ÁnE,t DE CONOCIMIENTO.
nnÁCTICA DE LA MATnvIÁTICA
(lolccción: M A'I'EMATICAS: CULTURA Y APREN DIZAJE
14. Proporcionalidad geómetrica y semejanza GrupoBeta
15. El mundo de los poliedros GregoriaGuillénSoler
l. Area de conocimiento:didácticade las matemáticas Angel Gutiénez, Bemardo Gómez Alfonso, Juan Diaz Gódino y Luis Rico Romero
16. Metodología activa y lúdica de la geometria AngelMartínezRecio.FranciscoJuanRivaya
2. Númerosy operaciones Luis Rico Romero,EncamaciónCastroMartínez,EnriqueCastroMartínez
t7. El problema de la medida CarmenChamorroPlaza.JuanM. Belmonte Gómez
3. Numeracióny cálculo BemardoGómez Alfonso
18. Circulando por el círculo Francisco PadillaDíaz,AmulfoSantos Hernández, FidelaVelázquez, ManuelFernández Reyes
4. Fracciones.I¿ relaciónparte-todo SalvadorLlinaresCiscar.M." VictoriaSánchezGarcía
19. Superficie. Volumen M." Angelesdel Olmo Romero,FranciscaMorenoCarretero, FrancicoGil Cuadra
5. Númerosdecimales Julia CentenoPérez
20. Proporcionalidad directa. La forma y el número M.' LuisaFiol Mora.JoséM." FortunyAymemi
ó. Númerosenteros JoséL. GonzálezMarí. M." DoloresIriarteBustos.AlfonsoOrtiz Comas,InmaculadaVargasMachuca.ManuelaJimenoPérez,Antonio Ortiz Villareio,EstebanSanzJiménez
21. Nudos y nexos: grafos en la escuela MoisésCoriatBenarroch. JuanaSancho Gil, AntonioMaríndelMoral, PilarGonzaloMartín
7. Divisibilidad ModestoSierraVázquez,Andrés García.M." T. GonzálezAstudillo,Mario González Acosta
8. Problemasaritméticos Luis Puig Espinosa.FemandoCerdánPérez
9. Estimaciónen cálculo y medida IsidoroSegoviaAlex. EncarnaciónCastroMartínez.EnriqueCastroMartínez,Luis Rico Romero
f0. Aritmética y calculadora Frederic Udina i Abelló
ll. Materialespara construirla geometría Carme BurguésFlamerich, Claudi Alsina Catalá, JosepM." Fortuny Aymemr
12. Invitacióna la didácticade la geometría Claudi Alsina Catalá. JosepM." Fortuny Aymemi, Carme BurguésFlamerich
13. Simetríadinámica Rafael PérezGómez. Claudi Alsina Catalá. Ceferino Ruiz Garrido
22. Por los caminos de la lógica InésSanzLerma.ModestoA¡rietaLiarramendi,ElisaPardoRuiz
23. Iniciación al álgebra ManuelMartínSocas Robayna, MatíasCamacho Machin,M."Mercedes Palarea Medina, JosefaHemándezDomínguez
u.
Enseñanza de la suma v la resta CarlosMazaGómez
25. Enseñanza del producto y de la diúsión Carlos Maza Gómez
26. Funcionesy gráficas Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateGiménez
27. Azar y probabilidad J¡uanDiaz Godino, Carmen BataneroBernabéu,M." JesúsCañizaresCastellano
28. Encuestasy precios Andrés Nortes Checa
29. Prensay matemáticas Antonio FernándezCano. Luis Rico Rotnero
30. Ordenadory educaciónmatemática:algunasmodalidadesde uso JoséA. Cajaraville Pegito
31. Ordenary clasificar Carlos Maza Gómez, Carlos A¡ce Jiménez
32. Juegosy pasatiemposen la enseñanzade la matemáticaelemental JosefaFernándezSucasas,M." Inés RodríguezVela
DID
33. Ideasy actividadespara enseñarálgebra GrupoAzarquiel
, r
.
errcA;iilffiffia MATEMÁTI€A
l
34. Recursosen el aula de matemáticas J.DíAZ GODINO B. GÓMEZALFONSO . A. GUTIÉRREZ RODRÍGUEZ L. RICO ROMERO , ' M. STERRAV^ZQUEZ
FranciscoHernán Siguero,Elisa Carrillo Quintela
Consejoeditor: Luis Rico Romero,JoséM." FortunyAynlemi, Luis Puig Espinosa
EDITORIAL
SINTESIS
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Canie Gonr¡rrl techadeadqurl'¡ción MesAñotechadeProcesamiento Mes Año--
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Proveedor
Primerareimpresión:febrero 199
Diseñode cubierta:JuanJoséVázquez Estáprohibido,bajo las todoslosderechos. Resewados civil previstosen penalesy el resarcimiento sanciones Iasleyes,reproducir,registraro transmitirestapublipor cualquiersistemade cación,íntegrao parcialmente, y por cualquiermedio,seamecánico,elecrecuperación por fotocopiao por electroóptico, trónico,magnético, previapor escritode cualquierotro,sinla autorización S.A. EditorialSíntesis, @ J. DíazGodino,B. GómezAlfonso, A. GutiérrezRodríguez,L. Rim Romero, M. SierraVázquez O EDITORIAL SÍNTESIS,S.A. Vallehermoso,34.28015 Madrid Teléfono91 59320 98 http://www.sintesis.com -1999 Depósitolegal:M-2.681 37-2 ISBN:84-7738-1 Impresoen España- Printedin Spain
Indice
Día ---
La Comunidadde E¡lucadores Matemáticos. .. . .\. que se derivande las matemáticas. 1.1. Las profesiones 1.2. Profesores de Matemáticas. . 1.3. La Educación Matemática.... 1.4. ¿Quiénesconstituimosla Comunidadde EducadoresMatemáticos? 1.5. Movimiento Internacionalde Sociedades y Comisionesde Profesoresde Matemáticas:perspectivahistórica . . .. . . . . . 1.5.1. Desde1870hastala SegundaGuerraMundial . . . . . 1.5.2. De la SegundaGuerra Mundial hasta 1970 1.6. Movimientosde Profesoresy Sociedades de EducaciónMatemáticaen España 1.6.1. Antecedentes históricos:1900-1970 1.6.2. Antecedentes y actualidadde la EducaciónMatemática en España:197l-1991 1.7. Actividades 1.7.1. Congresosinternacionalesde la I.C.M.L 1.7.2. Reunionesy Congresosen España 1.7.3. La infraestructura de la difusión 1.8. Referencias
Las Matemáticasy el procesoeducativo 2.1. El procesoeducativo 2.1.1. Introducción:teoría versuspráctica 2.1.2. Desdenes, y anclajes desavenencias 2.1.3. ¿Quiénse ha interesadopor el procesoeducativo?. . 2.1.4. ¿Porqué seinteresala psicologíapor la Didácticade las Matemáticas?. 2.1.5. ¿Qué aporta a la Didáctica de las Matemáticasel punto de vista de la psicología''! .....
ll ll 15 18 2l
26 27 30 34 34 )I
44 45 48 50 56 59 59 59 60 6l
62 62
2.2.
2.3.
2.4.
2.5. 2.6.
2.1.6. ¿Quiénpuededecircómo deberíanenseñarse las Matemáticas?:..... Contrasteen la enseñanza de las Matemáticas. . 2.2.1. El contrasteepistemológico. . 2.2.2. El contrastemetodológico . .. . 2.2.3. El contrastepsicológico 2.2.4. Otros constrastes. Dos grandesteoríasdel aprendizaje. . 2.3.1. ¿Necesitan los profesoresconocerteorías? 2.3.2. Las grandesteoríasdel aprendizaje. . . lmplicacionesde las teoríasen la enseñanza: dos modelos 2.4.1. Bajo la teoiía conductista. 2.4.2. Debilidadesdel conductismo. 2.4.3. Bajo la teoríacognitiva.. 2.4.4. Debilidadesdel cognitivismo . . Epílogo Bibliografia
3. Hacia una teoríade la Didácticade la Matemática.. 3.1. Introducción 3.1.1. Componentesy relacionesde la Didácticade la Matemática con otras disciplinas 3.1.2. Interésde la TeorizaciónDidáctica... y Didáctica.... 3.2. Epistemología 3.2.1. Teoriascientíficasy sustipos 3.2.2. Corrientesepistemológicas. . 3.2.3. LaDidáctica de la Matemáticacomo disciplinacientífica . 3.3. Principalesprogramasde investigaciónen Didáctica de la Matemática 3.3.I. El programade investigación del grupo T.M.E. .. . . 3.3.2. Enfoquepsicológicode la Didácticade la Matemática. 3.3.3. Hacia una concepciónmatemáticay autónomade la Didáctica 3.3.4. Otras teoríasrelevantessobrela Didácticade la Matemática 3.4. La Didácticade la Matemáticacomo sabercientífico.tecnológico y técnico 3.4.t. Disciplina autónoma,pluridisciplinariedady transdisciplinariedad. . 3.4.2. Conexiónteoría-práctica .... 3.5. Conclusión 3.6. Referencias
63 63 63 67 70 74 74 74 75 90 90 93 94 100 101 r02 l0s 105 106 109 110 110 112 118 119 119
r24 130 t39 t4t t4l 143 144 t45
4. La investigaciónen Didáctica de las Matemáticas . 4.I. Introducción en Didácticade las Mate4.2. ¿Quéseentiendepor investigación máticas? 4.2.1. Delimitandoel campode actividad 4.2.2. El conceptode calidadde la investigación 4.3. Tipos y metodologíasde investigaciónen Didáctica de las Matemáticas 4.3.I. Tipos de investigación 4.3.2. Métodosde investigación. . 4.4. Herramientaspara la investigaciónen Didácticade las Matemáticas 4.4.1. Fuentes de documentación 4.4.2. Métodos de recogida de datos 4.5. Temas actuales de investigación . . . 4.6. Estado de la investigación en Didáctica de las Matemáticas en España 4.7. Bibliografía Anexo direcciones útiles . Editoriales y Librerías Revistas Basesde datos . Sociedades
149 149 152 152 155 159 160 167 I74 t74 179 182 190 19l 195 195 196 197 198
La Comunidad de Educadores Matemáticos LursRrco Universidad de Granada Mopnsro Srnnu Universidad de Salamanca
1.1. LAS PROFESTONES QUE SE DERTVAN DE LAS MATEMATICAS Existe una vieja anécdota que pone de manifiesto cómo se percibe a los profesionalesde las matemáticas dentro de la comunidad cientíhca. El investigador que está realizando medidas en un globo es desviado por una corriente de aire y no sabe donde se encuentra. A lo lejos divisa a un hombre en un llano solitario, hacia el que dirige su globo. Cuando está suficientementecerca le pregunta: <¡Oiga!, por favor, ¿podría decirme donde me encuentro?>.
.El investigador se sorprende, pero de inmediato vuelve a preguntar: Perplejo, el hombre le responde: , replica el investigador, .
1l
(lomo todos los chistes,transmiteuna parte de la imagenpopular que ¡ruodcntenerlos miembrosde.unaprofesiónen el entorno-ro"ül en el que trirbajany desarrollansusfunciones.Hay chistesde médicos,de banqueros, dc comerciantes, de abogadosy, ¡menosmal! de matemáticos. lil matemáticoes un personajeque no se incorpora al campo de las titulacionesy profesiones usualesen nuestropaíshastáfechasmuy recientes. ('omo tantosotros cambiosen la sociedadespañola, sólo puedeempezara apreciarse la incorporaciónal mercadode trabajo de titulaáosen matemáti_ cascn cantidadesconsiderables a partir de los años60. por ello, aún no está suficientemente difundido qué son y para qué sirvenlas matemáticas,qué tipo de actividadeshumanaspuedencatalogarsecomo matemáticasy quiénes son y qué hacenlos matemáticos. (J. Dieundonné,l9g9). Es ciertoque hay una seriede disciplinascientílicasde carácterformal y expresiónlógico-deductiva, a las que se conocecon el nombre genéricode matemáticas, para las que se requiereuna alta cualificacióny que forman parte de los conocimientos más avanzadosdel hombreen la aitualidad.por
estadoconstituida,en su mayor parte, por los conocimientosconsolidados más destacables de las ciencias Matemáticas.concluida su preparación, ponenlos conocimientosadquiridosal serviciode una multituá de campos diferentes:administración,organizacióny gestiónde empresas,economía, información,ingeniería,robóticay muchosotros. . La mejora y el avancede los servicios,el comercio,ra industria y la investigaciónen nuestro país es efectoy causade la participaciónde un númerocrecientede licenciadosen matemáticas, u otrui titulá"ionesen las
aspectosde conocimientoútil, y que hacenuna aportaciónconsiderable al progreso'avancey desarrollode la comunidada la que pertenecen. 12
importantesde Si bienesciertoque la mayor partede descubrimientos nuestraépocarelativosa las más variadasdisciplinascomo genética,neurocirugía,óptica,epidemiologia,altas energías,robótica,astronomía,etc.,no procedendel campode investigaciónespecífico de las matemáticas, también es verdad que sin el empleo y ayuda de las matemáticasno se hubieran podido llevar a cabo. de la EducaciónMatemátiEn un tercernivel tenemosa los profesionales que trabajanen el amplio campo ca,colectivode todosaquelloseducadores y en el que sepuedeincluir y aprendizajede lasmatemáticas, de la enseñanza a bastantesde los profesionales de los dos nivelesanteriormenteindicados. El Profesorde matemáticasestá pasandode desempeñaruna función meramenteinstructiva,en la que debíainculcarla memorizaciónde hechosy la ejercitaciónde destrezas, a una funcióneducativamás amplia,en la que el conocimientomatemáticono se consideraaisladodel medio cultural ni de y la afectividaddel niño, ampliándoseel campodel aprendizaje los intereses ricasen relaciones, integrar hasta el dominio de las estructurasconceptuales, y estrategias que dan lugar a la creatividad,intuición y con procedimientos pensamientodivergentede los alumnos. También estáncambiandolas prioridadesen educaciónmatemática,y éstees sólo un signo más de que la consideraciónde las matemáticasen Españase ha modificado,y se está modificando,profundamenteen estos últimos años. En ninguna de las tres grandesáreasde trabajo que se derivan de las podemosseñalaruna únicainstituciónresponsable de la formamatemáticas que la ejercen.Tampoco es un objetivo de este ción de los profesionales de nuestrosistemaeducapítuloidentifrcartodos los estudiosy enseñanzas comprendidos bajo el amplio titulo de Matecativoque puedenconsiderarse impartidas máticas.Pero sí convienerecordarque dentro de las enseñanzas en nuestraUniversidad,en el momentoactual,se encuentrala Licenciatura en CienciasMatemáticas,que se suponecomprendeel tronco común dc formaciónen los estudiosy disciplinasmatemáticasen nuestropaís. Muchas otras titulacionestienenun gran pesode disciplinasmatemáticas,y algunosmodosde accesoa la profesiónde EducadorMatemáticose realizanmedianteotro tipo de estudios,como se verámás adelante,pero no cabeduda que en las Licenciaturasde Matemáticases dondese concretala parte más signihcativade la formaciónmatemáticaespecífica. Segúndatos del Anuario de EstadísticaUniversitariade 1990,los estuDelegaciodios de CienciasMatemáticassepuedencursaren 23 Facultades, o ColegiosUniversitarios,distribuidosterritorialmentecones,Extensiones mo sigue(tabla 1). de Dentro de los estudiosaplicadosconvienedestacarquehay 6 Escuelas Estadística, distribuidascomo se indica en la tabla 2. El profesoradode los CuerposDocentesUniversitariosde las Universi13
Tabla I
Tabla 3
Licenciaturaen Matemáticas
Profesorado de Cuerpos Docentes Uniuersitarios
Andalucía Aragón Canarias Cantabria Castillay León Cataluña ComunidadValenciana Extremadura Galicia Madrid Murcia PaísVasco La Rioja
2 2 2 I 2
Tabla 2 Escuelas de Estadistica
l4
Matemática Aplicada ..
Total .
142Prof. 219 l'l'7 244 tt4 665 1 561
I.2. PROFESORESDE MATEMATICAS
dades Públicas, según el mismo Anuario, está clasificado por Areas de conocimiento. Las Areas que corresponden a disciplinas matemáticas y el número de profesoresde cada una de ellas se indican en la tabla 3. La globalidad de estos profesores supone un 6 por 100 del total de Profesoresde los Cuerpos Docentes Universitarios. En resumen, podemos señalar que los estudios superiores universitarios de matemáticas,con carácterprofesional especihco,se encuentran concentrados en la Licenciatura de Matemáticas, y se pueden cursar en 23 centros distintos. Ahora bien, seria muy dificil excluir un fuerte componente matemático en los currículos de la mayor parte de las 62 Enseñanzascontempladas en el mencionado Anuario, e incluso hemos de reiterar que la formación inicial para ejercer algunas de las profesionesque se derivan de las matemáticas se realiza mediante estudios distintos a los de la Licenciatura de Matemáticas. como veremos,este es el caso de muchos de los Educadores Matemáticos.
Andalucia Aragón Cataluña ComunidadValenciana Madrid
Algebra AnálisisMatemático Didácticade la Matemática . . Estadísticae InvestigaciónOperativa Geometriay Topología
z
I 1 I I
legales,LGE, LRU, LOGSE, señalandistintosniveles Las disposiciones de Bachillerato,Profesores Profesorde EGB, Profesores parael pro?esorado: de CuerposDocentesUniversitarios, de FormaciónProfesionaly Profesores indicandoen cada caso las condicionesde titulación mínima y formación requeridapara accederal nivel docentecorrespondiente. pedagógica ^ profesoiado de EducaciónPreescolary de EducaciónPrimaria reEi quiere el título de Diplomado y su formación se realiza en las Escuelas medianteestuÚniversitariasdel Profesoradode EGB fundamentalmente, una preparade sin necesidad duración, años de tres dios de ciclo corto de ción especialcomPlementaria. El Profesoradode EducaciónSecundariay de Bachilleratorequiereel título de Licenciadoy su formaciónse realizaen las Facultadeso Escuelas medianteestudiosde ciclo largo de cinco años Superiorescorrespondientes, un de duración.La legislaciónactual establecepara su perfeccionamiento los en Curso de Aptitud Pedagógicacomplementario,que se desarrolla Institutosde Cienciasde la Educación' El ProfesoradoUniversitariorequierepara impartir la docenciaen el Segundoy TercerCiclosy paratenerplenacapacidadinvestigadorael título de Doctoi, y su formaciónse tealizaen los DepartamentosUniversitarios cursandoun Programade TercerCiclo de dos añosde duracióny mediante la realizaciln de una Tesis Doctoral. Aunque teóricamentehay un período de formaciónpedagógicapafa el profesoruniversitario,que se sitúa en la etapade profeior ayudante,en la prácticaestaformaciónno estáreguladay carecede orientación,organizacióny control. permitenadquirir las titulacionesmíniSi bien las condicionesgenerales en el casodel Profesoradode Enseñanza, de de centros variedad masen una principalesson las Facultaque las canteras podemos afirmar Matemáticas l5
Tabla 4 Curso
84-85 85-86 86-87 87-88 88-89
Ciencias Matemáticas ambos sexos mujeres
9 507 9022 9 890 t0 476 r1 0 0 8
4 427 4 560 4 957 5 2ll 5 519
ProfesoradoEGB ambossexos mujeres
73933 754r0 7r 5r9 67784 655r4
55489 56818 55 2t9 53427 48 308
des de ciencias Matemáticas,para el profesoradoque requiereel título de Licenciadoo Doctor, y las EscuelasUniversitariasde Profesoradode EGB, para el profesoradode Preescolaro Primaria. La evolucióndel númerode alumnosmatriculadospor enseñanza y sexo, en ambostipos de centrosdurantelos últimosañosvienedadaen la tabla4. En la grálrcase observael crecimientosostenidoen el número de alumnos que cursan la Licenciaturade Matemáticas,con un aumento neto. Tomandocomo base100el total de alumnosdel curso 84-85,la evolución de alumnosen la Licenciaturade Matemáticas,comparadacon el total de alumnosde las ramasde cienciasExactasy Naturalesquedacomo indicala gráfrca.
t20 100 80 60
Todas las ramas de C. Exactasy Naturales K\C
20
ProfesoradoEGB
Seobservaque,aunquehay crecimiento,ésteesporcentualmente inferior a la evoluciónexperimentada en el restode las Licenciaturas consideradas de las ramas de CienciasExactasy Naturales.Otro dato importante es el equilibrio entre los estudiantesde Matemáticasde ambos sexosque se mantienenaproximadamenteal 50 por 100 en los últimos años. por el t6
contrario,la evolucióndel númerode alumnosen la diplomaturade Profesoradode EGB tieneun crecimientonegativoen los últimos años.El porcentaje de mujeresen el alumnadode estaDiplomaturasemantieneaproximadamenteen el 75 por 100duranteestosaños. El Profesoradode Matemáticasdel nivel universitarioprocedeen su prácticatotalidad de la Licenciaturaen Matemáticas,completadacon un Doctorado en algunasde las Areas de Conocimientoantesindicadas.Su preparaciónpsicopedagógicase ha realizado,en el mejor de los casos,mede corta duracióny de carácterno sistemátidiantecursoscomplementarios Esteprofeco y, sobretodo, en el contactoprofesionalcon los compañeros. soradono sueleconsiderarnecesarianingunaformacióndidácticapara realizar sustareasdocentes.La actitud mayoritariaen torno a la Didácticade la cuandono de francahostilidad. Matemáticaes de distanciamiento. El Profesoradode Matemáticade los nivelesde secundariase ha venido reclutandoigualmenteen la Licenciaturade Matemáticas,pero en los cinco de licenciadospara cubrir todos últimosañosseha producidociertaescasez los puestosque demandael sistemaescolar.Seha comenzadoa producir con el fenómenode que seanLicenciadosen otras ramasde ciertasistematicidad (Biologíay QuímicaprinCienciassin especialcualilicaciónen Matemáticas, puestos que docentespara Matemáticasen esténcubriendo cipalmente)los psicopedagógica de estoslicenciados,para perteSecundaria.La formación pública,se ha realizadomede la enseñanza a los cuerpos docentes necer diante un Curso de Aptitud Pedagógicaimpartido en los Institutos de Cienciasde la Educación,de contenidogeneralistay sin apenasconexión algunacon la Didácticade las Matemáticas. La mayoría del profesoradoactualmenteen ejerciciose ha formado durantela décadade los 70,por tanto su formaciónrespondea planteamiencon gran énfasisen el formalismo,en la correcciónde los tos estructurales, y desarrollo y en el control conceptualmediantedefiniciones procedimientos de cálculossimbólicos. El Profesoradode Primaria provienede la Diplomatura de Educación que tieneel plan de estudiosvigente GeneralBásica.Entre las especialidades desdeel año 7l se encuentrala especialidadde Ciencias,que es la que habilita para impartir la docenciade Matemáticasen los nivelessuperiores de la EGB. En términos generalesse puede decir que el Profesoradode Primaria tiene una formación matemáticaadecuadapara impartir enseñanza pero globalmentedesconectada de los conoen los nivelescorrespondientes, cimientosque tieneun licenciado.Aún cuandola formaciónpsicopedagógica que tiene un profesorde Primaria es considerable,no sueleestablecerconexión entre esta formación y el papel que debe ejercercomo profesorde Matemáticas,salvo en aspectosgeneralesque pueden afectar a cualquier disciplina. Nos encontramoscon que el Profesoradode Matemáticasactualmente 17
en ejercicio proviene de dos formaciones muy dispares,Licenciatura y Diplomatura, cada una de las cuales enfatiza y desarrolla bien la componente Matemática bien la Psicopedagógica,descuidando o limitando la otra y sin establecerrelacionesexplícitas entre ambas. Aún cuando ambas formaciones son complementarias,no se ha favorecido una colaboración sistemáticaentre ellas, que hubiera resultado fructífera para las dos partes. En los planes actuales no se contempla una formación inicial específica para el Profesorado de Matemáticas con lo cual, y debido a la oferta del mercado de ffabajo, los puestos de Profesores de Matemáticas van a ser cubiertos, cada vez más en el futuro, por titulados que no sólo no tienen formación adecuada como Profesores,sino que en muchos casostampoco la van a tener como matemáticos.
1.3. LA EDUCACION
MATEMATICA
El análisis anterior resulta incompleto si no tenemos en cuenta el marco general de la educación en España durante los últimos años. (J. González, l99l). 18
En estecontextoel desafioque suponenuestraintegraciónen las ComunidadesEuropeasplantea nuevasnecesidades y demandasal sistemaeducativo español.Entre las más destacablese encuentranlos esfuerzospara mejorarla calidadde la enseñanza en todossusniveles,la necesaria reforma de la educaciónSecundariapara ampliar el período de enseñanzaobligatoria hastalos dieciseisaños,el ajusteentrela ofertade títulosde todoslos niveles y la demandadel mercadode trabajo y la necesidadde que desaparezcan las distanciasy desigualdades educativasdebidasa causassociales, culturaleso económicas. Es dentro de este marco en el que la enseñanzay aprendizajede las matemáticasprofundizany desarrollansu dimensióneducativa,planteándosenuevasmetasy prioridadesque desbordanel papelclásicoatribuidoa esta disciplina,y por esto toma cada vez mayor fuerzauna nuevavisión de las matemáticasen el sistemaescolar,que denominamosEducaciónMatemática.Estatransformaciónseexplicapor el hechode que las Matemáticasestán comenzandoa ser uno de los elementosesenciales de la cultura de nuestra épocaen nuestropaís.Esto ocurreporqueseda prioridad ala consideración de que se trata de una de las formasbásicasde expresiónmediantela que dotamosde significadoy organizamos nuestromundo,que permitencomunicar, interpretar, predecir y conjeturar. Las matemáticasno son sólo una disciplinaformal que se construyelejos de nosotrosy de nuestrosintereses, antesbien aparecenen todaslas formasde expresiónhumana. Nuestro país se encuentraactualmenteen la línea de las sociedades modernasy avanzadas,y en este sentido es de especialimportancia la integraciónde valores,hábitos, formas de expresióny razonamientoque provienendel campo de la ciencia,y en particular de las matemáticas. Por lo tanto, al considerarlas matemáticascomo un elementode la cultura de nuestrasociedad,importantepero uno más,debemosdejar de concebirlas matemáticas como un objetoya constituidoque hay que dominar,y hay que comenzara considerarlascomo una forma de pensamientoabierto con margenpara la creatividad,cuyaejercitaciónhay que desarrollar,respetando la autonomíay ritmo en cada persona. Por otra parte,la prolongaciónde la enseñanza obligatoriahastalos 16 años debe suponer un factor de homogeneizaciínsocial y un aumento del nivel cultural.Los problemasque se derivande estenuevomarco legal son considerablesya que las prioridades educativasdeben dirigirse a elevar el nivel de la formación y conocimientosde todos los jóvenes,también en matemáticas,sin discriminary culpabllizara aquellosalumnosque no alcancen ururscom,petencias determinadas. \ Esto no pone en téla de juicio la neóesidadde contar con minorías altamentecualifrcadasen investigaciónde punta, y que la orientaciónde esas minoríassecomiencea considerardesdeel sisteinaescolar,pero esasminorías no puedenestardivorciadasdel medio socialque las sostieney que les 19
da su razón profunda de existencia,por tanto, no puedencontrapornerse y, menosaún,orientarel sistemaeducativopara seleccioambasformaciones nar a los integrantesde esasminoríascon abandonode los interesesmás generalesde la totalidad de la población escolar. La difusiónde valoresdemocráticos, de integraciónsocialy comunicadel mercadode trabajo son tambiénelementosclaves ción y las necesidades a teneren cuentaen la planihcacióny desarrollode las matemáticas escolares. El panoramageneraldescritoplantea unas modificacionesprofundasen el modo usual de enseñarmatemáticas.Los cambios afectan a múltiples dimensiones; asi el Profesorde Matemáticasse encuentracon que se han producidocambiosimportantesen lo que se consideraconocimientomatemático al destacarselas estrategiaspara la resoluciónde problemasy el conocimientode procedimientoscomo aspectoscon entidad propia; todo ello lleva necesariamente a una revisión y reorganizaciónde los contenidos. También se ha modificado el modo de trabajar en el aula; desdelas clases diseñadasúnicamentesobre leccionesmagistraleshasta llegar a la dinámica de gruposcon énfasisen la participación,elaboraciónde alternativaspropias,discusióny toma de decisiones razonadas,hay una gran distanciaque se estárecorriendoen el momentoactual.Finalmente,y condicionadopor los cambiosanteriores,estamosasistiendoa una revisióna fondo sobrela evaluacióndel aprendizajede los alumnos.La evaluacióndebeser orientadora y formativa antesque sumativay sancionadora,la evaluacióndebe y conceptoso la ejecución teneren cuentano sólo el dominio de definiciones más generales, include destrezas, sino que debecontemplarcompetencias yendo la actitud hacia la propia matemática.El modo de evaluación,los y las frnalidades, instrumentos, el modo de comunicarlosjuicios realizadosy su empleopara diagnosticarlas dificultadesen el aprendizaje,junto con las que pueden derivarsede las sucesivasevaluacionesparu la consecuencias promociónde los escolares, son otras tantas cuestionesabiertasaún en el de las matemáticas. campode la enseñanza que sederivande las necesidades Estasmodilicaciones, sociales, económicas y cientíhcasde nuestropaís,nos obligan-obligan a la comunidadde Profesoresde Matemáticas- a tomar una perspectivamás amplia y profunda de qué son y para qué sirvenlas matemáticasy qué papeldebendesempeñar en la formaciónde los jóvenes.Si hastael momentohan predominado los componentesinstructivosdel conocimientomatemático,cada vez se aprecia con mayor fuerza la insuficienciade ese planteamiento y se va tomando concienciade que la formación matemáticaes una dimensión De ahí que sehable de relevantede la educaciónde los niños y adolescentes. EducaciónMatemática,con una visión más integradorade las capacidades humanasque se desarrollanmediantelos procesosde aprendizajede las matemáticas. 20
sin embargo,en el momentoactual,nos encontramosque el profesorado responsable de llevar adelantetoda esta tarea no tiene,como colectivo,la formación adecuadapara ello. Hay profesoresen los que predomina la dimensióneducativageneralsobrelas competenciasespecíficas matemáticas; hay otros profesoresen los que el predominio en la transmisiónde conocimientosmatemáticosno permiteatendera los valoresformativosgenerales. Quizás sea este el momento de abandonarlos esquemasclásicosen la formacién del Profesoradoen nuestro paísy avanzarhaciaun nuevo modelo de profesor,el educadormatemático,en el que las componentes cientificas esténintegradascon una formación psicopedagógica sólida y una formación metodológicaadquirida en un período de prácticabien orientado y estructurado. Mantenerel sistemaactual suponeadmitir que hay educadoresque incidentalmenteenseñanunas matemáticascuya complejidadintelectuaiy didácticadesconocen, o bien que hay unos matemáticosque desciendená reiterar en el aula unas matemáticas aparentementetriviales de cuyo valor cultural, dihcultad cognitiva y proceso de aprendizajelo ignoran todo. El sistemaactual considerala educaciónmatemáticaal margende las profesiones para las que se necesitauna formaciónpropia diferenciada, más como una afición particular que como una necesidadsocial,y de ahí la poca entidadinstitucionalque se le concede. superar el marco clásicoen el que se ha venido contemprandola enseñanza de las matemáticasen nuestro país es uno de los retos que tiene planteadosno sólo la comunidad actual de profesoresde matemátiias sino, principalmentela administracióneducativay, en particular,la universidad como responsable de la formacióninicial del Profesorado.Sólo una revisión a fondo de las necesidades que se derivan de la comprensiónamplia y profundadel papelcultural que las matemáticas desempeñan puedeaportarnos el marco adecuado y los elementosde juicio suficientespara llevar adelanteestatareade revisióny reestructuración de la educaciónmatemática en nuestropaís.
r.4. ¿QUIENES CONSTITUIMOS LA COMUNIDAD DE EDUCADORES MATEMATICOS? Si bien la aceptación del predominio de los factores educativos que surgende la enseñanza de las matemáticas sobrelos meramenteinstructivos puede tener un origen y fundamentaciónideológico, no cabe duda que tambiénhay razonessociales,culturalesy económicasque avalanestaconsideración;igualmentehay una explicaciónracional de la mayor validez de esteplanteamiento,como hemos argumentadoanteriormente.Por ello es pertinenteplantearsela cuestiónde a quiénesafectanestasconsideraciones, 2l
quiénesde los profesoresde matemáticasdeben considerar su profesión desdeestaperspectiva. Entendemospor educador matemático a toda persona que pretende formar o instruir a. otra, u otras,mediantelas matemáticas,es decir,considera las matemáticas,en todo o en parte, como objeto de educaciónpara las personasa cuya formación y desarrollo está contribuyendo. Con nuestro planteamientono exento de aspectospolémicos,puede considerarseeducadormatemáticoa todo profesionalde la enseñanzacuyo objetivo es transmitir nuevos conocimientosmatemáticosa personasen formación. Dentro de esta población están comprendidos los profesores universitarios,aún cuando la materia que transmitan seade alta especialidd e incluso estéen procesode investigación.También consideramoseducadoresmatemáticosa los profesoresde Secundaria,tanto en la etapaobligatoria como en la postobligatoria;los profesoresde matemáticasde los actuales centrosde Bachillerato,Formación Profesionaly otras enseñanzas de segundo grado están,por derechopropio, dentro de nuestrapoblación.Igualmente, son educadoresmatemáticosla totalidad de profesoradode la Educación Preescolary EducaciónGeneralBásicaque esténimplicadosen la formación matemáticade los niños; en esta categoriaincluimos igualmenteal profesor correspondiente de la EducaciónPermanentede Adultos y de Educación Especial. No cabe duda de que las prioridadesy necesidades formativas son muy distintasen cada una de las etapaseducativascontempladas. En el nivel universitariopredominala formación en profundidad,el conocimientode la organizaciínactual y los resultadosavanzadosmás destacablesen cada una de las ramasde las matemáticas, así como los camposde investigación a los que los alumnosen formaciónpuedendedicarse,pero todo ello no excluyela dimensión humana y cultural de ese conocimiento sino que, más bien, le sirve de contrapunto crítico y de marco de referencia,permitiendo que el matemáticono se aleje del medio social e intelectual en el que, necesariamente,tiene que trabajar y al cual se debe. En los nivelesuniversitariostécnicos,escuelastécnicas,o bien en los dedicadosa estudiosde economíay estadísticao, más en general,en todos aquellosestudiosen los que las matemáticasconstituyenuna herramienta imprescindible,incluidasalgunasramasde Formación Profesional,la formación matemática que predomina es la que correspondea la matemática aplicada.En estoscasosno deberíantener tanta importanciael desarrollo teórico específicocuanto la capacidadpara emplearlos conceptosy procedim,ientosmatemáficosen la modelizaciónde fenómenosquepong;ande manihestolos elementoscuantitativos,figurativos y ló$icos,asi como las relaciones que se puedenestablecerentre ellos. Los modelosnos permiten establecer inferenciasy relacionesque nos llevan a determinadasconclusionessobre el modelo con lo que se puedepredecirel comportamientofuturo del fenó22
menomodelizadoy, por tanto,conjeturarlos cambiosque sevan a producir y las regularidadesque se van a mantener.En todo esteprocesohay igualmente una dimensióneducativaprofunda con la que no sólo se quiere mejorar la capacidadde pensamientoy el desarrollode la racionalidadde los estudiantessino tambiénla apreciacióny creaciónde belleza. En la EducaciónPreescolar,Primaria y Secundariapredominael carácter formativo y de desarrollo de capacidadeshumanasen el aprendizajede las matemáticas.La formación que han de lograr los alumnos de estos que debenadquirir han de ser parte de nivelesy las competenciasespecíficas un conocimientoútil y prácticoque no sólo contribuyaal desarrollointelectual de los niños y jóvenesen formación,sino que tambiénles sirva como factor de integraciónen su medio social y cultural y como elementode promociónpersonal. El profesorde matemáticas,en cualquierade sus niveles,se encuentra que interesanpor la dimensión con unascomponentes educativasrelevantes social del conocimientoque están transmitiendoy cuya consideraciónes importantepara la consecucióndel aprendizajede sus alumnosque es,en muchosprofesionales definitiva,la meta que sequiere alcanzar.Seguramente de la docencia,en cualquierade susniveles,puedentenerseriasreservascon bastantesde las afirmacionesque aquí hacemosen relacióncon las funciones que desempeñan las matemáticasdentrodel períodode la educaciónobligaformativasque tienenel toria y con el énfasispuestoen las características estudio y aprendizajede las matemáticasen las etapasno obligatorias del que todo profesionalde la ensesistemadocente.Sin embargo,entendemos fianza de las matemáticas,al plantearsehonestamentesu trabajo de formación y transmisiónde conocimientos, tieneen cuentay contemplasu acción profundamente actuación como una educativa,y por ello debequedarincluimatemáticos. Más aún,la conceptualizado en la comunidadde educadores ción de la EducaciónMatemáticano estarácompletahastaque los profesoresde todoslos nivelesno contemplende modo naturalsu trabajocomo una parte diferenciadade una gran tarea común. No es fácil delimitar en las Estadísticas Ohcialescuantosdocentesquedan comprendidos en nuestratipificacióndel educadormatemático'ytampoco es sencillodeterminaren muchoscasossi el contenidode la enseñanza se puedeconsideraro no prioritariamentematemático.De todos modos,aún cuando no podamoscuantificarcon precisióna nuestrapoblación,sí hay unos datosde referenciaque nos puedenservirpara determinarsu tamaño aproximado. en España,Nivelesno UniversitaSegúnla Estadísticade la Enseñanza rios, del Curso 85-86 (MEC-1988),los Profesoresde los distintos niveles privada como pública,fueron: docentes,tanto de la enseñanza
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Tabla 5
Tambiénes ilustrativoconocerla poblaciónescolara la que atendieron duranteel mencionadocurso 85-86. esosprofesores,
Niueles Docentes
Total Profesores
EducaciónPreescolar EducaciónGeneral Básica 1.oy 2." Ciclos EducaciónGeneralBásica3.'Ciclo EducaciónPermanenteAdultos EducaciónEspecial BacilleratoUnificadoPolivalentey COU Formación Profesional
39 573 ll7 807 75638 3 341 11464 75 550 49 408
Tabla 7 NiuelesDocentes
Alumnosmatriculados | 127348 5594285 1238874 738340
EducaciónPreescolar EducaciónGeneralBásica Bachilleratoy COU Formación Profesional Total
Evidentemente,no todos los Profesorescomputadosson educadoresmatemáticosya que no contemplanlas matemáticas como áreade formacióno conocimientoa cuya transmisióntenganque contribuir. cada una de las poblacionesanteriorespodemosmultiplicarlapor un coeficientede reducción, estimadoa la baja, que nos permita tener una aproximacióndel profesoradoimplicadoen enseñanza de matemáticas --{esde los nivelesmás elementales hastalos más superiores.Obtenemosasí la siguientetabla: Tabla 6 Niueles Docentes
EducaciónPreescolar EducaciónGeneral BásicaLo y 2.'Ciclo EducaciónGeneral Básica3." Ciclo EducaciónPermanente Adultos EducaciónEspecial BachilleratoUnificado Polivalentey COU Formación Profesional Total
Total Prof.
Coeficiente
Total Estimado
39 s73
50%
18786
Lt7 807
750
88355
75 638
25 o/o
18909
3 341 tt 454
25 o/o 25 Vo
835 2826
75550 49 408
l0 0Á l0 o/o
7 555 4940
372781
r42206
8 698847
Si dividimos el total de alumnos matriculadosentre el total estimadode educadoresmatemáticos,tenemosun total de 16 educadoresmatemáticos por cada 1 000 alumnoscomo indice aproximadode atencióna la Educación Matemática por parte del Sistema Escolar no Universitario en España, duranteel Curso 85-86. Estosdatosnos permitenteneruna primeramedidapero no sirvenpara conocercuántosalumnospor término medio atiendeun profesorde matemáticas,ya que los profesoresde primaria dan clasea un sólo grupo mientras que los de secundariaatiendena tres o cuatro grupos;también hay que teneren cuentaque en algunoscursosde secundariay COU no sedan clases de matemáticas. No conocemosdatos de otros países,pero convieneque comencemosa comparar cuál esel grado de prestaciónque nuestrasociedadproporciona a en nuestro campo de trabajo en relación con lo que se niños y adolescentes haceen los paísesavanzados,y cuál esla evoluciónque seha experimentado en los útimos años. de niveles A los datosde la tabla 8 hay que añadir los 1 571 Profesores en la tabla 3. Aunquelos datossehan obtenido Universitariosconsiderados de Cursosdiferentes,la cifra global siguesiendoun dato de referenciacomo estimacióna la baja del total de Profesoresque intervieneen la Educación estacifra segúnla titulaciónmíniMatemáticaen nuestropaís.Desglosando ma del profesoradotenemos: Tabla 8
Los datostotalesestimadosnos dicenque un 38 por 100del profesorado de los nivelesno universitarioscontempladostienencompetenciaen la educaciónmatemáticade nuestrosniñosy jóvenes,constituyendouna población de, al menos,142000 personas. 24
Educadoresmatemáticos* l,t4 000
Diplomados 130000
Licenciados 14000
* Los datos procedendel Curso 85-86para nivelesno universitariosy del curso 88-89para nivelesuniversitarios.
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Dadaslas consideraciones realizadascon anterioridadsobrela formación inicial de los Diplomados, y Licenciados en relación con la Educación Matemáticavemosque, por su composición,nuestracomunidadestápoco equilibradaya que constade un bloque principal (90 por 100)de profesores diplomadosencargadosde transmitir los conceptosy procedimientosbásicos inicialesde las matemáticasa los niños y adolescentes, y de un bloque de licenciadosuniversitarios (10 por 100) que realizará una formación más profunda pero más selectivasobre los jóvenes. La escasezde conexiones entre ambos niveles de profesores,la carencia de una formación inicial común,la ausenciade planesde trabajo conjuntos,la contraposiciónartificial de intereses, han mantenidoa lo largo de los últimos añosuna suspicacia, cuandono una ignoranciamutua, que no son beneficiosas en absoluto. Dos son los mediostradicionalmenteutilizadospara estructurara las comunidadesy colectivosprofesionales: el movimientoasociativoy la creación y sostenimientode mediospropios de comunicacióninterprofesional. veamoscuálesson los antecedentes y perspectivasde nuestracomunidaden estosdos aspectos.
I.5. MOVIMIENTO INTERNACIONAL DE SOCIEDADES Y COMISIONES DE PROFF,SORESDE MATEMATICAS: PERSPECTIVA HISTORICA El caráctercorporativo de la profesióndocentese observacon claridad en la organización de sociedadesde Profesoresde Matemáticas y en la existenciade ComisionesInternacionales que aglutinana los miembrosde la profesión;a continuaciónsepresentauna síntesisde estemovimiento organizativo en los últimos cien años, distinguiendo dos grandes períodos: el primero comprendedesdela fundaciónde la primera Sociedadde profesores de Matemáticas,en 1871,hasta la SegundaGuerra Mundial; el segundo, desde el final de esta guerra hasta la celebracióndel primer congreso Internacionalde la <
f.5.1. Desde1870hesta la SegundaGuerra Mundial Fundaciónde asociacionesprofesionales for the Improvement En el Reino Unido sefunda en 1871la <. una revistaque conteníaartículospara mejorarla enseñanmaticalGazzete>> za de las Matemáticas,esta revistase continúa publicandohasta nuestros días(Howsony otros, 1981). prolesionales Siguiendoel ejemplode la A.I.G.T. aparecenasociaciones en otros países;en los Estados Unidos de América hay que señalarel N.C.T.M. (),fundado en continúahasta 1908;su publicaciónperiódicar, la fecha. Además,E. H. Moore, destacadomatemático,aboga por una reforma,D. E. Smith pregonael establecimientode una disciplina de educación matemáticay Halstedescribeun tratado de geometríaelementalbasada no en los Elementosde Euclidessino en los de on Arithmetic>,en la Hilbert. En 1922,Thorndike publica su >, la enseñanzade las Matemáticas;a comienzosde siglo,graciasa la intervención de estaasociaciónse transformaronlos programasen Italia. A esta transformaciónayudaron también las opinionesde tres grandesmatemáticos, Volterra, Enriques y Castelnuovo,en el sentido de que se debería reflexionarsobre qué fines de la enseñanzade las Matemáticasdebían proen contraposicióna las direcponersepara formar las nuevasgeneraciones, trices ministeriales,segúnlas cualeslas Matemáticasno debenconsiderarse en sí como conocimientoaplicable a la vida, sino como un medio cultural intelectual,como una gimnasiadel pensamiento(E. Castelnuovo,l97O). de MathémadesProfesseurs En Francia,en 1910secreala 0'A.P.M.E.P.),agrupandofundamentaltiques de I'enseignement del secundario,a los que seincorporaron posteriormente mentea enseñantes profesoresde la enseñanzasecundariatécnica;en sus primeros años esta 27
Asociaciónsededicaa cuestiones relacionadas con los cambiosde programa (Walusinski,1986). Las asociaciones profesionales fueronduranteestaépocaresponsables de las mejorasen educaciónalentandoy proporcionandomediospara el cambio hacia nuevasideas. La C.I.E.M.: 1908-1945 La ideade crearuna ComisiónInternacionalsobreEducaciónMatemática,fue sugeridapor primeravezpor el americanoD.E. Smith en 1905,en la revista; estaComisiónse constituyóen el IV congresoInternacionalde Matemáticosque secelebróen Romaen abril de 1908,siendodesignadacomo ComissionInternationalede l'Enseignement Mathématique(C.I.E.M.);actualmenteesta Comisión se designapor sus siglasen inglés:I.C.M.I. Las razonesde su creaciónhay que encontrarlasen la expansiónde los sistemaseducativosde los paísesmás importantesde Europa Occidentaly Norteamérica,en la aparición de nuevastecnologíasque exigíannuevos planteamientoseducativosy en el esfuerzollevado a cabo por algunos innovadoresde prestigio,como Klein en Alemania y Perry en el Reino Unido, para renovarel curriculumde Matemáticasen la enseñanza secundarta. Howson (1984)describeel origen, historia, trabajos y metas de esta Comisiónal cumplirsesu setentay cinco aniversario.Asi, la Comisióntuvo su primera reunión en Colonia en septiembrede 1908;en esta reunión asistieronen calidad de países diecinuevenaciones,de las que diecisieteeran europeas,entreellos España,ademásde Japóny U.S.A.; tambiénhabía trecepaisesen calidadde . En su conferenciade Roma, en 1908,Smith había lanzado una seriede que aún hoy despuésde ochentaaños son de plena actualidad. cuestiones, Por ejemplo: - <¿Cuáles han sido los resultadosde los intentosde romperla barrera que separanlos temasde álgebray geometría,o de enseñarambas simultáneamente? en estamate¿Sehan preparadorecomendaciones ria?>. - <¿Quéposiciónse debe tomar en la enseñanzaSecundariasobre la naturalezade las aplicacionesy la relación entre matemáticapura y aplicada?>. - .
El mayor trabajode la Comisiónduranteesosañosfue la preparaciónde un vasto informe sobrela prácticade la enseñanza en los paísesmienbros; cada uno de éstos nombraba una subcomisiónque preparabainformes nacionales. Había un segundotipo de trabajosque era llevadoa cabo por el propio Comité Internacionalde la C.I.E.M. que consistíaen el estudiocomparado puntuales;éstasfueron: de cuestiones -En Milán (1911):matemáticasque se debenenseñara los estudiantes de CienciasFísicasy Naturales.Lugar del rigor en la enseñanza de las Matemática.Integraciónde las diferentesramasde las Matemáticas en la enseñanza secundaria. - En Cambridge(1912):la preparaciónmatemáticade los fisicosen la Universidad.Intuición y esperimentación en la enseñanza de las Matemáticasen el secundario. - En París(19L4):los resultadosobtenidosen la introduccióndel cálculo diferenciale integral en el secundariosuperior.La preparación matemáticade los ingenierosen los diferentespaíses. Schubring(1987)señalacomo evidenteen esta lista que los temasque que proclamabala Comisión estánde acuerdocon las intenciones< son una minoría, siendo mayoría los concernientes a las relacionesentre EducaciónSecundariay Superior o exclusivamente sobre EducaciónSuperior; los dos temasde París son ademáslos más ampliamentey mejor tratados.La impresiónque se sacaes que estosdos asuntosestáníntimamente relacionadoscon las verdaderasintencionesde la reforma,bajo la direcciónde F. Klein auténticolider carismáticode la C.I.E.M. En seis años la Comisión había llevado a cabo un inmenso trabajo identificandocuestionesclavesy comenzandoa recogerdatos sobre ellas; desdenuestraperspectivaseobservaque estostrabajosiban más encaminados hacia los distintosmodos de presentaciónde la materiateniendopoca los aspectospsicológicosdel aprendizajede las matemáticas. consideración El comienzode la PrimeraGuerra Mundial puso fin a esteperíodotan productivo;hay que esperara 1928para que la Comisiónsereestablezca. El período entre las dos guerrasmundialeses una épocapoco florecientepara la I.C.M.I.;hay una gran recesióneconómicay no son momentospropicios para la expansióneducativay las políticasinnovadoras.La Comisiónentró en estadode coma del que cometuaráa recuperarsedespuésde la Segunda Guerra Mundial.
Estasy otras cuestiones generales se discutieronen la reunionescelebrada entrela de Colonia en 1908y la de Parísen 1914. 28
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1.5.2. De la Segunda Guerra Mundial a 1970 La C.I.E.A.E.M. Despuésde la Segunda Guerra Mundial la I.C.M.I. que se había desligado de la asociación de matemáticos,se convertiría en 1952,en una secciónde la Unión Matemática Internacional, I.M.U. (International Mathematical Union). Se sentia la necesidadde crear una comisión más ágil, en la que participarán además de matemáticos otras personasinteresadasen Educación Matemática, en particular psicólogos y pedagogos.Efectivamente,la rápida expansión de la educación secundaria,con el proceso de democratización que se produce al finalizar la Segunda Guerra Mundial, plantea nuevos problemas en la enseñanza de las Matemáticas que rebasan el ámbito de los matemáticos, exigiendo la colaboración de otros profesionales. Así, en 1950 se crea la (C.LE.A.E.M.), fundada por el matemático francés G. Choquet, el psicólogo suizo J. Piaget y el pedagogo C. Gattegno, ciudadano británico. Alrededor de ellos se agruparon colegas ingleses, belgas, franceses,italianos, suizos y españoles, como F. Fletcher, G. Papy, E. Castelnuovo, W. Servais,J. L. Nicolet, P. Puig Adam. En el acta fundacional (citada en J. Piaget y otros, 1955)se expresabalo siguiente: . En esta declaración de intenciones,se continuaba diciendo que, dado que la enseñanzade las Matemáticas se planteaba en términos que rebasabanlas fronteras, era necesario: a) Crear equipos internacionales de investigadores. b) Organizar reuniones regulares a efectos de coordinación. c) Difundir los resultados. 4 Encontrar técnicas de coordinación entre los conocimientos procedentes de las distintas ciencias. e) Buscar vías de coordinación entre los profesores procedentesde los distintos niveles de enseñanza.
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sus tareas,la C.I.E.A.E.M.organizabasePara realizaradecuadamente con una duraciónde una o dos semanasen los que minariosinternacionales se trataba un tema monográfico. El mérito de la C.I.E.A.E.M.en estosañosfue insistirsobrela prácticade que generalos problemaspedagógicos atacandoefectivamente la enseñanza, ba dicha práctica(Walusinski,1986). Entre las iniciativasde la Comisión en aquellaépoca se encuentrala fundación en 1952en Gran Bretaña de la , en Francia,graciasa la iniciativade G. Choquet,la matiqueet Pedagogie; para enseñantes en SocietéMathématiquede Franceorganizóconferencias colaboracióncon I'A.P.M.E.P.durantelos cursosacadémicos55-56y 56-57. des mathématiques> La Comisión publicó dos libros l'enseignement des (1955)y matemáticoen el diversosespecialistas, que se habíanpuestoesperanzas como nuevo materialen aquellosmomentos;pero concedegran importanciaa la primeraparte de la obra, en la que se tratan cuestionesrelacionadascon la actividadmatemáticadel alumno pedagógico(E. desdesusaspectopsicológico(Gattegno),filosóhco(Servais), Castelnuovo). en los EstadosUnidos Mouimientosrenouadores Tambiénen la décadade los 50 seinicia un movimientorenovadoren los EstadosUnidos de América.SegúnM. Kline (1973)cuando los Estados Unidos entraronen la SegundaGuerra Mundial los militaresconstataronla deficientepreparaciónmatemáticade los soldados,teniendoque organizar cursospara elevarel nivel de sus conocimientos.Despuésde la guerra se hincapiéen la renovación intentócorregirestamala preparación,haciéndose secundaria. de los programasen la enseñanza el primer proyecKline (1973)y Howson(1979)señalanque posiblemente al to de desarrollocurricular en Matemáticascorresponde (U.I.C.S.M.)creadoen 1952por Max Beberman. Hay que mencionar también el esfuerzo realizado por la para redactarun nuevocurriculo para la enseñanza secundariacon la creación del (S.M.S.G.) dirigidopor E. G. Begle.
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El Coloquio de Royaumont En noviembre de 1959 la (O.E.C.E.), la actual O.C.D.E., organní un Seminario de diez días en Royaumont (Francia) que será conocido con el nombre de Coloquio de Royaumont. Estuvo presidido por M. H. Stone, de la Universidad de Chicago participando en el mismo unos setenta profesores de una veintena de países(M. Sierra, 1990).Los trabajos se agruparon en tres secciones:Nuevas concepcionesen el campo de las matemáticas. Nuevas concepcionesde la enseñanzade las matemáticas. Problemas de ejecución de las reformas. Howson y otros (1981)consideran que la conferenciapronunciada por J. Dieudonné ha sido determinante en la enseñanzade las matemáticas,puesto que en ella esbozó un nuevo programa para secundaria, presidido por el espíritu del estructuralismo bourbakista; esto fue mucho más importante que el histórico ¡Abajo Euclides! latrzado en la misma conferencia. A continuación del Coloquio de Royaumont, un grupo de expertos se reunió en Dubrownik (Yugoslavia) en el verano de 1960 durante cuatro semanas, también bajo los auspicios de la O.E.C.E.; en esta reunión se eleboró un programa para la enseñanza secundaria así como unas líneas metodológicas para su desarrollo; se encuentra recogido en la publicación de la O.E.C.E.: . Durante la década de los 70 el movimiento reformador, las llamadas se extiende por el mundo: en Bélgica con G. Papy, en Canadá con Z. P. Dienes, en Polonia con A. Krigowska, en Gran Bretaña con Fletcher, en Francia con Dieudonné, Choquet, Revuz, etc., en España con Abellanas, etc. El cambio de rumbo se inicia en el Segundo Congreso Internacional de la I.C.M.I. celebrado en Exeter y se consolida en el Tercer Congreso Internacional, en 1979, en Karlsruhe (R.F.A.).
La I.C.M.I. despuésde la Segunda Guerra Mundial A partir de 1952la I.C.M.I. vuelve a resurgir como una subcomisión de la (LM.U.) con la participación, ahora, de 27 países;el esquemaseguido en los primeros años de su renacimiento fue el mismo que el de antes de la Segunda Guerra Mundial aunque ahora el acento está puesto en el papel de la matemáticas en el mundo actual. Los temas tratados o propuestos fueron los siguientes; -
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Amsterdam (1954):el papel de las matemáticas y de los matemáticos en el mundo actual. Instruccion matemática para los estudiantesde 16 a 21 años. Ginebra (1955):continuación del tema de Amsterdam sobre el papel de las matemáticas y matemáticos en el mundo actual. Enseñanzade las matemáticas hasta los quince años. Bases científicas de las mate-
máticas en la enseñanzasecundaria y la preparación científica de los profesoresde la enseñanzasecundaria. Precisamenteen la reunión de Ginebra destacó la intervención de Freudenthal que propuso un giro de la Comisión en el sentido de que debería pasar del nivel descriptivo-comparativo que habia tenido hasta entonces a promover estudios e investigacionescomo por ejemplo: necesidad de una preliminar aproximación intuitiva a la enseñanzade la geometría; la ayuda que la psicología puede prestar en las primeras etapas del aprendizaje y enseñanzade las matemáticas;importancia de la enseñanzade la geometría; la lógica y la enseñanzade las matemáticas.(Desforge,1955).Según Howson (1984) la reunión de Ginebra, aunque no tuvo un impacto inmediato en la Comisión, fue muy importante al sembrar la semilla de futuros cambios. En 1959 tuvo lugar el Coloquio de Royaumont al que nos hemos referido en otro punto; aunque no fue organizado por la LC.M.I., tanto su presidente M. H. Stone como otros de sus miembros destacadosestuvieron presentesen el mismo; no sorprende por tanto que en los siguientes Congresos de la I.M.U. en Estocolmo (1962)y Moscú (1966)la I.C.M.I. dedicara la mayor parte del tiempo a la
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1.6. MOVIMIENTO DE PROFESORES Y SOCIEDADES DE EDUCACION MATEMATICA EN ESPAÑA 1.6.1. Antecedentes históricos:1900-1970 Aunque Españaparticipó desdesu fundaciónen la I.C.M.I., sin embargo, movimiento reformista de comienzosde siglo no tiene repercusiónen el nuestro país posiblementeporque la estructurasocial,política y académica no propiciaba un clima adecuadopara haceruna reformade la enseñanzade las matemáticas. Así, Schubring(1987)al clasificara los paísesque integraban la LC.M.I. por su grado de actividadreformistaantesde comenzarla SegundaGuerra Mundial, sitúa a Españadentro del grupo caracterizado por su falta de interésen estemovimiento;inclusoindica que habíamenos actividaden Españaque en algunasde susúltimascolonias. Españapermanecióal margende estemovimiento,entre otras razones aún pendientes de analizaren un estudiomásprofundo,por el bajo nivel de la Matemáticaespañolacomo ciencia.Este bajo nivel fue denunciadopor Rey Pastor en su discursode ingreso en la Real Academiade Ciencias Exactas,Fisicasy Naturales,el dia 14de noviembrede 1920(S.Ríosy otros, 1979).En estediscursopresentaun panoramade una actividad matemática ancladaen el pasado,de tal modo que la matemáticade la segundamitad del siglo xx, la de Riemann,Klein, Poincaré,Cantor, etc.,era desconocidaen la docenciae investigaciónuniversitaria,permaneciendolimitada al Cálculo Infinitesimalcomo la más alta cuestiónaccesiblea la Matemática universitaria. Rey Pastor señalóen su discursolas enormestrabasque encontróen los mediosuniversitariosal tratar de conseguirautorizaciónpara que,al margen del cuadro de enseñanzas oficiales,pudiesenñgurar cursoslibres de Análisis y Geometría.Este era el estadode la matemáticaespañolaen esasépocas, por lo que difícilmentesepodía esperaruna actitud receptivacon los movimientosrenovadores en educaciónmatemática.Sin embargo,segúnS. Ríosy otros (1979),graciasa la labor de Rey Pastorse puedeasegurarque en los con añostreintaexisteya en Españauna culturamatemáticacontemporánea aportacionesoriginalesa nivel europeo,ya que Rey Pastor y susdiscípulos directoso indirectospublicantrabajosimportantesen las principalesRevistas internacionales; estoseva a traducirtambiénen el campode la enseñangraciasesencialmente a la labor de za de las Matemáticasa nivel secundario, un discípulode ReyPastor,PedroPuig Adam,duranteel períodosiguientea la Guerra Civil Española. En la épocaque estamosconsiderando, apareceninstitucionesque,aunque no dedicadasespecíficamente a la educaciónmatemática,van a emplear una parcela de su actividad en este campo, produciendoen algunos casos excelentes resultados;de estemodo, debemosmencionarel Instituto-Escuela, la Escuelade Estudios Superioresdel Magisterio, EscuelaNormales y la 34
secciónde Pedagogíade la Facultad de Filosofía de la universidad central. El Instituto-Escuelade Madrid (1918-1936) pretendíacontribuir a la formación del futuro profesorado admitiendo estudiantesque estaban siguiendoestudiosen las Facultadesde Filosolia y Letras y en la de ciencias; se trataba de abordar de un modo nuevo la preparacióndel profesorado,ya que ésta se hacía en la práctica misma de las enseñanzas. La preparación comprendía:a) Prácticasen el Instituto-Escuela,b) Preparacióncientíhca,c) Estudiospedagógicos y filosóhcos.Se organizabaen dos períodos:uno en Españacon un plazo mínimo de dos años,y otro en el extranjerodurante un año, para los aspirantesmás cualificados. La EscuelaSuperiordel Magisterio(o Escuelade EstudiosSuperiores del Magisterio)(1909-1932) fue puestaen marchapor la JuntaCentralde primera Enseñanza, siendosu misiónla de formar Profesores de EscuelasNormalese Inspectores de PrimeraEnseñanza. Lo que nos interesaresaltaraquí es que en ella seformaron excelentesprofesoresque elevaronel nivel científico y pedagógicode las Normales (Ruiz Berrio, 1979;Escolano,1982);estos profesores seaglutinaronen torno a la Asociaciónde Profesores Numerarios de EscuelasNormalescon su Revistade EscuelasNormalesque durantela épocade la dictadura de Primo de Rivera y de la Repúblicareflejóla vida de estoscentrosy el movimiento nacionale internacionalsobrela formación del profesorado,postulando para el casoespañolun nivel universitario;precisamente,el Editorial del número 83 de la Revistalleva por título (El triunfo de nuestraAsociación),refiriéndoseal nuevo Plan de Estudiosde 1931,que colocó a las Normales españolasen situación avanzadaa la altura de las innovacionesalemanas(Molero Pintado,1987).En esteplan de estudios,el programade la asignaturaMetodologíade las Matemáticascomprendedos partes:la primera abarcalos estudiosde la psicologíadel niño respectodel aprendizajede las Matemáticasy cuestiones fundamentales de Metodología como Objeto, Valor educativoy utilitario de las Matemáticas,Caracreres propios de la Matemática,Caracteresgeneralesde su enseñanza. La segunda parte estádedicadaal estudiode la Didácticaespecífica y de los programas escolares; asimismoincluyecuestiones sobrela Historia de la Matemáticas. Además,como complementode las clasesde Metodología los alumnos debían realizar prácticasdocentesen las EscuelasAnejas dirigidas por los profesores de la Normal de susrespectivas materias,quienestomaríanparticipación activa en el trabajo escolar.El plan de estudiosdel 31 formó maestrosen Matemáticasy en las demásramasdel saber,con un excelentes prestigioreconocidopor toda la comunidadeducativaespañola. La Secciónde Pedagogíade la Facultad de Filosofia y Letras de Madrid (1932-1936) elaboróel primer plan sistemáticode formaciónde profesoresde SegundaEnseñanza(Ruiz Berrio, 1980).A estaformación estabadedicadoel Certificadode EstudiosPedagógicosy su propósito era habilitar a los licenciadosen Filosofia y Letras o en ciencias para optar a cátedras de Instituto
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de SegundaEnseñanzao EscuelasNormales.Este intento quedófrustrado por la Guerra Civil. La GuerraCivil (1936-1939) supusouna ruptura con la políticaeducativa llevadaa cabopor la República.Despuésde unosañosde provisionalidad, la Ley de Enseñanza Primariade 1945y laLey de Ordenaciónde la Enseñanza Media de 1953constituyeronel ordenamientolegal del nuevo régimenen materia educativa.A partir de 1945se inician intentos de añadir a la formación cientíhcadel profesoradoestatalde EnseñanzaMedia una formación y asíentreeseaño y 1953secelebranReunionesPedagógicas pedagógica en la Universidadde Veranode Santander. En estaépocabrilla con luz propia en la educaciónmatemáticala frgura de D. PedroPuig Adam (1900-1960); no esnuestraintenciónhaceraquí una reseñade la vida y obra de Puig Adam, que se puedeencontraren otros lugares,D. Rodríguez(1960), J. R. Pascual(1960),J. FernándezBiarge(1985); lo que queremosresaltares que con Puig Adam, como miembro de la C.LE.A.E.M.,seinicia un periodomuy fecundode relaciones con los artílices y gruposde las más avanzadaideassobrela Didácticade la Matemáticaen los años 50,con los Gattegno,Fletcher,Servais,Castelnuovo,etc.Nombrado en 1955para dirigir la Secciónde Didácticade la Matemáticadel Centro de OrientaciónDidáctica(C.O.D.)del Ministerio de Educacióny Ciencia, promovió hasta su muerte,en 1960,numerosasReunionesde Catedráticos de Matemáticasde EnseñanzaMedia, destacandotambiénsu enormepreocupaciónante la falta de profesoradocualificadopara impartir estamateria, ya que solamenteun 20 por 100del profesoradoque enseñabamatemáticas era licenciadoen estadisciplina. Se debe a Puig Adam el haber traído a Españala XI Reunión Internacionalde la C.I.E.A.E.M.,celebradaen Madrid en abril de 1957aportando a la mismauna exposiciónde materialdidácticopara cuarentaleccionesde didácticascorresponcarácterheurístico,con explicaciónde las experiencias dientes.Escribió obrascuyo auténticovalor seestáempezandoa redescubrir; así,DidácticaMatemáticaEurística(1956);El materialdidácticomatemático actual (1960);Decálogode la actual(1958);La matemáticay su enseñanza Didáctica MatemáticaMedia (1955).En estasobras trató de plasmarsus ideas sobre la enseñanzade las matemáticas,como la primacía del acto de la necesidad de la accióndel niño en el proceso aprendersobreel de enseñar; la concepciónde la la enseñanza no sólo activasino heurística; de enseñanza; matemáticacomo una actividadpensanteen eternaproducción. A comienzosde 1962se constituyó en el senodel Centro de Orientación Didáctica,la en el Bachillerato:reuniones.cursillos.etc.. 36
giran alrededor de esta tendencia; este movimiento culminaría, una vzz aprobada laLey General de Educación de 1970,en las Nuevas Orientaciones Pedagógicaspara la E.G.B. y los Nuevos Cuestionarios para Bachillerato.
1.6.2. Antecedentesy actualidad de la Educación Matemática en España (1971-1991) La necesidadde proporcionar una buena preparación al Profesorado de E.G.B. y Bachillerato para desarrollar los nuevos cuestionariosbasadosen la matemática moderna y mejorar el aprendizaje de los alumnos sobre la base de estos nuevos contenidos reactivaron el interés por la Didáctica y por sus potencialidades de actuación. Durante un tiempo se interpretaron los estudios de Piaget como una justificación para estudiar el álgebra de Boole de las partes de un conjunto desde los niveles más elementales,ya que esta estructura resumía el pensamiento lógico del niño. Un desarrollo de las nociones iniciales del álgebra lineal y el estudio de la geometría a partir de esasnociones eran la versión obligatoria en el Bachillerato. Las estructuras algebraicas invadieron los cuestionarios de matemáticas de todos los niveles. Durante estos años se trabajó intensamenteen articular la enseñanzade según los Programas Renovados de la L.G.E. del año 70 y se Matemáticas las tardó bastante tiempo en determinar los errores de planteamiento que subyacian en el currículo de las matemáticas modernas. Por una parte la idea de que las matemáticas de la enseñanzaobligatoria debían responder al nivel de conocimientos del siglo xx. Esto justificaba la fundamentación en una teoría intuitiva de conjuntos; una sustitución de la geometría elemental por el álgebra lineal y los espacios afin, métrico y euclídeo;un énfasiscasi exclusivo en los aspectosestructuralesde los conjuntos numéricos, las magnitudes y las sucesionesy funciones.Todo esto derivó en un olvido considerablede la aplicación práctica y la resolución de problemas, que dieron una imagen de artificialidad cultivada al conocimiento matemático escolar. Por otra parte, la falsa idea de que el desarrollo evolutivo de los niños y adolescentes permitía establecer una secuencia natural en el aprendizaje de las estructuras matemáticas, que había que respetar y eue, siguiéndola, llevaría a cada alumno a dominar los contenidos matemáticos tal y como éstos se expresan formalmente, llevaron a una metodología que intentaba fundamentarse en el establecimiento de etapas y estadios, cada uno de los cuales pudiese caracterizarsepor unos conocimientos matemáticos específicos. La insuficiencia de tales planteamientos fue puesta de manifiesto en la práctica escolar cotidiana y refrendada por investigacionesposteriores' La
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implantación de este nuevo currículo no fue sencilla y su puesta en práctica demasiado precipitada en sus comienzos,de manera que muchos profesores tuvieron que ir estudiando los nuevos contenidos casi en simultáneo con sus alumnos en los primeros años. Pero la transformación se realizó y, al cabo de un par de cursos, los profesoresimpartían con soltura los nuevos programas. Esto obligó a una tarea, compartida por bastantes profesores,de preparación en cursos y cursillos seguidos de reuniones, debates, elaboración y discusión de materiales y, en general, una cantidad de horas de trabajo que provocaron una actualización de contenidos y metodologia para el profesorado de matemáticas.Hecha la transformación se comenzaron a apreciar los numerososfallos que fundamentaban los nuevos programas y las implicaciones e inconvenientesque se derivaban del mismo. La tensión a la que se había sometido al Profesorado produjo una reacción de rechazo a las (1973)y > ianza de las Matemáticas>, éste último dirigido por los profesoresGeorge y Julia Matthews. Transformado el C.E.N.I.D.E. en Instituto Nacional de Cienciasde la Educación Q.N.C.I.E.) se continúan celebrando reuniones nacionalescon motivo de presentary discutir los Proyectos de Investigaciónaprobados con cargo a los Planes de Investigación Educativa. A mediados de los 70 ya se conocen múltiples críticas al currículo de las nuevas matemáticas y se tiene conciencia de que no es el camino adecuado. Hay un intento de vuelta a lo básico, sin que, por otra parte, exista una fundamentación sólida en las teorías del aprendizaje que permita desarrollar unos nuevos programas, perdiendo así la base psicologíca que tanto habia ayudado a promocionar a las matemáticas modernas. Pero ya el ambiente social y educativo de mediados de los 70 no admite solucionesanteriores a la L.G.E. del 70. Los Profesores han aprendido a reunirse, a trabajar, a discutir, a plantearse y buscar soluciones a sus propios problemas. En esta época podemos datar la contribución de la mayor parte de los Grupos de renovación en Educación Matemática en nuetro pais. Estos grupos actuaron en torno a un proyecto propio, impulsados por alguien con mayor personalidad o carácter, pero con un esquemade trabajo de grupo, y con poca o nula ayuda institucional en sus comienzos; se sostuvieron por la certezamoral de que la tarea emprendida era importante y necesana. Levantar el plano de todos los grupos que surgieron en esta época en el campo de la Educación Matemática es una tarea aún no realizada,por ello nombrar a algunos supone olvidar a la mayoría, no obstante podemos
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señalarque a mediadosde los 70 teníanya un espaciocreadoy una producción propia el Grupo Zero de Barcelona,el Grupo Cero de Valencia,el matemáticosagrupados Equipo Granada-Matsde Granada,los educadores en torno a RosaSensat,que continuarontrabajandoy procluciendotoda la décadade los 80. Otros gruposse constituyena finalesde los 70 o comienzosde los 80 y comienzanuna producción y trayectoriapropia. Entre ellos tenemosel Grupo Beta de Badajoz,el grupo Gaussde Salamancay el Grupo Azarquiel de Madrid. Por esta misma época hay otros grupos que enfocanlas tareas del educadormatemáticodesdeuna perspectivamás amplia y ven la necesidad de Matemáticascon las que abordar de Profesores de constituirSociedades un campode trabajoque seva volviendocadavezmáscomplejo.Algunosde entre las que estos grupos se disuelveny pasan a constituir sociedades, de Matemáticas (1981) y Profesores de Matemáticas (1981), de la Asociación de Profesores en 1988 con esta última fusionada les> Matemáticasde Andalucía,bajola denominaciónde SociedadAndaluzade EducaciónMatemática. En los EstasSociedades seplanteanobjetivosgenéricosmuy semejantes. susfinesdel Estatutosde la S.A.E.M.Thales(1988),encontramosenunciados siguientemodo: . igual carácter de compartir de mediosy la necesidad de fines,la escasez La coincidencia de informacióny organizaractividadescomunesplanteana las Sociedades Profesores,todas ellas de ámbito territorial autonómico,la necesidadde constituiruna federacióny dar carácterformal y regulara todaslas reunioque se estabanrealizandode hecho. nes y coordinaciones A comienzosdel 89 se elaborany presentanlos estatutosde la Federade Matemáticas. de Profesores ción Españolade Sociedades En la actualidadla Federaciónestá constituidapor nueveSociedades: Navarra,Extremeña,MadriAndaluza,Aragonesa,Canaria,Castellonenca,
DiSlRil'At. uNlvtRSiDAD jr5 ' tE-cf*t"J
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leña,Gallegay Alicantina,y su objetivofundamentalexplícitoes la mejora de la enseñanzay aprendizajede las matemáticas.El número de miembros de los que constala federaciónes,aproximadamente, de 2750,distribuidos como sigue: Tabla 9 Sociedad
Andaluza Canaria Aragonesa Navarra Castellonenca Madrileña Extremeña Gallega Alicantina
Número de socios.
l25O 670 g0 150 150 150 100 100 100
La fuerzadel movimientoasociativoespañolen educaciónmatemática comienzaa ser apreciadafuerade nuestrafronteras.por un lado, la participación de profesoresespañolesen congresosy reunionesinternacionales comienzana ser destacable. un punto de inflexiónse consigueen lggg en Budapest,en el vI I.C.M.I. A mediadosde 1990el catedráticode Análisis MatemáticoMiguel de Guzmán es elegidopresidentedel LC.M.I. por un períodode cuatroaños,lo que suponeun espaldarazo moral a la comunidad españolade educaciónmatemática. La cuota de responsabilidadde los educadoresespañolestambién la encontramosen el P.M.E.y la G.I.E.A.E.M.,en cuyosgruposdirectivoshay, igualmente,profesoresespañoles. Esta participaciónse continúacon la présenciaen congresos,simposiosy jornadas de todos los niveles,y ,. hu.. usual la presenciaactiva de profesoresespañolesen estasreuniones,con intervenciones muy dignase integraciónnaturalen los gruposde trabajo ya constituidos. Dos buenosresúmenes de los antecedentes y clavesdel momentoactual los puedeencontrarel lector en las conferencias de los profesorespérez Jiménezy Balbuenacastellanoen las Actasde las IV JornadasAndaluzasde EducaciónMatemáticade la S.A.E.M.Thales(Málaga,19g9). Para concluirestasecciónpresentamos un resumende un Documentode discusiónque elaboramospara las mencionadasJornadas,y que trata de situar al educadormatemáticocomo miembro de un coleótivt que tiene encomendadas unasdeterminadastareassocialescuya ejecucióndeberealizarsede forma coordinadacon suscompañerosde profésión.
l.
Los profesionales de la EducaciónMatemáticadebentomar conciencia de la importanciade su trabajo en la sociedadactual: con caráctergeneral. a) Como educadores, generales de razonamiento. b) Como formadoresde las capacidades c) Como transmisoresde una forma destacadade cultura, aquella que tienesu fundamentointelectualen el estudiode los patrones y de las relaciones entrelos mismos;estacultura y regularidades estáen la basede la cienciaactual y le sirvede fundamento.
2. Debido al caráctersocialde su profesióndeben: a) Organizarseen equiposde estudio y trabajo que abordenlas profesional. dificultadesde su desempeño y las solucionesensayaproblemas detectados b) Comunicarselos das. c) Mantenerreunionesperiódicasen las que exponerlos trabajos hechosy debatir los logros obtenidos. d) Sostenerpublicacionesque sirvan como espaciode comunicación permanenteentregruposdispersos. e) Crear un estadode opinión que permita tratar científicamente de la profesióny lograr mejorasevidenlos problemasgenerales tes sobrelos mismos. con fi Lograr una concienciade comunidadprofesionalespecílica, un campode estudioy unosmediosde trabajo bien delimitados.
3. Los EducadoresMatemáticosejercensu profesiónen el área de la AdministraciónPública,ya que la educaciónes un derechobásico cuyo desarrollocorrespondegarantizara los poderespúblicos.Para de su trabajo,la Administración,debeproporun eficazdesempeño cionar a los EducadoresMatemáticos: a) Una formacióninicial adecuadaen la que se conjuguenel nivel matemáticoscon la formación de dominio de los conocimientos psicológica,pedagógica,sociológicay didácticanecesariapara un correctoenfoquede la tareade un educador. que posibilitenel reciclab) Unos centrosde formaciónpermanente je, la actualizaciín o, simplemente,el espacio donde realizar trabajosde seminario,proyectoso diseño.Entre las condiciones que debenreunir estosCentros debenestar,al menos: . disponerde una bibliotecabásicacon las publicacionesen castellanosobreEducaciónMatemática,yuna buenaselección de las más importantesa nivel internacional; 4l
. contar con el materialdidácticoen el mercadoy tambiéncon las guíasy documentosque expliquensu utilización; . contar,igualmente,con mediosy recursosde caráctergeneral, en especialuna salade montajeaudiovisual,un aula de graba_ ción y otra de informática; . disponerde un taller para elaboraciónde material didáctico propio y un aula laboratorioen dondellevara caboel desarro_ llo de experiencias o los trabajosde seminario. Estared de centrosdebeteneruna difusióngeográlicaamplia para que puedaresultarasequiblea todo el profesorado. Con carácterde política inmediataconvienedotar a los ac_ tuales Centros de ProfesoresC.E.p.'sde un Departamentode EducaciónMatemáticaen el que secoordinenlos serviciosanteriores. El mantenimientoy potenciacióndel Centro de Docu_ mentaciónsobre EducaciónMatemáticade cádiz se considera prioritario. c) Un sistemaque regule la actualizacióndel profesorado y que contemple: . su realizaciónduranteel horario de trabajo,sin necesidadde recurrir al tiempo libre del profesorado; . la incentivacióneconómicay profesionalde aquellosprofeso_ res dedicadosa la innovacióny mejorade la enseñanza: . la fundamentación de las actividadesy la prácticade los ense_ ñantessobreuna baseteóricae investigadora; . la difusión eficazde los trabajosrealizadosen la comunidad educativa; . una coordinaciónefectivaentre los distintosnivelesdocentes que fomenteel trabajo conjunto y estímulela cooperacióne investigacióneducativas; . una regulaciónde la catera docenteque comprendatodoslos niveles. d)
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Un marco de actuaciónque amplie y potenciela autonomia profesionaldel EducadorMatemático;estoconllevaque,individualmente,debe estar reguladala participaciónen la toma de decisiones que afectanal contextoeducativo,e igualmente, deben generalizarse las responsabilidades profesionales. Hay que regulartambiénel control socialde la tareadocente de forma periódica,sobreunos parámetrosde cumplimientoen el ejerciciode la profesióny de productividad. Colectivamente, las Sociedades de profesoresde Matemáticas debenserconsultadas en todasaquellasactuaciones e iniciativas
que emprendala Administración y que afectenal campo de la EducaciónMatemática.De forma institucionalse requeriráiny se les encomendaráel desarrollode formes a la Sociedades tareasespecíficasen su campo profesional. promovee) coordinadamente,la Administracióny las sociedades rán la creacióny contribuciónal mantenimientode un centrode y el y de materialdidácticorelativoa la enseñanza publicaciones aprendizajede las matemáticas. frnanciaciónde las actividadesque realicen las .Sociedades Li f) con carácterregularo periódicotendrá carácterinstitucional. Se promoverámedianteuna política adecuadade Becasy la elaboraAyudasla constituciónde equiposde investigación, de diferentes profesores ción de proyectosy el intercambioentre comunidadesautónomascon el d se recabaráde la comisión Europea la coordinación las favoreciendo profesoradode otros paísesde la comunidad, euroexperiencia la Dada ui.ita. de estudiosy los intercambios. peaenelcampodelaEducaciónMatemáticayloscentrosde un sistemapara facilitarel eiistentes,seestablecerá investigación a susfuentesdocumentacentros, a estos accesodel profesorado trabajo e investigación de técnicas y a sus les y basesde datos Españolas federadasen la Federaciónde Sociedades 4. Las sociedades de un a la creación contribuir deben Matemáticas, de de Profesores la con relacionadas cuestiones aquellas todas sobre estadode opinión difusión promover su deben ellos Para atica. y Mut.lu Educación suscitarsu discusióny debate, mediantela redacciónde documentos, sobrecada uno de los temasestudiados>. y elaborarconclusiones Antesde cerraresteapartadoqueremosseñalarotras formasde organizaciln importantesque se dan dentro de la Comunidadde Educadoresen España. En primer lugar estánlos Gruposde renovación,de los que anteshemos mencionadoalgunos de los más conocidos.La actividad de los grupos continúa siendomuy importanteen el impulso a la innovacióny mejoraen la enseñanzade la matemáticasy su actitud independientey, a veces,fuertementecrítica constituyeun estímulopermanentetanto para la Administración como para el resto de los compañeros. Con estructurasimilar a los Grupos,pero con un caráctermenospersonal y voluntaristaestánlos Seminariosde trabajo,potenciadosen los últimos años por la AdministraciónEducativacon pequeñasayudaseconómicas.La constituciónde un Seminariorespondea la necesidadcompartida de matemáticas,de coordinar SuS por varios profesores,no necesariamente actuacioneJenun aspectoconcretode su actividadprofesionaly desarrollar
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un estudiodetalladosobreel mism periódicas,unos objetivos,una disr desarrolloy ejecución.El trabaio dr mente,en un plazohjo y conllevala vecesderivaen su publicaciónen un nidadesel papelde los cE.p.'s comopromotores de la constitucióny trabajo de los Seminariosha sido determinante. La convocatoriaanualde ayudaspara Seminarios ha supuestoun impor_ tante estímulopara el trabajo y el intercamuioá" lnror,nacióny documentación "n "quipo entrerosprofesorer,!u'. ná rrao roseduca_ doresmatemáticos. "prou"";;JJ;;, rcionesde los educadoresmatemáticos anizaciónen otros colectivosdedicados nerales;tal es el caso del Movimiento r (M.C.E.p.),el colectivopedagógico Finarmente, aunqueajenosal movimientoasociativo, hay otros dos espaciosen los que confluyenprofesores de matemáti"u,*uüffiio pror.sonut_ mentey en dondeaparecenproblemasrelativos a la EducációnMatemática; se trata de los Centrosde profesores,popularmente C.E.p.,s,y los Equiposde Investigación, constituidosy financiaáálá. u"u".¿o con los planesde pro_ moción Generaldel Conoóimiento.S objetivosdiferentes, de actuaciones em cativapara promoverla FormaciónI cionarla Investigaciónen Didácticade espronto para hacerun balancedel rel actuaciones, pero tanto los objetivosp puestosa disposiciónpermitenp."u".i los Equipos de Investigaciónen el ful España.
1.7.1. Los Congresosinternacionalesde la I.C.M.I. de organizarCongresos Como ya hemosexplicadosesintió la necesidad internacionales dedicadosexclusivamente a la educaciónmatemática;la idea por Freudenthalal hacersecargode la presidenhrc lanzadaexplícitamente que el PrimerCongresoInternacional cia de la I.C.M.I. en 1967decidiéndose (Francia)en 1969.Alrededorde tuviese lugar Lyon con estenuevoestilo en seiscientoseducadoresde cuarenta y dos paisesasistieronal mismo; la con contribureuniónconstóde veinteponenciasplenariascomplementadas cionesde los miembroscongresistas. Este Congresoredactó una resoluciónque comprendíacinco puntos y de la I.C.M.I. Los puntos se referíana: dos recomendaciones y debenser objeto 1. Los contenidosy métodos,que son inseparables, de estudiopermanente. 2. Sedebellevar a cabo la colaboracióndel profesoradode matemáticasy de otras disciplinas. 3. Desarrollarla cooperacióninternacional. 4. La formaciónde los profesoresde matemáticasdebeser continua. 5. La pedagogiade las matemáticas,como ciencia autónoma,debe encontrarun lugar en los Departamentos universitariosde matemáticas o en los institutosde investigación. Las recomendaciones fueron:
1.7. ACTIVIDADES ¡ual que cualquier otra comunidad nas y medios de comunicaciónque ón entre susmiembrosy la transmi_ ico.Entre éstosdestacanlos Encuen_ ran a nivel local,regional,nacional o :ación matemática(informes,mono_ comunicación.
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mundo; sin embargo,sí nos pareceoportuno haceruna reseñade los CongresosInternacionales de la I.C.M.L por seréstospuntosde encuentro,cada cuatro años,de educadoresmatemáticosde todo el mundo que al volver a sus paísesde origen difundenlas ideasprincipalesque se hacensentir en Tambiénhacemosuna referencia al casode estosCongresosInternacionales. nuestropais deteniéndonos en los Congresosnacionalese internacionales. La infraestructurade la difusiónmerecela pena ser tratada con detenimiento puesva a ser clavedentro de los sistemasde comunicación.
..; l,;#*T I"i'rf" :T:.,'"lTÍ".."
a) Estudiar los problemasde información internacionalsobre la enseñanza de las matemáticas, en particularel de centrosinternacionalesde informacióny la creaciónde un boletíninformativo. b) Para el próximo Congresoatribuir más importanciaa la enseñanzaen preescolar,a la enseñanzaelemental,a la enseñanzade las matemáticaspara todos los jóvenes y a la de adultos
(r.c.M.r., 1969).
En estaresoluciónse establecían objetivosmuy ambiciosos,algunosde los cualesestánhoy por cumplir. 45
- Sesiones plenarias. - Gruposdi acción,que giraronen torno a los distintosniveleseducatiuos por edades,formacióndel profesorado,matemáticaspara adultos y para Ia formacióntécnicay vocacional. puntualescomo , ticas para todos>,entreotros. - Areas temáticascomo Evaluación,competiciones,Enseñanzade la entrela Historia y la Pedagogiade la MatemáGeometria.Relaciones ticas,Lenguajey Matemáticas,Psicologíade la EducaciónMatemática. Teoría de la EducaciónMatemática,etc. - Presentaciones nacionales. de los participantesmosAdemás,numerosospostersy comunicaciones la educaciónmatemátide campo el en de trabajo traron la enormevoluntad
gresotuvo un día especialdedicadoa Matemáticas,Educacióny Sociedad sobre los contextosculturalesy proyeccionessocialesque presentanlas Matemáticasde nuestrotiempo; se celebrarontambién reunionesy asambleas de los grupos de trabajo internacionalesdel LC.M.I., anunciosde Congresos.o-o ét que realizóla SociedadAndaluzade EducaciónMatemápara el presentandoel Proyectodel CongresoIberoamericano tica i etc' año 1990,exhibicionesde libros, películas,materiales, del congreso, Entre las ideasque han presididolas diversasaportaciones b) los jugará tecnológico, impacto que el c. Alsina(1988),destaca:a) el papel preocupanotable países, c) los cambioscurriculares,comunesa casitodos d) los procesosde visualizaciónvan tomandocuerpocomo ción prospectiva, mediásalternativosa lipresentaciónformal usual,e) pérdidade la credibili-
como cienciaautónoma. parececonsolidarse InternacionalsobreEducaciónMatemáticatendrá congreso El Séptimo (Óanadá) en 1992;será presididopor el españolM. de lugar en euebec de la LC.M.I. para el período l99l'94; acPresidente nombrado Guzmán 47
tualmente las numerosas gestionesrealizadaspara que el octavo congreso, en 1996 se celebreen España han culminado con éxito y ha sido aprobada la candidatura de la ciudad de sevilla como sede del LC.M.I.-vIII de 1996.
1.7.2. Reuniones y Congresos en España Desde mediados de los años cincuenta se comienzan a celebrar en España reuniones y encuentros de profesoresde matemáticas con el objetivo de mejorar la calidad de la enseñanza;en otro lugar de este capítulo se ha señalado que la XI Reunión Internacionar de la C.I.E.A.E.M. (1957) se celebró en nuestro pais. También se celebran la XXI en Gandía (196g), para el estudio del tema .Durante los años 60 y 70 tienen lugar diversasReuniones y de ello nos da cuenta la Revista de EnseñanzaMediá, pero es a partir del inicio de la década de los 80 cuando se produce un cambio sustancül en el sentido de estos encuentros;en efecto, si hasta ese momento las reunionees estaban auspiciadas desde la Administración, es decir, desde , durante los años 80 las nacientessociedadesde profesores de Matemáticas, grupos de trabajos, colectivos diversos, etc., inician un movimiento renovador que podemos calificar de (J.A.E.M.).Allí se decidió continuar anualmente con estasjornadas, teniendo lugar en Sevilla, en l982,las II J.A.E.M. que congre gafon a más de quinientos profesores de todo el país y de todos los niveles educativos; fueron organizadaspor la sociedad Andaluza de profesores de Matemáticas. una parte importante de las II Jornadas se empleó en la discusión de los Programas Renovados de E.G.B. En el prólogo d" lat Actas el comité organizador destacabacomo hechos notables: l.
La gran participación del profesorado y el alto número de ponencias presentadas. 2. La inquietud de los profesores de todos los niveles en torno a la revisión de programas y la necesidadde una mayor conexión entre los diversos niveles. 48
3. 4.
La necesidadde recuperar para la enseñanzaobligatoria una mayor atención al cálculo numérico y a las nociones geométricas. La introducción de los microordenadores en la enseñanza.
Los grupos y sociedadesconvocantes de estas Jornadas decidieron que las III J.A.E.M. tuviesen lugar en Zaragoza, en 1983,encargando su gestión a la Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas . Asistieron alrededor de novecientos Profesores de Matemáticas, siendo su estructura la siguiente: Conferenciasde tipo general. Trabajo en Seccionestópicas, con una ponencia a cargo de un grupo invitado, y comunicaciones de los asistentescon un debate final en cada sesión. c) Otro tipo de actividades:proyección de peliculas, zoco matemático, talleres.etc.
a) b)
Con una estructura similar se celebraron las IV J.A.E.M. al año siguiente en Tenerife corriendo su organización a cargo de la Sociedad Canaria de Profesoresde Matemáticas asistieron a las mismas alrededor de seiscientosProfesoresde toda España. Después de un paréntesis de siete años sin celebrarselas J.A.E.M., la Federación de Sociedadesde Profesores de Matemáticas decidió reanudar estetipo de Encuentros, teniendo lugar las V J.A.E.M. en Castellón en el mes de marzo de 1991 siendo gestionadas por la Sociedad Castellonenca de Profesoresde Matemáticas. Igualmente hay que mencionar los Congresos Internacionales organizados por la Revista Enseñanzade las Ciencia que se han celebrado sucesivamente en Barcelona (1985),Valencia (1987)y Santiago de Compostela (1989); en todos estos Congresos la Educación Matemática ha constituido una Secciónimportante, constatándoseel alto nivel de las ConferenciasPlenarias y el elevado número de comunicacionespresentadaspor los asistentes. Uno de los hitos más destacables,ha sido la organización llevada a cabo por la Sociedad del Primer Congreso lberoamericano de Educación Matemática (I.C.I.B.E.M.), celebrado en Sevilla en 1990 y que ha supuesto el intercambio de ideas, proyectos,etc., entre los Prolesoresde Matemáticas de dos continentes. Aunque últimamente ha perdido importancia conviene señalar también la existencia de una Sección de Metodología e Historia de las Matemáticas en las Jornadas Hispano-Lusas de Matemáticas, que reune bianualmente a los matemáticos de ambos países. Todas estas actividades, a las que nos hemos referido brevemente, así como otras muchas a nivel regional y local, nos muestran una Comunidad viva de Educadores Matemáticos que día a día intentan mejorar la calidad
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de su enseñanza. Destaquemoslas Jornadassobre EducaciónMatemática que,con carácterbianual,vienenrealizandolas Sociedades Newton,Thalesy Pedro Ciruelo, los Cursos organizadopor los Institutos de Cienciasde la Educaciónde diversasUniversidades , los Cursosde formadoresy asesores de C.E.P.'sorganizadosa nivel estatalo de comunidadautónomay la multitud de Jornadas,encuentrosy cursosque tanto los C.E.P.'scomolos Seminarios de una comarcao pueblo vienenrealizandocon regularidad.Tenemos así un panoramaactivo y dinámicode nuestracomunidad. De muchasde estasJornadasse levantanActasque se editanposteriorpara el conocimientode mentey que resultanser documentosinapreciables la evolucióny estadoactual de la educaciónmatemáticaen nuestropais. Estánpublicadasactualmente las Actasde los cuatroprimerosCongresosde la J.A.E.M.,e igualmentelas Actas de las cuatro primerasJornadasde la SociedadThales.
1.7.3. La infraestructurade la difusión La red de difusiónde los estudiossobreeducaciónmatemáticaesgrande nivel internacional;los problemasde difusiónde trabajossobreeducación a matemáticason importantes,en parte porque se trata de una disciplina recursosdedicadosa estostrabajos.En este nuevay en partepor los escasos apartadose tratan los sistemasmás habitualesde comunicaciónentre los periódicas,libros matemáticos, las publicaciones educadores considerándose y otros mediosde comunicación. periódicas a) Publicaciones Constituyenla forma más accesiblede distribuciónde conocimientosen un campo como la didácticade la matemática;son relativamentebaratas, proporcionanun accesobastanterápido y son especialmente efectivasen la comunicacióninternacional;es posiblepublicarrevistasen variosidiomasy algunasde las publicaciones estáneditadasen más de un idioma. Las revistashan sido una de las primerasseñales de la apariciónde temas especializados en el siglo xx. Por lo que se refierea la didáctica de la matemática, desdeantesde comienzosde siglosepublicaba fundadapor H. Fehr y Ch. Laisanten 1893,que posteriormenteseconvertiríaen el órgano oficial de la LC.M.I.; tambiénlas diversas Asociaciones de Profesoresde Matemáticasque fueron surgiendopublicaban revistasy boletines,desdelas pioneras (1871)y (1894),pasandopor ,,
española(S.U.M.A.). Pero esa partir de los años70 cuandoseproduceuna a la mayor explosiónen la apariciónde revistasdedicadasesclusivamente didácticade la matemática,constituyendouno de los elementosclavesde la infraestructurade estecampodel saber. La circulación de la mayor parte de las revistas de Didáctica de las Matemáticaseslimitada,pero no más que en el casode revistasespecializamientrasque la circulaciónde dasde la mayoriade los camposacadémicos; rnuchasde ellasestácentradaen el paísdondesepublican,otras tienenuna audienciainternacionalsignihcativa.Vamos a consideraren lo que sigue periódicas,Revistasespecializadas Revistasbibliográfrcas de gran circulación internacional,Revistasnacionaleso locales. En lo que se refierea Revistasbibliográficasdestacamos el (Z.D.M.) publicadopor la Universidadde Karlsruhe(Alemania). La descripciónbibliográhcade los documentosdel Z.D.M. estáhechade acuerdocon lasnornas elaboradaspor el publicaun númerocadaaño dondeserelacionanartículosy tesisdoctorales por autoresdentro de sobreeducaciónmatemáticalistadosalfabéticamente para cada referenciaun breveresumen. cadacategoría,incluyéndose Precisamente también.hemosde mencionarla existenciade fuentesde informaciónbibliográficaque sin ser propias de educaciónmatemáticasí en estecampo de conocimiento;entreellascitamosel contienenreferencias (C.I.J.E.)y el fundadapor H, Freudenthal,publicadapor el N.C.T.M.,publicadapor el ; revistabimensualde la SociedadBelgade Profesores de Matemáticasde expresiónfrancesa, de la > inglesa, francesa,etc. Hay otra dirigida expresamente a los profesoresde educaciónprimaria como ,. etc. Aunqueen todaslas revistasmencionadas anteriormentesuelenaparecer 51
artículos relacionados con los ordenadores,hay otras que tratan exclusivamente este campo del saber como r,(Matematics and Computer EducationD, (Micromath>, etc. En cuanto a los idiomas en que se publican las revistas sobre educación matemática, el inglés es el idioma predominante. Hemos efectuado un recuento de las revistas relerenciadasen el Z.D.M. obteniendo que el 52 por 100 lo son en inglés, el 34 por 100 en alemán, un 6 por 100 en francésy un 8 por 100 en otros idiomas. En lo que se refiere al caso español, a partir de 1983 aparecen revistas dedicadasa la educaciónmatemática (1984),(1984),(1985)y el resto de boletinesy revistas publicadas por las Sociedadesde Profesoresde Matemáticas a que ya se ha hecho referencia. Como hecho a destacar, hay que señalar la publicaciónde la revista (1988)editada por la FederaciónEspañola de Sociedadesde Profesoresde Matemáticas. b)
Libros
Los libros sobre didáctica de la matemática son más dificiles de categorizar qve las revistas;son publicados por muchos editores en diversaslenguas; es imposible hacer un tratamiento completo porque gran número de organismos, editores de las universidadesy editores comercialespublican libros en este campo de modo esporádico. Casi todas las revistas que hemos citado tienen una sección donde se referencianlibros de los autores más prestigiosos.En nuestro país, la revista contiene esta seccióny otras como y suelen censar libros, aunque no en todos sus números. En cuanto a los organismos que publican monografias tenemos que destacar la labor del N.C.T.M. con un catálogo de alrededor de 300 titulos relativos a diversos temas conectados con la Educación Matemática. También la U.N.E.S.C.O. ha auspiciado la publicación de importantes obras, en particular la serie Nuevas tendenciasen la Enseñanzade las Matemáticas y la Colección de Documentos sobre Enseñanza Cientíhca y Tecnologia, con varios monográficos dedicados a Educación Matemática. En España, el M.E.C. publica en colaboración con editoriales comerciales traducciones al castellano de algunos libros que se han revelado de gran interés en el campo de la educación matemática. Es dificil hacer una relación de editoriales por las razones señaladasmás anteriormente. Hay que destacar a la con su Biblioteca de Educación Matemática (Mathematics Education Library) en la que se han publicado, entre otras, las obras de H. Freudenthat (1973), (1983), así como otras
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obras de extraordinaria importancia en nuestro campo. También la , y bridge University Press>>, ,entre otras, publican monografias sobre Educación Matemática. Existen obras de sintesis sobre investigación en educación matemática como Begle, E. G.: publicado por el N.C.T.M. o también Bell, A. G.: publicada por NFERNELSON. También se puede destacar la ya clásica obra editada por Kilpatrick, J. y Wirszup, I. (edit):.School Mathematics Study Group; esta obra consta de catorce volúmenes. Asímismo hay que señalar las Actas (Proceedings) de los Congresos Internacionalessobre Educación Matemática (LC.M.E.), de las reuniones de los grupos especialesdel I.C.M.I. del P.M.E. o el T.M.E. a que ya hemos hecho referencia.asi como las Actas de otras Reuniones Internacionales. En España también se está incrementando la edición de obras sobre Educación Matemática. No disponemos de datos recientessobre la producción editorial española, pero resulta interesanteconocer y comentar los datos disponibles en el período 80-85, que nos indican ciertas regularidades. La distribución por año de los libros y folletos de temas de matemáticas publicadosen España durante el período de 1980-85,segúnel I.N.E., es la que hgura en la tabla 10. La misma Estadistica nos analiza con detalle los datos de la producción relativosal año 85 (Tabla 1l). La clasificaciónde los libros, según diversos génerosy relativos al año 85 es la que se indica en la tabla 12. Observamos que la producción de títulos de matemáticasfue en el año 85 un 12 por 100 del total de la producción de titulos en las áreas cientificas, pero sin embargo el número de ejemplareseditados supuso el 22 por 100 del
Tabla 10 Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985
Tírulo de Matemáticas editados
Total de títulos de áreascientíficas
526 574 692 618 555 637
4200 4 172 4660 4269 4622 4960
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Tabla 11 N., de títulos
N." de.eie-mplares (míles)
Media eiemplares ütulo (miles)
637
5219
8,19
4960
23 325
4.70
Matemáticas Total áreas científicas
total de ejemplaresimpresos en ese mismo año. La media de ejemplarespor título es casi el doble que la media del total de áreas científ,róas. Este dato puede entenderse a la vista del gran porcentaje de manuales didácticos editados sobre el total de títulos de matemáticas,muy superior al global de las áreas científicas. No disponemos de datos relativos a los últimos años, pero sí es cierto que se viene notando un incremento en la edición de libros de matemáticas distintos de los manuales escolares y libros de texto. Este incremento se aprecia en libros de historia y cultura relacionados con las matemáticas,en libros de juegos de ingenio y lógica y en publicacionesespecíficasdel Area de Didáctica de la Matemática. Dentro de este desarrollo se inscribe la colección a la que pertenece esta obra . Este proyecto, entusiásticamenteapoyado por la Editorial síntesis, ha supuesto la coordinación de un total de 34 títulos que recogen los temas más importantes de la enseñanzade las matemáticas,cuya lista completa puede encontrarla el lector en esta misma obra. casi todas las editoriales que trabajan temas relativos a educación mantienen en sus catálogos algunos títulos relacionadostotal o parcialmente con
Tabla 12 Matemáticas
Manuales dídácticos Textos infantil y juuenil Otros géneros
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Total óreas científicas
N.o títulos
Porcentaje
N.' títulos
Porcentaje
342
s3,68
698
14,07
t1 284
44,58
7I 4 19I
1,43 84,49
t7 )
la educación matemática. Se puede así indicar que un catálogo de obras en castellano sobre enseñanzay aprendizajede las matemáticas o temas directamente conectados, excluidos los libros de texto, actualmente disponibles puede estar alrededor de los 500 títulos. No resulta por tanto sencillo hacer una selecciónlimitada de las obras más importantes ya que, en cierto modo, todas lo son. Lo que sí es destacableson las facilidadesy oportunidades que hoy día tiene el Profesorado de Matemáticas para disponer de una buena biblioteca profesional con la que organizar y orientar su trabajo. Quedan aún algunos pasos por dar en la política de publicaciones sobre educación matemática en España. Uno de ellos es que las Sociedadesde Profesores,o la Federación, pongan en marcha una editorial propia, que conjugue la promoción de autores españolesjunto con la traducción de los títulos más interesantespublicados en otros idiomas. Otros pasos importantes son la dotación de buenas y completas bibliotecas y hemerotecassobre Educación Matemática en los Centros de Profesores y Centros Universitarios relacionados en la formación del Profesorado, así como la existenciade bibliotecas básicasen todos los centros de enseñanza. Un mayor seguimiento crítico por parte de las revistas profesionales sobre las publicacionesdel momento servirá también para maraar las pautas y prioridades, corregir errores, señalar referenciasy establecerindicadores de calidad del producto. La producción y edición de libros es un paso importante, pero no el único para lograr consolidar un mercado de publicaciones en educación matemática; no menos importante es la red de distribución, difusión y venta de los libros editados. Lograr una buena distribución supone la existenciade librerías especializadasen un producto aún tan escasoy con tan poca salida como el libro de educación matemática; estas librerías deben disponer de unos fondos establescon la totalidad de la oferta editorial del momento y también de catálogos en los que se puedan consultar los fondos existentesy las novedades que se producen periódicamente. Conviene mencionar a la librería Alsur de Granada y a la librería Pons de Zaragoza, por su meritoria tarea de mantener permanentementeinformados a los educadoresmatemáticos sobre bibliografia disponible en este campo de trabajo. c)
Otros elementos
Libros y revistas no son los únicos elementos de difusión; las bases de datos juegan un papel importante en la recuperación de la información; ya hemos comentado la base de datos M.A.T.H.D.I. del Z.D.M. Además podemos citar la E.R.I.C.-S.M.E.A.C. en la Universidad de Ohio, y la base de datos U.M.L de tesis doctorales; aunque no son específicasde educación matemática, su notable extensión permite encontrar muchas entradas en nuestro campo.
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En nuestro país debemos resaltar el centro de documentación de Didáctica de la Matemática fruto de un convenio entre la consejería de Educación y ciencia de la Junta de Andalucía, la lJniversidad de Cádiz y la S.A.E.M. ;entre los servicios del centro están el proporcionar a los usuarios información, listados bibliográficos, fotocopias y artículos, préstamos de libros y acceso a bases de datos internacionales. Los juegan también un importante papel en la comunicación; esta expresión ha sido utllizada por price (1963) para denominar a las comunidades científicasinformales que relacionan a investigadores de diferentes centros interesadosen temas comunes mediante sistemasespecíficos de intercambio informativo como reuniones restringidas, contactos personales, etc. En efecto, los especialistasen educación matemática de diferentespaísesintercambian información y opiniones en reuniones especiales patrocinadaspor organismoscomo la I.C.M.I., U.N.E.S.C.O.,O.C.D.E., Ministerio de Educación, etc.; dentro de cada nación hay también contactos informales entre los miembros de la comunidad de educadoresmatemáticos. Los resultados de estas reuniones consisten en la producción de documentos que sirvan para adoptar líneas comunes de trabajo e investigación,o bien establecerreferenciaspara el currículo de matemáticas de los diversos niveles.
1.8. REFERENCIAS Acr¡s oe ms I J.A.E.M.(1981),I.C.E.de la Univ. Autónoma,Barcelona. Acres oE r¡'s II J.A.E.M.(1982),Soc.Andaluzade profesoresde Mat. . Sevilla. Acres o¡ r-es III J.A.E.M.(1983),LC.E. de la univ. de zaragozay soc. ,Zaragoza. AcrASDErm IV J.A.E.M.(1984),soc. Canariade profesoresde Mat. , SantaCruz de Tenerife. Acrns oEr-II CoNcnBsonn ENsnñeNzADELASCrnNclns(19g7),Valencia. Acr¡.s pnr III coNcnnso on ENsnñnNzADE res crnNcrns(19g9),Santiagode Compostela. ArsrNr' C. (1988):(I.C.M.E. YI>>,Suma,vol. LI, pág.57-59. AtstNA, c., y otros (1988):MathematicsEducationin spain. Documento presentado en el VI ICMI, Budapest. BernurN,r, L. (1990):El papel socialdel Profesorde Matemóticas.Actas IV Jornadas AndaluzasEducaciónMatemáticas.(SAEM Thales:Málaga). Bnnnl, D., y otros (1987):Propuestade conocimientosmínimospara la formación inicialde maestros. Didácticade la Matemática.universidadAutónoma,Barcelona. cesrErNuovo, E. (1970):Didóctica de la matemátícamoderna.(Trillas: México). 56
Dnsroncn, J. (1955): (C.I.E.M.) L',Enseignemetmathématique, Ser II, vol. 13, pig. 243-246. DrnuooNNÉ, J. (1989):En honor del espíritu humano. Las matemáticas hoy. (Alianza Universidad: Madrid). Escornlro, A. (1982):>,Reuísta de Educación, uol. 269, pirg- 55-76. GoNzLLnz,J. (1991):La enseñanzaen España: el desafiode los nouenta.Capítulo 8 de la obra España a debate, Tomo II, J. Vidal-Beneyto editor. (Tecnos: Madrid). Gnupo CBno (1976): Las matematicas en BUP, contribución a una enseñanzamenos aislada. (Indice: Madrid). HowsoN, G. (1979): en UNESCO: Nueuas tendencias en la enseñanzade las matemáticas, vol. IV, pág. 151-183. HowsoN, G. (198a):, Educational studies in Mathematics, uol. 15, pá9. 15-93. HowsoN, G., Kurnr, c., y Krrearmcx, J. (1983):Cufficulum Deuelopmentin Mathemaf ics. (Cambridge University Press: Londres). I.C.M.I. (1969):>,Educational Studies in Mathematics, uol. 2, pá9. 135-419. Oeuetopment in Mathematical Education (Procedings of the II LC.M.I. igll): (edit. A. G- Howson) Cambridge University Press. LC.M.E.) I.C.M.L (1977):Proceedíngsof the III I.C'M.E' (edit. H. Athen y H' Kunkle) (Z'D'M': Karlsruhe). (Birkhauser: y I.C.M.I. (1983):Proceedingsof the IV I.C.M.E. (edit. M. Zweng otros) Boston). I.C.M.I. (1986'l:Proceedingsof thel V I.C.M.E. (edit. M. Cars) (Birkhauser: Boston). I.C.M.L (1988\: Proceedingsof de VI I.C.M.E. (edit' Ann y Keith Hirts)' (1987):La ReJorma UniI¡rnnNnrroNnr COuNcIr non EouCatIoN¡I- DBveI-Oerr'rnNr uersifaria Española. Eualuación e Informe. Consejo de Uniuersidades.(Ministerio Educación y Ciencia: Madrid)' MrNrstnnlo on EouclctÓN y CrnNcre (1988): Estadística de la Enseñanza en Españu' Niuel no uniuersitarío 1985-86.(Centro de Publicaciones MEC: Madrid). MrNIsrBnro on EpuclCIÓN y CInNcll (1989): Diseño Curricular Base. Educacil¡n Primaria y Educación Secundaria Obligatoria. (Centro Publicaciones MEC: Madrid). MrNtsrnnlo EpuCeclót¡ Y CIENcIA. Coxsn¡o on UNIvnnsrpaons (1990): Anuario de Estadística (Jniuersitaria 1989.(Centro Publicaciones MEC: Madrid). Mouno, A. (1917):La reforma educatiuade la segunda República,Santillana, Madrid' pÉnnz Jrrr,rÉr.¡nz, A. (1990): Tendencias actuales en la enseñanza de las matemáticas. Actas IV Jornadas Andaluzas Educación Matemática. (SAEM Thales: Málaga). Pncnr, J., y otros (1955): L',enseignementdes mathematiques.(Delachaux y Nietlé: París). prucr, D. J. S. (1963):>. columbia un. Press.Rnvlsra os ENssñnNz¡ Mnue, añ,os1957-1971. Rrco, L. (1976): Diüctica de la Matemática. Actas Primera. Reunión-Coloquio de Didáctica de la Matemática. Cuadernos del Dpto. de Estadístican'o 2. Universidad de Granada.
57
F Rrco, L. (1982):Reflexionesen torno a ra conexiónEGB-BU\ en er Area de Matemati_ cas' seminariopermanentede Inspectores de Matemáti."r, c.unáá. Rtco, L. (1990):ren Teoria y práctica en EducaciónMatemática, Lrinares,S. y Sánchez, V. editores.(Alfar:Sevilla). Rfos,S.,y otros (1979):Rey pastor,matemático.(Instituto de España:Madrid). Rulz J. (1979):>. Reuistade Bachirte_ rato. (MEC: Madrid). Stnnn.r,M. (1990): Epsilon,uol. 16, pág.31_34. Socr¡onp A¡¡onr-uza oE Eoucncró* tutot."i.r"o Tuorns ltstt¡:vstatutos de ra Sociedad,Sevilla. Socrcoro ANnnruze n¡ Epucecró¡¡ MnrnuÁrrc.qTHnrrs (r99r): BotetínInJbrmati_ t¡on.o5. centro DocumentaciónDidácticade Ia Matemáti"í, ca¿ri.' Sr¡¡N, L' A', Ar¡Enrs, D. J. (r9gl): TeachingTeacher, rrornig ltudrnrrlini.r.nuur"., Boston). Tnnuoa, M.L., y LópEzprñBno,J. M. (1990):La producción científicaespañola y su posiciónen la comunidadinternacionalen Españi. Tomo IV Ci"*ri-tl{pupiñero, J. M. editor.(EspasaCalpe:Madrid). __wnlusrNsxr,G. (r986):>, Bulletinde L,ApMEp, uot. 353,pág. l4l_155.
Las Matemáticas y el ProcesoEducativo BnnN,tnooGóunz A¡.r'oNso Departamentode Didácticade la Matemática Universidadde Valencia
2.I. EL PROCESOEDUCATIVO 2.1.1. Introducción:teoria versuspráctica Procesoeducativoes la expresiónque se sueleutllizar para referirsea y aprendizaje, enseñanza dualidadcuyostérminossehacencorresponderen el lenguajecoloquialcon teoríay práctica.En definitivala teoriadescribela forma en que seaprendey la prácticaprescribecómo las personasinfluimos para que se aprenda. Es de destacarqueestosdos aspectos de la educaciónno siemprevan por el mismo camino,ni siempreguardanla debidarelación,hastael punto de quedividena la propiacomunidadde profesionales en dosgrupostácilmente reconocibles: aquellos,los teóricos,que, como Davis (1987,pág. 97) señala humorísticamente, enseñanpoco y cobran mucho, y aquellosotros, los implicadosdirectamenteen la práctica,que enseñanmucho y cobran poco. Tanto en un grupo como en el otro se encuentranenfrentadoslos que defiendenque primero hay que perfilarla teoria y luego decidir cómo hay que aplicarlay los que argumentanque esla prácticala que debeconformar la teoría: (Van Hiele, 1986,pág. 8).
58
59
2.1.2. Desdenes,desavenencias y anclajes a)
b)
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El hecho es que son muchos los profesores de Matemáticas que desdeñan aquello que huele a teoría, en particular si se trata de teorías que cuestionan su estilo docente.No debe extrañar que Skinner (1984, pá9. 2q señalara que (es de destacar que campea una despreocupacióngeneral por los métodos de enseñanza>. Las argumentaciones son variadas: unos cuestionan la utilidad de las teorías y otros su validez. Así, se dice que las teorías del aprendizaje no han aportado gran cosa, ni la pueden aportar, acerca de cómo hay que enseñar,ya que la enseñanzaes un árte en el que intervienen factores humanos impredecibles que dependen funáamentalmente de lo que hace el maestro en el aula y, por ello, como realmente se aprende a enseñar es enseñando y no pensando cómodamente sentado en una mesa de despacho. En otro orden de cosas,se considera que las teorías son ideales y de laboratorio, para pocos alumnos, y que la realidad es otra cosa. Hay quien afirma que las conclusiones teóricas le dejan perplejo, puesto que en su terreno, el de las Matemáticas, una ahrmación es fruto de consideracionesrigurosamente lógicas y formalmente probadas, mientras que las conclusiones teóricas educativas son especulaciones que manejan variables imprecisas (atención, actitud, motivación, ambiente, concepciones,disponibilidad, etapas o niveles cognitivos,...) deducidas de muestras experimentales particulares (lugar, tiempo y modelo social), limitadas (a un colectivo) y contaminadas (por la propia experimentación). En el fondo lo que subyace es la falta de adecuaciónentre las teorías descriptivasdel aprendizaje y las teorías prescriptivas de la instrucción y que (Hart, 1981, pág.216). Otro hecho evidente,es que cuanto más se mira lo que ocurre en la enseñanza de las Matemáticas más desavenenciasse ven entre los profesionales,los profesionalesy las autoridades, los profesionalesy los padres y entre todos ellos a la vez, en cuanto a la forma en que debe dirigirse la enseñanza.Ahí tenemos las campañas para enseñar Matemáticas mediante . Ahí tenemos los programas experimentales,los proyectos de innovación educativa que duermen en los cajones de las mesas ohciales, los planes de reforma que nunca acaban de salir o las leyes de educación ministeriales de vida cada vez más corta.
lleguena puntosde acuerEs más,aun cuandolos profesionales frentea las escuelas' apostados padres do, siempreseránnoticia los y la criticaa docente personal el sobre con susjuiciosinsatisfactorios controtanta explica se educativo. del sistema ¿cómo las deficiencias versia? c) No debesorprenderque hayaquienpienseque ya estátodo dicho en dé las Matimáticas,despuésde siglosy siglosde maduraenseñanza ción. ¿Por qué cambiar lo que ha ido bien?¿Acasolos anticuados métodosno fueronútilescon nosotros?¿Porqué creerque lo nuevo
hombresentendidosenMatemáticassuelendecircuandovenun libronuevodelaciencia.¿QuéobjetoSeproponelanuevapublica. ción?¿Quévacio llena?¿Quéfalta hace?¡En Matemáticasestátodo tan dicho!'.> y anclajesen el pasadoson'en parte'fruto Desdén,desavenencias delafaltadeinformaciónqueacompañaalossereshumanos.Noes razonablecerrar los ojos y creer que sólo es válido Io que uno es capazde pensar.Otros han pensadosobrelo mismoy muchasveces con gran acierto. 2.1.3. ¿Quiénse ha interesadopor el procesoeducativo?
principalesrezan asi'. e intercambiarinformacióncien1. Promovercontactosinternacionales Matemática' Educación tífica en la Psicologíade la 6l
Promover y estimular la investigación interdisciplinar en la mencionada área con la cooperación de psicólogos,matemáticos y profesores de Matemáticas. 3. Avanzar en la profundizaciín y mejor comprensión de aspectospsicológicos de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas y las implicaciones de ello.
2.
2.1.4. Por qué se interesa la Psicologia por la Didáctica de las Matemáticas El intento conductista de explicar el aprendizaje humano en términos de estímulo-respuestay reforzamiento recibió un duro golpe a linales de los años 50 de la mano de la premisa de que entre estimulo y respuestaocurre algo importante. Se postula que es un error creer que la relación entre estímulo y respuestaexplica lo que ocurre en el aprendizaje.En realidad sólo 1o describe; la clave para comprenderlo reside en el fenómeno mental que interviene entre el estimulo y la respuesta. La Psicología se interesa por el aprendizaje,luego no debe extrañar que acuda allí donde se está produciendo por antonomasia: la escuela.En ese lugar hay entre otras cosasaprendizaje matemático, en gran parte relacionado con el razonamiento en la forma más pura (despegadode emociones y sentimientos). Es natural que la Psicología, interesada en comprender el fenómeno mental que interviene en el aprendizaje, sienta interés por el proceso de adquisición de los conocimientos matemáticos y en particular por la relación entre razonamiento y aprendizaje.
2.1.5. ¿Qué aporta a la Didáctica de las Matemáticas el punto de vista de la Psicología La psicología de la educación matemática mira la enseñanzay el aprendizzje de las Matemáticas desde un enfoque nuevo (de hecho es un campo de conocimientos relativamentejoven). A diferencia del enfoque tradicional en el que las Matemáticas escolares se inspiran en la lógica interna de las Matemáticas y en la incorporación de las nuevas ideas que se derivan de la propia evolución (piénseseen las ),el enfoque psicológico intenta comprender qué hacen los alumnos cuando se encuentran frente a las Matemáticas. Se asume que el aprendizaje de las Matemáticas tiene su propia psicología, que los estudiantes y profesores tienen ideas propias acercade las Matemáticas en las situacionesde aprendizajey que los profesores estarán mejor equipados para su tarea si pueden comprender cómo se ven las Matemáticas desde la perspectiva del que aprende. 62
Aunque es un hecho la falta de conocimientos de Psicología que tienen los matemáticos y la falta de conocimiento de Matemáticas que tienen los psicólogos, esto no debe justihcar la falfa de comunicación entre matemáticos o profesoresde Matemáticas y psicólogos de la educación matemática. Es paradójico que (un matemático que nunca aceplatia un teorema sin una demostración,es capazde presentar y defendercon fuerza sugerenciasdidácticas sobre las Matemáticas sin apoyarseen ninguna evidenciaexplícita de la investigación y sin sentir la necesidadde analizar objetiva y sistemáticamente los efectoseducativos de sus ideas> (Fischbein, 1990 a, pá9.2).
2.1.6. ¿Quién puede decir cómo deberían enseñarselas Matemáticas Para dar respuestaa esta pregunta ha aflorado en los últimos años gran cantidad de información, cuya dimensión se refleja en la multitud de publicaciones,congresos,jornadas y encuentrosdedicadosal tema. Sin embargo, y a pesar de lo mucho que se ha escrito sobre el particular, la mayoría de los mortales, incluso los que no han leído nada sobre la enseñanzade las Matemáticas emiten juicios, opinan y dictaminan sobre cómo debe o cómo no debe orientarse la cuestión.Y es que, todo el mundo es y se sienteconocedor, todo el mundo sabe,porque ha tenido experiencias,porque ha sido objeto de la Didáctica de las Matemáticas en algún momento de su vida. Estas opiniones se vierten fundamentalmente en tres líneas:la epistemológica (qué clase de Matemáticas queremos que aprendan los niños o cuáles deben ser las Matemáticas escolares),la psicológica (cómo creemos que se aprende o cómo se adquiere o produce el conocimiento) y la metodológica (cómo se debe enseñar o cómo llevar adelante la enseñanza).Cada una de estaslíneas se apoya en las otras y dentro de ellas el contraste de parecereses manihesto.
2.2. CONTRASTES EN LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMATICAS
Se pretende señalar aquí la evidencia de que existen pareceresen contraste cuando se trata de opinar acerca de la naturaleza de las Matemáticas que deben saber los estudiantes,la forma de enseñarlasy la forma en que las aprenden.
2.2.1. El contraste epistemológico Poca gente discute que lo importante es aprender las Matemáticas que uno va a necesitaren la vida diaria. En 1978 el Departamento de Ciencia y
63
Educación del Reino Unido encargó un estudio detallado del estado de la educación matemática en ese pais bajo la supervición de Sir wilfred cockcroft. Las conclusiones se publicaron en 1982 en un documento de 300 páginas que es conocido desde entonces como el informe cockcroft (este informe ha sido traducido al español: crockroft, 1985).Entre las consideraciones del informe cabe señalar la recomendación de que las Matemáticas escolaresdeben enfocarsea las necesidadesmatemáticas de la mayoría de los estudiantesque sólo las quieren para usarlas en la vida diaria, más que para una pequeña minoría de estudiantesque necesitaránconocimientos matemáticos especializadosen sus estudios universitarios o en su vida profesional.
además debe adivinar que es lo que se desea que conteste, rechazando a veceslo que para él sería la respuestalógica. Por ejemplo, si a la pregunta <¿quéqueda si a 5z le quitamos z?> un alumno respondeque queda 5, estará dando una respuestaque va a ser considerada errónea. Para él la respuesta es pertinente, pero no para el profesor que deseacomo r€spuesta4n. ¿Quiere esto decir que el alumno no sabe la respuesta?Para conocer la respuesta convendrá ser algo más cuidadoso y presentar la pregunta de otra manera; <¿Cuánto vale 5n-n>>'! recibió como respuesta <10 es par y 7 impar>, en lugar de <3>, como esperaba. es una de las muchas palabras a cuyo signilicado matemático han de acostumbrarselos alumnos> (Cockcroft, 1985,pág. 13).
a) ¿Débe entenderse,bajo esta premisa, que es un error dedicar tiempo a aprendizajesque son socialmenteestérilesy que la educación debe atender únicamente a aquellos aprendizajes que son idénticos a los que realmente uno va a necesitar?Básicamente,contar, operar, hacer algunas mediciones, interpretar algunas tablas de datos o gráfrcasy algo de ecuaciones.Los que así piensan entienden que las Matemáticas son como una herramienta, algo para manejar y aplicar: símbolos y fórmulas, hechos básicos y algoritmos, técnicas bien memorizadas y adiestradas. No es extraño que se sientan satisfechoscuando contemplan a sus hijos esforzándosehora tras hora en hacer mecánicos y aburridos (haciendo algo que ellos no harían, por ejemplo, sin recurrir a una calculadora). Los niños, obedientes,sufren rutina a rutina un calvario plagado de , , hasta que, al lin, ¡Eureka! son capacesde dar la respuestaestipulada, por el procedimiento estipulado, en un tiempo razonable y un suficiente número de veces.
b) En contra de esta postura de
Respuestapertinente uersus respuesta estipulada: el doble lenguaje Bajo esta concepción los alumnos tienen que aprender a rechazarmuchas de las respuestaspertinentes sin entrar a valorar la razonabilidad de las mismas y el motivo de que se produzcan. Por ejemplo, si se pregunta cuál es la mitad de 18, usted debe contestar 9, esta es la respuestaestipulada. Sin embargo esta no es una respuestapertinente porque si la mitad de 18 implica dividir l8 en dos partes iguales usted no tiene más remedio que aceptar que la mitad de 18 es 10, ya que la única manera de partir 18 en dos partes iguales es con un corte horizontal:4& Al hacerlo obtendrá dos dieces,uno arriba y otro abajo: {f,.
c) Existe también el punto de vista formalista, donde lo importante es el lenguaje formal, la coherencia sintáctica, la estructura lógica. Las ideas matemáticas vienen de las deñniciones y axiomas y la farea del aprendiz consiste en habituarse a ellas y en saber manipularlas de acuerdo con las reglas del juego. Un efecto negativo derivado de esta concepción es la falta de consideración,incluso el rechazo,de razonamientos informales valiosos. Veamos un ejemplo:
Naturalmente no pretendemos,al presentaresteretorcido ejemplo, defender la necesidadde úzar el rizo en el lenguaje, sino que lo que perseguimos es hacer ver cómo al no distinguir entre respuesta estipulada y respuesta pertinente se abre la puerta a un tipo frecuente de fracaso escolar,el que se deriva del hecho de que cuando se le hace una pregunta al estudianteno sólo tiene que entender el enunciado de lo que se le está preguntando sino que
Juan empieza a jugar con 0 y María con 100. Cadavez que Juan coge 3, María coge 2. Termina el juego cuando los dos tienen la misma cantidad. ¿Con qué cantidad termina el juego?
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,.a
1. La respuesta formal viene de la mano de poner letras y escribir igualdades. Algo asi como: esto es un problema de álgebra y será cuestión de poner la x y aplicar la operatoria: 0 f 3x : 100 + 2x. Dedondex - . . . 2.
La respuesta informal viene al pararse a pensar antes de escribir nada: quizás la respuestasea tan sencilla que no valga la pena hacer ecuaciones.¿No estará la respuestaen algún número de fácil manejo como 50 ó 100?¿Qué pasará despuésde 100 movimientos? Que Juan tendrá 300 y María 100 + 200.
LJn caso, la respuestaformal, es estándar y general; el otro, la respuesta informal, es personal y particular. En uno se aplica la herramienta tal como se aprendió en la clasede Matemáticas, en el otro se hace uso de algo que no necesariamentese aprende en la clase de Matemáticas. ¿Qué respuesta es más valiosa?¿El método general,válido para inhnidad de casoso el método particular adecuado a las especialescircunstanciasde cada situación? La pregunta formulada así es retórica, no es cuestión de negar ninguno de los dos caminos para resolver el problema. La rigidez, anclarse en un método y despreciar el otro, es negativa. La flexibilidad, sopesar las dos opciones y elegir la que parezcamejor, es positiva. No hay por qué llevar las cosasa un punto en que la dependenciade una forma de trabajar sea tal que obstaculice o inhiba la otra. Esta idea se recoge en las nuevas propuestas curriculares que se están elaborando en la actualidad:
que el niño los descubra en los libros de texto como quien descubre una ciudad perdida en el Amazonas. En el otro, las Matemáticas se constituyen con objetos que deben ser reinventados completamente por los estudiantes. Objetos que elabora la mente como consecuenciade la actividad matemática. Bien entendido que la actividad matemática no se limita a puros actos formales en el vacio, sino que como toda actividad intelectual es una actividad humana en un contexto cultural que se ve afectada por la interacción con otras personas,por la propia historia individual, por el hecho de producirse en un organismo vivo y que depende de gran variedad de variables: afectivas,lingüísticas y ambientales. Se asume que el entendimiento y el signihcado de los conceptos no se deriva tanto de sus definiciones como de la clase de problemas que estos conceptos permiten resolver. Creemos que las opiniones de Balacheff y Vergnaud dan en el blanco: (Balacheff, 1990 a, pág. 138). (Vergnaud, 1990,pág.21). En última instancia, quizás sólo sea un problema de perspectivaquizás se está confundiendo lo que son las Matemáticas como disciplina científrcay lo que deben ser las Matemáticas como objeto de estudio escolar.
2.2.2. El contraste metodológico Dos tendencias básicas dominan el panorama de la enseñanza de las Matemáticas:
67
Enseñanzadirecta uersusenseñanzq por descubrimiento o con experienciaspersonales Supongamosque se trata de la fórmula del binomio:(x * a)2 : x2 + 2ax + a2.
seprogresahastallegar al resultado casossencillosfácilmentegeneralizables, esperado: ¿Cómo crecenlos cuadrados? a\ De uno en uno:
1. En un enfoque tradicional se presentala igualdad, dándola como cierta, y se procedea garanttzarlamedianteuna demostración(aunque ningún alumno dude de su validez)que consiste,normalmente, en el desarrollo algorítmico que se deriva de las propiedadesestructurales que rigen la operatoria algebraica,en particular, la doble distributividad: (x + a)2 : (x * a\x I a) : (x + a)x + (x + a)a : : x2 * ax + xa I e2: x2 + 2ax + az La instrucción,clara, directa, ordenada,precisay elegantetermina cuando el profesor,para provocar la memorizaciín de la igualdad, presentala lista de ejemplos para que el alumno la ejercite; verbigracia:calcular 6x2 + ax * (3x + a)'. 2. En un enfoquecon experienciaspersonales,se buscaun entorno de aprendizajeque modele o interpreta la expresión (x -t a)2 y que provoque o dé pasoa la actividad individual. Por ejemplo,tómeseun cuadradode cartulina de lado x + a y otros dos cuadradosmás pequeñosde lados x ! a, hágaselas preguntasadecuadasy pídase que se formule alguna relación entre ellos:¿Sepuededescomponerel cuadradodel lado x + a de modo que en la descomposición aparezcan los cuadradosmás pequeñosde lado x y de lado a? ¿Quéotras figuras aparecen?¿Cómoson esasfiguras?¿Quésepuedegeneralizar acercadel cuadrado grande y los cuadradospequeños?
xxx.xxxx. oooxoooox oooxoooox oooxoooox o o
o
o x ....
Escribiendocon númeroscómo crecenlos cuadrados: (3 + r)2 : 32 + 2 x 3 + l;(4 + l)2 : 42 + 2 x 4 + l;... En general bl De dos en dos:
xx xx oo oo oo (3 + 2)2 :32
(x + l)z : x2 I 2 x x + |
x. x. ox ox ox
a a
x x x,
xx xx oo oo oo oo
xx xx oo oo oo oo
aa aa
xx xx xx xx
+ 2 x (2 x 3) + 22;(4 + l'¡2:
:42+2x(2x4\+22;... Engeneral
(x +2)2:
x2 l2
x (2 x x)+22.
c) En general(una tabla es una valiosa ayuda): (x+1):x2*2xx*l (x+2):x2l2x(2xx)+22 (x+3)2:xzt2x(3xx)*32 El profesor garantizaque se alcanceel resultadoesperadodirigiendo al estudiantey ayudándolecon la notación adecuada.Estemétodo,<,admitedistintoscaminoscon distintosgradosde dirigismopor parte del profesor. Véaseeste otro ejemplo en el que, también sobre un entorno sugerente,se provoca la actividad individual y, comenzandocon 68
Hasta que salte a la vista la fórmula generaldel binomio (x+a\2:x2+2ax*a2' En el enfoque tradicional (caso 1) el énfasisestá en lo formal, en la de todo signifimanipulaciónde símbolosescritossobrepapely desprovistos 69
cado, en la memorización de hechos establecidos y en el aprendizaje de rituales 1 desprovistos de todo significado concreto. En el segundo enfoque, caso 2, los signos utilizados tienen una interpretación real o realista (en el ejemplo hay un modelo geométrico que los interpreta y da sentido a la fórmula como descripción matemática de una situación real) y es la actuación sobre la situación de aprendizaje lo que da sentido y validez a la fórmula. Con todo, estas metodologías arrastran concepcionesdiferentes acerca del papel de la actividad infantil y de lo que debe ser el aprendizaje escolar. En un caso, hay una postura centralista por parte del profesor, que debe presentar un producto que otros han elaborado. El estudiante,mira, escucha, contesta a preguntas y, como si no fuera con é1,aprende. En el otro caso, a diferencia de lo que ocurre con la presentación tradicional de sentarse y esperar a que el profesor haga y diga lo que hay que hacer, la clase está descentralizaday el alumno debe rematar un producto en elaboración. El niño marca su propio ritmo, toma la iniciativa y aprende a hacerseresponsable de su trabajo, de lo razonable de su análisis y de la calidad de sus anotaciones.
2.2.3. El contraste psicológico Planteemos una disyuntiva: El niño no puede hacer bien las cosas si el adulto no le dice cómo debe hacerlas versusel niño no puede hacer las cosas apropiadamente si el adulto obstaculiza lo que puede hacer por sí mismo diciéndole que haga lo que otros han decidido que tiene que hacer, veamos un ejemplo. Juan estudia 4'de EGB y está aprendiendo a multiplicar; ya sabe multiplicar números de dos cifras por números de un cifra, colocándolos ordenadamente en la forma usual, como en el ejemplo:
cir qué propiedades y qué operacionesse ha aplicado en igualdades dadas>, como (3 + 70) x 4 : 3 x 4 i- 70 x 4, y sabe ,como (27 + 42) x 7 : ... Juan se enfrenta por primera vez a la multiplicación de dos números de dos cifras, como por ejemplo: 23 x 24. ¿Serácapaz de resolverla con lo que ya sabe, sin darle más instrucción? L
Bajo una concepción conservadora de la transferencia del conocimiento Juan no va a resolver la papeleta.La multiplicación de números de dos cifras dif,ierede la multiplicación que él ya sabehacer. Hay consideracionessobre la manera de distribuir el producto en productos parciales, sobre la forma de colocar los resultados que va obteniendo y sobre la forma más adecuada para sumarlos que no va a poder descubrir sin ayuda externa. No parece lógico que detecte la conveniencia de la doble distribución (20 + 3) x (20 + 4) puesto que es algo que no le ha sido presentado.
2.
Por contra, en una concepción más liberal se puede esperar que sí se produzca la necesariatransferenciade conocimientos.Lo que ya sabe hacer cuando el producto es de la forma 23 x 4 será para él fácilmente generalizable a la nueva situación 23 x 24. Pero, atención, sólo en el caso de que los profesoreshayan sido cuidadosos;es decir, si se han preocupado de que el niño se percate de (el papel de la propiedad distributiva en el algoritmo) la conveniencia de parcelar los productos de acuerdo con las órdenes de unidades (unidades, decenas,centenas). Si esto es así, es razonable pensar que Juan hará una doble 3) x ( 20 +4) : 4, di stri bución: 23 x24: ( 20+3) x24: ( 20+ x (20 + 3) + 2O x (20 + 3) : ..., y despuésefectuarálos arreglos pertinentes para sumar los productos parciales, aunque al principio no utilice la notación en columnas usual.
aa
x4
Juan ha sido adiestado en los Niveles Básicosde Referenciaministeriales para el ciclo medio (R. D. 71011982):sabe , sabe
I Este es el término empleado por Davis (1987, pág 98), con el sentido de algo que uno tiene que aprender a hacer, primero esto, después esto otro, y ahora esto y esto, ..., huyendo del término algoritmo que podría ser confuso, y cuyo dominio no necesariamente implica comprensión, ni lleva a ella.
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La primera concepción se mueve en la hipótesis tradicional de que el profesor enseña al niño y que ese niño aprende lo que le es enseñado.La otra, aprovecha la conducta espontáneade los niños cuando se enfrentan a los problemas matemáticos bajo la hipótesis de que el niño inventa sus propios métodos y que esos métodos tal vez totalmente diferentes a los usualmente presentados por el profesor pueden ser más adecuados a su propia manera de pensar. En el primer caso, el profesor conservador, aun aceptando que algún niño sea capaz de realizar la necesariatransferencia,aducirá que como no todos serán capaces de ella es mejor enseñar todas las componentes (o componentes idénticas a las) necesariaspara la ejecución mediante una secuenciade declaracionesclara, ordenada y estrictamentecontrolada por él
7l
Cabenenfoquesmás liberales,como el del programaholandés (Treffers,1987)(se puedenver otros ejemplosen Gómez,1988,págs. 125126),reflejadoen el siguienteejemplo(Treffers,1987,págs. 199-210):
mismo. Sólo en la medida en que las dos situacionesa resolver seanidénticas a aquélla en la que se aprendió, será posible que el niño haga la necesaria transferenciaa una de lo que ha visto hacer en la otra. Esta concepción arrastra su propia metodología; de acuerdo con ella se diseña la secuencia de instrucción descomponiendo lo que se vislumbra como una destreza compleja en partes subordinadas para jerarquizar la presentación,graduándolas en orden de dihcultad (por ejemplo, de acuerdo con la complejidad progresiva que se deriva del tamaño de los números y de las dificultades propias de los ceros). No se puede abordar un caso hasta que el caso inferior en complejidad no haya sido dominado. Asi en la multiplicación de multidígitos se enseña primero a multiplicar por una cifra y a colocar los números de una cierta manera, despuésse enseñaa multiplicar por dos cifras,por tres cifras,etc. Así es como hemos aprendido la mayoría. En el segundo caso, bajo la concepción liberal, se entiende que la introducción directa y acelerada del formato estándar inhibe la comprensión infantil del proceso implicado y que lo que se debe hacer es dejar que el niño desarrolle sus propias estrategias. cuando la multiplicación con multiplicadores de un dígito está bien comprendida, el niño podría considerar cómo desarrollar estrategias para multiplicadores de dos dígitos. un problema como 285 x 17 puede ser troceado en productos parciales por aplicación de la propiedad distributiva: 285 x 17 : 285 x (10 + 7) : (285 x 10) + (285 x 7). Esta expresión puede ser resuelta en varios pasos:
Al principio del tercer grado (8 años),la mayoría resolvióel problema por adiciónrepetida,aunquede modo variado: - Adición repetidasin usartablasde productos:23 + 23 : 46,46 + 23 : 69,69 + 23 : ... -Adición repetidacon :20+20 + 20 +... : 160y 3 + 3 + 3 f ... : 24;160 + 24 : 184. - Por pasosintermedios, con o sin usartabla de productos:8 x 23 vía 5 x 23y3 x 23 óvía8 x 10,8 x 10y8 x 3. -Por el métodode doblar:23 + 23 : 46,46 + 46 : 92,92 + 92 : 184;y variantes como20 + 20: 40,40 + 40 : 80,80 + 80 : 160, 160 + 24: 184. - Por otras varias estrategiasde conteo o de llevar la cuenta,como seconsideraquela complejidadseencuentra En estetipo de presentación gradosde esquematimásque en el tamañode los números,en los sucesivos zaciín y abreviación,ya que lo que sepersigueesir aumentandola brevedad en lo que seescribeylarapidez del cálculo.De estamanerano hay por qué de un númerode variascifraspor tratar separadamente las multiplicaciones el algoritmoes el mismo. otro de una, dos o tres cifras.Básicamente Primandola flexibilidadde cálculofrentea la rigidezusual,se pretende por el alumnocomo resultaque el algoritmoseadesarrolladogradualmente ventajas inconvenientes frente a estrategias la de sus e do de elicitación las reglasque los sereshumanoshan tardado alternativas,redescubriendo siglosen perhlar.Por lo tanto el algoritmoes el resultadode una actividad humanaque el niño puederevivir guiadopor el principio de la reinvención (entiéndase: recreary sabercómo se obtieney las razonesde suspasos).
2 85x 10: 2850 285 x 7 -- ---------------- 200 x 7-------_ 1400 80 x 7--------------* 560 5 x 7+ 35
285x7---_1995 285 x 17:2850 + 1995 De acuerdocon estapresentación, seadmitela flexibilidaden la elección del formato y seenfatizala aplicabilidadde las propiedades estructurales de la operatoria.Seconsideraque,en la medidaen que existaun ciertoisomorfismoo estructurasemejante entredos situaciones, habrá transferencia como resultadode la actividadreflexiva,más o menosdesordenada del alumno y descontroladapor el profesor. En un casose duda de lo que el pensamiento infantil escapazde lograr por si sólo; en el otro, se confia en las posibilidadesde la mentedel niño. Peroaún así,estesegundoenfoquees limitadoen cuantoa lo que se deja haceral niño y en cuantoal aprovechamiento de su conocimiento informal. 72
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r*.
2.2.4. Otroscontrastes La diversidad de pareceresno termina aquí, sino que hay otros puntos donde se manifiesta. No nos extenderemosmás, sólo sehalare-os de pasada y por su importancia, el contraste curricular que resulta al intentar implementar el currículum atendiendo, por un lado, a las diferencias individuales expresadasen términos de capacidades,de conocimientos y de experiencias prevlas y, por otro lado, a la necesidad democrática de implementar un currículum estándar y uniforme en todo su contenido para no dañar el principio de la igualdad de oportunidades. El conflicto es intenso y se manifiesta en una propuesta de pedagogía blanda, rebajando niveles en la medida que lo ,rqui"rán las caracteristicas individuales de los estudiantes,y en otrJ propuesta que, respetando la secuencia lógica inherente a las Matemáticas, atienda a ló que sé necesita para pasar de un curso o ciclo a otro. unos dirán; ¡No olviden a ros alumnos!. v otros: ¡En Matemáticas unos temas se asientan sobre otros! El desado, naturalmente, está en lograr conciliar una y otra consideración. ¿Es posible? 2.3. DOS GRANDES TEORIAS DEL APRENDIZAJE 2.3.1. ¿Necesitan los profesores conocer teorías? En la sección anterior se ha mostrado la existenciade enfoquesenfrentados como resultado de diferentesconcepcionesepistemológicas,metodológicas o psicológicas acerca de la Didáctica de las Matemáticas. El trabaio diario de los profesoresles obliga a tomar partido, debiendo situarseante lás diversasalternativas y adoptar decisionesque afectan a los siguientesfrentes: -
cu*ículum, ¿Quéprograma? ¿En qué partes se ha de poner el énfasis? ¿Cómo se debe segmentar y secuenciar? - Profesores: ¿cuál es su papel? ¿cuál es su responsabilidad?¿cómo debenjuzgar a sus alumnos? ¿eué metodología deben poner en práctica? - Alumnos: ¿Qué se puede esperar de ellos? ¿eué pueden aprender y cómo? ¿Qué necesitan?¿eué saben?¿eué han de hacer en clase? Lo que ocurra será resultado del acierto o error en la toma y aplicación de estas decisiones.Aunque muchos profesores crean que pueden tomar la mejor decisión sin necesidad de conocimientos teóricbs, il hecho es que implícita o explícitamente es la teoría la que determina el currículum y^su puesta en práctica. Davis (1990, pág. 93) nos recuerda que
informales, ingenuas,no analizadas,implícitas y que guardan poco parecido con las teorías más formales presentadasen los libros>. Estos profesorespodrán dejarse llevar por la inercia, imitación, imposición o ilusión, podrán conf,rarciegamenteen su sentido común o en el libro de texto (el libro de texto no contesta a las preguntas que hacen los alumnos ni dice cómo resolver sus problemas individuales de aprendizaje),pero dihcilmente podrán justificar su trabajo y, lo que es peor, no entenderán por qué hacen lo que hacen, no podrán saber con cerfezasi lo están haciendo bien o mal, ignorarán por qué unos alumnos aprenden y otros no y no discriminarán lo que de verdad interesa que aprendan de lo que es secundario y está más allá de lo que realmente pueden aprender. Además, en la actualidad el discurso de los profesionalesde la enseñanzase hace de una cierta manera, en función de unos conocimientos, de unas teorías y de una terminología que, como profesores, es necesaria conocer por razones culturales (estar informado y poder entender de qué se está hablando) y profesionales (es beneliciosofamiliarizarse con las modernas aportaciones de las teorías educativas). En definitiva, nos guste o no, la Didáctica de las Matemáticas se encuentra en el hlo de la navaja; desde hace décadasla seriedad de sus problemas hace que se manifiesten deseosde cambio, pero el desafio no es sólo saber qué es lo que debe cambiar y cómo llevarlo adelante. Los esluerzos por innovar y mejorar que se vienen sucediendo de forma continua no son suhcientes,la experiencia nos ha enseñado lo dificil que es la más mínima alteración en la institución escolar;no basta con hacer una propuesta, recomendación o experiencia piloto, es preciso implicar a los profesores de tal modo que el cambio no se pervierta. Hablando claro, entre las formas posiblesde cambio señaladaspor Romberg, Price (1981, pág. 186), hay que optar por el cambio real frente al cambio nominal, y dentro del cambio real, hay que lograr que no sea mecánico (adoptar los rituales y rutinas del nuevo programa sin haber captado su intención) ni ilusorio, sino que sea constructivo, es decir que implique la comprensión y aceptación de los principios y valores subyacentes. En pocas palabras,no basta con que los profesoresconozcan las actuales sugerenciasparu la mejora de la Didáctica de las Matemáticas, sino que es necesarioque las entiendan y que conozcan los argumentos teóricos que las sustentan. 2.3.2. Las grandes teorías del apredizaje En la primera mitad de este siglo los psicólogos del aprendizaje tuvieron significativa influencia en el currículum de Matemáticas. En los años 20 las teorías de Thorndike fueron trasladadas directamente a la enseñanzade la aritmética. Más adelante,en la época de las reformas curriculares de los años
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50 y 60, se hace notar cierta desilusión ante lo que se considera falta de aportaciones eficacesy falta de plasmación de las teorías del aprendizaje en teorias de instrucción claras y concretas.A linales de los años 50 las imfticaciones curriculares de las teorías del aprendizaje navegabanentre dos iguas, derivando hacia un punto de encuentro, o quizá sería mejor decir, de no agresión. Así, en el 24' del NCTM, Lankford (1959, pág. 406) señala que las ideas de los educadoresque han leído teorías del apiendizaje con un sincero deseo de orientarse en su trabajo de enseñar a los niños y jóvenes, no proceden de una sola teoría. Han encontrado que hay mucho en lo que los teóricos del aprendizaje están de acuerdo y sospéchanque para la práctica es mejor seguir esos puntos de acuerdo que adherirse completamente a una cualquiera de las teorias. Más adelante,se adhiere a una lista de 14 puntos que incluye ideas como éstas: -
Un estudiantemotivado aprende mejor que el que no lo está. Aprender motivado por el éxito es preferible a aprender motivado por el fracaso. El aprendizaje bajo motivación intrínseca es mejor que el aprendizaje bajo motivación extrínseca. La participación activa es mejor que la recepción pasiva. Se aprendecon más disponibilidadcuando er material v las tareasson signilicativas No hay sustituto para la práctica repetitiva en destrezaso hechos que han de ser automatizados. conocer los propios errores y los resultados correctos ayudan al aprendizaje. La transferencia a nuevas tareas será mejor si, en el aprendizaje, el aprendiz ha descubierto las relaciones por sí mismo y si ha tenido experienciasde aplicación de los principios.
En la actualidad los esfuerzosde los teóricos se dirigen al análisis del aprendizaje de conceptos matemáticos especifrcos,en lugar de buscar amplios principios generalesque expliquen el aprendizaje,como fue usual anteriormente. En cualquier caso, las teorías del aprendizaje que tienen su origen en los trabajos que los psicólogos de la educación llevaron a cabo en la primera mitad de este siglo, siguen influyendo en las concepcionesde las personas implicadas en el proceso educativo bajo formas más o menos actualizadas.Nos referimos a ellas bajo las denominacionesconductismo y cognitivismo, aunque no debe entenderseque sólo hay dos teorías del aprendizaje, sino que conductismo y cognitivrsmo son como paraguas que acogen una multitud de teorías bien diferentes pero que presentan caracteristicas comunes que nos permiten unificarlas. como quiera que no es posible dar una definición explícita y unánimemente aceptada de ellas, pasamos,sin más preámbulo, a describir sus característicasmás sobresalientes. 76
El conductismo
General de Educación de 1970) bajo el principio general de que la instrucción debe basarseen la enseñanzadirecta y en la fragmentación del currículum en un número de partes aisladas para ser aprendidas con el esfuerzo
la memoria es una cuestión de repetición y ejercicio' Esta vieja doctrina de la asociación de ideas (dos cosas que ocurren juntas se combinan de forma que despuésuna de ellas recuerda a la otra) se del efecto y de la disponibiliitasmo en las leyes de Thorndike del ejercicio, dad: 1. La ley del ejerciciode repetición:para que arraigueel conocimiento, es necesario ejercitar cada asociación entre estímulo y respuesta. Cada vez que se utiliza el vínculo, éste se refuerza. 2. La ley de la disponibilidad: asocia el deseo con el aprendizaje. Es necesarioquerer, estar atento, motivado, para que el vínculo se establezca o active. 3. La ley del efecto: la repetición es necesaria,pero no es condición suficiente para fijar el conocimiento, es necesariacierta satisfacción. La frjación del conocimiento dependedel grado de satisfacciónque se deriva de la respuesta;si la respuesta es satisfactoria el vínculo se reafirmará y refuerza si no lo es, se debilitará. En la práctica, según la teoría conductista, las actuacionesreforzadoras plasman en un complejo sistema de premios y castigos que en su forma se más desviadafueron, hasta no hace mucho, lavara y el ponersede rodillas y
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son, en la actualidad, la critica y la ridiculización. El carácter reforzador de una actividad se encuentra en la satisfacciónque se experimenta cuando se responde correctamente y no tiene que ver con la forma más o menos agradable con que haya sido presentada.Por ello, es un error creer que los adornos a cuatro colores y las ilustraciones con figuras de cómic grotescas que aparecenen los actualeslibros de texto sean refuerzospara el aprendizaje, más bien, como ha señalado Skinner (1984, pág. 25), todas estas cosas harán interesante y hasta atractiva la escuela,pero no sirven para generar una forma especíhcade conducta. Es necesario hacer notar que el propio Thorndike revocó su ley del ejercicio como resultado de sus investigacionestardías. No es cierto que la frecuencia del emparejamiento entre la respuestay el estímulo tenga en sí misma trascendenciaen el proceso de aprendizaje (Ausubel, Robinson, 1969,
Las jerarquías. en La forma moderna o actualizada de instrucción conductista se apoya
pás . 2 t s ) .
La transferencia del conocímiento. A principios del siglo xx la teoría de la dominaba el panorama educativo. Se creía que la mente estaba compuesta por ciertas que como músculos se fortalecen con la ejercitación. Asi, en la medida que una persona hace más uso de su capacidad de razonamiento más se acostumbra a razonar y más desarrolla su > (no hay diferentesformas de razonar ni hay dependenciade la cosa sobre la que se acostumbre a razonar). De ahí que la propuesta educativa de la época se dirija al desarrollo de un programa de duro trabajo intelectual. Se entiende que lo mejor para ello es un cóctel de lenguas clásicas (Latín y Griego), Filosofia y Matemáticas del tipo de geometría euclídea y cálculo aritmético automático (los libros de texto de la época llevan apéndices dedicados al cálculo rápido). No debe extrañar que a estas materias se las denominara ,pues realmente lo eran. El declive de esta teoría de la comienza cuando, en los años veinte, Thorndike presenta los resultados de su investigación con testsde inteligencia comparando estudiantesque han estudiado con estudiantesde educación fisica: las puntuaciones obtenidas eran similares. Este resultado lleva a Thorndike a formular su teoría de para la transferenciadel conocimiento: (Ausubel, Robinson, 1969,pág.136). Si se produce la transferen-
se puede utilizar para describir:
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ütii\¡ [ii:,U;iij
i:i j . i
sisiti*l oi Bit'-l0I
*
.,
., lr i¿'-''*s 7s rnn*ii-qiólc:r E[45
-
Una secuencia de aprendizaje o de comprensión que se da en el estudiante. Una secuenciade enseñanzaque usa el profesor. Una secuencialógica que se da en el tema.
Aunque estos tres usos no son lo mismo, Hart los considera interdependientes: indica una cadena de destrezas/niveles/etapas/conceptosque están ordenados de simple a complejo.> La enseñanzaprogramada. Las máquinas de enseñar. La corriente conductista ha dado lugar a un efimero y breve movimiento conocido como ,patroneado por el psicólogo estadounidense B. F. Skinner, famoso por postular la necesidadesde las máquinas de enseñar:(Skinner, 1984, pág.35). Esta forma de enseñanzase organiza en pequeñasunidades de trabajo, de modo que los alumnos son responsablesde su propia instrucción. Cada unidad contiene un estímulo que necesita respuesta y la respuesta correcta da paso a la unidad siguiente (por lo que queda reforzada inmediatamente).De esta manera el ritmo de trabajo se lo marca el propio estudiante. Lo valioso de las máquinas de enseñar no hay que buscarlo en la mera sustitución del agente transmisor de la información, ni en el carácter individual de la instrucción, sino en que permite aplicar lo concluido en investigaciones de laboratorio y en experimentacionesrigurosas en las escuelas,tal cual, sin ninguna omisión ni mediatización. Con todo, este procedimiento ha tenido importantes repercusionesen el mundo laboral para adiestrar empleados que tienen que responder con rapidez ante un abanico limitado de posibilidades. Su plasmación la podemos encontrar hoy en algunos manuales del tipo
El cognitiuismo Inicialmente, la oposición de las ideas de Thorndike fue encabezadapor Brownell (1935), que argumentaba que la instrucción matemática necesita apoyarse en la comprensión de los conceptos básicos matemáticos, y por el denominado
Más adelante emergerá con fuerza la hipótesis constructivista, que ha sido estandarte de los educadores progresistasy que tiene su origen en los trabajos de Jean Piaget y sus colaboradores (Inhelder y Szeminska),Jerome Bruner, David P. Ausubel y, actualmente, el denominado procesamiento de la información (surgido en los años 70),junto con la metáfora computacional fuertemente influida por el fenómeno de los ordenadores. A estas dos últimas corrientes les une el intento de caracterizar la actividad inteligente de los humanos en términos de representaciones(el proceso de edición, creación y transformación de la información). En general, se admite que hay tres niveles estructurales en el sistema: uno sensorial, una memoria de trabajo, y una memoria a largo plazo. Toda la información entra al sistema por el registro sensorial,pero sólo puede permanecerallí un corto período de tiempo. Para permaneceren el sistemala información debe entrar en la memoria de trabajo donde será combinada con la información procedentede la memoria a largo plazo (Romberg,Carpenter, 1986,pág. 853). El esfuerzo llevado a cabo para entender como actúa el sistema en situacionesparticulares ha encontrado caldo de cultivo en el aprendizaje de las Matemáticas, dando lugar a un floreciente aluvión de importantes y significativos resultados acerca de cómo procesan los niños el conocimiento matemático. Por su parte, la inteligencia artifrcial trabaja en la construcción de programas para que la máquina ejecutetareas que son análogasa las que hacen los humanos y que en algún sentido requieren de algo que puede llamarse inteligencia.Si el programa consigueque la máquina haga lo mismo que hace el hombre ante la misma tarea, entonces,parece razonable que la teoría subyacente que explica el comportamiento de la máquina, la teoría que explica cómo procesa la información y da lugar al programa, debe ser una buena teoría para explicar también el comportamiento del hombre, cómo éste procesa su información, cómo razona. El campo de las Matemáticas donde más ha florecido este modelo de la inteligencia artiltcial se corresponde con aquel en el que se pueden identihcar algoritmos, especialmente algoritmos de cálculo. Paradójicamente,una de las cosasque ha puesto de manifiesto la utilización de ordenadoreses que el hombre no siempre piensa como ellos. Este es un tema al que se le presta atención en la actualidad, el estudio del razonamiento de las personasen términos de divergencia con los ordenadores:¿por qué los errores en el pensamiento, o por qué los anclajes o concepciones persisten incluso con estudiantes que han estudiado los temas completamente?¿Por qué nos engaña la intuición a veces?(Fischbein, 1990 b). Esta es precisamentela debilidad de la inteligencia artificial, su falta de explicación plausible a estetipo de problemas y, en general,a los problemas de naturaleza epistemológica.
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La hipóte,sisconstructiuista. La idea de que la experiencia (no en un sentido empírico de repetición, sino de actividad) y el conocimiento preexistentejuegan un papel fundamental en el aprendizaje se encuentran en el origen de la hipótesis constructivista. Se cree que el conocimiento conceptual no puede transferirse como un producto elaborado de una persona a ofÍa, sino que debe ser construido activamentedesdela propia experienciay no recibido pasivamentedel entorno por el sujeto cognitivo. El niño piensa por sí solo de un modo independientey espontáneocomo resultado de su esfuerzopor adaptarse al mundo que se le presenta.Cuando las nuevas ideas inciden sobre otras ya existentes,ideas anteriores,se crea un conflicto, una situación de que atenta a la estabilidad de su estado mental; el niño reacciona como ser vivo a esta perturbación con un efecto como de contrapeso, lo que Piaget denominó . Para explicar este fenómeno, Piaget introdujo las ideas de asimilación y de acomodación: Entiende por asimilación la adopción o incorporación de nuevos datos a las estructurasexistentes,la aceptaciónde nuevas ideas,y por acomodación entiende la modificación y enmienda de las estructurasexistentes para hacer posible la asimilación. Así, por ejemplo, aprender a sumar consisteen asimilar y acomodar en la misma estructura conceptual todas las accionesde la vida cotidiana que expresamosmediante verbos como añadir, reunir, agregaÍ, etc. y hacer de ella un instrumento de interpretación de la realidad que permita resolver las situacionesdonde aparece.Este modelo de aprendizaje concibe el desarrollo cognitivo durante la infancia como una consecuencialógica del funcionamiento cognitivo reiterado, es lento y gradual, no se produce de un día a otro, y provoca sorpresas desagradables cuando aparecencomponentesque no habían sido integrados o acomodados en su momento, haciendo que se tambalee el conocimiento que se creía adquirido. Hay muchos ejemplos de tambaleo por mala integración y acomodación en el aprendizaje de las Matemáticas, por ejemplo en el campo de los números racionales. De la misma manera que se acepfa que 919 : l, se debería aceptar que 0,9 : 1. Pero esto choca con la idea intuitiva de que como decimal periódico no alcanzanunca a 1. Incluso despuésde presentar diferentesdemostraciones,muchos alumnos se niegan a creerlo. El origen del problema debe buscarse en la forma como se enfocó el signihcado de las expresionesdecimales,en particular de las decimalesperiódicas. Otro ejemplo notorio de mala acomodación se da con el orden de los decimales: mucha gente contesta que el siguiente de 6,353 es 6,354, y se maravillan cuando se les hace ver que los números de esta clase no tienen siguiente.(Incluso al señalar que, por ejemplo, 6,3535 está entre ambos, hay 82
quien no acaba de creerlo. Piensan que 6,3535no puede ser mayor que 6,353, porque tiene más cifras decimales.) La disponibilidad cognitiua. Lqs etapas o niueles. La disponibilidad para el aprendizaje depende de lo adecuado del equipamiento cognitivo que poseeel estudiante para enfrentarsecon los requerimientos de una determinada nueva tarea de aprendizaje.Esta adecuación se contempla bajo dos aspectos:por un lado, el de los conocimientosprevios especílicosque se poseen en relación con la particular materia a aprender y por el otro, el del estado de desarrollo intelectual o madurez cognitiva del individuo. El intento de caracterizar el estado de desarrollo intelectual ha dado resultados realmente valiosos, especialmentedesde que salen a la luz las del matrimonio Van Hiele. El término (etapa) o indica una partición en fases,como resultado de diferenciar las característicasgeneralesde la mayoría de los miembros de un grupo de los de otro, en términos del cambio que se produce en la estructura cognitiva desde el punto de vista del aprendizaje. Dicho de otra manera, en términos de lo que se es, o no, capaz de pensar en un momento determinado. En general se acepta que el niño progresasiguiendo una secuenciaregular de etapas, en una transición desde la dependencia inicial del mundo de lo real y concreto a la habilidad para captar el significado de proposiciones abstractas presentadassimbólicamente. La transcendenciacurricular de las teorías de etapas o niveles es notoria y se deriva de la interpretación que se les ha dado como estrategia para decidir el punto óptimo para introducir un determinado contenido en el currículum. Ofrecemosa continuación una muy breve descripción de las etapas de Piaget y de los niveles de Van Hiele. Las etapas del desarrollo intelectual de Piaget que tienen que ver con el período escolar son (existen numerosas referencias en las que se pueden encontrar descripcionesmás detalladas de estas etapas):
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Preoperativa: se caracteriza por la utilización de abstraccionesprimarias, relacionadascon experienciasconcretasempíricas.El niño aprende lo que es un cuando ha sido enfrentado con ejemplaresde este concepto. En esta etapa la necesidadde manipular objetos reales es el requisito o condición necesaria paru el aprendizaje; a partir de ahí ya puede entender algunas proposicionessimples que incluyan este concepto. Operaciones concretas:se caracteriza por la emergenciade la conservación de la masa, peso, número y volumen. En esta etapa aparecen conceptos secundarios o que no necesitan ser abstraídos de la experiencia concreta. Por ejemplo, se puede definir que un rombo es un
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cuadrilátero con los lados paralelos y hacerle ver algún ejemplar. Persistenlas limitacionespara captar y manipular proposicionesverbales sin necesidadde referirse a ejemplos particulares. Operaciones abstractas: se caracteriza por la liberación del pensamiento de la preocupación por las cosas reales y por pasar a abarcar relacionesentre representacionessimbólicas que podrían ser o no ciertas con respecto a los datos (se formulan hipótesis, se buscan explicacionesy se establecenconclusiones).Se puede entender el signihcado de abstraccionesverbalmente. sin necesidadde referirsea obietos particulares. Los Van Hiele ven el proceso de aprendízajecomo discontinuo, los saltos revelan la presencia de niveles, cada nivel tiene su propio lenguaje y por lo tanto si el profesor está hablando a un nivel superior al del muchacho, no hay posibilidad de comunicarse signilicativamente con é1. Señalan los siguientes cinco niveles de razonamiento (para una descripción más detallada de estos niveles ver Jaime, Gutiérrez, 1990): 1. Visual: las liguras se distinguen en función de su forma individual, como un todo, gracias a consideracionesvisuales (posición, tamaño, aspecto).En este nivel no se ven componentes ni relacionesentre las figuras y sus atributos, como por ejemplo que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos y los lados paralelosdos a dos. 2. Descriptivo: se distinguen las componentes(partes y atributos) de las figuras y se establecenalgunas propiedades de modo experimental. Por ejemplo, se puede ver que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos o que los paralelogramos tienen los lados opuestos de la misma longitud, pero aún no se es capaz de reconocer que un rectángulo es un caso particular de paralelogramo. 3. Abstracto: se establecenpropiedades mediante razonamientos informales. Se establecendefiniciones abstractas y se pueden distinguir condiciones necesariasy suficientes para determinar un concepto. Comienzan a establecerseconclusiones lógicas y se pueden hacer clasificaciones.Por ejemplo el cuadrado es un caso especialde rectángulo y el rectángulo es un caso especialde paralelogramo. 4. Deductivo lógico-formal: comienza el razonamiento matemático formal. Se opera con el sistemade leyes lógicas, axiomas y teoremas.Se pueden realizar razonamientos deductivos formales y complejos. 5. Rigor: se pueden comparar sistemasaxiomáticos basadosen diferentes conjuntos de axiomas y puede estudiargeometríaen ausenciade modelos concretos.
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El aprendizaje significatiuo. Hemos dicho que el equipamiento cognitivo que poseeel estudiante para enfrentarse con los requerimientos de una determinada nueva tarea de aprendizaje se contempla desde el estado de madurez cognitiva y desde los conocimientosespecificosque se poseenen relacióncon la particular materia a aprender. El papel de este segundo aspecto, el de los conocimientos específicos previos, se explica en el cognitivismo en el marco del aprendizaje significativo (Ausubel, Novak, Hanesiam, 1987 y Ausubel, Robinson, 1969).Es signifrrcativo cuando una idea se relaciona de un modo (con sentido) con las ideas que el aprendiz ya posee.Desde este perspectiva,el aprendizaje es un proceso a través del cual se asimila el nuevo conocimiento relacionándolo con algún aspecto relevante ya existente de la estructura cognitiva individual. El grado de significación dependerá de la extensión de la interacción entre la forma final de la idea y las ya existentesen la estructura cognitiva. Se acepta,incluso, que el aprendizaje puede ser no significativo o de signihcación nula, piénseseen la solución de un puzzle:.No es posible relacionar la respuesta(descubierta,por ejemplo, por ensayo y error) con un conocimiento anterior o preexistente. El conocimiento consiste, para Ausubel, en hechos, conceptos, proposiciones, teorías y datos disponibles y organizados jerárquica y piramidalmente (las ideas más generalesestán en el vértice) en lo que se denomina (estructura cognltlva). En cierto modo, la distinción entre aprendizaje significativo y no signihcativo se puede enlazar con la distinción que hace Skemp (1989) entre y . La comprensión instrumental de un concepto cuantitativo consistiría en disponer sólo de una colección de reglas aisladas (presumiblementeaprendidas de memoria) para llegar a las respuestasde una limitada clase de problemas. Comprensión relacional, por contra, consistiría en disponer de un esquema apropiado o conjunto de estructuras conceptualessuficientespara resolver una más amplia clase de problemas. Para lograr el nivel de signihcación óptimo, Ausubel propone la enseñanza por . . En enseñanzareceptiva pura, el profesor enunciará la generalizacióny quizá la ilustrará con uno o varios triángulos particulares dibujados en la pizarra. Lo que interesa señalar es que la tarea de aprender no conlleva ningún descubrimiento por parte del estudiante: Se le presenta la generalizacion y él sólo debe aprenderla y recordarla.
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por otro lado, el contenidoprincipal por descubrimiento, En enseñanza de lo que debeser aprendidono se presentaen su forma final sino que debe serdescubiertopor el estudiante.En el ejemplobajo consideración, el profesor debe emplear una forma de aprendizajepor descubrimiento, pidiendo a cadaniño que mida los ángulosde un número de triángulospara ver si puedeformular alguna generalizaciínconcernientea su suma))(Ausubel, Robinson,1969,págs.43-zM). En esencia,el aprendizajepor descubrimiento
Ens. receptiva Apr.significativo
Ens. por descubr. Apr.significativo
Ens. receptiva Apr. de memoria
Ens. por descubr. Apr. de memoria
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Receptiva Descubrim Enseñanza por descubriDebequedarclaro que,raramente,seencuentraenseñanza miento o receptivade un modo puro, y que hay varios gradosde dirigismo o de mayor o menor descubrimiento,como también hay más o menospartici86
pación de los estudiantesen la enseñanza receptiva.Del mismo modo, hay gradosde significacióno de memorizaciónen función de la amplitud de la interacciónque el estudianteestablezcaentre las nuevasideas y las ya existentesen su estructuracosnitiva. Resoluciónde problemas. Uno de los procesosen los cualesel aprendizajepor descubrimientoesla actividadpredominantelo encontramosen la resoluciónde problemas,entendiéndolano en un sentidode aplicaciónsino en el sentidode relación entre los conocimientosque se tienen y la manera particular de resolverla situación.Por ejemplo,sabiendoquela fórmuladel áreade un triánguloes,S bxh y dadas la base y la altura, hallar el área es un problema de ¿ aplicación.En cambio,determinarqué figuras regulares(triángulos,cuadrados,etc.)permitenhacerun mosaicoregular,sí es resoluciónde problemas en el sentidoque aquí le estamosdando. Ahora bien, aceptadoque resueltoun problemahemosaprendidoalgo, eso no significaque nos hayamosconvertido en mejoresresolutoresde problemasen general;puedeque sólo signifiqueque hayamosaprendidoa resolvereseproblema.Es decir,no estáclaro que haya transferencia de lo aprendidoen la resoluciónde un problemaa otro, porquecadauno tienesu peculiaridad,su contextoy su contenidopropios. podemosdecircon Polya que preguntara Pero,haya o no transferencia, los estudiantes<¿dequé otras maneraspodéisobtenerla solución?>> tiene (Pedersen, Polya, 1984a, págs.35-36): efectosbeneficiosos 1. Es un desafioy la oportunidadde sercreativoo inventivoen clasede Matemáticas.Si lo que inventanesnuevopara ellosy sientenque lo han descubiertoellos solos,se sentiránsatisfechos y se inclinarána repetirla experiencia. 2. Intentar encontrarresultadosde manerasdiferentespuedellevar a, por ejemplo, generalizaro particularizar,buscaranalogíascon otros problemasya resueltos,en frn, a mejorar las propias técnicasgenerales de resoluciónde problemas. 3. Analizando diferentessolucionesde un mismo problema,es casi seguroque los estudiantesdescubriránrelacionesque incrementarán su comprensiónde los aspectosmatemáticosque rodeanal problema. 4. Cuandolos estudiantes seacostumbrana pensaren otras soluciones, un problemano se consideraacabadoaunquehayan logrado una solución. Esto es una mejora en comparación con la actitud de muchosestudiantesque, resueltoel problema,lo abandonanpara 87
siempre, sin sacar partido y perdiendo mucho de lo valioso que pueda encerrar. 5. con todo, preguntar a los estudiantes sobre diferentes soluciones introduce cuando menos elementossorpresa;los profesoressabemos, cuántas maravillosas respuestas que no conocíamos nos enseñan nuestrosalumnos. En su libro (polya, 1970),formula sus conocidas cuatro fases: 1. 2. 3. 4.
Comprensión del problema. Concepciónde un plan. Ejecución del plan. Examen retrospectivode la solución obtenida.
Para cada una de estasfases,Polya elabora una larga lista de preguntas para el alumno: ¿cuál es la incógnita? ¿cuáles los datos?...¿Es sufrcientela información proporcionada por los datos o incorpora alguna redundancia o contradicción?...Y consejospara el profesor: Debe hacerlesinteresar y debe darles el mayor número posible de ocasiones de imitación y práctica; el maestro debe ayudar, pero no mucho, ni demasiadopoco, de suerte que te deje asumir una parte considerabledel trabajo;el maestro debe ponerse en el sitio del alumno para tratar de comprender su punto de vista e indicar algún catnino que pudiese ocurrírsele al propio alumno. El currículum en espiral. Consistentecon las característicasevolutivas del funcionamiento cognitivo, con la idea de que el aprendizajees un proceso gradual de reorganización y readaptación de la información hacia formas cada vez más complejas y, enlazando con la necesidadde preparar (disponibilidad) cognitivamente el aprendizaje, se encuentra el enfoque del . Este enfoque, cuya génesisno esta clara aunque se atribuye a Bruner su impacto en el currículum de Matemáticas (en N.C.T.M., 1959ya está implícita esta teoría), respondea la tendencia de introducir la materia de un modo preliminar, aun cuando los estudiantes no han alcanzado la edad en la que ésta debiera introducirse formalmente y en la que se espera que alcanzarán su más completa y clara comprensión. convencidos de que la comprensión de las ideas matemáticas es un continuo, que crecey se desarrollaen la medida que el conceptose extiende, amplía y aplica a nuevas situaciones a lo largo del período de enseñanza,se argumenta que hay que aprovisionarse para el futuro, preparando la evolución gradual del contenido hacia sus versionesmás solisticadas a través de revisiones bajo formas cada vez más complejas. 88
En la presentaciónescolar de los decimalesencontramos un ejemplo que ilustra esta idea. Los decimales aparecen en 4o de EGB a partir de las fracciones con denominador, l0 ,100, etc. y se vuelve a ellos en cursos sucesivos cambiando de contexto y ampliando la perspectiva. ¿Por qué varios años para presentarel mismo tema?No es por una simple cuestión de repetición y reforzamiento, sino por una cuestión de acercamiento gradual. La compresión de los decimales no se contempla como . Se considera que no hay por qué restringir la enseñanzaen los primeros años a las destrezasbásicas,sino que hay que preparar la completa comprensión de los conceptosbásicos y principios generales,aunque sea de un modo intuitivo, para fundamentar la asimilación posterior más abstracta, incrementar el potencial significativo y prevenir el aprendizaje memorístico. Veamos otro ejemplo: La propiedad distributiva encuentra su raíz en la aritmética elemental. U n estudi anteque sabeque3 x 10es 30y que 3 x 2es 6, yque puedellcgar aconcl ui rque3 x 12sepuedeobt ener apar t ir desum ar 3 x 10y3 x 2oa partir de sumar 12 tres veces,habrá comenzado a comprender el importante principio general que llamamos propiedad distributiva y cuya formulación algebraica encontrará más adelante: o x (b + c) : a x b + a x c. Este mismo estudianteva a encontrar en muchas otras situacionesesteprincipio; por ejemplo, cuando deduzca que 3 paquetesque pesan cada uno un kilo y cuarto pesanen total tres kilos y tres cuartos. Lo volverá a encontrar cuando aborde sofisticadasideas algebraicascomo vectores,matrices, etc., o cuando se enfrente con justificaciones como la misteriosa regla para multiplicar negativos (menos por menos es más>:
o: -3 x (4-_2;:ir:.,., ,;1 :_o.Luo*"r;! o : -a x (b-b)
* ?* ¿!, ? a---rr,
¿fr? a_r,
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De esta manera se conecta con la idea de que los contenidos de un nivel educativo superior deben darse previamente en el nivel educativo anterior y se entiende la famosa conjetura de Bruner: (Bruner, 1988,pág. 33). Por ello, en el currículum en espiral, la tarea del profesor es trasladar las ideas al lenguaje que es compatible con las capacidadesy nivel de razonamiento infantil. Esta es una tarea ciertamentedificil, por la natural tendencia a adoptar el mismo nivel de discurso en la enseñanzade una materia que el
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que se ha seguido para aprenderla y porque una vez aprendida se vuelve más fácil en apariencia y se olvidan las dificultades y pasados. "onfli"to, 2.4. IMPLICACIONES DOS MODELOS
DE LAS TEORIAS EN LA ENSEÑANZA:
2.4.1. Bajo la teoría conductista El conocimiento. El aprendizaje. La memoria. La instrucción
basado en la asociación (si dos cosas se aprenden juntas una recuerda a la otra) y hjación de ideas gracias a la repetición.
La memoria va unida al aprendizaje,pueses la encargadade hjar el conocimiento igual que se hja una fotografia sobre el papel, hasta el punto de que no se sabe muy bien dónde está la línea que divide aprendizajey memorización del contenido. La instrucción es sencilla, basta con verter el conocimiento en el barril, llenar la mente de los niños
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La clase. El libro de texto. El profesor Partiendo de la base de que todos tenemos la misma aptitud para memorizar, y siempre que el profesor exponga con claridad, todos podemos aprender lo mismo y al mismo ritmo, salvo los atipicos y los no capacitados.Pero, ¿quién cuestiona que el profesor experimentado expone con claridad? Y por eso la enseñanzacolectiva es la adecuada:Los niños se agrupan por edades cronológicas en clasesy se les transmite a todos el mismo conocimiento, para lo cual lo mejor es que todos utilicen el mismo libro, el libro de texto. El libro de texto contiene el saber institucionalizado, refrendado por la comunidad de educadores, apoyado por la tradición y auspiciado por las autoridades educativas.Es el saber oficial, seleccionado,estructurado, organizado por cursos y adaptado a la edad cronológica del niño. (Rico, 1990, pág. 22). Los juegos no deben entrar en el aula, porque se consideran una desviación frívola de la tarea de aprender. El juego es un elemento distorsionador de la buena marcha de la clase,aunque necesario,pero para eso ya se tiene el momento del . El profesor es el transmisor social que vierte el conocimiento, establecido en el programa y desarrollado en el libro de texto, enlacabeza de los niños en la que se escribe como si de una pizarra tratara. El profesor debe conseguir que el niño atienda, debe controlar el tiempo de trabajo, los ejercicios que hace y tiene que decidir cuándo debe pasar a la tarea siguiente.Este paso o cambio de tarea debe ser visto por el niño como un avance, un objetivo a conseguir; lograrlo será su recompensa y hará que se sienta satisfecho: (Romberg, Carpenter, 1986,pág. 851). Por estecamino, la clase se desarrolla magistralmente,el profesor desvela día a día el conocimiento encerrado en el libro reproduciéndolo 1o más lielmente posible, con el mayor detalle y de la forma más clara. Fuera del libro de texto no hay conocimiento que meÍezca la pena ser aprendido.
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La motiuación La desgana del niño por aprender se resuelve mediante un sistema de premios y castigos: por un lado las medallas, los cuadros de honor, la posición adelantada de la clase, las buenas notas, las palmaditas en la espalda, la consideración del profesor y la exaltación ante los compañeros; por el otro, la posición retrasada en clase,las llamadas al orden, las amenazas y el informe a los padres,las malas notas, la marginación por el profesor, la ridiculización y las recriminaciones públicas. Cabe preguntarse qué se potencia con estas actitudes, si el deseo por aprender del niño o, más bien, lo que se potencia es la sumisión, el deseode aprender para no ser reprendido, para evitar el castigo o el ridículo. Si es así, se corre el peligro de que aprendiendo a la fuerza el niño se acostumbre a la obediencia y a la pasividad cuando no haya nadie que lo mande. No está claro que este tipo de motivación, basado en los méritos y deméritos, se derive de consideracionespedagógicaso didácticas. La programación. La eualuación Como quiera que el niño aprende acumulando capacidades,de acuerdo con una secuencia aditiva, en raz6n a la naturaleza jerárquica del aprendizaje (unos conceptos preceden a otros), la instrucción debe ser planifrcada, es necesario no dejar nada a la improvisacíon. Planihcar la instrucción es establecer la lista de objetivos. Un objetivo es algo más que una simple intención, un objetivo es una meta que se expresa en términos de deber: el alumno debe conocer, debe saber, debe aplicar, debe reconocer, debe ser capaz. Una vez se han establecido los objetivos, es preciso determinar el punto de partida, es decir, por dónde empiezala instrucción, qué es lo que ya sabe el escolar en lo que se refiere al tema objeto de enseñanza.La respuesta a esta pregunta da lugar en la práctica a la secuenciade instrucción que el maestro seguirá paso a paso y que se concreta en una ruta o lista jerarquizada de detalles y objetivos subordinados que, sin son adecuados,llevarán al escolar al objetivo superior o meta establecida. Lo malo de las listas de objetivos, entre otras cosas,es que dicen lo que se pretende que el alumno aprenda, pero no dicen nada de cómo lograrlo, no contienen una propuesta didáctica. No se dice gran cosa acerca de en qué se fundamentan y cuál es el marco de relacionesentre ellos; pero sobre todo, el problema con las listas de objetivos es que es dificil saber cuándo hay que terminarlas, cuántos hay que poner, cuál es el grado de refinamiento con que deben precisarse.De este modo, lo que se produce es una fragmentación (Eigenmann, 1981). El profesor debe controlar el dominio de la materia alcanzado por los niños en base a la medición del saber observable,es decir, del saber que se 92
puede mostrar. De esta manera lo importante es el éxito en la respuesta estipulada y no se tiene en cuenta la bondad o no del camino seguido para lograrla. El conocimiento que aporta el niño es irrelevante, pues se parte de la base de que el niño llega a la Escuela desinformado y el maestro no debe preocuparse de otra cosa que de facilitarle las respuestascorrectas. corregir sus errores y organizarle la tarea. Mientras conteste correctamente,no importa si el niño entiende lo que hace, no importa si tomándose tiempo será capaz de, reflexionando, calcular respuestas pertinentes aunque no sean estipuladas.Por eso la evaluación es sencilla ya que sólo hay que contar el número de respuestascorrectas.El número de fallos da el diagnóstico.Los errores indican faltas de atención, de estudio, de interés, por 1o tanto no son motivo de reflexión para el profesor, no se utilizan para reencauzar el aprendizaje,sino para saber a qué alumnos hay que sancionar. Cuando el maestro dice que el niño ya sabe restar, quiere decir que sabe calcular correctamente la resta, aunque no sepa por qué hace lo que hace:
372 -154 .¿Dedóndeel 12? n5 y 1 de ant es, 6; de 6 a7, l>>. ¿De dónde el I que sum o al 5?
2.4.2. Debilidades del conductismo Esta teoría ignora los problemas educativos, las razones del fracaso escolar y el papel que juegan los errores en el aprendizaje.Prehere responsabllizar más al estudiante de su aprendizaje que al profesor de su falta de preocupación por mejorar su método de enseñanza. Es una teoría ciega en cuanto a las diferenciasindividuales, a los intereses personalesy al conocimiento informal que el niño aporta y que no tiene en cuenta. Es ciega porque ignora las nuevas tecnologías,televisión, ordenadores, calculadora, y sus implicaciones educativas (el énfasis no debe estar nunca en 1o que las máquinas pueden hacer, sino en lo que las máquinas nunca podrán hacer por nosotros, es decir, pensar: explorar, conjeturar, probar, plan tear, formalizar, generalizar). Siguiendoesta teoria, se prima el aprovechamientode las destrezasy se ignora el desarrollo de las habilidades generales.Se aprende a seguir ciegamente unos procedimientos y, cuando esto ocurre, lo normal es que se empleen rígidamente y que se prehera la respuestamecánica y trabajosa a la más inteligente o rápida. Se prima el individualismo (no hay lugar para la participación), la sumisión (se aprende para no ser reprendido) y la pasividad (ya que no se motiva el deseo por aprender del niño). Se enfatiza el conocimiento olicial, el del libro de texto (no hay otras fuentesde información). No hay cuestionamiento del conocimiento impreso, ni del que imparte el profe-
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sor, pues en ellos se haya depositado el saber. Se potencia la selección y consiguienteexclusión de los alumnos en razón de la superación o no de los aprendizajesestipulados con el argumento de la suficienciao falta de competencia intelectual. Al aplicar esta teoría, aparecen diferencias importantes entre lo que se pretende enseñar (currículum ohcial), lo enseñado (curriculum implementado) y lo aprendido (currículum efectivo),entre las pruebas y en sus resultados, no sólo entre diferentesprofesores,sino también a lo largo de la carrera de un misrno profesor. En fin, siguiendo esta teoría se fomentan creencias debilitadoras: 1. 2. 3. 4. 5.
Aprender Matemáticas es memorizar. La comprensión juega un papel secundario. La incapacidad para responder con rapidez es señal de inferioridad. Siempre hay una regla para resolver cualquier problema. Sólo hay una manera correcta de resolver un problema.
2.4.3" Bajo la teorÍa cognitiva El conocimiento. El aprendizaje. La mentoriq. La instrucción. En lo que se refiere al conocimiento presente,se tiene especialmenteen cuenta la diferenciación entre conocimiento espontáneoo informal y conocimiento formal. El primero se construye por el individuo interactuando con su entorno, constituyendo su realidad individual (lo que piensa, lo que cree, lo que sabe de la calle). El conocimiento formal es el que corresponde al objetivo educativo, el que se encuentra en el currículum desarrollado, distinto del currículum implementado o aprendido y del currículum ohcial o del libro. El aprendizaje es un proceso constructivo interno, es decir, un proceso que se apoya en la actividad cognitiva del sujeto para reorganizar y ampliar el conocimiento previo. Este proceso de reorganización (asimilación, equilibración y acomodación en la teoría piagetiana) supone que todo nuevo conocimiento se relaciona, más o menos sensiblemente,con algún aspecto relevantey ya existentedel conocimiento previo y se hace sitio en la estructura cognitiva modihcando su configuración previa. El signihcado de los conceptos reside en estas relaciones y por eso se prefiere hablar de ,para poner el énfasisen el hecho de que los conceptos han de estar interrelacionados.La estructura es así la esenciadel conocimiento. El término estructura carece de definición unánimemente aceptada,no obstante y para precisar de qué estamos hablando, he aquí dos definiciones sugerentes:
forman un todo organizativo y signifrcativo>(Baroody, 1988, pág.24).Yalga el dibujo como aproximación intuitiva a lo que se quiere decir:
Aquí hay puntos
Aquí hay puntos de información relacionados
Aquí hay puntos de información relacionados significativamente. ¡Estructura!
(Skemp, 1989,pág. 3). Otro aspecto esencial en el aprendizaje es el papel del equipamiento cognitivo; esto es, por un lado, la cantidad, la claridad y organización del conocimiento presente (hechos, conceptos, proposiciones, etc. disponibles y organizados en la estructura cognitiva individual), y por otro, la madurez o etapa cognitiva del sujeto. El término (€tapa)) indica la fase del desarrollo intelectual en un individuo en relación con los cambios generales que se producen en la estructura cognitiva de la mayoría de los miembros de su grupo de edad desde el punto de vista del aprendizaje. Por último, se reconoceel importante papel que juegan en el aprendizaje las contradicciones o conflictos cognitivos. Hasta el punto que adquirir un conocimiento es, en cierto modo, un obstáculo para la adquisición de más conocimientos. En dehnitiva, proceso constructivo interno, disponibilidad cognitiva, estructura y establecimiento de redes de signiftcados,diferenciación entre conocimiento formal y conocimiento informal y conflictos cognitivos conliguran las ideas fundamentalesdel coenitivismo. De ahí las sisuientes implicaclones: La adquisición del conocimiento formal está profundamente influida por el conocimiento espontáneo,no sólo porque los estudiantes tienen preconcepcionesacerca de los temas de estudio que frecuentemente hay que remover, sino porque si falla la instrucción en la aportación de la significación adecuada los estudiantescrean la suya propia aunque no sea apropiada. 2. Como el conocimiento es construido por todos y cada uno de los que aprendenconforme a su experienciay a sus conocimientosprevios, debemosesperarque distintos individuos pienseny razonen de modo diferente.Lo que quiere decir que aprenden de modo distinto, que no l.
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t todos pueden aprender lo mismo, y que lo que aprenden no siempre coincide con lo que el profesor quiere transmitir. El hecho de que los niños piensen y razonen de modos diferentes no contradice la hipótesis piagetiana de que todos pasan por las mismas etapasy en el mismo orden, en función de sus edadescronológicas y mentales y de su propia experiencia: (Coll, 1987, pág. 149). 3. La forma de pensar del niño, su lenguaje y actuación, difreren de las del adulto. Los niños no son adultos en pequeñito y no pueden ser tratados como tales en las situacionesde aprendizaje.A menudo hay un vacío entre la presentación del profesor y el punto de vista del estudiantesobre la misma idea que es probablementeel factor más importante de los que influyen en la falta de efectividadde la educación matemática (Balacheff, 1990 b, pág. 193). 4. Aunque el aprendizaje memorístico puede existir, es inadecuado como única fuente para la adquisición del conocimiento. Lo realmente valioso es el aprendizajede relacionesy la búsqueda de significado en todo lo que se aprende.No debe confundirse repeticionesjustificables con aprendizaje de memoria, ya que es aconsejableregresarde cuando en cuando a las ideas elementalespara, con enfoques diferentes, progresar hacia formas y explicaciones cada vez más relinadas o abstractas. Ciertamente, hay aspectosde la Matemática que han de ser aprendidos aisladamentey de memoria, por ejemplo, los símbolos y los nombres de los números (once, doce, ...) o la equivalencia entre unidades de medida. Incluso puede ser bienvenido el empleo de elementos mnemotécnicos:
t<2
2>1
Por ejemplo, no es fácil para un niño aprender el sentido en que se aplican los signos de mayor y menor (¿quées lo correcto: | > 2 6 | < 22), como tampoco es tácil aprender cuál es la mano derecha y cuál es la izquierda. Sin embargo la interpretación que hace el dibujo del simbolismo puede ser valiosa en la medida que permite recordar un conocimienro que igual que tiene un sentido podría tener otro. Pero los elementosmnemotécnicos pierden su valor cuando son obstáculos o inhibidores del aprendizaje. 96
Imaginemos que para recordar las tablas, nos apoyáramos en hechos chocantes como que el resultado de 7 x 8, 56, está formado por los dos números,5 y 6, que van ant es delT y del 8, en vezde usar que 7 x 8 es 7 x 7 + 7. Pero lo realmente valioso, mucho más que la simple acumulación de hechos aislados, es el aprendizaje de relaciones particulares. Por ejemplo es un número difÍcil de memorizar clfra a cifra, pero 14327651098131211 sencillo y duradero si se percibe la relación que hay entre sus cifras: 1. . .4 3 2. . . 7 6 5. . . l0 9 8. . . 13 12 11
293336404347 Un grupo aprendió los números de memoria, siguiendo la sugerenciadel investigador de que agruparan los números de tres en tres. El segundo grupo fue animado a buscar el principio que subyace en la secuenciade números. Se les administró un test para ver qué recordaban, una vez tras el experimento y otra vez tres s€manasdespués.Los resultadosdemostraron que mientras que la puntuación en la retención inicial fue similar, el grupo que intentó encontrar el principio retuvo mucho mejor el resultado en la segunda vez>> (Ausubel,Robinson, 1969,pág. 118). Y aún es mejor almacenar relacionesgeneralesque resuman la información relativa a casos particulares. Es más, por este camino no hay límites para el almacenamiento de la información. ¿De qué otra manera seríamos capacesde aprenderlas inhnitas sumas I + 0, 2 + 0,3 + 0,...n * 0,...si no fuera por que sabemos el principio general de que sumar cero es dejar las cosas como están? Realmente memorizar relacioneses bastante más económico que memorizar copiando la información unidad a unidad. En otras palabras, el aprendizaje es más efectivo cuando se establecen relaciones signihcativas. A causa de las diferenciasindividuales en cuanto a la preparación para el aprendizaje,la instrucción es desigual y es dilicil desarrollar una materia común, por lo que no se puede confiar exclusivamenteen el libro de texto. Se recomienda adaptarse a las característicasindividuales de los estudjantes agrupándolos en base a su preparación y a sus necesidades.Se supone que así se evitará la marginación de los alumnos que no sigan el ritmo de Ia clase y que los menos brillantes experimenten sensación de fracaso permanente. Antes de la instrucción, cada estudianteya tiene algunas ideas dotadas de cierta coherencia,que son en gran medida comunes a sus compañeros y que, probablemente,persistirán a lo largo del proceso educativo debido a su fuerte
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anclaje. Esta persistenciaimplica un cambio metodológico en la tarea de enseñar,pues no basta con la simple exposición por parte del profesor, sino que es precisoteneren cuentalas preconcepciones de los estudiantes,aprovechándolas cuando son valiosas y, cuando no lo son, haciendo ver a los estudiantes1o insatisfactorio de las mismas. Sólo asi se producirá la necesaria modificación o cambio de las ideas que ya tienen. En otras palabras, la instrucción debe confiar en la capacidadde pensar de los estudiantes,debe aprovechar sus conocimientos informales y, transitando a través de sus propias equivocaciones,debe ayudarles a modificar sus puntos de vista. La comprensiónno puede enseñarse,ni surge por sí misma, dependede la experiencia.La acción es la fuente principal del aprendizaje,especialmente en los más jóvenes que necesitande actividadesconcretascon objetos y tratando con situaciones reales,no sólo con declaraciones.Por eso se recomienda comenzarpor actividadespara pensaracercade las propias acciones, seguircon actividadespara pensarmatemáticamenteacercade los objetos y sucesos, y completar con actividadespara el pensamientoabstracto.El planteamiento tradicional de aprender primero las técnicas,por ejemplo los algoritmos de cálculo, y despuéspracticarlas aplicándolas a los problemas que aparecen al final de la lección, no es válido. ¿No es ésta la razon de que algunos niños encuentren más dificil saber de qué es un problema (<¿esde sumar?>)que ejecutar el algoritmo que lo resuelve?Es preferible que en lugar de incidir en la resolución de operaciones se afronte la resolución de problemas. Partir de situaciones concretas para organizar la estructura común a todas ellas, formalizarlas y ponerlas en condiciones de aplicarlas de nuevo a la realidad. Esto supone un cambio radical en el papel tradicional de los problemas pues, en vez de ser sólo un anexo al final de la lección,los problemas deben ser el comienzo,el punto de partida. (No se trata de un componente didáctico más, una fase del aprendizaje de una operación, sino de un principio alrededor del cual giran todos los componentes didácticos. La enseñanza de una operación, por tanto, debe comenzar con problemas, seguir con la interpretación de problemas y culminar con la aplicaciónde las técnicasdescubiertasa la resolución de problemas>(Maza, 1989,pág. 18). En resumen,la instrucción no debe encaminarsea estimular la memoria fotográfica, al adiestramiento, o la busca de respuestasautomáticas, sino a favorecer el empleo inteligente de las relacioneso principios matemáticos y a desarrollar competenciascognitivas generales(capacidadde análisis,hábitos y actitudes frente al trabajo, flexibilidad para cambiar de punto de vista, etc.). La clase. El libro de texto. El juego. El profesor. La exposición magistral o reproductora del libro de texto ya no es lo único que cuenta en clase;hay también presentacióny debatedel trabajo del 98
alumno, discusión de su pensamiento y argumentación. Existe el contraste de pareceres,la defensa de las propias conclusiones, la comunicación entre ulu-nor, la búsqueda de información, el trabajo en equipo. Debe tenerseen cuenta en el aula el importante papel que juega la interacción alumnoalumno en el desarrollo de la inteligencia: la oportunidad para intercambiar, discutir y evaluar sus propias ideas con las ideas de los otros produce en el niño una visión más realista y crítica de sí mismo y de los otros. Por otra parte, los profesoressabemosque explicando algo a otra persona meJo,u-oi nuestra propia comprensión del asunto, y esto vale también para los estudiantes. Asi, cuando se preguntan y explican entre ellos, recapacitan. articulan y consolidan su comprensión de los hechos' No utilizar libros de texto implica el riesgo de que el profesor cometa errores, pero aunque esto no tlene por qué repercutir en el niño, porque el contacto alumno-profesor es tan frecuente y de tal calidad que siempre es posible corregir los errores, se recomlenda emplearlos porque brindan ideas para enfoquei alternativos y contienen ejercicios; pero en todo caso deben implearse ton cuidado y conscientesde que ningún libro de texto, por bueno qué S"u, será un instrumento de validez universal, sino que habrá que emprender otras actividades de índole diversa. En este contexto, el juego es especialmentevalioso puesto que es la manera que tiene el niño de entender el mundo que le rodea. El aptendizaje un prÁ".ro de adaptación al entorno en el que el niño se implica activa", ,n.nt". Bajo el principio de que hay que situar al niño en un entorno rico que le permiti invéstigar, descubrir y construir a partir de su propia actividad' pues só|o así puede el niño formar sus conocimientos,Sepropone un cambio definicioen la secuenciade enseñanzatradicional: en lugar de empezar con propone se ejercicios, harán como que alumnos los nes y seguircon ejemplos experimentarán niños los cuales las sobre qu. ," empiecepor las aplicaciones y progresirán hacia la forma matemática que las resume y expresa' Para il"uur u cabo esta propuesta, especialmentecon los niños de Primaria, se han diseñado materiales estructurados que animen a los niños a aprender Matemáticas bajo el enfoque de los métodos de descubrimiento. En nuestro pais los materiáles más conocidos han sido los conjuntos de sólidos para la geometría espacial,los Bloques Lógicos y los Bloques Multibase de Dienes.
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superar los obstáculos que se le presentanen la construcción del conocimiento.
2.4.4. Debilidades del cognitivismo La filosofia cognitivista ha sido motivo de división en la comunidad de educadores,no sólo por lo que tiene de ruptura con el (status quo> y de enfrentamiento entre corrientes renovadoras y conservadoras,sino por las diferenciasentre los propios cognitivistas, pues desdelos partidarios radicales de la filosofia piagetiana hasta los más firmes defensoresdel procesamiento de la información hay un trecho plagado de diferencias,sin olvidar otras
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teorías alternativas que también pueden ser adoptadas por un cognitivista y con discrepanciasbásicas con las dos mencionadas antes. En la medida en que el cognitivismo no se centra en el producto, sino en el proceso, su fruto no es inmediato, es dificilmente observabley sumamente complicado de medir cuantitativamente. Por otro lado, la falta de tradición junto con las dihcultades inherentesa la puesta en aplicación de nuevas ideas hacen que se den palos de ciego. Faltan materiales de clase y orientaciones didácticas concretas,claras y precisaspara que los profesorespuedan desarrollar su trabajo práctico diario. Hablar de enseñar las Matemáticas de un modo signihcativo a partir de la actividad y el descubrimiento no es suhciente como propuesta didáctica. No basta con decir que hay que hacer actividades infantiles, no se puede decir hay que acercarsea la manera que tienen de aprender los estudiantes, pues esto es no decir nada si no se dice cómo aprenden.No basta con decir que la motivación debe ser interna si no se dice cómo se logra esto. No se puede rechazaf el libro de texto y dejar al profesor indefenso sin alternativas tangibles. Además, ¿qué significa atender a las característicasindividuales? ¿Qué signihca que hay que el tiempo de dedicación del alumno a las actividades escolaressegún el conocido principio de que los
2.5. EPILOGO Los profesoresde Matemáticas están en la escuelapara enseñarMatemáticas y cuando los estudiantesno las aprenden los profesoresse deben sentir insatisfechos y preocupados y reflexionar sobre su falta de éxito. Seguramente el profesor preparó concienzudamente , se diría que la aprendió completamente,diseñó un plan minucioso parala clase,quizá con entusiasmo y cargado de buenos propósitos e ideas para que sus alumnos llegaran a entenderle. Pero si, desgraciadamente,su esfuerzo no fue correspondido como se merecia, una de dos: o responsabiliza a sus estudiantes porque no aprenden o se autoinculpa y cuestiona los hechos: 1. El nivel de dificultad era excesivo; algunas partes eran demasiado abstractas. 2. Los conocimientos previos de los estudianteseran insultcienteso no eran los adecuados. 3. Hubo poco tiempo de clase y se avanzo demasiado rápido' 4. No estuvieron bien ligadas las diversas partes.
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El sufrido profesorque opta por sentirseculpable,espoleadopor tanto interrogante,probablementedecidirá abordar nuevamentela cuestión.Le cabendos posibilidades:una, tozuda y de dudoso fruto, es aumentarlas horasde preparaciónpersonaly las horas de trabajo de los estudiantes; la otra, variable y de incierto resultado,es cambiar radicalmentesu estilo como profesor. Es injusto autoinculparse cuandola realidades que es muy dificil ser un buen profesor.La enseñanzade las Matemáticasescomplicaday el aprendizajeno es tareasimple,hay mucho de incertidumbrey de imprevisto,no es sólo cuestiónde aumentarlas exigencias de duro trabajo tanto del profesor como de los alumnos.Es cierto que hay razonesintrínsecasa la asignatura que tienen que ver con la preparaciónmatemáticadel profesory con la preparaciónde los estudiantes, pero hay tambiénrazonesque tienenque ver con la forma que las personastenemosde aprender. La Psicologíaha formulado diversasteoríasen su intento de explicar cómo es el aprendizaje, aunqueno es necesarioconocerlaspara apücársus recomendaciones. Si lo es,en cambio,si lo que sedeseaes,ademásde saber qué se debe hacer,saberpor qué se debe hacer.No basta con el sentido común; las teoríasson más potentesy más generalesy a vecespermiten explicarefectosque van contra el sentidocomún.El profesorde Matemáticaspodrá buscaren esasteoríasfundamentoy orientación,podrá convertirsey hacerseadeptoa una de ellaso podrá navegarentrelos puntosen que se hallan de acuerdo.Pero con esebagajesólo podrá resolveruna parte del problemapuesla otra, la derivadadel hechode que los intereses y expectativasmatemáticas de los estudiantes son muy variablesy cambiantes, plantea la cuestiónde la seleccióny organizacióndel contenido. 2.6. BIBLIOGRAFIA Ausuanr,D. P.;Nov,r,cx,J. D.; HaNnslll,r,H. (1987): psicología (Jnpunto educatioa.
de uista cognoscitiúo. (Trillas: México). Ausunnr, D. P.; RouNsoN, F. G. (1969):school Learning.An introductionto Educational Psychology.(Holt, Rinehart & Winston: Londres,Gran Bretaña). B.lr_,t_cnrrr,N. (1990 a): Future perspectivesfor Researchin the psychology of Mathematics,en Nesher;Kilpatrick .CambridgeU. P. (1990),pág. 135-148. Bar,rcnnrn,N. (1990b): ICME-6 Reportof the InternationalGroup for the psychology of MathematicsEducation,Educationalstudiesin Mathematics.vol.2l, pág. r93-t97. Bnnooov, A. J. (1988):El pensamientomatemáticode losniños. (Jn marco euolutiuo para maestrosde preescolar,ciclo inicial y educaciónespecial.(visor: Madrid, España). BnowNnr, w. A. (1935):Psycological considerations in the learningand the teaching
r02
of arithmetic,en W. D. Reeue( 1935 ): The teachingof aritmetic ( Iqth Yearbook of the N.C.T.M.) (TeachersCollegePress:Nueva York, EE' UU.)' pág. 1-31. BnuNnn,J. (1988):Desarrollocognitiuoy educación.(Morata: Madrid, España). Cocxcronl, W. (1985):Las matemáticassí cuentan.(M.E'C: Madrid' España). en el de la intervenciónpedagógica Colr-, C. (1987):Por una opción constructivista y Realizaciones enA. Aft¡arez(1987):PsicologíayEducación. currículumescolar, (Actas II Jornadas las práctica. de y la en la inrsestigación en actuales tendencias Internacionesde Psicologíay Educación),pág. 143-151. Dnvrs, R. B. (1987):Theory and practice,Journalof MathematicalBehauiorvol. 6. l, pás.97-126. D¡,vrs,R. B. (1990):How computershelp us understandpeople,InternationalJournal of EducationalResearchvol. 14, pig- 93-99. ErcENurrN, J. (1981):El desarrollosecuencialdel currículum.(Anaya:Madrid, España). FrscunerN,E. (1990a): Psychologyand mathematics,en Nesher;Kilpatrick . FrscHnnru,E. (1990b): Intuition and information processingin mathematicalactivity, InternationalJournal of EducationalResearchvol. 14, pá9. 3l-49. Góunz, B. (1988):Numeracióny Cálculo.(Colección>, Hmr, K. (1981):Hierarchiesin MathematicsEducation,EducationalStudiesin Mathematicsvol. 12, péry.205-218. parala enseñanza Jxun, A.; GuuÉnnnz,A. (1990):Una propuestade fundamentación de la geometría:El modelo de Van Hiele, en Llinares; Sánchez.Alfar Sevilla.( 1990), pá9. 295-384. Krurr, C. (1986):El niño reínoentala aritmética.Implicacionesde la teoríade Piaget' (Visor:Madrid, España). LeNrrono, F. G. (1959i:Implicationsof the Psychologyof Learningfor the Teaching of Mathematics,en N.C.T.M. (1959),pág.405-430. LuNnn¡s, S.;SÁNcspz,M. V., eds.(1990):Teoríay próctica en educaciónmatemática. (Colección,núm. 4). (Alfar: Sevilla,España). Ordenary clasificar.(Colección(Matemáticas:Cultura y M.Aze,C.; Ancn,C (1989):. Madrid, España). núm. 31).(Síntesis: Aprendizaje>, M.E.C. (1989) DiseñoCurricular Base.(M'E'C.: Madrid' España)' N.C.T.M. (1959):The growth of mathematicalideas.GradesK-12 (24th Yearbook). (N.C.T.M.Reston,EE. UU.). NEssBr,P.; Knelrnlcx, J. (1990):Mathematicsand cognition:A researchsynthesisby the InternationalGroupfor the Psychologyof MathematicsEducation.(Cambrigde U.P.: Cambridge,Gran Bretaña). OnroN, A. (1990):Didóctica de las matemóticas.Cuestiones,teoríay práctica en el aula. (Morata: Madrid, EsPaña). J.; Pory¡,, G. (1984):Sobreproblemesque tenensolucionsa les quals es PnopnsnN, pot arribar de mésd'una manera,L'Escairenúm. 15,pág-27-36. Porve, G. (1970):Cómoplantear y resoluerproblemas.(Trillas: México). Rrco, L. (1990):Diseñocurricularen educaciónmatemática.Una perspectivacultural, en Llinares; Sánchez
103
Rorr,I¡enc,T. A.; C,tnrnNrnn,T P. (1986):Researchon Teachingan Learning Mathematics: Two disciplinesof scientificinquiry, en M. C. Wittrock (1986): Handbook of Researchon Teaching.(Macmillan: N. York, EE. UU.). Rounnnc, T. A.; Pnrcr, G. G. (198U Assimilation of innovation into the culture of schools: Impediments to radical change,en T. A. Romberg; D. M. Stewart (1981): SchoolMathematics:Optionsfor the 1990s.(Madison,EE.UU.). Srnup, R. R. (1989):Mathematicsin the Primary School.(Routledge:Londres,Gran Bretaña). SrtuN¡n, B. F. (1984):La necesidad de las máquinasde enseñar,en,I. S. Brunnery (Paidós:Barcelona,España),caps. otros (1984): Aprendizajeescolary eualuación. 4 v 6. Tnnrnrns, A. (1987): Three dimensions(a model of goal and theory descriptionin mathematicsiwtruction -iirc WiskobasProject).(D. Reidel: Dordrecht, Holanda). Vnrr,nrq J. M. (1841):Tratado elementalde matemáticas.(Madrid, España). VrN HInrn, P. M. (1986):Structureand Insight. A Theoryof MathematicsEdacation. (AcademicPress:Londres,Gran Bretaña). Vnncu,l,uo, G. (1990):Epistemologyand Psychologyof MathematicsEducation,en Nesher;Kilpatrick .Cambridge U.P. ( 1990) , pá9. 14-30.
Hacia una teoría de la Didáctica de la Matemática Ju¡N D. GopINo Departamentode Didáctica de la Matemática Universidadde Granada Anónimo
3.1. INTRODUCCION La teoría del conocimiento es la parte de la filosofía que estudia la naturaleza,origeny valor del conocimiento.Seusa tambiénla denominación de epistemologiapara esta disciplina, si bien algunos autorescomo Bunge (1985a) identificanla epistemologíacon la filosofia de la ciencia: El objetivo de estecapítulo es analizarel estadoactual,desdeel punto de vista epistemológico,de la Didáctica de la Matemática,tratando de situarla en el contextode las disciplinascientíficasen generaly de las cienciasde la a preguntascomo educaciónen particular,para tratar de dar una respuesta acercade los procesosde enseñanlas siguientes:¿Existenteoríasespecíficas de las Matemáticas,o son apropiadasy suficienteslas teorías za-aprendizaje más generalesde tipo psico-pedagógico?, ¿losconocimientosdidácticosson tecnológicao técnica?Se trata, pues,de una reflede naturalezacientíFrca, la xión sobre el campo de Didáctica de la Matemática en la línea sugerida por Kilpatrick (1985). 104
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3.1.1. Componentesy relacionesde la Didáctica de la Matemática con otras disciplinas Interesa,en primer lugar, realizaruna clarificaciónterminológica.Si bien el término educaciónes más amplio que Didáctica y, por tanto, se puede distinguir entre Educación Matemática y Didáctica de la Matemáticá, sin embargo, en el mundo anglosajón se emplea la expresión para referirseal áreade conocimientoque en Francia,Alemania, España,etc.sedenominaDidácticade la Matemática.En estetrabajo tomaremosambasdenominaciones como sinónimas.Tambiénlas identificasteiner (1985),para quien la Didáctica de la Matemática admite, además,una interpretaciónglobal dialécticacomo interactivo que comprendeteoría, desarrolloy práctica. steiner(1990)representa medianteel diagramade la figura 3.1la disciplina EducaciónMatemática(EM) que estárelacionada,formando parte de é1, con otro sistemacomplejo social que llamaremosSistemade Enseñanzade la Matemática(sEM), denominadopor steiner >, representadoen el diagramapor el círculo detrazo más grueso exteriora la EM. En dicho sistemase identificansubsistemas componenres como: -
La formación de profesores(Fp). Desarrollodel currículum(DC). La propia clasede Matemáticas(CM). La propia EducaciónMatemática(EM), como una institución que forma parte del SEM. - Etcétera.
\i )\--,'
TEM: Teoría de la EducaciónMatemática. EM: EducaciónMatemática(DM: Didáctica de la Matemática). SEM: Sistemade Enseñanzade la Matemática:
La figura también representalas cienciasreferenciales para la Educación Matemática tales como: -
Matemáticas(M). Epistemologíay Filosofia de las Matemáticas(EFM). Historia de las Matemáticas(HM). Psicología(PS). Sociología(SO). Pedagogía(PE). Etcétera.
En una nuevacoronaexterior,Steinersitúatodo el sistemasocialrelacionado con la comunicaciónde las Matemáticas,en el que identifica nuevas áreasde interéspara la Didáctica de la Matemática,como la problemática del <(NAS) inducido por el uso de ordenadores como medio de enseñanzade ideasy destrezasmatemáticasfuera del contexto escolar.También sitúa en esta esferalas cuestionesderivadasdel 106
,
M: EFM: HM: PS: SO: PE: CN: IN: L:
FP: Formación de Profesores. DC: DesarrolloCurricular. CM: La Clasede Matemáticas. MDL: Material Didáctico y Libros de texto' EVA: Evaluación. Matemáticas. Epistemologíay Filosofia de las Matemáticas. Historia de la Matemática. Psicología. Sociologia. Pedagogía(Cienciasde la Educaciónen general)' CienciasNaturales. Informática. Lingüistica.
NAS:NuevoAprendizajeen la Socicdad Experimentales. en Ciencias ECE: Educación Figura 3.1. Relacionesde la Didáctica de la Matemática con otras disciplinas y sistemas(Steiner,1990).
ro7
estudio de las interrelaciones entre la Didáctica de la Matemática y la Didáctica de las Ciencias Experimentales (ECE). La actividad de la teorización (TME) es vista por steiner como un componente de la Didáctica de la Matemática y, por ende, del sistema más amplio, que hemos denominado SEM, que constituye el sistemade enseñanza de las Matemáticas. La posición de TME debería situarse en un plano exterior ya que debe contemplar y analizar en su totalidad el rico sistema global. otro modelo de las relaciones de la Didáctica de la Matemática con otras disciplinas es propuesto por Higginson (r980), quien considera a las Matemáticas, Psicología, Sociología y Filosofia como las cuatro disciplinas fundacionalesde ésta.visualiza a la Didáctica de la Matemática en términos de las interacciones entre los distintos elementos del tetraedro cuyas caras son dichas cuatro disciplinas(fig. 3.2). Estasdistintasdimensionesde la Didáctica de la Matemática asumenlas preguntas básicas que se plantean en nuestro campo: -
Qué enseñar (Matemáticas). Por qué (Filosofia). A quién y dónde (Sociologia). Cuándo y cómo (Psicología).
En el trabajo citado, Higginson describe,asimismo, las aplicaciones del modelo para clarificar aspectostan fundamentalescomo:
-
La comprensión de posturas tradicionales sobre la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas. La comprensión de las causasque han producido los cambios curriculares en el pasado y la previsión de los cambios futuros. El cambio de concepcionessobre la investigación y sobre la preparación de profesores.
FILOSOFIA
SOCIOLOGIA EDUCACION MATEMATICA
MATEMATICAS
PSICOLOGIA
Figura 3.2. Modelo tetraédrico de Higginson parala Didáctica de la Matemática.
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3.1.2. Interés de la teorización en Didáctica En segundo lugar, consideramos necesario adelantar unas palabras que predispongan al lector a favor de los planteamientos teóricos en un área de conocimiento de la que se espera que aporte con urgencia solucionesprácticas a los problemas cotidianos del profesor de Matemáticas. La necesidadde construir teorías es evidente, ya que constituyen una guía para el planteamiento de problemas de investigación y para interpretar los resultados de las mismas (Wenzelburger, 1990). Un marco teórico permite sistematizar los conocimientos dentro de una disciplina, lo que constituye un primer paso para conseguir una visión clara de la unidad que pueda existir en nuestras percepciones. La teorización es un requisito para que un área de conocimiento alcancela categoriade científica y pueda desempeñarsu papel explicativo y predictivo de fenómenos; puede decirse que la investigación científica significativa está siempre guiada por una teoría, aunque a veceslo sea de un modo implícito. El interés y necesidadde que los profesorescuenten con las teorías firmemente basadasen datos empíricos es, asimismo,resaltado por A. Orton (1988). a las teorías introduciComo afirma Mosterín (1987, pág. 146),<. Este mismo autor nos proporciona una sugestivametáfora que nos ayuda a no atribuir a las teorías una verdadera realidad independiente de nosotros mismos: La existencia de un Grupo de Trabajo con el nombre de
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análisis más o menos sistemático de un conjunto de conceptos relacionados. Este es el caso de la teoria del conocimiento en hlosofia. Bukhardt (1988) hace una distinción interesanteentre las teorías que denomina y y . Considera que aunque proporcionan estructuraspara comprender los fenómenos,no son completasen un dominio limitado, y por tanto, deben ser usadasa sabiendasde que se presentan sin mecanismosestablecidospara su integración hable en un modelo predictivo. Las considera descripciones peligrosamente simples de sistemascomplejos. En términos de las ciencias fisicas no pueden considerarsecomo teorías ni incluso como modelos, sino como descripción de -aspectos válidos de un sistemade conducta que es preciso tener en cuenta, pero que son cada una de ellas, en si mismas, inadecuadas y engañosas.Termina Burkhardt su reflexión sobre las teorías con una pregunta crucial para nuestro problema: <¿Existealguna expectativa de una teoría fundamental de la Didáctica de la Matemática?> A pesar de que ve actualmenteesta posibilidad como remota y no se considera capacitado para analizar los intentos actuales,personalmenteintuimos el inicio de un camino en este sentido en los esfuerzosteóricos que se están llevando a cabo por la escuelafrancesade Didáctica de la Matemática que expondremos en la sección3.3.4. La figura 3.3 resumeel proceso de construcción del conocimiento cientíhco según Romberg (1988). La raiz del proceso de teorizaciín está en los que interesa estudiar, en nuestro caso los relativos a la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en contextos escolares y sus interdependenciasy relaciones con el sistema social.
La valoración del carácter cientíhco de un campo de conocimiento no es una cuestión sencilla ya que existen distintas corrientes epistemológicasen teoría de la ciencia. Por este motivo, hemos creído necesario incluir una secciónen la que hacemos una breve exposición de la noción de teoría y de sus tipos según su grado de generalidad.También presentamosunos conceptos básicos de tres concepcionesepistemológicasque nos parecen relevantes para situar nuestro análisis de la Didáctica de la Matemática: Las correspondientes a Kuhn, Lakatos y Bunge. El problema de la elección racional entre distintas teorías sobre unos mismos problemas básicos precisa de criterios epistemológicos,como se pone de manifiesto en el trabajo de R. E. Orton (1988).Este autor utlliza las ideas de Kunh y Lakatos para comprender las diferencias entre dos teorías psicológicas,constructivis-o y p.o".ramiento de la información, en términos de su carácter más o menos progresivo y para estudiar la de sus respectivashipótesis.
3.2. EPISTEMOLOGIA
Y DIDACTICA
3.2.1, Teorías científicas y sus tipos Con frecuencia el término (teoría> se aplica con distintos sentidos y grados de generalidad. El filósofo de la ciencia E. Nagel l diferencia cuatro sentidospara el término teoría. En su signihcadomás general,una cs un sistema de enunciados,frecuentementeuniversalesy relativos a distintos aspectosde fenómenos complejos, capacesde explicar algunas regularidades empíricamente establecidasa partir de sucesosobservados y, en muchos casos, de predecir con distintos grados de precisión cierta clase de ocurrenciasindividuales. Ejemplos de esta clasede teorías serían la mecánica de Newton, la teoría de la evolución, etc. Un segundo sentido de teoria se rehere a (una ley o generalizaciónque aflrma alguna relación de dependencia entre variables> que puede adoptar una forma estrictamente universal o tener un alcance estadístico. Como ejemplo Nagel cita la ley de Boyle. Una tercera acepción no se reliere a un conjunto de enunciados sistemáticamente integrados ni a una única generalizaciín estrictamente formada, sino más bien a la identificación de (una clasede factores o variables que por distintas razones se suponen constituyen los determinantesprincipales de los fenómenosque se investigan en una disciplina determinada. La teoría económica de Keynes se puede citar como ejemplo. El cuarto sentido atribuido por Nagel a una teoría se refiere a cualquier
I Citado por Stanic (1988)
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Componentes básicos en el proceso de construcción de teorías
Figura 3.3. Componentesen la construcciónde teorias segúnRomberg.
formulación del problemu implica la identihcación de variables claves, usandoun vocabularioy un conjuntode enunciadoscausalessobreel fenómeno.Estosenunciadosse organizancon frecuenciaen términos de <> causales.Una predicciónes un enunciadosobrelos datos que seespera observarbajo las hipótesisde que el modelo sea verdadero.Estos datos puedenprovenirde diseñosexperimentales en que segaranticeel control de las variableso de observaciones naturalistas,y seráncomparadoscon los resultadoso hipótesisprevistas.La naturalezaesencialmenteestocásticade los fenómenoseducativosobligará al empleode métodosestadísticos para poder adoptar una decisión acercade la concordanciade los datos con el modelo. El esquemade Rombergcorrespondebásicamente al enfoqueclásicoo de la investigación,que ha estadogeneralmente asociado con los métodoscuantitativos.A vecesla complejidaddel problemahace necesario,una vez formulado éste y previamentea la construcciónde un modelo, una toma de datos, que se analrz;andesdetodas las perspectivas posiblesen un enfoque,buscandoteoríasque los expliquen. Generalmenteesteenfoqueseempleaen la investigacióncualitativa.Remitimos al lector al capítulo de estelibro dedicadoa los métodosde investigación para una descripciónmás detalladade los tipos y métodosde investigación.
3.2.2. Corrientesepistemológicas El análisisdel objeto y métodosde la Didácticade la Matemáticay su posibledemarcaciónde otros camposde conocirniento(didácticageneral, pedagogía, psicología,...)esun temapropio de la epistemología. Como seha indicado,estarama de la filosofiaestudia,precisamente, la constituciónde los conocimientoscientíficosque se consideranválidos,abarcandolos prott2
blemasde demarcaciónde la cienciay el estudiodel desarrollodel conocide las concepalgunosaspectos brevemente, mientocientífico.Expondremos, pueden y que servirnosde Bunge Lakatos, Kunh, de cionesepistemológicas guía en nuestro esbozode estudio del significadode la Didáctica de la Matemática.El lector interesadoen estascuestionespuedeencontraruna en Chalsintesisasequibley más completade las corrientesepistemológicas mers (1986),o en Benedito(1987)donde se aplica al estudiodel estatuto de la didácticageneral. epistemológico Los paradigmassegúnKuhn defendidapor Kuhn de la teoríaepistemológica Un rasgocaracterístico (1975)es la importancia que atribuye al carácterrevolucionariodel progreso científico,en el que una revolución suponeel abandono de una estructura teórica y su reemplazopor otra, incompatiblecon la anterior. La imagenque tieneKunh de cómo progresauna cienciasepuederesumiren el esquemade la frgura3.4:
Figura3.4. Progresode la ciencia(Kuhn). La nociónque guia la aportaciónde Kuhn a la Teoríade la Cienciaesla de , concepciónpredominantees>. 113
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La formación de una ciencia se estructura finalmente cuando una comunidad cientifica se adhiere a un solo paradigma, pero va precedida por una fase de actividad relativamente desorganizadade pre-ciencia inmadura en la que falta un acuerdo en aspectosfundamentales.Según Kuhn, la pre-ciencia se caracteriza por el total desacuerdoy el constante debate de lo fundamental; habrá casi tantas teorías como investigadoreshaya en el campo y cada teórico se verá obligado a comenzar de nuevo y a justificar su propio enfoque. Otro rasgo de la concepción epistemológicade Kuhn es el carácter de que atribuye a los paradigmas. Los cientificos que comparten un cierto paradigma no pueden discutir las ideas de otro distinto de un modo imparcial y racional. Aunque una cierta teoría precursora pueda ser considerada como un caso especial de otra posterior, debe ser transformada de algún modo para poder ser comparada. Por ejemplo, los conceptos de y
Aunque el (por e.¡emplo,,en la teoría de Piaget) con frecuenciano se pueda contrastar, es posible determinar (al menos en principio) si un programa cumple los tres criterios de progresión, lo que permite evaluar la racionalidad del cambio científico. Para Lakatos el estado de implica la existencia de un programa de investigación y el de (en el sentido de Kuhn) estaría caracterizadopor la existencia de un programa de investigación que ha conseguido el monopolio. La historia de la ciencia debe ser la de los programas de investigación o que compiten entre sí, y no debe convertirse en una sucesión de periodos de ciencia normal; cuanto antes comience la competencia, mejor para el progreso científico. El pluralismo teórico es preferible al monismo, siendo bueno que algunos investigadoresse aferren a un programa de investigación hasta que alcance su punto de saturación.
Programas de inuestigación cientfficas ( Lakatos) Lakatos, Musgrave (1975) considera que lo que debe ser valorado como cientíhco no es una teoría aislada sino una sucesiónde teorias enlazadascon un criterio de continuidad en programas de inuestigación. Estos programas contendrán reglas metodológicas acerca de las vías de investigación que deben ser evitadas (heurística negativa) y los caminos que deben seguirse (heurística positiva). Estas heurísticasproporcionan una definición implícita del marco conceptual del programa correspondiente,el cual incluirá: -
Campos y líneas de inuestigación en la epistemología de Bunge Para Bunge (1985 b) la ciencia es un cuerpo creciente de conocimientos que se caracterizacomo conocimiento racional, sistemático,exacto, verihcable y por consiguientefalible. El conjunto de ideas establecidasprovisionalmente forman el conocimiento científ,rco.La investigación cientifica se puede realizar individualmente y sobre todo en el seno de
Un núcleo firme o del programa. Un de hipótesis auxiliares. La heurística,o conjunto de procedimientos aplicablesa la solución de los problemas.
La diferenciación entre programas de investigación competitivos se hará teniendo en cuenta su potencial respectivo para descubrir nuevos fenómenos y el poder explicativo que proporcionen. Un nuevo programa de investigación supone un cambio progresivo de problemática, mientras que la degeneración de un programa viene dada por la proliferación de hechos contradictorios. Lakatos considera que los programas de investigación pueden estar basados en hipótesis en cuanto a los resultadoscientíficos y, en consecuencia,se pueden comparar sobre la base de su progreso relativo. Una teoría supondrá un progreso si cumple tres requisitos: -
La nueva teoría puede explicar los hechos que no podía explicar su predecesora.
C: Comunidad de científrcosque cultivas C. S: Sociedad. D: Dominio o universo del discurso (los objetos de estudio). G: Concepción general o hlosofia inherente. F: Fondo formal (conjunto de herramientas lógicas o matemáticas utilizables). E: Fondo específicoo conjunto de supuestosque toma de otros campos. A: Fondo específicode conocimientos acumulados. P: Problemática, o colección de problemas abordables. O: Objetivos o metas. M: Metódica o coniunto de métodos utilizables.
La nueva teoría hace predicciones que no hacía su predecesora. Algunas de estas nuevas predicciones se han podido corroborar.
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Distingue entre camposde creenciasy de investigación.En los primeros (religiones,ideologíaspolíticas,...) el cambio en las ideas se producesólo como consecuencia de presuntasrevelaciones, de controversiaso de presionessociales.Los camposde investigacióncambianincesantemente de resultas de la propia investigación,por el flujo permanentede los distintos proyectosde investigación. (C), Las tres primerascomponentesde C, comunidadde investigadores sociedadque los apoya(S)y dominio de objetosque estudian(D) constituyen el marco material de un campo de investigación,mientras que las restantesconstituyenel marco conceptual. Todo campo de investigaciónpuede analizarsecomo un conjunto de líneasde investigaciónen un procesode diseñoo de realización,en las cuales estarápresentecada componentede O. Usando estaformalizaciín se puede en competencia, originahablarde líneasde investigacióncomplementarias, les,revolucionariaso contrarrevolucionarias. Es de interés también, para analizar el estatuto epistemológicode la Didáctica de la Matemática,el estudio de las nocionesde técnicay tecnología. Como afirma Benedito(1987),la accióntécnicaes un modo de actuar (más empírico,artesanaly pre-científico; es una combinaciónde experiencia o menosrutinaria),de tradición y de intuición. La tecnologíaes la técnica que empleao se basaen el conocimientocientíhco.Bunge(1985b, pág. 33) proponela siguientedefrniciónde tecnología:<...el vastísimocampo de la investigación, diseñoy planifrcaciónque utiliza conocimientos científicoscon el fin de controlarcosaso procesosnaturales,de diseñarartefactoso procesoso de concebiroperaciones de maneraracional.En estesentidoamplio,la medicinay la agronomíason biotecnologías, al par que la cienciade la educacióny de la administraciónson socio-tecnológicas>. A modo de síntesis:reflexionessobrela Didáctica de la Matemática se De la exposiciónque hemoshecho sobrecorrientesepistemológicas que las teoríascientíficasno puedenserrealizaciones individuales desprende ni hechosaislados;debe haber una comunidadde personasentre las que existaun acuerdo,al menosimplícito,sobrelos problemassignificativosde y los procedimientos Es aceptables de plantearlosy resolverlos. investigación precisocompaginarla autonomíapersonalen la elaboraciónde ideas y conceptosnuevoscon la necesidadde que estasideasseancontrastadasy de las líneasde compartidas.Las teoríasson pues frutos o consecuencias por una comunidadmás o menosgrandede espeinvestigaciones sostenidas cialistasen un campodeterminado. Romberg(1988),de acuerdocon los requisitosexigidospor Kuhn para que un campo de investigaciónse encuentreen el camino hacia la >, afirma que es necesarioque se den las siguientescircunstancias: tt6
1. Debeexistirun grupo de investigadores con intereses comunesacerca de las interrelaciones entre distintosaspectosde un fenómenocomplejo del mundo real. Por tanto, debehaber una cuestióncentral(o dominio)que guíeel trabajo de dicha comunidadparticularde especialistas. 2. Las explicaciones dadaspor la teoríadebenser enunciadossobrela causalidad,de modo que seaposible realizar prediccionesacercadel fenómeno. 3. Los enunciadosse hacensegúnun vocabularioy una sintaxissobre la que el grupo estáde acuerdo.Existen,además,unos procedimienpara probar los enuntos aceptadospor el grupo de investigadores ciados,esto es, para aceptaro rechazarlas proposiciones.Los conceptos,proposicionesy teoríasde las cienciasse distinguende los constructosno científicosen que satisfacen los criteriosmarcadospor las reglas del método científico y del razonamientológico y están aceptadospor las comunidadescientíficas. Nos parecemuy sugestivala metáforausadapor Rombergsegúnla cual la construcciónde una teoría requierela combinaciónde distintos,como si se tratara de una recetapara elaborar un pastel:cada elementopuede ser identihcadoindependientemente, pero son necesarias y una correctacombinación.Para el casode la unascondicionesadecuadas Teoríade la EducaciónMatemáticalos (Romberg, 1988,pág. 108). Desdenuestropunto de vista,la exigenciade que existauna comunidad que compartanuna red de hipótesisy concepciones de especialistas acerca del planteamientode los problemasy de los métodosaceptables de resolución,estoes,un únicoparadigmaen el sentidode Kuhn, nos parecedemasiado fuerte.Como argumentaShulman(1986),para el caso de las ciencias socialesy humanasy, por tanto, para la Didáctica de la Matemática,la coexistencia de escuelascompetitivasde pensamientopuedeversecomo un estadonatural y bastantemaduro en estoscamposya que favoreceel desarrollo de una variedad de estrategiasde investigacióny el enfoque de los problemasdesdedistintasperspectivas. La complejidadde los fenómenos puedeprecisarla coexistencia de distintosprogramasde investigación, cada uno sustentadopor paradigmas diferentes,con frecuenciamezcla de los considerados comoidóneospara otrasdisciplinas.El enfoqueepistemológico de Bunge,con su concepciónde hacesde líneasde investigación competitivas
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en un campo científico,parecemás apropiado para valorar el estadoactual del campode la Didácticade la Matemática. 3.2.3. La Didáctica de la Matemática como disciplinacientÍfica Al reflexionarsobrela posibilidad de construir un <<área de conocimiento), que expliquey sirva de fundamentoa la comunicacióny adquisiciónde que las didácticasespeciales los contenidosmatemáticos, observamos aparecen frecuentemente clasificadascomo o enfoquesdiferencialesde la didáctica, negándolesel califrcativo de cienciasde la educaciónpropiamente dichas (Benedito,1987,pág.91). De este modo, estos autoreslas ya que el reducena merosconocimientos técnicoso a lo sumo tecnológicos, sabercientíficoperteneceríaal ámbito de la didácticageneralo de la psicología de la educación. puedeclarificarLa interconexiónentre la didáctica(general)y especiales se teniendoen cuentael análisisque hace Bunge(1985a, pág. 181)de la relación teoría generaly feoria específica.Segúnexplica este autor, una ,como indica su nombre,conciernea todo un génerode objetos,en tanto que una a cadauna de las teoríasespecíficas correspondientes, en el sentido de que éstasse obtienencon sólo agregarlea G ciertaspremisasespecihcas. Pero,como Bungeafirma, esfalso.Aunque selea a menudo que G contenga o implique a todas las teorías específicasE,, más bien es al revés.G se obtendríacomo la parte común (intersección) de todos los E,. En otras palabras:dado un conjunto de teoríasespecílicas, se puedeextraer de éstas una teoría generalcon sólo suprimir todas las premisasparticularesy dejar las suposicionescomunesa todas las teoríasespecíficas. Existen teoríasgeneralesdel aprendizajey teoríasde la enseñanza.Pero, cabepreguntarse¿aprendizajede qué! ¿enseñanza de que? Los fenómenos del aprendizajey de la enseñanzase refierena conocimientosparticularesy posiblementela explicacióny predicción de estosfenómenosdependede la especihcidadde los conocimientosenseñados,además de factores psicopedagógicos, socialesy culturales.Esto es,los factores
pueden implicar >, reflexionandosobrelos propiosprocesosde creacióny comunicación de la Matemática, se ha visto obligado a practicar el oficio de psicólogo,sociólogo>,...,estoes,el oficio de
3.3. PRINCIPALES PROGRAMAS DE INVESTIGACION EN DIDACTICA DE LA MATEMATICA IJna vez analizadoel conceptode teoría, sus tipos y los requisitos que algunos autores exigen para que pueda hablarse de la existenciade una disciplina científica,nos preguntamossi para la Didáctica de la Matemática en la cual puedasurgir uno o varios existeesacomunidadde investigadores (programasde investigacióo (enel sentidode Lakatos que hemosanalizado antes)que produzca una teoría o teoríasde la Didáctica de la Matemática. En el resto del capítulo trataremosde describirel sobre esta problemática,centrándonosen la actividad desarrolladapor los grandesnúcleosde investigadores, en particularlos gruposT.M.E. (Theoryof MathematicsEducation),P.M.E. (Psychologyof MathematicsEducation)y la EscuelaFrancesade Didácticade la Matemática. 3.3.1. El programade investigacióndel Grupo T.M.E. En lo que respectaa la existenciade un (grupo de investigación>con interesescomunesen el desarrollo teórico, podemosdecir que la intención del profesorSteineren el V'CongresoInternacionalde EducaciónMatemáticonvocara los científicos ca (I.C.M.E.),celebradoen 1984,fue precisamente interesadosen la gestaciónde una Teoría de la EducaciónMatemática.En dicho Congresose incluyó un Area Temática con el nombre a la que sededicaroncuatro sesiones.
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Congresose celebraronnuevasreunionesen las que quedó constituido un Grupo de Trabajo que se denominó Theory of Mathematics Education (T.M.E.)y en las que secontinuaronlas discusiones iniciadasen el I.C.M.E. conferencias de T.M.E. que sehan celebradohan mostrado Las sucesivas que existeuna comunidad,al menos en estadoincipiente,interesadapor constituir las basesteóricasde la Didáctica de la Matemática como ciencia. que está constituida por personascon formación e interesesen campos bastantediversificados:Investigadoresen Didáctica de la Matemática,matemáticos,profesores,psicólogoseducativos,sociólogoseducativos,formadores de profesores,etc. En la configuración de esta comunidad científica que han propiciadouna orientaciónacadémiexisteninteresesprofesionales ca a estaactividad.Así, en Alemania,entre 1960y 1975,se crearonmás de 100cátedrasen las escuelasde formación de profesores,asignadasa departamentosde Matemáticas;al ser integradaslas citadasescuelasen la universidad, la Didáctica de la Matemáticase vio en cierta medida equiparadaa las restantesdiciplinas. En España este reconocimientode la Didáctica de la Matemática como área de conocimientoy la consiguienteposibilidad pzra adscritosa dicha áreade constituirdepartamentos los profesores universitaa partir de 1985. rios, ha tenido lugar especialmente Esta situación puede forzar a la Didáctica de la Matemática hacia un dominio de especulacióncientíficarelativamentedesconectadode la realidad social.Steiner(1985),al analizarel papel que la Didáctica de la Matemática deberíatener dentro de la universidad,propone que esta disciplina adopte una función de vínculo entre las Matemáticasy la sociedad: seocupade la situaciónactual y de las perspectivaspara el desarrollofuturo de la Didáctica de la Matemática como un campo académicoy como un dominio de interacciónentre la investigación,el desarrolloy la práctica.En esteprograma se distinguentres componentesinterrelacionados: A) La identifrcacióny formulación de los > en la orientación,fundamento,metodologíay organizaciónde la Didáctica de la Matemáticacomo una disciplina,tales como: 120
- La existenciade distintas definiciones,incluso discrepantes,de la Didáctica de la Matemática como disciplina. - El uso de modelos,paradigmas, teoríasy métodosen la investigación y de herramientasapropiadaspara el análisisde susresultados. - El papelque debenjugar los >, estoesmarcosde referenciageneralesque relacionan signilicativamentelos múltiples aspectosde la Didáctica de la Matemática y los micromodelos, que proporcionan información detallada sobre áreas restringidasde aprendizajematemático. - El debateentre frentea interdisciplinariedad y transdisciplinariedad. - Las relacionesentrela Didácticade la Matemáticay suscampos referencialescomo Matemáticas,Pedagogía,Psicología,Sociología, Epistemología,etc. - Las relacionesentre teoría, desarrollo y práctica:las tareasintegradorasy sintéticasde la Didácticade la Matemáticafrentea las tendencias recienteshaciauna ciencianormal y la crecienteespecializaciín. - Los aspectosaxiológicoséticos,socialesy políticosde la Didáctica de la Matemática. B) El desarrollode una aproximacióncomprensivaala Didáctica de la Matemática, que debe ser vista en su totalidad como un sistema investigación, interactivo,comprendiendo desarrolloy práctica.Esto la importancia lleva a destacar de la teoría de sistemas,especialmentede las teoríasde los sistemassociales,basadasen conceptos como interacciónsocial,actividadcooperativahumana,diferenciación, subsistemas, autorreproduccióny sistemasauto-organizados, auto-referenciay reflexiónen sistemassociales,etc.Asimismo,interey sa la identificacióny el estudio de las múltiples interdependencias mutuoscondicionantes en la Didácticade la Matemática,incluyendo el análisisde las complementariedades fundamentales. C) La organizaciónde la investigaciónsobre la propia Didáctica de la Matemáticacomo disciplinaque,por una parte,proporcioneinformación y datos sobrela situación,los problemasy las necesidades de la misma, teniendoen cuentalas diferenciasnacionalesy regionales y, por otra, contribuya al desarrollode un metaconocimientoy una actitud autorreflexivacomo basepara el establecimiento y relación de los programasde desarrollodel T.M.E. La SegundaConferencia del Grupo T.M.E.,celebradaen 1985en el Institut für Didaktik der Mathematik (I.D.M.) de la Universidadde Bielefeld 121
(Steiner,Vermandel,1988),secentrósobreel tema genérico
- El ordenadorcomo un tercercomponenteen la interacciónenseñanza-aprendizaje. Los temas tratados en la Cuarta Conferencia,celebradaen Oaxtepec (México)en 1990,fueronlos siguientes: Relaciones entrelas orientaciones teóricasy los métodosde investigación empíricaen Didácticade la Matemática. - El papel de los aspectosy acercamientos holísticosy sistémicosen Didácticade la Matemática. Asimismo,se inició en estareuniónla presentación de distintosprogramas de formaciónde investigadores en Didáctica de la Matemáticaen el senode distintasuniversidades. tanto a nivel de doctoradocomo de
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dos en supuestosteóricosexternos(tomadosde otras disciplinas)que tratan de orientarla acciónen el aula, aunquecon un progresoescaso.
3.3.2. Enfoquepsicológicode la Didáctica de la Matemática La psicologíade la educaciónesla rama de la psicologia y de la pedagogía que estudia cientíhcamentelos procesosde enseñanzay aprendizaje,así como los problemasque en el contextode los mismospuedanpresentarse. Como afirma Gimeno (1986),son numerosaslas posturasque consideran que la enseñanzaesuna técnicadirectamentederivadade una teoría psicológica del aprendizajeque le sirve de fundamento.>, de enseñanza.reduciendo al de la conducta humana en las situaciones de ella, una rama es la psicologia la Didáctica. Dentro máximo el ámbito de (1990,pág. 33) como la por Genovard, Gotzens la instrucción, definida de . Estos autores analizan y clasificandiferentesteorías y modelos instrucen tres tipos:interaccióncoginteraccionista cionalesdesdeuna perspectiva nitiva, socialy contextual.La , que da prioridad al papel de los sujetos que intervienen en la instrucción como facilitadoresde los aprendizajosque deben desarrollarse a Vygotsky y Bandura.Por último, Skinner, tienen como representantes Gagnéy Cronbach,entreotros,han propugnadoteoríasque puedenencuadrarseen la interaccióncontextualpor la cual la instrucciónes ante todo el t24
producto de la interacciónentre los sujetosy algunasde las variablesdel contexto. Por motivosde extensiónno nos detendremos en la presentación de estas teorías,por otro lado bien conocidaspor los profesoresa través de sus estudiospsico-pedagógicos. Recomendamos al lector interesadoen revisar estasy otras teoríasy modelosinstruccionales el texto citadode Genovardy Gotzens,así como el de A. Orton (1988)y Resnick,Ford (1984)para un estudioaplicadoa la instrucciónmatemática. El Grupo P.M.E. (Psychologyof MathematicsEducation) En la comunidadinternacionalde investigadoresen Didáctica de la psicolóMatemática,seapreciatambiénuna fuertepresiónde la perspectiva gica en el estudio de los procesosde enseñanza-aprendizaje matemático. Consideramosque estepredominiodel enfoquepsicológicode la investigación no tiene en cuentael necesarioequilibrio y principio de complementariedad entre las cuatro disciplinasfundacionalesde la Didáctica de la Matemática descritaspor Higgison (1980).El citado predominio se manifiesta viendola vitalidad del Grupo InternacionalP.M.E. (Psychologyof Mathematics Education),constituidoen el SegundoCongresoInternacionalde Educación Matemática(I.C.M.E.)y que ha celebradoen 1991su 15."reuniónanual. Al preguntarsesobrecuálesson las cuestionesesencialespara la Didáctica de la Matemáticapara las cualesuna aproximaciónpsicológicapuedeser apropiada,Vergnaud(1988)cita las siguientes: - El análisisde la conductade los estudiantes, y de susrepresentaciones de los fenómenosinconscientesque tienen lugar en sus mentes. - Las conductas,representaciones y fenómenosinconscientesde los profesores,padresy demásparticipantes. De un modo especial,analiza cuatro tipos de fenómenoscuyo estudio desdeuna aproximaciónpsicológicapuedeser fructífero: La organizaciónjerárquica de las competenciasy concepciones de los estudiantes. y competencias 2. La evolucióna corto plazode las concepciones en el aula. 3. Las interacciones socialesy los fenómenosinconscientes. y símbolos. 4. La identificaciónde teoremasen acto,esquemas l.
Sin embargo,el análisisde las actasde las reunionesanualesdel P.M.E. revelaque los informesde investigaciónaceptadosincluyentanto investigapsicocionesempíricascomoteóricasy que cubrenámbitosno estrictamente lógicos.No es posibledetallar,por su amplitud,los temastratadosen las distintasconferencias del Grupo P.M.E.,pero sí puedeser de interésleer el 125
esquemade clasificaciónde los informesde investigación(fig. 3.5)presentados en la última reunion(Furinghetti,1991)ya que indica,a grandesrasgos, las cuestionessobrelos que se estátrabajandoen la actualidad.2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
Geometríay pensamientoespacial Ordenadoresy altrendizajematemático. Pensamiento algebraico. Funciones. Pensamientomatemáticoavanzado. Fracciones,decimales,racionales,razonamientoproporcional. Imágenesy visualización. Aprendizajematemáticoen los primeros niveles. Demostración. Resoluciónde problemas. ... Concepciones de alumnos,creencias, Concepcionesde profesores,creencias,... Factoressocialesy efectivos,metacognición. Construcciónsocialdel conocimientomatemáticoy lingüística. Matemáticasfuerade la escuela,el papeldel contexto. Evaluación. Cuestionesteóricasy epistemológicas. Materiascurriculares. Formación de profesores.
Figura 3.5.
Clasificación de temas en la l5.u Conferencia del P.M.E.
(1990a), más allá de la problemáticapsicológica Como afirma BalachefT incial del grupo P.M.E.,el debatesobrela investigaciónha puestode manientrelos que destaca: de teneren cuentanuevosaspectos, fiestola necesidad 1. La especilicidad del conocimientomatemático.La investigaciónsobre el aprendizajedel álgebra,geometría,o el cálculo no se puede profundode los conceptos desarrollarsin un análisisepistemológico Tambiénse reconoceque como nocionesmatemáticas. considerados el significadode los conceptosmatemáticosseapoyano sólosobresu definiciónformal sino,de un modo fundamental,sobrelos procesos Por estarazónseponeel énfasisen implicadosen su funcionamiento. en lugar de cognitivosde los estudiantes>> el estudiode los
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procesode enseñanzarequierenuna consideraciónimportante de la dimensiónsocial en la investigación.Uno de los principalespasosen el desarrollo de la investigaciónen la Psicologíade la Educación Matemáticaesel movimientodesdelos estudioscentradosen el niño (o adolescente) hacialos
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Matemáticas,desdela representacióngráhca de funcionesy distintas clases de morfismosa la dinámicadel simbolismomatemático.Es extrañoque un psicólogo cognitivo se interese y trate los problemas planteados por la comprensióndel infinito matemáticocon todas susdistintasfacetasy dificultades.Con el hn de poder afrontar estosproblemas,se necesitaun sistema particular de conceptosademásde los generalesinspiradospor la psicología. Pero incluso los conceptospsicológicosusualesadquierennuevo significado a la luz de las Matemáticasy la Didáctica de la Matemática. Aprendizajematemáticoy constructiuismo Dentro del enfoquepsicológico,un problema esenciales la identificación de teorías acercadel aprendizajematemático que aporten un fundamento sobrela enseñanza.Romberg,Carpenter(1986)afirman que la investigación sobreaprendizajeproporcionarelativamentepoca luz sobremuchosde los problemascentralesde la instruccióny que gran cantidad de la investigación sobreenseñanzaasumepresupuestosimplícitos sobre el aprendizajeinfantil queno son consistentes con las actualesteoríascognitivasdel aprendizaje. Se (fundamentales) han tratado de aplicarteoríasgenerales sobreel aprendizaje para deducir principios que guíen la instrucción. La enseñanzabasadaen principios conductistastiendea fragmentarel currículumn en un número de partesaisladasque podrían aprendersea travésde un refuerzoapropiado. Pero la instrucción efectiva de las Matemáticasnecesitasustentarseen la comprensiónde los conceptosmatemáticosbásicos. En el caso de teorías del aprendizajederivadasde la epistemología genéticade Piaget,si bien la ejecuciónde tareaspiagetianasestácorrelacionada con logros aritméticos,las operacioneslógicas no han suministrado una ayuda adecuadapara explicarla capacidaddel niño para aprenderlos matemáticas másbásicas.De los estudioscognitivosse conceptosy destrezas deduceuno de los supuestosbásicossubyacentesde la investigaciónactual sobre aprendizaje.Consisteen aceptar que el niño construye,de un modo activo,el conocimientoa travésde la interaccióncon el medio y la organización de suspropios constructosmentales.Aunque la instrucciónafectaclaramentea lo que el niño aprende,no determinatal aprendizaje.El niño no es un receptorpasivodel conocimiento;lo interpreta,lo estructuray lo asimila a la lt:z de sus propios esquemasmentales. Como afirmaVergnaud(1990a),la mayoríade los psicólogosinteresados hoy por la Didácticade la Matemáticasonen algúnsentidoconstructivistas. Piensanque las competenciasy concepcionesson construidaspor los propios estudiantes.SegúnKilpatrick (1987),el punto de vista constructivista implica dos principios: 1. El conocimientoes construido activamentepor el sujeto que conoce, del entorno. no es recibidopasivamente
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2. Llegar a conocer es un procesoadaptativo que organiza el propio mundo experimental;no se descubreun rnundo independiente,preexistente,exterior a la mente del sujeto. Pero el hecho de que la mayoría de los investigadoresno especifiquen las condicionesfisicasy socialesbajo las cualestiene lugar el suficientemente conocimientoabre el camino a una amplia variedadde posicionesepistemológicas. Desde un constructivismo simple (trivial, para algunos) que sólo reconocenel principio 1 mencionado,al constructivismoradical que acepta los dos principios y, por tanto, niegala posibilidad de la mentepara reflejar aspectosobjetivosde la realidad.Tambiénse habla de un constructivismo social,que refuerzael papel fundamentaldel conflicto cognitivo en la construcción de la objetividad. La solución epistemológica,afrrma Vergnaud (1990a), es un principio bastantesencillo:la construccióndel conocimiento mentales,implíciconsisteen la construcciónprogresivade representaciones tas o explícitas,que son homomórficasa la realidad para algunosaspectosy no lo son para otros. Aprendizajematemáticoy procesamientode la informacion Como afirma A. Orton (1988),no existeninguna teoría del aprendizajede las Matemáticasque incorporetodos los detallesque cabríaesperary que tengauna aceptacióngeneral.Segúnesteautor seidentificanen la actualidad dos corrientesde investigaciónsobreestecampo:el enfoqueconstructivista, y el enfoquede cienciacognitiva-procesamiento consideradoanteriormente, de la información,de fuerte impacto en las investigacionessobreel aprendizaje mztemático,como se pone de manifiestoen Davis (1984). (1987),una hipótesisbásicasubyacente SegúnSchoenfeld de los trabajos en cienciacognitivaesque las estructurasmentalesy los procesoscognitivos son extremadamentericos y complejos,pero que talesestructuraspuedenser comprendidasy que estacompresiónayudaráa conocermejor los modos en los que el pensamientoy el aprendizajetienen lugar. El centro de interéses explicar aquello que produceel >, o sealas capacidadesde resolverproblemassignificativos. El campo de la ciencia cognitiva intenta capitalizar el potencial de la metáfora que asemejael funcionamientode la mente a un ordenador para comprenderel funcionamiento de la cognición como procesamientode la información,y como consecuenciacomprenderlos procesosde enseñanzay aprendizaje.Seconsideraque el cerebroy la menteestánvinculadoscomo el ordenador y el programa. El punto de vista dominante en cienciacognitiva actual es que la cognición esllevadaa cabo por un mecanismode procesamientocentral controlado por algún tipo de sistema ejecutivo que ayuda a la cognición a ser conscientede lo que está haciendo.Los modelosde la menteseequiparana
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los modelosde ordenadores de propósitogeneralcon un procesadorcentral capaz de almacenar y ejecutar secuencialmente programas escritos en un lenguajede alto nivel. En estosmodelos,la mentese consideracomo esencialmenteunitaria, y las estructurasy operacionesmentalesse consideran como invariantespara los distintoscontenidos;sepiensaque un mecanismo único estáen la basede las capacidadesde resoluciónde una cierta clasede problemas. Desdeel punto de vista metodológicolos cientílicoscognitivoshacen observaciones detalladasde los procesosde resoluciónde problemaspor los individuos,buscanregularidades en sus conductasde resolucióne intentan caracterizardichas regularidadescon suficienteprecisióny detalle para que los estudiantespuedan tomar esascaracterizaciones como guías para la resoluciónde los problemas.Tratan de construir> de la que seránpuestoa pruebamedianteprogracomprensiónde los estudiantes mas de ordenadorque simulanel comportamientodel resolutor. Como educadores matemáticosdebemospreguntarnossi la metáforadel ordenadorproporcionaun modelode funcionamientode la menteque pueda ser adecuadapara explicar los procesosde enseñanzaaprendizajede las Matemáticasy cuálesson las consecuencias para la instrucciónmatemática de las teoríasdel procesamiento de la información.Kilpatrick (1985,pág.22) nos advierte de que <pero al mismo tiempo r€conocerque hay varios tipos de ella y que algo sepierdecuandodefinimoslos finesde la educaciónen términosde gananciade información>. Como expondremosen la siguientesección,otros autorespropugnanun enfoquediferentede los procesosde resoluciónde problemasy enseñanzaaprendizaje,que asignanun papel más activo al resolutor, tienen en cuenta las peculiaridades del contenidomatemáticoasícomoel papeldel profesory de la interacciónsocial del aula.
matemáticay autónomade la Didáctica 3.3.3. Hacia una concepción Dentro de la comunidadde investigadores que,desdediversasdisciplinas, seinteresanpor los problemasrelacionados con la Didácticade la Matemática, se ha ido destacandoen los últimos años,principalmenteen Francia, donde sobresalenlos nombresde Brousseau,Chevallard,Vergnaud,...,ur grupo que se esfuerzaen una reflexiónteórica sobreel objeto y los métodos de investigaciónespecíficos en Didáctica de la Matemática.Fruto de este esfuerzo, ha surgidouna concepciónllamadapor susautores
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de la Didáctica que presentacaracteresdiferencialesrespectoa otros enfoques:Concepciónglobalde la enseñanza, ligadaa la Matemáestrechamente de aprendizajey búsquedade paradigmaspropios tica y a teoríasespecíficas en una posturaintegradoraentrelos métodoscuantitativos de investigación, y cualitativos. Como característicade esta línea puedecitarse el interés por establecer un marco teóricooriginal,desarrollandosuspropiosconceptosy métodosy globalmente. Los molas situaciones de enseñanza-aprendizaje considerando comprendenlas dimensiones epistemológicas, socialesy delosdesarrollados cognitivasy tratan de tener en cuentala complejidadde las interacciones entreel saber,los alumnosy el profesor,dentrodel contextoparticularde la clase.El estudiode las relacionescomplejasentre la enseñanzay el aprendizaje, en aquellos aspectosque son específicosde las Matemáticas,queda concretadopor Laborde(1989)en estasdos cuestiones: 1. ¿Cómo podemos caractenzarlas condicionesque deben implementarse en la enseñanzapara facilitar un aprendizajeque reúna ciertas característicashjadas a priori? debeposeerla descripciónde un procesode enseñan2. ¿Quéelementos za para asegurarque puedaser reproducidodesdeel punto de vista del aprendizajeque induceen los alumnos? Un criterio básico que guía la investigaciónde estascuestioneses la determinacióndel significadodel conocimientomatemáticoque se desea,a priori, que construyanlos alumnos y del que realmentealcanzandurante el procesode enseñanza. Como ahrma Laborde(1989),existeun amplio conen una sensosobreel requisitometodológicode utilizar la experimentación interaccióndialécticacon la teoría.El paradigmaexperimentales concebido experimentales soncomparadentrode un marcoteóricoy las observaciones de dascon el marco,pudiendosermodificadoéstealaluz de la consistencia y la exhaustividaden relacióna todos los fenólos conceptosdesarrollados menosrelevantes. Concepciónde la Didáctica de la Matemática.Enfoquesistémico En Brousseau(1989,pág. 3) se dehnela concepciónfundamentalde la Didácticade la Matemáticacomo ,indicando como objetos particularesde estudio: - Las operacionesesenciales de la difusión de los conocimientos,las que produce,tanto condiciones de estadifusióny las transformaciones sobrelos conocimientoscomo sobresusutilizadores. 131
- Las instrucciones y las actividadesque tienenpor objetofacilitarestas operaciones. Los didactasque compartenestaconcepciónde la Didácticarelacionan todoslos aspectosde su actividadcon las Matemáticas.Seargumenta,para basareseenfoque,que el estudiode las transformaciones de la Matemática, bienseadesdeel punto de vistade la investigación o de la enseñanza siempre ha formado parte de la actividad del matemático,de igual modo que la búsquedade problemasy situacionesque requierapara su solución una noción matemáticao un teorema. Una característica importantede esta teoría,aunqueno seaoriginal ni exclusiva,es su consideraciónde los fenómenosde enseñanza-aprendizaje bajo el enfoquesistémico.Bajo estaperspectiva, el funcionamientoglobalde un hechodidácticono puedeser explicadopor el estudioseparadode cada uno de sus componentes, de igual maneraque ocurre con los fenómenos económicoso sociales.Chevallard,Johsua(1982)describenel en sentido estricto,formado esencialmente por tres subsistemas: , y . Ademásestáel mundoexteriora la escuela, en el que se hallanla sociedaden general,los padres,los matemáticos, etc. Pero, entre los dos, debe considerarseuna zona intermedia,la , que,integradaal anterior,constituyecon él el sistemadidáctico en sentidoamplio y que es lugar,a la vez,de conflictosy transacciones por las que serealizala articulaciónentreel sistemay su entorno.La noosferaes por tanto . Brousseau (1986)considera,además,como componenteel que estáformado juegos,situaciopor el subsistema sobreel cual actúael alumno(materiales, nesdidácticas,etc.). Presentaremos, a continuación,una síntesisde los principalesconceptos ligadosa estalínea de investigación. Estosconceptostratan de describirel funcionamientodel sistemade enseñanza, y de los sistemasdidácticosen particular,como dependientes y elecciones. de ciertasrestricciones Asimismo, tratan de identificardichas restriccionesy poner de manifrestocómo producenmodosdiferentes distintaselecciones de aprendizajedesdeel punto de vista de la construcciónpor los alumnosde los significados de las nocionesenseñadas. Aprendizajey enseñanza:feoria de SituacionesDidácticas La teoríaque estamosdescribiendo, en su formulaciónglobal,incorpora tambiénuna visión propiadel aprendizajematemático,aunquepuedenidenparcialesen otrasteorías.Se tificarseplanteamientos similaressobreaspectos adoptauna perspectivapiagetiana,en el sentidode que se postulaque todo conocimientose construyepor interacciónconstanteentre el sujeto y el
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objeto, pero se distinguede otras teoríasconstructivistaspor su modo de afrontar las relacionesentre el alumno y el saber.Los contenidosson el substratosobreel cual se va a desarrollarla jerarquizaciónde estructuras mentales. Pero además,el punto de vistadidácticoimprimeotro sentidoal estudio (alumno-saber). El problema de las relacionesentre los dos subsistemas principal de investigaciónes el pero con el fin de optimización,de su control y de su Esto obliga a concederuna imporreproducciónen . que es tanciaparticularal objetode la interacciónentrelos dos subsistemas, precisamente y la por el profesorde esta de interacción. Como indica Balacheff(1990 a), se está reconociendoen los trabajos sobre Psicologiade la EducaciónMatemáticala importanciacrucial que presentanlas relacionesentre los aspectossituacionales, el contexto y la y las de los alumnos. Esta dimensión situaciocultura conductascognitivas nal, que subyace(explícitamente o no) en cualquierestudiosobreprocesosde enseñanza, raramentees consideradacomo objeto de investigaciónpor sí misma.Pensamosque la Teoría de SituacionesDidácticasde G. Brousseau es una iniciativaen estesentido. Una
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bólica y procedimientosde desarrolloy validaciónde nuevasideasmatemáticas,es precisocontemplar varios tipos de situaciones: . situacionesde acción,sobre el medio, que favorecenel surgimientode teorías(implícitas)que despuésfuncionaránen la clasecomo moderos proto-matemáticos. . situacionesdeformulación,que favorecenla adquisiciónde modelosy lenguajesexplícitos. En estas suelen diferenciarselas situacionesde comunicación,que son las situacionesde formulación que tienen dimensionessocialesexplícitas. . situacionesde ualidación,que requierende los alumnosla explicitación de pruebasy por tanto explicacionesde las teorías relacionadasy los medios que subyacenen los procesosde demostración. c situacionesde institucionalización, que tienenpor hnalidad establecery dar un (estatus))oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas,etc.,que debenser retenidaspara el trabajo posterior. Los obstáculosy sustipos El aprendizajepor adaptaciónal medio,implica necesariamente rupturas cognitivas,acomodaciones, cambio de modelosimplicitos (concepciones), de lenguajes,de sistemascognitivos.Si se obliga a un alumno o a un grupo a una progresiónpasoa paso,el mismo principio de adaptaciónpuedecontrariar el rechazo,necesario,de un conocimientoinadecuado.Las ideastransitorias resisteny persisten.Estasrupturas puedenser previstaspor el estudio directode las situacionesy por el indirectode los comportamientos de los alumnos(Brousseau, 1983). un <r esuna concepciónque ha sido en principio eficientepara resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se resistea ser modilicado o ser rechazado:vienea ser una barrera para un aprendizajeposterior. se revela por medio de los erroresespecíficos que son constantesy resistentes. Para superartalesobstáculos seprecisansituacionesdidácticasdiseñadaspara hacera los alumnos conscientesde la necesidadde cambiar susconcepcionesy para ayudarlesen conseguirlo. (1983)da las siguientes Brousseau características de los obstáculos: - un obstáculoes un conocimiento,no una falta de conocimiento. - El alumno utiliza esteconocimientopara producir respuestasadaptadas en un cierto contexto que encuentracon frecuencia. - cuando se usa este conocimientofuera de este contexto generarespuestasincorrectas.una respuestauniversalexigiráun punto de vista diferente. 134
- El alumno resistea las contradicciones que el obstáculole producey al establecimientode un conocimientomejor. Es indispensableidentificarlo e incorporarsu rechazoen el nuevo saber. - Despuésde habernotado su inexactitud,continúamanifestándolo, de forma esporádica. Se distinguenlos siguientestipos de obstáculos: . Obstáculosontogénicos,a vecesllamadosobstáculospsicogenéticos: del desarrollodel niño. Son debidosa las características . Obstáculosdidácticos:Resultande las eleccionesdidácticashechas para establecer la situaciónde enseñanza. . Obstáculosepistemológicos: Intrínsecamente relacionadosal propio concepto.Evidenciadopor medio de un análisishistórico,tal tipo de obstáculodebeserconsideradocomo parte del significadodel concepto. Por tanto, encontrarloy superarlo,pareceser una condiciónnecesaria para la construcciónde una concepciónrelevante. que,frentea la teoriapsicológicaque atribuyelos erroresde Observamos los alumnosa causasde tipo cognitivo,seadmiteaquí la posibilidadde que y didácticas,por lo taleserrorespuedanserdebidosa causasepistemológicas que la determinaciónde estetipo de causasproporcionauna primeravía de solución. Relacióncon el saber:relatiuidaddel conocimientorespecto de las instituciones (Chevallard(1989)ha adoptadouna posiciónde notable Recientemente, generalidadpara los estudiosde Didáctica.Desdeuna perspectivaantropológica, la Didáctica de la Matemática sería el estudio del Hombre (las humanas)aprendiendoy enseñandoMatemáticas.Para Chevasociedades llard (1989)el objeto principalde estudiode la Didácticade la Matemática estáconstituidopor los diferentestiposde sistemasdidácticos,formadospor los subsistemas enseñantes, alumnosy saberenseñado,que existanactualmente o que puedan ser creados,por ejemplo,mediantela organizaciónde un tipo especialde enseñanza. La problemáticadel estudio puedeser formulada,globalmentey a grandes rasgos,con la ayuda del conceptode <(rapport au savoir),institucionaly personal.Paraesteautor, dado un objetoconceptual, o (conocer) dicho objeto no es un conceptoabsoluto,sino que dependede la institución en que se encuentrael sujeto.Así la expresión ,referida a una persona dada, puede ser cierta si nos referimosa las probabilidadesestudiadasen la escuelay falsa si nos referimos al mundo académico,e incluso en éste habría que diferenciarsi nos referimosal conocimientonecesari o para la enseñanza en los primeroscur135
sos de una carrera técnicao al que seríapreciso para realizar investigación teórica sobre Cálculo de Probabilidades. Hay que distinguir pues entre relación institucional (saber referido al objeto conceptual,que se consideraaceptabledentro de una institución) y relaciónpersonal(conocimientosobreel objeto de una personadada)que puedeestaro no en coincidenciacon el institucionalparala instituciónde la que forma parte. Sobre estos conceptos,se plantean dos preguntasfundamentales:
niveles de enseñanza,ni reconstituir el modo de existenciaoriginal de la noción, ni llenar todas y únicamentelas funcionespara las cualesse había decidido introducirlo. Por ejemplo,y refiriéndonosal tema de la probabilidad condicional, es frecuente en los textos de Bachillerato encontrar un nuevo concepto relacionado con ella que es inexistenteen el Cálculo de Probabilidadesa nivel académico.Nos referimos al denominado ,del que puedenverseen numerosostextos definicionessimilares a la siguiente:
1. ¿Cuálesson las condicionesque aseguranla viabilidad didácticade tal elementodel sabery de la relacióninstitucional y personala este elementodel saber? 2. ¿Cuálesson las restriccionesque pueden impedir satisfacerestas condiciones?
t. Sin embargo,el álgebrade sucesoses siempreisomorfa a un álgebrade conjuntos y las únicasoperacionesposiblesen un álgebrade conjuntos son las usualesde unión, interseccióny diferencia.El estudiode la transposición didácticasepreocupa,entre otras cuestiones,de detectary analizarestaclase de diferenciasy hallar las causaspor las cualessehan producido,con objeto de subsanarlasy evitar que la enseñanzatransmita significadosinadecuados sobrelos objetosmatemáticos.
El problema central de la Didáctica es para este autor el estudio de la r, por qué tener relación con los móviles de quieneshan concebidoel programa. Su inmersiónen el saberenseñadova a permitir finalmentesu recontextualizaciín. Pero ésta no conseguirá,en general,sobre todo en los primeros
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Otras nocionesteóricas Ademásde las nocionesanteriores,otros conceptosteóricos de interés son los siguientes: . Contratodidáctico:el contrato didáctico es un conjunto de reglas,con frecuenciano enunciadasexplícitamente,que organizanlas relaciones entre el contenido enseñado,los alumnos y el profesor dentro de la 1986).Como ejemplode estefenómeclasede Matemáticas(Brousseau, no se suelecifarla investigaciónde StellaBaruk referidaa la contestación de una amplia muestrade alumnosal problema denominado.Un enunciadotípico de esteproblemaesel siguiente: Un barco mide 37 metros de largo y 5 de ancho.¿Cuál es la edad del capitán? Preguntadossobre este problema,la mayoría de los niños en los primeros años escolaresresponde que 42 ó 32 años. Si se cambia el enunciado,incluyendootros datoso variandolos númerosseda como respuestaun valor que puedaobtenersemedianteoperacionesaritméticascon los datosdel enunciado.Sonmuy pocoslos casosde niñosque contestenque no tiene sentidola pregunta.
3 Valdés, T.; Marsinyach, S. (1975): Matemáticas 1. Curso de Bachillerato. (S. M.: Madrid, España).
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El interésde la noción de contratodidácticosedebea que muchos estudiantes respondena una cuestión,no segúnun razonamientomatemático esperado,sino como consecuencia de un procesode decodificación de las convenciones didácticasimplícitas.Los estudiossobre el contratodidácticoy susrelaciones con los procesosde aprendizajeson esencialesya que lo que estáen juego es el signifrcadoreal del conocimiento construidopor los alumnos. o camposconceptuales.'los conceptosmatemáticossedotan de signilicado a partir de una variedadde situaciones; cadasituaciónno puedeser analizada usualmentecon la ayuda de un solo concepto sino que precisavarios de ellos. Esta es la razón que ha llevado a Vergnaud (1990b) al estudiode la enseñanza y aprendizaje de camposconceptuales,estoes,grandesconjuntosde situaciones cuyo análisisy tratamiento requierevariostipos de conceptos,procedimientos y representacionessimbólicasqueestánconectadas unascon otras.como ejemplosde talescamposconceptuales puedencitarselas estructurasaditivas,estructurasmultiplicativas,la lógica de clasesy el álgebraelemental. A estasdos nocioneshabría que añadir otras como las del juego de cuadrosy dialécticaútil-objeto (Douady, 1986),ingenieríadidacticay reproductibilidad(Artigue,1989),etc. Por las necesidades de brevedad,remitimos al lectorinteresadoa las referencias citadas.Algunasde las nocionesmencionadasen estasecciónpuedeconsultarlasel lector en el texto de estacolección de Centeno(1988). Conclusión La exposiciónsintéticaque hemos hecho de algunasde las nociones teóricasdesarrolladaspor los didactasfranceses, que forman un colectivode una centenade investigadores (Laborde,1989),es una muestrade que,bajo nuestropunto de vista,la EscuelaFrancesade Didácticade la Matemática está en camino de constituir un de conceptosteóricosque sirva de soportede un programade investigaciónen el sentidode Lakatos. su capacidadde plantearnuevosproblemasde investigación, y de enfocar los problemasclásicosbajo una nuevaluz, estásiendopuestade manifiestoa través de la produccióncientíficade todo el colectivode investigadores. Nocionescomo las de transposicióndidáctica,contratodidáctico,obitáculo, se utilizan cada vez con mayor frecuenciaen las publicacionesen revistasy actasde congresosinternacionales de la especialidad. En todo caso,parecefuera de duda, que existeen Francia una línea de investigación (enel sentidode Bunge)dentrodel campode la Didácticade la Matemática,con una fuertementeoriginal, como pone de manifiestoBalacheff(1990c),que puedesignificaruna ruptura episternológi-
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ca para esta disciplina científica.Está por determinar si alcanzaráo no el carácterde paradigmapredominante(Kuhn) en un futuro más o menos lejano. 3.3.4. Otras teoríassobreDidáctica de la Matemática Las investigacionessobrela enseñanzay el currículum matemáticoconstituyen un área de estudio en Didáctica de la Matemáticade extraordinario interés.Para el mundo de la prácticael currículumy la instrucciónson el vitalespara mejorar centro de la acciónya que seorientan hacia necesidades por tanto,cuestiones los programasde la Matemáticaescolar,planteándose, básicaspara la investigación.La investigaciónsobrecurrículume instrucción, utilizando resultadosde otros camposde la Didáctica de la Matemática, teorías del aprendizajefundamentalmente,trata de ser una indagación sistemáticapara comprendero mejorar: a) La seleccióny estructuraciónde las ideasmatemáticasa enseñar. de esasideasa los alumnos. b) La presentación c) La evaluaciónde la efectividaddel programay del rendimientode los alumnos. de contenido, En síntesis,se interesapor comprenderlas combinaciones y sistemasde imparticiónmás efectivospara disestrategias secuenciación, tintos perfrlesde aptitudes de los alumnos.Una estudio pormenorizadode estecampo,que incluyela descripciónde la problemáticay una valoración de resultados,se puede encontrar en Fey (1980)y Romberg,Carpenter (1986).Asimismo,recomendamos el trabajo de Rico (1990). de las investigaciones sobreel currículumy la enseUna característica ñanzaes su extraordinariacomplejidad.Para ello, como indica Fey (1980), de instrucde materialescurriculareso de procedimientos los diseñadores en la creatividadpersonal,enjuicios basansusesfuerzos ción,con frecuencia, intuitivosy en la elaboraciónde testsinformales.Sedisponede pocainvestigación que expliquela dinámica del sistemaque pudiesetransformarla interesesy valoresen un currículum cientíhcamente mezclade necesidades, la de los temas de la matemáticaescolar,se Así, selección fundamentado. determinapor: - La estructurainterna de la disciplina,sin un análisisepistemológico riguroso. - El interéspúblico,medido de un modo informal. - La recomendación de expertosprestigiosos. - Los libros de texto. elaboradosa vecescon escasafundamentación científica.
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En consecuencia,no parece existir todavía un fundamento teórico y experimentalconsistentepara la investigaciónsobreel currículumy la instrucción.Entre las cuestiones importantesy estrategias para las investigaciones futuras,Fey (1980)citaba,precisamente, como tema prioritario la búsquedade una ,o seael diseñodé modelosteóricos que relacionenlas principalesvariablescurricularese instructivas. El objetivo más perseguidoen estecampo ha sido el de buscarel mejor . método de instrucción;pero ha sido improductivoen la identificaciónde procedimientos generales apropiados,secuenciación de estrategias o formas de presentación.En consecuencia, la investigaciónse está orie-ntandohacia análisismás microscópicos del procesocurriculary haciala búsquedade los efectosque se esperan de una aproximación particular en siiuacionesy contenidosparticulares.Este es el enfoqueque se aprecia en la escuela francesade Didáctica de la Matemática para liascuestionescurriculares. otras investigaciones sobre currículum e instrucciónse han orientado hacia cuestionesgenerales,independientes de los contenidosparticulares. Romberg,carpenter (1986)afirman que la mayoría de las investigaciones sobrela enseñanza no han estadodirectamenterelacionadas con las Matemáticasy que en los casosque han versadosobre estecontenidose han centradoen mejorar la enseñanzade la Matem ática tradicional haciéndola más eficiente.Ahora bien,talesestudiossehan basadoen concepciones de la Matemática y del aprendizajeajenos a ra perspectivay resultadosde las investigaciones cognitivasy, por tanto,sushallazgosposiiivospodríanincluso ser irrelevanteso posiblemente perjudiciales. Las ideassobreel contenidoque seenseñason ignoradasa menudoo se consideraque estánal margendel espectrode indagaciónen la mayoríade las investigaciones sobrela enseñanza. Romberg,small, carnaham-(lg7\4 localizaroncientosde estudiosque valorabanla efectividadde casitodoslos aspectosconcebibles de la'conductadocente,pero encontraronpocosmodelos de instrucciónque incluyeranel componentedel contenido.Sin embargo, sereconocela necesidadde acometerinvestigaciones que tenganen cuentael contenidoespecífico y las técnicasdidácticasapropiadaspara tal contenido. En general, los estudios llevados a cabo dentro del paradigma procesoproductorelacionados con la enseñanza de las Matemáticasnó han logrado dotar a los profesores de una lista de conductasexaminables que les hiciera más competentesy les aseguraseque sus alumnos aprendán. En cierto sentido,estainvestigaciónreflejalos estadiosinicialesde lo que Kuhn (1925) denominó<. En ausenciade un paradigmao de un conjuntode principiosorganizativos, todoslos hechos,que posiblemente
a Citado por Rombergy Carpenter(198ó).
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atañiesena un área problemática,es posibleque parezcande igual relevancia. de las Matemáticashechosbajo un paraLos estudiossobreenseñanza menosnumerososque digma interpretativo,aunqueson considerablemente ya que a travésde diferenteslentesconceplos positivistas,son interesantes la enseñanzade la Matemática. iluminan aspectos de tuales se diversos puede investigación sobreel pensamiento la línea de ejemplo citarse Como del profesor acercade la Matemática y su enseñanzay el efecto de estas sobresu accióndocente.Estalíneade trabajoestáadquiriendo concepciones un interéscrecientecomo puedeverseen Llinares y Sánchez(1990). que sehan proyectadosobrela Didácticade la Entre las teoríasgenerales el , destacamos Matemáticay que sólo han sido mencionadas, (Bruner)y ek por descubrimiento> el . que de Razonamientode Van Hiele>>, ción didácticaes la de los <de las estructurasmatemáticas.
3.4. LA DIDACTICA DE LA MATEMATICA COMO SABER CIENTIFICO. TECNOLOGICO Y TECNICO y transdisciplinariedad 3.4.1. Disciplina autónoma,pluridisciplinariedad Una vez descritaslas principalescorrientesde investigacióndentro de la teoría de la Didáctica de la Matemática,en esta seccióntrataremosde realizaruna reflexiónfinal acercade la naturalezade estecampo como área de conocimiento.¿Setrata de un sabermeramentepráctico, una tecnología fundada y dependientede otras ciencias,o, por el contrario, existenproblemas cuyascaracterísticasrequierenun nivel de análisisteórico y una metodología propias de un verdaderosabercientífico? Esta reflexión epistemológica,que es esencialpara orientar adecuadamente la investigacióndidáctica, ya que condiciona la formulación de las cuestionescentralesde la misma(Godino, 1990),apenasha sido tratada en la bibliografia.Destaca,sin embargo,el trabajo de Brousseau(1989)con el y las ideasde Steiner,que a continuasignihcativotítulo (La tour de Babeb> ción exponemos.
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Ante la extrema complejidadde los problemasde la Didáctica de la Matemática,steiner(1985)indica que se producendos reacciones extremas: - Los que alirman que la Didácticade la Matemáticano puede llegara serun campocon fundamentación científicay, por tanto,la enseñanza de Ia Matemáticaes esencialmente un arte. -Los que,pensandoque es posiblela.existenciade la Didácticacomo ciencia,reducenla complejidadde los problemasseleccionando.sólo un aspectoparcial(análisisdel contenido,construccióndel currículum. métodosde enseñanza, desarrollode destrezas en er alumno,interacción en el aula, ...) al que atribuyen un peso especialdentro del conjunto,dandolugar a diferentesdefiniciones y visi,ones de la misma. De maneraparecidaseexpresaBrousseau(19g9)indicandouna primera acepciónde la Didácticade la Matemática,que consisteen la identificación de la Didácticacomo el , esdecirel conjuntode mediosy procedimientos que tiendena hacerconocer,en nuestrocaso,la Matemática. Brousseau (1989),sin embargo,distinguedos concepciones de caráctercientifico que denominaremos concepción o ,pata la que la Didáctica serían las técnicasde enseñanza, En el punto de vista que hemosdenominadoconcepción de la Didáctica,que coincidiríacon la segundatendenciaieñalada ior steiner,éstaaparececomo una etiquetacómodapara designarlas enseñanzas necesariaspara la formación técnicay profesionalde los profesores.La Didácticacomo áreade conocimientocientíficoseria
