06.. Rang 06 Rangka kaia ian n Listr Listrik ik II
RANGKAIAN RLC SERI TANPA TANPA SUMBER ( RESPONS ALAMI ALAMI )
6.1 Pena!"#"an Pada pelajaran sebelumnya telah dibahas respons dari rangkaian RL dan RC tanpa sumber, dan respons ini disebut respons alami, karena bentuknya hanya bergantung pada sifat rangkaian. rangkaian. Pada bagian ini akan dibahas rangkaian RLC tanpa sumber, dan akan sangat menyenangkan menyenangkan apabila kajian-kajian kajian-kajian yang telah dilakukan untuk rangkaian-rangkaian rangkaian-rangkaian RL dan RC dapat membuat analisis rangkaian RLC menjadi tugas yang sederhana, akan tetapi pada kenyataannya analisis untuk rangkaian RLC tetap sukar. Hal ini disebabkan adanya ada nya induktans induktansii dan kapasitansi kapasitansi di dalam dalam rangkaia rangkaiann yang yang sama, sama, sehingg sehinggaa akan menghasilkan menghasilkan sebuah sistem orde dua, yaitu, sistem yang beririkan sebuah persamaan diferensial linier berisi turunan kedua, atau oleh dua persamaan diferensial linier orde pertama yang simultan. Penam Penambah bahan an orde orde men mengak gakib ibatk atkan an perlu perlu me mengh nghitu itung ng dua konsta konstanta nta sebara sebarang ng dan dan disamping disamping itu perlu menentukan syarat syarat a!al untuk turunan. turunan. Pertama-tama ditinjau sistem orde pertama tanpa sumber, dan respons dinamai respons alami, dimana respons ini ditentukan seluruhnya oleh jenis elemen pasif di dalam dalam rangkaia rangkaiann dan deng dengan an ara baga bagaiman imanaa elemen elemen tersebut tersebut dihubun dihubungkan, gkan, serta syarat a!al yang dihasilkan oleh energi yang disimpan. "eperti telah dijelaskan pada pelajaran sebelumnya, Respons alami adalah sebuah fungsi !aktu yang menurun seara eksponensial dan respons ini mendekati harga konstanta, jika !aktu mendekati tidak terhingga. #onstanta tersebut biasanya adalah nol, keuali keuali di dalam dalam rangkaian rangkaian dimana induktor indu indukt ktor or dihu dihubu bung ngka kann para parale lell atau atau kapa kapasi sito torr-ka kapa pasi sito torr dihu dihubu bung ngka kann seri seri akan akan menimbulkan menimbulkan arus-arus atau tegangan. Penam Penambah bahan an sumber sumber d $ fun fungsi gsi pemaksa pemaksa tangga tangga satuan satuan %
kepada kepada sistem sistem orde
pertama, akan menghasilkan sebuah respons yang terdiri dari dua bagian, yaitu respons alami dan respons paksaan. Respons paksaan ini sangat erat hubungannya dengan fungsi pemaksa dan bentuknya adalah seperti fungsi pemaksa itu sendiri ditambah integral dan turunan pertama fungsi pemaksa.
PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
1
6.& Rangkaian RLC Seri Tan+a S"er Rangkaian RLC seri adalah dual dari rangkaian RLC paralel, dan kenyataan ini ukup membuat analisisnya menjadi lebih mudah. i
vc
v
+
i
C L
R
+ vL -
R
L
C
Gambar 1b
Gambar 1a
"ekarang kita akan membahas mengenai analisis transien $ respons alami %, dengan meninjau rangkaian RLC seri , seperti ditunjukkan pada gambar 1a . 'alam hal ini dianggap bah!a energi telah disimpan mula-mula di dalam induktor dan kapasitor, sehingga harga arus induktor dan tegangan kapasitor telah ada dari semula. 'ari gambar 1a, dengan menggunakan hukum tegangan #irhhoff, diperoleh ( di
1
t
L --- ) R i ) --- * i dt - +$ t % dt
C
.....$ 6 - 1 %
t
/andingkan persamaan ini dengan rangkaian RLC paralel pada pelajaran sebelumya, seperti ditunjukkan gambar 1b, dengan menggunakan hukum arus kirhhoff diperoleh ( t + 0 R ) 1 0 L * + dt - i$ t % ) C d+0dt
.....$ 6 - & %
t anda minus pada persamaan $ 6 - 1 % adalah akibat arah i yang dimisalkan. 2rus induktor dan tegangan kapasitor sudah ada dari semula, dimana ( i$ ) % 3
.........$ 6 - 4 %
+$ ) % 5
.....$ 6 - %
7ika persamaan $ 6 - 1 % dan $ 6 - & % kedua ruasnya dideferensialkan satu kali terhadap !aktu, maka akan diperoleh persamaan diferensial homogen orde kedua yang linier, yaitu ( L d&i 0 dt& ) R di 0 dt ) $ 1 0 C % i
atau
d&i 0 dt& ) $ R 0 L % di 0 dt ) $ 1 0 L C % i
...$ 6 - 8 %
C d&+ 0 dt& ) $ 1 0 R % d+ 0 dt ) $ 1 0 L % + d&+ 0 dt& ) $ 1 0 RC % d+ 0 dt ) $ 1 0 LC % + PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
atau ...$ 6 - 6 % RANGKAIAN LISTRIK II
&
Persamaan $ 6 - 8 % dan $ 6 - 6 % adalah persamaan yang analogis, maka penyelesaian persamaan diferensial pada persamaan $ 6 - 6 % pada rangkaian paralel RLC paralel dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial rangkaian RLC seri , yaitu persamaan $ 6 - 8 %, dimana i$ t % adalah respons alami yang diinginkan. 2da beberapa ara untuk menyelesaikan persamaan $ 6 - 8 %, salah satu ara adalah ( 9isalkan (
i 2 e st
.$ 6 - : %
dimana 2 dan s bilangan - bilangan kompleks "ubsitusikan harga pada persamaan $ 6 - : % kedalam persamaan $ 6 - 8 %, diperoleh ( 2 s & e s t ) $ R 0 L % 2 s e s t ) $ 1 0 L C % 2 e s t
atau
2 e s t ; s & ) $ 1 0 RL % s ) 1 0 L C < 2gar persamaan ini dipenuhi untuk semua !aktu, maka satu dari ketiga faktor setidaktidaknya sama dengan nol. s & ) $ R 0 L % s ) 1 0 LC
..$ 6 - = %
Persamaan $ 6 > = %, disebut persamaan karakteristik. #arena persamaan $ 6 - = % adalah persamaan kuadrat, maka terdapat dua akar, yaitu s 1 dan s& , dimana ( s, - & R ( / L ) 1 2 R ( / L ) 3/ & , LC
.. ..$ 6 - ? %
s/ - & R ( / L ) & 1 2 R ( / L ) 3/ & , LC
..$ 6 - 1 %
'engan mensubsitusikan harga - harga s 1 dan s & kedalam persamaan $ 6 - : %, diperoleh ( i1 21 e s1 t
i& 2& e s& t
dan
dengan mensubsitusikan harga i 1 dan i& diatas, maka persamaan $ 6 - 8 %, menjadi ( d& i1 0 dt& ) $ R 0 L % di 1 0 dt ) $ 1 0 LC % i1 d2 i2 / dt2 + ( R / L ) di2 / dt
dan
+ ( 1 / LC ) i2 = 0
'engan menjumlahkan kedua persamaan diferensial diatas dan menyatukan suku- suku yang sama, maka ( C d& $ i1 ) i& %0dt& ) R0L d $ i1 ) i& %0dt ) 10$ LC % $ i1 ) i& %
..$ @ %
/andingan persamaan $ @ % dengan persamaan $ 6 > 8 %, dimana i i 1 ) i&, sehingga penyelesaian mempunyai bentuk respons alami ( i - A, e s, t A/ e s/ t
..$ 6 - 11 %
dan dalam bentuk umum ( i( t ) - A, e s, t A/ e s/ t PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
4
dimana s 1 dan s& diberikan oleh persamaan $ 6 - ? % dan $ 6 - 1 %, sedangkan 21 dan 2& adalah dua konstanta sebarang yang akan ditentukan untuk memenuhi dua syarat a!al. 7ika A
4 - R( /L)
..$ 6 - 1& %
50 - , ( 1 LC )
...$ 6 -14 %
maka, s, - & 4 1 ( 4/ & 50/ )
.$ 6 -1 %
s/ - & 4 & 1 ( 4/ & 50/ )
....$ 6 -18 %
4 - R ( / L ), disebut frekuensi neper atau koefisien peredam eksponensial, 50 - , ( 1 LC ), disebut frekuensi resonan. 7ika ( 1. B D,
maka nilai diba!ah akar untuk menghitung s 1 dan s&, yaitu $E B & - D& % adalah riel, sehingga s 1 dan s& juga akan riel dan disebut terlalu redam $ over damped %.
&. B D,
maka nilai diba!ah akar untuk menghitung s 1 dan s&, yaitu $E B & > D& % adalah nol, sehingga s 1 s& adalah riel negatip dan disebut redaman kritis $ critical damped %.
4.
B F D , maka nilai diba!ah akar untuk menghitung s 1 dan s&, yaitu $ E B& > D& % adalah imajiner, sehingga s 1 dan s& juga akan imajiner dan disebut kurang redam $ under damped %.
6.4 Rangkaian RLC Seri Ter#a#" Rea ( 4 70 ) "ebelumnya telah dijelaskan, jika B ! , $ jika LC L & 0 R & atau C L 0 R& %, maka nilai diba!ah akar untuk menghitung s 1 dan s&, yaitu $E B & > D& % adalah riel, sehingga s1 dan s& juga riel dan disebut terlalu redam. 7adi bentuk respons alami rangkaian seri RLC ditunjukkan pada persamaan $ 6-16 %, yaitu ( i( t ) - A, es, t A/ es/ t
....$ 6 -16 %
dimana ( s, - & 4 1 ( 4/ & 50/ ) s/ - & 4 & 1 ( 4/ & 50/ ) 4 - R( / L) 50 - , ( 1 LC ) Gntuk membiarakan metode, yang digunakan untuk memilih konstanta 2 1 dan 2& yang akan diari untuk memenuhi dua syarat a!al.. PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
6. Rangkaian RLC Seri Reaan Kritis ( 4 - 70 ) Gntuk redaman kritis, kita atur harga B dan ! menjadi sama $ LC L & 0 R& atau
C
L 0 R & %. 7ika kita menoba untuk membuat rangkaian RLC seri yang teredam kritis, maka kita melakukan hal yang tidak mungkin, karena tidak akan pernah diperoleh B !, sehingga harga s 1 s &, namun untuk lengkapnya akan dibahas rangkaian yang teredam kritis, karena redaman ini menunjukkan suatu peralihan dari terlalu redam dan kurang redam. Gntuk rangkaian RLC seri pada butir 6.& telah kita peroleh suatu persamaan diferensial homogen orde kedua yang linier, dinyatakan oleh persamaan $ 6 - 8 % yaitu ( L d& i 0 dt& ) R di 0 dt ) 1 0 C i
atau
d& i 0 dt& ) $ R 0 L % di 0 dt ) 1 0 $ LC % i karena B ! maka (
.$ 2 %
, dimana B R 0 $ & L %
& B R0$L%
dan
dan
! 1 0 $ E LC %
B ! 1 0 $ E LC %
B& 1 0 $ LC %
"ubsitusikan harga-harga &B dan B & diatas kedalam persamaan $ 2 %, diperoleh ( d& i 0 dt& ) & B di 0 dt ) B& i
..$ / %
jika persamaan $ / % diatas deselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial biasa, maka akan diperoleh ( i - e 8 4 t ( A, t A/ )
....$ 6 - 1: %
dimana ( s, - s/ - & 4 4 - R( / L) 50 - , ( 1 LC ) Persamaan $ 6 - 1: %, merupakan respons alami dari rangkaian RLC seri redaman kritis, dan harga 21 dan 2& adalah konstanta-konstanta yang akan diari untuk memenuhi dua syarat a!al. 6.8 Rangkaian RLC Seri K"rang Rea ( 4 9 70 ) Gntuk kurang redam, kita atur harga B lebih keil dari ! $ LC F L& 0 R& atau
C
L 0 R& %, maka nilai diba!ah akar untuk menghitung s 1 dan s& yaitu ( $ E B& > !& % adalah imajiner, sehingga s 1 dan s& juga akan imajiner. Gntuk itu marilah kita mulai dengan bentuk eksponensial dari respons alami rangkaian RLC seri $ persamaan 6-11 % , yaitu ( i - A, e s, t A/ e s/ t PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
.$ % Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
8
dimana ( s1 - B ) E B& - !& dengan mengambil dimana (
(
E B & - !&
j E-1
dan
!d E !& - B&
dan
s& - B ) E B& - !& E-1
E !& - B&
j E !& - B&
$ disebut frekuensi resonansi alami %
"ubsitusikan harga-harga ini ke persamaan $ %, maka respon alami dapat dituliskan ( i$ t % 21 e $ - B ) j !d % t ) 2& e $ - B - j !d % t 21 e > B t e j !d t ) 2& e > B t e - j !d t e > B t $ 21 e j !d t ) 2& e - j !d t % e > B t ; 21 $ os !d t ) j sin ! d t % ) 2& $ os !d t - j sin ! d t % < e > B t ; $ 21 os !d t ) 2& os !d t % ) j $ 21 sin !d t - 2& sin !d t % < e > B t ; $ 21 ) 2& % os !d t ) j $ 21 - 2& % sin !d t < i( t ) - e 8 4 t 2 B, :*s 7 t B/ sin 7 t 3
.$ 6 - 1= %
s, - & 4 ; 5 ) s/ -
& 4 & ; 5 )
4 - R( / L) 50 - , ( 1 LC ) Persamaan $ 6 - 1= %, merupakan respons alami dari rangkaian RLC seri kurang redam, dan harga / 1 dan /& adalah konstanta-konstanta yang akan diari untuk memenuhi dua syarat a!al. 7elaslah bah!a jika bekerja didalam parameter B, D dan, 5 , maka akan diperoleh bentuk matematis dari respons alami untuk rangkaian Paralel RLC dan Rangkaian RLC seri adalah dual identik. Penambahan harga B baik untuk rangkaian paralel maupun rangkaian seri , dimana ! dijjaga konstan, enderung menuju respons terlalu redam. "atu-satunya keadaan yang perlu diperhatikan adalah dalam perhitungan ( B 1 0 & RC untuk rangkaian paralel dan B R 0 & L untuk rangkaian seri, dimana pertambahan nilai B dilakukan dengan menaikkan tahanan seri atau menurunkan tahanan paralel. Gntuk membiarakan metode, yang digunakan memilih konstanta 2 1 dan 2& yang sesuai dengan syarat a!al, dan untuk menyediakan sebuah ontoh kur+a respons, marilah kita tinjau sebuah ontoh 1 diba!ah ini $ Rangkaian RLC Seri K"rang Rea < 4 9 70 %.
PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
6
C*nt*! , ( "ebuah rangkaian RLC seri, seperti ditunjukkan pada gambar diba!ah ini ( i
vc
+
C = 1 / 401 μF
R = 2 KΩ
L = 1 H
i$ % & m2 pada induktor
+ vL -
+$ % & 5 pada kapasitor diari respons alami i$ t %
Penyelesaian ( B R 0 $ & L % & 0 $ & I 1 % 1 D 1 0 $ E L C % 1 0 $ E 1 I 1 0 1 I 1 > 6 % &&8 #arena B F ! , maka respons yang terjadi adalah respons alami
kurang redam,
yaitu ( i( t ) - e 8 4 t ( B, C*s 5 t B/ Sin 5 t )
.$ a %
dimana, harga D d adalah ( Dd E D& - B& E $ &&8 % & - $ 1 %& & jadi, respons alami pada persamaan $ a % menjadi ( i( t ) - e 8 ,000 t ( B, C*s /0000 t B/ Sin /0000 t )
.$ b %
Menent"kan !arga k*nstanta B , an B/ "elanjutnya perlu menghitung harga kedua konstanta sebarang / 1 dan /& dengan menerapkan harga a!al i$ % & m2
dan +$ % & 5, sebagai berikut (
Pertama-tama subsitusikan harga i$ % & m2 kedalam persamaan $ b %, diperoleh ( i$ % e > 1 I $ /1 Cos & I ) "in & I % & I 1 - 4 e > $ /1 Cos ) "in % /1 /1 & I 1 - 4 #emudian syarat a!al yang lain, harus digunakan pada turunan pertama dari i$ t %, yaitu ( i$ t % e > 1 t $ /1 Cos & t ) /& "in & t %
atau (
i$ t % e > 1 t /1 Cos & t ) e > 1 t /& "in & t , jadi ( di0dt - 1 /1 e > 1 t Cos & t -
& /1 e > 1 t "in & t )
) 1 /& e > 1 t "in & t ) & / & e > 1 t os & t d i0dt $ t % - 1 / 1 e- Cos - & /1 e- "in ) ) 1 /& e- "in ) & / & e- Cos di0dt $ t % - 1 I & I 1- 4 - ) - & /& - & ) & /& ..$ % karena 5L L d i 0 dt d i0dt $ t %
5L 0 L di0dt
$ 5L 5C - 5R %
5L$ % 0 L J 5C$ % - R i$ %K 0 L
di0d t $ t % J & - $ & I & I 1- 4 % K 0 1 & - - & PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
.$ d % RANGKAIAN LISTRIK II
:
dari persamaan $ % dan $ d %, diperoleh ( - & - & ) /&
/&
7adi respons alami yang dikehendaki adalah ( i( t ) - e & ,000 t ( B, C*s /0000 t B/ Sin /0000 t ) i( t ) -
/ = ,0& > e & ,000 t C*s /0000 t
i( t ) -
/ e & ,000 t C*s /0000 t
A
atau A
A
Respons yang dikehendaki lebih berosilasi, atau memperlihatkan redaman yang lebih keil dari seluruh yang telah ditinjau dan kur+anya ditunjukkan pada gambar &.
Gambar 2
Pr*se"r "nt"k enent"kan ni#ai k*nstanta&k*nstanta < A ,? A/? B ,? B/ ari Res+*ns A#ai Rangkaian RLC seri aa#a! seagai erik"t ( Unt"k res+*ns a#ai i( t ) ter#a#" rea ( 4 50 ) 1. "ubsitusikan harga yang diketahui dari respons alami i$ t % pada t ), sehingga
diperoleh hubungan ( i - A, e s, t A/ e s/ t $ respons alami rangkaian RLC terlalu redam B D % i$ ) % 21 ) 2&
dan
$ 1 %
harga - harga i$ ) % diperoleh pada saat t atau syarat a!al. &. 9enentukan turunan pertama dari respons lengkap i$ t % pada t ) di$ t %0dt s1 21 e s1 t ) s& 2& e s1 t di$ ) %0dt s1 21 ) s& 2& karena +L L di 0 dt
$ 2 % di 0 dt +L 0 L
di$ ) %0dt +L$ ) % 0 L
$ / %
"ubsitusikan harga di$ ) %0dt pada persamaaan $ / % kedalam persamaan $ 2 %, 'iperoleh ( +L$ ) % 0 L s1 21 ) s& 2&
$ & %
'ari persamaan $ 1 % dan $ & % diperoleh harga A, an A/. 'engan ara yang sama konstanta-konstanta dari respons lengkap rangkaian RLC seri i$ t % untuk reaan kritis $ 4 - 50 % dan k"rang rea $ 4 9 50 ), yaitu ( 21, 2&, /1, dan /& dapat ditentukan.
PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
=
'a@tar P"staka 1.
iliam H. Hayt 7r, 7ak M. #emmerly, N Mngineering Ciuit 2nalysis N, 9Ora!-Hill.
&.
Pantur "ilaban, N Rangkaian Listrik N, Penerbit Mrlangga.
4.
R.7. "mith, N Ciruit, 'e+ies and "ystems N, 7ohn iley "ons.
.
9.M. 5an 5alkenburg, N Qet!ork 2nalysis N, Prentie-Hall, 3n.
7akarta, "eptember &= 3r. "..'. Limbong
PUSAT PENGEMBANGAN BA$AN A%AR&UMB
Ir. S.O.'. Li*ng
RANGKAIAN LISTRIK II
?
