หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

หนวยการเรียนรูที่ 4

การแปลงทางเรขาคณิต

มาตรฐานการเรียนรู มาตรฐาน ค 3.2 มาตรฐาน ค 4.2 มาตรฐาน ค 6.1 มาตรฐาน ค 6.2 มาตรฐาน ค 6.3 มาตรฐาน ค 6.4 มาตรฐาน ค 6.5

: : : : : : :

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ขอ 2 และ ขอ 3 ขอ 6 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1 ขอ 1 ขอ 1 และ ขอ 2 ขอ 1

1. วิ เ คราะห แ ละอธิ บ ายความสั ม พั น ธ ระหว า งรู ป ต น แบบและภาพที่ ไ ด จ าก การเลื่ อ นขนาน การสะท อ นและ การหมุนได 2. นําสมบัติเกี่ยวกับการเลื่อนขนาน การสะทอน และการหมุนไปใชได 3. บอกพิกัดของรูปเรขาคณิตที่ไดจาก การเลื่อนขนาน การสะทอน และการ หมุนบนระนาบในระบบพิกัดฉากได

สาระการเรียนรู 4.1 การเลื่อนขนาน (4 คาบ) 4.2 การสะทอน (4 คาบ) 4.3 การหมุน (4 คาบ) พรอมหรือยัง ? ถาพรอมแลว ก็เริม่ เรียนแลวนะครับ

97

98

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2

MATH Series

4.1 การเลื่อนขนาน

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการเลื่อนขนานบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานรูปตนแบบได 3. หาเวกเตอรของการเลื่อนขนานเมื่อกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานได 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่ อ กํ า หนดรู ป เรขาคณิ ต สองรู ป ที่ แ สดงการแปลงทางเรขาคณิ ต ให สามารถบอกไดวารูปคูใดแสดงการเลื่อนขนาน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. 2. 3. 4. 5. 6.

การคิดคํานวณ การแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ การเชื่อมโยง ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน ความคิดริเริ่มสรางสรรค 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

99

การแปลงทางเรขาคณิต (Transformation) การแปลงทางเรขาคณิต เปนการจับคูกันแบบหนึ่งตอหนึ่งที่สมนัยกันระหวางจุดตาง ๆ บน ระนาบของรูปตนแบบกับจุดตาง ๆ บนระนาบของภาพที่เกิดจากรูปตนแบบนั้น อาจเรียกอีกอยาง หนึ่งวา การสง (Mapping) ในทางเรขาคณิต มีการแปลงที่กลาวถึงความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตกอการแปลงและ รูปเรขาคณิตหลังการแปลง เรียนรูปเรขาคณิตกอนการแปลงวา รูปตนแบบ และเรียนรูปเรขาคณิต หลังการแปลงวา ภาพที่ไดจากการแปลง เชน จุด A ถูกสงไปยังจุด A ′ ( A ′ เรียกวา เอไพรม)

• A′

A

เรียกจุด A วา รูปตนแบบของจุด A ′ เรียกจุด A ′ วา ภาพที่ไดจากการแปลง จุด A เรากลาววาจุด A และจุด A ′ เปนจุดที่สมนัยกัน นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้ กําหนดให +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการแปลง +ABC A C′

C B จากรูป และ เรากลาววา

A′

B′

จุด A และจุด A ′ เปนจุดที่สมนัยกัน จุด B และจุด B′ เปนจุดที่สมนัยกัน จุด C และจุด C′ เปนจุดที่สมนัยกัน AB กับ A ′B ′ เปนดานที่สมนัยกัน ……………………เปนดานที่สมนัยกัน ……………………เปนดานที่สมนัยกัน ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

100


ชวยผมทําหนอย กําหนดให ,P ′Q ′R ′S′ เปนภาพที่ไดจากการแปลง ,PQRS P

Q

R P′

S

R′

จากรูป

และ เรากลาววา

Q′

S′

จุด จุด จุด จุด

P และจุด …… เปนจุดที่สมนัยกัน Q และจุด …… เปนจุดที่สมนัยกัน R และจุด …… เปนจุดที่สมนัยกัน S และจุด …… เปนจุดที่สมนัยกัน PQ กับ P ′Q ′ เปนดานที่สมนัยกัน ……………………เปนดานที่สมนัยกัน ……………………เปนดานที่สมนัยกัน ……………………เปนดานที่สมนัยกัน

ในที่นี้จะกลาวถึงการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบ ไดแก การเลื่อนขนาน การสะทอน และ การหมุน ซึ่งการแปลงทางเรขาคณิตทั้งสามแบบนี้จะไดภาพที่มีรูปรางเหมือนกันและขนาดเดียวกัน กับรูปตนแบบเสมอ ตัวอยางเชน การแปลงที่เปนการเลื่อนขนาน การแปลงที่เปนการสะทอน

การแปลงที่เปนการหมุน

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


101

การเลื่อนขนาน การเลื่อนขนานบนระนาบ เปนการแปลงทางเรขาคณิตแบบหนึ่งที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไป บนระนาบตามแนวเสนตรงในทิศทางเดียวกัน และเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนด ตัวอยางที่ 1

กํ า หนด +ABC เป น รู ป ต น แบบ เมื่ อ เลื่ อ นขนาน +ABC ไปในทิ ศ ทางและ ระยะทางตามที่กําหนดดังรูป แลว +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน + A′ A A ′B′C′

P

C′

C

•

P′

B′

B

จากรูป จะพบวา มีการเลื่อนจุด A ไปที่จุด A ′ เลื่อนจุด B ไปที่จุด ………… และ เลื่อนจุด C ไปที่จุด ………… ในทิศทางเดียวกันและเปนระยะทางเทากัน จะไดวา AA ′ , ……… และ ……… ขนานกันและยาวเทากัน ถา P เปนจุดใด ๆ บน +ABC แลวจะมีจุด P ′ บน +A ′B′C′ เปนจุด สมนัยกันกับจุด P และ PP ′ จะขนานและยาวเทากับความยาวของ AA ′ , ……… และ ……… ดวย ในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน จะใช เวกเตอร เปนตัวกําหนด จากตัวอยางขางตน อาจใชเวกเตอร MN เพื่อบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน ดังรูป

A′

A P

C′

C B M

•

P′

B′ N


102

สื่อเสริมสาระการเรียนรู คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 JJK

JJK

เวกเตอร MN อาจเขียนแทนดวย MN ซึ่ง MN จะมีทิศทางจากจุดเริ่มตน M ไปยังจุดสิ้นสุด N และมีขนาดเทากับความยาวของ MN จากตัวอยางการเลื่อนขนานขางตน จะไดวา 1. AA ′ , ……… , ……… และ ……… จะขนานกันกับ MN 2. AA ′ = ……… = ……… = ……… = MN สมบัติของการเลื่อนขนาน

1. สามารถเลื่อนรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป หรือ กลาววารูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานจะเทากันทุกประการ 2. สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของสวนของเสนตรงนั้นจะ ขนานกัน ตัวอยางที่ 2

JJK

จงหาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ,PQRS ดวย QQ ′ S R

P

•′

Q

แนวคิด

JJK JJK

Q

JJK

JJK

1. ลาก PP ′ , RR ′ และ SS′ ใหขนานและยาวเทากับ QQ ′ 2. ลาก P ′S′ , S′R ′ , R ′Q ′ และ Q ′P ′ JJK ′ ′ ′ ′ จะไดรูป ,P Q R S เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ,PQRS ดวย QQ ′ S′

S R

P Q

R′

P′ •′

Q



103

กิจกรรมที่ 4.1 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมาย และนําเสนอ JJK

JJK

1. กําหนด PQ และ MN จงเขียน P ′Q ′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน PQ ดวย MN N P M Q JJK

2. กําหนด +ABC จงหาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน +ABC ดวย MN M

A

C B

ตัวอยางที่ 3

N

จงหาพิกัดของภาพที่ไดจากการเลื่อนจุดตอไปนี้ 1) A(1, 1) เลื่อนไปทางขวาตามแนวแกน X เปนระยะ 5 หนวย A(1, 1) เลื่อนไปทางขวาตามแนว แกน X เปนระยะ 5 หนวย จะได A′(1+ 5,1) = A′(6,1)


104


2) B(2, 5) เลื่อนไปทางซายตามแนวแกน X เปนระยะ 6 หนวย B(2, 5) เลื่อนไปทางซายตามแนว แกน X เปนระยะ 6 หนวย จะได B′(2 - 6, 5) = B′(-4, 5)

3) C(4, 1) เลื่อนลงตามแนวแกน Y เปนระยะ 3 หนวย C(4, 1) เลื่อนลงตามแนวแกน Y เปนระยะ 3 หนวย จะได C′(4,1 - 3) = C′(4, - 2)

4) D(2, -1) เลื่อนขึ้นตามแนวแกน Y เปนระยะ 4 หนวย D(2, -1) เลื่อนขึ้นตามแนวแกน Y เปนระยะ 4 หนวย จะได D′(2, -1+ 4) = D′(2, 3)



105

จากตัวอยางขางตนพบวา การเลื่อนจุดดังกลาว จะเห็นวา ถาเลื่อนจุดขนานแกน X จะทําให คาของพิกัดแรกของแตละจุดเปลี่ยนไป แตคาพิกัดหลังคงเดิม ในทํานองเดียวกัน ถาเลือ่ นจุด ขนาน แกน Y จะทําใหคาพิกัดหลังของแตละจุดเปลี่ยนไป แตคา พิกัดหนาคงเดิม JK ตัวอยางที่ 4 ใหจุด A(1, -3) และจุด B(4, -2) เปนจุดปลายของ AB และ PQ เปนเวกเตอรของ การเลื่อนขนาน (นักเรียนกําหนดเอง) จงหา JK 1) ภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน AB ดวย PQ 2) พิกัดของจุด A ′ และ B′


……………………………………………………………………………………… JJK ใหจุด S(-3, 2) และจุด T(1, 3) เปนจุดปลายของ ST และ MN เปนเวกเตอรของ การเลื่อนขนาน โดยที่มีจุด M(-5, 4) และ N(-2, 4) จงหา จงหา JJK 1) ภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ST ดวย MN 2) พิกัดของจุด S′ และ T ′

……………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

106



กําหนด +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน +ABC Y 1) จงหาพิกัดของจุดยอดมุมของ +A ′B′C′ 2) จงหาเวกเตอรของการเลื่อนขนาน +ABC 6

A

4

2

B

C

D

-5

5

X

A'

-2

B'

-4

C' -6


………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานรูป ก หรือไม จงอธิบาย C C' 1) A

B

รูป ก

A'

B'

รูป ข C'

C

2) A

A'

B

B'

รูป ก

รูป ข

C

3) A

C'

B

B' A'

รูป ก รูป ข แนวคิด การพิจารณาวาเปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของอีกรูปหรือไม ใหพิจารณาดังนี้ 1) สามารถเลื่อนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิทโดยไมมีการพลิกรูป 2) สวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดที่สมนัยกันแตละคูขนานกันและยาวเทากัน ทุกเสน ถาผลการแปลงสอดคลองกับเงื่อนไขทั้งสองขอแลว การแปลงนั้นเปนการเลื่อนขนาน



107

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 4.2 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมาย และนําเสนอ

1. กําหนด +ABC โดยมีจุด A(1, 1) จุด B(4, 1) จุด C(3, 3) เปนจุดยอดมุม จงเขียน +A ′B′C′ ซึ่ง JJK เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน +ABC ดวย MN (นักเรียนกําหนดเอง) และหาพิกัด A ′ , B′ และC′

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

108


2. กําหนด ,PQRS โดยมีจุด P(-4, 3) จุด Q(-6, 1) จุด R(-5, -1) และจุด D(-3, 0) เปนจุดยอดมุม JJK จงเขียน ,P ′Q ′R ′S′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ,PQRS ดวย MN โดยที่จุด M(-9, 3) และจุด N(-5, 7)

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 3. กําหนด +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน +ABC 1) จงหาพิกัดของจุดยอดมุมของ +A ′B′C′ Y 6 2) จงหาเวกเตอรของการเลื่อนขนาน +ABC C 4

A

B C'

-5

A'

2

B'

X

………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………



109

4. จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานรูป ก หรือไม จงอธิบาย C 1) C' A B

B'

A'

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… C' C B' B 2)

A'

D D'

A

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… B B' 3) C

C'

A

A'

D

D'

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4) B' B

A

C

C' D

A'

D'

รูป ก รูป ข ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

110


MATH Series

4.2 การสะทอน

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการสะทอนบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการสะทอนรูปตนแบบได 3. หาเสนสะทอนของการสะทอนเมื่อกําหนดรูปตนแบบและภาพที่ได จากการสะทอน 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการสะทอนของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให สามารถบอกไดวารูปคูใดแสดงการสะทอน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


111

การสะทอน การสะทอน เปนการแปลงทางเรขาคณิตแบบหนึ่งที่มีการจับคูแตละจุดบนรูปตนแบบกับ จุด แต ละจุด บนรู ปที่ เ กิดจากการสะท อนโดยจุด แตละคูที่สมนัย กัน จะมีระยะห างจากเส นของ การสะทอนเปนระยะทางเทากันและตั้งฉากกัน

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

A P′

P

จะไดวา การสะทอนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเสนตรง A ที่ตรึงเสนหนึ่ง เปนเสนสะทอน แตละจุด P บนระนาบจะมีจุด P ′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด P โดยที่ 1. ถาจุด P ไมอยูบนเสนตรง

A แลวเสนตรง A จะแบงครึ่งและตั้งฉากกับ PP ′

A แลวจุด P และจุด P ′ เปนจุดเดียวกัน และพบวา P ′ เปนภาพสะทอน ระยะทางจากจุด P กับเสนสะทอน A เทากับระยะจากจุด P′ ถึงเสนสะทอน A และ P เปนรูปตนแบบ ตอไปนี้เปนตัวอยางการสะทอนที่มีเสนตรง A เปนเสนสะทอน 2. ถาจุด P อยูบนเสนตรง

A

A B'

B

B

C

C'

C C' A'

A D

D'

A

D

B' D'

A'


112


ชวยผมทําหนอย กําหนดให +ABC เปนรูปตนแบบ เมื่อสะทอน +ABC ดวยเสนสะทอน XY และได +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอน ดังรูป X

B

D

B'

E

A C

F Y

A' C'

HJJG

ลาก BB ′ , AA ′ และ CC ′ ตัด XY ที่จุด D, E และ F ตามลําดับ จากความหมายของการ HJJG สะทอนจะไดวา XY ตั้งฉากและแบงครึ่ง BB ′ , AA ′ และ CC ′ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1. BB ′ , AA ′ และ CC ′ ขนานกันและยาวเทากันหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 2. AB // A ′B′ , BC // B′C′ และ CA // C′A ′ ใชหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 3. นักเรียนคิดวาดานแตละดานของรูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการสะทอนของดานนั้น จําเปนตองขนานกันหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 4. AB = A ′B′ , BC = B′C′ และ CA = C′A ′ ใชหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 5. ใชกระดาษลอกลาย +ABC แลวเลื่อนไปทับ +A ′B′C′ รูปทั้งสองทับกันไดสนิท หรื อ ไม ถ า ไม ไ ด ใ ห นั ก เรี ย นพลิ ก กระดาษลอกลายแล ว เลื อ น +ABC ไปทั บ +A ′B′C′ และ ตรวจสอบดูวา +ABC ทับ +A ′B′C′ ไดสนิทหรือไม ………………………………………………………………………………………………..



113

จากการทํากิจกรรมขาตนทําใหได สมบัติการสะทอน ซึ่งสรุปไดดังนี้ 1) สามารถเลื่อนรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการสะทอนไดสนิทโดยตองพลิกรูป หรือกลาววา รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการสะทอนเทากันทุกประการ 2) สวนของเสนตรงบนรูปตนแบบและภาพที่ไดจากการสะทอนของสวนของเสนตรงนั้นไม จําเปนตองขนานกันทุกคู 3) สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุดแตละจุดบนรูปตนแบบกับจุดที่สมนัยกันบนภาพที่ไดจากการ สะทอนจะขนานกัน และไมจําเปนตองยาวเทากัน ทบทวนของเกา รู ป เรขาคณิ ต ที่ ส ามารถหารอยพั บ และพั บ รู ป ทั้ ง สองข า งของรอยพั บ ให ทั บ กั น สนิ ท ได เรียกวา …………………………… และเรียกรอยพับนั้นวา ………………………… รูปสมมาตรบน เสนแตละรูปอาจมีจํานวนแกนสมมาตรไมเทากัน เชน D

P

C

E

F

A

Q

B

,ABCD เปนสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปนรูปสมมาตรบนเสนที่มีแกนสมมาตร 4 เสนไดแก HJJG AC , BD , EF และ PQ HJJG HJJG HJG

รูปสมมาตรบนเสน เปนรูปที่เกิดจากการสะทอน โดยมีแกนสมมาตรเปนเสนสะทอน


114



กําหนด ,ABCD เปนรูปตนแบบ และใหแกน Y เปนเสนสะทอน จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ,ABCD 2) พิกัดของจุด A ′ , B′ , C′ และ D ′

วิธีทํา

Y

4

B 3

2

A C

-4

1

-2

2

X

4

-1

D

-2

จากรูป จุด A และจุด D อยูบนแกน Y ที่เปนเสนสะทอน จะไดจุด A ′ เปนจุด เดียวกันกับจุด A และจุด D ′ เปนจุดเดียวกันกับจุด D สําหรับจุด B และจุด D จะมีจุด B′ และ C′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอนซึ่งจุด แตละคูที่สมนัยกันจะมีพิกัดที่หนึ่งเปนจํานวนตรงขาม เพราะอยูคนละขางของแกน Y เปน ระยะที่เทากันและจะมีพิกัดที่สองเปนจํานวนเดียวกัน เพราะอยูหางจากแกน X เปนระยะทาง ที่เทากัน 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ,ABCD ไดดังนี้ 4

Y B(-2, 3)

B'(2, 3)

3

2

A(0, 2) C(-3, 1)

-4

A'(0, 2)

C'(3, 1)

1

-2

2

4

X

-1

D(0, -1) D'(0, -1) -2

2) พิกัดของจุด A ′ , B′ , C′ และ D ′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



115

กําหนด +ABC เปนรูปตนแบบ และใหแกน X เปนเสนสะทอน จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +ABC 2) พิกัดของ จุด A ′ , B′ และ C′ 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +ABC ไดดังนี้


วิธีทํา 4

Y

2) พิกัดของ จุด A ′ , B′ และ C′ ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

B 3

2

C

1

A -2

2

X

4

6

-1

-2

-3

-4


กําหนด +ABC เปนรูปตนแบบ และใหเสนตรง แกน X อยูใตแกน X เปนระยะทาง 3 หนวย จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +A ′B′C′ 2) พิกัดของจุด A, B, C, A ′ , B′ และ D ′


A เปนเสนสะทอนที่ขนานกับ

1

Y -4

-2

2

X

4

6

-1

-2

C

-4

-5

A

B

-3

A

-6


116


1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +A ′B′C′ ไดดังนี้ 1

Y -4

-2

2

X

4

6

-1

-2

B

-3

C

-4

-5

A

-6

2) พิกัดของจุด A, B, C, A ′ , B′ และ D ′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ตัวอยางที่ 4


Y

กําหนด +PQR เปนรูปตนแบบ และใหเสนตรง 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +P ′Q ′R ′ 2) พิกัดของจุด P, Q, R, P ′ , Q ′ และ R ′ 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +P ′Q ′R ′ ไดดังนี้ Y4

A

4

Q

2

Q'

1

P 2

A Q

2

1

-1

R'

3

3

-2

A เปนเสนสะทอน จงหา

P' P

X

4

R

6

-2

2

-1

-2

-2

-3

-3

X

4

R

2) พิกัดของจุด P, Q, R, P ′ , Q ′ และ R ′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

6


117

กําหนด +P ′Q ′R ′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอน +PQR ดังรูป จงหาเสนสะทอน


R'

Q'

Q

R

P' P

ขั้นที่ 1 ลาก PP ′ และ QQ ′ ขั้นที่ 2 หาจุดกึ่งกลางของ PP ′ และ QQ ′ HJJG ขั้นที่ 3 ลาก XY ผานจุดกึ่งกลางของ PP ′ และ QQ ′ HJJG ดังนั้น XY เปนเสนสะทอน


R'

R'

R'

Q'

Q'

Q'

X

R

P' P

Q

Q

Q

R

P'

R

P' Y P

P

ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ตัวอยางที่ 6 จงหาเสนสะทอนของการสะทอนขอตอไปนี้

ขั้นที่ 3 C'

C

B

B' A'

A


ขั้นที่ 1 ……………………………………………………… ขั้นที่ 2 ……………………………………………………… ขั้นที่ 3 ……………………………………………………… ดังนั้น ……………………………………………………… C'

C

B A

B' A'


118 ตัวอยางที่ 7


จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพที่ไดจากการสะทอนรูป ก หรือไม จงอธิบาย 1)

รูป ก

รูป ข

รูป ก

รูป ข

2)

3)

รูป ก รูป ข แนวคิด การพิจารณาวาเปนภาพที่ไดจากการสะทอนของอีกรูปหรือไม ใหพิจารณาดังนี้ 1) ตองมีการพลิกรูปจึงจะสามารถเลื่อนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท 2) สามารถหาเสนสะทอนของการสะทอนรูปตนแบบได ถาผลการแปลงสอดคลองกับเงื่อนไขทั้งสองขอแลว การแปลงนั้นเปนการสะทอน ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


119

กิจกรรมที่ 4.3 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมาย และนําเสนอ

1. จงหาเสนสะทอนของการสะทอนในแตละขอตอไปนี้ 1)

2)

3)

2. กําหนด ,ABCD เปนรูปตนแบบ และใหแกน Y เปนเสนสะทอน จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ,ABCD 2) พิกัดของจุด A ′ , B′ , C′ และ D ′ 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน ,ABCD Y B ไดดังนี้ 4

3

A

2

1

C -4

-2

2

-1

-2

-3

D

4

X

2) พิกัดของจุด A ′ , B′ , C′ และ D ′ ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

-4


120


A เปนเสนสะทอนที่ขนานกับแกน X อยู

3. กําหนด +ABC เปนรูปตนแบบ และใหเสนตรง บนแกน X เปนระยะทาง 1 หนวย จงหา 1) ภาพที่ไดจากการสะทอน +A ′B′C′ ไดดังนี้ 5

Y

C

4

3

2

B

A

A

1

-2

2

4

X

6

-1

-2

-3

2) พิกัดของจุด A, B, C, A ′ , B′ และ D ′ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 4. กําหนดใหเสนตรง A เปนเสนสะทอน จงหาภาพที่ไดจากการสะทอนรูปตอไปนี้ พรอมทั้ง หาพิกัดของจุดยอดมุมของภาพนั้น 1) 6

A

Y

5

C

4

3

2

A

1

B -6

-4

-2

2

4

X

-1

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



2)

121

5

Y

A

D

4

3

C

A

2

1

B -2

2

X

4

6

-1

-2

-3

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 3)

Y

6

A

5

D

4

3

A

2

1

C B 2

4

X6

-1

……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..


122


MATH Series

4.3 การหมุน

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบัติของการหมุนบนระนาบได 2. หาภาพที่ไดจากการหมุนรูปตนแบบได

3. หาจุดหมุน ขนาดของการหมุน บอกทิศทางของการหมุน เมื่อกําหนด รูปตนแบบและภาพที่ไดจากการหมุนได 4. บอกพิกัดของภาพที่ไดจากการหมุนของรูปตนแบบที่กําหนดใหได 5. เมื่อกําหนดรูปเรขาคณิตสองรูปที่แสดงการแปลงทางเรขาคณิตให สามารถ บอกไดวารูปคูใดแสดงการหมุน

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอ 5. การเชื่อมโยง ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 6. ความคิดริเริ่มสรางสรรค 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนั ก ในคุ ณ ค า และมี เ จตคติ ที่ ดี ต อ วิ ช า คณิตศาสตร ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


123

การหมุน การหมุน เปนการแปลงที่จุดทุกจุดของรูปตนแบบเคลื่อนที่ไปเปนมุมเดียวกัน รอบจุดคงที่ ที่กําหนดซึ่งเรียกวา จุดหมุน ภาพที่เกิดจากการหมุนจะเทากันทุกประการกับรูปตนแบบ

นักเรียนพิจารณารูปตอไปนี้

P′

P

k การหมุนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเปน จุดหมุน แตละจุด P บนระนาบมีจุด P′ เปนภาพที่ไดจากหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กําหนดดัวยมุมที่มีขนาด k โดยที่ 1) ถาจุด P ไมใชจุด O แลว OP = OP′ และขนานของ เทากับ k 2) ถาจุด P เปนจุดเดียวกันกับจุด O แลว P เปนจุดหมุน

ชวยผมทําหนอย กําหนดให +ABC เปนรูปตนแบบ มี +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุนรอบ +ABC จุดหมุน P ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาด 60 องศา ดังรูป B A

B'

C'

C

A'

60๐ P


124


ลาก PA , PB , PC , PA ′ , PB ′ และ PC ′ จากความหมายของการหมุนจะได ˆ ′ ) = m( BPB ˆ ′ ) = m( CPC ˆ ′ ) = 60๐ m( APA และ PA = PA ′ , PB = PB ′ และ PC = PC ′

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ 1. AB // A ′B′ , BC // B′C′ และ CA // C′A ′ ใชหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 2. นักเรียนคิดวาดานแตละดานของรูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการหมุนของดานนั้น จําเปนตองขนานกันหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 3. AB = A ′B′ , BC = B′C′ และ CA = C′A ′ ใชหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. 4. ใชกระดาษลอกลาย +ABC แลวเลื่อนไปทับ +A ′B′C′ โดยไมพลิกกระดาษลอกลาย แลวตรวจสอบดูวา +ABC ทับ +A ′B′C′ ไดสนิทหรือไม ……………………………………………………………………………………………….. จากการทํากิจกรรมขาตนทําใหได สมบัติการหมุน ซึ่งสรุปไดดังนี้ 1) สามารถเลื่อนรูปตนแบบทับภาพที่ไดจากการหมุนไดสนิทโดยไมตองพลิกรูป หรือกลาววา รูปตนแบบกับภาพที่ไดจากการหมุนเทากันทุกประการ 2) ส ว นของเส น ตรงบนรู ป ต น แบบและภาพที่ ไ ด จ ากการหมุ น ส ว นของเส น ตรงนั้ น ไมจําเปนตองขนานกันทุกคู


หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต ตัวอยางที่ 1

125

กําหนด +ABC เปนรูปตนแบบ จุด P เปนจุดหมุน จงหา +A ′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ ไดจากการหมุน +ABC ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาด 60 องศา A

B

C P


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

ลาก PA ˆ ใหมีขนาด 60 องศา สราง APF JJG ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมี PA เขียนสวนโคงตัด PF ที่จุด A ′ ลาก PB ˆ ใหมีขนาด 60 องศา สราง BPG JJJG ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมี PB เขียนสวนโคงตัด PG ที่จุด B′ ลาก PC ˆ ใหมีขนาด 60 องศา สราง CPE JJG ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมี PC เขียนสวนโคงตัด PE ที่จุด C′

10. ลาก A ′B′ , B′C′ และ A ′C′ จะได +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC ทวนเข็มนาฬิกาดวย มุมที่มีขนาด 60 องศา จากตัวอยางที่ 1 จะเห็นวา เมื่อกําหนดรูปตนแบบ จุดหมุน ทิศทางการหมุน และขนาดของ มุมที่หมุนให เราสามารถหาภาพที่ไดจากการหมุน ในทางกลับกัน ถามีรูปตนแบและภาพที่ไดจากการหมุน เราสามารถหาจุดหมุน ทิศทางการ หมุน และขนาดของมุมที่ใชในการหมุนได ดังนี้




กําหนด +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC จงหาจุดหมุน ทิศทาง การหมุน และขนาดของมุมที่ใชในการหมุน

B'

A

A' C'

C

B


1. 2. 3. 4. 5. 6.

ลาก AA ′ HJJG สราง PQ แบงครึ่งและตั้งฉากกับ AA ′ ลาก CC ′ HJJG สราง XY แบงครึ่งและตั้งฉากกับ ลาก CC ′ HJJG HJJG ให PQ ตัดกับ XY ที่จุด R จะไดจุด R เปนจุดหมุน ˆ ′ เปนขนาดของมุมที่ใชในการหมุน ลาก RC และ RC ′ จะไดขนาดของ CPC นั่นคือ +ABC หมุนรอบจุด R ทวนเข็มนาฬิกาดวยขนาดของมุมเทากับ ˆ ′) m( CPC


หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต ตัวอยางที่ 3

127

ถา +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC ที่กําหนดให รอบจุดกําเนิด ตาม เข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา จงหา 1) +A ′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC 2) พิกัดของจุด A ′ , B′ และ C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด A, B และ C ตามลําดับ 5

Y

4

A

B

3

2

C

-4

-2

1

O

2

4

6

X

-1

-2

-3

-4


1) หา +A ′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC ไดดังนี้ HJJG HJJG HJJG 1. ลาก OA , OB และ OC HJJG 2. ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OA เขียนสวนโคงตัด OA ที่จุด A ′ HJJG 3. ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OB เขียนสวนโคงตัด OB ที่จุด B′ HJJG 4. ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OC เขียนสวนโคงตัด OC ที่จุด C′ 5. ลาก A ′B′ , B′C′ และ A ′C′ จะได +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจาก การหมุน +ABC รอบจุดกําเนิด ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา 2) พิกัดของจุด A ′ , B′ และ C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด A, B และ C ตามลําดับ ไดดังนี้ ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..




จงพิจารณาวารูป ข เปนภาพที่ไดจากการหมุนรูป ก หรือไม จงอธิบาย B' A 1) A' C

รูป ก C' 2)

B'

A'

D'

รูป ข A

C'

รูป ก

3)

D

B B

รูป ข

C

A

A'

B

B' C'

C D

รูป ก รูป ข แนวคิด การพิจารณาวาเปนภาพที่ไดจากการหมุนของอีกรูปหรือไม ใหพิจารณาดังนี้ 1) สามารถเลื่อนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิทโดยไมมีการพลิกรูป 2) สามารถหาจุดหมุน ทิศทางการหมุน และขนาดของมุมที่หมุนได ถาผลการแปลงสอดคลองกับเงื่อนไขทั้งสองขอแลว การแปลงนั้นเปนการหมุน ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


129

กิจกรรมที่ 4.4 : ทักษะการใหเหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมาย การนําเสนอ และเชื่อมโยง

1. กําหนด +ABC เปนรูปตนแบบ จุด P เปนจุดหมุน จงหา +A ′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการ หมุน +ABC ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาด 90 องศา B

A


C P

1. ………………………………………………………………………………… 2. ………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………………………………………… 4. ………………………………………………………………………………… 5. ………………………………………………………………………………… 6. ………………………………………………………………………………… 7. ………………………………………………………………………………… 8. ………………………………………………………………………………… 9. ………………………………………………………………………………… 10. ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………


130


2. กําหนด +ABC เปนรูปตนแบบ จุด P เปนจุดหมุน จงหา +A ′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการ หมุน +ABC ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาด 180 องศา B

A

C

P


1. ………………………………………………………………………………… 2. ………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………………………………………… 4. ………………………………………………………………………………… 5. ………………………………………………………………………………… 6. ………………………………………………………………………………… 7. ………………………………………………………………………………… 8. ………………………………………………………………………………… 9. ………………………………………………………………………………… 10. ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………



131

3. กําหนด +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC จงหาจุดหมุน ทิศทางการหมุน และ ขนาดของมุมที่ใชในการหมุน A' B 1) B' A

C

C'

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… A' 2) B

B' C

C'

A

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

132


4. ถา +A ′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC ที่กําหนดให รอบจุดกําเนิด ทวนเข็มนาฬิกา ดวยมุมขนาด 90 องศา จงหา 1) +A ′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุน +ABC 2) พิกัดของจุด A ′ , B′ และ C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด A, B และ C ตามลําดับ Y

5

4

3

2

1

-2

O

2

-3

6

X

B

-1

-2

4

A C

-4

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3


133

ขอผมสรุปหนอยนะครับ

เมื่อมีรูปเรขาคณิตสองรูปที่เทากันทุกประการและเกิดจากการแปลงทางเรขาคณิตที่เปนการ เลื่อนขนาน การสะทอน หรือการหมุนแบบใดแบบหนึ่ง ถาตองการจะหาวารูปนั้นเปนผลของการ แปลงแบบใด ใหพิจารณาดังนี้ 1. ถาตองมีการพลิกรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท การแปลงนั้นเปนการสะทอน 2. ถาสามารถเลื่อนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งไดสนิทโดยไมตองพลิกรูปแลว ใหพิจารณาวา เปนการเลื่อนขนานหรือไม ถาไมใชการเลื่อนขนาน การแปลงนั้นเปนการหมุน ในกรณีที่รูปเรขาคณิตแตละรูปเปนเพียงจุดจุดเดียว จะสามารถกลาวไดวา การแปลงนั้นเปน ผลจาการเลื่อนขนาน การสะทอน หรือการหมุน แบบใดแบบหนึ่งก็ได การแปลงทางเรขาคณิตทั้งสามแบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะทอน และการหมุน ที่กลาวมา นั้น มีลักษณะสําคัญที่เหมือนกันประการหนึ่งคือ ภาพที่ไดจากการแปลงจะเทากันทุกประการกับ รูปตนแบบเสมอไมวาจะเปนภาพจากการแปลงแตละแบบเพียงครั้งเดียว การแปลงแตละแบบซ้ํากัน หลายครั้ง หรือการแปลงแบบใดแบบหนึ่งแลวตามตองการดวยการแปลงอีกแบบหนึ่ง ทั้งนี้เพราะวา การแปลงทางเรขาคณิตเหลานี้เปนการเปลี่ยนตําแหนงของรูปเรขาคณิตบนระนาบโดยที่ ระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ ของรูปเรขาคณิตนั้นไมเปลี่ยนแปลง


134


กิจกรรมที่ 4.5 : ทักษะการใหเหตุผล การนําเสนอ การเชื่อมโยง และความคิดสรางสรรค 1. จงออกแบบลวดลายศิลปะโดยใชความรูเกี่ยวกับการเลื่อนขนาน การสะทอน และการหมุน ตัวอยางลวดลาย

………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… 2. จงออกแบบโลโกมา 1 แบบ โดยใชความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิต พรอมทั้งอธิบาย ความหมายของโลโกนั้น ตัวอยางโลโก

………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………



135

ชวนคิดคณิตศาสตร หาไดอะเปลา?? ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู จงหาพื้นที่โดยประมาณของรูปสี่เหลี่ยม 1. 5

4 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2. 3 3 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

Recommend Documents