Lección 5: La estimación local
De los estimadores tradicionales al kriging
Introducción Objetivo
La estimación local consiste en evaluar ( predecir predecir ) el valor de la variable regionalizada en un sitio no muestreado del espacio, u zan o para e o os a os c rcun an es spon es. Asimismo, se puede evaluar el valor promedio de la variable en un soporte mayor que el soporte de los datos (por ejemplo, los bloques de selección minera).
Los estimadores tradicionales (1) Ejemplo introductorio
Se busca estimar el valor en el sitio “?” a partir de los valores conocidos en los sitios A, B, C, D, E, F.
Los estimadores tradicionales (2) Estimador del más cercano vecino
Atribuye toda la ponderación al dato más cercano al sitio a estimar. En este caso se trata del dato ubicado en C.
Los estimadores tradicionales (3) Estimador del inverso de la distancia
Asigna a cada dato una ponderación inversamente proporcional a (una potencia de) su distancia al sitio a estimar. inverso de la distancia
inverso del cuadrado de la distancia
Los estimadores tradicionales (4) Otros estimadores
• métodos baricéntricos • interpolación por triangulación • splines • superficies de tendencia • modelos numéricos de terreno para interpolar la elevación • redes neuronales • regresión de vectores de soporte
Los estimadores tradicionales (5) Ventajas
• Fáciles de ejecutar • En ambos casos, el estimador privilegia los datos cercanos
• El más cercano vecino apantalla a todos los otros datos, luego omite parte de la información. El inverso de la distancia no considera las redundancias que existen entre datos agrupados • Ambos estimadores no toman en cuenta la continuidad de la variable regionalizada: regularidad en el espacio, anisotropía • No miden la precisión de la estimación. ¿Cuál es el “mejor” estimador?
Los estimadores tradicionales (6) El kriging busca mejorar la ponderación de los datos al tomar en cuenta: 1) sus distancias al sitio a estimar 2) las redundancias entre los datos (posibles agrupamientos) 3) la continuidad de la variable regionalizada (variograma) privilegia reparte
los datos cercanos si el variograma es muy regular
la ponderación entre los datos si existe un efecto pepita
en
caso de anisotropía, privilegia los datos ubicados a lo largo de las direcciones de mayor alcance
Asimismo, el kriging cuantifica la precisión de la estimación.
Construcción del kriging (1) El sistema de kriging se obtiene al plantear tres restricciones: • Restricción de linealidad Sea z x la variable re ionalizada en estudio, x , α = 1... n los sitios con datos y x0 el sitio que se busca estimar. La primera restricción consiste en escribir el estimador como una combinación lineal ponderada de los datos: n
*
z (x 0 ) = a +
∑λ
α
z (x α )
α =1
→ buscar los ponderadores { λα, α = 1... n} y el coeficiente a
Construcción del kriging (2) • Restricción de insesgo En el modelo probabilístico, el error cometido debe tener una esperanza nula: E[Z*(x0) – Z(x0)] = 0
→ el estimador no tiende a sobreestimar o subestimar el valor real desconocido Nota: las mayúsculas se refieren a variables / funciones aleatorias, las minúsculas a las variables / funciones determinísticas
Construcción del kriging (3) • Restricción de optimalidad Se busca minimizar la varianza del error cometido ( varianza de kriging), que mide la amplitud potencial de dicho error minimizar σK2(x0) = var[Z*(x0) – Z(x0)]
→ búsqueda de la precisión máxima
Plan de kriging (1) ¿Cuáles son los datos a utilizar en la estimación?
Se puede utilizar todos los datos disponibles ( vecindad única) o sólo una parte de ellos ( vecindad móvil). La palabra vecindad se refiere a la zona del es acio, centrada en el sitio a estimar, donde se busca los datos que servirán en la estimación.
→ La vecindad única aumenta innecesariamente los tiempos de cálculo sin mejorar la precisión de la estimación, por lo que se prefiere a menudo trabajar con una vecindad móvil. → Hay que especificar la forma y el tamaño de esta vecindad.
Plan de kriging (2) Relación entre las varianzas de kriging con n y con n+k datos n + k
2 K
σ (x 0 )
n datos
2 K
= σ (x 0 )
+ n + k datos
∑
α = n +1
λ2α ( x 0 )
n + k datos
σ 2K (x α )
Se ierde recisión aumenta la varianza de kri in
n datos
cuando:
•
el número de datos omitidos (k) es grande
•
los ponderadores asignados a estos datos son muy distintos de 0
•
los k datos omitidos no pueden ser estimados en forma precisa por los n datos restantes
→ La vecindad móvil puede descartar datos que recibirían poca ponderación (datos lejanos de x0) y/o datos redundantes con otros (datos agrupados).
Plan de kriging (3) Forma de la vecindad móvil
Idealmente, la vecindad debería tener la forma de las curvas de iso-correlación, para tomar en cuenta la anisotropía en la correlación es acial de los datos. En general, para simplificar, se toma una vecindad en forma de elipse (2D) o elipsoide (3D).
Plan de kriging (4) División en sectores angulares
Para mejorar la repartición de los datos en torno al sitio a estimar, es recomendable dividir la vecindad en sectores angulares y buscar datos en cada sector.
Plan de kriging (5) Tamaño de la vecindad móvil
Los parámetros más relevantes a considerar son: el alcance del variograma y la malla de muestreo. • actores que nc tan a aumentar e tamaño precisión, insesgo condicional • Factores que incitan a disminuir el tamaño cambios en la continuidad espacial, irrelevancia de los datos lejanos, poca confiabilidad del modelo de variograma para distancias muy grandes, tiempos de cálculo.
Plan de kriging (6) Validación cruzada
Para determinar el plan de kriging, se puede recurrir a la validación cruzada o al jack-knife: probar varios planes y esco er a uel ue entre a los resultados más satisfactorios
→ precisión alcanzada → sesgo condicional
Kriging simple (1) Hipótesis
• Se conoce el valor promedio m de la variable regionalizada. En general, se supone constante en el espacio y se toma i ual a la media (desa ru ada) de los datos dis onibles. • También se conoce el variograma γ (h), el cual presenta una meseta γ (∞) = σ2. Por lo anterior, se tiene una función de covarianza dada por C(h) = σ 2 − γ (h)
Kriging simple (2) Restricción de linealidad
La estimación en un sitio x0 se escribe como una combinación lineal ponderada de los datos circundantes, ubicados en los sitios {xα, α = 1... n}: n
*
z (x 0 ) = a +
∑λ α =1
α
z(x α )
Kriging simple (3) Restricción de insesgo
La esperanza del error de estimación vale: n *
E Z x
−Z x
=a +
λ E Zx
−E Z x
α =1 n
= a +[
∑λ
α
− 1] m
α =1 n
Para anular esta esperanza, se plantea
a
= [1 −
∑λ
α
]m
α =1
La media recibe una ponderación complementaria a la ponderación acumulada de los datos. Su rol es compensar la falta de información cuando los datos son escasos o alejados.
Kriging simple (4) Restricción de optimalidad
La varianza del error de estimación se expresa en función de la covarianza C(h): n
*
2
var[Z (x 0 ) − Z(x 0 )] = σ +
n
∑∑λ α=1 β=1
n
α
λ β C( x α − x β ) − 2
∑λ
α C( x α
− x0 )
α=1
La minimización requiere anular las derivadas de esta expresión con respecto a las incógnitas {λα, α = 1... n}.
Kriging simple (5) Sistema de ecuaciones finales
Se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
n
a=
1−
λ
m
inses o
α =1 n ∀α =1...n , ∑ λ C(x − x ) = β α β β=1 mide las redundancias entre datos
C( x α − x 0 ) mide la influencia de los datos sobre el valor a estimar
Kriging simple (6) Escritura matricial del sistema de ecuaciones
C(x1 − x1 )
L
C(x − x ) n 1
L
M
C(x1 − x n ) λ1 M
M
C(x n − x n ) λ n
=
C(x1 − x 0 ) M
C( x − x ) n 0
De la forma: A X = B Se resuelve por inversión matricial, pivote de Gauss, o descomposición LU de la matriz de covarianza.
Kriging simple (7) Precisión de la estimación
El valor mínimo de la varianza del error de estimación se llama varianza de kriging simple y vale: n
2 KS
2
σ (x 0 ) = σ −
∑λ
α C( x α
α=1
Siempre se tiene
σ 2KS (x 0 ) ≤ σ 2
− x0 )
Kriging simple (8) Ejemplo 1: efecto pepita puro
Los ponderadores se anulan y el estimador es igual a la media conocida. La varianza de kriging es igual a la varianza a priori 2.
Kriging simple (9)
Ejemplo 2: variograma esférico de meseta 1 en el espacio 1D
r g ng
var anza e r g ng
ponderador de la media
Kriging ordinario (1) Hipótesis
• Se desconoce el valor promedio de la variable regionalizada • Se conoce el variograma γ (h), el cual puede o no tener meseta El considerar el valor de la media como desconocido permite generalizar el estimador a situaciones donde esta media no es constante en el campo: la media puede variar de una región a otra del espacio, siempre que sea aproximadamente constante en cada vecindad de kriging. →
Estimador más “robusto”
Kriging ordinario (2) Restricción de linealidad
La estimación en un sitio x0 se escribe como una combinación lineal ponderada de los datos circundantes, ubicados en los sitios {xα, α = 1... n}: n
*
z (x 0 ) = a +
∑λ α =1
α
z(x α )
Kriging ordinario (3) Restricción de insesgo
La esperanza del error de estimación vale: n *
E [ Z ( x 0 ) − Z(x 0 )] = a +
λ α E [ Z( x α )] − E [ Z( x 0 )] α =1 n
= a +[
∑λ
α
− 1] m
α =1
Siendo m desconocida, la única alternativa es plantear n
a
=0 y
∑λ α =1
α
=1
Kriging ordinario (4) Restricción de optimalidad
La varianza del error de estimación se expresa en función del variograma: n
*
2
var[Z (x 0 ) − Z(x 0 )] = σ [1 −
∑λ α =1
n
2
α
] −
n
∑∑ λ α =1 β =1
n
α
λ β γ (x α − x β ) + 2
∑λ
α
γ (x α − x 0 )
α =1
La minimización de esta expresión bajo la restricción de insesgo requiere introducir una incógnita adicional llamada multiplicador de Lagrange, denominada µ.
Kriging ordinario (5) Sistema de ecuaciones finales
n ∑ λα =1 α =1 a=0 ∀α = 1... n ,
insesgo n
∑λ
β
γ (x α − x β )
−µ=
γ (x α − x 0 )
β =1
mide las redundancias entre datos
mide la influencia de los datos sobre el valor a estimar
Kriging ordinario (6) Escritura matricial del sistema de ecuaciones ( x1 − x1 ) M γ ( x − x ) n 1 1
L
L L
(x − x ) 1 0 M M M M = γ (x n − x n ) 1 λ n γ (x n − x 0 ) 1 0 − µ 1 (x1 − x n )
1 λ1
De la forma: A X = B Se resuelve por inversión matricial o pivote de Gauss.
Kriging ordinario (7) Precisión de la estimación
El valor mínimo de la varianza del error de estimación se llama varianza de kriging ordinario y vale: n
σ
2 KO
(x 0 ) =
∑λ
α
γ (x α − x 0 ) − µ
α =1
En general (no siempre) se tiene σ 2KO (x 0 ) ≤ σ 2
Kriging ordinario (8) Ejemplo 1: efecto pepita puro de meseta σ2
Los ponderadores son iguales a 1/n, de modo que el estimador coincide con la media aritmética de los datos. La varianza de r g ng es σ + σ n y supera evemen e a var anza a pr or .
Kriging ordinario (9) Ejemplo 2: variograma esférico de meseta 1 en el espacio 1D
kriging
varianza de kriging
Otros tipos de kriging (1) Kriging con deriva
El valor esperado m(x) varía en el espacio, reflejando una tendencia sistemática (“deriva”) en la distribución espacial de los valores. coordenadas
→ kriging trigonométrico: la deriva es una combinación de funciones coseno y seno → kriging con deriva externa: la deriva es proporcional a una variable externa conocida en forma exhaustiva (modelo digital de elevación, fotografía aérea, imagen satelital…)
Otros tipos de kriging (2) Kriging de bloques
Permite estimar directamente el valor promedio de la variable sobre un soporte mayor que el soporte de los datos (bloque) como las unidades selectivas de explotación: Z(v) =
1
|v|∫
v
Z(x) d x ≈
1
M
Z( x ∑ M
m
)
m =1
Para que los cálculos tengan un sentido físico, es necesario que la variable estudiada sea aditiva. Ventajas de estimar directamente Z( v) en lugar de {Z(x1),… Z(x M )} : ganancia en tiempos de cálculo; posibilidad de calcular la varianza de estimación para el bloque.
Otros tipos de kriging (3) El sistema de kriging de bloques sólo difiere del sistema puntual en el miembro de la derecha:
con
n ∑ λα = 1 α =1 a =0 n ∀α = 1... n , ∑ λ β γ (x α − xβ ) β =1 γ (x α ,v) =
1
γ ( x ∫ |v| v
α
−µ=
1
M
γ ( x ∑ M
− x) d x ≈
γ (x α , v )
α
− xm )
m=1
Aunque el cálculo del término γ (x α ,v) requiere una discretización del bloque v, se estima el valor de este bloque resolviendo un solo sistema de kriging.
Otros tipos de kriging (4) Co-kriging
Versión multivariable del kriging, donde se busca estimar el valor de una variable (Cu) tomando en cuenta los datos de esta variable y de otras variables correlacionadas (As, Mo…). Requiere tener los modelos variográficos de cada variable (Cu, As, Mo), así como variogramas cruzados entre las distintas variables (Cu-As, Cu-Mo, As-Mo), para medir las correlaciones entre estas variables.
Otros tipos de kriging (5) Kriging transitivo
Se plantea en un marco determinístico (no se interpreta la variable regionalizada como realización de una función aleatoria). En cambio, se introduce aleatoriedad en la posición de los datos.
Kriging aleatorio
Existen dos fuentes de aleatoriedad: la posición de los datos, considerada como incierta, y la variable regionalizada, considerada como una realización de una función aleatoria.
Otros tipos de kriging (6) Kriging lognormal
Supone que el logaritmo de los datos tiene una distribución normal (Gaussiana). Se hace el kriging de los datos logarítmicos, luego se aplica una transformación de vuelta n
*
Z (x 0 ) = exp{
∑λ α =1
α
ln [ Z(x α )] +
σ 2KO (x 0 ) 2
+µ}
donde σKO2(x0) es la varianza de kriging ordinario de ln[Z( x0)] y µ es el multiplicador de Lagrange introducido en el sistema de kriging ordinario.
Otros tipos de kriging (7) Kriging no lineal
Aplica kriging a una función no lineal de la variable. Permite caracterizar el valor desconocido Z( x0) por una distribución de probabilidad, en lugar de un valor estimado y una varianza de estimación →
kriging de indicadores
→
kriging disyuntivo (co-kriging de indicadores)
→
kriging multi-Gaussiano
Kriging de indicadores (1) Principio
Se busca caracterizar el valor en el sitio “?” por una distribución de probabilidad, la cual refleja la incertidumbre en este sitio.
Kriging de indicadores (2) sitio
A B C D E F ?
ponderador de kriging (%) 5.2 -7.2 57 5 7.9 27 27.1 15.7 1.2
ley
0.21 0.35 0.42 0.28 0.53 0.05 0.389
ley de corte ley de corte ley de corte ley de corte ley de corte nº1 = 0.1 nº2 = 0.2 nº3 = 0.3 nº4 = 0.4 nº5 = 0.5 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0.012
La estimación de cada indicador se interpreta como la probabilidad que el valor verdadero sea menor que la ley de corte asociada.
0.012
0.335
0.263
0.842
Kriging de indicadores (3) Se debe corregir las estimaciones para que sean crecientes entre 0 y 1 corrección ascendente
corrección descendente
Kriging de indicadores (4) Se promedian ambas correcciones, luego se interpola y extrapola para completar la distribución de probabilidad. corrección final
interpolación/extrapolación
Kriging de indicadores (5) También se puede aplicar una corrección de cambio de soporte.
Kriging de indicadores (6) Pros
• fácil de ejecutar, no requiere ninguna hipótesis particular • el formalismo de los indicadores permite incorporar datos imprecisos • los valores atípicos (outliers) se transforman en 0 - 1
Kriging de indicadores (7) Contras
• método engorroso cuando hay numerosas leyes de corte • análisis variográfico de indicadores: ¿coherencia matemática? • problemas de relación de orden • interpolación y extrapolación de las distribuciones de probabilidad • cambio de soporte
Observaciones sobre el kriging (1) El sistema de kriging toma en cuenta • información geométrica: distancias entre el sitio a estimar y los datos; distancias (redundancias) entre los datos • información de continuidad espacial: regularidad, anisotropía El sistema de kriging no toma en cuenta la información “local” aportada por los valores de los datos →
Conociendo el modelo variográfico, se puede anticipar la varianza de estimación a partir de una configuración dada de los sitios con datos.
→
Esta propiedad es una limitación del kriging lineal (la precisión de una estimación es menor en las zonas cuyos valores tienen mayor variabilidad)
Observaciones sobre el kriging (2) El ponderador asignado a un dato depende de Existencia de un efecto pepita
→
→
Presencia de una anisotropía
Redundancias entre datos
→
Efecto pantalla, efecto pantalla inverso, efecto de relevo
→
Salvo excepciones, los ponderadores de kriging pueden ser negativos, lo que a veces desemboca en estimaciones negativas. El sistema de kriging es regular (entrega una solución única) siempre que no existan datos duplicados.
Propiedades del kriging (1) • Insesgo: la media de los errores cometidos en una región de gran tamaño se acerca a cero • Interpolación exacta: estimar un sitio con dato devuelve el valor medido en este sitio • Aditividad: el kriging del valor promedio de un sector es el promedio de las estimaciones puntuales en este sector • Suavizamiento (alisamiento): la dispersión de los valores estimados es menor que la dispersión de los valores verdaderos
→ el kriging tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes
Propiedades del kriging (2) Ilustración del suavizamiento
→ Solución: kriging no lineal o simulaciones
Propiedades del kriging (3) • Sesgo condicional: en las zonas cuya estimación supera una ley de corte, la media de los errores puede diferir de cero
→ propiedad a evitar o minimizar, de lo contrario se incurre en una mala apreciación del valor del negocio minero
Aplicación a los datos mineros
Elección del plan de kriging (1) Se compara tres planes de kriging por “jack-knife”: estimar 902 datos a partir de los 1474 datos restantes. La variable en estudio es la ley de cobre. • Plan 1: estimar con los 2 datos más cercanos • Plan 2: estimar con los 24 datos más cercanos (3 por octante) • Plan 3: estimar con los 48 datos más cercanos (6 por octante) En cada caso, se recurre al kriging ordinario, que sólo requiere especificar el modelo de variograma (media desconocida).
Elección del plan de kriging (2) Histogramas de los errores cometidos
Las medias de los errores son casi nulas → insesgo La mayor precisión se alcanza en los planes 2 y 3
Elección del plan de kriging (3) Nubes de correlación entre leyes reales y estimadas
El sesgo condicional y la dispersión de la nube son mínimos en los planes 2 y 3.
Kriging de las leyes de cobre a partir de los datos de exploración (1) Kriging ordinario de las leyes en un banco con el plan 2
Kriging de las leyes de cobre a partir de los datos de exploración (2) Kriging simple de las leyes (media = 0.98% Cu)
Kriging de las leyes de cobre a partir de los datos de exploración (3) Kriging ordinario de bloques de soporte 5m × 5m × 12m
Kriging de las leyes de cobre a partir de los datos de exploración (4) Kriging ordinario de bloques de soporte 25m × 25m × 12m
Categorización de recursos (1) No todos los bloques estimados tienen el mismo grado de confiabilidad. Por ende, se suele definir varias categorías de recursos: • recursos medidos: mayor grado de confiabilidad • recursos indicados: confiabilidad mediana • recursos inferidos: poca confiabilidad Los recursos medidos + indicados se denominan demostrados y son aquellos que se consideran para el inventario de recursos. Ahora bien, la definición de cada categoría es muy vaga y depende en gran parte del criterio del especialista.
Categorización de recursos (2) Existe una categorización similar para las reservas (probadas, probables), que son la fracción de los recursos que se puede explotar técnica y económicamente. Una manera de identificar las categorías consiste en clasificar los bloques según su varianza de estimación (la definición de las varianzas límites debe tomar en cuenta el tipo de yacimiento y la malla de muestreo). Otros criterios: criterio geológico, número de datos en la vecindad de kriging, distancia promedio de los datos cercanos, etc.
→ ¿pertinencia de la categorización?
Categorización de recursos (3) Un ejemplo “molestoso”: categorización a partir de dos medidas de incertidumbre (varianza de kriging y varianza de un conjunto de simulaciones condicionales)
A diferencia del kriging, la varianza de las simulaciones condicionales refleja la mayor incertidumbre que existe en las zonas de altas leyes debido al efecto proporcional.
Estimación de las leyes de cobre a partir de los pozos de tronadura (1)
Parámetros asociados a una ley de corte de 0.5% Cu:
costo mina = 0.6 US$/t; costo planta = 4.4 US$/t; recuperación = 0.8; costo fundición = 770 US$/t; precio cobre = 1870 US$/t
Estimación de las leyes de cobre a partir de los pozos de tronadura (2) Resultados económicos para una ley de corte de 0.5% Cu 14%
mineral a planta estéril a planta
16%
2% 5%
8%
estéril a botadero 73%
79%
Tonelaje a planta [Mt] Ley promedio efectiva [%Cu] Ley promedio estimada [%Cu] Cantidad de metal efectiva [mt] Cantidad de metal estimada [mt] Beneficio efectivo [MUS$] Beneficio previsto [MUS$]
Kriging
Pozos
71.64 1.041 1.057 745.8 757.3 298.1 308.2
64.42 1.089 1.143 701.5 736.3 295.2 325.8
Influencia de los parámetros en los resultados del kriging
Configuración de kriging Se busca estimar el valor en el sitio “?” a partir de los valores en los sitios A, B, C, D, E, F.
Influencia del comportamiento del variograma en el origen (1) Variograma lineal v/s variograma variograma parabólico en el origen esférico (al (alccance 1, 1, me meseta 1) 1)
Gau Gaussiano (a (alcanc ance 1, 1, me meseta 1) 1)
Influencia del comportamiento del variograma en el origen (2) Variograma lineal v/s variograma con discontinuidad en el origen esférico (alcance 1, meseta 1)
esférico (0.5) + pepita (0.5)
Influencia del comportamiento del variograma en el origen (3) Variograma lineal v/s variograma totalmente pepítico esférico (alcance 1, meseta 1)
efecto pepita puro (meseta 1)
Influencia de la meseta del variograma Meseta = 1 v/s meseta = 2 esférico (alcance 1, meseta 1)
esférico (alcance 1, meseta 2)
Influencia del alcance del variograma (1) Alcance = 1 v/s alcance = 2 esférico (alcance 1, meseta 1)
esférico (alcance 2, meseta 1)
Influencia del alcance del variograma (2) Alcance = 1 v/s alcance = 0.5 esférico (alcance 1, meseta 1)
esférico (alcance 0.5, meseta 1)
Influencia del efecto de hoyo del variograma Variograma lineal v/s variograma seudo periódico esférico (alcance 1, meseta 1)
seno cardinal (semi-período 0.2)
Influencia de la anisotropía del variograma Variograma isótropo v/s variograma anisótropo esférico (alcance 1, meseta 1)
esférico anisótropo (meseta 1, alcances 2 [N45E] y 0.5 [N45O])
Influencia del tipo de kriging: simple u ordinario (1) Kriging simple v/s kriging ordinario esférico (alcance 1, meseta 1) kriging ordinario
esférico (alcance 1, meseta 1) kriging simple
Influencia del tipo de kriging: simple u ordinario (2) Kriging simple v/s kriging ordinario esférico (alcance 0.5, meseta 1) kriging ordinario
esférico (alcance 0.5, meseta 1) kriging simple
Influencia del tipo de kriging: puntual o de bloque (1) Kriging puntual v/s kriging de bloque esférico (alcance 1, meseta 1) kriging puntual
esférico (alcance 1, meseta 1) kriging de un bloque 0.25 × 0.25
Influencia del tipo de kriging: puntual o de bloque (2)
esférico (alcance 1, meseta 1) kriging de un bloque 0.5 × 0.5
esférico (alcance 1, meseta 1) kriging de un bloque 1.0 × 1.0
Ejercicios Buscar un plan de kriging adecuado para las leyes de cobre y oro. kt3d , locxyz, histplt, scatplt, condbias
A partir de los sondajes de exploración, estimar las leyes de cobre oro en los blo ues 25m × 25m × 12m e ilustrar las ro iedades del kriging. kt3d , pixelplt, histplt, scatplt, condbias
A partir de los pozos de tronadura, krigear las leyes de cobre en los bloques 25m × 25m × 12m. Comparar los resultados económicos obtenidos con aquellos que se obtendrían al estimar cada bloque por su pozo central. kt3d , Excel
Archivos de parámetros de los programas Lb
Plan de kriging (1) Parameters for KT3D ******************* START OF PARAMETERS: muestras1.dat 0 1 2 3 4 0 -1.0 1.0e21 2 muestras2.dat 1 2 3 4 0 0 jackknife.dbg ack_Cu_ lan2.out 50 0.5 1.0 50 0.5 1.0 1 0.5 1.0 1 1 1 1 24 3 100.0 100.0 150.0 0.0 0.0 0.0 1 2.302 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 extdrift.dat 4 2 0.05 1 0.13 0.0 0.0 15.0 15.0 1 0.28 0.0 0.0 100.0 100.0
0.0 180.0 0.0 180.0
-file with data columns for DH,X,Y,Z,var,sec var trimming limits -option: 0=grid, 1=cross, 2=jackknife -file with jackknife data columns for X,Y,Z,vr and sec var -debugging level: 0,1,2,3 -file for debugging output -file for kri ed out ut -nx,xmn,xsiz -ny,ymn,ysiz -nz,zmn,zsiz -x,y and z block discretization -min, max data for kriging -max per octant (0-> not used) -maximum search radii -angles for search ellipsoid -0=SK,1=OK,2=non-st SK,3=exdrift -drift: x,y,z,xx,yy,zz,xy,xz,zy -0, variable; 1, estimate trend -gridded file with drift/mean - column number in gridded file -nst, nugget effect -it,cc,ang1,ang2,ang3 -a_hmax, a_hmin, a_vert -it,cc,ang1,ang2,ang3 -a_hmax, a_hmin, a_vert
Plan de kriging (2) Parameters for locxyz ********************* START OF PARAMETERS: jack_Cu_plan2.out 1 2 7 3 -1.0e21 1.0e21 -998.0 1.0e21 mapa_error_Cu_plan2.ps 0.0 400. . . 1 0 1 0 0.0 3.0 0.5 0.25 Plan 2
-file with data columns for X, Y, variable columns for Z and coordinate limits trimming limits -file for PostScript output -xmn,xmx -ymn,ymx -0=data values, 1=cross validation -0=arithmetic, 1=log scaling -0=gray scale, 1=color scale -0=no labels, 1=label each location -gray/color scale: min, max, increm -label size: 0.1(sml)-1(reg)-10(big) -Title
Plan de kriging (3) Parameters for HISTPLT ********************** START OF PARAMETERS: jack_Cu_plan2.out 7 0 -1.0e21 1.0e21 hist_error_Cu_plan2.ps -2.0 2.0 0.25 0 0 0 2 Plan 2 1.5 -1.1e21
-file with data columns for variable and weight trimming limits -file for PostScript output -attribute minimum and maximum -frequency maximum (<0 for automatic) -num er o c asses -0=arithmetic, 1=log scaling -0=frequency, 1=cumulative histogram number of cum. quantiles (<0 for all) -number of decimal places (<0 for auto.) -title -positioning of stats (L to R: -1 to 1) -reference value for box plot
Plan de kriging (4) Parameters for SCATPLT ********************** START OF PARAMETERS: jack_Cu_plan2.out 5 4 0 0 -1.0 1.0e21 scatplt_Cu_plan2.ps 0.0 3.0 0 0.0 3.0 0 0.5 0.0 Plan 2
-file with data - columns for X, Y, wt, third var. - trimming limits -file for Postscript output -X min and max, (0=arith, 1=log) -Y min and max, (0=arith, 1=log) -bullet size: 0.1(sml)-1(reg)-10(big) -limits for third variable gray scale -title
2.0
CONDBIAS: Conditional Statistics ******************************** START OF PARAMETERS: jack_Cu_plan2.out 5 4 -1.0 1.0e21 condb_Cu_plan2_regresion.out 20 condb_Cu_plan2_leyesmedias.out 30 0.0 0.1
\Input data file \column for estimate, true \tmin,tmax \Output for conditional bias \number of classes \Output for mean above cutoff \number of cutoffs, start, inc
Kriging de bloques (1) Parameters for KT3D ******************* START OF PARAMETERS: muestras.dat 0 1 2 3 4 0 -1.0 1.0e21 2 Grilla_25x25.dat 1 2 3 5 0 0 kt3d.dbg kri in _Cu25_ex loracion.out 16 12.5 25.0 24 12.5 25.0 11 11.0 12.0 10 10 1 1 24 3 100.0 100.0 150.0 0.0 0.0 0.0 1 2.302 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 extdrift.dat 4 2 0.05 1 0.13 0.0 0.0 0.0 15.0 15.0 180.0 1 0.28 0.0 0.0 0.0 100.0 100.0 180.0
-file with data columns for DH,X,Y,Z,var,sec var trimming limits -option: 0=grid, 1=cross, 2=jackknife -file with jackknife data columns for X,Y,Z,vr and sec var -debugging level: 0,1,2,3 -file for debugging output -file for kri ed out ut -nx,xmn,xsiz -ny,ymn,ysiz -nz,zmn,zsiz -x,y and z block discretization -min, max data for kriging -max per octant (0-> not used) -maximum search radii -angles for search ellipsoid -0=SK,1=OK,2=non-st SK,3=exdrift -drift: x,y,z,xx,yy,zz,xy,xz,zy -0, variable; 1, estimate trend -gridded file with drift/mean - column number in gridded file -nst, nugget effect -it,cc,ang1,ang2,ang3 -a_hmax, a_hmin, a_vert -it,cc,ang1,ang2,ang3 -a_hmax, a_hmin, a_vert
