13 Transformation Systeme Matriciel 4parpage

Introduction

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Pour le moment, on a traité de problèmes 1D pour illustrer les concepts de base de la résolution de problèmes par la méthode des éléments finis. → On n’avait pas vraiment à se soucier de l’orientation spatiale des éléments → La seule transformation que l’on a eu à faire est une translation des axes globaux et locaux, et ce, dans certains cas uniquement. → On a vu qu’il était commode de définir les fonctions de forme d’un élément dans son repère local: →

Trans. Sys.

Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

! Matri.

!

Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

Changement base

Changement base

Transformation du système matriciel d’un élément

Elles ont toujours la même forme mathématique pour le même type d’élément – On n’aura qu’à leur appliquer un changement de base pour pouvoir les exprimer dans un repère global à la structure. –

Introduction

Matrice de rotation d’un vecteur en 3D

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On sait que pour le calcul de structures, on travaille souvent en 3D même si l’on utilise des éléments 1D (poutres) ou 2D (plaques) → Les formulations de ces éléments sont établies dans leur repère local → Le problème que l’on a à solutionner est de calculer les forces et déplacements d’une structure dans son repère qui lui est propre: le repère global. → Il est donc nécessaire d’exprimer la contribution de chaque élément dans le repère global. →


!

Changement base

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Dans le cadre d’un problème de mécanique, les déplacements et les forces sont des quantités vectorielles. → La formulation d’un élément permet de calculer ces quantités dans le repère local de l’élément → Il est donc nécessaire d’exprimer ces quantités dans le repère de base de la structure car c’est bien celui-là qui nous intéresse. →


!

Changement base

Figure 1: Illustration d’un vecteur arbitraire dans le repère global et un repère local x! y ! z !



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Problème Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

!

Changement base

On souhaiterait, à partir de la connaissance des composantes de " exprimées dans le repère xyz obtenir celles dans le repère V x! y ! z ! → Cela peut se faire à l’aide de la connaissance des cosinus directeurs. En 2D on aura les angles directeurs: →


!

Changement base

En 3D, on aura:      cos θ(x! , x) cos θ(x! , y) cos θ(x! , z)  Vx   Vx!  V ! =  cos θ(y ! , x) cos θ(y ! , y) cos θ(y ! , z)  Vy  y    Vz ! cos θ(z ! , x) cos θ(z ! , y) cos θ(z ! , z) Vz (1) qui peut se mettre sous la forme {V ! } = [R]x→x! {V }. →

Figure 2: Illustration des angles directeurs


On peut voir que ces opérations consistent à projeter les " sur les vecteurs de la base x! y ! z ! composantes de V

Rotation d’un élément de plaque à 3 noeuds

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Soit l’élément de plaque à 3 noeuds suivant: Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

!


Changement base

Changement base

!

     cos θ(x! , x) cos θ(x! , y) cos θ(x! , z)  Vx   Vx!  Vy V ! =  cos θ(y ! , x) cos θ(y ! , y) cos θ(y ! , z)   y    Vz cos θ(z ! , x) cos θ(z ! , y) cos θ(z ! , z) Vz !

Une autre manière de déterminer la matrice de rotation [R]x→x! que l’on notera maintenant par [R] uniquement est de constater que les lignes de cette matrice sont l’expression des vecteurs unitaires de la base x! y ! z ! dans la base xyz → On peut montrer que la matrice de rotation a la propriété , + suivante: R−1 = [R]T →

Figure 3: Illustration des systèmes d’axes d’un élément de plaque à 3 noeuds On va repère → On va repère →

noter par "u, "v et w " les vecteurs unitaires de la base du local de l’élément noter par "x, "y et "z les vecteurs unitaires de la base du global de la structure



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→ Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre


Changement base

Changement base

!

= Wx "x + Wy "y + Wz "z

→

"u est ! au segment défini par les noeuds 1 – 2 " est ! au segment défini par les noeuds 1 – 3 A " → w " est ! au vecteur "u × A → " v=w " × "u → Si l’on définit xij = xi − xj , on aura: →

→

"u = -

1 2 + z2 x221 + y21 21

1 (x21 "x + y21 "y + y21 "y ) Lu = ux "x + uy "y + uz "z

Rotation d’un élément de plaque à 3 noeuds Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

!

Changement base

" . Si l’on définit On peut " en normalisant W /calculer w LW = Wx2 + Wy2 + Wz2 alors on aura: 1 (Wx "x + Wy "y + Wz "z ) LW = wx "x + wy "y + wz "z

w "=

(4)

(2)

Comme "u ⊥ w " et que ces deux vecteurs sont unitaires, alors: . .   . x y z ..  wy uz − wz uy  . wz ux − wx uz "v = w " × "u = .. wx wy wz .. = . ux uy uz .  wx uy − wy ux  (5) La matrice de rotation de cet élément  ux uy [R] =  vx vy wx wy

de plaque est donc:  uz vz  wz

Rotation d’un élément de poutre

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= vx "x + vy "y + vz "z

→

.   .  uy z31 − uz y31  . .= .  uz x31 − ux z31  (3) . ux y31 − uy x31

(x21 "x + y21 "y + y21 "y )

=

→

On aura: . . x y z . " " W = "u × A = .. ux uy uz . x31 y31 z31

!

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→ Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

!

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Pour les éléments de poutre, il y a plus de variété car chaque fabricant de code de calculs éléments finis utilise la convention de son choix.

Convention de NASTRAN

Changement base

(6)

Figure 4: Définition des axes locaux d’unes poutre dans NASTRAN



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Convention ANSYS Trans. Sys. Matri. Introduction ! Rotation d’1 V Rotation plaque Rotation poutre

!


Changement base

Changement base

!

Convention de NASTRAN "u est selon l’axe de la poutre "0 : le vecteur V"0 est dans le plan uv w " ! "u × V → " v=w " × "u → Lorsque ces vecteurs unitaires sont calculés, la matrice de rotation peut être obtenue comme on l’a fait pour la plaque à 3 noeuds. →

Figure 5: Définition des axes locaux d’une poutre dans ANSYS

→


→ →

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"u est selon l’axe de la poutre ×! u "n = ||!!zz×! u||

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Trans. Sys. Matri. Changement

! base

Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

!

Changement base

Changement de base en éléments finis

Convention ANSYS →

On spécifie θ et on solutionne le système de 3 équations indépendantes à 3 inconnues qui permet de déterminer "v : "n × "v = "u sin θ "n · "v = cos θ

→

Par la suite, on aura w " = "u × "v

(7)

Introduction

Cas du barreau droit

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On a vu dans le problème du cadre à barreaux droits et dans les problèmes 1D théoriques étudiés précédemment que l’on devait exprimer les matrices de rigidité de tous les éléments dans le repère global afin pour pouvoir assembler la matrice de rigidité de la structure → Cette matrice est nécessaire pour calculer les forces et déplacements sur la structure → Il existe d’autres opérations qui modifient la matrice de rigidité de la structure:

Considérons le barreau droit suivant:

→ Trans. Sys. Matri. Changement base Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

!

Trans. Sys. Matri. Changement base Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

!

2 1

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Figure 6: Barreau droit avec ses axes locaux

Relâchement de degrés de liberté (simulation d’un boulon non serré dans le cadre du TP1) – Contraintes entre les degrés de liberté (MPC) –

→


!

Le barreau droit ne contient qu’un seul axe local, son axe x! → La matrice de rigidité de cet élément, dans son repère local, fait le lien entre les forces et déplacements aux noeuds de cet élément: 0 1 0 ! 1 + ! , u!1 f1 K = (8) u!2 f2! →

On verra que l’on peut réaliser toutes ces opérations de manière très élégante à l’aide d’opérations matricielles


où ux , uy et uz sont les composantes du vecteur local le long du barreau droit et les uij sont les composantes du vecteur déplacement dans le repère global au noeud i dans la direction j.

On peut écrire cette relation sous une forme plus compacte: 5 !6 ∆i = [P ] {∆i } (10)

où la matrice [P ] est appelée matrice de passage.


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On peut exprimer, comme on l’a fait précédemment, ces vecteurs en fonction de leurs projections selon les axes globaux:   u1x         u   1y   0 ! 1 2 3  u1 ux uy uz 0 0 0 u1z = (9) u!2 0 0 0 ux uy uz  u2x         u    2y   u2z

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!

→

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Si l’on ré-écrit la matrice de rigidité de l’élément, on a: + !, 5 ! 6 5 !6 K ∆i = fi

En utilisant la matrice de passage on obtient: + !, K [P ] {∆i } = [P ] {fi }

(11)

(12)

On peut montrer que (voir feuille manuscrite sur le site web): + , (13) [P ]T K ! [P ] {∆i } = {fi }

d’où l’expression de la matrice de rigidité dans le repère global: [K] {∆i } = {fi }

(14)

Libération de degrés de liberté


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Lorsque l’on libère un degré de liberté, il se détache de la structure et il ne transmet plus d’effort. → C’est ce que l’on a fait par exemple lorsque l’on a relâché la rotation d’une poutre autour de son axe dans le TP1 pour simuler un boulon libre de tourner. → On a vu que la formulation d’un élément dans son repère local peut s’exprimer sous la forme: [K ! ] {∆!i } = {fi! } → On va introduire une différence entre certains degrés de liberté


!


!

Les DL maîtres, notés ∆!m sont ceux qui sont attachés à la structure – Les DL esclaves, notés ∆!e sont ceux qui sont relâchés

–

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On va ré-écrire la formulation de l’élément en faisant clairement apparaître cette différence: 1 0 1 30 2 ! ] ! ! } [Kmm ] [Kme {∆!m } {fm = (15) ! ] ! ] {fe! } {∆!e } [Kem [Kee

où l’on a seulement ré-arrangé l’écriture des matrices (i.e. on a permuté certaines lignes et colonnes). → Lorsque l’on relâche un degré de liberté, il ne transmet plus d’effort. On va donc avoir: 5 !6 + ! , 5 ! 6 + ! , 5 ! 6 fe = Kem ∆m + Kee ∆e = 0 (16) d’où l’on tirera: 7 ! 8+ 5 !6 ,5 ! 6 ! ∆e = − Kee−1 Kem ∆m

(17)

où l’on peut voir explicitement que les DL esclaves dépendent des DL maîtres.

Libération de degrés de liberté → Trans. Sys. Matri. Changement base Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

On pourra donc écrire: 0

!

→

→


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{∆!m } {∆!e }

1

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La matrice [K ∗ ] est la matrice de rigidité locale de l’élément qui a été modifiée pour inclure ce relâchement de degré de liberté → Lors de l’assemblage de la matrice de rigidité globale du système, il ne faudra pas oublier d’exprimer cette nouvelle matrice de rigidité dans le repère global de la structure → Nous allons illustrer toutes ces étapes par un exemple pratique

→

=

9

7

[I]8

! −1

− Kee 5 6 = [P ] ∆!m

! ] [Kem

:

Trans. Sys. Matri.

5 ! 6 ∆m

(18)

Si l’on ré-écrit la formulation du problème avec cette nouvelle contrainte, on aura: 1 0 ! } + !, 5 6 {fm (19) K [P ] ∆!m = {fe! } Si l’on multiplie chaque côté de l’équation par [P ]T on aura: 1 0 ! } 5 ! 6 {fm T T + !, [P ] K [P ] ∆m = [P ] {fe! } (20) 5 6 ∗ [K ∗ ] ∆!m = {fm }

Changement base Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

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VOIR DÉMONSTRATION TABLEAU

Les fonctions de contrainte (ou MPC) → Trans. Sys. Matri.

On a vu que l’on pouvait imposer des contraintes entre certains degrés de liberté On a fait cela par exemple dans le TP1 pour simuler une rigidité infinie en torsion d’une zone du boulier anti-radiation – On a aussi vu cela dans le mini-quiz 2 pour simuler un mouvement selon un axe particulier


–

!

Les fonctions de contrainte (ou MPC)

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!

On va donc définir une série d’équations où des DL maîtres déterminent la valeur d’un, et un seul, degré de liberté esclave → Ceci nous conduisait à écrire un système d’équations qui était sous la forme:

→

m + Am DLm + . . . + Ae DLe = 0 Am 11 DL1 12 2 1 1 m + . . . + Ae DLe = 0 m m A21 DL1 + Am 2 2 22 DL2

→

Ou encore: +

[Amm ] [Aee ]

,

0

{∆m } {∆e }

1

Les fonctions de contrainte (ou MPC) → Trans. Sys. Matri. Changement base Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

!

→

(21)

= {0}

(23)

On peut donc voir clairement que les DL esclaves sont exprimés en fonction des DL maîtres → En général, les MPC sont définies dans le système global de la structure car c’est plus pratique. Toutefois, il n’est pas interdit de le faire dans le système local de l’élément. → Considérons le système global de la structure à résoudre où l’on a fait une partition entre les DL esclaves et les DL maîtres: 30 1 0 1 2 [Kmm ] [Kme ] {∆m } {fm } = (24) {∆e } {fe } [Kem ] [Kee ] →

(22)

Les éléments rigides

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Comme on l’a fait pour le relâchement des degrés de liberté, on peut exprimer: 0 1 2 3 {∆m } [I] + , = {∆m } {∆e } − A−1 (25) ee [Amm ] = [P ] {∆m } Comme on l’a fait pour le relâchement des DL, on va exprimer la nouvelle matrice de rigidité à l’aide des matrices de passage. Le nouveau système à résoudre sera le suivant: 0 1 {fm } [P ]T [K] [P ] {∆m } = [P ]T {fe } (26) ∗ [K ∗ ] {∆m } = {fm }

On peut donc voir que ces contraintes modifient la matrice de rigidité du problème → Ces contraintes modifient la physique du problème en définissant de nouvelles règles pour les degrés de liberté

→

Ceci nous permet donc d’exprimer: + , {∆e } = − A−1 ee [Amm ] {∆m }

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Les éléments rigides, ou plutôt liens rigides, servent à maintenir une distance constante entre deux points et permettent de suivre la rotation géométrique d’un élément, lorsque les rotations sur cet élément sont activées. → Avec le lien rigide, les degrés de liberté à un noeud sont entièrement définis par ceux à un autre noeud. → Le lien rigide est donc un cas particulier des MPC → Les codes de calculs mettent à la disposition des usagers de tels éléments uniquement pour simplifier l’écriture des commandes MPC


!

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Les éléments rigides

Symétrie cyclique ou conditions de périodicité

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Il existe des applications où le chargement et la géométrie font en sorte que le champ de contraintes/déformations présente une périodicité spatiale → Par exemple, dans le rotor d’une turbine qui tourne à grande vitesse, le chargement est radial (accélération centripète) et présente donc une infinité de plans de symétrie → Toutefois, la géométrie du rotor ne présente pas de plan de symétrie: elle est formée à partir de la répétition polaire d’un motif de base

→ Trans. Sys. Matri.

Trans. Sys. Matri.



!

! Figure 7: Illustration de la géométrie d’un lien rigide →

Dans le lien rigide, les degrés de liberté du noeud esclave sont définis par: θ"e = θ"m ! 3 équations "e = D " m + θ"m × R " ! 3 équations D

→

(27)

Avec ces 6 équations, on peut écrire sans difficulté la matrice de passage comme nous l’avons fait dans le cadre général des fonctions de contraintes


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Figure 8: Illustration d’un rotor


Comme le champ de contraintes/déformations présentera une périodicité dans la structure, on voit que l’on doit appliquer des conditions de périodicité sur les déplacements aux rives de la zone maillée (i.e. le motif de base) → Pour pouvoir appliquer ces conditions exactement sur le maillage, il faut qu’il y ait correspondance des noeuds sur les surfaces/lignes opposées. " a et D " b sont les → Dans ce cas-ci, on aura que les vecteurs D mêmes dans un repère local à ces surfaces/lignes délimitant le motif de base

→ Trans. Sys. Matri.

Trans. Sys. Matri.



Dans ce cas, on peut s’attendre à ce que les champs de contraintes/déformations, dans un système d’axes local au motif de base, soient identiques d’un motif à l’autre → On peut donc simplifier notre problème en ne maillant qu’un seul motif de base

→

–

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Mais quelles conditions aux rives devrons-nous appliquer sur la zone maillée ?

θ

Figure 9: Illustration de la partie du rotor qui est maillée


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Trans. Sys. Matri. Changement base Introduction Barreau droit Libération DL MPC Élm. Rigides Sym. Cyclique

θ

" a est une rotation de θ degrés du Dans ce cas-ci, le vecteur D " vecteur Db . → On aura dans ce cas de figure: 0 1 2 30 1 Dax cos θ − sin θ Dbx = (28) Day sin θ cos θ Dby

→

Ceci est aussi une équation de contrainte entre des degrés de liberté → On pourra calculer la matrice de passage [P ] comme on l’a fait précédemment.

→

13 Transformation Systeme Matriciel 4parpage

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