / s
v 32
2g
= 5 , 292 m − 1m −
0 ,9 m −
H Lr = 3,298m
21
1,357 2 2 * 9 ,81
=
3, 298 m
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) e) Calcular el factor de fricción en la tubería forzada. Las pérdidas en la tubería vienen dadas por la diferencia entre la altura bruta y la altura neta, es decir: H b − H n = H ϕ
Por otra parte la altura de pérdidas es: H ϕ = f
L v D
2
2g
En función del caudal será: H ϕ = f
8Q 2
L
D π 2 gD 4
Igualando ambas expresiones de la altura de pérdidas: H b − H n = f
L
8Q 2
D π 2 gD 4
Despejando el factor de fricción: f =
H b − H n
8 LQ 2
=
π 2 gD 5 ( H b − H n )
8LQ 2
π 2 gD 5
Sustituyendo valores: f =
π 2 gD 5 ( H b
8 LQ 2
− H n )
=
π 2 * 9 ,81 m / s 2 * 2 5 m 5 * 4 m
8 * 550 m * 9 ,594 2 m 6 / s 2
f =
=
0 , 0306
22
0 , 0306
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.5.- (C.U. 161) El rodete de una turbina Francis de eje vertical tiene un diámetro exterior D1 = 76cm y una sección de entrada con un área de paso efectiva S 1 = 0,2m 2 . El salto neto es H n = 26 m y la velocidad de giro Ω = 6 , 25 rps . El ángulo de salida de los álabes del distribuidor es α 1 = 15º y el ángulo de entrada de los álabes del rodete es β 1 = 105º . En la sección de salida del rodete la componente acimutal de la velocidad es nula. El agua entra en el rodete sin choque. El difusor es un tronco de cono recto de eje vertical, de 6 m de longitud, con un radio de la sección de entrada Dd 1 = 45cm y un semiángulo de apertura de 8º, cuya sección de salida se encuentra sumergida a una profundidad de 60 cm por debajo de la superficie libre del agua en el canal de desagüe. La altura de pérdidas en el interior del difusor es H Ld = 0,4Q 2 (Q en m³/s y H Ld en m). Tómese una presión atmosférica equivalente a 10,33 m de columna de agua. Calcular. a) Rendimiento hidráulico de la turbina. b) Potencia útil. c) Presión absoluta en la sección de entrada al difusor.
Solución: Distribuidor α 1 = 15º
Resumen de datos Rodete Entrada Salida D1 = 0,76m β 1 = 105º V u 2 = 0 S 1 = 0,2 m 2
23
Turbina Ω =
6 , 25 rps
Difusor Dd 1 = 45cm
H n = 26 m H Ld = 0,4Q 2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Rendimiento hidráulico de la turbina. Por definición: η h
=
H u H n
Dónde: H u =
V u1U 1
(Ya qué V u 2 = 0 )
g
(Dato del problema)
H n = 26 m
Del triángulo de velocidades:
U 1 = Ωπ D1 = 6,25rps * π * 0,76m = 14,923m / s
V u1 = U 1 + V m1ctg (β 1 )
=> V m1 = V u1tgα 1 = V u1tg15º = 0,268V u1
Reordenando términos: V u1 (1 − 0,268 ctg105 º ) = U 1 V u 1 =
U 1
(1 − 0 , 268 ctg 105 º )
=
14 ,923 m / s 1, 072
=
13 ,923 m / s
La altura útil será: H u =
U 1V u 1 g
=
14 ,923 * 13 ,923 9 ,81
=
21 ,18 m
Por lo que el rendimiento hidráulico es: η h
=
H u
=
H n
η h
21,18 26
=
= 0,815
24
0 ,815
V u1 = U 1 + 0,268V u1ctg105º
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Potencia útil. La potencia útil viene definida por: W u = ρ gQH u
Donde además tenemos como incógnita el caudal. V m1 =
Q S 1
Q = V m1 * S 1 = V m1 * 0, 2 m 2
La velocidad meridiana en la entrada del rodete, calculada en el punto anterior: V m1 = V u1tgα 1 = V u1tg15º = 0,268V u1 = 0,268 * 13,923m / s = 3,731m / s Q = V m1 * S 1 = V m1 * 0,2 m 2 = 3,731 m / s * 0,2 m 2 = 0,746 m 3 / s
Por lo que la potencia útil será: W u = ρ gQH u = 9810 N / m 3 * 0,746 m 3 / s * 21,18 m = 155 ,057 kW
W u = 155,057kW
25
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Presión absoluta en la sección de entrada al difusor.
Dd 2 = Dd 1 + 2tg (8º ) * 6m
Dd 2 = 0,45 + 1,715 = 2,136m
Pd 1 Pd 2 V d 21 ρ g − ρ g + 2 g Pd 2
ρ g
2g V d 22
2g
2g
+ [ zd 1 − zd 2 ] = H Ld
= 10,33m + 0,6m = 10,93m
2
V d 1
−
V d 22
=
=
8Q 2 π 2 gDd 21
8Q 2 π 2 gDd 22
8(0,746 )2 = 2 4 π * 9,81m / s 2 * (0,45 ) 8(0,746 )2 = 2 4 π * 9,81m / s 2 * (2,136)
= 1,121m
= 0,002m
zd 1 − zd 2 = 6,0m 2
2 H Ld = 0,4Q = 0,4 * (0,746 ) = 0, 223m
Pd 1 = ρ g (0,223 + 10,93 − 1,121 + 0,002 − 6) = 39.573,54 N / m 2
Pd 1 = 39.573,54 N / m 2
26
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.6.- (C.U. 161) El rodete de una turbina de flujo radial tiene un diámetro exterior D1 = 1m y un diámetro interior D2 = 0,75m . Las anchuras de los álabes en las secciones de entrada y salida del rodete son, respectivamente, b1 = 10cm y b2 = 27cm . El ángulo de salida de los álabes del distribuidor es α 1 = 10º , y los ángulos de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida son, respectivamente, β 1 = 100º y β 2 = 165º . Las secciones de paso en la entrada y en la salida del rodete se reducen en un 15% debido al espesor de los álabes. Los rendimientos orgánico y volumétrico son, respectivamente, η 0 = 0,97 y η v = 0,96 . La altura correspondiente a la energía cinética del agua a la salida del rodete es de 3,42m. Determinar: a) Componente radial de la velocidad en la sección de entrada del rodete vr 1 . b) Potencia en el eje.
Solución:
Distribuidor
α 1 = 10º
Resumen de datos Rodete Turbina Entrada Salida D1 = 1m D2 = 0,75m b1 = 0,10m b2 = 0,27m η v = 0,96 β 1 = 100º β 2 = 165º v22 / (2 g ) = 3,42m η 0 = 0,97
27
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Componente radial de la velocidad en la sección de entrada del rodete vr 1 . Del triángulo de velocidades a la entrada, tenemos:
tgα 1 =
V m1 V u1
V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1
De dónde:
V m1 tgα 1
= U 1 + V m1ctg β 1
Del triangulo de salida tenemos:
V u 2 = U 2 + V m 2ctgβ 2
V 2 = V u22 + V m22
De dónde:
U 2 = V 22 − V m22 − V m 2ctgβ 2
Además nos dicen que: V 22
2g
= 3,42 m
=>
V 22 = 67,1m / s
También podemos relacionar entre si las velocidades de arrastre y meridianas de ambos triángulos: U 1 U 2
V m1 V m 2
=
D1
U 1 =
π b2 D2 => π b1 D1
V m1 =
D2
=
D1
=>
D2
U 2 = 1,333U 2
b2 D2 b1 D1
=>
V m 2 = 2,025V m 2
28
U 1 = 1,333 V 22 − V m22 − V m2ctgβ 2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Sustituyendo en la expresión V m1 tgα 1
= U 1 + V m1ctg β 1
Tendremos: 2,025V m 2 tgα 1
( V − V
= 1,333
2,025V m 2 tgα 1
0,75
2 2
2
m2
)
− V m 2ctg β 2 + 2,025V m 2 ctg β 1
( V − V
− V m 2ctgβ 2
− ctg β 1 + V m 2ctgβ 2 =
( V − V )
− 2,025V m 2ctg β 1 =
1 tgα 1
0,75 * 2,025V m 2
2 2
2
m2
2 2
)
2
m2
Sustituyendo valores: 1
0,75 * 2,025V m 2
tg10º
− ctg100º + V m 2ctg165º =
(
67,1 − V m22
5,149V m2 = 67,1 − V m22 26,512V m22 = 67,1 − V m22 27,512V m22 = 67,1 Despejando: V m 2 =
67,1 27,512
= 1,562 m / s
Por lo tanto: V m1 = 2,025V m 2 = 2,025 *1,562 = 3,162m / s
V m1 = 3,162m / s
29
)
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Potencia en el eje. La potencia en el eje viene dada por: W t = ρ gQH uη t
Dónde: ρ g
= 9810 N / m
2
3
Q = V m1π b1 D1η v 0,85 = 3,162m / s * π * 0,1m * 1m * 0,96 * 0,85 = 0,811m / s H u =
V u1U 1 − V u 2U 2 g V u1 =
V m1 tgα
=
3,162 = 17 ,933 m / s tg10 º
U 1 = V u1 − V m1ctgβ 1 = 17,933 − 3,162ctg100º = 18,490m / s
V u 2 = V 22 − V m22 =
67,1 − 1,5622 = 8,041m / s
U 2 = V u 2 − V m 2ctgβ 2 = 8,041 − 1,562ctg165º = 13,870m / s
H u =
17,933 * 18,490 − 8,041 * 13,870 9,81
η t = η 0
=
22,43m
= 0,97
Por lo tanto: W t = 9810 N / m2 0,811m3 / s * 22,43m * 0,97 = 173.105,77W
W t = 173,11kW
Obsérvese que el rendimiento volumétrico no se tiene en cuenta en el rendimiento total porque ya se ha tenido en cuenta en el cálculo del Caudal
30
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 13.6 Bis.- (C.U. 161) El rodete de una turbina de flujo radial tiene un diámetro exterior D1 = 1m y un diámetro interior D2 = 0,75m . Las anchuras de los álabes en las secciones de entrada y salida del rodete son, respectivamente, b1 = 10cm y b2 = 27cm . El ángulo de salida de los álabes del distribuidor es α 1 = 10º , y los ángulos de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida son, respectivamente, β 1 = 100º y β 2 = 165º . Las secciones de paso en la entrada y en la salida del rodete se reducen en un 15% debido al espesor de los álabes. Los rendimientos orgánico y volumétrico son, respectivamente, correspondiente ente a la energía cinética del agua a la salida del η 0 = 0,97 y η v = 0,96 . La altura correspondi rodete es de 3,42m. Determinar: c) Componente meridional de la velocidad en la sección de entrada del rodete V m1 . d) Potencia en el eje.
Solución:
Distribuidor
α 1 = 10º
Resumen de datos Rodete Turbina Entrada Salida D1 = 1m D2 = 0,75m b1 = 0,10m b2 = 0,27m η v = 0,96 β 1 = 100º β 2 = 165º v22 / (2 g ) = 3,42m η 0 = 0,97
31
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Componente meridional de la velocidad en la sección de entrada del rodete V m1 . En este problema desconocemos el caudal y la velocidad de giro, por lo que tendremos que expresar la velocidad meridional y de arrastre en función de estos: Del triángulo de velocidades a la entrada, tenemos:
(1) tgα 1 =
V m1 V u1
(2) V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1 De dónde:
V m1 =
Q *η v
=
π 0,85b1 D1
0,96Q = 3,595Q π * 0,85 * 0,1 *1 De (2) U 1 =
U 1 = n
π
D1 = n
60
60
3,595Q − 3,595Qctg100º = 21,022Q tg10º
* 1 = 0,0524n
Del triangulo de velocidades a la salida tenemos:
(3)
De dónde: V m 2 =
Q *η v
π 0,85b2 D2
U 2 = n
D2 = n
60
=
0,96Q = 1,775Q π * 0,85 * 0,27 * 0,75
π
60
* 0,75 = 0,0393n
32
V u 2 = U 2 + V m 2ctgβ 2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Como además se verifica, que: U 1
U 2
=
D1
D2
⇒ U 2
=
D2 D1
U 1
Expresando la velocidad de arrastre a la entrada del rodete en función del caudal: U 2 =
D2 D1
U 1 =
0,75m * 21,022Q = 15,767Q 1m
Sustituyendo valores en (3): V u 2 = U 2 + V m 2 ctgβ 2 = 15,767Q + 1,775Qctg165º = 9,143Q
Como nos dicen: v22 / (2 g ) = 3,42m
=>
V 2 = 8,191m / s
=>
8,191m / s = (1,775Q )2 + (9,143Q )2
Como además: 2 2 2 V = V m 2 + V u 2
De dónde: Q=
8,191m / s 9,314
= 0,879m
3
/ s
Por lo tanto: V m1 = 3,595Q = 3,595 * 0,879m3 / s = 3,162m / s
V m1 = 3,162m / s
Otra forma de calcular el caudal, seria: V m1 =
Q *η v
π 0,85b1 D1
=
0,96Q = 3,595Q = 3,162 π * 0,85 * 0,1 *1 Q=
3,162 3 = 0,879m / s 3,595
33
= 9,314Q
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Potencia en el eje. La potencia en el eje o potencia total viene dada por: W t = ρ gQH nη t
Como desconocemos la altura neta y el rendimiento hidráulico, emplearemos la altura útil, ya que: H u = H nη h
Como además: η t = η hη vη 0
Por lo que: (η v ya se ha tenido en cuenta en los cálculos anteriores)
W t = ρ gQH uη 0
La altura útil la podemos hallar por la ecuación de Euler: H u =
U 1V u1 − U 2V u 2 g
Dónde: U 1 = 21,022Q = 21,022 * 0,879 = 18,478m / s V u1 = 3,595Q / tg10º = 20,388Q = 20,388 * 0,879 = 17,921m / s
U 2 = 15,767Q = 15,767 * 0,879 = 13,859m / s V u 2 = 9,143Q = 9,143 * 0,879 = 8,037 m / s
Sustituyendo valores: H u =
U 1V u1 − U 2V u 2 g
=
18,478 *17,921 − 13,859 * 8,037 = 22, 4m 9,81
34
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Sustituyendo valores en la expresión de la potencia: W t = ρ gQH uη vη 0 = 1000 * 9,81 * 0,879 * 22,4m * 0,97 = 187.360,33W
W t = 187,36kW
35
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas)
36
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) 2h E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Septiembre 2006. Duración
Problema 13.7.- 4.- Se dispone de los siguientes datos geométricos del rodete de una turbina hidráulica de flujo radial: D1 = 1,2m; D2 = 0,7 m; b1 = 0,15m; b2 = 0,35m; β 1 = 110 º y β 2 = 150 º . Se supondrán los siguientes rendimientos volumétrico, orgánico y del generador eléctrico: η v = 0,95 η 0 = 0,96 y η e = 0,92 a) Determinar el ángulo de salida de los álabes del distribuidor, α 1 necesario para que el agua salga del rodete con dirección radial. b) Determinar la velocidad de giro del rodete y la potencia que suministrará el generador eléctrico si la velocidad absoluta del agua a la salida del rodete es v 2 = 8m / s cuando el ángulo de salida de los álabes del distribuidor es α 1 = 15º . (Nota: La velocidad v2 no tiene en este caso dirección radial)
Solución:
Distribuidor
α 1 = 15º
Resumen de datos Rodete Turbina Entrada Salida D1 = 1,2 m D2 = 0,70 m η v = 0,95 b1 = 0,15m b2 = 0,35m η 0 = 0,96 β 1 = 110 º β 2 = 150 º η e = 0,92 V u 2 = 0 v 2 = 8m / s
37
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Determinar el ángulo de salida de los álabes del distribuidor, α 1 necesario para que el agua salga del rodete con dirección radial. En este problema desconocemos el caudal y la velocidad de giro, por lo que tendremos que expresar la velocidad meridional y de arrastre en función de estos: Del triángulo de velocidades a la entrada, tenemos:
(3) tgα 1 =
V m1 V u1
(4) V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1 De dónde: V m1 =
Q *η v
π b1 D1
U 1 = n
π
=
0,95Q = 1,680Q π * 0,15 * 1,2
D1 = n
60
60
* 1,2 = 0,0628n
Del triangulo de velocidades a la salida tenemos:
(5) tg (180º −150º ) =
De dónde: V m 2 =
Q *η v
π b2 D2
=
0,95Q = 1, 234Q π * 0,35 * 0,7 De (3)
U 2 = n
π
D2 = n
60
60
* 0,7 = 0,0367n
38
U 2 =
V m 2 tg (30º )
=
2,138Q
V m 2 U 2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Como además se verifica, que: U 1
=
D1
U 2 D2
⇒ U 1 =
D1 D2
U 2
Expresando la velocidad de arrastre a la entrada del rodete en función del caudal: U 1 =
D1 D2
U 2 =
1,2m * 2,138Q = 3,665Q 0,7m
Sustituyendo valores en (2): V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1 = 3,665Q + 1,680Q * ctg (110º ) = 3,053Q
Si ahora sustituimos valores en (1), tendremos: tgα 1 =
V m1 V u1
V 1,680Q = 28,82º α 1 = arctg m1 = arctg 3 , 053 V Q u1
α 1 = 28,82º
39
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Determinar la velocidad de giro del rodete y la potencia que suministrará el generador eléctrico si la velocidad absoluta del agua a la salida del rodete es v 2 = 8m / s cuando el ángulo de salida de los álabes del distribuidor es α 1 = 15º . (Nota: La velocidad v2 no tiene en este caso dirección radial) b.1) Velocidad de giro del rodete Del triángulo de velocidades a la entrada del rodete: tg (180º − β 1 ) = tgα 1 =
V m1 U 1 − V u1
V m1 V u1
De estas dos ecuaciones: V u1 = U 1 −
V m1 tg (180º − β 1 ) U 1 −
V u1 =
V m1 tg (180º − β 1 )
=
V m1 tgα 1
=>
U 1 =
V m1 tg (180 º − β 1 )
+
V m1 tgα 1
V m1 tgα 1
Sustituyendo valores: U 1 =
V m1 tg (180 º −110 º )
+
V m1 tg15º
=
=>
4,096V m1
U 1 =
4,096V m1
Del triángulo de velocidades a la salida del rodete:
tg (180º − β 2 ) =
V m 2 U 2 − V u 2
V u 2 = U 2 + V m 2ctgβ 2
Nos dan cómo dato de este triángulo: V 2 = 8m / s
V 2 = V m22 + V u22
Cómo además:
40
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Por lo tanto debemos encontrar los valores de la velocidad meridional y acimutal en la salida, y mediante la relación entre la velocidad meridional en la entrada, y la velocidad radial en la salida: V m 2 = V m1
b1 D1 b2 D2
=>
V m 2 = V m1
=>
U 2 =
0,15 1,2 0,35 0,7
=
0,735V m1
V m2 = 0,735V m1
Además: U 2
=
D2
U 1 D1
D2 D1
U 1 =
0,7m * 4,096V m1 1,2m
U 2 = 2,389V m1
Sustituyendo valores en la expresión de la velocidad acimutal en la salida del rodete: V u 2 = U 2 + V m 2 ctgβ 2
=>
V u 2 = 2,389V m1 + 0,735V m1ctg (150º ) = 1,116V m1
Con lo qué tenemos las dos relaciones buscadas: V m2 = 0,735V m1
V 2 = V m22 + V u22
V 2 =
(0,735V m1 )2 + (1,116V m1 )2 = 1,336V m1
V u 2 = 1,116V m1
Igualando los valores de la velocidad absoluta en la salida del rodete: V 2 = 8,0m / s
8,0m / s = 1,336V m1
V m1 = 5,987m / s
V 2 = 1,336V m1
4,096V m1
U 1 = 4,096(5,987 m / s ) = 24,522 m / s
U 2 = 2,389V m1
U 2 = 2,389(5,987m / s ) = 14,303m / s
U 1 =
n=
60U 1 π D1
=
60 * 24,522m / s = 390,3rad / s π *1,2m
Se puede comprobar la validez del resultado, volviendo a hallar la velocidad n=
60U 2 π D2
=
60 *14,303m / s = 390,3rad / s π * 0,7m n = 390 ,3rad / s
41
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b.2) Potencia que suministra el generador eléctrico: Cómo: W e = W t η e
Dónde: W t = ρ gQH nη t
H n =
H u
η t = η hη vη 0
η h
Por lo que: W t = ρ gQH uη vη 0
Necesitamos conocer el caudal y la altura útil: Q = V m1 * π * b1 * D1
Dónde: V m1 = 5,987m / s Q = 5,987 m / s * π * 0,15m * 1,2m / s = 3,386m3 / s
b1 = 0,15m D1 = 1,2m
La altura útil según la ecuación de Euler: H u =
U 1V u1 − U 2V u 2 g
Dónde: U 1 = 24,522 m / s
U 2 = 14,303m / s H u = (U 1V u1 − U 2V u 2 ) / g V u 2 = 1,116V m1 = 1,116 * 5,987 m / s = 6,681m / s
42
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) V u1 = U 1 −
H u =
V m1 tg (180º − β 1 )
U 1V u1 − U 2V u 2 g
=
=
24,522m / s −
5,987 m / s tg (70º )
=
22,343m / s
24,522 * 22,343 − 14,303 * 6,681 = 46,11m 9,81
Por lo que la potencia total será: W t = ρ gQH nη t = 1000 * 9,81 * 3,386m / s * 46,11m * 0,95 * 0,96 = 1396837,616W
W t = 1.396.837,616W
La potencia que suministra el generador eléctrico: W e = W t η e = 1396837,616W * 0,92 = 1.285.090,606W
W e = 1.285,091kW
43
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas)
44
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Septiembre 2006. Duración 2h
Problema 13.8.- 4.- Una turbina Francis de flujo radial tiene un rodete con las siguientes dimensiones: diámetro interior D2 = 0,8m y anchuras de los álabes en las secciones de entrada y salida b1 = 0,16m y b2 = 0,4m , respectivamente, y ángulo de los álabes a la salida β 2 = 140º . La turbina incorpora un distribuidor cilíndrico de álabes giratorios y está acoplada a un alternador que gira a una velocidad n = 250 rpm . Obtener la ecuación de la curva característica H = f (Q) para esta velocidad de giro y para una apertura del distribuidor para que el ángulo de los álabes a la salida de éste es α 1 = 20º . Representar gráficamente dicha curva.
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Entrada Salida D2 = 0,8m b1 = 0,16m
α 1 = 20º
Turbina n=
250 rpm
b2 = 0,4m
β 2 = 140º
45
H = f (Q )
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Triángulos de velocidades a la entrada del rodete:
V mx
tgα x =
V u1 =
V ux
V ux = U x + V mx ctgβ x
V m1 tgα 1
V u 2 = U 2 + V m 2ctgβ 2
Dónde: V mx =
Qη v
π b x D x
U x = n
π
60
D x
La ecuación que relaciona la altura con el caudal puede ser la ecuación de Euler: H u =
V u1U 1 − V u 2U 2 g
gH u = V u1U 1 − V u 2U 2 gH u =
gH u =
V m1 tgα 1
*n
π D1
60
Qη v
π b1 D1tgα 1
− (U 2 + V m 2ctgβ 2 )U 2
*n
π D1
60
− U 2 + U 2 2
Qη v
π b2 D2
ctgβ 2
Reduciendo términos: gH u =
Qη v b1tgα 1
*
60 n
− U 2 + U 2 2
Qη v
π b2 D2
ctgβ 2
Como no nos dan ningún valor del rendimiento volumétrico consideramos que no hay pérdidas y que η v = 1 y además la velocidad de arrastre a la salida es: U 2 = n
π
D2 = 250
60
π
60
* 0,8m = 10,472m / s
46
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Sustituyendo términos: gH u =
H u =
Q 250 2 ctg (140º ) − 10,472 + 10,472 0,16tg 20º 60 π 0,4 * 0,8 Q
*
1 (71,549Q − 109,663 + 12,414Q ) 9,81 H u = 8,559Q − 11,179
Cuya representación grafica sería: Hu(m) -11,179 -2,620 0 5,939 14,498
Q(m³/s) 0 1 1,306 2 3
47
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas)
48
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Septiembre 2008. Duración: 2h
Problema 13.9.- 4.- Una turbina de eje vertical, por la que circula un caudal Q = 20m3 / s gira a una velocidad n = 500 rpm y tiene un rendimiento total η t = 0,85. En la brida de unión de la voluta a la tubería forzada, de diámetro interior D1 = 1,8m existe una presión manométrica p1 = 15kg / cm 2 . La altura de la sección de salida del rodete sobre el canal de desagüe es H = 5m. El diámetro de la sección de entrada del difusor debe ser D2 = 1,8m. (Se supondrán despreciables las pérdidas de energía dentro del difusor y la diferencia de cotas entre las secciones de entrada a la turbina y salida del rodete.) a) Diseñar la forma geométrica del difusor de la turbina de forma que se alcance una potencia en el eje W t = 26 MW b) Indicar el tipo de turbina de que se trata.
Solución:
Entrada D1 = 1,8m
Resumen de datos Rodete Turbina Salida Q = 20m3 / s n = 500 rpm D2 = 1,8m. η t = 0,85. H = 5m. p1 = 15kg / cm 2 W t = 26 MW
49
Distribuidor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Diseñar la forma geométrica del difusor de la turbina de forma que se alcance una potencia en el eje W t = 26 MW De la ecuación de la potencia total: W t = 26 MW = ρ gQH nη t
Tenemos como incógnita la altura neta H n cuyo valor ha de ser:
1
H n = 26 MW
=
ρ gQη t
26 *106W
1 = 155,9m 9810 * 20 * 0,85
La pérdida de altura en el difusor viene dada por: P2 ρ g
P + + z2 = 3 2g ρ g v22
P2 − P3 ρ g
+
v22 − v32
2g
+
v32
2g
+ z3 + H L
+ z2 − z3 = H L = 0 d
d
(1)
Dónde: P3 = Pa = 0 z2 − z3 = 5m
Para hallar el resto de valores de la expresión velocidades a la entrada del rodete: U 1 = n
V m1 =
π
(1) comenzamos con el triangulo de
D1
60
Q
=
S 1
Q
2 = D1
π
4Q π D12
4
Dando valores: U 1 = n
D1 = 500
60
π
60
1,8 = 47,123m / s
4 * 20m 2 / s V m1 = 2 = 7,859m / s π (1,8m ) H u g 155,90m * 9,81m / s 2 V u1 = = U 1 47,123m / s
V 12 = V m21 + V u21 =
32,455m / s
50
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) 2
2
2 2 2 2 2 V 1 = V m1 + V u1 = (7,859 ) + (32,455 ) = 1115,094m / s
En la salida del rodete: V m 2 =
4 * 20m 2 / s 2 π (1,8m )
=
=> V m22 = 61,764m 2 / s 2
7,859m / s
Cómo: P1 − P2 ρ g
+
v12 − v22
2g
+ z1 − z2 = H n = 155,90m
Dónde: P1 − P2 15 *104 * 9,81 − P2 ρ g = 1000 * 9,81
= 150m −
P2
ρ g
v12 − v22 1115,094 − 61,764 = 53,687m 2g = 2 * 9 , 81
[ z1 − z2 ] = 0 P2 150m − ρ g P2
ρ g
+
53,687 + 0 = 155,90m 2 * 9,81
= 152,736 − 155,90 = −3,164m
Sustituyendo los valores hallados en (1) 61,746 − v32 − 3,164 + 2 * 9,81
+ 5 = 0
Despejando v3 : 61,746 − v32 v3 =
= −1,836 * 2 * 9,81
61,746 + 1,836 * 2 * 9,81 = 9,888m / s
51
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Para calcular el diámetro en 3, por continuidad el caudal en 3 será igual a la velocidad por la sección, es decir: D32
Q = V 3 * S 3 = V 3 * π
=>
4
D3 =
4 *Q π * V 3
4 * 20m3 / s = 1,605m π * 9,888m / s
D3 =
La suposición de que el difusor es divergente es errónea, puesto que D3 < D2 el difusor es convergente.
b) Indicar el tipo de turbina de que se trata. ns = n
(W / 735 )1 / 2 5 / 4
H n
Dónde: W t = 26 MW
n = 500 rpm
ns
H n = 155,9m
1 / 2 26 *10 6 / 735) ( = 500 = 170,7 5 / 4
(155,9)
Teniendo en cuenta los valores de la siguiente tabla: Tipo de turbina Pelton lenta Pelton normal Pelton rápida Francis lenta Francis normal Francis rápida Kaplan lenta Kaplan rápida Kaplan ultrarrápida
ns
2-30 30-50 40-65 50-125 125-225 225-500 350-600 600-800 800-1000 Se trata de una turbina Francis Normal
52
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Primera semana. Febrero 2010. Duración: 2h (3,5P)
Problema 13.10.- 3.- Los diámetros exterior e interior del rodete de una turbina son D1 = 1,8m y D2 = 1m y las anchuras de sus álabes en las secciones de entrada y salida son b1 = 21cm y b2 = 45cm respectivamente. La turbina proporciona una potencia útil & = 12 MW funcionando bajo un salto neto H = 114m y con un caudal Q = 12m3 / s . El W u n rodete gira a una velocidad n = 430rpm . La velocidad absoluta a la salida del rodete tiene dirección radial. La pérdida de energía en el estator se tomará igual a la energía cinética del agua a la salida del rodete y el rendimiento volumétrico se supondrá igual a 1. Determinar: a) Triángulo de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete. b) Ángulos de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida de los álabes del distribuidor. c) Rendimiento hidráulico y altura de pérdidas en el rodete. d) Tipo de turbina de que se trata.
Solución:
Entrada D1 = 1,8m b1 = 21cm
Resumen de datos Rodete Turbina Salida Q = 12m3 / s & = 12 MW D2 = 1m W u n = 430 rpm . b2 = 45cm H n = 114m V u 2 = 0 η v = 1
53
Distribuidor
H Lest = v22 / (2 g )
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Triángulo de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete. En el triángulo de velocidades en la entrada del rodete, tenemos: V m1 = tgα 1 =
V m1 V u1
V u1 =
Q
π b1 D1η v gH u U 1
U 1 = n
12m 3 / s V m1 = = = 10,105m / s π b1 D1η v π * 0,21m *1,8m Q
π
U 1 = n
& W
u
=
V u1 =
60
D1 = 430
ρ gQH u
π
60
V m1 = 10,105m / s
U 1 = 40,527m / s
1,8m = 40,527 m / s
=>
12 *10 6 Nm / s H u = = = 101,937 m ρ gQ 1000 * 9,81*12 N / s
9,81m / s 2 * 101,937m = U 1 40,527m / s
gH u
D1
60
& W u
=
24,675m / s
V u1 = 24,675m / s
En el triángulo de velocidades a la salida del rodete, tenemos:
V m 2 = tg (180º − β 2 ) =
V m 2 U 2
Q
π b2 D2η v
V u 2 = 0 U 2 = n
12m3 / s V m2 = = = 8,49m / s π b2 D2η v π * 0,45m *1m *1 Q
U 2 = n
π
60
D2 = 430
π
60
60
D2
V m 2 = 8,49m / s
U 2 = 22,515m / s
1m = 22,515m / s
54
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Ángulos de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida de los álabes del distribuidor. Del triangulo de velocidades a la entrada del rodete: tg (180º − β 1 ) =
V m1 U 1 − V u1
V 10,105 β 1 = 180º −arctg m1 = 180º −arctg = 147,48º U V 40 , 527 24 , 675 − − 1 u1 β 1 = 147,48º tgα 1 =
α 1
V m1 V u1 V m1
= arctg
V u1
10,105 = 22,27 º 24 , 675
= arctg
α 1 = 22,27º
Del triángulo de velocidades a la salida del rodete:
tg (180º − β 2 ) =
V m 2 U 2
8,49 β 2 = 180 º −arctg = 180º −20,66 = 159,34º 22,515
β 2 = 159,34º
55
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Rendimiento hidráulico y altura de pérdidas en el rodete. c.1) El rendimiento hidráulico en una turbina, viene dado por el cociente: η h
=
H u
η h
H n
=
H u H n
=
101,937 114
η h
= 0,894
= 0,894
c.2) La suma de la altura de pérdidas, es la diferencia entre la altura neta y la altura útil: H n − H u = H L = H Le + H Lr
Dónde: H L = H n − H u = 114m − 101,937 m = 12,063m
Cómo según el enunciado: H Le
(8,49)2 = = = 3,672m 2 g 2 * 9,81 V 22
Por lo tanto: H Lr = H L − H Le = 12,063 − 3,672 = 8,391m
H Lr = 8,391m
d) Tipo de turbina de que se trata.
ns =
1 nP 2
5 = H n 4
(
)
1 2
430(12 * 10 / 735) 6
(114)
5 4
= 147,49
=>
56
FRANCIS NORMAL
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Primera semana. Junio 2014. Duración: 2h (4 P) & = 15 MW Problema 13.11.- 3.- Una turbina de flujo radial proporciona una potencia útil W u con un rendimiento hidráulico del 90% funcionando con un caudal Q = 12m3 / s . Los diámetros exterior e interior del rodete son, respectivamente D1 = 1,9m y D2 = 1,1m y las anchuras de sus álabes en las secciones de entrada y salida son b1 = 21cm y b2 = 45cm . El rodete gira a una velocidad n = 430 rpm . Para este caudal el agua entra sin choque en el rodete y la velocidad absoluta a la salida del rodete tiene dirección radial. La pérdida de energía en el estator se tomará igual a la energía cinética del agua a la salida del rodete. Determinar:
a) Componentes de la velocidad relativa en las secciones de entrada y salida del rodete. b) Ángulo de salida de los álabes del distribuidor y ángulos de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida. c) Representar los triángulos de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete indicando el sentido de los vectores. d) Salto neto y altura de pérdidas en el rodete. e) Tipo de turbina de que se trata. (puede utilizarse la tabla que se incluye a continuación) Tipo de turbina Pelton lenta Pelton normal Pelton rápida Francis lenta Francis normal Francis rápida Kaplan lenta Kaplan rápida Kaplan ultrarrápida
ns
2-30 30-50 40-65 50-125 125-225 225-500 350-600 600-800 800-1000
Solución:
Entrada D1 = 1,9m b1 = 21cm
Resumen de datos Rodete Turbina & = 15 MW Salida W u η n = 0,90 D2 = 1,1m b2 = 45cm Q = 12m3 / s n = 430 rpm . V u 2 = 0
57
Difusor
H Lest = v22 / (2 g )
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Componentes de la velocidad relativa en las secciones de entrada y salida del rodete. a.1) En el triángulo de velocidades en la entrada del rodete, tenemos:
(U 1 − V u1 )2 + V m21
W 1 =
V m1 = tgα 1 =
V m1
V u1 =
V u1
Qη v
π b1 D1 gH u
U 1 = n
U 1
π
D1
60
Puesto que no nos dicen nada de las pérdidas en el rodete, consideramos que el rendimiento volumétrico es igual a la unidad. 12m3 / s V m1 = = = 9,573m / s π b1 D1 π * 0,21m *1,9m Q
U 1 = n
& W
u
=
D1 = 430
60
ρ gQH u
π
60
V m1 = 9,573m / s
U 1 = 42,778m / s
1,9m = 42,778m / s
15 *106 Nm / s H u = = = 127,421m ρ gQ 1000 * 9,81*12 N / s & W u
=>
Según la ecuación de Euler: H u =
V u1 =
V u1U 1
(Ya que V u 2 = 0 )
g
gH u U 1
=
9,81 *127,421 = 29,221m / s 42,778
V u1 = 29,221m / s
Del triángulo de velocidades a la entrada del rodete obtenemos: W 1 =
(U 1 − V u1 )2 + (V m1 )2
=
(42,778 − 29,221)2 + (9,573)2 = 16,596m / s
W 1 = 16,596m / s
58
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) a.2) En el triángulo de velocidades a la salida del rodete, tenemos: 2 2 W 2 = U 2 + V m 2
V m2 = tg (180º − β 2 ) =
V m 2 U 2
Qη v
π b2 D2
V u 2 = 0 U 2 = n
12m3 / s V m 2 = = = 7,717m / s π b2 D2 π * 0,45m *1,1m Q
U 2 = n
π
D2 = 430
60
60
D2
V m 2 = 7,717 m / s
U 2 = 24,767m / s
1,1m = 24,767m / s
W 22 = U 22 + V m22 ⇒ W 2 =
60
(24,767m / s )2 + (7,717m / s )2
= 25,941m / s
W 2 = 25,941m / s
59
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Ángulo de salida de los álabes del distribuidor y ángulos de los álabes del rodete en las secciones de entrada y salida. b.1) Del triangulo de velocidades a la entrada del rodete:
tgα 1 =
α 1
V m1 V u1 V m1
= arctg
V u1
9,573 = 18,139º 29,221
= arctg
α 1 = 18,139º
tg (180º − β 1 ) =
β 1
V m1 U 1 − V u1
V m1 9,573 = 180º −arctg = 144,77º 42,778 − 29,221 U 1 − V u1
= 180º −arctg
Ó bien: V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1
β 1
V u − U 1 29,221 − 42,778 = arcctg = 144,77º 9,573 V m1
= arcctg 1
β 1 = 144,77º
b.2) Del triángulo de velocidades a la salida del rodete:
tg (180º − β 2 ) =
β 2
V m 2 U 2
7,717 = 180º −17,31 = 162,69º 24 , 767
º −arctg = 180
β 2 = 162,69º
60
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Representar los triángulos de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete indicando el sentido de los vectores.
d) Salto neto y altura de pérdidas en el rodete. d.1) Cómo el rendimiento hidráulico en una turbina, viene dado por el cociente: η h
=
H u H n
Despejando el salto neto será: H n =
H u
η h
=
127,421 = 141,579 0,90 H n = 141,579
61
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) d.2) La suma de la altura de pérdidas, es la diferencia entre la altura neta y la altura útil: H L = H n − H u = H Lr + H Le H L = H n − H u = 141,579m − 127,421m = 14,158m
Por lo tanto: H L = H Lr + H Lest = 14,158m
Como nos dicen qué:
(7,717m / s )2 H Lest = = 2 g 2 * 9,81m / s 2 V 22
= 3,035m
H Lr = H L − H Lest = 14,158 − 3,035 = 11,123m
H Lr = 11,123m
No nos dicen nada de las pérdidas en el difusor por lo que no las hemos tenido en cuenta. e) Tipo de turbina de que se trata. Puesto que la velocidad específica viene dada por: ns = n
ns = n
(W / 735 )1 / 2 H n5 / 4
(W / 735)1 / 2 H n5 / 4
1 / 2 ( 15 *106 / 735) = 430 = 125,783
141,5795 / 4
Se trata de una turbina Francis Normal
62
