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AJUSTE DE CURVAS Problemas de Aplicación 1. Un investigador reporta los datos tabulados a continuación, de un experimento para determinar la tasa de crecimiento de bacterias k (per d), como función de la concentración de oxígeno c (mg/L). Se sabe que dichos datos pueden modelarse por medio de la ecuación siguiente:
donde c s y k máx máx son parámetros. Use una transformación para hacer lineal esta ecuación. Después utilice regresión lineal para estimar c s y k máx máx, y pronostique la velocidad de crecimiento para c = 2 mg/L.
2. Se hace la prueba a un material para estudiar la falla por fatiga cíclica, en la que se aplica un esfuerzo, en MPa, al material y se mide el número de ciclos que se necesita para hacer que falle. Los resultados se presentan en la tabla siguiente. Al hacerse una gráfica log-log, log-l og, del esfuerzo versus los ciclos, la tendencia de los datos presenta una relación lineal. Use regresión por mínimos cuadrados para determinar la ecuación de mejor ajuste para dichos datos.
3. Los datos siguientes muestran la relación entre la viscosidad del aceite SAE 70 y su temperatura. Después de obtener el logaritmo de los datos, use regresión lineal para encontrar la ecuación de la recta que se ajuste mejor a los datos y al valor de r 2.
4. Los datos siguientes representan el crecimiento bacterial en un cultivo líquido durante cierto número de días.
Encuentre la ecuación de mejor ajuste a la tendencia de los datos. Pruebe varias posibilidades: lineal, parabólica y exponencial. Utilice el paquete de software de su elección para obtener la mejor ecuación para pronosticar la cantidad de bacterias después de 40 días. 5. Después de una tormenta, se vigila la concentración de la bacteria E. coli en un área de natación:
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FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MATERIALES Métodos Numéricos Aplicados a Ingeniería de Materiales El tiempo se mide en horas transcurridas después de finalizar la tormenta, y la unidad CFU es una “unidad de formación de colonia”. Use los datos para estimar a) la concentración al final de la tormenta (t = 0), y b) el tiempo en el que la concentración alcanzará 200 CFU / 100 mL. Observe que la elección del modelo debe ser consistente con el hecho de que las concentraciones negativas son imposibles y de que la concentración de bacterias siempre dis minuye con el tiempo. 6. Un objeto se suspende en un túnel de viento y se mide la fuerza para varios niveles de velocidad del viento. A continuación, están tabulados los resultados. Use la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a estos datos.
Emplee regresión por mínimos cuadrados para ajustar estos datos con una línea recta, Rpta.
7. Un investigador ha informado los datos tabulados a continuación. Se sabe que dichos datos se pueden modelar mediante la siguiente ecuación
donde a y b son parámetros. Utilice una transformación para linealizar esta ecuación y luego emplear la regresión lineal para determinar a y b. En base en su análisis prediga y a x = 2.6.
8. Se conoce que los datos tabulados a continuación se pueden modelar mediante la siguiente ecuación
Utilizar una transformación para linealizar esta ecuación y luego emplear la regresión lineal para determinar los parámetros a y b. Con base de su análisis prediga y con x = 1.6.
9. Utilice regresión lineal múltiple para ajustar
Calcule los coeficientes, el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. 10. Use regresión lineal múltiple para ajustar
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Calcule los coeficientes, el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. 11. Se proporcionan los siguientes datos
Se desea utilizar regresión de mínimos cuadrados para adaptarse a estos datos con el siguiente modelo,
Determinar los coeficientes reacomodando y resolviendo la ecuación 12. En la tabla siguiente se presentan los alargamientos de un resorte correspondientes a fuerzas de diferente magnitud que lo deforman.
Determine por mínimo cuadrados el mejor polinomio de primer grado (recta) que represente la función dada. Respuesta:
13. El calor específico Cp (cal/k gmol) del Mn3O4 varía con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla.
Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados. Respuesta: 14. Use aproximación polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo ant erior para aproximar el calor específico del Mn3O4 a una temperatura de 800. Respuesta:
15. A partir de un estudio experimental acerca de la estabilización de arcilla muy plástica, se observó que el contenido de agua para moldeo con densidad óptima dependía linealmente de los porcentajes
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FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MATERIALES Métodos Numéricos Aplicados a Ingeniería de Materiales de cal y puzolana mezclados con la arcilla. Se tuvieron así los resultados que se dan abajo. Ajuste una ecuación de la forma:
a los datos de dicha tabla.
Respuesta:
16. Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v de un fluido, y la caída de presión ~p. Los datos experimentales se dan a continuación y se buscan los mejores parámetros a y b de la ecuación que represente estos datos:
donde: v = velocidad promedio (pies/s) ΔP = caída de presión (mm Hg)
Respuesta:
17. Al medir la velocidad (con un tubo de Pitot) en una tubería circular de diámetro interior de 20 cm, se encontró la siguiente información:
donde r es la distancia en cm medida a partir del centro del tubo. a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxima estos datos experimentales. b) Calcule la velocidad en el punto r = 4 cm.
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FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MATERIALES Métodos Numéricos Aplicados a Ingeniería de Materiales Respuestas:
18. El porcentaje de impurezas que se encuentra, a varias temperaturas y tiempos de esterilización en una reacción asociada con la fabricación de cierta bebida, está representado por los datos siguientes
Estime los coeficientes de regresión lineal en el modelo
Respuesta:
19. Veinte tipos de hojas de acero procesadas en frío tienen diferentes composiciones de cobre y temperaturas de templado. Al medir su dureza resultante se obtuvieron los siguientes valores:
Se sabe que la dureza depende en forma lineal del contenido u de cobre en % y de la temperatura de templado v
Determine los parámetros a0, a1 y a2 , siguiendo el criterio de los mínimos cuadrados.
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FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MATERIALES Métodos Numéricos Aplicados a Ingeniería de Materiales 20. La aparición de una corriente inducida en un circuito que tiene la constante de tiempo τ está dada por:
donde t es el tiempo medio desde el instante en que el interruptor se cierra e Ι la razón de la corriente en tiempo t al valor total de la corriente dada por la ley de Ohm. Con las mediciones siguientes, estime la constante de tiempo τ de este circuito
21. En una reacción gaseosa de expansión a volumen constante, se observa que la presión del reactor (batch) aumenta con el tiempo de reacción según se muestra en la tabla de abajo ¿Qué grado de polinomio (con el criterio de ajuste exacto) aproxima mejor la función P = f(t)?
22. Una ecuación que relaciona la transferencia de calor de líquidos por dentro de tubos en cambiadores de calor, se puede representar con números adimensionales.
Donde Nu es el número de Nusselt, Re es el número de Reynolds, Pr el número de Prandtl µ y µw las viscosidades del líquido a la temperatura promedio de éste y a la temperatura de la pared del tubo, respectivamente. Encuentre los valores de a, b, e y d asumiendo que la tabla siguiente representa datos experimentales para un grupo de hidrocarburos a diferentes condiciones de operación.
23. En el estudio de la constante de velocidad k de una reacción química a diferentes temperaturas, se obtuvieron los datos:
Calcule el factor de frecuencia z y la energía de activación E, asumiendo que los datos experimentales siguen la ley de Arrhenius
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FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MATERIALES Métodos Numéricos Aplicados a Ingeniería de Materiales 24. Se sabe que el número de pulgadas de una estructura recién construida que se hunde en el suelo está dado por
donde x es el número de meses que lleva construida la estructura. Con los valores
estime a, usando el criterio de los mínimos cuadrados. 25. En la tabla
v es el volumen en pie3 de una lb de vapor y P es la presión en psia. Encuentre los parámetros a y b de la ecuación
aplicando el método de mínimos cuadrados. 26. En la siguiente tabla, r es la resistencia de una bobina en ohms y T la temperatura de la bobina en °C. Por mínimos cuadrados determine el mejor polinomio lineal que representa la función dada.
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