Extracto del libro Geotechnical Earthquake Engineering de Steven Kramer Resumen: Como parte de la tarea de búsqueda de literatura referente a la modelación en elementos finitos de suelos, se realiza la traducción de parte del Capítulo 7: Ground Response Analysis del libro Geotechnical Earthquake Engineering, de Steven L. Kramer (1996) referente a este tema. Se ha escogido este libro debido a que ofrece una visión general y bastante explicativa para empezar a entender el problema.
INTRODUCCIÓN Uno de los problemas más importantes y comunes encontrados en ingeniería sísmica y geotécnica es la evaluación de la respuesta del suelo. Los análisis de respuesta de suelo son usados para predecir los movimientos del suelo para desarrollar espectro de diseño, para evaluar las tensiones y deformaciones dinámicas y de esta forma evaluar el peligro de licuación, y para determinar las fuerzas inducidas por el sismo que pueden conducir a la inestabilidad del suelo y de estructuras de contención de tierra. Bajo condiciones ideales, un análisis completo de respuesta de suelo modelaría el mecanismo de ruptura de la fuente del sismo, la propagación de ondas de esfuerzo a través de la tierra hasta el tope de la roca basal debajo de un sitio en particular y debería determinar cómo el movimiento en superficie es influenciado por el suelo que descansa sobre la roca basal. En la realidad, el mecanismo de ruptura es muy complejo y la transmisión natural de energía entre la fuente y el sitio es tan incierta que este enfoque no es práctico para las aplicaciones comunes en ingeniería. En la práctica, métodos empíricos basados en las características de registros de sismos son usados para desarrollar relaciones de predicción. Estas relaciones predictivas son a menudo usadas en conjunto con análisis de peligro sísmico para predecir las características del movimiento de roca basal de un sitio. Luego, el problema del análisis de respuesta se convierte en uno de determinación de la respuesta del depósito de suelo con respecto al movimiento de la roca basal inmediatamente bajo este. A pesar del hecho de que las ondas sísmicas pueden atravesar decenas de kilómetros de roca y a menudo menos de 100 metros de suelo, el suelo juega un rol muy importante en la determinación de las características del movimiento en superficie. La influencia de las condiciones de suelo local en la naturaleza del daño sísmico ha sido reconocida por muchos años. Desde los 20’s, sismólogos y, más recientemente, ingenieros geotécnicos han trabajado en el desarrollo de métodos cuantitativos de predicción de la influencia de las condiciones locales del suelo en la intensidad del movimiento sísmico.
ANÁLISIS DINÁMICO DE ELEMENTOS FINITOS El método de elementos finitos trata el continuo como un ensamblaje de elementos discretos cuyos bordes son definidos mediante puntos nodales, y se supone que la respuesta del continuo puede ser descrita por la respuesta de los puntos nodales. La siguiente sección presenta un breve
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resumen del método de los elementos finitos, destinado a entregar una descripción básica de sus principios para los lectores que no están familiarizados.
Ecuaciones elementales de movimiento En el método de elementos finitos, el problema de interés en primer lugar es discretizado, dividiéndolo en elementos como los mostrados en la Figura 1. El desplazamiento del suelo en
cualquier punto dentro de un elemento, desplazamientos de los puntos nodales,
donde
es expresado en términos de los mediante
es una matriz de funciones de forma. La matriz de deformación-desplazamiento,
permite que la deformación sea determinada de los desplazamientos de puntos nodales
y la matriz de tensión-deformación,
relaciona tensión y deformación de la siguiente manera:
Definiendo las coordenadas locales del sistema,
que mapea los elementos cuadriláteros en
cuadrados como los mostrados en la Figura 2, y usando las relaciones de deformacióndesplazamiento y tensión-deformación, una matriz de rigidez del elemento puede ser escrita (suponiendo espesor unitario en la dirección z) como
Figura 1: Discretización de elementos finitos de estructura de contención ilustrando los grados de libertad de un elemento típico de cuatro nodos.
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Figura 2: Mapeo de elemento cuadrilátero de una forma irregular en el sistema de coordenadas x-y hacia una forma cuadrada en el sistema de coordenadas s-t.
donde el Jacobiano es
Una matriz de masa consistente del elemento puede ser escrita, suponiendo densidad constante dentro del elemento, como
Como alternativa, una matriz de masa concentrada del elemento puede ser desarrollada suponiendo que la masa del elemento está concentrada en los puntos nodales. Experiencias han mostrado que el uso de la matriz de masa consistente del elemento tiende a sobreestimar las frecuencias naturales del sistema y que la matriz de masa concentrada tiende a subestimarlas en aproximadamente la misma cantidad. Lysmer (1975) sugiere el uso de una matriz de masa mixta del elemento, que es simplemente el promedio de las matrices de masa consistente y concentrada. Las matrices de amortiguamiento pueden ser problemáticas debido a las simplificaciones de varias formulaciones en la dependencia de la frecuencia del amortiguamiento. Para análisis no lineal de respuesta del suelo, sin embargo, el amortiguamiento es resultado, principalmente, del comportamiento histerético del suelo y es por tanto considerado por las variaciones en la matriz de rigidez bajo condiciones de carga cíclicas. Pequeñas cantidades de amortiguamiento viscoso pueden ser incluidas en análisis bidimensional de respuesta de suelo para considerar el amortiguamiento a pequeñas deformaciones y para minimizar los problemas numéricos que pueden surgir en la completa ausencia de amortiguamiento. Una matriz de amortiguamiento consistente puede ser obtenida de
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donde
es una matriz de los términos del amortiguamiento. Las ecuaciones de movimiento por
elemento pueden ser escritas como
donde el vector de fuerza en el elemento está dado por
y
es el vector de fuerzas de cuerpo prescritas y
es el vector de tracciones externas que
puede ser aplicado en alguna superficie, S.
Ecuaciones Globales de Movimiento Una vez que las ecuaciones de movimiento de cada elemento son obtenidas, ellas son combinadas en una forma que satisfaga la compatibilidad de desplazamientos para obtener las ecuaciones globales de movimiento
donde
es la matriz global de masa,
global de rigidez,
la matriz global de amortiguamiento,
el vector global de desplazamientos nodales, y
la matriz
el vector global de
fuerzas nodales. Para el caso de movimiento inducido por cargas en la base, la ecuación de movimiento global es
Consideraciones para la Discretización La respuesta tanto en el modelo lineal equivalente o en el de elementos finitos no lineales, puede ser influenciada por la discretización. En particular, el uso de mallas gruesas de elementos finitos puede resultar en el filtrado de las componentes de frecuencia alta cuyas longitudes de onda cortas no pueden ser modeladas debido a que los puntos nodales están muy espaciados. La máxima dimensión para cualquier elemento debe estar limitada entre un octavo (Kughlemeyer y Lysmer, 1973) y un quinto (Lysmer, 1975) de la más pequeña longitud de onda considerada en el análisis.
Condiciones de Borde Para que exista una eficiencia computacional es deseable minimizar el número de elementos en el análisis de elementos finitos.
Dado que las máximas dimensiones de los elementos son
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generalmente controladas por la velocidad de propagación de onda y el rango de frecuencia de interés, minimizar el número de elementos usualmente se convierte en el hecho de minimizar el tamaño de la región discretizada. A medida que el tamaño de la región discretizada decrece, la influencia de las condiciones de borde se vuelve más significativa. Para muchos problemas de respuesta dinámica de interacción suelo-estructura, bordes rígidos o casi rígidos tales como la roca basal son localizados a distancias considerables, particularmente en la dirección horizontal, desde la región de interés. Como resultado, la energía de la onda que viaja lejos de la región de interés puede efectivamente ser removida de esa región. En un análisis dinámico de elementos finitos, es importante simular este tipo de comportamiento de amortiguamiento por radiación. Los análisis de bordes más comúnmente usados en elementos finitos puede ser divididos en tres grupos (Christan, 1977;Wolf, 1985):
Figura 3: Tres tipos de condiciones de borde: (a) borde elemental, en el cual es especificado un desplazamiento cero; (b) borde local, consistente en a mortiguadores viscosos; (c) borde consistente de parámetros concentrados.
Bordes Elementales: Las condiciones de desplazamiento cero o tensión cero son especificadas como bordes elementales (Figura 3). Los bordes elementales pueden ser usados para modelar la superficie de suelo exactamente como libre (tensión cero). Para bordes laterales o bajos, sin embargo, las características de reflexión perfecta de los bordes elementales pueden atrapar energía en la malla que en realidad debería irradiar más allá de los bordes y lejos de la región de interés. El resultado conocido como “efecto caja” puede producir serios errores en la respuesta del suelo o en el análisis de interacción suelo-estructura. Si los bordes elementales son puestos suficientemente lejos de la región de interés, las ondas reflejadas pueden ser amortiguadas suficientemente para anular su influencia.
Bordes Locales: Como ya se ha visto (en el libro), los amortiguadores viscosos pueden ser usados para simular una región semi-infinita para el caso de ondas de cuerpo incidentes. El uso de amortiguadores viscosos representa un tipo común de borde local. Se puede mostrar (Wolf, 1985) que el valor del coeficiente de amortiguamiento necesario para la absorción de energía perfecta depende del ángulo de incidencia de la onda. Dado que es probable que las ondas golpeen el borde en diferentes ángulos de incidencia, un borde local con coeficientes específicos de amortiguamiento siempre reflejará algo de energía de 5
la onda incidente. Dificultades adicionales surgen cuando ondas de superficie dispersivas llegan a un borde local; dado que sus velocidades de fase dependen de la frecuencia, un amortiguador dependiente de la frecuencia sería requerido para absorber toda la energía. Los efectos de reflexiones desde los bordes locales pueden ser reducidos incrementando la distancia entre el borde y la región de interés.
Bordes Consistentes: Los bordes que pueden absorber todos los tipos de ondas de cuerpo y ondas de superficies en todos los ángulos de incidencia y en todas las frecuencias son llamados bordes consistentes. Los bordes consistentes pueden ser representados por matrices de rigidez de borde dependientes de la frecuencia, obtenidas de ecuaciones integrales de borde o del método de elementos de borde. Wolf (1991) por ejemplo, desarrolló un modelo de parámetros concentrados consistente en un ensamblaje de resortes discretos, masas y amortiguadores que pueden aproximar el comportamiento de un borde consistente. Un ejemplo muy simplificado de tal ensamblaje es mostrado en la Figura 3.
ENFOQUE NO LINEAL Análisis no lineales en dos dimensiones pueden ser usados para estimar los desplazamientos permanentes de taludes, contención de estructuras y otras instalaciones construidas. Los análisis de respuesta dinámica no lineal en dos dimensiones son realizados escribiendo las ecuaciones globales de movimiento desde la idealización de elementos finitos en una forma incremental y luego integrándolas en el dominio del tiempo. Tales análisis pueden ser divididos en dos grupos principales, de acuerdo a la manera en que el comportamiento del suelo es representado. Un grupo usa modelos cíclicos no lineales de tensión-deformación y el otro usa modelos constitutivos avanzados. Finn (1986) extendió el modelo hiperbólico con el extendido criterio de Masing y un modelo de presión de poros residual desde una a dos dimensiones en el programa computacional TARA-3. El programa ha sido usado para análisis regresivo (back-analyze) a escala completa en el tiempo y para el resultado de varios experimentos de modelos centrífugos. Incluso con el modelo cíclico de tensión-deformación relativamente simple, el programa ha sido capaz de capturar los más importantes aspectos de la respuesta del suelo con buena exactitud. De acuerdo con Finn (1988), la simplicidad del modelo de tensión-deformación puede producir una eficiencia relativa sustancial con respecto a modelos basados en modelos más complejos del suelo. Métodos basados en modelos constitutivos avanzados han sido desarrollados. El programa DYNAFLOW (Prevost, 1981) usa un modelo de superficie múltiple de fluencia para predecir deformaciones y presiones de poro. Ha sido aplicado a problemas de presas de tierra con buenos resultados. Un consorcio japonés de firmas de construcción ha desarrollado el programa DIANA (Kawai, 1985) que puede realizar análisis estático y dinámico con diferentes modelos constitutivos avanzados. Un sinnúmero de otros programas que incorporan modelos constitutivos avanzados ha sido desarrollado en los años recientes. 6
