หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต

หนวยการเรียนรูที่ 4

พื้นฐานทางเรขาคณิต

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 3.1 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : :

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ขอ 2 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1

3) การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของ มุมที่กําหนดให 4) การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให 5) การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายัง สนตรงที่กําหนดให 6) การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบน เสนตรงที่กําหนดให 2. นําการสรางพื้นฐานไปสรางรูปเรขาคณิต ผลการเรียนรูที่คาดหวัง อยางงายได 1. สรางรูปเรขาคณิตโดยใชวงเวียนและสันตรง 3. สืบเสาะ สังเกต และคาดการณเกี่ยวกับสมบัติ และบอกขั้นตอนการสรางตอไปนี้ได ทางเรขาคณิตได 1) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับ ความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนดให 2) การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให

สาระการเรียนรู 4.1 จุด เสนตรง สวนของ เสนตรง รังสี และมุม (2 ชั่วโมง) 4.2 การสรางรูปเรขาคณิตโดยใช วงเวียนและสันตรง (12 ชั่วโมง) พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ 125

126

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1

4.1 จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสี และมุม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. ระบุรูปและสัญลักษณของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน ไดแก จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสีและมุมได 2. บอกสมบัติของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน ไดแก จุด เสนตรง สวนของ เสนตรง รังสีและมุมได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การอธิบายขั้นตอนในการสรางรูปเรขาคณิตพื้นฐานโดยใชวงเวียน และสันตรงไดถูกตอง 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต

127

จุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสี และมุม ในคณิตศาสตรมีคําบางคําที่ใชเปนพื้นฐานในการสื่อความหมายโดยไมตองใหนิยาม คํา เหลานี้เปนคําอนิยาม ในเรขาคณิตถือวา จุด เสนตรง และระนาบ เปนคําอนิยาม จุด (Point) จุ ด ใช บ อกตํ า แหน ง ไม มี ข นาด กล าวคื อ ไม มี ค วามกว า งและความยาว เขี ย นแทนด ว ย สัญลักษณ • แทนจุด แลวเขียนตัวอักษรกํากับไว เมื่อตองการระบุชื่อจุด เชน แทน จุด A • A เสนตรง (Straight line) เส น ตรง มี ค วามยาวไม จํ ากัด และไมคํานึงถึง ความกว างของเส นตรง เมื่อต องการเขีย น สัญลักษณแทนเสนตรง AB จะเขียนดังนี้ •

•

A

B HJJG

เสนตรง AB เขียนแทนดวยสัญลักษณ AB ขอสังเกต HJJG 1) เสนตรง AB อาจเรียกวา เสนตรง BA และเขียนแทนดวย BA 2) สัญลักษณของเสนตรง จะเห็นวามีหัวลูกศรทั้งสองขาง หัวลูกศรนี้แสดงวาเสนตรงมีความ ยาวไมจํากัด สามารถตอเสนตรงออกไปในทิศทางของหัวลูกศรทั้งสองขางโดยไมมีที่สิ้นสุด 3) ในทางปฏิบัติอาจเขียนเสนตรง AB โดยไมจําเปนตองเขียนสัญลักษณจุด • บนเสนตรง เชน A

B

หมายถึง

•

A

•

B

ลองทําดู คุณทําได : ใหนักเรียนเขียนจุดและเสนตรงมาอยางละ 2 แบบ


128

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 สมบัติของจุดและเสนตรง มีดังนี้ 1. มีเสนตรงเพียงเสนเดียวเทานั้น ที่ลากผานจุดสองจุดที่กําหนดให •

•

A B 2. ถาเสนตรงสองเสนตัดกันแลวจะมีจุดตัดเพียงจุดเดียวเทานั้น A

B O

C

D

สวนของเสนตรง (Line segment) รูปตอไปนี้เปนรูปสวนของเสนตรงที่มีความยาวตาง ๆ

บทนิยาม สวนของเสนตรง คือ สวนหนึ่งของเสนตรงที่มีจุดปลาย (End point) สองจุด ในการเขียนสวนของเสนตรง จะตองกําหนดจุดปลายสองจุด เชน A B สวนของเสนตรง AB เขียนแทนดวยสัญลักษณ AB ขอสังเกต 1) สวนของเสนตรง AB มี A และ B เปนจุดปลาย 2) สวนของเสนตรง AB อาจเรียกวาสวนของเสนตรง BA และเขียนแทนดวย BA 3) สวนของเสนตรง AB ไมจําเปนตองเขียนสัญลักษณจุด • แทนจุดปลายบนสวนของ เสนตรง เชน

A

B


A

B



129

ความยาวของ AB เขียนแทนดวยสัญลักษณ m( AB ) หรือ AB เชน ความยาวของสวนของเสนตรง AB เทากับ 5 เซนติเมตร เขียนแทนดวย m( AB ) = 5 เซนติเมตรหรือ AB = 5 เซนติเมตร ตัวอยางสวนของเสนตรง ดานทุกดานของรูปขางลางนี้ เปนสวนของเสนตรง

สันของทรงสามมิติเหลานี้ เปนสวนของเสนตรงเชนกัน

ทําไดหรือเปลา ? 1) E

F

2) ก ข 3)

W X

เขียนแทนดวยสัญลักษณ……………………….. อานวา…………………………………………... หรือ……………………………………………... เขียนแทนดวยสัญลักษณ……………………….. อานวา…………………………………………... หรือ……………………………………………... เขียนแทนดวยสัญลักษณ……………………….. อานวา…………………………………………... หรือ……………………………………………...


130


รังสี (Ray) รูปตอไปนี้เปนรูปรังสีที่มีทิศทางตาง ๆ

บทนิยาม

รังสี คือ สวนหนึ่งของเสนตรงซึ่งมีจุดปลายเพียงจุดเดียว •

A

B

JJJG

JJJG

รังสี AB เขียนแทนดวยสัญลักษณ AB โดยมี A เปนจุดปลายของ AB ขอสังเกต JJJG JJJG JJJG JJJG 1) AB และ BA ไมใชรังสีเดียวกัน เพราะ AB มี A เปนจุดปลาย สวน BA มี B เปนจุด ปลาย 2) จะเห็ น ว า รั ง สี มี หั ว ลู ก ศรเพี ย งข า งเดี ย ว หั ว ลู ก ศรนี้ แ สดงว า รั ง สี มี ค วามยาวไม จํ า กั ด สามารถตอรังสีออกไปในทิศทางของหัวลูกศรโดยไมมีที่สิ้นสุด 3) ในทางปฏิบัติอาจเขียนรูปแทนรังสี โดยไมจําเปนตองเขียนสัญลักษณจุด • แทนจุดปลาย และอีกจุดหนึ่งบนรังสี เชน

A


B

A

•

B

รูหรือเปลา ? 1) R

S

2)

เขียนแทนดวยสัญลักษณ……………………….. อานวา…………………………………………... เขียนแทนดวยสัญลักษณ……………………….. อานวา…………………………………………...

ค จ



131

มุม (Angle) รูปตอไปนี้เปนรูปมุมที่มีขนาดตาง ๆ

บทนิยาม

มุม คือ รังสีสองเสนที่มีจุดปลายจุดเดียวกัน เรียกรังสีสองเสนนี้วา แขนของมุม และเรียกจุดปลายที่เปนจุดเดียวกันวา จุดยอดมุม (Vertex) A

B

C JJJG

JJG

ˆ หรือ ∠ABC ซึ่งมี BA และ BC เปนแขนของมุม จากรูป มุม ABC เขียนแทนดวย ABC ˆ และ B เปนจุดยอดมุมของ ABC ˆ ABC

ขอสังเกต 1) ในทางปฏิ บั ติอ าจเขี ย นรู ป แทนมุ ม โดยใช ส ว นของเส น ตรงแทนแขนของมุ ม และไม จําเปนตองเขียนสัญลักษณจุด • แทนจุดยอดมุม หรือจุดอื่น ๆ ที่เปนจุดปลายของสวนของเสนตรง เชน A A หมายถึง

B

C

B

C

ˆ เขียนแทนดวย m( ABC ˆ ) หรือ m( ∠ABC ) เชน 2) ขนาดของ ABC A ๐ B 30 C ˆ มีขนาดเทากับ 30 องศา เขียนแทนดวย m( ABC ˆ ) = 30 องศา หรือ จากรูป จะไดวา ABC m( ∠ABC ) = 30 องศา


132


ตอบไดเปลา ?

1)

X 45๐

Y 2)

ก

เขียนมุมแทนดวยสัญลักษณ…………………….. อานวา…………………………………………... แขนของมุม คือ…………………………………. จุดยอดมุม คือ…………………………………… ขนาดของมุม…………เทากับ…………………..

Z

๐

35

เขียนมุมแทนดวยสัญลักษณ…………………… อานวา…………………………………………... แขนของมุม คือ………………………………… จุดยอดมุม คือ…………………………………… ขนาดของมุม…………เทากับ…………………..

ข ค

ขอตกลงเกี่ยวกับมุม 1. เราอาจเขียนเสนโคงที่มุมเพื่อระบุมุมที่ตองการ เชน A P

B

C

R

Q

S

2. เมื่อมุมที่กลาวถึงมีความชัดเจนเกี่ยวกับแขนของมุม การเรียกชื่อมุมสามารถเรียกได 3 วิธี ดังนี้ 1) เรียกเฉพาะจุดซึ่งเปนจุดยอดของมุม จะเรียกเชนนี้ไดในกรณีที่เปนมุมเดียว หรือไมสับสนกับมุมอื่น เชน A C B ˆ (อานวามุม B) ∠ B (อานวามุม B) หรือ B 2) เรียกชื่อสัญลักษณของรังสี โดยใหจุดยอดของมุมอยูตรงกลาง เชน ˆ หรือ CBA ˆ ) หรือ ∠CBA ( ABC

∠ABC



133

3) เรียกตามตัวอักษร หรือตัวเลขซึ่งเขียนกํากับไวที่ภายในมุม เชน 1 a (หรือ ˆa ) ∠ 1 (หรือ 1ˆ ) อานวา มุม a อานวา มุม 1 3. เราจําแนกชนิดของมุมตามขนาดของมุมไดดังนี้ 1) มุมที่มีขนาดมากกวา 0o แตนอยกวา 90o เรียกวา มุมแหลม (Acute angle) ∠a

2) มุมที่มีขนาด 90o เรียกวา มุมฉาก (Right angle) ในการเขียนรูปแสดงมุมฉาก อาจเขียนสัญลักษณมุมฉากที่มุมดังกลาว หรือ 3) มุมที่มีขนาดมากกวา 90o แตนอยกวา 180o เรียกวา มุมปาน (Obtuse angle)

4) มุมที่มีขนาด 180o เรียกวา มุมตรง (Straight angle) •

5) มุมที่มีขนาดมากกวา 180o แตนอยกวา 360o เรียกวา มุมกลับ (Reflex angle)


134


นอกจากนี้ยังมีมุมขนาดอื่น ไดแก มุมที่มีขนาด 0o และมุมที่มีขนาด 360o สําหรับ มุมที่มีขนาด 360o เรียกวา มุมรอบจุด (Round angle) มุมที่มีขนาด 0o มุมที่มีขนาด 360o หรือมุมรอบจุด 4. รูปมุมแตละรูปจะแสดงมุมสองมุม ดังนี้ 2 B 1

A C

มุม ABC จะหมายถึง 1ˆ และมุมกลับ ABC จะหมายถึง ˆ2 โดยทั่วไปเมื่อกลาวถึงมุม ABC จะหมายถึงมุมที่มีขนาดมากกวา 0o แตนอยกวา 180o ลองลากเสนนะจะ : จงเขียนรูปตอไปนี้โดยไมตองยกมือและไมใหดินสอทับกันดวย



135

กิจกรรมที่ 4.1 : ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และการนําเสนอ 1. รูปที่กําหนดใหตอไปนี้ รูปใดแทนจุด เสนตรง สวนของเสนตรง รังสีและมุม เขียนสัญลักษณ แทนไดอยางไร 1) ……………………………………………… • D ……………………………………………… 2) • • P Q 3) ……………………………………………… • • E F 4) R S

T

………………………………………………

5) X

Y

………………………………………………

6) E

F

………………………………………………

D 2. จงเขียนรูปแสดงสัญลักษณที่กําหนดใหตอไปนี้ใหถูกตอง JJJG 1) AB 2) AB HJJG

3) AB

JJJG

4) BA

5) AB = 4 เซนติเมตร


136


3. จากรูปที่กําหนดใหแตละรูปโดยมีมุมขนาดตาง ๆ กันไดแก a, b, c, d, e, f และ g จงบอกรูปที่มี มุมและขนาดของมุมตามที่กําหนดให

1) 2) 3) 4) 5)

มุมในรูปใดเปนมุมฉาก มุมในรูปใดเปนมุมแหลม มุมในรูปใดเปนมุมกลับ มุมในรูปใดมีขนาดเล็กที่สุด มุมในรูปใดมีขนาดใหญที่สุด

………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….

4. จงบอกชื่อมุมและบอกชนิดของมุมที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ C

B

1)

•

A

D•

2)

F

E

•

……………………………… 3) •

P

•

•

……………………………… 4) X•

•

Q

R

……………………………… 5) H I G ………………………………

Z•

Y

……………………………… 6) L J

K ……………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


137

MATH

4.2 การสรางรูปเรขาคณิต โดยใชวงเวียนและสันตรง จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. สรางรูปเรขาคณิตโดยใชวงเวียนและสันตรงและบอกขั้นตอนการสรางตอไปนี้ 1) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับความยาวของสวนของเสนตรงที่ กําหนดให 2) การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให 3) การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให 4) การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให 5) การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให 6) การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให 2. นําความรูการสรางพื้นฐานไปสรางรูปเรขาคณิตอยางงายได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การอธิบายขั้นตอนในการสรางรูปเรขาคณิตพื้นฐานโดยใชวงเวียนและ สันตรงไดถูกตอง 2. การแกปญหาและการใหเหตุผล 3. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 4. การเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ ได 5. ความคิดริเริ่มสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร


138


การสรางรูปเรขาคณิตโดยใชวงเวียนและสันตรง การสรางรูปเรขาคณิตตองอาศัยความรูในการสรางพื้นฐานตอไปนี้ 1. การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนดให 2. การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให 3. การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให 4. การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให 5. การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให 6. การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให

1. การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนดให ถากําหนด AB ใหดังรูป นักเรียนสามารถสรางสวนของเสนตรง MN โดยให AB = MN ไดดังนี้

วิธีสราง

A B 1. ลาก MP โดยใหยาวกวา AB ดังรูป

2. ใหจุด M เปนจุดศูนยกลาง กางวงเวียนรัศมีเทากับ AB เขียนสวนโคงตัด MP ที่ N

3. จะได MN โดยที่ AB = MN ตามตองการ นักเรียนสามารถตรวจสอบวา AB = MN จริงหรือไม โดยใชวิธีการวัดหรือใช กระดาษลอกลายก็ได ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต ตัวอยางที่ 1 วิธีสราง

139

กําหนด a แทนความยาวของสวนของเสนตรง จงสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทา ABC ใหมีดานแตละดานยาวเทากับ a JJJG

1. ลาก AX JJJG 2. ใช A เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ a เขียนสวนโคงใหตัด AX ที่จุด B 3. ใช A และ B เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ a เขียนสวนโคงใหตัดกันที่จุด C 4. ลาก BC และ AC จะไดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีดานแตละดานยาวเทากับ a ตามตองการ

2. การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให การแบงครึ่งสวนของเสนตรง ทําไดโดยการหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่กําหนดให ตัวอยางที่ 2


กําหนด AB ดังรูป นักเรียนสามารถหาจุดกึ่งกลางของ AB หรือแบงครึ่ง AB ไดอยางไร A B 1. ลาก AB ใหมีความยาวเทากับความยาวที่โจทยกําหนดให 2. ใหจุด A และจุด B เปนจุดศูนยกลาง กางวงเวียนรัศมีมากกวาครึ่งของความยาว AB เขียนสวนโคงทั้งดานบนและดานลางของ AB ใหตัดกันที่จุด P และจุด Q ตามลําดับ 3. ลาก PQ ตัด AB ที่จุด O จะไดจุด O เปนจุดกึ่งกลางของ AB ซึ่ง AO = BO ตามตองการ


140


นักเรียนสามารถตรวจสอบวา AO = BO จริงหรือไม โดยใชวงเวียน ขอสังเกต

เราสามารถแบงครึ่ง AO และ BO ไดอีก โดยวิธีเดียวกัน ซึ่งเปนการแบง AB ออกเปน 4 สวน

กิจกรรมที่ 4.2 : ทักษะการการแกปญหา การสื่อสาร และการนําเสนอ 1. กําหนด PQ ใหดังรูป จงสราง 1) สวนของเสนตรง AB ใหยาวเทากับ PQ P

Q

2) สวนของเสนตรง AB ใหยาวเทากับสองเทาของ PQ •

P

•

Q

2. กําหนด a และ b แทนความยาวของสวนของเสนตรงสองเสน ดังรูป a b จงสรางสวนของเสนตรงเสนหนึ่งใหมีความยาวเทากับ a + b และอีกเสนหนึ่งยาวเทากับ a – b



141

3. จงสรางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ใหมีดานที่เทากันแตละดานเทากับสวนของเสนตรง a และมี ฐานยาวเทากับสวนของเสนตรง b ตามที่กําหนดให a

b

4. กําหนด a, b และ c แทนความยาวของสวนของเสนตรงสามเสน ดังรูป จงสรางรูป สามเหลี่ยม ABC ใหมีดายทั้งสามยาว a, b และ c a

b

c

5. จงแบง AB ที่กําหนดใหออกเปนสองสวนที่ยาวเทากัน

A

B

6. จงแบง RS ซึ่งยาว 6 นิ้วออกเปนสี่สวนที่ยาวเทา ๆ กัน


142


3. การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให ตัวอยางที่ 3

ถากําหนดมุม ABC ใหดังรูป จะสามารถสรางมุม PQR ใหมีขนาดเทากับมุม ABC ไดอยางไร A •

B วิธีสราง

C•

1. ลาก QR ใหยาวพอสมควร JJJG

2. จากรูปที่กําหนดใหใช B เปนจุดศูนยกลางรัศมีพอสมควร เขียนสวนโคงตัด BA JJG และ BC ที่จุด D และจุด E ตามลําดับ A •

B

C• JJJG 3. ใชจุด Q เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับความยาวของ BD เขียนสวนโคงตัด QR ที่จุด S

4. ใชจุด S เปนจุดศูนยกลาง รัศมีเทากับความยาวของ ED เขียนสวนโคงตัด สวนโคงแรกที่จุด P JJG ˆ ตามตองการ ซึ่ง m( ABC ˆ ) ˆ ) = m( PQR 5. ลาก QP จะได PQR


หนวยการเรียนรูที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต ตัวอยางที่ 4

143

จงสรางรูปสามเหลี่ยมใหมีฐานยาว a ˆ ) m( XYZ a


และมุมที่ฐานทั้งสองมุมมีขนาดเทากับ Z

Y

X

1. สราง AB ใหยาวเทากับ a ˆ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ˆ 2. ที่จดุ A สราง BAC JJJG ˆ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ˆ ให E เปนจุดตัดของ BD 3. ที่จดุ B สราง ABD JJJG และ AC

จะไดรูปสามเหลี่ยม ABE เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีลักษณะตามตองการ

4. การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให การแบงครึ่งมุม ทําไดโดยการหาเสนแบงครึ่งมุมที่กําหนดให ˆ ใหดังรูป สามารถแบงครึ่งมุม ABC ออกเปนสองสวนไดดังนี้ ตัวอยางที่ 5 กําหนด ABC A

•

B วิธีสราง

C•

JJJG

1. ใชจุด B เปนจุดศูนยกลาง กางวงเวียนรัศมีพอสมควรเขียนสวนโคงตัด BA และ JJG BC ที่จุด D และจุด E ตามลําAดับ •

B

C•


144


2. ใชจุด D เปนจุดศูนยกลาง กางวงเวียนรัศมีพอสมควรเขียนสวนโคง และใชจุด E เปนจุดศูนยกลาง รัศมีเทาเดิม เขียนสวนโคงตัดสวนโคงเดิมที่จุด M A

•

B

C•

JJJG

3. ลาก BM

A

•

B

C•

JJJG

ˆ ) = m( MBC ˆ ) ตามตองการ จะได BM แบงครึง่ มุม ABC ที่ทําให m( ABM ˆ มีขนาดเทากับขนาดของ MBC ˆ โดยใชวงเวียน เราสามารถตรวจสอบวา ABM

กิจกรรมที่ 4.3 : ทักษะการการแกปญหา การสื่อสาร และการนําเสนอ ˆ ใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให พรอมทั้งบอกขั้นตอนวิธีการสราง 1. จงสราง ABC

ˆ ใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมกลับที่กําหนดให 2. จงสราง ABC



145

ˆ ที่กําหนดให 3. จงสรางมุมใหมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุม ABC

A

•

B

C•

ˆ ใหมีขนาดนอยกวา 180 องศา 4. จงสราง ABC 1) จงสรางเสนแบงครึ่งมุม ABC 2) จงสรางเสนแบงครึ่งมุมกลับ ABC

ˆ จงสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ˆ แลวแบงมุมที่สรางออกเปน 5. กําหนด XYZ มุมที่มีขนาดเทากัน 4 มุม

X

Y

Z


146

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.1 ˆ )= ˆ ) และ m( BAC ˆ ) = m( PQR 6. จงสรางรูปสามเหลี่ยม ABC ให AB = a, m( ABC ˆ ) m( XYZ R Z

a P

Q

Y

X



147

5. การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให ตัวอยางที่ 6

HJJG

ให P เปนจุดที่อยูภายนอก AB ดังรูป •

P •

•

A วิธีสราง

B HJJG

การสรางสวนของเสนตรงจากจุด P ใหตั้งฉากกับ AB ทําไดดังนี้ HJJG 1. ให P เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด AB ที่จุด C และ จุด D 2. ใชจุด C และจุด D เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากัน เขียนสวนโคงใหตัดกันที่ จุด C HJJG HJJG 3. ลาก EP ตัด AB ที่จุด Q จะได EP ตั้งฉากกับ AB ที่จุด Q ตามตองการ •

•

A

P •

B

ˆ กับ BQP ˆ มีขนาดเทากันหรือไม……………………… นักเรียนชวยกันตรวจสอบวา AQP และมีขนาดเทากับครึ่งหนึ่งของมุมตรงหรือไม โดยใชวงเวียน ……………………………………… แลวชวยกันสรุปดังนี้วา HJJG - PQ เปนเสนตั้งฉากจากจุดภายนอก P มายัง AB ที่กําหนดให HJJG HJJG - จากการที่ PQ ตั้งฉากกับ AB จะกลาววา PQ เปนระยะหางระหวางจุด P กับ AB - สวนของเสนตรงที่ลากจากจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยมมาตั้งฉากกับฐานหรือสวนตอของ ฐาน เรียกวา สวนสูงของรูปสามเหลี่ยม เราสามารถใชความรูเกี่ยวกับการสรางเสนตั้งฉากจาก จุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดใหเพื่อสรางสวนสูงของรูปสามเหลี่ยม ดังตัวอยาง


148 ตัวอยางที่ 7


ถากําหนดรูปสามเหลี่ยม PQR ใหดังรูป จงสรางสวนสูงที่ลากจากจุด P มาตั้งฉากกับ QR

P

R

Q วิธีสราง

1. การสรางสวนสูงที่ลากจากจุด P มาตั้งฉากกับ QR ทําไดโดยวิธีสรางเสนตั้งฉาก จากจุดภายนอกมายังเสนตรงที่กําหนดให P

Q

R

2. จากรูปจะได PS เปนสวนสูงของรูปสามเหลี่ยม PQR ที่ลากจากจุดยอด P ของ รูปสามเหลี่ยมมายังฐาน QR ตามตองการ



149

6. การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรงที่กําหนดให HJJG

วิธีการสรางเสนตั้งฉากกับ AB ที่จุด P ทําไดโดยสรางมุมฉากที่จุด P หรือสรางเสนแบงครึ่ง มุมตรง APB ดังนี้ วิธีสราง ใหนักเรียนเขียนเสนตรง AB และกําหนดจุด P บนสนตรง AB ดังนี้

HJJG

1. ให P เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด AB ที่จุด C และจุด D 2. ใชจดุ C และจุด D เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากัน เขียนสวนโคงใหตัดกันที่จุด E HJJG 3. ลาก PE จะได PE ตั้งฉากกับ AB ที่จุด P ตามตองการ ˆ กับ BPE ˆ มีขนาดเทากันหรือไม…………………… ใหนักเรียนชวยกันตรวจสอบวา APE และมีขนาดเทากับครึ่งหนึ่งของมุมตรงหรือไม โดยใชวงเวียน……………………… สรางไดหรือเปลา : จงสรางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหแตละดานมีความยาวเทากับ 5 ซม.


150


กิจกรรมที่ 4.4 : ทักษะการการแกปญหา การสื่อสาร และการนําเสนอ HJJG

HJJG

1. ให M เปนจุดที่อยูภายนอก PQ ดังรูป จงสรางสวนของเสนตรงจากจุด M ใหตั้งฉากกับ PQ •

•

•

Q

P

2. กําหนดรูปสามเหลี่ยม PQR จงสรางสวนสูงของรูปสามเหลี่ยม PQR ทั้งสามเสน

P

R

Q

3. กําหนดรูปสามเหลี่ยม ABC จงสรางสวนสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC ทั้งสามเสน A

B

C



151

4. กําหนดจุด A เปนตําแหนงของบาน และ BC เปนถนนสายหนึ่งดังแผนผัง จงหาวาบาน หลังนี้อยูหางจากถนนกี่เมตร (มาตราสวน 1 : 500) A •

B C

5. จงสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใหมีดานประกอบมุมฉากยาวเทากับ a และ b a

b


152


การสรางรูปเรขาคณิตอยางงาย การสรางรูปเรขาคณิตอยางงาย เชน การสรางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วใหมีฐานยาว 5 เซนติเมตร และมุมที่ฐานมีขนาดเทากับ 45o จะตองอาศัยความรูเกี่ยวกับการสรางพื้นฐานหลายขอ เชน การสราง ส ว นของเส น ตรงให ย าวเท า กั บ ความยาวของส ว นของเส น ตรงที่ กํ า หนดให การแบ ง ครึ่ ง มุ ม ที่กําหนดให และการสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาดของมุมที่กําหนดให ตอไปจะเปนการนําความรู เกี่ยวกับการสรางพื้นฐานไปใชในการสรางมุมที่มีขนาดตาง ๆ การสรางเสนขนานและการสรางอื่น ๆ ที่เกี่ยวของ 1. การสรางมุมทีม่ ีขนาดตาง ๆ วิธีการสรางมุมที่มีขนาดเทากับ 90o และ 45o

การสรางมุมที่มีขนาดเทากับ 90o ซึ่งอาศัยการสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเสนตรง ที่กําหนดให ก็จะไดมุมฉาก ซึ่งไดเรียนผานมาแลว นักเรียนคิดวาจะสรางมุมที่มีขนาดเทากับ 45o โดยใชวงเวียนและสันตรงไดหรือไม ทําอยางไร……………………………………………………………………………………………


……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


153

วิธีการสรางมุมที่มีขนาดเทากับ 60o

การสรา งมุ ม ที่ มี ข นาดเท า กั บ 60 o อาศั ย แนวคิ ด ในการสร า งสามเหลี่ ย มด า นเท า ซึ่ ง สามเหลี่ยมดานเทาจะมีขนาดของมุมภายในแตละมุมเทากับ 60o วิธีสรางที่ 1 JJJG 1. ลาก AB JJJG 2. ใชจุด A เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงใหตัด AB ที่จุด C 3. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงใหตัดสวนโคงเดิมที่จุด D 4. ลาก AD และ CD จะไดรูปสามเหลี่ยม ADC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา ˆ มีขนาดเทากับ 60o ตามตองการ ดังนั้น จะได DAC

วิธีสรางที่ 2

JJJG

1. ลาก AC ยาวพอสมควร 2. ใชจุด A เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับความยาว AC เขียนสวนโคง 3. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับความยาว AC เขียนสวนโคงตัดสวนโคง เดิมที่จุด B 4. ลาก AB และ BC ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา มีมุมทุกมุมกาง 60o


154


กิจกรรมที่ 4.5 : ทักษะการการแกปญหา การสื่อสาร และการนําเสนอ 1. จงสรางมุมใหมีขนาดเทากับมุมที่กําหนดให 1) 30o

3)

150o

2)

120o

4)

22.5o

2. จงสราง 1) รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใหมีดานประกอบมุมฉากยาว 4.5 เซนติเมตรและ 6 เซนติเมตร 2) รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใหมีดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งยาว 5 เซนติเมตรและดานตรง ขามมุมฉากยาว 12 เซนติเมตร



155

3. จงสรางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วรูปหนึ่งใหมีฐานยาวเทากับ a และมุมยอดมีขนาดเทากับ 90o a

4. กําหนด O เปนจุดศูนยกลางดังรูป

•

O

1) จงสรางเสนแบงมุมรอบจุด O ออกเปนมุมที่มีขนาดเทากัน 4 มุม และจงหาวามุมแตละ มุมมีขนาดเทาไร ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 2) ถาลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอจุดทั้ง 4 จุดที่เสนแบงมุมทั้งสี่ตัดเสนรอบวงรูปสี่เหลี่ยม ที่ไดเปนรูปสี่เหลี่ยมชนิดใด จงอธิบาย ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………


156


5. จงสรางรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา

2. การสรางเสนขนาน

ตัวอยางเสนขนาน (Parallel) ที่พบเห็นในชีวิตประจําวัน เชน รางรถไฟ ขอบกระดาน กรอบประตู ไมบรรทัด หนาตาง บันได และชั้นวางของ เปนตน เราทราบมาแลววา (รูจริงหรือเปลา) “เสนตรงสองเสนขนานกันก็ตอเมื่อเสนตรงสองเสนนั้นมีระยะหางเทากันเสมอ” ดังรูป

HJJG

HJJG HJJG

HJJG

จากรูป AB ขนานกับ CD เขียนแทนดวยสัญลักษณ AB // CD AC และ BD เปนระยะหาง ระหวางเสนขนานโดยที่ AC = BD สมบั ติของเส นขนานซึ่ งจะนํ าไปใชในการสรางเสนขนาน คือ “ถาเส นตรงเส นหนึ่ งตั ด เสนตรงคูหนึ่งทําใหมุมแยง (Alternate angles) มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นจะขนานกัน” ดังรูป Y

C A HJJG

HJJG

X HJJG

D B HJJG

HJJG

ˆ ) = m( DXY ˆ ) แลวจะไดวา AB และ CD จากรูปถา XY ตัด AB และ CD ทําให m( AXY ขนานกัน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


157

การสรางเสนตรงใหผานจุดจุดหนึ่งและขนานกับเสนตรงที่กําหนดให HJJG

กําหนดจุด P และ AB ดังรูป •

P •

•

A

B

HJJG

การสรางเสนตรงใหผานจุด P และขนานกับ AB ทําไดดังนี้ HJJG 1. สําหรับ Q ซึ่งเปนจุดจุดหนึ่งบน AB ลาก PQ ˆ ซึ่ง CPQ ˆ เปนมุมแยง ˆ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ PQB ˆ และ PQB 2. สราง CPQ HJG HJJG 3. จะได CP // AB ตามตองการ •

P •

•

A

B

การสรางเสนตรงใหขนานกับเสนตรงที่กําหนดใหและมีระยะหางตามที่กําหนด HJJG

กําหนด AB และสวนของเสนตรงที่มีความยาวเทากับ a ดังนี้ A HJJG

B

a

HJJG

การสราง CD ใหขนานกับ AB และมีระยะหางเทากับ a มีวิธีการสรางดังนี้ HJJG HJJG JJJG 1. ที่จุด A สราง AC ใหตั้งฉากกับ AB และสรางให AB ยาวเทากับ a HJJG 2. ที่จุด C สราง CD ใหตั้งฉากกับ AC HJJG HJJG 3. จะได CD ขนานกับ AB และมีระยะหางกันเทากับ a ตามตองการ


158


กิจกรรมที่ 4.6 : ทักษะการการแกปญหา การสื่อสาร และการนําเสนอ 1. กําหนดเปนแนวคลองชลประทานตองการสรางถนนใหตรงโดยผานจุด A และขนานกับแนว คลองชลประทาน จงสรางแนวถนน A •

B C 2. จงสรางเสนขนานคูหนึ่งใหมีระยะหางระหวางเสนขนาน 3 เซนติเมตร

3. จงสร า งรู ป สี่ เ หลี่ ย มด า นขนานที่ มี ด า นด า นหนึ่ ง ยาว 5 เซนติ เ มตร อี ก ด า นหนึ่ ง ยาว 3 เซนติเมตร และมุมมุมหนึ่งมีขนาดเทากับ 60 องศา



159

ชวนคิดคณิตศาสตร ชวยกันแบงรูป ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู ปญหานี้ดูงาย ๆ แตตองใชจินตนาการสักเล็กนอย จากรูปที่กําหนดใหจงแบงออกเปน 4 สวน โดยใหแตละสวนมีขนาด รูปรางอยางเดียวกัน (เหมือนกัน) โดยการลากเสนตรงเพียง 4 เสนเทานั้น

มาชวยลากเสนหนอย ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู รูปนี้ดูงาย ๆ แตตองใชความพยายามสักหนอย จากรูปที่กําหนดใหจงลากเสนตามรูป โดยไม ตองยกปากกาหรือดินสอขึ้นจากแผนกระดาษและอยาใหเสนปากกาหรือดินสอทับเสนเดิมดวย


หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต

Recommend Documents