MODUL PERKULIAHAN
Matematika Diskrit Binomial dan Multinomial
Fakultas Ilmu Ko Komputer
Program Studi Teknik Informatika
Tatap Muka
""
Kode MK
Disusu Ole!
MK
Harni Kusniyati, ST.,MKom.
A#stra$t
Kompetesi
Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, isebut binomial . Teorema binomial memberikan memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial ( a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.
Setelah membaca modul ini, mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang teorema binomial, mampu menjabarkan suatu fungsi secara binomial dan mampu mencari nilai koefien dari suatu fungsi.
Isi
%INOMIAL DAN MULTINOMIAL 11.1 TEOREMA BINOMIAL
Teorema Binomial adalah suatu cara untuk menjabarkan bentuk pangkat (+!)
n
, dengan n adalah bilangan bulat. Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial ( a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b. (a + b)" # a + b (a + b)$ # a$ + $ ab + b $ (a + b)% # a% + % a$b + %ab$ + b% (a + b)& # a& + &a%b + 'a$b$ + & ab% + b&
(a
+ b)
n a ∑ r = 0 n
n
n
− r
b
r
(Teorema Binomial)
r
n n + a a 0 1 n
#
a
#
n
−1
n b + ....... + n − i ab
+ na n−1b + ...... + nab n −1 + b n
SEGITIGA PASCAL
n#
&'" (
n
r < n, bil. bulat
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
−1
n + b n
http-www.mercubuana.ac.id
n
, n # bil. bulat pecah
Koefisien dari ( a + b ) n, n = bil. bulat
"
2
n
n#"
"
n#$
"
"
n#%
$
"
n#&
%
"
n# n#'
"
n#/
"
%
&
"
" "
/
"
'
'
"
$"
& "
$ %
"
" %
" '
"
$"
/
"
7 7 7 7 7 7 7 7 0 1 2 3 4 5 6 7
atau n#0
"
0
$0
'
/
'
$0
0
"
8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
atau
1111111111111111111111................11.
n − 1 n − 1 n − 1 1 2 0
n2"
111111111..11..
n n n n 1 2 3 0
n
11111..
n + 1 n + 1 n + 1 1 2 0
n+"
Dari
&'" (
n n r − r 1
111111
+ 1 n r
1111..
11111
pasal !iatas !iperole" rumusan #
3
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
n − 1 n − 1 n − 1 − n 2
http-www.mercubuana.ac.id
− 1 n
n
n
n
+ 1 + 1 + 1 n
n
n
n
".
8 7 7 = 0 + 1 1 8 7 7 = + 2 1 2
0#"+/
$0 # / + $"
n + 1 n n = r − 1 + r r
$.
7 7 8 8 = 7 = 0 = 8 = 0
%. a.
buktikan 3
11.#
7 7 = 6 = 7 1
n n = n = 1 0
b)
7 7 = 5 = 21 2
8 8 = 7 = 8 1
8 8 = 5 = 56 3
111111..
.........................
n n = n − 1 = n 1
n n = n − r r
4ika a + b # n , maka
buktikan 3
n n = a b
buktikan 3
&. 4umlah diagonal &'" (
4
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
n n + 1 n + 2 + 1 + 2 0
+ 1..+
n + r n + r + 1 = r r
(buktikan dengan rumusan ")
. 4umlah Baris *impunan uasa
n n n + 1 + 2 0
+ 1..+
n n + .... + = 2 r r
∑ r
(bukti dengan ("+") n #
n
n
n
=0
r
)
'. uadrat jumlah baris 2
n 0
2
2
2
n n n 2n + + ...... + + ..... + = r n n 1
(bukti dengan mengambil n unsur dari $ n unsur $ n unsur dipecah jadi n 5 n unsur)
/. 4umlah olom -
r r + 1 n n + 1 + + ..... + = r r r + 1 r (bukti dnegan rumus % b)
0. " + $ + % + 1..+ n #
n + 1 n( n + 1) = 2 2
(bukti dengan rumus /) &'" (
5
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
k k + 2 + 3 + .... + n = ∑ 2 + k =1 2 1 n
2
1
6.
2
2
2
n( n + 1)( 2n + 1) 6
#
( k = k ( k − 1) + k ) 2
*int -
( untuk pembuktian )
#$
".
k k + 1 2
n + 2 n n n = r − 2 + 2 r − 1 + r r (bukti dengan rumus ")
$oal % &a'ab
"". ($ + !) % # #
"$. ( 7 &!) &
# #
3 0
(2)% +
3 1
(2)$! +
3 2
(2)(!) $+
3 3
0 % + ' $ ! + " !$ +
4 0
& +
4 1
& 2
% (7&!) +
"' % !
4 2
$ (7&!)$ +
(5!)%
"$ !%
4 3
(7&!)% +
+ 6' $ !$ 2 $' !% +
4 4
(7&!)&
$' !&
"%. 8unakan teorema binomial untu menghitung (", ") dalam bentuk desimal 3 &a'ab #
(",") # ("+,") &'" (
koefisien - (" " " ")
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
# "+ (,") + " (,")$+"(,")%+(,") &+(,") # "+,+,"+," + ,+," # ","""
"&. anakah !ang lebih besar (",") " atau "" 9 &a'ab #
(",")" # ("+,")"
10000 0
#
"" +
10000 1
"6666 (,") + Suku7suku positif
# " + (")(")(,")+ Suku7suku :ositif # " + " + Suku7suku positif # "" + Suku7suku positif 4adi (",") " ; ""
". *itung koefisien a &0b$ dari (a + b) 3 &a'ab #
n r
oef. a&0b$ dari (a+b) adalah
50 2
50!
50.49
(50 − 2)!2!
2.1
#
#
dengan r # $
# "$$
"'. *itung koef. &!' dari ($ +%!) "3 &a'ab #
n # ", r # ' &'" (
!
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
10 6
4adi koef. &!' adalah 10!
#
4!6!
.16.36
10.9.8.7
#
.$&.%'
4.3.2.1
.16.3 6
# $.&&6.&&
"/. :ada penjabaran binomial ( + $) n diperoleh bahwa koefisien $ # $ (koef ).
oef. $ # $ koef.
n 5 2
−
n 2
.2
2
n = 2 5 1
n − − n 5 .5 = 1 5 2 1
n 1
−
n 1
.2
1
−
n 1
n( n − 1) 2.1
# .n
n 2 " # "
n # ""
"0. :ada penjabaran binomial ( % + ) n diperoleh bahwa koefisien $ # % (koef ).
oef. $ # % koef.
n 2 n − 2 n 1 n −1 3 .5 = 3 n − 1 .3 .5 − n 2
&'" (
"
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
n −1 n−1 n n−1 .9.5 .5 = 9.1 5 2
n n = 2 2 − n , ingat
n n = 1 1 n −
dan
n( n − 1) 2.1.5
# n
n 2 " # "
n # ""
11. TEOREMA MLTINOMIAL
ultinomial adalah perluasan dari Binomial. isalkan ", $, %, 11. t adalah bilangan7bilangan riil dan n adalah bilangan bulat positif, maka
∑ q !.q s
1
n!
q
q
q
x1 1 x2 2 ....... xt t 2!....qt !
n
(*1+ *+ *, --+ *t )
di mana
="+ =$+ =%, 11+ =t # n
n + t − 1 n
:enjabaran dari ( "+ $+ %, 11+ t )n diperoleh ban!akn!a suku #
/onto" $oal 0 &a'ab Multinomial
*itunglah koefisien dari x12 x3 x 43 x54
a.
&'" (
#
dalam ekspresi ( "+ $+ % + &+ )1
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
% ! % >$
b.
dalam ekspresi ( $ 2 %! + > ) 0
?da berapa ban!ak suku dalam ekspresi7ekspresi tersebut 9
2en3elesaian# 1 0!
x12 x3 x 43 x 54
a. oefisien
2! 0! 1! 3! 4!
adalah -
# "$'
10 + 4 − 1 10
Ban!akn!a suku #
# ""
b. isal " # $ @ $ # 7%! @ % # >,
( $ 2 %! + > )0 # ( "+ $+ % )4 8!
x13 x 23 x 32
oefisien
3! 3! 2!
adalah -
# '
Sehingga koefisien % !% >$ adalah # ($) % (7%)% ()$ ( ' ) # 7 %.$&. 8 + 3 − 1 8
Sedang ban!akn!a suku #
# &
$oal 0 $oal Binomial
Dengan menggunakan teorema (rumus) Binomial, buktikan". ( $ + 2 % ) % # ' + % 2 '& 2 "/% + "0$ + $/ 2 $/ $. Suku ke ' dari ( + ! ) " adalah # %% " ! %. Suku ke dari ( a 7 Ab ) 6 adalah # "$' a b$ &. *itung (,66) " sampai & desimal 3 . *itung A$' sampai desimal 3 (?ns.# ,66$) ( *int- A$' # ( $+")"$ )
&'" (
%$Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
$OA5%$OAL MLTINOMIAL (E$A6)
". Tentukan koefisien x13 x 22 x 32 x 53
a.
dalam ekspresi ( "+ $+ % + &+ )1
b.
!" > w
c.
dalam ekspresi ( 2 /! + %> 2 w ) 0
dalam ( a + b + c $ )"
?da berapa ban!ak suku dalam ekspresi7ekspresi tersebut 9
$. 8unakan teorema multinomial untuk menguraikan ( + ! + > ) %
&'" (
$$
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
&aftar 'ustaka Bahri, S., $', Loi!a dan "im#unan, niCersitas ataram, ataram. Simangunsong ilson, atematika dasar, ( 4akarta- Erlangga, $) http-perpustakaanc!ber.blogspot.com
&'" (
$2
Matematika Diskrit Pusat %a!a A)ar da eLearig
*arni usni!ati, ST.,om
http-www.mercubuana.ac.id
