Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
FUNGSI HAMILTON
Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat umum :
H
q p k
k
L
(1)
k
Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari q dan energi potensialnya potensialnya merupakan merupakan fungsi q saja :
L T(q k , q k ) V(q k )
(2)
Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh:
q p k
k
L
q
k
k
k
L q k
q k
k
T 2T q k
(3)
Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (1), kita peroleh :
H
q p k
k
L 2T (T V) T V
(4)
k
Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah persamaan persamaan yang ditulis ditulis sebagai sebagai :
p k
L q k
(k = 1,2, …n)
(5)
dan nyatakan dalam q dalam p dan q :
q k q k ( pk , qk )
(6)
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
Dengan persamaan (5) dan (6), kita dapat nyatakan fungsi H (persamaan (1)) yang bersesuaian dengan variasi p k , q k sebagai berikut :
H
p q k
Dari persamaan (5),
L
k q
k
k
q k p k
L L k q q k q k q k
k = pk dan menurut defenisi p
H
q p
k
(7)
L / q k , oleh karena itu:
p k q k
(8)
k
Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
H
H
p k
p k
k
H q k q k
(9)
Dari persamaan (8) dan (9), akhirnya diperoleh :
H q k p k
(10)
H p k q k
(11)
Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
Contoh soal :
Tunjukkanlah gerak partikel massa
yang bergerak dipermukaan silinder berjari-jari a, ditarik oleh gaya
yang sebanding dengan jaraknya ke sumbu- . Penyelesaian :
Berdasrkan koordinat silinder
,,
:
= 12 ̇ + 12 ̇ + 12 ̇ ̇ =0 = → = 12 ̇ + 12 ̇ ⃗ = −⃗ = 12 = 12 + = − = 12 ̇ + 12 ̇−12 + = 12 ( ̇ + ̇)− 12 + = ̇ → = ̇; = ̇ = 2 + 2 Karena
Karena
Sehingga :
, maka :
, maka :
Kelompok 3 : Ahmad syamsudin, M.Abdul Gofar, Wahid abdurrahman, Windu, Diki Fauzi, Hadian
dan :
= + = 2 + 2+ 12 + ̇ = ; −̇ = ; = − ̇ = → ̇ = − = − ̇ = 0 → = = ̇ = → = ̇ = ̇ = → = ̇
̈ +̇ = 0 → = √ ; = cos + = 2 ̇ = Dari persamaan
dan
, kita peroleh :
Dengan bentuk solusi :
dan dari persamaan
dan
, kita peroleh :
