100412_135_Trabajo Fase 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA 100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE CCAV- NEIVA

ECUACIONES DIFERENCIALES 100412_360

TRABAJO COLABORATIVO FASE 2

PRESENTADO POR: ANGIE VANESSA PEREZ POLANIA CODIGO: 1.080.296.324 LINA MARCELA GARCÉS DÍAZ CODIGO: 1.079.411.688 YORMAN LEAL FERNANDEZ CODIGO: 83.235.914 DIEGO FABIAN SALINAS CODIGO: 1.079.177192 KATHERIN YISETH CASTRO HERMOSA CODIGO: 1.075.266.188

GRUPO: 100412_135

TUTOR: ROBEIRO BELTRAN TOVAR

NEIVA

ABRIL- 2017


INTRODUCCIÓN Con el desarrollo de esta actividad colaborativa dejamos evidenciado el trabajo en equipo, el desarrollando los puntos propuesto por la guía de actividades, poniendo en práctica nuestro conocimiento adquirido en el transcurso del tiempo acerca de las ecuaciones diferenciales, apoyándonos en la unidad 2 ecuaciones diferenciales de orden superior. Se realizaron los ejercicios paso a paso identificando las ecuaciones diferenciales y solución de cada uno de las ecuaciones de segundo orden etc. igualmente se da solución a otros ejercicios propuestos en la guía con el fin ir reforzando nuestros conocimientos básicos que se han adquirido en el desarrollo de este curso contemplando la participación grupal para el óptimo desarrollo de los temas propuestos.


OBJETIVOS  Reconocer situaciones que involucran ecuaciones diferenciales donde identificamos ecuaciones lineales de segundo orden, ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior e interpretar sus soluciones, analizando el tipo de dificultad que se pueden presentar para encontrarlas.  Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.


ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝐶3𝑦3 y después se calcula el wronskiano (𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥), 𝑦3(𝑥)). Posteriormente se determina (𝑥), para poder encontrar 𝑢1 𝑢2 y 𝑢3, y poder hallar la solución particular mediante la integración de 𝑢1´ = 𝑊1 , 𝑢2´ = 𝑊2 𝑊 y 𝑢3´ = 𝑊3 𝑊 , donde : Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique.

1. Una

ecuación n

diferencial

de

orden

superior

es

de

la

forma

n−1

d y d y dy + an−1 ( x ) n−1 + ⋯ a1 ( x ) + a0 ( x ) y=g ( x ) y puede ser solucionada por n dx dx dx diferentes métodos. La ecuación diferencial: y '' − y ' + y =2sin 3 x , puede ser solucionada por an ( x )

los siguientes métodos y tiene como solución general: 1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 1

2.

x 3 3 6 16 y=e 2 c1 cos √ x+ c 2 sin √ x + cos 3 x ± sin 3 x 2 2 73 73

3.

y=e 2

1

x

( ) ( c cos √23 x+ c sin √23 x)+ 1673 cos 3 x ± 736 sin 3 x 1

2

4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados. PROCEDIMIENTO: Tenemos la ecuación diferencial y ' ' −3 y ' =8 e3 x + 4 sin x , obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea asociada

y '' −3 y ' =0→ ( D2−3 D ) y =0 De donde se tienen las soluciones para

D ,

D ( D−3 )=0 → D=0, D=3

Ahora tomamos la ecuación para hallar los anuladores diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA 100412_360 ECUACIONES DIFERENCIALES ''

'

3x

y −3 y =8 e + 4 sin x Donde para ''

i)

'

ii)

y −3 y → D ( D−3 ) 3x 8 e → D−3

iii)

4 sin x → ( D2−2 ( 0 ) D+ ( ( 0 2 ) + ( 12 ) ) ) → ( D2 +1 )

Y así el anulador para la ecuación g(x) es numeral 3

D ( D−3 ) ( D−3 ) ( D2 +1 ) y=0 que notemos es el

Solucionamos la ecuación auxiliar de la ecuación anterior y tenemos

m ( m−3 ) ( m−3 ) ( m2+1 ) =0 Así vemos

m 1=0, m 2=m 3=3 ,

2

2

m +1=0 → m =−1 →m=±i →m4 =i, m5=−i Luego la solución es 3x

3x

y=c1 +c 2 e + c3 x e + c 4 cosx+ c 5 senx Donde

3x

y=c1 +c 2 e

Luego si hacemos

, es la solución a la ecuación homogénea

A=c3 , B=c 4 , C=c 5 , tenemos nuestra ecuación particular

3x y p= Ax e + Bcosx+Csenx , notamos es el numeral 4

Así la respuesta es 3 y 4.

2. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria y c =c 1 y 1+ c2 y 2+ c 3 y 3 y después se calcula el wronskiano W ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , y 3 ( x ) ) . Posteriormente se determina

f ( x) , para poder encontrar

solución particular mediante la integración de u1=

u1 u 2 y u3 , y poder hallar la

w1 w w ,u 2= 2 , u3 = 3 , donde : w w w


| | | | |

y1 W = y'1 '' y1

y2 ' y2 '' y2

y3 ' y3 '' y3

,

y1

y2

0

' 1 '' 1

y

0

y

' 2 '' 2

f ( x)

W 3= y y

0 y2 ' W 1= 0 y2 '' f ( x ) y2

| |

y3 ' y3 '' y3

,

|

y1 0 y3 ' ' W 2= y 1 0 y3 '' '' y1 f ( x ) y3

y p=u1 y 1+ u2 u 2+u 3 u3 y la solución general de la ecuación Una solución particular es diferencial es entonces y= y c + y p . Con base en lo anterior, los valores para w 1 , w 2 y w3 y la solución general de la ecuación y ' ' ' +2 y ' ' =e x son respectivamente: −x

1.

−x

−x

W 1=−2 x e −e , W 2=2e 1 y=c1 +c 2 x + c3 e−2 x + e x 3

2.

y W 3=e

x

x 1 −x y=c1 +c 2 x + c3 e + e 4 −x −x x −x W 1=2 x e + e , w 2=2 x e y w3=−2 e

3. 4.

PROCEDIMIENTO: Se parte de la ecuación diferencial.

y '' ' +2 y' ' =e x

Se considera la ecuación diferencial homogénea.

y '' ' +2 y ' ' =0

Se remplaza y se halla las raíces.

m3 +2 m2=0 m2 ( m+2 )=0 m1 =0 m2 =0 m3=−2

{


Se halla la ecuación y c. −2 x

y c =C 1+C 2 x +C 3 e

Se halla W.

[

]

1 x e−2 x W = 0 1 −2 e−2 x =4 e−2 x 0 0 4 e−2 x

Se halla W 1.

[

]

0 x e−2 x W 1= 0 1 −2 e−2 x =−2 x e−x −e−x e x 0 4 e−2 x

[

]

1 0 e−2 x −x Se halla W 2. W 2= 0 0 −2e−2 x =2e 0 e x 4 e−2 x

[ ]

1 x 0 x 1 0 =e 0 0 ex

Se halla W 3 W 3= 0

Se hallan las derivadas de u.

u'1=

W 1 −2 x e− x −e−x −e x ex = = x− W 2 4 4 e−2 x −x x W2 2e e ' u2= = −2 x = W 4e 2 x W e e3 x u'3= 3 = −2 x = W 4e 4

Se hallan las integrales.


(

x

x

x

)

x

−e e −e e x− dx= x+ 2 4 2 4 x x e e dx=¿ 2 2 3x e e3 x u 2=∫ ¿ u3=∫ dx= 4 12

u1=∫

Se halla la ecuación y p.

y p=

−e x ex ex e 3 x −2 x x+ + x+ e 2 4 2 12 −e x ex ex ex y p= x+ + x+ 2 4 2 12 x e yp = 3

(

)( ) ( )

Se halla la solución general.

y= y c + y p

y=C 1+ C2 x+C 3 e−2 x +

ex 3

3. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial y ' ' + y=4 x +10 sinx , y ( π )=0, y ' ( π )=2 , la solución particular 1. 2. 3. 4.

y p y la solución al problema 𝑦 corresponden a:

y=9 π cosx 7 sinx+ 4 x−5 x cosx y p= Ax+ B+Cx cosx+ Ex cosx y p= Ax+ B+Cx cosx+ Ex sinx y=9 π sinx +7 sinx+ 4 x−5 x sinx

PROCEDIMIENTO: Respuesta: (No. 1 y 3)

y p= Ax+ B+Cx cos x+ Ex sin x


y=9 π cos x +7 sin x+ 4 x−5 x cos x SOLUCIÓN: ''

y + y=4 x +10 sin x La solución a esta ecuación diferencial es homogénea asociada y,

y= y h + y p , donde

yh

es la solución a la ecuación

y p es la solución particular.

Sacamos la ecuación homogénea asociada y su ecuación característica

y ' ' + y=0 2

x +1=0 , x=± √−1=± i

y h ( x ) =c 1 cosx+ c2 se nx Tenemos que

q ( x )=4 x+ 10 senx

(Cuadro No. 2) Como tenemos la solución asociada de que s=1, a=0, b=1, luego

4 x , Ax +B , y para 10 senx , en (cuadro No. 2) tenemos

y p=( Ax+ B ) + x (Ccosx + Dsenx) y p= Ax+ B+Cxcosx +Cxsenx , (Respuesta No.3) Derivamos dos veces para reemplazar en nuestra ecuación '

y p= A+Ccosx−Cxsenx+ Dsenx + Dxcosx

y 'p' =−Csenx−Csenx−Cxcosx + Dcosx+ Dcosx−Dxsenx

Reemplazando en la ecuación

''

y + y=4 x +10 sin x

−2 Csenx−Cxcosx +2 Dcosx−Dxsenx + Ax+ B+Cxcosx+ Dxsenx=4 x +10 senx Igualando coeficientes tenemos

A=4, B=0, C=−5, D=0


y p= Ax+ B+Cxcosx +Cxsenx=4 x−5 xcosx

Reemplazando en la ecuación solución tenemos

y= y h + y p

y ( x ) =c 1 cosx+ c2 senx+ 4 x−5 xcosx

Aplicando las condiciones iniciales donde

y ( π ) =0, y ' ( π )=2

0=c 1 cos (π)+ c2 sen ( π)+ 4( π )−5 (π )cos (π ) , como: sen ( π ) =0, cos ( π )=−1 0=−c1 + 4 π + 5 π , → c1=9 π ' y ( x )=−c 1 senx +c 2 cosx +4−5 cosx +5 xsenx

2=−c 1 sen ( π ) +c 2 cos ( π )+ 4−5 cos ( π ) +5 ( π ) sen ( π ) 2=−c 2 +4 +5 ,→ c 2=7 , Luego tenemos nuestra solución y ( x ) =9 πcosx +7 senx+4 x−5 xcosx

(Respuesta No. 1)

4. Una ecuación diferencial de de n-ésimo orden se puede escribir como:

an Dn y+ an−1 D n−1 y +…+ a1 Dy +a0 y=g ( x ) , Donde como orden

dk y , k=0,1,2, … , n . Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe dx k L ( y )=g ( x ) , donde L denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo D k y=

an Dn +a n−1 Dn−1 +…+a 1 D+a 0 La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la


solución particular y p . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a g ( x ) . Por lo anterior de la ecuación diferencial y ' ' −3 y ' =8 e3 x + 4 sin x , se puede afirmar que: 1. El operador diferencial que anula a g ( x ) es ( D 2−3 ) ( D+1 ) ( D2−3 D ) y=0 yp 2. La solución particular que se propone debe ser 3x 2 3x y p= Ax e + A x e + B cos x+C sin x 3. El operador diferencial que anula a g( x) es ( D−3 ) ( D2 +1 ) ( D2−3 D ) y=0 yp 4. La solución particular que se propone debe ser 3x y p= Ax e + B cos x+C sin x SOLUCIÓN Tenemos la ecuación diferencial y ' ' −3 y ' =8 e3 x + 4 sin x , obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea asociada y '' −3 y ' =0→ ( D2−3 D ) y =0 De donde se tienen las soluciones para

D ,

D ( D−3 )=0 → D=0, D=3

Ahora tomamos la ecuación para hallar los anuladores diferenciales ''

'

3x

y −3 y =8 e + 4 sin x

Donde para iv) v) vi)

'' ' y −3 y → D ( D−3 ) 3x 8 e → D−3 4 sin x → ( D2−2 ( 0 ) D+ ( ( 0 2 ) + ( 12 ) ) ) → ( D2 +1 )

Y así el anulador para la ecuación g(x) es numeral 3

D ( D−3 ) ( D−3 ) ( D 2 +1 ) y=0

Solucionamos la ecuación auxiliar de la ecuación anterior y tenemos m ( m−3 ) ( m−3 ) ( m2+1 ) =0 Así vemos m1=0, m2=m3=3 ,

que notemos es el

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2

m +1=0 → m =−1 →m=±i →m4 =i, m5=−i Luego la solución es y=c1 +c 2 e3 x + c3 x e3 x + c 4 cosx+ c 5 senx Donde

3x

y=c1 +c 2 e

Luego si hacemos

, es la solución a la ecuación homogénea

A=c3 , B=c 4 , C=c 5 , tenemos nuestra ecuación particular

3x y p= Ax e + Bcosx+Csenx , notamos es el numeral 4

Así la respuesta es 3 y 4.

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas Seleccione B si 1 y 3 son correctas Seleccione C si 2 y 4 son correctas Seleccione D si 3 y 4 son correctas ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

-

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.


-

Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

5. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser iguales y reales � = �1 = �2 y su solución general es de la forma 𝑦 = 𝐶1𝑒�𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒�𝑥. La ecuación diferencial 𝑦´´ − 10𝑦´ + 25𝑦 = 0 tiene como solución general 𝑦 = 𝐶1𝑒5𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−5𝑥 PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son �1 = �2 = 5. y '' −10 y ' +25 y=0

Rta:

Ya Que La Afirmación Es Falsa Pero La Razón Es Una Proposición Verdadera, Porque Aunque En Esta Ecuación Homogénea Se Soluciona Mediante El

2

m −10 m+ 25 m=0

( m−5 ) ( m−5 ) =0

mx

m=5 m=5

y=C 1 e5 x +C 2 x e5 x .

La Ecuación General debería ser

6.

Un ''

operador

anulador

'

−2 x

y +6 y +8 y=2 x+ 3 e 2

para

la

función es

−2sin 3 x

2x

g(x)

de

D ( 2 x )=0, ( D+2 ) ( 3 e ) =0 y ( D +9 ) (−2sin 3 x )=0 PROCEDIMIENTO: II

I

−2 x

Tomemos Expresión

g ( X )=2 x +3 e−2 x −2 sinx

2 x → ( D 2) n=1

Expresión

D +2) 3 →¿ x=−2 n=o e−2

Expresión

−2 sin 3 x

−2 sin x

2

la

ecuación 2

D ( D+2 ) ( D +9 )

2

y + 6 y +8 y=2 x +3 e

mx

Caso 2 ( C1 e +C 2 x e ) La Afirmación Como La Exponen Es Falsa Pero La Razón Si Es Verdadera Porque Da Una Solución Igual A 5.

m−5=0 y m−5=0

diferencial PORQUE

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x=0 →(D +9) β=3 n=1 La afirmación es verdadera Un operador anulador para la función (𝑥) de la ecuación diferencial 𝑦 ´´ + 6𝑦 ´ + 8𝑦 = 2𝑥 + 3𝑒 −2𝑥 − 2 sin 3𝑥 es � 2 (� + 2)(� 2 + 9) y la razón a la expresión (D+2) ( −2 x ) es falsa porque 3 e−2 x =(D−2) 3e

PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.


PROBLEMA: 2

La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 � es = 0,2 𝑟𝑎� y la velocidad angular inicial movimiento.

Tomamos la EDO

d θ +10 θ=0 . Si para � = 0, � 2 dt

dθ =1 rad . Determine � en función de t para el dt

θ ' '+10 θ=0

Escribimos La Ecuación Característica

2

y + 10=0

Hallamos Los Ceros

y 2=−10 y=± √ −10 y=± √10 i

Hallamos la solución general

θ=C 1 cos ( √ 10t ) +C 2 sen ( √ 10t )

Hallamos La Derivada De Θ Respecto A “T” dθ =−√ 10 C 1 sen ( √ 10t ) + √ 10 C2 cos ( √ 10 t ) dt

Aplicamos Las Condiciones Iniciales 0,2=C 1 cos ( √ 10 (0) ) +C2 sen ( √10 (0) ) 1 C 1= 5 ¿ 1=−√ 10C 1 sen ( √ 10(0) ) + √ 10 C2 cos ( √10(0) ) 1 C 2= √10

Determinamos � en función de t para el movimiento


1 1 θ= cos ( √ 10t ) + sen ( √10 t ) 5 √10

SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son �1 y �2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son �1 y �2. El movimiento horizontal del suelo es 𝑦.

Para el caso en que las masas son idénticas (�1=�2=�) y las rigideces son idénticas (�1=�2=�) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:

Para la que siguientes diferenciales masas y las Leyes de

se plantean las ecuaciones por tratarse de dos teniendo en cuenta Newton: m ´x 1 +2 k x 1−k x 2=ky m ´x 2−k x 1 +k x 2=0

Dividiendo la ecuación entre m y asumiendo α = ´x 1−2 α x 1+ α x 2=αy ´x 2+ α x 1−α x 2=0

Los signos están incorrectos, la forma correcta es:

k m

el resultado es:


´x 1+2 α x 1−α x 2=αy ´x 2−α x 1 +α x 2=0

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener: 2 d4 x1 d2 x 1 d2 x2 d y +2 α −α =α dt4 dt2 dt2 d t2

La derivada está correcta

Ahora sustituyendo

x´ 2 de la ecuación (2) y 𝑥2 de la ecuación (1) se obtiene:

d4 x1 d2 x1 2 d2 y 2 + 3 α +α x =α y+ α 1 dt4 dt2 d t2

Esta ecuación está correcta

.

Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: β 4 +3 α β 2 +α 2=0 . Como no hay ningún término en β 3∋β , esta ecuación es cuadrática en β 2 y se puede usar la fórmula cuadrática: β 2=

−3 α ± √ 9 α 2−4 α 2 −3 ± √ 5 = α 2 2

(

)

Entonces, las raíces características son: β=± 0,618 i

β=± 1,618i

√ √

k m k m

Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma:


0,618

√

√ √

√

m m m t +¿ C3 sin 1,618 t+ C4 cos 1,618 t k k k m x 1 ( t )=C 1 sin 0,618 t +C 2 cos ¿ k

La solución homogénea está correcta

La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de: El resultado está correcto

0,618

√

√

k k y 1,618 m m


CONCLUSIONES .  Se evaluó el desarrollo al contexto planteado, se realizaron aportes en cuanto a procedimiento y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución.  Se cumplió con las exigencias de la guía de actividades del trabajo colaborativo dos  Se le dio solución a los ejercicios paso a paso identificando ecuaciones lineales de segundo orden ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior; igualmente se da solución a otros ejercicios propuestos en la guía con el fin ir reforzando nuestros conocimientos básicos que se han adquirido en el desarrollo de este curso  Se cumplió con las exigencias de la guía de actividades del trabajo colaborativo dos


BIBLIOGRAFIA  García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-

112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=11017467  García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-

112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022  Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe

Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022  Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. Unad. [Videos].

Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7220  Alvarado,

E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214

 Peña, M. (2016). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior. [OVA]. Recuperado de: http://repository.unad.edu.co/handle/10596/8185

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