1. Dinámica Estructural Cap. 1 Al 3

DINÁMICA ESTRUCTURAL

MSc. Gonzalo Martín Peche Villafane Dici embr e 2016

Capítulo 1 Conceptos Bá sicos

Contenido 1. Introducción 2. Estructura simple 3. Grados de libertad 4. Sistemas elásticos 5. Amortiguamiento 6. Ecuación de movimiento 7. Excitación sísmica

Introducción • La Dinámica de Estructuras es un área de la Mecánica que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones en las estructuras. • Actualmente esta área de la Mecánica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a acciones deterministas o aleatorias. 4

• El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos, velocidades y aceleraciones, y fuerzas de sección M,V,N) de estructuras sometidas a excitaciones (acciones dinámicas). • Los parámetros más significativos de la respuesta son los desplazamientos relativos máximos y aceleraciones absolutas.

• Las principales acciones dinámicas que actúan sobre las estructuras son las siguientes: – – – – –

Motores y equipos mecánicos. Terremotos. Vientos. Oleaje. Otras: • Impacto. • Paso de vehículos o personas. • Explosiones.

Estructura simple de 1gdl • Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema de 1 gdl, que está constituido por una masa “en la que parte superior” soportada por un concentrada elemento estructural proporciona rigidez en la dirección considerada.

Estructura simple

Grados de libertad • El grado de libertad es definido como el número mínimo de desplazamientos independientes conocer la configuración deformada de necesarios la estructurpara a.

Grados de libertad • Un grado de libertad corresponde a cualquier movimiento posible de los nodos de los elementos en una dirección no restringida.

• En el caso dinámico el modelo empleado aquí está basado en la suposición de que la rigidez se concentra en un resorte que carece de masa mientras que la masa se ubica en un cuerpo rígido que no se deforma.

Grados de libertad

Grados de libertad • Para un marco plano básico tenemos: – Análisis estático:

3 DOF

– Análisis dinámico:

1 DOF

Grados de libertad • Obviamente, cualquier estructura posee un número infinito de grados de libertad debido a su continuidad pero el proceso de discretización en elementos supone un número finito aunque elevado de ellos. • Discretización de una viga simple: – Modelo continuo: – Modelo discreto:

DOF 3 DOF ∞

Sistemas elásticos • Un material es elástico cuando recupera su forma original después de retirar la carga aplicada si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos se dice que el material es lineal.

– Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud].

Amortiguamiento • El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente. • En sistemas simples la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es deformado.

• En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso.

– A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales.

Ecuación de movimiento • Modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la dirección del desplazamiento u las cuales varían con el tiempo.

EquilibrioDinámico(D’Alambert):

Ecuación de movimiento

Excitación sísmica • Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una fuerza aplicada sino por un movimiento aplicado en la base de la estructura.

Capitulo 2 Vibraciones libres de sistemas con un g rado d e libertad

CONTENIDO

Vibraciones libres 1. Introducción

2. general de vibraciones 3. Teoría Definición de vibración libre 4. Vibración libre no amortiguada 5. Vibración libre amortiguada

FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• En los problemas de ingeniería no es siempre Introducción posible obtener soluciones matemáticas rigurosas. En realidad solo en algunos casos simples puede obtenerse soluciones analíticas • Cuando los problemas implican propiedades de materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas es necesario introducir simplificaciones, esto teniendo a la vista el cumplimiento de los criterios de seguridad y economía. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

•Introducción El nexo entre el sistema físico y la posible solución matemática se obtiene con el modelo matemático. • El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. • Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Teoría general de vibraciones • Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.

• El sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Teoría general de vibraciones

Tipos de vibraciones

Amortiguadas Libres No amortiguadas Vibraciones Amortiguadas Forzadas No amortiguadas FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Teoría general de vibraciones

Conceptos generales

• Periodo de vibración : Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento. • Frecuencia : Es el número de ciclos por unidad de tiempo. • Amplit ud de vibra ción : Es el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Definición de vibración libre • Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna.


Vibración libre no amortiguada • El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el sistema entra en vibración.

• Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las deformaciones axiales y se supone una viga de gran rigidez.


Vibración libre no amortiguada • La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

• Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibración libre del sistema y es igual a: • De acuerdo a la teoría de ecuaciones diferenciales la ecuación anterior es una EDH de segundo orden con coeficientes constantes y su solución es:


Vibración libre no amortiguada • Donde A y B son constantes que se hallan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad:

• Obteniéndose por lo tanto:


Vibración libre no amortiguada • El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:


Vibración libre no amortiguada • A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración: • La frecuencia cíclica natural de vibración, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo de tiempo y su valor es:

• Las propiedades de vibración natural, dependen de la masa y rigidez de la estructura. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Vibración libre no amortiguada • Si se hace una representación vectorial del movimiento, puede obtenerse una ecuación alterna para la solución de la EDH:


Vibración libre no amortiguada • Esta ecuación auxiliándose de un ángulo de fase o de desfase es:

• Que tiene como soluciones de sus constantes uo y ø:


Vibración libre amortiguada • Si en el sistema anterior consideramos la perdida de energía en el tiempo, lo que tenemos será un sistema con amortiguación viscosa:

• El cual puede representarse por el siguiente modelo:


• La ecuación de movimiento para un sistema lineal Vibración amortiguada amortiguadolibre en vibración libre es:

• Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene:

• Además se ha introducido la razón de amortiguamiento crítico: • Y el coeficiente de amortiguamiento crítico:


• Las soluciones de la ecuación diferencial Vibración libre amortiguada anterior dependerá de los valores que tome la razón de amortiguamiento. Así tenemos: – Sist ema con amorti guamie nto c rítico ξ=1 (c=ccr): El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar. – Sist ema sob reamor tigu ado ξ >1 (c>ccr): El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente. – Sist ema sub amor tig uado ξ <1 (c
• El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, es llamado Vibración así debido alibre que esamortiguada un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. • Las estructuras civiles poseen una relación de amortiguamiento ξ <1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados. • En mediciones experimentales se han identificado valores de ξ entre 0.02 y 0.05 para los materiales estructurales típicos. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• Los tipos de movimiento resultante en vibración amortiguada Vibración libre amortiguada dependen de los parámetros de amortiguamiento:


Vibración libre amortiguada

subamortiguado • Para un sistema subamortiguado (con ξ <1) la solución Sistema de la ecuación diferencial es la siguiente:

• Donde ωd es la frecuencia natural de la vibración amortiguada y vale:

• El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:



subamortiguado • La relación entre el periodo natural sin amortiguamiento y Sistema con amortiguamiento viene dada por:

• La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:



subamortiguado • Y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es: Sistema

• El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ω n a ωd y aumentar el periodo natural de Tn a TD este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento por debajo del 20%. • Para la mayoría de las estructuras ingenieriles ωd y TD son aproximadamente iguales a ωn y Tn. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS


subamortiguado • El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres puede apreciarse en el siguiente esquema: Sistema


Capítulo 3

Vibraciones forzadas armónicas de sistemas con u n gr ado d e libertad

CONTENIDO

Vibraciones libres 1. Introducción

2. Sistema node Amortiguado • Ecuación movimiento con Carga Armónica • Resonancia

3. Sistema Amortiguado con Carga Armónica • • • • •

Ecuación de movimiento Resonancia Deformación Máxima Factores de Respuesta Dinámica Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante


• En vibraciones libres, las oscilaciones se inician Introducción por una perturbación que da lugar a un

desplazamiento inicial o una velocidad ambas cosas. Sin necesidad de fuerzasinicial o externas al sistema durante el movimiento. • En vibración forzada, una fuente externa sostenida es responsable de mantener la vibración.


Introducción • Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de la ingeniería son las vibraciones forzadas. • Las vibraciones forzadas ocurren cuando un sistema es sujeto a una fuerza que cambia con el tiempo o un desplazamiento que cambia con el tiempo. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• El estudio de la respuesta del sistema de un Introducción solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas. • Se estudiará primero el caso de fuerzas que tienen comportamiento periódico, es decir vibraciones forzadas armónicas.


• Un sistema bastante general puede ser Teoría general representado de la siguiente manera.

• El sistema aunque posea amortiguamiento no puede regresar a su posición de equilibrio por la presencia de la fuerza externa que siempre esta presente en el sistema. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Tipos de vibraciones

Teoría general

Amortiguadas Libres No amortiguadas

Vibraciones Amortiguadas Forzadas No amortiguadas FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Sistema no Amortiguado Armónico Ecuació n de Movimi ento • Estableciendo p(t)=po·senωt en la ecuación diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación por carga armónica para un sistema no amortiguado: • Donde p o es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω es la frecuencia de excitación.


• La ecuación anterior es una ecuación diferencial Sistema noorden Amortiguado de segundo no homogéneaArmónico y su solución esta compuesta por dos términos: • El primer termino es la solución particular que hace referencia a la situación de estado permanente y el segundo es la solución complementaria que toma en cuenta el estado transitorio. Así tenemos:


• La solución total es la suma de ambas ecuaciones:

Sistema no Amortiguado Armónico

• Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales:

• Para condiciones iniciales en reposo y partiendo del srcen:


•Sistema Esta ecuación contiene dos componentes de vibración no Amortiguado Armónico distintas: El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales. Los términos “senωnt” y “cosωnt” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de vibración que depende de u(0) ú(0) el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• El sistemano presenta el siguiente comportamiento de Sistema Amortiguado Armónico desplazamiento contra tiempo:


Resonancia

Sistema no Amortiguado Armónico • Ignorando el efecto dinámico de la aceleración se obtiene como de resultado cada instante tiempo:la deformación estática en • Donde el máximo valor de esta deformación es:. • Por lo que la respuesta dinámica del estado como: permanente, puede ser expresada FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• Graficando el factor entre corchetes de la ecuación Sistema no Amortiguado Armónico anterior contra la relación de frecuencias, se tiene:


• De esta grafica se puede observarArmónico que: Sistema no Amortiguado Para

/

ω ωn

< 1 ó ω < ωn el factor es positivo indicando que

u(t) y p(t) tienenestá el mismo signo, significa que(el el desplazamiento en fase con lo la que fuerza aplicada sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza). Para ω/ωn > 1 ó ω > ωn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada (el sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza).


• La ecuación anterior puede ser reescrita en términos de Sistema no Amortiguado Armónico la amplitud u y el ángulo de fase ø : o

• De donde:

• Donde el factor de deformación o amplificación Rd es la relación de amplitud de deformación vibratoria u o y la deformación estática (ust)o debido a la fuerza po. • Por lo que se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual R d es máximo. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es ωn siendo frecuencia y la Sistema no RAmortiguado d infinito para estaArmónico deformación vibratoria crece indefinidamente, volviéndose infinita sólo después de un tiempo infinito. • Para esta condición ( ωn= ω) la solución particular falla y habrá que buscar otra solución para la ecuación de movimiento que para el caso la siguiente solución cumple su propósito:

• Siendo la solución total:

• Para condiciones iniciales de reposo y partiendo del Sistema srcen, se no tiene:Amortiguado Armónico


• En cada ciclo el incremento de la amplitud está dado por:

Sistema no Amortiguado Armónico

• La interpretación de este resultado teórico para estructuras reales es que a medida que la deformación se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.


• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse Sistema nodelAmortiguado Armónico dependerán valor de la frecuencia natural:


Sistema Amortiguado Armónico Ecuació n de Movimi ento • Estableciendo p(t)=po·senωt en la ecuación diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación por carga armónica para un sistema amortiguado: • Donde p o es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω es la frecuencia de excitación. • Esta es la forma más completa de la ecuación de movimiento (en carga armónica). FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

• Tenemos siempre una ecuación diferencial de segundo Sistema Armónico orden no Amortiguado homogénea y su solución nuevamente esta compuesta por dos términos: • Una solución particular que hace referencia a la situación de estado permanente y una solución complementaria que toma en cuenta el estado transitorio. Así tenemos como soluciones:


• Siendo la solución total:

Sistema Amortiguado Armónico

• Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales. De igual manera para C y D tenemos:


• El sistemaAmortiguado presenta el siguiente comportamiento de Sistema Armónico desplazamiento contra tiempo.


Resonancia

Sistema Amortiguado Armónico • Para

ω

=ωn las constantes C y D son:

• Las constantes A y B se obtienen a partir de condiciones iniciales en reposo uo=úo =0 y para ω=ωn :

• Luego la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para ω=ω : n


• Ecuación Amortiguado que para amortiguamientos pequeños toma la Sistema Armónico forma de:

• El incremento en amplitud u j después de j ciclos de vibración es determinado por la siguiente expresión:


• Para un sistema con factor de amortiguamiento del 5% Sistema Amortiguado Armónico en resonancia se tiene:


• Los dos tipos de comportamiento posibles a Sistema Amortiguado Armónico presentarse dependerán nuevamente del valor de la frecuencia natural:


Deformación Máxima

Sistema Amortiguado Armónico • La deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica puede ser reescrita como: • Donde: • Luego:


• Graficando de R d en función de / n : Sistema novalores Amortiguado Armónico ω ω

1


2

• El amortiguamiento reduce a R d y que tanto lo reduce depende de la frecuencia de excitación: Sistema no Amortiguado Armónico Si ω/ωn << 1. Rd es sólo levemente más grande que 1 y es esencialmente independiente del amortiguamiento (la fuerza está variando lentamente). Si ω/ωn >> 1. Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento (la fuerza está variando rápidamente).

Si ω/ωn ≈ 1. Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática.


Factores de Respuesta Dinámic a Sistema Amortiguado Armónico

• Los factores de respuesta dinámica hacen referencia a las respuestas en deformación, velocidad y aceleración. • Ya hicimos referencia a la respuesta en deformación: • Si derivamos dos veces esta expresión obtenemos la respuesta en velocidad y aceleración respectivamente: • Donde: FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

Sistema no Amortiguado Armónico • Graficando las respuestas dinámicas en función de ω/ωn:

Fundamentos de dinámica de estructuras

Frecuenci a Resonante y Respuesta Re sonante

Sistema Amortiguado Armónico

• La frecuencia resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de respuesta. • La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero en las respuestas dinámicas respecto a la relación de frecuencias para un ξ<1/√2.


Sistema Amortiguado Armónico • Así tenemos las siguientes frecuencias resonantes: • Para desplazamiento: • Para velocidad: • Para aceleración:

• Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a la frecuencia angular. FUNDAMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

1. Dinámica Estructural Cap. 1 Al 3

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