Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemátic Matemáticas as
Programación lineal Aprendizaje esperado
Resuelve un problema dado mediante el planteamiento y resolución de un sistema de inecuaciones lineales en forma gráfica determinando la región solución. Criterios de evaluación: Representan en forma gráfica la región solución de un sistema de inecuaciones lineales. Recuerda:
La región solución de un sistema sistema de inecuaciones lineales puede ser no acotada o acotada (región representada por un polígono y su interior).
EJERCICIO RESUELTO:
Determinar gráficamente la región del plano o conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones lineales. x y 1
3 x 2 y 2 y 4
10 x 3 y 15
DESARROLLO
Primero se debe graficar el semiplano correspondiente a cada inecuación para luego intersectar los semiplanos y obtener el conjunto solución. i) Para x y 1 , se grafica la recta asociada a la ecuación ( x y 1 ). Esta recta divide al plano
en dos semiplanos. Para determinar el semiplano solución se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Consideramos el punto (0,0). Al evaluarlo se obtiene que: 0 0 1
0 1
Como este resultado es verdadero, pues 0 es menor que 1, el punto (0,0) pertenece al semiplano solución de la inecuación x y 1 Por lo tanto, el semiplano solución es el que se ubica sobre la recta y que contiene al punto (0,0). En este caso, la recta se dibuja como una línea continua, pues está contenida en la solución ( ). La gráfica de la inecuación x y 1 se muestra en la imagen 1.
Imagen 1
1
Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas ii) Para la inecuación 3 x 2 y 2 se grafica la recta asociada a la ecuación ( 3 x 2 y 2 ),
dividiéndose el plano en dos semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de ellos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto
1, 1 ,
al evaluarlo se obtiene
que:
3 1 2 1 2 3 2 2 5 2
Como se produce una contradicción, pues -5 no es mayor que -2, el semiplano solución es el que se ubica sobre la recta y que no contiene al punto (1, 1) . En este caso, la recta se dibuja como una línea continua, pues está contenida en la solución () . Imagen 2
La gráfica de la inecuación 3 x 2 y 2 se muestra en la imagen 2. iii) Para la inecuación y 4 se grafica la recta asociada a la ecuación ( y
4 ). Dividiéndose así el
plano en 2 semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto 1,1 , al evaluar se obtiene que: 1 4
Como este resultado es verdadero, pues 1 es menor que 4, el punto (1,1) pertenece al semiplano solución de la inecuación y 4 . En este caso, la recta se dibuja como una línea punteada, pues ésta no pertenece a la solución
.
La gráfica de la inecuación y 4 se muestra en la imagen 3. Imagen 3
2
Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas iv) Para la inecuación 10 x 3 y 15 se grafica la recta asociada a la ecuación ( 10 x
3y
15 ),
dividiéndose el plano en 2 semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto 1,1 y al evaluarlo se obtiene que: 10 1 3 1 15 10 3 15 7 15
Como este resultado es verdadero, pues 7 es menor que 15, el punto (1,1) pertenece al semiplano solución de la inecuación 10 x 3 y 15 . En este caso, la recta se dibuja como una línea punteada, pues esta no pertenece a la solución. La gráfica de la inecuación 10 x 3 y 15 se muestra en la imagen 4.
Imagen 4
Luego, la solución del sistema de inecuaciones lineales planteado es la región donde se intersectan todos los semiplanos solución obtenidos. Superponiendo todas las gráficas se obtiene la región acotada S, como se muestra en la imagen 5:
S: Conjunto solución del sistema
S
x y 1
S
3 x 2 y 2 y 4
10 x 3 y 15
Imagen 5
3
Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS:
Determina gráficamente la región del plano o conjunto solución para cada sistema indicando si es una región acotada o no acotada. x 0
1.
x 0
y 0
2.
2 y x 2
1 x 2
2 y x 4
3.
x y 3
y 2 x 10
3 x 4 y 150
42 x 5 y 21
4.
y 0
32 x 21y 1 2 x 5 y 9
x 2
7 x 3 y 12
5 x 9 y 6
5.
4 x 9 y 7
x 0
6.
91 x 39 y 190 11 x 2 y 9
143 x 26 y 117
RESPUESTAS : 1. Región acotada
2. Región no acotada
3. Región no acotada
4. Región acotada
5. Región no acotada
6. Región no acotada
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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Plantea un problema de programación lineal en un sistema de inecuaciones, identificando las variables de decisión, las correspondientes restricciones y la función objetivo. EJERCICIOS RESUELTOS: Problema de minimización
Se requiere programar una dieta con dos alimentos X e Y. Cada unidad de alimento X contiene 250 calorías y 20 g de proteínas. La unidad de alimento Y contiene 300 calorías y 10 g de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1.200 calorías y 60 g de proteínas diarias. El precio de cada unidad de alimento X es $800 y $700 el de cada unidad de alimento Y. Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para calcular cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo. DESARROLLO
Para resolver este problema, identificamos que es un problema de minimización ya que se quiere minimizar el costo de la dieta que contenga cierto número de unidades de cada alimento. Se organiza la información en la siguiente tabla.
Calorías Proteínas Costo
Alimento X
Alimento Y
Mínimo
250 20 800
300 10 700
1200 60
El siguiente paso es identificar las variables de decisión x : Número de unidades del alimento X Sea y : Número de unidades del alimento Y De acuerdo con los datos del problema, la minimización del costo está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:
F ( x, y) 800 x 700 y El conjunto de restricciones lineales para las variables y gramos de proteínas que contienen los alimentos.
x
e
y
, está dado por el número de calorías
TIPS: 250 x 300 y 1200
20 x 10 y 60
Como la dieta requiere como mínimo 1200 calorías por eso utilizamos el signo . Lo mismo ocurre con las proteínas ya que la dieta requiere como mínimo 60 gr de proteínas utilizamos el signo .
5
Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Además debe cumplirse que pueden ser negativos.
x
0 , y
0 , porque el número de unidades que se consumen no
Problema de maximización
En una industria se fabrican dos artículos, A y B, los cuales deben pasar por los procesos P 1, P2 y P3 para su elaboración. La fabricación del artículo A requiere de 6 horas en P 1, 4 horas en P2 y ninguna en P3. En cambio, la fabricación del artículo B demora 5 horas en P 1, 7 horas en P2 y 8 horas en P 3. En los procesos P1, P2 y P3 se puede trabajar como máximo 40, 36 y 32 horas a la semana, respectivamente. Si la utilidad que se obtiene por cada artículo A es de $8.000 y por cada artículo B, de $26.000, se quiere determinar la cantidad óptima de producción semanal de cada artículo, para obtener una utilidad máxima. Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para resolver el problema. DESARROLLO
Para resolver este problema, identificamos que es un problema de maximización ya que se quiere la utilidad máxima al optimizar la producción de cada artículo. Se organiza la información en la siguiente tabla.
P1 P2 P3 Utilidad
A
B
Tiempo Máximo
6
5
40
4 0 8000
7 8 26000
36 32
Se identifican las variables de decisión x : Número de artículos A que se producirán. Sea y : Número de artículos B que se producirán. De acuerdo con los datos del problema, la maximización de la utilidad está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:
F ( x, y) 8.000 x 26.000 y El conjunto de restricciones lineales para las variables
x
e
y
, está dado por el número de horas
que requiere su elaboración. TIPS:
P1 : 6 x 5 y 40 P2:
4 x +7y 36
P3:
8 y 32
En este caso, como se puede trabajar como máximo 40 horas en P1, utilizamos el signo . Lo mismo ocurre con los procesos P 2 y P3. 6
Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Además, debe cumplirse que pueden ser negativos.
x
0 , y
0 , porque el número de artículos que se fabricarán no
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para resolver los siguientes problemas. 1. Una empresa elabora dos productos: A y B para fabricar cada unidad del producto A, se necesitan 2 obreros y 1 técnico; para cada unidad del producto B, 3 obreros y 3 técnicos. Se desea aprovechar el trabajo simultáneo de 18 obreros y 12 técnicos al menos. Si cada unidad del producto A, tiene un costo de $2.500, y cada unidad del producto B, un costo de $ 4.000, calcula la cantidad de cada artículo que se debe producir para que el costo sea mínimo. 2. Una camioneta tipo A puede transportar 5 cajas y 1 tambor, una del tipo B, 2 cajas y 1 tambor. Se quiere trasladar como mínimo 20 cajas y 7 tambores. El costo del flete es $20.000 para la camioneta tipo A y $9.000 para el tipo. Calcula cuántos viajes conviene hacer en cada camioneta para que el flete tenga un costo mínimo. 3. Una fábrica de conservas envasa salsa de tomates de dos tipos: A y B. la primera contiene 200 gramos de tomate y 25 gramos de carne por tarro, la segunda 150 gramos de tomate y 50 gramos de carne. Calcula cuántos tarros de cada uno deben fabricarse con 4 kilogramos de tomates y 1,25 kilogramos de carne si se quiere obtener el máximo número de tarros. 4. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 de vitamina B y 12 de vitamina C cada día. Hay dos productos en polvo P1 y P2 que por cada frasco contiene las siguientes cantidades de esas vitaminas
A
B
C
P1
4
1
4
P2
1
6
6
Si el precio de un frasco de P1 es de $5.000 y el de un frasco P2 es de $8.000, averigüe como deben mezclar ambos productos para obtener las vitaminas deseadas con el mínimo precio.
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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas RESPUESTAS
1. Variables de decisión:
x :
cantidad de artículos A, y : cantidad de artículos B 2 x 3 y 18
Función objetivo: F x, y 2500 x 4000 y
Restricciones:
x 3 y 12 x 0 y 0
2. Variables de decisión: tipo A.
x :
cantidad de viajes camioneta tipo A, y : cantidad de viajes camioneta 5 x 2 y 20
Función objetivo: F x, y 20000 x 9000 y
Restricciones:
x y 7 x 0 y 0
3. Variables de decisión:
x :
número de tarros salsa A y : número de tarros salsa B 200 x 150 y 4000
Función objetivo: F x y x y ,
Restricciones:
25 x 50 y 1250 x 0 y 0
4. Variables de decisión:
x :
cantidad de P1 y : cantidad de P2. 4 x y 4 x 6 y 6
Función objetivo: F x, y 5000 x 8000 y
Restricciones: 4 x 6 y 12 x 0 y 0
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