108.- Teoría. Indicadores de Evaluación

INDICADORES DE EVALUACION

UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL DEL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

MATEMATICAS FINANCIERAS TEMA:

INDICADORES DE EVALUACION CIENCIAS ECONOMICAS

164


INDICE

1.

FORMULAS DE LOS INDICADORES

03

2.

INTRODUCCION A LOS INDICADORES

06

3.

BIBLIOGRAFIA

3.1. EJEMPLOS •

Matemáticas Financieras

•

,

. Matemática Financiera

•

. Matemáticas Financieras

MaTEMáTICaS FINaNCIERaS FINaNCIERaS

•

MaTEMáTICa FINaNCIERa

•


•

24 42 55

58 64 65 68

•

“

”

165


INDICE

1.

FORMULAS DE LOS INDICADORES

03

2.

INTRODUCCION A LOS INDICADORES

06

3.

BIBLIOGRAFIA

3.1. EJEMPLOS •

Matemáticas Financieras

•

,

. Matemática Financiera

•

. Matemáticas Financieras

MaTEMáTICaS FINaNCIERaS FINaNCIERaS

•


•


•

24 42 55

58 64 65 68

•

“

”

165


VALOR ACTUAL NETO ( VALOR PRESENTE NETO) Es la diferencia del Valor Actual de los ingresos futuros y del Valor Actual de los Egresos (incluye las inversiones) que se realizarán durante la vida útil de un proyecto, descontados hacia el momento con una tasa de costo de oportunidad del capital previamente determinado por el analista de inversiones. Este indicador supone que la tasa de reinversión de los flujos de caja netos generados por el proyecto y que la tasa de costo financiero de las inversiones que demanda el proyecto son iguales a la tasa de costo de oportunidad de capital.(VAN = VAI – VAC). VAN > 0 Equivale decir que los beneficios del proyecto son superiores superiores a sus costos, costos, se da por aceptado el proyecto y se recomienda ejecución inmediata. inmediata. VAN < 0 Significa que que los los beneficios beneficios son inferiores a los costos. costos. Se desecha desecha el proyecto VAN = 0 Los Beneficios del proyecto igualan a los costos permanece postergado, por lo que se recomienda examinar otras variables para justificar su ejecución. ej ecución.

USO Método, para ser utilizado en forma f orma horizontal, con datos diversos en el flujo de caja

FORMULAS VAN = − I +

Método que se utiliza en el flujo de caja, cuando muestra ingresos y gastos

FC 1

(1 + i )

+

1

FC 2

(1 + i )

VAN = − I 0 +

Método, para ser utilizado en forma f orma vertical, con datos diversos en el flujo de caja

∑

(1 + i )

3

FCn

+

(1 + i ) n

(1 + i ) n

n =0

FSA =

i

Método que funciona solamente cuando los datos del flujo de caja, son constantes en el tiempo

FC 3

It − Ct

VAN = P = FSAn VAN

1 (1 + i ) n

i

= FC .FSAn

VAN = − I 0 + R.FAS ni VAN

Método que se utiliza, empleando la función de Excel

= − I 0 + R

(1 + i ) n − 1 i (1 + i )

n

VNA(tasa , Valor 1 ....Valor n )

Método para ser utilizado, cuando se tiene diferentes periodos de tiempo en el flujo de caja

Método para ser utilizado, cuando se tiene diferentes periodos de tasas de interés en el flujo de caja VAN = Valor Actual Neto I = Inversión FC = Flujo de Caja R= FC = Flujo de Caja Econ. Máximo Calero Briones

+

2

VAN

= − I 0 +

VAN = − I 0 +

FC 1

(1 + i ) n1 FC 1

(1 + i)1

+

+

FC 2

(1 + i ) n 2

+

FC 2

(1 + i)1 (1 + r )1

= Tasa de interés(Costo de Capital) It = Ingreso Total Ct = Costo Total

FC 3

(1 + i ) n3

+

+ I

+ .... +

FC 3

(1 + i)1 (1 + r ) 2

FC n

(1 + i ) nn

+

FC 4

(1 + i)1 (1 + r ) 3

i

166

n1 =

N º Días

360

n1 =

N º Días

365


RELACION BENEFICIOS/ COSTOS Relación B/C, tiene en cuenta la variación del dinero respecto del te4impo. Corresponde al índice que se define como la relación entre los beneficios y los costos de un proyecto Los beneficios se define como el valor presente de los flujos netos de caja cuando son positivos (Ingresos). B/C > 1 Equivale a decir, que el valor bruto de sus beneficios son superiores a sus costos, en este caso la regla de decisión será llevar a cabo el proyecto de inversión; como tal se acepta y se recomienda por su ejecución B/C < 1 Equivale a decir que el valor de sus beneficios son inferiores a sus costos; en este caso, la regla de decisión es desechar el proyecto por ser negativo B/C = 1 Beneficios son iguales a sus costos, en este caso sería indiferente aceptar o rechazar el proyecto; se recomienda examinar el proyecto.

USO Método, que incluye a la inversión, en el flujo de caja de los costos

FORMULAS VAB

=

VAC = Método que suma a los costos, la inversión, en el flujo de caja

VAB

=

VAC =

B0

(1 + i ) 0 C 0 (1 + i )

0

B0

(1 + i ) 0 C 1

(1 + i )1

Método que contiene en una misma fórmula los ingresos y los costos

+ +

+ +

B1

(1 + i )1 C 1 (1 + i ) B1

(1 + i )1 C 2

(1 + i ) 2 B0

B / C =

1

(1 + i ) C 0

0

(1 + i )

0

+ +

+ +

+

B2

(1 + i ) 2 C 2 (1 + i )

2

B2

(1 + i ) 2

+ ... + + ... +

+ ... +

Bn

(1 + i ) n C n (1 + i )

(1 + i ) C 1

1

(1 + i )

1

+ +

VAC

Bn

(1 + i ) n

B / C =

(1 + i ) n

B1

VAB

n

C n

+ ... +

B / C =

B2

(1 + i ) C 2

2

(1 + i )

2

+ ... + + ... +

VAB

( I 0 + VAC )

Bn

(1 + i) C n

n

(1 + i)

n

Econ. Máximo Calero Briones

TIEMPO DE RECUPERACION DE LA INVERSION El tiempo de recuperación de inversión(TRI) es un indicador de evaluación tan importante en estos últimos días en que se acentúa la preocupación por el carácter de la velocidad monetaria en las transacciones, en la que es más importante contar varias veces el flujo monetario, antes que destinarlo a inversiones duraderas aun cuando estas tengan mayor tasa de rendimiento.

USO

FORMULAS

Método, que muestra a la inversión sobre los ingresos menos los costos, de un flujo de caja

∑VAI TRI = ∑VAB − ∑VAC t = 0

t =0

t =0

VAI = Valor Actual de la inversión VAB = Valor Actual de los Beneficios(Ingresos) VAC = Valor Actual de los costos Econ. Máximo Calero Briones 167


TASA INTERNA DE RETORNO La TIR es la tasa de descuento que iguala el valor actual de los ingresos con el valor actual de los egresos y hace el VAN = 0; representa la tasa de rentabilidad generada por la inversión.

TIR > i Equivale decir que el interés equivalente sobre el capital que el proyecto general, es superior al interés mínimo aceptable del capital bancario. En este caso el proyecto es positivo optimo o aceptable, por lo que se recomienda su inmediata ejecución. El inversionista obtiene un rendimiento mayor del exigido; el inversionista gana más de lo que quería ganar. TIR < i Equivale a decir que su costo de oportunidad de capital es inferior al costo bancario, lo c ual indica que el rendimiento del proyecto es menor al que se obtendría en otras alternativas de inversión, por lo tanto, se recomienda la no-ejecución del proyecto. El inversionista gana menos de lo que quería ganar TIR = i Indica que el interés equivalente sobre el capital que el proyecto genera, es igual al interés mínimo aceptable en este caso, el proyecto es indiferente, ya que su costo de oportunidad de capital iguala al costo de capital bancario.

USO Método, cuando el flujo de caja, plazos uniformes y un solo cambio de signo

FORMULAS Io =

FC 1

(1 + TIR)1

Método que se utiliza, empleando la función de Excel Método para ser utilizado, cuando se tiene diferentes periodos de tiempo en el flujo de caja

+

Io =

FC 1

+

n

365

(1 + TIR) 3

FC 2

+ .... +

n

(1 + TIR)

FC 3

+

365

n

(1 + TIR)

 i1 − i2 =  VAN VAN 2 1 − (

Método de la interpolación, utilizando el VAN, para encontrar el TIR

i


(1 + TIR) 2

FC 3

+

FCn

(1 + TIR) n

TIR(Valor 0 ...Valor n )

(1 + TIR)


FC 2

− a2

b1

− a1

i = TIR i1 = b2 i2 = a2

=

365

n

(1 + TIR)

365

 −i  − VAN 0 

  i1 − i2 = TIR = i1 −  (VAN1 − VANo )   (VAN1 − VAN 2  i1 − i0

I0 = TIR VAN0 = 0 b2

i1 VAN1

FCn

+ .... +

i1 − i2

b2

−i

b1

− d VAN1 = b1 VAN2 = a1 VAN0 = d

Econ. Máximo Calero Briones

168

=

VAN 1 − VAN 0 VAN 1 − (−VAN 2 )

 b2 − a2  (b1 − d ) i = b2 −   b1 − a1 


INTRODUCCION Para que una inversión propuesta parezca “Rentable”, los inversionistas esperan recibir más dinero que el invertido. Es decir, esperan recibir una tasa de retorno ”Razonable” sobre la inversión, antes de comprometer su capital. El cálculo de la tasa de retorno es exactamente el mismo que para calcular la tasa de interés. La tasa de retorno ”Razonable” debe se mayor que alguna tas de retorno establecida (bancos o alguna inversión segura) por los riesgos e incertidumbre que representan. Esta tasa RAZONABLE se denomina TASA MINIMA DE RETORNO o TASA MINIMA ACEPTABLE DE RETORNO (TMAR). Para la mayoría de las organizaciones comerciales e industriales la cantidad de inversión de capital es el recurso limitante. Esto significa que hay muchas oportunidades de inversión que producirán una TMAR aún mayor que la mínima. Sin embargo, puesto que sólo disponen de fondos limitados los proyectos que se emprendan generalmente tiene una tasa de retorno bastante mayor que TMAR Además, varios proyectos que no pueden ser financiados inmediatamente debido al capital limitado, tienen también tasa de retorno proyectadas “Mayores que la TMAR”. Por lo tanto, los nuevos proyectos que están en consideración no se emprenderán “a menos que” su tasa de retorno esperada sea por lo menos igual a la TMAR de la “propuesta menos atractiva” que no se ha financiado todavía. Clases de Financiación de capital: hay dos fuentes 1. FINANCIACION POR ENDEUDAMIENTO(PASIVO): Bonos, Préstamos, Tasa establecida 2. FINANCIACION PROPIA(CAPITAL): emisión de acciones o ganancias retenidas para reinversión En los cálculos cada clase de financiación es independiente. La proporción de financiación por deuda y propia que una corporación debería usar es un problema difícil”Costo de capital varía a media que cambia la relación deuda/capital”

1. COSTO DE CAPITAL La tasa de interés real pagada por la corporación al desarrollar el capital de inversión se denomina “Costo de Capital” (CC). Puesto que la mayoría de las firmas usan una combinación de financiación por endeudamiento y propia y puesto que estas dos clases de financiamiento tienen diferentes tasas de interés, el CC es una tasa intermedia. El costo de capital es la tasa mínima de rentabilidad necesaria para que se justifique el uso de los fondos. La empresa debe aceptar todos los proyectos: • Si, su Tasa Interna de Retorno (TIR) es mayor que el Costo de Capital • Si, el Valor Presente neto (VPN) es mayor que cero • Si, la razón Beneficio/Costo es mayor que la unidad

169

Econ. Máximo Calero Briones. UNAC

Indicadores de evaluación

El Costo de Capital es la tasa de rendimiento que debe obtener una empresa sobre sus inversiones para que su valor en el mercado permanezca sin alteración La aceptación de proyectos con una tasa de rendimiento superior al costo de capital aumenta el valor de la empresa y viceversa El objetivo del administrador financiero es maximizar la riqueza de los dueños de la empresa. TE = r (1 + π ) + π UDI = UAI (1 − t ) P = RFAS

i n

P

= R

(1 + i ) n − 1 i (1 + i )

n

Si suponemos que un proyecto se financiará con una emisión de bonos de S/. 300 millones y que la tasa interés real pagada anualmente es del 53%, el CC es del 53%. Así pues, el CC es una reducción mínima requerida sobre una inversión. Y si la inversión de S/. 300 millones da un retorno del 40% habrá pérdida de dinero. Comúnmente CC menor que TMAR La TMAR es el criterio de retorno usado en los estudios económicos. Si el CC es del 53% y se espera un retorno adicional del 56%, entonces la TMAR es del 98%. El retorno general sobre un proyecto debe ser por lo menos igual al a TMAR para que se pueda considerar el proyecto de financiamiento Si una compañía realiza sus análisis de VPN y CEA a la tasa del CC, obviamente estará satisfecha con sólo recobrar la inversión; puesto que generalmente este no es el caso, al “Análisis Económico” comúnmente se realiza a una TMAR mayor CC. La determinación del CC real es virtualmente imposible. Mientras los métodos cuantitativos disponibles puedan dar un valor aproximado disponibles puedan dar un valor aproximado, el establecer la TMAR, la experiencia y un juicio subjetivo son absolutamente necesarios. La precisión del CC no se justifica debido a una economía fluctuante, a la inflación, a los riesgos y a las políticas de administración cambiantes. El costo de capital es la tasa de rentabilidad mínima para satisfacer la rentabilidad esperada del inversionista.

El Costo de Capital es la tasa de rendimiento requerida de la empresa, que apenas podrá satisfacer a los proveedores de capital

Pero sucede que la empresa existen varios proveedores de capital: Los propietarios de la empresa: accionistas o Los proveedores o Los Bancos o Cada uno de estos proveedores de capital exige un rendimiento, generalmente diferente el uno del otro, por lo tanto, se tiene que hallar un costo de capital global de la empresa, para ello se hallará un costo ponderado.

170


EVALUACION DE PROYECTOS DE INVERSION Los proyectos están supeditado a las comparaciones entre opciones selectivas, para tomar decisiones, entre los procedimientos mutuamente excluyentes están el análisis económico, técnico, de mercado y administrativo que consiste en la medición del valor de los resultados realizados, esta acción se efectúa generalmente cuando la gestión empresarial ha concluido el período previsto. También se puede efectuar la acción de evaluación con criterio anticipado, sobre operaciones prospectivas, en decir, sobre programas elaboradas con criterio anticipado a los resultados de la empresa, esto se hace para conocer sus características económicas-financieras, para contar con los antecedentes y poder decidir si es conveniente o no la ejecución de la inversión y operación. Esta última acción es condición indispensable cuando se trata de empresas que vienen cuantificando los anteproyectos y proyectos de futuras inversiones, pues consiste en establecer en forma objetiva sus ventajas y desventajas con al finalidad de determinar la implementación, postergación o rechazo de los criterios alternativos. También es operativo en las empresas que vienen funcionando, practicar la evaluación permanente, considerando las características económicas y financieras que exigen un mayor celo administrativo en la gestión empresarial para garantizar un resultado eficiente La evaluación en general permite pues obtener una correcta comparación de diferentes posibilidades de inversión, así como también cuantificar los resultados de las operaciones ya desarrolladas, con el criterio de orientar o reorientar para la toma de decisión. Las principales características que se deben ponderar están referidas principalmente en las siguientes variables: Costo de Inversión, Costo de Reinversión, Costo de Mantenimiento, Costo de Operación, Valor de Revaluación, Valor de recuperación, etc., cuyo valores sirven para cuantificar cada una de las alternativas , en este caso se dice que se encuentra en un proceso de AMES(alternativa Mutualmente Excluyente). En condición de AMES, una alternativa se encuentra en proceso de solución, en la cual está sujeta a la calificación o valorización de sus características significativas para luego priorizarlo en un Ranking.

1. SERIE DE FLUJO DE CAJA Flujo de Caja es una herramienta que nos permite resumir en forma ordenada información cuantitativa; según el objetivo de su elaboración se puede presentar: • Flujo de caja utilizado en el área financiera llamado de tesorería, cuyo objetivo es mostrar la liquidez en un lapso de tiempo de las actividades de la empresa • Flujo de caja utilizado en evaluación de proyectos, cuyo principal objetivo es mostrar la rentabilidad de una inversión. Para evaluar una inversión es necesario estimar ingresos y egresos de efectivo y plasmarlo en un modelo de presupuesto de inversiones que genera una serie de flujos de caja (FC), los cuales se denominan económicos cuando no se considera la estructura de financiamiento y financieros cuando se le incluye.

171


Inversión Préstamo Ingresos Egresos Utili dad


0 (yy) YY

(ýy)

MODELO DE FLUJO DE CAJA 1 2 3

xx ´-XX B1

xx ´-XX B2

xx ´-XX B3

4

n

xx ´-XX B4

xx ´-XX Bn

Aquí, es importante diferencias el uso del flujo de caja, aunque en la misma herramienta, tiene lógica en su elaboración. Las diferencias son: 1. El flujo de caja utilizado en finanzas registra los egresos que representen salidas reales de dinero, en cambio en la evaluación de proyectos se registra aquellos que no necesariamente son salida de dinero, por ejemplo, el costo de uso de ambientes en un negocio cuando es propiedad de la persona que lo ejecuta. 2. El saldo obtenido en el flujo de caja en finanzas es acumulativo, en proyectos no hay razón dado que uno de los principios es el valor del dinero en el tiempo. Esta serie puede ser:

1.1. CONVENCIONAL Sólo contempla un cambio de signo de los flujos, de negativo o de inversiones (flechas hacia abajo) a positivo o retornos (flechas hacia arriba) o viceversa; entre los principales casos están: • Un flujo de inversión y un flujo de liquidación • Varios flujos de inversión y uno de liquidación • Un flujo de inversión y varios flujos de retorno SERIE CONVENCIONAL FLUJO DE INVERSION Y UNO DE LIQUIDACION

0

1

SERIE CONVENCIONAL FLUJO DE INVERSION Y VARIOS FLUJOS DE INVERSION Y UNO DE LIQUIDACION

0

1

2

3

SERIE CONVENCIONAL UN FLUJO DE INVERSION Y VARIOS FLUJOS DE RETORNO

0

1

2

172

3



1.2. NO CONVENCIONAL Las inversiones y retornos se realizan de manera intermitente al originar más de un cambio de signos. FLUJO DE CAJA NO CONVENCIONAL VARIAS INVERSIONES Y VARIOS FLUJOS DE RETORNO

0

1

2

3

4

5

6

Para evaluar la rentabilidad de un proyecto sobre la base de sus flujos de caja con una tasa de costos de oportunidad del capital COK que es la tasa de retornó mínima atractiva por el inversionista y al considerar el valor cronológico del dinero en el tiempo, se tiene en cuenta el siguiente: • La magnitud de cada uno de los flujos que componen la vida útil del proyecto, que dentro del horizonte temporal pueden ser uniforme o variables. • Los planes que median entre dos flujos consecutivos; estos plazos pueden ser uniformes (mensuales, trimestrales, semestrales, anuales, etc.) o variables dentro del horizonte temporal de planeación. • El número de cambios en los signos de los flujos de caja que determinan si una serie es convencional o no convencional.

2. CONSIDERACIONES SOBRE EL FLUJO DE CAJA Desde el inicio se ha considerado al flujo de caja como una herramienta de evaluación económica entre alternativas, enfatizando su estudio en las técnicas fundamentales del análisis económico. Hasta ahora hemos aceptado, en los problemas, la existencia de beneficios durante un período de tiempo como consecuencia de una inversión realizada, sin tomar en cuenta como se obtuvo esa información. Por ese motivo, en los siguientes ejercicios se tratara en forma más completa el análisis económico, considerando la metodología y herramientas adicionales para obtener el flujo de caja. Una de las herramientas contables importantes en el Estado de Ganancias y Pérdidas, ella muestra el resultado de la empresa durante un período, además considera todos los ingresos y gastos incurridos para obtener la renta gravable, por consiguiente los impuestos, que es un aspecto importante de nuestro análisis económico. Con la información del problema y la obtenida en el Estado de Ganancias y Perdidas elaboramos el flujo de caja, teniendo presente que sólo considera las operaciones en efectivo, entonces así se llega al flujo neto después de impuestos. Como en la mayoría de los casos se analizan proyectos de inversión, entonces trabajaremos en base a los Estados Financieros proyectados.

173



2.1. FLUJO DE FONDOS Fue utilizado en finanzas y en el área contable como un Estado Financiero, por lo que su objetivo está dirigido bajo ese enfoque. Su presentación en la evaluación de proyectos tiene la siguiente formas: 0 (yy) YY

Inversión Préstamos Ingresos Egresos -Costos - D UAII - I.R. Utilidad Neta (+ ) D FCN (ýy) FCN = Flujo de Caja neto

MODELO DE FLUJO DE FONDOS 1 2 3 4

n

xx

xx

xx

xx

xx

B1

B2

B3

B4

Bn

En muchos casos se utiliza el flujo de fondos como herramienta en la evaluación de proyectos, que en ciertos casos se aproxima al flujo de caja, pero puede generar limitaciones en el análisis y conducir a una mecanización de las operaciones, estas diferencias son principalmente las siguientes: 1. El Flujo de fondos utilizado en la evaluación de proyectos no permite analizar en forma lógica la intervención del proyecto e identificar sus efectos. 2. En los casos en que se manejen diversas alternativas y ellas generen el mismo beneficio y además, que el beneficio sea difícil de valorar o llevar a términos monetarios, sólo se trabajará con los costos, por lo tanto, el formato anterior no es adecuado, debido a que no se puede hallar la utilidad neta. 3. Otro tema inprescindible en el análisis es la depreciación, siempre se escucha la interrogante ¿va o no en el flujo de caja?, Esa confusión lo genera el flujo de fondos, porque en una parte va como salida y luego como un ingreso, ello es, por su misma naturaleza de fuentes y usos. En sí, la depreciación no va en el flujo de caja, porque el costos de uso del activo esta incluido en su inversión y no como mucho se comenta que no es una salida de dinero. 4. Además, por reducir las operaciones se combina el Estado de Ganancias y Pérdidas con actividades de inversión, pero eso genera confusión en la evaluación.

3. FACTORES PARA EL CALCULO DE EVALUACIONES En Matemáticas Financieras se presentan las fórmulas o factores que muestran a través del tiempo, los movimientos de dinero en virtud de las oportunidades para efectuar los cálculos de inversión con fines de incrementar su valor, de recuperar su valor, efectuar su amortización, etc., tendiendo en cuenta que tales conceptos giran alrededor de que la suma de dinero de hoy día vale más que la misma suma en algún tiempo futuro. Para que estos resultados se conviertan en opciones selectivas o alternativas de inversión o financiación, se emplean las siguientes relaciones: = Cantidad Presente de dinero  P = Cantidad futura de dinero  S  R = Cantidad anual o periódica constante = Tasa de interés  i = Número de periodos  n

174



4. EVALUACION EN PRESENCIA DE LA INFLACION La empresa no puede escapar a la evidente importancia que en los últimos años ha tomado el proceso inflacionista en nuestro país, cuyos cálculos de evaluación empresarias, tendrían que ser diferentes a los planteamientos tradicionales de las economías desarrolladas en las que la valorización y análisis de las inversiones no conocen la alta incidencia inflacionaria en sus costos de inversión y operación. En las actuales circunstancias el efecto inflacionario presenta un impacto en sus inversiones, operaciones e ingreso de las empresas, las mismas que configuran la coyuntura del aparato productivo nacional. Como se puede comprender en tales circunstancias no se puede concebir una valorización de los indicadores de evaluación a precios constantes, en la que los flujos monetarios tendrían unas significaciones intrascendentes sino se efectúan previamente las correcciones financieras correspondientes. Por ese motivo es importante efectuar los cálculos y análisis considerando desde un principio la incidencia del fenómenos inflacionario en los flujos monetarios correspondientes, con el objeto de mostrar en cada uno de los elementos que intervienen en la valorización, las cifrar reales y no constantes; por estas consideraciones los costos y precios de cada uno de los períodos se procesarán a precios corrientes. En contrapartida a lo mencionado anteriormente, debemos presentar el criterio fundado o infundado que se ha venido dedicando con especial atención a la transferencia de riqueza que da origen al proceso inflacionario, cuyo planteamiento tiene que ver con la relación monetaria que existe entre el binomio: Deudor-Acreedor; en la que se manifiesta que el deudor de cifras monetarias gana en economía de momentos inflacionarios, pues que adeuda a un determinado plazo una cifra en dinero, saldrá beneficiado como consecuencia de que en el momento de hacer efectivo dicha cifra, esta tendrá un menor valor real. Los criterios en las que se amparan quienes mantienen esta teoría en la que las empresas se benefician con la inflación son entre otras: 1. Las empresas mantienen siempre deudas en forma permanente, en este caso el empresariado al contraer deudas de sumas constantes, mediante documentos de obligación, aún a tasa de interés y como quiera que los tipos de interés no logran reflejar totalmente los cambios en el nivel general de precios durante la inflación, se sustenta la ventaja que obtendría la empresa. 2. Existe la redistribución de la renta desde los trabajadores hacia el empresario, pues la inflación hace que los salarios de estos se retrasen frente a los preciso que fijan las empresas 3. Las empresas mantienen existencias de inventarios adquiridas a precio por debajo de los fijados por la inflación, los mismos que vendidos como productos recientes y a precios superiores a los adquiridos anteriormente, pues para ello se hace nivelándose al precio de mercado actual.

175


INDICADORES DE EVALUACION Existen varios indicadores para analizar las características Económicas-Financieras de las diferentes alternativas cada uno de estos tienen sus propias particularidades, de mostrar ventajas de acuerdo con los casos que se presentan, por lo que ninguno de ellos es un sí mejor que los demás. Los principales indicadores de evaluación son los siguientes: • Tasa de Rendimiento • Coeficiente Beneficio – Costo • Tiempo de recuperación de la inversión • Valor Actual Neto • Tasa interna de Retorno

1. TASA DE RENDIMIENTO Tasa de rendimiento en el porcentaje de utilidad obtenido en una gestión económica empresarial, también se puede considerar como una tasa de rédito, tasa de utilidad, tasa de ganancia o simplemente tasa de intereses. La tasa de rendimiento anteriormente sólo era empleado para indicar el desembolso por el uso de capital prestado en la condición limitada de tasa de interés, sin embargo recientemente la tasa de rendimiento cumple un sentido más amplio como servir de indicador para calcular en forma anticipada los futuros rendimientos que pueda tener una inversión, aún cuando sabemos que ese rendimiento necesariamente se registrará después de haberse recuperado la inversión. Los proyectos de inversión medidos bajo el criterio de la tasa de rendimiento se contentan en la necesidad de conocer o se espera algo más de lo que se invierte a lo que se gasta; el aliciente para la toma de decisión es la esperanza de obtener utilidades. La tasa de rendimiento o margen de utilidad puede ser considerada de las dos formas ex post (al final del ejercicio) y ex ante(al inicio del ejercicio). El primer resultado es obtenido en los balances empresariales por el contador, mientras el segundo resultado es calculado antes de la inversión por el economista; sin lugar a dudas la mayor importancia estriba en la oportunidad en conocer estos resultados antes de la toma de decisión y no después de haber concluido las gestiones y que el valor cronológico del dinero así como los resultados obtenidos ya son irreversibles.

2. COEFICIENTE BENEFICIO – COSTO El Coeficiente Beneficio – Costo (B/C) expresa los beneficios netos obtenidos o percibidos por cada unidad monetario invertida en el proyecto, más no expresa el resultado total de los Beneficios Netos obtenidos por el proyecto, por cuyo motivo es necesario recurrir al cálculo del Valor Presente Neto (VPN) para tomar una decisión en los casos de alternativas mutuamente excluyentes

176



El Coeficiente Beneficio – Costo, se obtiene dividiendo la sumatoria de los beneficios actualizado entre la sumatoria de los costos actualizados correspondiente a la vida Económica del proyecto, la misma que se expresa de la siguiente manera: B/C > 1 Equivale a decir, que el valor bruto de sus beneficios son superiores a sus costos, en este caso la regla de decisión será llevar a cabo el proyecto de inversión; como tal se acepta y se recomienda por su ejecución B/C < 1 Equivale a decir que el valor de sus beneficios son inferiores a sus costos; en este caso, la regla de decisión es desechar el proyecto por ser negativo B/C = 1 Beneficios son iguales a sus costos, en este caso sería indiferente aceptar o rechazar el proyecto; se recomienda examinar el proyecto. B / C =

∑ (1 + i ) n Cn

∑ (1 + i ) n

VAB =

VAB1

VAC 0

B0

(1 + i) 0

VAC =

+

+

(1 + i) 0

t = 0

VAB0

+

(1 + i) 0 B / C = C 0

t = 0

B / C =

I 0 + VPC

B0

Bn

B / C =

VPB

+

VAC 1

B1

(1 + i)1

C 0

(1 + i ) 0

+

+

+

VAB2 VAC 2

B2

(1 + i ) 3

C 1

(1 + i )1

+

+ .....

B1

(1 + i)1 C 1 (1 + i)1

+ +

B2

(1 + i) 2 C 2 (1 + i) 2

+ +

B3

(1 + i) 3 C 3 (1 + i) 3

+ +

Bn

(1 + i ) n C n (1 + i ) n

VABn VAC n

+ .... +

Bn

(1 + i ) n

C 2

(1 + i ) 3

+ .... +

C n

(1 + i ) n

2.1. CUANDO UTILIZAR EL RATIO B/C El ratio Beneficio/Costo debe utilizarse sólo cuando se quiere determinar si un proyecto se debe realizar o no. Este indicador no es recomendable para comparar varios proyectos porque su magnitud absoluta puede ser engañosa.

2.2. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL RATIO B/C El ratio beneficio costo es un indicador que brinda una idea acerca de la relación entre la magnitud de los ingresos y el monto de inversión. Así revela cuántas veces más están ingresando beneficios al negocio en comparación con el monto invertido. El ratio beneficio costo tiene dos desventajas:

177



• Al igual que en casos del valor actual neto, es necesario seleccionar el costo de

oportunidad del capital. Como se explico anteriormente, es difícil determinar el verdadero costo de oportunidad del capital ya que existen muchas alternativas de inversión en el mercado y algunas no pueden ser determinadas por los costos de transacción o por falta de información. • No es recomendable su uso en la comparación de proyectos alternativos, pues el flujo de beneficios y de costos puede haber sido tratado de manera no homogénea utilizando diferentes metodologías. Esto trae como consecuencia ratios de beneficio costo no comparable. Como se ha demostrado, el ratio B/C es útil para determinar si un proyecto es bueno o no. Sin embargo, su magnitud no ofrece información para comparar proyectos pues el tratamiento de los flujos de beneficios y costos puede variar entre ellos. Sólo en el caso que se tenga la seguridad de que todos los proyectos han utilizado una metodología homogénea para la determinación de sus costos y beneficios, es posible utilizar este indicador.

3. TIEMPO DE RECUPERACION DE LA INVERSION El tiempo de recuperación de inversión es un indicador de evaluación tan importante en estos últimos días en que se acentúa la preocupación por el carácter de la velocidad monetaria en las transacciones, en la que es más importante contar varias veces el flujo monetario, antes que destinarlo a inversiones duraderas aún cuando estas tengan mayor tasa de rendimiento.

∑VAI TRI = ∑ VAB − ∑ VAC t = 0

t =0

Pago Mensual =

Pago Final

t = 0

N º Meses =

n

Saldo Positivo Pago Mensual

Días = FracciónPagoMensual x30días

178


4.


VALOR ACTUAL NETO (VAN) También se le conoce como Valor Presente Neto, expresa él cálculo de los valores actualizados de cada una de las alternativas con el fin de comparar los costos e ingresos para determinar el más favorable. El término valor Actual significa una cantidad de dinero en una fecha inicial o básica que sea equivalente de una programación, particular de ingreso y/o desembolsos, las mismas que estarán aplicadas a una tasa de inversión El criterio de medición o valorización consiste en aplicar a la decisión de un proyecto, buscando que el Valor Actual presente de este sea mayor que cero. Mientras el excedente económico actualizado que deberá generar el proyecto durante la vida Económica de su vigencia, elegirá la alternativa que exprese el mayor valor monetario. Este método eficaz de evaluación, nos indica con exactitud las ventajas y desventajas del proyecto, según resultado como: VAN > 0 Equivale decir que los beneficios del proyecto son superiores a sus costos, se da por aceptado el proyecto y se recomienda ejecución inmediata. VAN < 0 Significa que los beneficios son inferiores a los costos. Se desecha el proyecto VAN = 0

Los Beneficios del proyecto igualan a los costos permanece postergado, por lo que se recomienda examinar otras variables para justificar su ejecución.

VAN = − I 0 +

∑

It − Ct n =0

VAN = − I +

(1 + i) n

FC 1

(1 + i)1

+

FC 2

(1 + i) 2

+

FC 3

(1 + i) 3

+

FCn

(1 + i ) n

VANE = Valor Actual Neto Económico VANF = Valor Actual Neto Financiero It = Ingreso de operación en el año t Ct = Egresos de operación en el año t i = Tasa de descuento o tasa de actualización n = Vida útil del proyecto 

Al plantear la ecuación del VPN(VAN) observamos lo siguiente: o Estamos comparando el valor de los egresos (Inversión Inicial P) con los ingresos futuros en una misma fecha; para este caso, en el momento cero por conveniencia. Estamos midiendo el proyecto en soles del mismo día. o

La tasa de descuento utilizada para trasladar FC del futuro al presente es la tasa de oportunidad del inversionista, llamada también costo de capital simple. Estamos asumiendo que el inversionista aporta todos los recursos que requiere la inversión inicial. En este caso de existir varias fuentes de financiamiento la tasa de oportunidad se reemplazo por el costo de capital

o

Estamos planteando un proyecto convencional o normal: proyecto con inversión inicial y unos beneficios futuros.

179

Econ. Máximo Calero Briones. UNAC 




El VAN es la diferencia del VAI, valor Actual de Ingresos y del VAC, Valor Actual de Costos, entre los que se consideran los costos de inversión, los costos de operación y otros costos del proyecto. Una forma más sencilla de expresar la ecuación para el cálculo del VAN, es la siguiente:

VAN = VAI − VAC VPI = VAI = Valor Presente de Ingresos. Representa en la ecuación el valor actualizado de todos los flujos netos de efectivo VPE = VAC= Valor presente de Egresos. Representado por la inversión inicial P TO =

Tasa de oportunidad del inversionista

4.1. CASOS: VALOR ACTUAL NETO (VAN) CASO I: VAN CON FC DE IMPORTES IGUALES, PLAZOS UNIFORMES Y UN SOLO CAMBIO DE SIGN O. CASO II: VAN CON FC DE IMPORTES DESIGUALES, PLAZOS UNIFORMES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNOS. CASO III: VAN CON FC DE IMPORTES DEFERENTES, PLAZOS DIFERENTES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNO. CASO IV: VAN CON CAMBIOS EN COK.

4.2. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL VAN Utilizar el valor actual neto como índice de rentabilidad para analizar un proyecto brinda ciertas ventajas: El VAN es un indicador que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo; es decir, • considera los costos de oportunidad del capital del inversionista. En el caso de proyectos mutuamente excluyentes, él VAN permite seleccionar • eficazmente cuál de ellos realizar. A pesar de proyectos mutuamente excluyentes1, el VAN permite seleccionar también • algunas desventajas: Para su aplicación es preciso obtener la tasa de actualización los costos de oportunidad • del capital del inversionista. El problema radica en que el inversionista no necesariamente cuenta con toda la información necesaria del mercado para realizar un cálculo preciso del costo de oportunidad. Por lo tanto, puede calcular un costo de oportunidad que no represente realmente su mejor alternativa, lo que puede llevar a valores inflados o subvaluados del VAN. Otro problema del VAN está ligado a su interpretación. El VAN es muchas veces mal • entendido, ya que no es una tasa sino un valor absoluto.

1

Los proyectos mutuamente excluyentes son proyectos que no pueden realizarse simultáneamente pues los costos del conjunto serían mayores que la suma de los costos de cada uno por separado.

180



4.3. CONCLUSIONES • • •

Es un método de fácil aplicación La inversión y los beneficios futuros (flujos de efectivo), se transforman en soles de hoy y así se puede ver si los ingresos son mayores que los egresos Considera el valor del dinero en el tiempo • Se necesita conocer la tasa de descuento para poder evaluar los proyectos. Este es el factor determinante en la aplicación del método. Cualquier error es su determinación repercute en la decisión de aceptar o rechazar un proyecto • Mide la rentabilidad de un proyecto en cifras monetarias

5. TASA INTERNA DE RETORNO Denominado también Tasa financiera de Rendimiento, Tasa de Rendimiento total, Tasa de retorno efectivo, Eficiencia marginal del capital, Rentabilidad media de un proyecto, etc., es la tasa de descuento que iguala al Valor Actual de los beneficios y el valor actual de los costos previstos. La TIR generalmente se calcula por tanteos, para lo cual se efectúan ensayos sucesivos de diferentes tasas de descuento, tratando de acercarse en forma aproximada el Valor presente neto que debe alcanzar a Cero. i > r Equivale decir que el interés equivalente sobre el capital que el proyecto general, es superior al interés mínimo aceptable del capital bancario. En este caso el proyecto es positivo optimo o aceptable, por lo que se recomienda su inmediata ejecución. i < r Equivale a decir que su costo de oportunidad de capital es inferior al costo bancario, lo cual indica que el rendimiento del proyecto es menor al que se obtendría en otras alternativas de inversión, por lo tanto, se recomienda la no-ejecución del proyecto. i = r Indica que el interés equivalente sobre el capital que el proyecto genera, es igual al interés mínimo aceptable en este caso, el proyecto es indiferente, ya que su costo de oportunidad de capital iguala al costo de capital bancario. TIR = I 0 =

FC 1

(1 + i)1

∑ Bt t=0

t

+

-

FC 2

(1 + i) 2 ∑

(1+i )

t=0

+

FC 3

(1 + i) 3

+ ....

FC n

(1 + i) n

Bt = 0 t (1+i )

i = TIR La TIR, expresa también las tasas de rentabilidad total de un proyecto de inversión a través de costos y beneficios obtenidos o a obtenerse durante una vida útil, si esta tasa obtenida es mayor al costo de oportunidad de capital, el proyecto debe ser aceptado, contrariamente si la tasa de rendimiento es expresado por la TIR es menor que el costo de oportunidad de capital, entonces la inversión no deberá ser realizado. Es conveniente elegir como la mejor alternativa, aquella inversión que muestre la tasa de interés menor que la Tasa Interna de Retorno. Si el proyecto muestra a precios de mercados para un VPN (i1) y Para VPN (i 2) tendríamos:

181



i = VPN i1 = VPN 1 i x = VPN 0 i 2 = −VPN 2 Cuya Operación interpolada será

i1 − i x i1 − i2 i1 − i0 i1 − i2

VPN 1 − VPN 0

=

=

VPN 1 − (−VPN 2 ) VAN 1 − VAN 0 VAN 1 − (−VAN 2 )

T IR VPN

1

( + ) VPN

i 1

0

i x

i 2 ( - )

VPN

2

5.1. CASOS: TASA INTERNA RETORNO (TIR) CASO I:

TIR CON FC DE IMPORTES DIFERENTES, PLAZOS UNIFORMES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNO

CASO II: TIR CON FC DE IMPORTES DIFERENTES, PLAZOS DIFERENTES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNO

5.2. INTERPRETACION DE LA TIR Para entender mejor la TIR, esta puede ser interpretada como el máximo costo al cual un inversionista podría tomar prestado dinero para financiar la totalidad de un proyecto y ser capaz de repagar tanto el capital como los intereses del financiamiento con su producción, sin perder dinero. Es necesario tener en cuenta que la TIR sólo considera la rentabilidad del dinero invertido en el proyecto que permanece dentro del mismo y no aquellos flujos de efectivo que el inversionista saca del proyecto. Estos últimos podrían ser invertidos en alguna alternativa donde alcanzarían cierta rentabilidad que no incluye la TIR. Esto puede generar, como se vería más adelante, ciertas contradicciones entre el VAN y la TIR y podría llevar al inversionista a escoger un proyecto que no representa su mejor alternativa. Esto ocurre porque la TIR mide la rentabilidad promedio del proyecto mismo, sino también la que se obtendría en la mejor alternativa (costo de oportunidad)

182



5.3. CALCULO DEL TIR

A.- MÉTODO ANALÍTICO El Cálculo analítico parte de la definición planteada en la ecuación anterior, la cual señala que la TIR es una tasa de interés compuesta que hace que el VPN sea igual a cero. La tasa de descuento contenida en el denominador de cada término de la ecuación, representa la TIR, que este caso viene a ser la incógnita del problema. B.- MÉTODO GRÁFICO La TIR es la tasa de interés que hace el VPN =0. Una vez construida la ecuación del VPN, se le asignan diferentes valores a la tasa de descuento con el fin de obtener diferentes valores del VPN, partiendo de una tasa del 9%. Mediante este procedimiento se diseña una gráfica que se denomina “ el perfil del VPN”.

1. SIGNIFICADO DEL TIR • Cuando se realiza una operación financiera, generalmente, se cree que la tasa de

interés obtenida (TIR) representa el rendimiento o costo sobre la inversión inicial. • La TIR es la tasa de interés pagada sobre los saldos de dinero tomando en préstamo o la tasa de rendimiento ganada sobre el saldo no recuperado de la inversión.

2. DEFECTOS DEL TIR   



Si dos proyectos son independientes, entonces, los criterios del VPN y la TIR, siempre conducirán a la misma dirección de acéptese/rechácese. Si el VPN afirma que el proyecto debe aceptarse, la TIR dirá lo mismo. Esto es válido siempre que el VPN sea una función uniformemente decreciente del tipo de descuento, esto quiere decir, que a medida que la tasa de descuento aumento, el valor del VPN disminuye.

1er caso o o

o

o



Cuando el VPN disminuye al aumentar la tasa de descuento. Este es el caso más frecuente y se presenta en los proyectos convencionales o normales, o sea aquellos proyectos en los que se produce una inversión inicial seguida de beneficios futuros. Para este caso y cuando se trata de proyectos independientes o un solo proyecto, el VPN y la TIR conducen a la misma decisión de aceptar o rechazar un proyecto. Si analizamos la gráfica anterior del inversionista, a una tasa de oportunidad del 20%, el VPN es mayor a cero, por lo tanto se debe aceptar el proyecto y también la TIR del proyecto es mayor que su tasa de oportunidad.

2do. Caso o

o

o

o

Cuando el valor del VPN aumenta en la medida en que aumenta la tasa de descuento. Este caso presente un primer defecto de la TIR y se observa en proyectos de inversión no convencionales, o sea cuando en el período cero no hay inversión sino ingresos Para este proyecto, si la tasa de oportunidad es del 10% y utilizamos el método del VPN como método de evaluación, el proyecto debe rechazarse porque para esta tasa de descuento el VPN es menor que cero. Si utilizamos la TIR, como criterio de selección, el proyecto se debe aceptar porque es mayor que la tasa de oportunidad

183

Econ. Máximo Calero Briones. UNAC 


3er. Caso o

o

  

 

Por si esto no fuese suficiente, se presentan casos en los que no existe tasa de rentabilidad alguna Por ejemplo, un proyecto tiene un VPN positivo para cualquier tasa de descuento, pero no tiene TIR

La ecuación del a TIR es un polinomio de grado n. Si el flujo de caja del proyecto presenta dos cambios de signo, se pueden obtener dos TIR, no que no tiene interpretación económica James Lorie y Leonard Save fueron los primeros en reconocer la existencia de tasas internas de retorno múltiples. Tenemos dos proyectos A y B, que son mutuamente excluyentes en lugar de ser independientes. Podemos escoger el proyecto A, o escoger el proyecto B, o podemos rechazar ambos, pero no podemos aceptar los dos proyectos al mismo tiempo.

6. RANKING DE EVALUACION Y LA TOMA DE DECISIONES El proceso de evaluación de las actividades económicas en operación, así como el de las alternativas de operaciones perspectivas (proyectos>) reviste una significativa importancia para la toma de decisión. Tradicionalmente, la evaluación se efectuaba empleando el problema contable cuyos ratios no proporcionaban la herramienta económica ni financiera para una correcta evaluación acorde a las exigencias del comportamiento monetario a través del tiempo. Actualmente, los indicadores de valuación que nos proporciona la ingeniería económica y las finanzas, no solo nos muestra el grado de rentabilidad del dinero durante el último período, sino también nos hace conocer la productividad del dinero en futuros períodos. Así antes de tomar una decisión sobre una futura inversión tendremos información cuantificada sobre la tasa de rendimiento que se obtendrá a los términos del período y que esa tasa de rendimiento no será inferior a la tasa de interés del capital invertido, asegurando de esta manera las utilidades futuras Los principales indicadores de evaluación nos proporcionan los siguientes resultados:

6.1.- TASA DE RENDIMIENTO

Denomina también “Tasa Interna de Retorno”, expresa el interés que hace que los costos sean iguales a los ingresos. Si la tasa e rendimiento es mayo al costo de oportunidad de capital, el proyecto debe ser aceptado; contrariamente, si la tasa de rendimiento es menor que el costo de oportunidad de capital, la inversión deberá se rechazada.

6.2.- COEFICIENTE BENEFICIO-COSTO Expresa el índice o grado de rentabilidad que se obtiene por cada unidad monetaria invertida. Se elige el mayor índice

6.3.- TIEMPO DE RECUPERACION DE INVERSION Presenta el tiempo que se debe devolver la inversión realizada. Se decidirá por el menor tiempo en que la alternativa devuelva los recursos invertidos

6.4.- VALOR PRESENTE NETO

Muestra el excedente económico actualizado que genera el proyecto durante la vida económica de la empresa; se elegirá la alternativa de mayor valor monetario 184



5. CRITERIOS EMPLEADOS PROYECTOS

EN

LA

EVALUACION

DE

Existen diversos criterios o métodos para evaluar y decidir por proyectos alternativos, cada uno de estos métodos tienen su propia características y perspectiva, por lo que se puede decir que ninguna método es mejor que otro, cada método tiene su propia particularidad y muestra sus ventajas y desventajas sobre los otros métodos. Para definir un proyecto factible, se tendrá que evaluar empelando varios métodos a fin de verificar si el proyecto elegido es rentable considerando diferentes criterios, pues no es posible homogenizar todos los datos, por ejemplo, desembolso inicial, período de gracia, plazos de entrega, costos de montaje, amortización, etc., por lo que será importante tener presente las otras variable económica-financieras.

RESUMEN DE ALGUNOS CRITERIOS DE EVALUACION: INDICADOR VPN B/C TRI TIR

VENTAJAS

DESVENTAJAS

• Facilita el cálculo de otros

• Es necesario contar con la tasa de

indicadores como la TIR • Permite analizar proyectos de distinta vida útil la mayor • Muestra eficiencia de la inversión realizada El tiempo de recuperación • de inversión va cobrando importancia últimamente • No se requiere la tasa de interés para efectuar los cálculos de rendimiento

interés de capital. Nos muestra los costos requeridos para hallar los beneficios Las inversiones de cada proyecto no puede emplearse para diferentes alternativas No es práctico en algunos casos, pues presenta tiempos muy reales en términos numéricos La forma de cálculo de la tasa del TIR, solo se puede efectuar mediante cálculos a tanteo o por aproximación.

• •

•

•

6. TASA VERDADERA DE RENTABILIDAD (TIR MODIFICADA) El proceso matemático de cálculo de la TIR supone que los flujos que libera el proyecto son reinvertidos a la misma TIR y está suposición es irrealista cuando la TIR es mayor o menor que la tasa de oportunidad del inversionista. Precisamente, por esta suposición se llama a la TIR, tasa interna de retorno, debido a que no considera factores económicos externos al proyecto Supóngase que un proyecto de inversión tiene una TIR del 40% anual. Cada año el proyecto libera fondos, porque no los necesita, que no se pueden reinvertir por fuera del proyecto al 40% anual, sino a la tasa de oportunidad del inversionista que es del 20% anual. En este caso se presenta una dualidad: la TIR del proyecto como características propia de él, que sigue siendo el 40%, y la verdadera rentabilidad del inversionista, que resulta de considerar la reinversión de los flujos que libera el proyecto, a una tasa mínima igual a su tasa de oportunidad. El proyecto no puede responder por el buen uso que el inversionista le dé a los recursos producidos por él.

185


COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) El flujo de caja de un proyecto de inversión convencional está conformada por una inversión inicial y beneficios en el futuro. También existen proyectos que requieren inversiones adicionales durante su vida útil. Pero una condición indispensable para que exista una TIR es que los beneficios sean igual o mayores que la inversión inicial. Si los beneficios son iguales a la inversión inicial, la TIR es igual a cero y no existe valor del dinero en el tiempo. Por Ejemplo, si invertimos $ 100 y recibimos $ 50 al final del primer año y $ 50 al final del segundo año, el valor de la TIT es igual a cero y el costo del dinero también es cero. Si los beneficios son mayores que la inversión inicial, existe una TIR positiva, lo que equivale a decir que existe un rendimiento sobre saldos insolutos medido por la misma TIR. En la práctica surge el análisis de proyectos de inversión cuyo flujo de caja está compuesto sólo por egresos (gastos), y en este caso no se puede determinar su rentabilidad por medio de la TIR. Ejemplos de este caso se presenta cuando se analiza la posibilidad de reemplazar una máquina por otra de características similares, que forman parte de un proceso productivo y que no generan beneficios por si mismas. Para solucionar este problema se debe aplicar el Costo Uniforme Anual Equivalente (CAUE), que consiste en convertir los egresos e ingresos asociados al proyecto en cantidades anuales iguales equivalentes, lo que equivale a convertir estas partidas en cuota (A) de una anualidad vencida. El término costo anual por lo general hace referencia a cuotas anuales, pero en la realidad éstas pueden expresarse para cualquier período. En una forma más práctica, podemos decir que el CAUE es cada una de las partes anuales iguales en que se reparte el VPN, a la tasa de descuento utilizada para calcularlo. Esto es equivalente a calcular la cuota (A de una anualidad vencida conocidos el valor presente, que en este caso es el VPN; la tasa de interés, que corresponde a la tasa de descuento y el número de cuotas, que el número de años de la vida útil del proyecto. La importancia del CAUE radica en que con su aplicación podemos tomar la decisión de la inversión en proyectos que producen sólo gastos, o en aquellos en los cuales es muy difícil, si no imposible, determinar los beneficios, aunque también se aplica para proyectos que tienen explícitos los ingresos. Por ejemplo, es caso imposible cuantificar los beneficios que genera una planta eléctrica para una empresa, dentro de su proceso productivo. También, sí se está analizando la posibilidad de reemplazar una planta que está en operación por otra que promete un ahorro en los gastos de operación, con este método podemos tomar una decisión escogiendo la que representa un menor costo de la empresa. El método del CAUE se aplica para las situaciones siguientes: • En el análisis y evaluación de un proyecto individual, cuando son conocidos los ingresos y egresos. Si el CAUE es positivo, se recomienda el proyecto. Este criterio de aceptación o rechazo de un proyecto individual es razonable, porque al ser el CAUE la distribución del VPN en cuotas anuales iguales equivalentes(o para cualquier otro período), sí el valor de este último es positivo, también lo serán las partes iguales en que se reparte que corresponden al CAUE. Sí el VPN es positivo, el CAUE es negativo el proyecto se debe rechazar. EL VPN y el CAUE se pueden considerar como un mismo indicador, afectado por un factor de escala. • Selección de alternativas que presentan ingresos y egresos. En este caso se escoge la de mayor CAUE, que equivaldría a aceptar la de mayor VPN. • Selección de alternativas que sólo presentan egresos. En este caso se escoge la alternativa de menor CAUE • Selección de alternativas con vidas útiles diferentes Existen varios métodos para calcular el CAUE, independientemente de cuál de las situaciones mencionadas arriba se presentan: 186



1. MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN DE SALVAMENTO Mediante este método, el costo inicial se convierte en un costo anual uniforme equivalente, calculando la cuota ( A) de una anualidad vencida. Se resta a esta cantidad el valor de salvamento, una vez convertido en un costo anual uniforme equivalente mediante el cálculo de la cuota ( A ) de una anualidad vencida conocido el valor futuro. A esta diferencia se le suma cualquier otro costo anualizado.

2. MÉTODO DEL VALOR PRESENTE DE SALVAMENTO El valor presente de salvamento se resta del costo de inversión inicial o costo inicial y a la diferencia resultante se le calcula la cuota anual uniforme. A este último resultado se le suma cualquier otro costo anualizado.

3. MÉTODO DE LA RECUPERACIÓN DE CAPITAL MÁS INTERESES Se le resta al costo inicial el valor de salvamento y a la diferencia se le calcula la cuota anual uniforme. Se multiplica la tasa de interés por el valor de salvamento y se suma este valor con la anterior cuota anual uniforme. Si existen otros costos anuales uniformes se le añaden al resultado anterior.

4. MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO Mediante este método, se calcula el VPN para el flujo de caja y se convierte este VPN en una serie anual uniforme equivalente, utilizando en todos los casos como tasa de descuento la tasa de oportunidad de la empresa o inversionista.

187


EJEMPLOS AUTOR: COURT MONTEVERDE, Eduardo .Matemáticas Financieras 1.

Al mes de abril del 2011, el precio de un kilo de papa era S/. 3.00. Si se considera que durante el año anterior la inflación promedio fue de 6.5% y la inflación promedio anual, durante los próximos 5 años sea de 7%, a.- ¿Cuál es el precio del kilo de papa equivalente del año anterior y (Resp. = S/ 2.82 ) b.- Dentro de 5 años? (Resp. = S/. 4.21) c.- Incremento del precio del año 2011 al 2016 (Resp. =▲P = 40.26%) a P n-1 S ∏

n

= = = =

? 3.00 6.50% 1

P = S

P = S .FSAn i

Pn- 1

1 (1 + P ) n

=

Precio del kilo de papa para abril 2010 fue de S/. 2.82

b Pn P ∏

n

= = = =

? 3.00 7.00% 5

S = P.FSC ni

S = P (1 + P ) n

Pn

=

Precio del kilo de papa para abril 2015 será de S/. 4.21

c ▲P

Pn P n-1

= = =

? 0.00 3.00

 P  ∆P =  n − 1100  Pn −1  = Incremento del precio del año 2011 al 2015 es ▲P

2.

Se estima que la deflación será del 4% anual y se tiene un activo que a la fecha cuesta S/. 5 000, ¿Qué costo tendrá dentro de 5 años si se considera que en promedio la tasa de deflación se mantiene constante? (Resp. P = S/. 4076.86; ▼P = 18.46%) a

Pn P Deflac

n

= = = =

? 5000.00 4% 5

S

=

Pn

S = P(1 − Deflaciòn )

i

P.FSC n

n

=

Precio dentro de 5 años es S/. 4076.86 ▼P

Pn-1 Pn

= = =

? 4076.86 5000.00

 P  ∇P = 1 − n−1 100 Pn  

= ▲P El decremento sobre el precio actual futuro dentro de 5 años es de 18.46%

188


3.


Calcule la tasa de inflación anual utilizando el IPC, considere que en Julio 2011 el IPC era de 130.4 y en Julio del 2010 era de 118.6 (Resp. ∏mes = 9.95%) ∏Mes

IPCJulio IPCJunio

= = =

? 130.4 118.6

π

Mes

 ( IPC n )  =  ( IPC ) − 1 100 n −1  

=

∏Mes

La tasa de inflación en el período señalado es de 9.95% anual

4.

Si para los próximos 5 años se estima que la inflación sea de 8% y la tasa de interés en nuevos soles de hoy es 15%, la tasa de interés del mercado será (Resp. TEA =24.20% ) TE r π

= = =

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100

¿? 15% 8.00%

TE

= La tasa de interés de mercado es 24.20%, que toma un mayor valor por efecto de la inflación.

Metodo Nº 02 TE r π

= = =

¿? 15% 8.00%

r =

TE − π

(1 + π )

TE

5.

TE = r (1 + π ) + π =

Con una tasa real de 15% y una inflación de 6% anuales, determinar la tasa inflada (Resp. TEA = 21.90% ) TE r π

= = =

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100

¿? 15% 6.00%

TE

= La tasa real en nuevos s oles, es de 21.9% anu

Metodo Nº 02 TE r π

= = =

¿? 15% 6.00%

r =

TE − π

TE

6.

TE = r (1 + π ) + π

(1 + π ) =

Se necesita calcular el valor actual de la serie uniforme de pagos de S/. 2 500 anuales durante 7 años si la tasa real es 15% y la tasa de inflación es 3.8% anual, respectivamente, asumiendo que los pagos son en términos de : a.- Nuevos soles de hoy (Resp. VA= S/. 10 401.05 ) b.- Nuevos soles futuras (Resp. VA=S/. 9 169.38 ) a VA R i n

= = = =

? 2500 15% 7

(1 + i) − 1 n

VA = R.FAS ni

VA

VA = R

i (1 + i )

n

=

VA cuando los pagos están en Nuevos soles d hoy es S/. 10401.05

189



b TE r π

= = =

¿? 15% 3.80%

VA R i n

= = = =

? 2500 19.37% 7

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100 TE

=

VA = R.FAS n

VA = R

i

VA

(1 + i) n − 1 i(1 + i )

n

=

VA c uando los pagos están en Nuevos s oles futuras en S/. 9169.38

7.

Se tiene una tasa de mercado de 18%, calcular el monto acumulado en un período de 5 años de un importe de S/. 3 500 (Resp. S/. 8 007.15) VF VA

= = = =

i

n

8.

VF = VA.FSC n

S = P(1 + i )

i

Pn

n

=

Determinar el valor corriente de S/. 2 500 cuya tasa de mercado e inflación es 15% y 6% anual durante 9 años (Resp. = S/. 5205.32 ) r i π

VF VA i

n

9.

? 3500.00 18.00% 5

= = =

? 15% 6%

= = = =

? 2500.00 8.49% 9

r

i =

− π

1+

π

r

=

S = P (1 + i )

VF = VA.FSC n i

Pn

n

=

Con el siguiente enunciado: a.- ¿Cuánto se tienen que pagar dentro de 7 años por un bien que hoy cuesta S/. 7 500 y la inflación es 4.8% anual (Resp. S/. 10 413.34 ) b.- Si S/. 2 500 es el costo de un producto cuyo precio crece exactamente con la tasa de inflación del 6% anual, el costo dentro de 9 años será (Resp. S/. 4 223.70 ) a Pn P ∏

n

= = = =

? 7500.00 4.80% 7

S = P.FSC n

S = P(1 + P )

i

Pn

n

=

Se pagara dentro de 7 años S/. 10413.34 b Pn P ∏

n

= = = =

? 2500.00 6.00% 9

S = P.FSC n

S = P(1 + P )

i

Pn

n

=

El costo dentro de 9 años será S/. 4223.70

190



10. Determinar la tasa de mercado y el valor corriente de S/. 2 500. Considerar una tasa de retorno de 8.49% y una inflación de 6%, dentro de 9 años (Resp. S/. 8 794.69 ) TE r π

VF VA i

n

= = =

¿? 8.49% 6.00%

= = = =

? 2500.00 15.00% 9

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100 TE

=

VF = VA.FSC n

S = P(1 + i )

i

VF

n

=

Los S/. 2500 de hoy s on equivalentes a S/ . 8794.69 dentro de 9 años, c on un rendimiento real de 8.49% y con una tasa de inflación de 6% anual

11. Los ejecutivos de una imprenta deben decidir entre dos alternativas para incorporar a su planta de producción una nueva impresora offset; la alternativa A, supone adquirir hoy la impresora al costo de S/. 150 000 instalada y lista para operar; y la alternativa B significa diferir la compra durante 4 años y se estima que el costo aumentará hasta S/. 310 000. La tasa real es 13% anual y la inflación estimada es 3.5% anual. Determinar la mejor alternativa tomando en cuenta: a.- Ausencia de inflación (Resp. = S/. 244 571.04 ). Se recomienda Alternativa A b.- Presencia de inflación (Resp. = S/. 310 000.00). Se recomienda Alternativa A a

Alternativa A: VF VA i

= = =

? 150000.00 13.00%

n

=

4

VF = VA.FSC n

S = P(1 + i)

i

VF

=

VF

=

n

Alternativa B: VF

=

310000

Se recomienda la alternativa A porque arroja un valor menor; la compra debe efectuarse ahora b

Alternativa A: TE = ¿? r = 13.00% = 3.50% π Pn P ∏

n

= = = =

TE

= [(1 + r )(1 + π ) − 1]100 =

TE

? 150000.00 16.96% 4

S = P.FSC n

S = P(1 + P)

i

Alternativa B: VF = 310000

Pn

=

VF

=

n

Se continua recomendando la alternativa A, po cuanto se requiere menos dinero futuro equivalente

191



12. Con los datos del ejemplo Nº 11, si la tasa de inflación es 14% anual y la tasa real del 19% a.- Ausencia de inflación (Resp. = S/. 300 800.88). Se recomienda Alternativa A b.- Presencia de inflación (Resp. = S/. 310 000.00 ). Se recomienda Alternativa B

a VF VA i

n

Alternativa A: = ? = 150000.00 = 19.00% = 4

VF = VA.FSC n

S = P(1 + i )

i


VF

=

VF

=

n

Se recomienda la alternativa A porque arroja un valor menor; la compra debe efectuarse ahora

b Alternativa A: TE = ¿? r = 19.00% = 14.00% π Pn P ∏

n

= = = =

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100 TE

? 150000.00 35.66% 4

=

S = P.FSC n

S = P(1 + P )

i


Pn

=

VF

=

n

Se acepta la alternativa B

13. Si se invierten hoy S/. 5 000 a la tasa real del 15% cunado la tasa de inflación es del 12% también anual, la cantidad anual de capital que se debe recuperar durante 8 años en nuevos soles futuras será (Resp. = S/. 1 659.04) TE r π

R P i n

= = =

¿? 15.00% 12.00%

= = = =

? 5000 28.80% 8

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100 TE

=

R = P.FRC n i

R

192

R

=

=

P

i (1 + i )

n

(1 + i ) n − 1



14. Un pequeño empresario textil suscribe un contrato de compra-venta de su producción por S/. 150 000 a ser pagado dentro 90 días. Considerando una inflación de 9.5% anual, determinar el valor real (de hoy) de dinero que cobra el vendedor. (Resp. = S/. 146 635.03) Pn-1 S ∏

n

= = = =

? 150000.00 9.50% 0.25

P = S .FSAni

P = S

Pn-1

90/360

1 (1 + P ) n

=

El empresario recibe S/. 146635.03, cantidad menor al pactado en el en el contrato de compra-venta, la inflación erosiona el monto principal. Para evitar esto hay contratos que incorporan cláusulas de indexación que observan la transformación de un valor futuro de dinero por medio de una tasa de interés que refleja la pérdida de poder adquisit ivo del capital. Es decir, que agregan la inflación al dinero que se recibe.

15. Un pequeño empresario accede a un préstamo bancario que cobra una tasa nominal de 15% compuesto mensualmente. Se prevé que la tasa de inflación sea 7.5%. Calcular la tasa de interés de mercado. (Resp. TEA = 24.79% ) TEA i n

= = =

? 1% 12

TE r

= = =

¿? 16.08% 7.50%

π

Te

(15/12)%

= [(1 + i ) n − 1]

TEA

=

TE = [(1 + r )(1 + π ) − 1]100 TE

= Tasa de mercado es 24.79% anual

193


EJEMPLOS AUTOR: COURT MONTEVERDE, Eduardo .Matemáticas Financieras 1.

Una empresa tiene un capital total S/. 1 000 000 con la siguiente estructura de financiamiento: S/. 250 000 con 38%, S/. 380 000 con 40%, S/. 170 000 con 32% y S/. 200 000 con 28% de costo anual, respectivamente. Calcular el costo promedio del capital de esta compañía (Resp. CPPC = 35.74%)

2.

Un proyecto de inversión requiere el desembolso inicial de S/. 250 000, con beneficios estimados ente el 1º y el 6º año de S/. 60 000, 85 000, 95 000, 150 000, 190 000 y 145 000. El tipo de descuento aplicado a proyectos con riesgos similares es del 12%. Calcular el VAN. (Resp. VAN = S/. 215 552.36)

3.

Con una inversión de S/. 50 000 se espera un retorno de cinco cuotas iguales de S/. 6 000. El inversionista aceptaría invertir en este proyecto si le produce, por lo menos, un 10% de rentabilidad. Calcular el VAN de esta operación financiera. (Resp. VAN= S/. -27 255.28)

4.

Con una inversión de S/. 12 000 se espera un retorno de cinco cuotas iguales de S/. 3 500. El inversionista aceptaría invertir en este proyecto si le produce, por lo menos, un 14.0547125% de rentabilidad. Calcular el VAN de esta operación financiera. (Resp. VAN= S/. 0 )

5.

Se tiene un proyecto con un VAN igual a S/. 42 830.31 y un flujo de caja: Años

0

1

2

3

4

5

6

FC

-80000

19200

27200

30400

48000

60800

46400

Se pide a.- Elaborar el Cronograma de Pagos b.-¿Por qué la diferencia entre el excedente y el VAN? c.- Comparar el capital final del año 6 con el resultado del VAN Costo de oportunidad es del 18% a

Años 0 1 2 3 4 5 6

Inversión Inicial 1 ( 1 - 4) 80000

Flujo Caja 2 (Dato) 19200

Interés 18% 3 1 x Factor) 14400

4 ( 2 - 3)

Inversión Final 5 ( 5 - 4)

4800

80000 75200

EXCEDENTE

b El excedente de S/. 115622.74 no coincide con el VAN de S/. 42839.31. La diferencia radica en que el VAN se expresó en el momento cero, mientras que el excedente está en el momento seis.

194



c P S i n

6.

= = = =

? 115622.74 18% 6

P = S .FSAni

P

P = S

1 (1 + i ) n

=

Un negocio a la vista requiere una inversión de S/. 800 000. Esta inversión generar ingresos anuales conforme se detallan en el siguiente flujo: PERIODO 1 90000

2 60000

3 250000

4 250000

5 220000

6 250000

Se considera un costo de capital de 11%, determinar cuánto representaría al valor de hoy la suma de todos los ingresos, menos la inversión inicial (Resp. VAN = S/. -58 521.48) 7.

Con una inversión de S/. 12 000 se espera un retorno de cinco cuotas iguales de S/. 1 000. a.- Calcular la tasa descuento de esta operación que permita obtener exactamente lo esperado (Resp. TIR = 7.93083%) b.- Calcular el VAN, tomando el valor del TIR (Resp. VAN = S/. 0 )

8.

Se tiene un proyecto que hoy requiere una inversión de S/. 5 000 y rinde S/ 6 250 en un año. Calcular la tasa de descuento y el valor actual de los flujos considerando una rentabilidad deseada de 15%. (Resp. TIR = 25% ; VAN = S/. 434.78)

9.

Calcular la tasa interna de retorno y el valor actual neto considerando una tasa de descuento de 15% de una alternativa de recibir hoy S/. 5 000 e invertir S/. 6 250 dentro de un año. (Resp. TIR = 25%; VAN = S/. 434.78)

10. Una máquina de uso múltiple para una pequeña empresa textil, tiene un costo inicial de S/. 40 000 y una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales su valor de salvamento es de S/. 3 600. Los costos de operación y mantenimiento son de S/. 1 000 al año y se espera que los ingresos por el aprovechamiento de la máquina asciendan a S/. 12 000 anuales. Calcular la TIR del proyecto (Resp. TIR = 13.63% )

FLUJO DE CAJA CONCEPTO

0

1

2

3

4

5

Cuota inicial Valor de salvamento Ingresos Egresos

Flujo de Caja (FC )

11. Se suponen los proyectos A y B, con los siguientes resultados económicos: A B

0

1

2

(450) (450)

820 450

450

Seleccionar la mejor alternativa según el VAE(Valor Anual Equivalente) (Resp. Proyecto A: VAE = S/. 289.01; Proyecto B: VAE = S/. 162.58. Conclusión: Proyecto A, es la mejor alternativa )

195



PROYECTO A : VAE = ? VAN = 244.92 i = 18.00% n = 1

 i(1 + i) n   n  (1 + i ) − 1

VAE = VAN .FRC n i

VAE PROYECTO B : VAE = ? VAN = 254.54 i = 18.00% n = 2

VAE = VAN 

=

 i(1 + i) n   n  (1 + i) − 1

VAE = VAN .FRC n i

VAE

VAE = VAN 

=

El VAE est ablece que la alternativa a seleccion debe ser el Proyecto A

12. Se tiene un negocio que requiere una inversión inicial de S/. 50 000 y adicionales de S/. 18 000 al final del cuarto mes y de S/. 22 000 al final del noveno mes; produce S/. 21 000 mensuales de beneficios a partir del segundo mes. Se estima que tenga 12 meses de vida. Si se supone una tasa mínima de 3% mensual, calcular él VA y la TIR del proyecto (Resp. VAN = S/.110 465.55; TIR = 25.56%) _ 13. El costo de una carretera alterna a la principal es de S/. 25 000 000 y producirá ahorros en combustible para los vehículos de S/. 1 500 000 al año; por otra parte, incrementará el turismo estimando el aumento de ganancias en los hoteles, restaurantes y otros en S/. 7 000 000 al año. Pero los agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de S/. 1 300 000 al año, ¿Es factible el proyecto? Considerando una tasa de descuento del 25% anual a.- Flujo neto anual del proyecto (Resp. FCN = S/. 7 200 000 ) b.- Elabore el diagrama del flujo de caja del proyecto c.- Calcular la relación B/C (Resp. B/C = S/. 1.15 ) a Ingresos Egresos Pérdida

FLUJO NETO ANUAL b Ingresos

7200000 0

Egresos Inversión

7200000 1

7200000 2

……………

2500000

c 0

VAB i

0

7200000

=

25% VAB =

C i

VAB

196

=

∞



0 25000000 =

VAC i

25%

VAC B/ C VAB VAC

= = =

? 28800000 25000000

B / C =

=

VAB VAC

B/C

=

14. Se pide analizar tres proyectos (A, B y C ) mutuamente excluyente que tienen una tasa de descuento de 18%. Los ingresos y egresos de cada uno se expresan en el cuadro siguiente:

Años 0 1 2 3 4 5

PROYECTO A Ingresos Ing resos Egresos gre sos 28000 31000 35000 35000 35000

PROYECTO B Ingresos Ing resos Egresos gre sos

71000 2800 3500 4300 4300 4300

21000 23000 26000 26000 26000

PROYECTO C Ingresos Ing resos Egresos gre sos

71000 4200 4500 5000 5000 5000

71000 6000 6000 6000 6000 6000

21000 21000 21000 21000 21000

Calcular: a.- Flujo de caja los proyectos A, B y C b.- El VAN, y TIR, de los proyectos A, B y C c.- La relación B/C, de los proyectos A, B y C d.- Elaborar el cuadro comparativo y del análisis de estos resultados decidir cuál es la mejor alternativa. (Resp. = Proyecto A)

15. Se tiene una inversión de S/ 12 000, con flujos variables como se muestra en el siguiente cuadro:

FC

1 2000

2 3500

3 2800

4 3700

5 5000

6 5200

Calcular el período de recuperación considerando una tasa de descuento de 5% (Resp. VAI = S/. 1 200 ; VAB = S/. 14 459.74; VAC= S/. 0; TRI =0.8298904; Tiempo= 5 años)

Ingres os

2000 0

3500 1

2800 2

Egresos Inversión

12000

197

3700 3

5000 4

5200 5

6



PERIODO VAI

0

i

=

1

C 1

VAI = C 0 +

PERIODO VAB

0

i

=

1

(1 + i)

Tiempo A TRI n

? 12000.00 14459.74 0.00

= = =

? 0.82 .8298904 6

C 2

(1 + i )

2

+

C 3

(1 + i)

=

0.00

2

3

4

B1

(1 + i)

VAB

= = = =

+

VAI

VAB = I 0 +

TRI VAI VAB VAC

1

TRI =

1

+

B2

(1 + i )

2

+

3

+ ... +

C n

(1 + i ) n

5

B3

(1 + i )

3

+ ... +

6

Bn

(1 + i ) n

=

VAI VA I VAB VA B − VA C

TRI

=

Tiempo Años = TRI .n

Tiempo Año

=

La inversión se recupera en el quinto año

16. Se tiene una inversión de S/. 6 000 con beneficios netos anuales de S/. 1 500. Calcular el período de recuperación. (Resp. TRI = 4 años) Ingres os

1500 0

Egresos Inversión

1500 1

1500 2

1500 3

……………. ∞

6000

PERIODO VAI

0

i

=

1

VA I = C 0

VAI

198

+

C 1

(1 + i )

1

+ =

C 2

(1 + i )

2

+

C 3

(1 + i )

3

+ ... .. . +

C n

(1 + i ) n



PERIODO VAB

0

i

=

1

VA B

= I 0 +

B1

(1 + i )

VAB

PERIODO VAC

0

i

=

(1 + i )

2

+

B3

(1 + i )

3

+ ... .. . +

3

+ ... .. . +

B n

(1 + i ) n

1

+

C 1

(1 + i )

VAC

= = = =

B 2

=

VA C = C 0

TRI VAI VAB VAC

+

1

? 6000.00 1500.00 0.00

TRI =

1

+

C 2

(1 + i )

2

+

C 3

(1 + i )

C n

(1 + i ) n

=

VAI VA I VAB VA B − VA C

TRI

=

17. Se tiene dos alternativas de inversión que se deben evaluar: Primera alternativa: CONCEPTO Benefic io Neto Perdidas Anteriore Ant eriores s

1

2

3

4

5

6

80000

85700

91350 (3500)

83000 (1419)

78000 (328)

68000

Una inversión de S/. 480 000 con un costo de oportunidad del 15%, un valor residual de S/. 150 000 y costos de activos fijo por S/. 168 000. El impuesto a las utilidades es de 27% y, para determinar la base imponible, se puede considerar como costos anuales de depreciación de no más de un 50% de la inversión inicial repartido en 5 cuotas iguales Segunda alternativa: CONCEPTO Benefic io Neto

1

2

3

4

5

6

120000

115000

105000

99000

130000

97800

Una inversión de S/. 350 000 con un costo de oportunidad del 15%, un valor residual de S/. 150 000 y costos de activos fijos por S/. 210 000. El impuesto a las utilidades es del 30% y, para determinar la base imponible se puede considerar como costos anuales de depreciación de no más de un 66% de la inversión inicial repartido en 5 cuotas iguales Se pide calcular el VAN y la TIR de cada una de las alternativas

199



(Resp. Mejor proyecto: segunda alternativa) Primera Alternativa D Io i n

= = = =

? 480000 50% 5

D =

I 0 .i n

D

=

PRIMERA ALTERNATIVA CONCEPTO

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

Cuota inic ial Beneficio Neto ( - )Depreciación Ingreso(Venta Activo) Costo Activos Fijos Perdida de Arrastre

BASE IMPONIBLE Impuesto

27%

CONCEPTO Inversión Ingreso(Venta Activo) Beneficio Neto Impuestos FLUJO DE CAJA

VAN PERIODO INVERSION

0

1

2

3

4

5

6

TIR

15%

Segunda Alternativa D Io i n

= = = =

? 350000 66% 5

D =

I 0 .i n

D

=

SEGUNDA ALTERNATIVA CONCEPTO

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

Cuota inic ial Beneficio Neto Depreciación Ingreso(Venta Activo) Costo Activos Fijos Perdida de Arrastre

BASE IMPONIBLE Impuesto

30%

CONCEPTO Inversión Ingreso(Venta Activo) Beneficio Neto Impuestos FLUJO DE CAJA

200


Indicadores de evaluación VAN

PERIODO INVERSION

0

1

2

3

4

CUADRO COMPARATIVO ALTERNATIVAS VAN

5

6

TIR

15%

TIR

Primera Alternativa Segunda Alternativa Según el VAN y el TIR, el mejor proyecto es la segunda alternativa

18. La compra de un camión para el transporte de minerales significa una inversión de S/. 70 000. Al cabo de dos años el vehículo ya no sirve para esta tarea, pero puede liquidarse en S/. 3 000. Desde el punto de vista legal sólo se permite depreciar S/. 30 000 por año. Los costos de operar el camión son de S/. 25 500 el primer año y S/. 36 000 el segundo. Los ingresos por los servicios de transporte son de S/. 75 000 y S/. 95 000 el primer y segundo año. La tasa de impuesto a las utilidades es de 27%. El costo de venta del camión es de S/ 10 000. El inversor dispone de S/. 28 000 para este negocio, pero no se decide porque tiene otra alternativa que le redituaría 15% anual. Los 42 000 restantes se pueden a través de un crédito bancario al 18% anual, pagadero a dos años. Se pide:

Con Financiamiento

a.- Cronograma de pago del préstamo b.- Estado de Resultados c.- Flujo de Caja d.- Calculo del VAN y TIR

Sin Financiamiento a.- Estado de Resultados b.- Flujo de Caja c.- Calculo del VAN y TIR

Cuadro comparativo y la recomendación

¿Qué recomendaría a usted a este inversionista? Considere que los intereses se pagan anualmente, pero el crédito se amortiza en una sola cuota al final del segundo año. Proyecto con financiam iento a Saldo Inicial 0 1 2

42000 42000 0

Interés Amortizaci 18% 0 42000

7560 7560

Pago 7560 49560

b ESTADO DE RESULTADOS CONCEPTO 1 2 Ingresos Costos UB Depreciación Intereses Venta Camión Costo de venta camión UN Impuesto 27%

201

Saldo Final 0 42000

0



c FLUJO DE CAJA CONCEPTO 0

1

2

Inversiones Préstamo Liquidación(Equipos) Ingresos Costos Impuestos

FLUJO DE CAJA d VAN PERIODO INVERSION

0

1

2

TIR

15%

Proyecto sin financiamiento a ESTADO DE RESULTADOS CONCEPTO 1 2 Ingresos Costos UB Depreciación Venta Camión Costo de venta camión UN Impuesto 27%

b FLUJO DE CAJA 1 0

CONCEPTO

2

Inversiones Liquidación(Equipos) Ingresos Costos Impuestos

FLUJO DE CAJA c VAN PERIODO INVERSION

0

1

Cuadro Comparativo y recomendaci ón: CUADRO COMPARATIVO ALTERNATIVAS VAN Con Financiamiento Sin Financiamiento

202

TIR

2

15%

TIR



El proyecto es rentable cuando se recurre al financiamiento, debido al es cudo fiscal por el descuento logrado en impuestos, ya que los intereses del financiamiento se deducen como gasto. Es decir que el proyecto cuenta con dos fuentes de ganancia: una, la ganancia propia de realizar la inversión y la otra por el financiamiento neto del proyecto(que incluye la ganancia por el esc udo fiscal de la deuda)

19. Un empresario de la industria del calzado desea reemplazar una máquina antigua, que le costó hace 5 años S/. 30 000 y, actualmente, tiene un valor en libros de S/. 12 000, con una depreciación lineal anual de S/. 3 000. La máquina alternativa tiene una vida útil de sólo 5 años, pero significará un ahorro de costos de operación pasando de S/. 88 000 actuales a S/. 70 000 anuales con la nueva máquina. El valor de adquisición de la nueva máquina es de S/. 35 000 y requiere de terrenos adicionales por un valor de S/. 33 000 si se hace el negocio, la empresa vendedora acepta la máquina antigua en parte de pago cotizándola en S/. 6 000. Al cabo de 5 años, la máquina tendrá un valor residual igual a cero. Las ventas anuales actualmente son de S/. 280 000, pero con la nueva máquina aumentarían en S/. 3 500 el primero, en S/. 4 200 el segundo, en S/. 6 500 el tercero, en S/. 7 000 el cuarto y en S/. 8 500 el quinto año Determine: a.- Flujo de Caja b.- VAN y TIR c.- Si la decisión de reemplazo es conveniente, considere una tasa de descuento de 15% anual.

a CONCEPTO

FLUJO DE CAJA 1 2

0

3

4

5

Máquina Terreno Por liquidación Incremento de Ingresos Ahorro de Costos

FLUJO DE CAJA

b VAN PERIODO INVERSION

0

1

2

3

4

5

15%

c Comparando el proyecto en los 5 años establecidos el VAN positivo y la TIR superior a la tasa de descuento del proyecto indican que es conveniente el reemplazo de la máquina.

203

TIR



20. Un empresario local tiene proyectado implementar un negocio en un centro comercial. Los flujos netos de la inversión durante 5 años, al final de los cuales se vende toda la infraestructura, se exponen en el siguiente resumen: PERIODO FLUJO DE CAJA

0 (2500000)

1 950000

2 1050000

3 1350000

4 1250000

5 2600000

El costo de oportunidad de la inversión lo estimó el empresario en una tasa de descuento de 25%, la misma que se mantendría invariable durante la vigencia del proyecto. Un empresario extranjero que tiene un negocio similar en e centro comercial donde se localiza el proyecto y para evitar competidores, ofrece al empresario local una cantidad de dinero para que desista del negocio. No obstante esto, el proyecto se ejecuta y a los pocos días de su inauguración aparece nuevamente el empresario extranjero, quien al ver la decoración del local, la moderna y ágil infraestructura del negocio le propone comprarle las instalaciones para una de sus sucursales. a.- Diagrama del Flujo de Caja b.- VAN c.- ¿Cuánto le debe pedir el empresario local al extranjero? (Resp. S/. 3 487 168)

204


EJEMPLOS AUTOR: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemáticas Financieras. 02

VALOR ACTUAL NETO

VAN CON FC DE IMPORTES IGUALES, PLAZOS UNIFORMES Y UN SOLO CAMBIO DE SIGNO. 1.

Se está pensando invertir S/. 10 000 en un proyecto que tiene una vida útil de 4 años y cuyos flujos de caja anuales se estima en S/. 4 000 cada uno; además se conoce que la TEA de costo de oportunidad del capital COK es 15%. Se pide: a.- Elaborar el diagrama de flujo de caja b.- Calcular el VAN a Ingresos 0

1

2

3

4

Egresos Inversión b VAN Io FC1 FC2 FC3 FC4 i n1 n2 n3 n4

= = = = = = = = = =

? -10000 4000 4000 4000 4000 15% 1 2 3 4

Metodo Nº 02 PERIODO 0 INVERSI (10000) i =

VAN = − I +

FC 11

+

(1 + i )

1

VAN = −10000 +

FC 22

(1 + i )

4000 1

(1 + 0.15)

+

VAN

=

VAN

=

1 4000.0 15%

2 4000.0

VAN = − I +

VAN

205

FC 1

(1 + i )

1

+

=

22

+

FC 33

(1 + i )

4000 (1 + 0.15)

+

+

2

+

FCn (1 + i ) nn

4000 33

(1 + 0.15)

3 4000.0

FC 2

(1 + i )

2

33

FC 3

(1 + i )

3

+

4000

4 4000.0

+

4

(1 + 015) 4

FCn

(1 + i ) nn

Econ. Máximo Calero Briones. UNAC Metodo Nº 03 Periodo Inversión Prestamos Ingresos Egresos Flujo de Caja


0 (10000)

1

2

3

4

4000

4000

4000

4000

4000

4000

4000

4000

0

1

2

3

4

=

15%

(10000)

PERIODO INVERSION i

VAN = − I +

Metodo Nº 04 PERIODO 0 INVERSI (10000)

FC 1

+

(1 + i )

1

FC 2

(1 + i )

VAN

=

1 4000.0

2 4000.0

P = FSAni i VAN VAN = FC .FSAn

2

+

FC 3

(1 + i )

3

Período 0 1 2 3 4 Metodo Nº 05 VAN = ? I0 = 10000 R = 4000 COK = 15% n = 4

FCn

(1 + i ) nn

3 4000.0

4 4000.0

1

Factor =

(1 + i ) n n

i

Fl ujo de Caj a (10000) 4000 4000 4000 4000

+

1/(1+i )n 15%

VAN

VAN = − I 0 + R.FAS ni VAN = − I 0 + R

VAN

(1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n n

=

Interpretación del VAN: En el ejemplo especifico, el VAN de S/. 1419.91, significa que: • El proyecto efectivamente genera un COK de 15% sobre el saldo no recuperado de la inversión • Adicionalmente, contribuye a las utilidades con importes de S/. 1419.91. • La tasa de rentabilidad es superior al COK de 15% efectivo anual que se exige al proyecto, cuya magnitud se determina al calcular la TIR del proyecto.

206



• El VAN de S/. 1419.91 se ubica por equivalencia financiera en el momento 0 y, por tanto, si

todos los supuestos del proyecto se cumplieran, el excedente al final de la vida útil del proyecto(valor futuro neto) sería S/. 2 483.44 = (1419.91(1+0.15)4 . Para comprobar que el proyecto genera una tasa de rentabilidad superior a 15% efectivo anual sobre el saldo no recuperado de la inversión se formulará una tabla de amortización del proyecto.

n 0 1 2 3 4

Nota :

Saldo 10000.00 7500.00 4625.00 1318.75 0.00

15% Amo rtiz In teres Cuota 2500.00 2875.00 3306.25 1318.75 10000.00

1500.00 1125.00 693.75 197.81 3516.56

Exced ente

4000.00 4000.00 4000.00 4000.00 2483.44 16000.00 2483.44

Excedente es la diferencia:2483.44= (4000-197.81)

En el cuadro anterior puede observarse que: • Los FC se generan por el proyecto • El saldo de la inversión genera el interés devengado por la tasa COK de 15% anual. • La amortización es la diferencia del FC generado por el proyecto menos el interés. • En el último FC, al final del horizonte temporal: el saldo de la inversión genera un interés de S/. 197.81, se amortiza todo el saldo de la inversión de S/. 1318.75; y todavía el proyecto genera un excedente de S/. 2483.44. Al sumar la amortización, el interés y el excedente se llega al FC de S/. 4 000. • El excedente de S/. 2 483.44 es el valor futuro neto (VFN) que se obtiene al capitalizar el VAN con el COK. 2.

El Sr. Jiménez tiene un capital de $ 1 000 que desea invertir en abrir una panadería. Actualmente, eses dinero lo tiene depositado en el Banco del Empresario donde gana una tasa de interés de 10% anual. El Sr. Jiménez proyecta su flujo de caja para 5 años y obtiene lo siguiente: P e rio d o

0

Inversión P r e s ta m o s In g r e s o s Egresos

(1000)

F lu j o d e C a ja

(1 00 0 )

1

2

3

4

5

500 (2 0 0 )

500 (2 0 0 )

500 (2 0 0)

500 (2 00 )

500 (200)

300

300

300

300

300

Se pide: a.- Elaborar el diagrama de flujo de caja b.- Calcular el VAN a Ingresos 0

1

2

Egresos Inversión

207

3

4

5

Econ. Máximo Calero Briones. UNAC b VAN Io FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 i n1 n2 n3 n4 n5

= = = = = = = = = = = =


? -1000 300 300 300 300 300 10% 1 2 3 4 5

VAN = − I +

VAN = −1000 +

Metodo Nº 02 PERIODO 0 INVERSI (1000) i

=

FC 11

(1 + i )

11

300 1

FC 22

+

(1 + i )

300

+

2

22

+

+

FC 33

(1 + i ) 33

300

=

VAN

=

1 300.0 10%

2 300.0

0 (1000)

(1000)

PERIODO INVERSION i

0 =

44

+

300

4 300.0

∑

5 300.0

It − Ct

n=0

(1 + i ) n

VAN

=

1

2

3

4

5

500 (200) 300

500 (200) 300

500 (200) 300

500 (200) 300

500 (200) 300

1 300 10%

2 300.0

3 300.0

4 300.0

5 300.0

VAN = − I +

Metodo Nº 04 PERIODO 0 INVERSI (1000)

300

3 300.0

VAN = − I 0 +

Metodo Nº 03 Peri odo Inversión Prestamos Ingresos Egresos Flujo de Caja

+ +

FCn (1 + i ) nn

(1 + 0.10) (1 + 0.10) (1 + 0.10) (1 ++ 0.10) (1 ++ 0.10) 55

VAN

33

+

FC 11

(1 + i )

1

VAN

=

1 300.0

2 300.0

208

+

FC 22

(1 + i )

2

+

3 300.0

FC 33

(1 + i )

3

+

FCn

(1 + i ) n

4 300.0

5 300.0


Indicadores de evaluación P = FSAni

1

Factor =

VAN = FC .FSAni

(1 + i ) n n

i

Factor Flujo de Caja

Período 0 1 2 3 4 5

Metodo Nº 05 VAN = ? I0 = 1000 R = 300 COK = 10% n = 5

1/(1+i)n 10%

VAN

VAN = − I 0 + R.FAS ni (1 + i ) n − 1

VAN = − I 0 + R

VAN

i (1 + i ) n n

=

VAN CON FC DE IMPORTES DESIGUALES, PLAZOS UNIFORMES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNOS. 3.

Calcular el VAN de un proyecto con un COK de 15%, cuyas inversiones y diagrama de flujo de caja son los siguientes:

0

2000

3000

1

2

3

5000

Peri odo Inversión Prestamos Ingresos Egresos Flujo de Caja

PERIODO INVERSION i

0 (5000)

2000

4000

4

5

2000

1

2

2000

3000

3

(5000)

2000

3000

(2000) -2000

0

1

2

3

=

15%

VAN = − I +

VAN

FC 1

(1 + i )1 =

209

+

FC 2

(1 + i ) 2

+

FC 3

(1 + i ) 3

4

5

2000

4000

2000

4000

4

5

+

FCn

(1 + i ) n



VAN CON FC DE IMPORTES DEFERENTES, PLAZOS DIFERENTES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNO. 4.

Calcular el VAN de un proyecto con un COK de 15%, que tiene una vida útil de 460 días y cuyas inversiones y flujos de caja son los siguientes:

2800

09-Ene

15-Mar

20000

VAN Io FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FC6 COK

= = = = = = = = =

? (20000) 2800 (1000) 4000 5000 6000 7000 15%

PERIODO INVERSI Fechas Días COK n

18-Jun

4000

5000

6000

7000

23-Sep

21-Oct

15-Ene

14-Abr

1000

n1 n2 n3 n4 n5 n6

= = = = = =

0 0 09/01/2010

0 = =

0.1780822 0.4383562 0.7041096 0.7808219 1.0164384 1.260274

65/365 160/365 257/365 285/365 371/365 460/365

1 0.0

2 0

15/03/2010 18/06/2010

65 15% 365

FC 1

(1 + i ) 2800 65

(1.15)

365

VAN

=

VAN

=

210

4 0.0

5 0.0

23/09/2010

21/10/2010

15/01/2011

257

285

371

160

VAN = − I 0 + VAN = −20000 +

3 0.0

n1

+ +

+ −

FC 2

(1 + i )

1000 160

(1.15)

365

+

n2

+

FC 3

(1 + i )

4000 257

(1.15)

365

+ +

+ .... +

n3

5000 285

(1.15)

365

+ + +

+

FC n

(1 + i ) nn

6000 371

(1.15)

365

+ +

7000 460

(1.15)

365 365



VAN CON CAMBIOS EN COK . 5.

Calcule el VAN de un proyecto con los datos que se presentan en el siguiente diagrama de tiempovalor. 4000

4000

4000

4000

C OK =1 5%

C OK =14 % C OK =14 %

C OK= 14%

0

1

3

2

4

10000

PERIODO 0 INVERSI (10000) i r

VAN Io

= =

? (10000)

FC1 FC2 FC3 FC4 i r

= = = = = =

4000 4000 4000 4000 15% 14%

1 4000.0 15% 14%

= =

VAN = − I 0

2 4000.0

+

FC 1

(1 + i)

1

VAN = −10000 +

+

FC 2

(1 + i) (1 + r ) 1

4000 1

(1.15)

VAN

3 4000.0

+

1

+

4 4000.0

FC 3

(1 + i) (1 + r ) 1

4000 1

1

(1.15) (1.14)

+

2

+

FC 4

(1 + i)1 (1 + r ) 3

4000 1

(1.15) (1.14)

=

2

+

4000 1

3

(1.15) 1(1.14) 3

+ +

+ +

VAN

=

TASA INTERNA DE RETORNO 6.

¿Cómo evaluar un proyecto de inversión con el criterio de la TIR? Si piensa invertir S/. 10 000 en un proyecto que tiene una vida útil de 4 años y cuyos flujos de caja anuales se estiman en S/. 4 000 cada uno; además, se conoce que el COK es una TEA de 15%. El diagrama de flujo de caja es el siguiente:

0

4000

4000

4000

4000

1

2

3

4

10000 Peri odo Inversión Prestamos Ingresos Egresos Flujo de Caja

0 (10000)

(10000)

PERIODO 0 INVERSI (10000)

1

2

3

4

4000

4000

4000

4000

4000

4000

4000

4000

1 4000.0

2 4000.0

3 4000.0

4 4000.0

Io =

FC 1 1

(1 + TIR)

TIR

211

+

FC 2

(1 + TIR)

=

2

+

FC 3

(1 + TIR)

3

+

FCn FCn n

(1 + TIR) n



Metodo Nº 02 Periodo Inversión 0 1 2 3 4

(10000) 4000 4000 4000 4000

TIR (Valores , Estimar )

TIR

=

Met od o Nº 03: INTERPOLACION: 21% y 22% PERIODO 0 1 2 INVERSI (10000) 4000.0 4000.0 i = 21.00%

VAN = − I +

PERIODO 0 INVERSI (10000) i =

VAN1 VAN2 VAN0

? 21% 22.00% 161.76 -25.44 0

+

FC 22

(1 + i )

=

1 4000.0 22.00%

2 4000.0

VAN = = = = = =

(1 + i )

1

VAN

VAN = − I +

io =TIR i1 i2

FC 1

i1 − i0 i1 − i 2

=

FC 1

(1 + i )

1

+

3 4000.0

22

+

FC 33

(1 + i )

33

4 4000.0

+

3 4000.0

FC 22

(1 + i )

22

+

FC 33

(1 + i )

33

FCn (1 + i ) nn

4 4000.0

+

FCn (1 + i ) nn

= VAN 1 − VAN 0 VAN 1 − ( −VAN 2 )

21% -1.00% 39.312 TIR

-TIR + =

= 1.6176

161.76 187.20 =

187.20 TIR

Interpretación de la TIR: En el ejemplo, al TIR de 21.86% significa que: La tasa de rentabilidad que genera los saldos no recuperados de la inversión es 21.9%, • superior al COK de 15% efectivo anual que se exige al proyecto; por tanto, la inversión es aceptable. El plazo de la TIR está dado por el plazo de los FC; de este modo, si los plazos son anuales, • la TIR será anual; si los plazos son mensuales, al TIR será mensual, y así ,sucesivamente El último FC amortiza totalmente la inversión. • Para comprobar que el proyecto genera una tasa de rentabilidad de 21.86% efectivo anual sobre el saldo no recuperado de la inversión, se formulará un cuadro de amortización del proyecto.

212


P= I i= TIR R =FC n

= = = =


10000 21.86% 4000 4

n 0 1 2 3 4

Saldo 10000.00 8186.00 5975.46 3281.70 1962.95

21.86% Interes

Amo rtiz

FC Cu ota

1814.00 2186.00 2210.54 1789.46 2693.76 1306.24 1318.75 717.38 8037.05 5999.07

4000.00 4000.00 4000.00 4000.00 16000.00

En el cuadro anterior puede observarse que: El proyecto genera los FC • El saldo de la inversión genera el interés devengado por la TIR de 21.86% anual • La amortización es la diferencia del FC generado por el proyecto menos el interés • En el último FC, al final del horizonte temporal: el saldo de la inversión queda totalmente • extinguido 7.

Siendo la tasa de rendimiento de 20% In g r e s o s

400 1

0

450 2

400 3

400 4

400 5

Egresos Inversión 900

Determinar: a.- TIR b.- TIR por Interpolación a Periodo

0

1

2

3

4

5

400

450

400

400

400

Inversión Prestamos Ingresos Egresos

(900)

Flujo de Caja

(900)

400

450

400

400

400

0 (900)

1 400.0

2 450.0

3 400.0

4 400.0

5 400.0

4 400.0

5 400.0

PERIODO INVERSI

TIR = − I 0 +

n

FC t

∑ (1 + r ) t =1

TIR

=

1 400.0 20.00%

2 450.0

t

=0

b INTERPOLACION: 20% y 40% PERIODO 0 INVERSI (900) i

=

213

3 400.0



VAN = − I 0 +

PERIODO INVERSI i

0 (900) =

VAN

=

1 400.0 40.00%

2 450.0

VAN = − I 0 + VAN

io =TIR i1 i2 VAN1 VAN2 VAN0

8.

= = = = = =

? 20% 40.00% 330.97 -60.42 0

∑

i1 − i0 i1 − i 2

=

∑

It − Ct n=0 (1 + i ) n

3 400.0

n=0

4 400.0

5 400.0

It − Ct (1 + i ) n

=

VAN 1 − VAN 0 VAN 1 − ( −VAN 2 )

20% -20.00% 78.278 TIR

-TIR

=

+ =

330.97 391.39 =

66.194

391.39 TIR

El Sr. Silva quiere invertir en la construcción de una panadería. El Banco del Empresario le ofrece una tasa de interés del 10% por sus ahorros. El flujo de caja del proyecto para los próximos años se presenta en el siguiente cuadro: Período Flujo de Caja

0 ( 700)

1 200

2 200

3 400

4 400

Hallar el TIR Periodo Inversión Prestamos Ingresos Egresos Flujo de Caja PERIODO INVERSI

0 (700)

1

2

3

4

200

200

400

400

(700)

200

200

400

400

0 (700)

1 200.0

2 200.0

3 400.0

4 400.0

TIR TIR = − I 0 +

n

t =1

TIR

FC t

∑ (1 + r )

t

=0

=

El proyecto le brinda al Sr. Silva un rendimiento promedio anual de 21.94%; es decir, la rentabilidad del proyecto es de 21.94%. Entonces es recomendable que el Sr. Silva realice el proyecto, dado que la TIR es mayor que el COK (10%)

214


9.


El Sr. Ramírez desea poner una farmacia por dos años, para lo cual necesita una inversión de S/. 10 000. La tasa de interés que el banco le ofrece es de 10%. Anualmente, los beneficios netos que el Sr. Ramírez recibe son de S/. 5 917, los cuales pertenecen retirar con el fin de depositarlos en el banco y mantener un fondo de emergencia. El flujo de caja del proyecto es el que se presenta en el Sgte. Cuadro.

A B C D E

FLUJO DE CAJA DE LA FARMACIA 0 1 Inversión (10000) Rendimiento Retiro Saldo Período(B-C) Benefi cio Neto(E=C)

2

Hallar : TIR

A B C D E

Inversión Rendimiento Retiro Saldo Período(B-C) Benefi ci o Neto(E=C)

0 (10000)

1

2

(5917) (10000)

5917

5917

0

1

2

PERIODO INVERSION

TIR = − I 0 +

n

t =1

TIR

FC t

∑ (1 + r )

t

=0

=

Según el criterio de decisión de la TIR, se debe realizar el proyecto de la farmacia pues su rendimiento promedio es mayor al rendimiento del Banco del empresario. Sin embargo, la TIR no toma en cuenta los retiros de efectivo que realiza el Sr. Ramírez anualmente. S Io i

= = =

? 10000 12%

S = P(1 + in) S

A B C D E S Io i

= = =

Inversión Rendimiento Retiro Saldo Período(B-C) Benefi ci o Neto(E=C)

? 5283 12%

= 0 (10000)

(10000)

1

2

11200 (5917) 5283 5917

5917 (5917) 0 5917

S = P(1 + in) S

=

En el año 0, el Sr. Ramírez invierte S/. 10 000. Al año siguiente esta inversión rinde S/. 11 200 (10,00x1.12). Sin embargo, retira S/. 5 917 para depositarlos en el banco. Los 215



S/. 5 283 restantes permanecen en el negocio y rinden, hacia fines de año 2, S/. 5 917 (5,283x1.12). No obstante, los S/. 5 917 retirados en el año 1 fueron depositados en el banco a una tasa de interés de 10%. Hacia fines del año, este monto rindió S/. 6 508 (5,917x1.1). Este valor o es tomado en cuenta por la TIR. Entonces el inversionista recibe hacia fines del año 2, no solo S/. 5 917 sino, adicionalmente, recibe S/. 6 508.

TIR CON FC DE IMPORTES DIFERENTES, PLAZOS UNIFORMES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNO 10. ¿Cómo calcular la TIR de un proyecto con un COK de 15%, cuyas inversiones y flujos de caja son los siguientes?

0

2000

3000

1

2

3

5000

PERIODO INVERSION

2000

4000

4

5

2000

0

1

2

3

TIR = − I 0 + TIR

n

4

FC t

∑ (1 + r ) t =1

t

5

=0

=

TIR CON FC DE IMPORTES DIFERENTES, PLAZOS DIFERENTES Y MULTIPLES CAMBIOS DE SIGNO 11. ¿Cómo calcular la TIR de un proyecto con un COK de 15%, que tiene una vida útil de 460 días y cuyas inversiones y flujos de caja son los siguientes? 2800

09-Ene

15-Mar

18-Jun

20000

4000

5000

6000

7000

23-Sep

21-Oct

15-Ene

14-Abr

1000

460 d 371 d 285 d 257 d

0 09-ene 20000

160 d 65 d 2800 1 15-mar

2 18-jun

4000 3 23-sep

1000

216

5000 4 21-oct

6000 5 15-ene

7000 6 14/04


TIR Io FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FC6

= = = = = = = =


? (20000) 2800 (1000) 4000 5000 6000 7000

PERIODO INVERSIO Fechas Días COK n

n1 n2 n3 n4 n5 n6

0.178082 0.438356 0.70411 0.780822 1.016438 1.260274

65/365 160/365 257/365 285/365 371/365 460/365

0 (20000)

1 2800.0

2 (1000)

3 4000.0

4 5000.0

5 6000.0

6 7000.0

09/01/2011

15/03/2011

18/06/2011

23/09/2011

21/10/2011

15/01/2012

14/04/2012

0 = =

65 15% 365

160

257

285

371

460

TIR = − I 0 =

FC 1

(1 + TIR ) n1

2800

20000 =

= = = = = =

+

65

(1 + TIR) 365 20000

=

20000 TIR

= =

+

FC 2

(1 + TIR ) n 2

− 1000 160

(1 + TIR ) 365

+

4000 257

(1 + TIR) 365

+

FC 3

(1 + TIR ) n 3 5000

+

285

(1 + TIR) 365

217

+

+ ... +

FC n

(1 + TIR ) nn

6000 371

(1 + TIR) 365

+

7000 460

(1 + TIR) 365


EJEMPLOS Autor: Jhonny de Jesús, MEZA OROZCO. Matemáticas Financieras Aplicadas 1.

A dos inversionistas, en forma independiente, se les plantea la posibilidad de emprender un proyecto de inversión, que requiere de una inversión inicial de $ 1 000 y que arrojaría los siguientes flujos netos de efectivo, al final de cada año, tal y como lo muestra el flujo de caja:

0

350 1

380 2

400 3

500 4 Años

1000

La tasa de oportunidad del inversionista A = 20% anual La tasa de oportunidad del inversionista B = 30% anual a.- ¿Qué decisión debe tomar cada inversionista? b.- Considerando la situación del inversionista A, demostrar el rendimiento que obtiene el inversionista (utilizar una tabla de amortización) 2.

El señor Pablo invierte hoy $ 3 500 000 y al final del año recibe $ 4 200 000. Si su tasa de oportunidad es del 2.5% mensual, a.- ¿Hizo buen negocio? b.- Utilizando el método del VAN c.- Asumiendo una tasa de inflación del 1.5% mensual. d.- Tasa de interés real ganada e.- Tasa real del inversionista f.- VPN, en términos reales

3.

A un inversionista le proponen invertir $ 10 000 000 y le aseguran que en los próximos 5 años recibirá $ 3 000 000 cada año. Si su tasa de oportunidad es del 20% anual, ¿le convienen aceptar el negocio?

4.

Pedro compra un camión de carga hoy por $ 30 000 000 para arrendárselo a una empresa de transporte durante un año por $ 800 000 mensuales, libres de gastos de mantenimiento. Si al final del año le proponen comprarle el camión por $ 25 000 000 y su tasa de oportunidad es del 3.0% mensual. a.- ¿debe aceptar el negocio? b.-¿Cuál debe ser el precio mínimo del camión al final del año para que Pedro acepte el negocio? c.- Si acepta vender el camión al final del año en $ 25 000 000, ¿Cuál debe ser el valor del arriendo mensual para aceptar el negocio?

5.

Se compra una bodega por $ 50 00 000 y en el primer mes se le hacen reparaciones por $ 5 000 000. Se espera arrendarla a partir del tercer mes por $ 500 000 mensuales hasta finales del tercer año, cuando se espera venderla por $ 35 000 000. Si la tasa de oportunidad es del 20% efectiva anual, ¿se hizo un buen negocio?

6.

Se invierten $ 200 000 y después de un año se reciben $ 220 000. Calcula la TIR

218



7.

El señor Pérez invierte $ 200 000 y recibe al final del primer año $ 110 000 y al final del segundo año $ 110 000. Calcular el TIR.

8.

A un empleado le financian un electrodoméstico que tiene un precio de $ 5 000 000, por medio de 6 cuotas mensuales, a una tasa del 3.0% mensual. Calcular el valor de las cuotas

9.

Pedro Pérez invierte hoy $ 12 000 000 en un negocio de repuestos y después de 2 años recibe $ 15 600 000. Calcular la TIR

10. Unos alumnos universitarios aportan $ 20 000 000 para instalar al frente de su universidad un negocio de computadoras. Al realizar su estudio económico, esperan recibir beneficios netos cada año de $ 6 000 000 durante 5 años. El monto de los beneficios anuales pueden reinvertir a una tasa del 10% anual, calcular: a.- La TIR del proyecto b.- Que sucedería si los flujos de caja que libera el proyecto se reinvirtieran a la misma TIR. Compruebe su respuesta mediante un flujo de caja y aplicando la ecuación básica. c.- ¿Cuál es valor acumulado que los alumnos reinvierten los fondos que libera el proyecto? Construya su flujo de caja b.- La verdadera tasa de rendimiento de los alumnos

MÉTODO GRAFICO Primer Defecto del TIR: Caso Nº 01: cuando el VPN disminuye al aumentar la tasa de descuento 11. Utilizando el flujo de caja: 350, 380,400, 500. Hallar el método gráfico del TIR, a una tasa de: 0%, 5%, 10%, 15%, 20%, 25% 30% y 35%.

Caso Nº 02: Cuando el valor del VPN aumenta en la medida en que aumenta la tasa de descuento 12. Se tiene el siguiente Flujo de Caja que corresponde a un proyecto no convencional

PERIODO INVERSION

0 1 2 3 1000 -3600.0 4320.0 -1728.0

Tasa es: 0% 5% 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40% y 45% Hallar: VPN, TIR, Graficar y Comentario

Caso Nº 03: Por si esto no fuese suficiente, se presentan casos en los que no existe tasa de rentabilidad alguna. 13. Se tiene el siguiente Flujo de Caja que corresponde a un proyecto no convencional

PERIODO 0 1 2 INVERSION 1000 -3000.0 2500.0 Tasa es: 0% 5% 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40% y 45% Hallar: VPN, TIR, Graficar y hacer un Comentario

219



Segundo Defecto del TIR: TIR MULTIPLES 14. El siguiente flujo de caja 0 P E R IO D IN V E R S I ( 1 6 0 0 )

1 10000

2 -1 0 0 0 0

Tasa es: 10% 25% 50%, 75,………….,600 Hallar: VPN, TIR, Graficar y hacer un Comentario Tasa

VPN

10% 25% 50% 75% 100% 125% 150% 175% 200% 225% 250% 275% 300% 350% 400% 450% 500% 550% 600%

-7 7 4 0 622 849 900 869 800 714 622 530 441 356 275 128 0 -1 1 2 -2 1 1 -2 9 8 -3 7 6

15. Se tiene el siguiente Flujo de Caja que corresponde a un proyecto no convencional P E R IO D 0 IN V E R S I ( 1 0 0 0 )

1 1400

Tasa es: 0%, 10%, 20%, 30%, 32.45%, 40%, 50% , 60%. Hallar: VPN, TIR, Graficar y hacer un Comentario Tasa

VPN

0% 10% 20% 30% 3 2 .4 5 % 40% 50% 60%

300 190 97 18 0 -5 1 -1 1 1 -1 6 4

220

2 -1 0 0



Tercer Defecto del TIR: Proyectos mutuamente excluyentes 16.

Se tiene el siguiente Flujo de Caja Proyecto 0 A (1000) B (1000)

1 500 100

2 400 300

3 300 400

4 100 600

COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE(CAUE) 17. Utilizando la información del Ejm Nº 01, calcule el CAUE para el inversionista A que tiene una tasa de oportunidad del 20% anual.

0

350 1

380 2

400 3

500 4 Años

1000

18. Una empresa que tiene una tasa de oportunidad del 15% anual, desea conocer los gastos a cargar, entro de sus gastos operacionales anuales, de una nueva máquina que compró por $ 25 000 000 y tiene una vida útil de 5 años. Se estima un valor de salvamento al final de la vida útil de $ 10 000 000 y unos gastos de mantenimiento de $ 750 000. Calcular el costo anual de gastos del equipo

ELECCION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION CON EL CAUE Primer caso: Alternativas mutuamente excluyentes. Ingresos y Egreso con una misma vida útil. 19. La empresa Constructores Asociados necesita adquirir una nueva mezcladora para preparar el concreto que utiliza en sus obras. En el mercado existen dos modelos que prestan el mismo servicio y producen los mismos ingresos, cada una con las siguientes características: TIPO DE MEZCLADORA Costo del equipo Ingresos anuales Gastos operativos/año Valor de salvamento Vida útil

CATER PILLAR 25000000 8000000 1800000 10000000 5 años

JHON DEERE 20000000 8000000 2200000 8000000 5 años

¿Cuál de las dos mezcladoras debe comprar la empresa, sí su tasa de oportunidad es del 15% anual.

Segundo caso: Alternativas independientes. Presentas gastos con una vida útil. 20. Cierta empresa que utiliza para sus inversiones una tasa de oportunidad del 30% anual, desea conocer cuál de las alternativas siguientes debe seleccionar: MAQUINA MAQUINA A B Costo del equipo Gastos operativos/año Valor de salvamento Vida útil

10000000 1800000 6000000 5 años

12000000 1500000 8000000 5 años

Tercer caso: Alternativas Complementarias. Presentas vidas útiles diferentes. 21. Consideremos que para el ejemplo anterior la vida útil de la maquina B sea

221

7 años


EJE RCICIOS AUTOR: COURT MONTEVERDE, Eduardo .Matemáticas Financieras 16. Determinar la rentabilidad de una inversión de S/. 220 000 en maquinarias y S/. 23 000 en capital de operación. El inversionista cuenta con un capital propio, que lo tiene invertido en una actividad que le rinde 10% anual y además cuenta con la alternativa de obtener un crédito. Se estima que la maquinaria tiene una vida útil de 4 años con un valor de salvamento de S/. 35 000, el capital de operación es recuperarle en un 70%, ambos al final del último periodo La deuda y los intereses se pagan al final de cada uno de los tres años y puede amortizarse anualmente el monto que desee. La ley permite una depreciación en cuatro años, asuma que las ventas serán S/. 340 000 anuales. El costo del préstamo es de 15% anual. TMAR Duración Tasa de interés del préstamo Impuesto Ventas anuales Maquinaria Capital de trabajo Recuperación del capital de trabaj Valor residual Depreciación(según ley 4 años) Mano de obra Materias primas Otros gastos Patentes

10% 4 años 15% 30% 340000 220000 23000 16100 50000 55000 150000 70000 25000 20000

a.- Evaluar la conveniencia económica de llevar a cabo el proyecto b.- Evaluar el proyecto financiado, según las condiciones planteadas c.- Repetir lo anterior asumiendo que existe una tasa impositiva a las utilidades de las empresas igual al 30% Considerando con y sin impuesto. Indique cuál es la mejor decisión en cada caso (Resp.:

ALTERNATIVAS

VAN

TIR

Proyecto puro Proyecto puro con Impuesto Proyecto puro con Financiamiento

39 887 19 740 44 990

16.63% 14.58% 17.57%

Según el VAN y la TIR, la alternativa con mayor rentabilidad es el proyecto puro con financiamiento. En Esta alternativa se cuenta con el escudo fiscal de los intereses del préstamo que permite disminuir la base imponible del impuesto).

222



17. Se tiene el caso de un empresario de la industria gráfica, que debe decidir modernizar su infraestructura de producción comprando o arredrando maquinaria por un valor de S/ 60 000. Si la decisión es por la compra, las máquinas, se depreciarán aplicando la regla de línea recta durante su vida útil de 5 años, sin valor de salvamento. Para la compra el empresario puede acceder a un crédito en el sistema financiero al 11% anual. Si la decisión es por la alternativa del arrendamiento, existe la oferta en el mercado financiero de obtener las máquinas por el mismo plazo a través de un leasing, pagando un canon anual por anticipado de S/. 4 500 durante 5 años. Estados financieros de acuerdo a las operaciones en cartera: BALANCE GENERAL INICIAL ESTATUS CUENTAS ACTUAL PRÉSTAM LEASING Activo Circulante Activio Fijo(Neto)

21000 72000

21000 132000

21000 72000

TOTAL ACTIVOS

93000

153000

93000

Pasivo Circulante Pasivo Largo Plazo Patrimonio

8400 36000 45000

8400 96000 45000

8400 36000 45000

TOTAL PASIVOS Y PATRIMONI

89400

149400

89400

ESTADO DE RESULTADOS PARA UN AÑO ESTATUS CUENTAS ACTUAL PRÉSTAM LEASING Ingresos por ventas Costo de lo vendido UB Gastos de operación Depreciación Arrendamiento Impuesto

190000 (114000)

190000 (114000)

190000 (114000)

76000

76000

76000

(24000) (14000) 0

(24000) (17500) 0

(24000) (14000) (4500)

UAI

38000

34500

33500

50% UN

(19000)

(17250)

(16750)

19000

17250

16750

Razone sobre la decisión que debe tomar el empresario (Resp. La decisión que debe tomar el empresario es la alternativa del leasing, por las siguientes razones: • El VAN de las utilidades futura es mayor al VAN de la opción de préstamo • Otras ventajas del leasing son: a.- El mantenimiento de las máquinas, de lo cual se preocupa la empresa de leasing b.- La opción de comprar o no la maquinaria por parte del empresario, alternativa muy ventajosa cuando se trata de producir con la tecnología más avanzada, orientada a la reducción de costos operacionales).

18. Un empresario tiene en mente comprar un bien en S/. 25 000 a precios actuales. El beneficio que obtendría es equivalente a recibir hoy S/. 5 000, mientras que en un año espera vender lo adquirido por un valor de S/. 20 000. La inflación proyectada es de 20%, mientras que la tasa de descuento nominal se estima en 30%. Calcular el VAN de esta operación sin considerar y considerando la inflación. (Resp. VAN sin inflación = S/. -4 615.38; VAN con inflación= S/. -7 607.40)

223



19. Evaluar con inflación y sin inflación el siguiente proyecto que se inicia a principios del 2011 con una inversión de S/. 1 000. El proyecto tiene como horizonte 3 años: Tasa Real Inflación AÑOS 2011 2012 2013

INGRESO COSTOS 365 525 1143

118 175 379

9% 11% 15%

12% 14% 15%

(Resp. VAN inflado = S/ -4615.38; VAN real =. S/. 64.25) 20. Un pequeño empresario tiene programado la adquisición de una red de cómputo para su departamento de contabilidad, compuesto de un servidor, tres terminales, un scanner, una impresora láser y un matricial. Este departamento incurre actualmente en los siguientes costos mensuales: MENSUAL

ANUAL

Remuneraciones Otros gastos Materiales

7000 980 1800

84000 11760 21600

TOTAL CON computador

9780

117360

Remuneraciones Otros gastos Materiales

4800 1200 1500

57600 13200 15000

7500

85800

HOY sin computador

TOTAL

Evaluar económicamente el proyecto de modernización del área de contabilidad, si el costo de oportunidad es de 20% anual y la tasa de impuesto a las utilidades es de 30%, considerando que cualquier ahorro de personal implica pagar una indemnización equivalente a tres meses y remuneraciones y que el personal antiguo puede calificarse sin costo para mantener el sistema por medio del computador. Beneficio Bruto (117360-85800) Ahorro en personal (84000-57600) Indemnización (26400/12)x3 Inversión en computadoras Valor de salvamento Costo de Oportunidad Impuesto a las utilidades

31560 26400 6600 18000 2000 20% 35%

(Resp. VAN = S/. 70 703.36, se recupera la inversión, luego el proyecto es viable) 21. Para las labores de mantenimiento de una carretera se dispone de dos alternativas: a.- Una alternativa significa invertir S/. 3 500 millones en modificaciones del sistema de mantenimiento, reorganización, nuevas herramientas, controles, etc.) cuya aplicación significa un gasto de S/. 99 mil mensuales en mano de obra. Esta alternativa tiene una duración de 10 años. b.- Una segunda alternativa consiste en utilizar maquinarias nuevas que cuestan S/. 1 800 millones que duran 5 años, al final de los cuales carecen de valor de desecho y un gasto en mano de obra de S/. 93 000 mensuales. Evalúe ambas alternativas y recomiende la más viable, considere como tasa de corte el 20%.

224


ALTERNATIVA ALTERNATIVA : A Modificaciones Mano de Obra Horizonte


INVERSION

MES

AÑO

99

1188

93

1116

3500 10 años

ALTERNATIVA : B Compra maquinaria Mano de Obra Horizonte

1800 5 años

(Resp. Según VAN y TIR, B)

22. Una persona debe decir invertir en un negocio para lo cual dispone de 3 alternativas: Alternativa A : S/. 45 000 hoy Alternativa B : S/. 10 000 anuales durante 6 años comenzando dentro de 1 año Alternativa C : S/. 35 000 dentro de 2 años y otros S/. 55 000 dentro de 4 años Si la persona desea obtener el 15% real anual sobre su inversión y estima la tasa promedio anual de inflación en 4.5%, ¿Qué alternativa debe ejecutar? (Resp. Alternativa C, > VA )

23. El tenedor de un bono de S/. 70 000 a 20 años que tiene una tasa de dividendo de 12% anual pagadera semestralmente, lo pone a la venta hoy. Si la tasa de rendimiento esperada es de 10% anual, compuesto semestralmente, y la tasa de inflación esperada es de 3.8% cada período de 6 meses, ¿Cuál es el valor del bono ahora?: a.- Sin inflación (Resp. = S/. 82 011.36 ) b.- Con inflación (Resp. = S/. 47 462.53 )

24. Se tiene un proyecto con una inversión inicial de S/. 350 000, cuyos beneficios netos tienen efecto durante 5 años a partir de su ejecución y la reducción de costo cada año es de S/. 150 000. La tasa de descuento es de 20%. (Resp. VAE = S/. 52 906.59)

25. Se evalúa la posibilidad de construir un embalse que incluye una inversión de S/. 39 000 000 durante los dos primeros años. El aprovechamiento de esa obra significa además, una inversión de particulares en obras auxiliares por un monto de S/. 9 500 000 el tercer año. La construcción de este embalse permitirá el aprovechamiento de 3 000 nuevas hectáreas (has.) y un mejoramiento de otras 2 000. El empleo del agua en forma racional incrementará el rendimiento agrícola de cada una de las hectáreas. En la actualidad todas las hectáreas están cultivadas con trigo. En la nueva situación los rendimientos medios alcanzan a 70 qqm/has/año2 para hectáreas nuevas y para las hectáreas mejoradas a 40 qqm/has/año. Antes de la construcción del embalse, los rendimientos de las 5 000 hectáreas eras de sólo 12 qqm/has/año además, el incremento de la producción generará una serie de gastos adicionales por

2

Qqm= quintales métricos

225



concepto de semillas, abonos, mano de obra, conservación de la mano de obra, etc., estos gastos son de S/. 1 000 por hectáreas mejorada y de S/. 1 500 por hectárea nueva. El precio del trigo es de S/. 65/qqm luego de terminarse la inversión, el efecto comienza a manifestarse paulatinamente en la agricultura. Se estima que el rendimiento de operación (considerando por igual las hectáreas nuevas como para las mejoradas) son del 40% del promedio al final del 4ºaño, 60% al 5º año y el 100% del 6º año en adelante(teniendo como referencia el primer año de inversión). Determinar la conveniencia del proyecto, si la tasa social de descuento es del 15% y la vida útil del embalse es de 20 años (Resp. VAN = S/. -51 077 556)

226


EJERCICIOS AUTOR: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemáticas Financieras. 02 FC DE IMPORTES IGUALES, PLAZOS UNIFORMES Y UN SOLO CAMBIO DE SIGNOS 1. Una inversión de $ 5 000 puede generar FC anuales de $ 2 000 durante la vida útil del proyecto que es 4 años. a.- Con una tasa de costo de oportunidad de 15% anual (360 días), calcule el VAN de la inversión b.- Si el VAN fuera positivo, compruebe que la tasa COK se aplica sobre el saldo no recuperado de la inversión y verifique que el valor futuro neto es equivalente al VAN c.- Sensibilice el proyecto y determine cuál es la tasa de descuento que hace su VAN igual a 0. d.- Con el asistente de gráficas de Excel y la herramienta Tabla… trace un perfil de valor presente y a partir de esta gráfica calcule la TIR del proyecto e.- Demuestre que la TIR es la tasa de rentabilidad que se obtiene sobre los saldos no recuperados de la inversión.

FC DE IMPORTES DIFERENTES, PLAZOS UNIFORMES Y MÚLTIPLES CAMBIOS DE SIGNO 2. Las inversiones y flujos de caja trimestrales de un proyecto cuya tas COK es de 15% anual (360 días), se presenta en el cuadro siguiente:

Trim. FC

0 -10000

1 500

2 1000

3 -800

4 1200

5 2000

6 3000

7 3400

8 3181

Calcule el VAN y TIR anual del proyecto

FC DE IMPORTES DIFERENTES, PLAZOS DIFERENTES Y MÚLTIPLES CAMBIOS DE SIGNO 3. Las inversiones y flujos de caja de un proyecto cuya vida útil se estima en 903 días, se presenta en el siguiente cuadro:

Trim. 0 1 2 3 4 5 6 FC -15000 2000 -500 3000 4500 5000 7000 Fechas 09/01/10 31/03/10 31/07/10 31/12/10 31/07/11 31/12/11 30/06/12 Dado que se requiere una tasa COK anual (360 días) igual a 15%, calcule el VAN y la TIR del proyecto

VAN CON CAMBIOS EN COK 4.

Una proyecto demanda una inversión de $ 10 000 y durante cada uno de sus cuatro años de vida útil se estima que sus flujos de caja netos serán; $ 4 000, 4 300 5 000 y 5 500 respectivamente. Dado que existe un elevado riesgo durante los dos primeros años del proyecto, los promotores requieren una tasa COK de 25% y 20% respectivamente; mientras que para el tercer y cuarto año, la tasa COK requerida será 18%. El plazo de la tasa es 360 días. Calcule el VAN y la TIR y determine si el proyecto es factible económicamente.

227


EJERCICIOS Autor: Johnny de Jesús, MEZA OROZCO. Matemáticas Financieras Aplicadas 22.

Se va montar un almacén que requiere una inversión inicial de $ 50 000 000 y luego inversiones adicionales de $ 500 000 mensuales, desde le final del tercer mes hasta el final del mes décimo. Se espera obtén utilidades mensuales, a partir del final del segundo mes, en forma indefinida, de $ 1 000 000. Si la tasa de oportunidad es del 6% mensual, Se recomienda el proyecto? Utilice el método del VPN. (Resp NO, VPN = $ -37 040 076.75)

23.

Pedro compró una casa por $ 25 000 000 y espera arrendarla por $ 500 000 mensuales, pagados en forma vencida, a partir del segundo mes y durante 36 meses, cuando espera venderla por $ 40 000 000. Si su tasa de oportunidad es del 2.0% mensual, ¿Hizo buen negocio? (Resp SI, VPN = $ 6 718 968)

24.

Se invierten $ 500 con la expectativa de recibir $ 80 al final de cada una de los siguientes 8 años. Calcular la tasa interna de rendimiento de la inversión. Utilice el método gráfico. (Resp 5.84% anual)

25.

Dado el siguiente flujo de caja, calcular la TIR

(Resp 91.23% anual)

90

100

60

1

2

3

0

4 Años 40

80

26.

Un electrodoméstico que tiene un precio de contado de $ 1 500 000, se financia en 12 cuotas mensuales iguales pagaderas en forma anticipada de $ 153 681, ¿Qué tasa de interés cobraron por la financiación? (Resp 4.0% mensual)

27.

Elija la mejor de las siguientes alternativas, utilizando el VPN Año Alternativa A Alternativa B

0 -500 -450

1 130 100

2 280 70

3 350 580

Asuma una tasa de oportunidad del 10% anual, a.- ¿Cuál alternativa conviene más? b.- ¿Qué decisión hubieses tomado usted, si para ambas alternativas el VPN fuera negativo? (Resp Es mejor la alternativa B por tener un mayor VPN. Cuando el VPN para las dos alternativas es menor que cero, la opción es no hacer nada) 28.

Un vehículo que vale de contado $ 20 000 000, se financia de la siguiente forma: cuota inicial de $ 5 000 000 y 12 cuotas mensuales iguales vencidas de $ 1 644 992. Calcular la tasa de interés de financiación. (Resp 4.50% mensual)

228



29.

Un vehículo que vale de contado $ 20 000 000, se va a financiar con 24 cuotas mensuales iguales, cargándole una tasa de interés del 4% mensual. Usted consigue que el concesionario le acepte comenzar a pagar las cuotas mensuales 3 meses después de realizada la operación financiera. Calcule la verdadera tasa de interés que le cobraron. (Resp 3.36% mensual)

30.

Una empresa constructora desea adquirir una mezcladora para utilizarla en sus construcciones, por un valor de $ 26 000 000. La empresa la utilizará durante 5 años, cuando espera venderla por $ 15 000 000. Se esperan beneficios anuales de $ 1 500 000 y unos costos de mantenimiento anuales de $ 500 000. Si la tasa de oportunidad de la empresa constructora es de 18% anual, ¿Se recomienda la compra de la mezcladora? (Resp NO, VPN = $ -16 316 190.74 )

31.

El señor Pérez compra hoy un vehículo por $ 30 000 000, transcurrido un mes lo arrienda por $ 850 000 mensuales durante 24 meses. Los costos mensuales de mantenimiento aumentan cada mes en $ 10 000, empezando con un costo de $ 65 000 mensuales. Al final del mes 24 le vende el vehículo a la empresa arrendadora por $ 45 000 000, si su tasa de rendimiento es del 3.5% mensual, determinar si realizó un buen o mal negocio. (Resp Realizó un buen negocio, VPN = $ 728 919.19)

32.

Un lote de terreno avaluado hoy en $ 35 000, se vende a crédito por medio de 12 cuotas mensuales de $ 35 000 cada una, ¿Qué tasa de interés nominal trimestre vencido se ganó el propietario. (Resp 36.11% TV)

33.

Un inversionista compró una casa de campo por $ 50 000 000 y la vende 10 años más tarde por $ 70 000 000. Los impuestos pagados fueron de $ 500 000 el primer año y cada año aumentaron en $ 20 000, ¿Cuál es la TIR? (Resp 2.41% anual)

34.

El Banco Ganadero concede un crédito de $ 40 000 000 a una tasa del 30% TV con un plazo de un año. La deuda debe ser canceladas en 4 cuotas iguales de $ 10 000 000 por trimestre vencido más los intereses sobre saldos. El banco cada vez que recibe las cuotas trimestrales, conformadas por los intereses y la cuota de amortización de la deuda, los reinvierte a una tasa del 7% trimestral. Calcular a.- La TIR (Resp TIR = 7.50% trimestral) b.- La tasa de verdadera rentabilidad (Resp T VR = 7.29% trimestral)

35.

Resolver el ejercicio anterior, suponiendo que la tasa del préstamo es del 30% TA, y la tasa de reinversión es del 8% trimestral. a.- La TIR (Resp TIR = 8.11% trimestral) b.- La tasa de verdadera rentabilidad (Resp T VR = 8.06% trimestral)

36.

Un inversionista está pensando en ofrecer al público un servicio de fotocopias. En el mercado existen dos máquinas fotocopiadoras que prestan un mismo servicio, con una misma vida útil de 5 años. La fotocopiadora A tiene un costo de $ 3 200 000 y gastos anuales de operación de $ 120 000. La fotocopiadora B tiene un costo de $ 3 000 000 y unos gastos anuales de operación de $ 180 000. El valor de salvamento de ambas máquinas es despreciable. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 25% anual, ¿Qué fotocopiadora debe comprar? Utilice el método del CAUE (Resp Comprar la fotocopiadora B)

229



37.

El señor Juan invierte un negocio $ 4 000 y recibe $ 2 500 000 al final del mes 6, y $ 1 500 000 al final del mes 12, ¿Perdió o Ganó dinero? Explique la respuesta. (Resp Perdió dinero)

38.

¿Qué resulta mejor negocio? a.- Invertir $ 1 000 y recibir después de 6 meses $ 2 000 b.- Invertir $ 1 000 y recibir después de 6 meses $ 500 000 y después de 12 meses $ 1 800 000 (Resp Opción a)

39.

Un proyecto requiere de las siguientes inversiones: inversión inicial de $ 3 000; después de un mes y durante 6 meses consecutivos, una inversión mensual de $ 350 000. Si al final del año se reciben $ 6 250 000, ¿Cuál fue la tasa mensual de rendimiento? (Resp 1.94%)

40.

Un alumno de posgrado recibe un préstamo por $ 5 000 para poder adelantar sus estudios de altas finanzas. El documento que firma contempla el pago de 4 cuotas mensuales de $ 1 800 000, comenzando a pagarlas año y medio después de iniciado el curso, ¿Qué costo tuvo el préstamo? (Resp 1.89% mensual)

41.

Un equipo de construcción tiene un costo inicial de $ 10 000 000 y una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales tiene un valor salvamento de $ 2 500 000. Los costos de operación y mantenimiento son de $ 150 000 anuales y se espera recibir por concepto de arrendamiento unos ingresos de $ 1 800 000 por año. Analice la conveniencia de comprar el equipo con una tasa de oportunidad de 10% anual, utilizando el CAUE (Resp No se debe comprar)

42.

Pedro Rosado compró un automóvil por $ 25 000 000, con una vida útil de 5 años. Los costos de mantenimiento fueron de $ 500 000 durante cada uno de los años de su vida útil. Al final del quinto año lo vendió por $ 12 000 000. Si su tasa de oportunidad es del 20% anual, ¿Cuál fue el costo anual por tener el automóvil? Utilice el método del CAUE. (Resp $ 7 246 936)

43.

Un proyecto de inversión requiere de una inversión inicial de $ 5 000 000. Si el proyecto permite retirar cada mes $ 100 000, durante un año, y al final del segundo año se tiene un saldo de $ 4 000 000, ¿Cuál es la TIR? (Resp 0.1972%)

44.

Para usted como cliente ¿Qué resulta mejor? Cancelar una obligación de $ 5 000 000 por medio de 12 cuotas mensuales de $ 550 000, comenzando a pagarlas dentro de 3 meses, o cancelar 12 cuotas mensuales de $ 530 00 pagadas a partir del primer mes. (Resp Primera Opción)

45.

Un C.D.T.(Certificado de depósito a término) es un título valor que representa para las entidades financieras un importante instrumento de captación de ahorros; y para quien lo constituye, un préstamo que se le hace a una entidad financiera. Supóngase que usted constituye un CDT por valor de $ 20 000 000a una tasa del 20% TV con un plazo de un año. Por razones de liquidez, decide venderlo a un comisionista de bolsa que le cobra una tasa del 22% EA, faltando 206 días para su vencimiento. Calcular el valor que usted recibiría. No considere la retención en la fuente. (Resp = $ 20 665 087.43. El valor de un activo es igual al valor presente de los flujos futuros (Interés y capital) a la tasa de mercado (tasa del comisionista, en este caso )

230


EJERCICIOS Coeficiente Beneficio – Costo 1. El proyecto invertirá S/. 900 miles de nuevos soles para obtener los Sgtes. Ingresos y costos anuales registrados durante 5 años, sin recuperación residual.

AÑOS

INGRESOS

GASTOS

2008 2009 2010 2011 2012

600 700 700 700 700

200 250 300 300 300

Calcular el coeficiente Beneficio/Costo, a una tasa de rendimiento del 20% 2. Una empresa debe operar durante 5 años, para lo cual debe montar sus instalaciones por un valor de S/.700 miles de nuevos soles, de rescate al termino del cuál será necesario, reinvertir por S/. 600 miles de nuevos soles para continuar operando los siguientes 2 años, también sin valor residual. Los ingresos anuales serán: 300, 400, 700, 800 y 800 Los costos de producción anual: 80, 100, 150, 200 y 200. Calcular el coeficiente Beneficio /Costo, a una tasa de rendimiento de 20% 3. La empresa deberá invertir S/. 800 en una planta de producción, el mismo que operará a los siguientes costos anuales: 100, 200, 200, 400 y 500; las ventas de la producción anual serán: 500, 700, 600, 900 y 800. Calcular el coeficiente Beneficio /Costo, a una tasa de rendimiento de 20% 4. La empresa deberá operar durante 5 años, para lo cual debe invertir dos años consecutivos de S/. 500 y S/. 400, incluyendo el primer año de operación en ambos casos sin valor de salvamento. Los costos de producción anual serán: 300, 400, 500, 200 y 400. Los ingresos anuales serán: 800, 600, 800, 800 y 900 Tasa de rendimiento es del 20%

231


EJERCICIOS Tiempo de recuperación de la inversión 1. El proyecto realizara una inversión de S/. 900 a una tasa de 20% con los cuales se obtendrá los siguientes costos e ingresos anuales registrados durante 5 años sin recuperación residual: Ingresos: 600, 700, 700, 700, 700 Costos: 200, 250, 300, 300, 300 Determinar el TRI

2. La empresa debe operar durante 5 años, para lo cual debe montar instalaciones por valor de S/. 700, la misma que tendrá una vida útil de 3 años, sin valor de rescate, al término del cuál será necesario reinvertir por S/. 600 para continuar operando. Los siguientes dos años también sin valor de residual. Los costos de producción anual serán: S/. 80, 100, 150, 200 y 200; los ingresos anuales serán: S/. 300, 400, 700, 800 y 800. Calcular el TRI a la tasa del 20%.

3. La empresa deberá invertir S/. 800 en una planta de producción, la misma que operará a los siguientes costos anuales: S/. 100, 200, 200, 400 y 500; las ventas anuales serán S/. 500, 700, 600, 900 y 800. Calcular el TRI a la tasa del 20%

232


EJERCICIOS Valor Actual Neto 1.

Actualice el flujo de caja descrito: -1 000, 400, 400, 400, 400; empleando las siguientes tasa de interés: a.- i = 0% e.- i = 30% b.- i = 10% f- i = 50% c.- i = 20% g.- i = infinito d.- i = 22%

2.

Actualice el siguiente flujo de caja teniendo en cuenta que el valor del dinero es 21%.

In g re s o s Egresos F l u jo N e t o

3.

0

1

2

3

4

0 (5 0 00 ) (5000)

4000 (2 00 0 ) 2000

5000 (1000) 4000

0 (1 0 0 0 ) (1000)

7000 0 7000

Una máquina A cuesta S/. 400 y demanda costos operativos estimados de 100, 120 y 150 anuales a través de su vida útil de 3 años. Se asume que no hay valor residual El costo de oportunidad del capital del inversionista es 9% anual. Determinar el VAN

4.

Una máquina B cuesta S/. 670 y demanda costos operativos estimados de 20, 30 y 50 anuales a través de su vida útil de 3 años. Se asume que el valor residual es de 10. El costo de oportunidad del capital del inversionista es 9% anual. Determinar él VAN

5.

Calcular el VAN del proyecto a una tasa de rendimiento del 8% anual. Datos: M illo n e s d e N u e v o s S o le s ) C o s to d e In v e r s ió n T ie m p o d e O p e r a c ió n ( A ñ o s ) V a lo r d e r e c u p e r a c ió n In g r e s o s A n u a le s C o s to s A n u a le s d e O p e r a c ió n

6.

100 5 20 50 22

Determinar la mejor alternativa entre dos proyectos que se desean ejecutar a la tasa de rendimiento del 20%. M illo n e s d e N u e v o s S o le s ) C o s to d e In v e r s ió n T ie m p o d e O p e r a c ió n ( A ñ o s ) V a lo r d e r e c u p e r a c ió n In g r e s o s A n u a le s C o s to s A n u a le s d e O p e r a c ió n

233

M aq A

M aq B

100 5 30 50 20

100 10 0 70 43


7.


La empresa “constructora Latina” viene operando a la tasa del 30% y requiere para implementar su plana una de las máquinas existentes en el mercado, para lo cual cuenta con las siguientes características: M illo n e s d e N u e v o s S o le s )

M aq A

M aq B

120 10 5 30

160 20 5 40

V a lo r d e A d q u is ic ió n A ñ o s d e D u r a c ió n T ie m p o d e O p e r a c ió n ( A ñ o s ) R e n d i m ie n t o a n u a l H o r a s - M a q u i n a

8.

La empresa Industrial Latina SA, desea invertir en alguna de las dos industrias siguientes a una tasa de rendimiento del 40%. M illo n e s d e N u e v o s S o le s )

F a b ri c a F a b ri c a G a s e o s a s C o s m é tic o s M a q u in a r ia s y E q u ip o V id a E c o n ó m ic a d e M a q u in a V e n ta A n u a l C o s to s A n u a le s % In c r e m e n to V e n ta s A n u a le s % In c r e m e n t o C o s t o s A n u a l e s V a lo r R e s id u a l

500 4 400 200 10% 5% 300

1400 8 800 300 10% 5% 500

Decidir la alternativa de inversión favorable 9.

Los autos de mayor cotización en el mercado tienen las siguientes características y deben ser comprador con una financiación del 20%. M illo n e s d e N u e v o s S o le s )

V a lo r d e C o m p r a A ñ o s d e d u r a c ió n a n te s d e r e p a r a c ió V a lo r d e r e v e n ta In g r e s o s a n u a le s C o s to s a n u a le s m a n te n im ie n to

VW

TO YO TA

14 5 6 7 2

18 8 10 8 3

¿Cuál de los autos se debe adquirir? 10. Recomendar cuál de los dos autos (nuevo y usado), proporcionara mejores resultados económicos, sabiendo que se pagará el 20% de interés por el financiamiento en su adquisición. Precio de adquisición del auto nuevo S/. 160.00 • Valor de rescate, después de5 años y antes de su recuperación 80.00 • Valor de venta después de 10 años de su uso 40.00 • El ingreso anual del 1er. Año será 70.00 • (los siguientes años se incrementará en 15%) El costo de mantenimiento del auto nuevo del 1er año será de 30.00 • (Los siguientes años tendrá un incremento del 10%) El costo de mantenimiento del auto reparado será de 36.00 • (Los siguientes años, tendrá un incremento del 20%) El costo de reparación a los 5 años será de 50.00 •

234


EJERCICIOS Tasa Interna de Retorno 1. El proyecto debe operar durante 5 años, para los primeros tres años (3) debe realizar una inversión de S/. 700 al término del cual no tendrá valor residual, para continuar los siguientes dos años debe invertir S/. 600 son valor residual. Los ingresos anuales son del 1er al 5to. Años respectivamente: S/. 220, 300, 550, 600 y 600. Calcular el TIR, a una tasa de rendimiento de 20%

2. El proyecto requiere una inversión de S/. 800 para operar durante 5 años, al término del cual no se tendrá valor residual. Los ingresos anuales son: S/. 500, 700, 600, 900 y 600. Los costos anuales son: S/. 100, 200, 200, 400 y 500. Calcular la TIR a una tasa de rendimiento del 20%

3. El proyecto tendrá un horizonte de 5 años y requiere, una inversión durante dos años consecutivos de S/. 500 cada una, la segunda de ella debe realizarse el primer año de operación, ambas no tendrán valor residual, pero sí mutuamente reducirán los costos en S/. 600, 200, 300, 600 y 500. Calcular la TIR a una tasa de rendimiento del 20%

4. La compañía de inversiones nacionales, desea conocer el grado de Rentabilidades de las siguientes alternativas de inversión de los recursos, siendo el costo de capital del 20%

AÑOS 0 1 2 3 4 5

INVERSION INGRESOS 800

900 500 800 700 600

Determinar: a.- Valor Presente Neto b.- Coeficiente Beneficio / Costo c.- Tiempo de Recuperación de Inversión d.- Tasa Interna de Retorno e.- Ranking de los Indicadores

235

COSTOS

UTILIDAD

300 250 200 300 400

( 800 ) 600 250 600 400 200



5. Una nueva inversión cuesta 100 miles de nuevos soles para la compra de una máquina, con una vida útil de 5 años sin valor de recuperó. Se supone una tasa mínima requerida de rendimiento del 25% anual. FLUJO DE CAJA (Miles de Nuevos Soles)

0 Inversión (100) Ingresos Costos U.B. (-) Depreciación UAI I.R. 40% Utilidad Distribuible (+) Depreciación

1

2

3

4

5

85 (25)

85 (25)

85 (25)

85 (25)

85 (25)

(20)

(20)

(20)

(20)

(20)

20

20

20

20

20

U.N.

Determinar: a.- VAN b.- TIR (préstamo cero)

6. Una nueva inversión cuesta 120 miles de nuevos soles para la compra de una máquina, con una vida útil de 5 años sin valor de recuperó. Se supone una tasa mínima requerida de rendimiento del 15% anual. El Banco de Crédito otorga un préstamo de S/. 20 miles de nuevos soles.

0 Inversión Ingresos Costos Intereses (-)Depreciación Beneficio I.R. 40% Amortizaciones Utilidad Distribuible (+)Depreciación Beneficios Netos

1

AÑOS 2

3

4

5

(120) 110.0 (25.0) (12.0) (20.0) 53.0

100.0 (25.0) (9.6) (20.0) 45.4

120.0 (25.0) (7.2) (20.0) 67.8

90.0 (25.0) (4.8) (20.0) 40.2

115.0 (25.0) (2.4) (20.0) 67.6

(6.0)

(6.0)

(6.0)

(6.0)

(6.0)

Determinar: a.- VAN b.- TIR

236

108.- Teoría. Indicadores de Evaluación

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