Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
wy
( )
wx
w
R
cm
s
xcm
cm
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
1
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4-1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη μελέτη της ισορροπίας και της κίνησης των μηχανικών στερεών. Η δομή του κεφαλαίου περιλαμβάνει τις ακόλουθες ενότητες: 4-2) ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 4-3) ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ 4-4) ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 4-5) ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ 4-6) ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 4-7) ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 4-8) ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 4-9) ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ 4-10) ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Στο εγχειρίδιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του σχολικού βιβλίου, η επέκταση αυτής καθώς και χρήσιμα παραδείγματα και μεθοδολογία βασικών ασκήσεων για την πλήρη προετοιμασία που απαιτούν οι πανελλήνιες εξετάσεις. Ως εκ τούτου αποδεικνύονται (μέσω των βασικών σχέσεων του σχολικού βιβλίου) και άλλες χρήσιμες σχέσεις. Όμως χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή διότι όσες σχέσεις δεν περιέχονται στο σχολικό βιβλίο (και παρέχεται η απόδειξή τους στο εγχειρίδιο αυτό) πρέπει να αποδεικνύονται για να χρησιμοποιηθούν στις πανελλήνιες εξετάσεις!!! Για την περαιτέρω μελέτη του κεφαλαίου απαιτείται η γνώση των ακόλουθων ορισμών: Υλικά σημεία ονομάζονται τα σώματα που έχουν όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις. Ένα υλικό σημείο, μη έχοντας διαστάσεις, έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις. Στερεά λέγονται τα σώματα που έχουν διαστάσεις τις οποίες δεν μπορούμε να αγνοήσουμε. Ένα στερεό σώμα έχοντας διαστάσεις μπορεί να εκτελεί μεταφορική κίνηση, μπορεί να αλλάζει προσανατολισμό στο χώρο, να εκτελεί δηλαδή περιστροφική (στροφική) ή, ακόμη, σύνθετη κίνηση, δηλαδή συνδυασμό μεταφορικής και στροφικής κίνησης. Μηχανικά στερεά λέγονται τα στερεά που θεωρούμε ότι δεν παραμορφώνονται, όταν ασκούνται σ’ αυτά δυνάμεις. ( Θα ασχοληθούμε μόνο με μηχανικά στερεά)
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
2
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-2) ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Ένα στερεό σώμα μπορεί να κάνει μεταφορική, στροφική και σύνθετη κίνηση. Ορισμός Μεταφορικής Κίνησης Ένα σώμα κάνει μεταφορική κίνηση όταν κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. Παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση ενός κιβωτίου που ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Μεταφορική μπορεί να είναι και μια καμπυλόγραμμη κίνηση. Το σώμα του σχήματος κάνει μεταφορική κίνηση αν η ταχύτητα του σημείου Α είναι ίση με την ταχύτητα του σημείου Β. (Η τροχιά κάθε σημείου είναι καμπύλη). Αυτό είναι δυνατό. Όταν ένα στερεό κάνει μεταφορική κίνηση, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Η κίνηση του σώματος είναι μεταφορική αφού το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ παραμένει διαρκώς παράλληλο προς τον εαυτό του. Επομένως αν η τροχιά του σημείου Α είναι καμπυλόγραμμη, την ίδια ακριβώς μορφή θα έχει και η τροχιά του σημείου Β. Ορισμός Στροφικής Κίνησης Ένα σώμα κάνει στροφική κίνηση όταν αλλάζει προσανατολισμό. Στη στροφική κίνηση υπάρχει μια ευθεία – ο άξονας περιστροφής - που όλα της τα σημεία παραμένουν ακίνητα ενώ τα υπόλοιπα σημεία του σώματος κάνουν κυκλική κίνηση. Προσοχή! Α) Ο άξονας περιστροφής δεν είναι απαραίτητο να διέρχεται από το σώμα. Β) Η στροφική κίνηση ενός στερεού δεν είναι κυκλική κίνηση. Γ) Για κάθε σημείο ενός στερεού που κάνει στροφική κίνηση ισχύουν όλες οι σχέσεις που ισχύουν στην κυκλική κίνηση.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
3
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Ομαλή Στροφική Κίνηση
Κατάλληλο μέγεθος για να περιγράψει το πόσο γρήγορα περιστρέφεται ένα σώμα κάποια στιγμή, είναι η γωνιακή ταχύτητα ω. Η γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα πάνω στον άξονα περιστροφής. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Στο σώμα που στρέφεται, κάθε σημείο κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμική ταχύτητα που υπολογίζεται από τη σχέση
r , όπου r η απόσταση του από τον άξονα περιστροφής. Αν η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται γύρω από άξονα είναι σταθερή, τότε το σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. Μεταβαλλόμενη Στροφική Κίνηση
Υποθέτουμε ότι ο δίσκος του παραπάνω σχήματος τη χρονική στιγμή t t1 έχει γωνιακή ταχύτητα 1 ενώ τη χρονική στιγμή t 2 t1 dt η γωνιακή του ταχύτητα γίνεται 2 1 d . Γωνιακή επιτάχυνση του σώματος ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του σώματος τη στιγμή t,
.
d dt
Η γωνιακή επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση του διανύσματος της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας, δηλαδή του διανύσματος d . Μονάδα γωνιακής επιτάχυνσης: 1 rad / s 2 .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
4
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Σημείωση: Στο σώμα που στρέφεται, κάθε σημείο που δε βρίσκεται στον άξονα περιστροφής έχει την ίδια στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα και στον ίδιο χρόνο dt θα έχει την ίδια
μεταβολή γωνιακής ταχύτητας d . Επομένως μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, κάθε σημείο του στερεού έχει την ίδια γωνιακή επιτάχυνση .
Αν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας 1 αυξάνεται, τότε το διάνυσμα d και η γωνιακή
επιτάχυνση . έχουν την ίδια φορά με την ταχύτητα 1 όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. (επιταχυνόμενη στροφική κίνηση)
Αν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας 1 ελαττώνεται, τότε το διάνυσμα d και η γωνιακή
επιτάχυνση . έχουν αντίθετη φορά από τη φορά της ταχύτητας 1 (επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση) . Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση: Αν η γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος που στρέφεται γύρω από άξονα είναι σταθερή, τότε το σώμα κάνει. ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση. Σύνθετη Κίνηση Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισμός του λέμε ότι κάνει σύνθετη κίνηση. Τέτοια κίνηση κάνει π.χ. ο τροχός ενός αυτοκινήτου, όταν κινείται το αυτοκίνητο. Όπως συμβαίνει και με το υπόλοιπο αυτοκίνητο, ο τροχός αλλάζει θέση στο χώρο (μεταφορική κίνηση) και ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του. Η σύνθετη κίνηση μπορεί να μελετηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας μιας μεταφορικής και μιας περιστροφικής κίνησης. Το σχήμα παρακάτω σχήμα δείχνει ένα τροχό που κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει). Η κίνησή του μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της επαλληλίας 1. μιας μεταφορικής κίνησης, στην οποία όλα τα σημεία του τροχού, κάθε στιγμή, έχουν την ίδια ταχύτητα cm (σχ. α) 2. και μιας περιστροφικής κίνησης, γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του τροχού και είναι κάθετος σ΄ αυτόν (σχ. β).
Η ταχύτητα κάθε σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας cm λόγω μεταφορικής κίνησης και της λόγω της περιστροφικής (σχ. γ). Σημείωση: Στην περιστροφική κίνηση όλα τα σημεία του τροχού που απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής έχουν ταχύτητες με το ίδιο μέτρο υ, εφαπτόμενες στην κυκλική τους τροχιά. Για παράδειγμα όλα τα σημεία της περιφέρειας του τροχού έχουν γραμμική ταχύτητα μέτρου R , όπου R η ακτίνα του τροχού.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
5
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Από το παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου του τροχού είναι 3 2 cm , ενώ το μέτρο της ταχύτητας του κατώτατου σημείου του τροχού (του εκάστοτε σημείου που βρίσκεται σε επαφή με το έδαφος) είναι 1 0 . Ας δούμε πως υπολογίζεται η ταχύτητα του κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού: Προσδιορισμός της ταχύτητας διαφόρων σημείων της περιφέρειας του τροχού Η ταχύτητα κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας cm , λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας , λόγω περιστροφικής κίνησης. Αν λάβουμε υπόψη τη σχέση cm R , τότε μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού.
Δ
Σ
A
K
cm
cm
Β
cm
Η ταχύτητα του σημείου Κ του άξονα του τροχού είναι:
cm
cm
R
Η ταχύτητα του σημείου Γ του τροχού είναι:
cm cm cm cm
Γ
0
Η ταχύτητα του σημείου Δ του τροχού είναι:
cm cm cm cm 2 cm Η ταχύτητα του σημείου B του τροχού είναι:
2 2 2 2 cm cm cm 2 cm
Η κατεύθυνση της ταχύτητας προσδιορίζεται από τη γωνία , η οποία δίνεται από τη σχέση:
cm 1 45 cm cm
(Ομοίως και για το σημείο Α)
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
6
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Το μέτρο της ταχύτητας ενός τυχαίου σημείου Σ δίνεται από τη σχέση 2 2 2 cm cm 2 2 cm cm 2 cm cm 2 2 2 1 cm 21 2 cm 2 cm 2 cm
, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων cm και .
Η κατεύθυνση της ταχύτητας προσδιορίζεται από τη γωνία , η οποία δίνεται από τη σχέση:
cm cm 1 cm cm cm 1 cm
, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων cm και ενώ είναι η γωνία μεταξύ
των διανυσμάτων cm και . Προσοχή! Για τα εσωτερικά σημεία του τροχού, που βρίσκονται σε αποστάσεις r R από το κέντρο του τροχού ισχύει: r cm . Η λογική υπολογισμού είναι ακριβώς η ίδια (δηλαδή η ταχύτητα κάθε εσωτερικού σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας cm , λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας , λόγω περιστροφικής κίνησης) με τη διαφορά ότι δεν ισχύει πλέον η ισότητα cm . Κέντρο Μάζας Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Η μελέτη της μεταφορικής κίνησης ενός σώματος ανάγεται στη μελέτη της κίνησης του κέντρου μάζας του. Η κίνηση του κέντρου μάζας ενός σώματος καθορίζεται από τη συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Ισχύει:
F macm όπου m η μάζα του σώματος. Το κέντρο μάζας ομογενών και συμμετρικών σωμάτων συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τους. Π.χ. το κέντρο μάζας ενός κύβου είναι το σημείο τομής των διαγώνιων του, το κέντρο μάζας μιας σφαίρας είναι το κέντρο της σφαίρας. Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα. Τέτοια είναι η περίπτωση ισοπαχούς ομογενούς δακτυλίου, το κέντρο μάζας του οποίου βρίσκεται στο κέντρο του. Αν ένα σώμα βρίσκεται μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας το κέντρο μάζας του συμπίπτει με το κέντρο βάρους.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
7
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Κέντρο Βάρους ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σταθερό σημείο από το οποίο διέρχεται ο φορέας του βάρους του σώματος, οποιοδήποτε προσανατολισμό και αν δώσουμε στο σώμα. Η κύλιση του τροχού Κατά την κύλιση κάθε σημείο του τροχού έρχεται διαδοχικά σε επαφή με το δρόμο. Έτσι, όταν ο τροχός μετακινηθεί κατά ds, ένα σημείο Α της περιφέρειας του θα έχει στραφεί κατά τόξο μήκους ds, στο οποίο αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία dθ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Από τον ορισμό της γωνίας έχουμε
d
ds ds R d R
s R (το θ σε rad) 1η συνθήκη κύλισης Η παραπάνω σχέση συνδέει τη μετατόπιση s του τροχού και τη γωνία στροφής θ μιας ακτίνας του τροχού. Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Παρατήρηση: Αν το κέντρο μάζας του τροχού κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα μέτρου cm η μετατόπιση s του τροχού δίνεται και από τη σχέση s cm t .
Κύλιση σε οριζόντιο επίπεδο Θεωρούμε ότι ο τροχός του παραπάνω σχήματος ακτίνας R κυλίεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και σε χρόνο dt μετακινείται κατά διάστημα ds στο οποίο αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία dθ όπως είδαμε παραπάνω. Αν cm είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του, από τους ορισμούς των δύο μεγεθών, έχουμε αντίστοιχα:
cm
ds dt
(1) και
Από τον ορισμό της γωνίας έχουμε: d
d dt
(2)
ds ds Rd και αντικαθιστώντας στην (1) θα R
έχουμε:
cm
Rd . Στη συνέχεια με τη βοήθεια της (2) καταλήγουμε στη σχέση: dt
cm
Rd d cm R cm R 2η συνθήκη κύλισης dt dt
Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
8
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Σημείωση: Όπως είχαμε προαναφέρει ισχύει cm R όπου το μέτρο της γραμμικής (εφαπτομενικής) ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας του τροχού. Η γραμμική (εφαπτομενική) ταχύτητα των σημείων που απέχουν r από τον άξονα του τροχού είναι: r r . Κύλιση σε πλάγιο επίπεδο Έστω ένας τροχός ακτίνας R που κυλίεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει (βλ. σχήμα). Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού αυξάνεται, δηλαδή έχει γωνιακή επιτάχυνση. Επίσης το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
Στην περίπτωση αυτή το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τροχού τη χρονική στιγμή t δίνονται από τις σχέσεις:
cm 0,cm acm t
και
0 t
Όπου 0,cm το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας και 0 το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του τροχού τη χρονική στιγμή t 0 0 . Ισχύει 0,cm 0 R Προσοχή! Τα μέτρα cm και συνεχώς μεταβάλλονται αλλά κάθε χρονική στιγμή ισχύει η συνθήκη κύλισης cm R (στιγμιαίες τιμές) Η μετατόπιση x του τροχού και η γωνία θ κατά την οποία έχει στραφεί μια ακτίνα του τροχού από τη χρονική στιγμή t 0 0 έως τη χρονική στιγμή t δίνονται από τις σχέσεις:
1 x 0,cm t a cm t 2 2
και
1 2
0 t t 2
Θα βρούμε τώρα την 3η συνθήκη κύλισης. Αν a cm είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού και η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής του, από τους ορισμούς των δύο μεγεθών έχουμε:
a cm Όμως
d cm dt
(1)
και
cm R d cm Rd
d cm d R dt dt
d dt
(1)
(3)
Αντικαθιστώντας στην (3) τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει:
d cm d R a cm R 3η συνθήκη κύλισης dt dt Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
9
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Σημείωση: Παρατηρούμε ότι a cm R a
όπου a
το μέτρο της γραμμικής
επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του τροχού. . Η γραμμική (εφαπτομενική) επιτάχυνση των σημείων που απέχουν r από τον άξονα του τροχού είναι: ar a r . Η επιτάχυνση κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού είναι η συνισταμένη της επιτάχυνσης a cm , λόγω μεταφορικής κίνησης, της γραμμικής επιτάχυνσης a , λόγω
περιστροφικής κίνησης και της κεντρομόλου επιτάχυνσης a , δηλαδή a acm a aK .
Στροφική κίνηση στερεού γύρω από ακλόνητο άξονα
s
Έστω ότι η τροχαλία ακτίνας R του διπλανού σχήματος μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από τον άξονά της. Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα, στην ελεύθερη άκρη του οποίου κρέμεται σώμα Σ. Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί, τότε αυτό θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και η τροχαλία στροφική ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
x
Αν το νήμα δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία, τότε ισχύουν οι σχέσεις του παρακάτω πίνακα, οι οποίες συνδέουν τα μεγέθη της ευθύγραμμης κίνησης του σώματος Σ με τα μεγέθη της περιστροφικής κίνησης της τροχαλίας. Μεταφορική κίνηση του σώματος Μετατόπιση x : 1 x at 2 2 Ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή: at ,όπου a η σταθερή επιτάχυνση του σώματος.
Στροφική κίνηση της τροχαλίας Γωνία στροφής σε (rad): 1 t 2 2 Γωνιακή ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή:
t
,όπου η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση
της τροχαλίας. Σχέσεις που συνδυάζουν τα αντίστοιχα μεγέθη
x R (το σε rad)
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
R
a R
10
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Σύνθετη κίνηση στερεού Παρακάτω παρουσιάζονται οι δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις σύνθετης κίνησης, καθώς και οι σχέσεις που ισχύουν σε κάθε περίπτωση:
cm
R
cm
R
s xcm
s
xcm
cm
cm
Όταν το νήμα που περιβάλλει την τροχαλία δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία, τότε καθώς ξετυλίγεται ισχύουν οι σχέσεις.
Όταν ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, τότε ισχύουν οι σχέσεις
xcm s R
xcm s R
cm R
cm R
a cm R
a cm R
Παρατηρήσεις: Α) H ταχύτητα του κέντρου μάζας κάθε τροχού ενός οχήματος που κινείται ευθύγραμμα ταυτίζεται με την ταχύτητα του οχήματος. Β) Αν σε ορισμένο χρόνο t , ένας τροχός που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει μετακινείται κατά x και μια ακτίνα του τροχού στρέφεται κατά γωνία , τότε ο αριθμός των περιστροφών του τροχού σε χρόνο t μπορεί να υπολογιστεί από τις σχέσεις
N
x 2R
ή
N
2
, όπου R η ακτίνα του τροχού.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
11
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Συγκριτικός πίνακας μεγεθών στη μεταφορική και στη στροφική κίνηση Μεταφορική κίνηση
Στροφική κίνηση
Μετατόπιση: x
Γωνία στροφής: (σε rad)
dx Ταχύτητα: dt d Επιτάχυνση: a dt
d dt d Γωνιακή επιτάχυνση: dt
Ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:
Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή στροφική κίνηση: t Γωνιακή επιτάχυνση στην ομαλά
x t
Επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά
επιταχυνόμενη κίνηση: a t
Μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:
x t
Γωνιακή ταχύτητα:
επιταχυνόμενη στροφική κίνηση:
t
Γωνία στροφής (σε rad) στην στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα:
t
Μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση:
Γωνία στροφής: (σε rad) στην στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση:
1 x 0 t at 2 2
0 t t 2
, όπου 0 η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
1 2
, όπου 0 η γωνιακή ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 .
12
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-3) ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ
Ροπή δύναμης ( ) είναι το φυσικό μέγεθος που περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα. α) Ροπή δύναμης ως προς άξονα Έστω ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από τον άξονα z΄z . Στο σώμα ασκείται δύναμη F που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και ο φορέας της απέχει από τον άξονα απόσταση l .
Ροπή της δύναμης F , ως προς τον άξονα περιστροφής z z ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει 1. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας).
F l 2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού 3. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής. Μονάδα ροπής είναι το 1 Νm.
Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής κλείνουμε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού και τα τοποθετούμε έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά κατά την οποία η δύναμη, τείνει να περιστρέψει το σώμα. Ο αντίχειρας τότε δίνει τη φορά του διανύσματος της ροπής.
Η ροπή μιας δύναμης ως προς άξονα είναι μηδέν 1. όταν η δύναμη ασκείται στον άξονα. 2. όταν ο φορέας της δύναμης τέμνει τον άξονα 3. όταν ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος στον άξονα.
Αν η δύναμη F δε βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής, η ροπή της είναι ίση με τη ροπή που δημιουργεί η συνιστώσα της που βρίσκεται πάνω στο κάθετο επίπεδο. Στο παράδειγμα του διπλανού σχήματος αναλύουμε
την F σε δύο συνιστώσες την Fx και την Fz . Η
Fz έχει διεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα
περιστροφής άρα δεν δημιουργεί ροπή.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
13
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Αντίθετα η Fx βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα περιστροφής. Άρα η ροπή της
F έχει μέτρο:
F Fx l
Η αλγεβρική τιμή της ροπής Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε μόνο περιπτώσεις στις οποίες όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής του σώματος. Σε τέτοια προβλήματα, για να περιγράψουμε την τάση μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα προς τη μια ή την άλλη φορά, χρησιμοποιούμε την αλγεβρική τιμή της ροπής. Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που τείνει να περιστρέψει το σώμα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητική τη ροπή της δύναμης που τείνει να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού. Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα, στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις, είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος. Στο σώμα
του διπλανού σχήματος δρουν οι δυνάμεις F1 και
F2 . Το σώμα έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω
από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. Η συνολική ροπή που δέχεται το σώμα είναι
1 2 F1l1 F2 l 2 β) Ροπή δύναμης ως προς σημείο Αν σ' ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα δεν περιστρέφεται (θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση). Αν όμως ο φορέας της δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα μαζί με τη μεταφορική κίνηση θα εκτελέσει και περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του σώματος. Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια της ροπής της δύναμης ως προς σημείο.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
14
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Ροπή δύναμης F , ως προς σημείο Ο, ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει 1. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου F της δύναμης επί την απόσταση l του σημείου Ο από το φορέα της δύναμης, δηλαδή:
F l 2. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το φορέα της δύναμης και το σημείο Ο 3. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο είναι μηδέν 1. όταν η δύναμη ασκείται στο σημείο αυτό 2. όταν ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το σημείο αυτό Στις δύο αυτές περιπτώσεις l 0 και κατά συνέπεια 0 γ) Ροπή ζεύγους δυνάμεων Ζεύγος δυνάμεων ονομάζουμε ένα σύστημα δύο δυνάμεων F1 και F2 , οι οποίες ασκούνται σε δύο διαφορετικά σημεία του σώματος, είναι αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα. Παράδειγμα ζεύγους δυνάμεων είναι οι δυνάμεις του διπλανού σχήματος. Το επίπεδο που ορίζεται από τις δύο δυνάμεις λέγεται επίπεδο του ζεύγους και η απόσταση d των φορέων των δύο δυνάμεων λέγεται βραχίονας του ζεύγους.
Η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του, που
απέχει απόσταση x1 από τη δύναμη F1 και x 2 από τη δύναμη F2 είναι:
F1 x1 F2 x2 Όμως επειδή F1 F2 , προκύπτει:
F1 x1 F1 x2 F1 ( x1 x2 ) F1 d
Ορίζουμε ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων F1 και F2 το διανυσματικό μέγεθος , το οποίο έχει: 1. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δύο δυνάμεων. 2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. 3. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της F1 (της μιας από τις δύο δυνάμεις) επί τον βραχίονα d του ζεύγους. Δηλαδή:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
15
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
F1 d Παρατηρήσεις: Α) Το μέτρο της συνισταμένης των δύο δυνάμεων του ζεύγους είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι ένα ζεύγος δυνάμεων δεν μπορεί να μετακινήσει ένα σώμα, αλλά μόνο να το περιστρέψει. Η περιστροφή θα πραγματοποιηθεί γύρω από τον άξονα περιστροφής του σώματος, αν υπάρχει τέτοιος άξονας, ή γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο του ζεύγους, αν το σώμα είναι ελεύθερο να κινηθεί. Β) Η σχέση F1 d ισχύει για οποιοδήποτε σημείο. Δηλαδή, η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ως προς οποιοδήποτε άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους. Γ) Αν το σώμα στο οποίο ασκείται το ζεύγος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα z z (κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους) τότε η ροπή του ζεύγους έχει φορέα τον άξονα περιστροφής. Δ) Ένα ζεύγος δυνάμεων δεν μπορεί να αντικατασταθεί από μία μόνο δύναμη διότι καμία δύναμη δεν μπορεί να προκαλέσει από μόνη της μία καθαρή στροφική κίνηση, όπως το ζεύγος δυνάμεων.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
16
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-4) ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ας δούμε με ποιες προϋποθέσεις ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό στο οποίο ασκούνται δυνάμεις. Α) Αν το στερεό έχει σταθερό άξονα μπορεί να κάνει μόνο στροφική κίνηση. Επομένως, για να ισορροπεί, αρκεί η συνισταμένη των ροπών ως προς τον άξονα να είναι μηδέν. Β) Ένα ελεύθερο στερεό, όμως, μπορεί να εκτελέσει και μεταφορική και στροφική κίνηση. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν το σώμα δε θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση. Αυτό όμως δεν εξασφαλίζει ότι δε θα στραφεί. Αν υπάρχουν ροπές το σώμα θα στραφεί. Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, αν υπάρχουν ροπές, αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων. Η ροπή ζεύγους, όμως, είναι ίδια ως προς όλα τα σημεία. Επομένως, για να μη στραφεί το σώμα θα πρέπει η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο (τότε θα είναι μηδέν και ως προς κάθε άλλο). Επομένως για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν
Fx 0 F 0 Fy 0 και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν
0 Οι συνθήκες αυτές ισχύουν όχι μόνο όταν το σώμα είναι ακίνητο αλλά και όταν ένα στερεό σώμα έχει σταθερή μεταφορική και γωνιακή ταχύτητα.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
17
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Παρένθεση: Είδη δυνάμεων που μπορεί να ασκούνται σε στερεό σώμα 1. Το Βάρος
Το βάρος έχει φορέα την κατακόρυφο που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και φορά προς τα κάτω.
w mg
2. Δύναμη από Νήμα ή Σχοινί
T1
Ένα νήμα που συνδέεται σε κάποιο σημείο στερεού σώματος ασκεί στο σώμα δύναμη μόνο αν είναι τεντωμένο. Η δύναμη αυτή έχει πάντα τη διεύθυνση του νήματος και φορά πάντα από το σώμα προς το νήμα..
T2
3. Τριβή F .
w
Μέτρο τριβής ολίσθησης:
: τιμή κάθετης αντίδρασης
: συντελεστής τριβής ολίσθησης
Δυνατές τιμές της στατικής τριβής:
0 s : τιμή κάθετης αντίδρασης
s : συντελεστής στατικής τριβής
Η τριβή είναι η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα, το οποίο βρίσκεται σε επαφή με ένα επίπεδο, όταν κινείται ή όταν τείνει να κινηθεί πάνω στο επίπεδο. Η τριβή διακρίνεται σε στατική τριβή και σε τριβή ολίσθησης. Η στατική τριβή εμφανίζεται, όταν το σώμα έχει την τάση να κινηθεί πάνω στο επίπεδο με την επίδραση κάποιας άλλης δύναμης, χωρίς όμως να κινείται. Η τριβή ολίσθησης εμφανίζεται όταν το σώμα ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο. Το μέτρο Τ της τριβής ολίσθησης υπολογίζεται από τη σχέση όπου μ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης και Ν το μέτρο της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου. Για το μέτρο της στατικής τριβής δεν υπάρχει σχέση απευθείας υπολογισμού. Υπολογίζεται πάντα από τη συνθήκη ισορροπίας του σώματος στο οποίο ασκείται, στον άξονα που έχει τη διεύθυνση της στατικής τριβής. Όταν το σώμα είναι έτοιμο να ολισθήσει έχουμε .( MAX ) S
Μέγιστη Στατική τριβή : .( MAX ) S
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
18
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Παρατήρηση: Η τριβή και η κάθετη αντίδραση είναι οι δύο συνιστώσες της αντίδρασης του
εδάφους F . (δηλαδή της δύναμης που ασκεί το έδαφος στο σώμα).
4. Δύναμη Στήριξης (Κάθετη αντίδραση από Λείο Επίπεδο) F2
F1
Η αντίδραση λείου επιπέδου, όταν ένα σώμα στηρίζεται σ’ αυτό, είναι κάθετη στο επίπεδο με φορά από το επίπεδο προς το σώμα.
λεία επιφάνεια
λεία επιφάνεια
5. Δύναμη Στήριξης (Αντίδραση από Επιφάνεια με Τριβή) F
Όταν υπάρχει τριβή, η αντίδραση ενός επιπέδου είναι μια πλάγια δύναμη, η οποία αναλύεται στη στατική τριβή . με διεύθυνση παράλληλη προς το επίπεδο και στην κάθετη αντίδραση Ν. Όταν το σώμα δεν ολισθαίνει, τότε είναι: . S . Όταν το
.
σώμα είναι έτοιμο να ολισθήσει τότε .( MAX ) S
6. Δύναμη Ασκούμενη από Άρθρωση Σχοινί
Fy
F
T
Fx
w
Η δύναμη αυτή έχει γενικά άγνωστη διεύθυνση και φορά. Γι’ αυτό τη σχεδιάζουμε παίρνοντας υπόψη τις κατευθύνσεις των υπολοίπων δυνάμεων και την αναλύουμε σε δύο κάθετες συνιστώσες Fx και F y . Ισχύουν οι σχέσεις
F Fx2 Fy2 και
Fy Fx
άρθρωση
Παρατήρηση: Για να ισορροπεί η ράβδος στο παραπάνω σχήμα θα πρέπει οι διευθύνσεις των 3 δυνάμεων που ασκούνται σε αυτήν ( F , T , w ) να διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
19
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Μεθοδολογία Ασκήσεων (Υπολογισμός ροπής δύναμης και ασκήσεις ισορροπίας) Α) Ροπή δύναμης ως προς άξονα ή σημείο Άξονας περιστροφής
F
Αν η διεύθυνση μιας δύναμης F τέμνει τον άξονα ή διέρχεται από το σημείο, τότε η ροπή της δύναμης είναι μηδέν
F 0
Αν μια δύναμη F βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής ενός στερεού σώματος και ο φορέας της δεν τέμνει τον άξονα, τότε για να βρούμε τη ροπή της δύναμης μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους.
α) Αναλύουμε τη δύναμη F σε δύο κάθετες συνιστώσες: τη συνιστώσα Fx , της οποίας η
διεύθυνσή διέρχεται από τον άξονα και τη συνιστώσα F y . Επειδή η ροπή της συνιστώσας
Fx είναι μηδέν, η ροπή της συνιστώσας F θα είναι ίση με τη ροπή της συνιστώσας F y . Άρα
F Fy l F F l
Fy
Άξονας περιστροφής
l
F
Fx
μήκος d της οποίας αποτελεί τον αντίστοιχο μοχλοβραχίονα. Η ροπή της δύναμης F θα β) Φέρνουμε την κάθετη από τον άξονα περιστροφής προς τον φορέα της δύναμης F , το είναι ίση με
F F d
Άξονας περιστροφής
F
l
(1)
d
Μοχλοβραχίονας
Φορέας (δηλαδή διεύθυνση) της δύναμης
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
20
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Όμως, όπως βλέπουμε από το σχήμα
d d l l
(2)
Αντικαθιστώντας τη (2) στην (1) προκύπτει:
F F d F F l Β) Ισορροπία Στερεού Σώματος Στο κεφάλαιο αυτό (δηλαδή στα πλαίσια της ύλης των πανελληνίων εξετάσεων) μελετούμε μόνο περιπτώσεις στις οποίες όλες οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Όταν είναι απαραίτητο, οι δυνάμεις αναλύονται σε δύο ορθογώνιους άξονες x και y που επιλέγονται έτσι ώστε να χρειάζονται ανάλυση οι λιγότερες δυνάμεις. Στις ασκήσεις ισορροπίας στερεού σώματος ακολουθούμε γενικά τα εξής βήματα: Βήμα 1: Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Βήμα 2: Εκλέγουμε κατάλληλους ορθογώνιους άξονες x και y και αναλύουμε όσες δυνάμεις δεν είναι παράλληλες προς τους άξονες αυτούς. Βήμα 3: Εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας ομοεπίπεδων δυνάμεων:
Fx 0 F 0 Fy 0
και
0
Βήμα 4: Λύνουμε το σύστημα των τριών εξισώσεων, οι οποίες περιέχουν δυνάμεις, αποστάσεις και γωνίες. Με τη λύση του συστήματος των τριών εξισώσεων, μπορούμε να υπολογίσουμε μέχρι τρία άγνωστα μεγέθη. Παρατηρήσεις: A) Κατάλληλο σημείο για την εφαρμογή της συνθήκης 0 θεωρείται εκείνο από το οποίο διέρχεται ο φορέας μιας δύναμης άγνωστης κατεύθυνσης ή άγνωστου μέτρου. Στην 0 περίπτωση αυτή, επειδή είναι F . F. l 0 , η άγνωστη δύναμη δεν εμφανίζεται στην εξίσωση που προκύπτει. Β) Όταν οι φορείς όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε για τη λύση του προβλήματος, αρκεί να εφαρμόσουμε μόνο δύο από τις τρεις συνθήκες ισορροπίας. Γ) Όταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται σ’ ένα σώμα είναι παράλληλες ως προς έναν άξονα (π. χ. τον άξονα y ) τότε, επειδή η συνθήκη Fx 0 περιττεύει, εφαρμόζουμε τις συνθήκες
ή τις συνθήκες
Fy 0 και
( ) 0
( ) 0 και
( ) 0
όπου Α και Β δύο σημεία ως προς τα οποία εφαρμόζουμε τη συνθήκη 0 .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
21
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Δ) Στην περίπτωση στερεού σώματος που ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων, πρέπει οι φορείς των τριών δυνάμεων να διέρχονται από το ίδιο σημείο, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Σημείο τομής διευθύνσεων
Σχοινί
Λείος Σημείο τομής διευθύνσεων
3 δυνάμεων
τοίχος
3 δυνάμεων
Fy
F
T
F
F .
Fx
w
w
.
Τραχύ δάπεδο
Άρθρωση
Το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει και για παραπάνω από 3 δυνάμεις. Ε) αν σε ένα σώμα που ισορροπεί ασκούνται ν δυνάμεις με 3 και οι 1 από αυτές είναι παράλληλες μεταξύ τους, τότε και η νιοστή δύναμη θα είναι παράλληλη με τις άλλες.
F
T
Νήμα
w Άρθρωση
Έτσι αν στη ράβδο του παραπάνω σχήματος ασκούνται οι κατακόρυφες δυνάμεις w και T ,
τότε και η κατακόρυφη δύναμη F από την άρθρωση θα είναι επίσης κατακόρυφη. ΣΤ) Αν ένα στερεό σώμα στηρίζεται σε στήριγμα και για κάποιο λόγο είναι έτοιμο να χάσει την επαφή του με το στήριγμα, τότε, όταν εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας του σώματος τη στιγμή που χάνεται η επαφή, παίρνουμε την αντίδραση F του υποστηρίγματος ίση με μηδέν ( F 0) . Έτσι, στην περίπτωση ενός ανθρώπου που στέκεται πάνω στη δοκό του σχήματος, όταν η δοκός είναι έτοιμη να χάσει την επαφή της με το στήριγμα Α ( F 0) , γράφουμε: F
( ) 0 w . ( ) F ( ) w . ( ) 0 F 0
( )
w .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
w .
22
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-5) ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Έστω ένα στερεό το οποίο στρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα zz΄ (βλ. σχήμα).Χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδη τμήματα με μάζες m1 , m 2 …. , τόσο μικρά ώστε καθένα από αυτά να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Οι μάζες m1 , m 2 … κινούνται κυκλικά γύρω από τον άξονα, σε κύκλους ακτίνων r1 , r2 ….. Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής.
I m1r12 m2 r22 ... m r2 Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα το 1 kg m 2 . Από τον ορισμό της ροπής αδράνειας προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου μάζας m , το οποίο κινείται κυκλικά σε κύκλο ακτίνας r , ως προς τον άξονα z z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδό της δίνεται από τη σχέση:
I mr 2
Παράδειγμα υπολογισμού ροπής αδράνειας Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ομογενούς δακτυλίου, μάζας M και ακτίνας R , ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει. Να θεωρηθεί ότι το πάχος του δακτυλίου είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του. Απάντηση: Χωρίζουμε το δακτύλιο σε στοιχειώδες μάζες m1 , m 2 … m . Είναι προφανές ότι:
m1 m2 ....m M . Επειδή το πάχος του δακτυλίου είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του R , όλες οι στοιχειώδεις μάζες έχουν την ίδια απόσταση R από τον άξονα περιστροφής. Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής αδράνειας, έχουμε:
I m1r12 m2 r22 ... m r2 I m1 R 2 m2 R 2 ... m R 2
I (m1 m2 ... m ) R 2 I MR 2 Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι ροπές αδράνειας κάποιων σωμάτων ως προς έναν από τους άπειρους άξονες που διέρχονται από το κέντρο μάζας τους. Ο συγκεκριμένος άξονας για κάθε σώμα εικονίζεται στο σχήμα.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
23
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Θεώρημα Steiner
Μεταξύ της ροπής αδράνειας I cm ενός σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και της ροπής αδράνειας I p ως προς οποιοδήποτε άλλο άξονα
p , παράλληλο με τον πρώτο σε απόσταση d από αυτόν, υπάρχει μια απλή σχέση, γνωστή ως το θεώρημα παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner .
Θεώρημα Steiner Αν I cm η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματoς επί το τετράγωνο της απόστασης d.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
24
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
I p I cm Md 2 Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς άξονες παράλληλους μεταξύ τους, παίρνει την ελάχιστη τιμή της για τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος. Δηλαδή:
I p (min) I cm Παράδειγμα εφαρμογής θεωρήματος Steiner 1 Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας λεπτού ομογενούς δίσκου, μάζας M και ακτίνας R , ως προς άξονα p που διέρχεται από ένα σημείο της περιφέρειας του δακτυλίου και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα z z που διέρχεται από το MR 2 κέντρο μάζας του δίσκου είναι: I cm . 2 Απάντηση: z
d R
p
R
z
p
Σύμφωνα με το θεώρημα Steiner, έχουμε: I p I cm Md 2 . Επειδή ισχύει d R , προκύπτει
Ip
MR 2 3MR 2 MR 2 I p 2 2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
25
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Παράδειγμα εφαρμογής θεωρήματος Steiner 2 Το θεώρημα Steiner εφαρμόζεται και όταν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται έξω από το σώμα. p
z
d Αβαρής ράβδος
Θεωρούμε ομογενή δίσκο μάζας M και ακτίνας R , ο οποίος είναι στερεωμένο2 στο ένα άκρο αβαρούς ράβδου, μήκους l . Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τους άξονες z z, p p και d d είναι:
R
Κ
l
Rl
d
p
z
Άξονας z z : I zz I cm I zz
1 MR 2 2
Άξονας p p : I pp I cm MR 2 I pp
1 3 MR 2 MR 2 I pp MR 2 2 2
Άξονας d d : I d d I cm M R l 2 I d d
1 MR 2 M ( R l ) 2 2
Παρατηρήσεις: Α) Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ροπή αδράνειας: 1) Από την ολική μάζα του σώματος. 2) Από την κατανομή της μάζας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, η οποία έχει να κάνει με το μέγεθος και το σχήμα του σώματος. 3) Από τη θέση του άξονα περιστροφής. Β) Πως προστίθενται οι ροπές αδράνειας Όταν δύο η περισσότερα σώματα έχουν τον ίδιο άξονα περιστροφής, τότε οι ροπές αδράνειας των σωμάτων αυτών ως προς τον άξονα αυτό προστίθενται όπως οι μάζας τους. Δηλαδή ισχύει:
I I1 I 2 ... I z
1) m
L/2
L/2
Για παράδειγμα θεωρούμε το σύστημα σωμάτων του διπλανού σχήματος., το οποίο αποτελείται από ράβδο μάζας M και μήκους L και μια μικρή σφαίρα μάζας m και αμελητέας ακτίνας στερεωμένη στο άκρο της ράβδου.
z
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
26
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα z z (που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου) δίνεται από τη σχέση: I I I (1)
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον z z είναι I I cm
1 ML2 (2) 12
Επίσης από τον ορισμό της ροπής αδράνειας, η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον z z
L είναι: I . m 2
2
(3)
Αντικαθιστώντας τις (2), (3) στην (1) προκύπτει: 2
I I I I
2)
1 L2 1 L ML2 m I ML2 m 12 4 12 2
z
m1
Ομοίως και στην περίπτωση αυτή
m2
L/2
I I I I
L/2 z 2
I
2
1 L2 L2 1 L L m2 ML2 m1 m2 I ML2 m1 12 4 4 12 2 2
Γ) Ροπή αδράνειας του στερεού που απομένει μετά από την αφαίρεση τμήματός του z
Θεωρούμε ένα στερεό σώμα Σ, το οποίo έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα z z , από το οποίο αφαιρούμε ένα τμήμα 1 , με αποτέλεσμα να παραμείνει ένα
στερεό σώμα 2 . Αν I , I 1 , I 2 είναι οι ροπές αδράνειας των
z z
σωμάτων , 1 , 2 αντίστοιχα ως προς τον άξονα z z , τότε ισχύει: I I 1 I 2 I 2 I I 1 . Άρα για να βρούμε τη ροπή αδράνειας του στερεού σώματος 2
2
που απομένει μετά την αφαίρεση του τμήματος 1 : z
1
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
27
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 1) Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας I του αρχικού στερεού του σώματος , ως προς τον άξονα z z . 2) Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας I 1 του στερεού του σώματος 1 που αφαιρέθηκε, ως προς τον άξονα z z . 3) Εφαρμόζουμε τη σχέση: I I 1 I 2 I 2 I I 1 Προσοχή! Τα σώματα που θεωρούνται αβαρή δεν παρουσιάζουν ροπή αδράνειας ως προς οποιοδήποτε άξονα.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
28
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-6) ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Στην περίπτωση ενός υλικού σημείου, από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής προκύπτει ότι για να μεταβληθεί η ταχύτητά του πρέπει να ασκηθεί σε αυτό δύναμη που δίνεται από τη σχέση:
F m a
(2ος Νόμος του Νεύτωνα)
Στο νόμο αυτό η επιτάχυνση a του υλικού σημείου μάζας m είναι το αποτέλεσμα της
συνισταμένης δύναμης F (αίτιο) που ασκείται σε αυτό. Αντίστοιχος νόμος ισχύει στη στροφική κίνηση στερεών σωμάτων. Σύμφωνα με αυτόν, για να μεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα πρέπει να ασκηθεί σ' αυτό ροπή. Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (ροπή) και το αποτέλεσμα (μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας) είναι
I Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης, δηλαδή, το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας (υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώματος. Φυσική σημασία της ροπής αδράνειας: Από τη σχέση I φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος. Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή, ότι εκφράζει η μάζα στη μεταφορική κίνηση, δηλαδή την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση. Ενώ όμως η μάζα ενός σώματος είναι σταθερό μέγεθος η ροπή αδράνειας εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση του άξονα περιστροφής. Ένα στερεό σώμα έχει μία μάζα και άπειρες ροπές αδράνειας, μία για κάθε άξονα περιστροφής. Παρατηρήσεις: Α) Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν ( 0) , από τη σχέση I προκύπτει ότι και η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν, επομένως το σώμα διατηρεί την προηγούμενη περιστροφική του κατάσταση, δηλαδή αν το σώμα είναι ακίνητο θα εξακολουθήσει να ηρεμεί, ενώ αν στρέφεται θα συνεχίσει να στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. (Αρχή της αδράνειας στη στροφική κίνηση) Β) Στην περίπτωση που ισχύει ( .) από τη σχέση I προκύπτει ότι
. Δηλαδή το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, επομένως εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
29
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Γ) Μέχρι τώρα αναφερθήκαμε σε στροφικές κινήσεις γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. Τα συμπεράσματά μας για την κίνηση αυτή μπορούν να επεκταθούν και στις περιπτώσεις που ο άξονας περιστροφής μετατοπίζεται. Αυτό συμβαίνει στις σύνθετες κινήσεις, στις οποίες το σώμα κάνει ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, όπως στην κίνηση ενός τροχού που κυλάει. Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις αυτές, αρκεί ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα να 1) διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος, 2) να είναι άξονας συμμετρίας και 3) να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης. Δ) Για να ισχύει η σχέση I διανυσματικά πρέπει, η ροπή αδράνειας I του σώματος να είναι σταθερή και ο άξονας περιστροφής του σώματος: 1) να έχει σταθερή θέση και σταθερή διεύθυνση, ή 2) να διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και να έχει σταθερή διεύθυνση
F 0 0 F 0 0 F 0 0 F 0 0
Είδη κινήσεων που μπορεί να εκτελέσει ένα στερεό σώμα Το σώμα ισορροπεί
Το σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση με επιτάχυνση του κέντρου μάζας a cm (F macm ) Το σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται το κέντρο μάζας του με γωνιακή επιτάχυνση ( I )
Το σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση (μεταφορική με επιτάχυνση a cm και στροφική γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή επιτάχυνση )
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
30
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Μεθοδολογία Ασκήσεων (θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ασκήσεις όπου ένα στερεό σώμα (τροχαλία, κύλινδρος, κ.α.) εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα: Α) Με την επίδραση μιας σταθερής εφαπτομενικής δύναμης. Β) Με την ταυτόχρονη μεταφορική κίνηση ενός άλλου σώματος, μέσω σχοινιού. Γ) Με την ταυτόχρονη κίνηση δύο άλλων σωμάτων μέσω σχοινιών. Στις ασκήσεις αυτές συνήθως το περιστρεφόμενο σώμα είναι τροχαλία. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: α) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα ή τα σώματα που εκτελούν μεταφορική κίνηση. β) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στην τροχαλία. γ) Για κάθε σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση γράφουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής (2ος νόμος του Νεύτωνα)
F macm
δ) Αν χρειάζεται, για κάθε σώμα που εκτελεί μεταφορική κίνηση γράφουμε τις εξισώσεις της κίνησής του (δηλαδή τις εξισώσεις της ταχύτητας και του διαστήματος συναρτήσει του χρόνου).
0 acm t και
1 s 0 t a cm t 2 2
ε) Για την τροχαλία γράφουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για τη στροφική κίνηση ως προς τον άξονα περιστροφής της:
I στ) Αν χρειάζεται, για την τροχαλία γράφουμε τις εξισώσεις της περιστροφικής κίνησής της (δηλαδή τις εξισώσεις της γωνιακής ταχύτητας και της διαγραφόμενης γωνίας συναρτήσει του χρόνου):
0 t και
1 2
0 t a t 2
ζ) Στα πλαίσια της ύλης των πανελληνίων εξετάσεων ασχολούμαστε μόνο με ασκήσεις στις οποίες το σχοινί που περιβάλλει την τροχαλία δεν ολισθαίνει πάνω σε αυτήν. Επομένως εφαρμόζουμε τη συνθήκη μη ολίσθησης του σχοινιού. Σύμφωνα με τη συνθήκη αυτή: To μέτρο a της γραμμικής επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας στα οποία εφάπτεται το σχοινί, ταυτίζεται με το μέτρο a της επιτάχυνσης των σημείων του σχοινιού, το οποίο είναι τυλιγμένο γύρω από αυτή, δηλαδή:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
31
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com a R Επομένως επειδή η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος που είναι δεμένο άκρο ένα άκρο του σχοινιού ή των σωμάτων που είναι δεμένα στα δύο άκρα του σχοινιού είναι ίση με την επιτάχυνση κάθε σημείου του σχοινιού, θα είναι:
acm a ή a cm R η) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που είναι απαραίτητες και βρίσκουμε τα ζητούμενα άγνωστα μεγέθη.
Παραδείγματα Α: Κύλιση κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο
Οι δύο αυτές γωνίες είναι ίσες γιατί
( )
wx
wy
έχουν τις πλευρές τους κάθετες.
w
Η μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου κατά μήκος του πλαγίου επιπέδου εξασφαλίζεται από τη συνιστώσα w x του βάρους του και από τη στατική τριβή , ενώ η περιστροφική από τη
ροπή τη στατικής τριβής ως προς τον άξονα περιστροφής του που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου.
wx w x w wx Mg w
Ο κύλινδρος επιταχύνεται μεταφορικά. Επομένως, σύμφωνα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα στη διεύθυνση της κίνησης ισχύει:
Fx M a cm wx M a cm Mg M a cm (1)
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
32
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Το επόμενο βήμα είναι να εφαρμόσουμε τoν θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Όπως βλέπουμε από το σχήμα η μόνη δύναμη που δημιουργεί ροπή στον κύλινδρο είναι η τριβή καθώς το βάρος και η κάθετη δύναμη από το επίπεδο έχουν διευθύνσεις που διέρχονται από τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου. Άρα η ροπή που δημιουργεί η τριβή στον κύλινδρο έχει μέτρο:
R. Άρα,
I I R
1 MR 2 (2) 2
Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: a cm R (3) (Όπου a cm η μεταφορική επιτάχυνση (επιτάχυνση κέντρου μάζας) του κυλίνδρου, , η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και R η ακτίνα του.) Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (2) προκύπτει:
R
a 1 1 1 MR 2 cm R MRa cm Ma cm (4) 2 2 2 R
Αντικαθιστούμε τη σχέση (4) στη σχέση (1). Άρα,
Mg
2 g 1 3 3 Ma cm M a cm Mg Ma cm g a cm a cm 3 2 2 2
Με τη βοήθεια της σχέσης (4) μπορεί να υπολογιστεί και η τιμή της στατικής τριβής, Σημείωση 1: Από τη σχέση
I cm R I cm συμπεραίνουμε ότι η στατική
τριβή είναι υπεύθυνη για τη δημιουργία γωνιακής επιτάχυνσης. Η συνιστώσα mg είναι αδύνατο να προκαλέσει γωνιακή επιτάχυνση διότι η διεύθυνσή της διέρχεται από τον άξονα περιστροφής. Επομένως αν δεν υπάρχει τριβή, τότε δεν υπάρχει ροπή ως προς τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να ολισθαίνει χωρίς να κυλίεται υπό την επίδραση της συνιστώσας mg . Δηλαδή υπάρχει μόνο μεταφορική κίνηση
Fx macm mg m cm Σημείωση 2: Όταν υπάρχει τριβή ένας κύλινδρος εκτελεί μεταφορική και περιστροφική κίνηση, δηλ. κυλίεται. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του θα είναι:
Fx macm mg macm a cm g
m
Όταν δεν υπάρχει τριβή ένας κύλινδρος δεν κυλίεται αλλά ολισθαίνει. Άρα η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του θα είναι:
Fx macm mg T macm acm g Άρα η επιτάχυνση του κυλίνδρου όταν κυλίεται είναι μικρότερη από την επιτάχυνση όταν ολισθαίνει.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
33
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Υπολογισμός του χρόνου κίνησης και του μέτρου της τελικής ταχύτητας κατά την κύλιση σε πλάγιο επίπεδο χωρίς ολίσθηση Έχουμε υπολογίσει με την προηγούμενη διαδικασία, την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το χρόνο κίνησης του κυλίνδρου από την εξίσωση:
x
1 acm t 2 t 2
2x acm
(1)
Στην παραπάνω σχέση x είναι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.
x
Υπολογίζουμε την τελική ταχύτητα του κυλίνδρου από την εξίσωση:
cm a cm t
(2)
Αντικαθιστώντας την (1) στη (2) προκύπτει:
cm a cm
2x cm 2a cm x a cm
Σημείωση: Όταν ζητείται απ’ ευθείας το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου στη βάση του πλάγιου επιπέδου, είναι πιο εύκολο μα εφαρμόσουμε τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας του κυλίνδρου.
Η φορά της στατικής τριβής
Κύλιση προς τα κάτω
Κύλιση προς τα πάνω
cm
Όταν ο κύλινδρος κυλίεται προς τα κάτω επιταχύνεται, άρα τα cm και αυξάνονται. Δηλαδή η τριβή τείνει να περιστρέψει τον κύλινδρο. Οπότε έχει την κατεύθυνση του σχήματος.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
cm
Όταν ο κύλινδρος κυλίεται προς τα πάνω επιβραδύνεται, άρα τα cm και μειώνονται. Δηλαδή η τριβή τείνει να περιστρέψει τον κύλινδρο αντίθετα από τη φορά κίνησης. Οπότε έχει την κατεύθυνση του σχήματος.
34
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Προσοχή! Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, η στατική τριβή είναι η δύναμη που τείνει να περιστρέψει τον κύλινδρο. Ένας κύλινδρος κυλίεται χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση όταν 0 s Όταν (max) s ο κύλινδρος κυλίεται αλλά είναι έτοιμος να ολισθήσει
Παραδείγματα Β: Ασκήσεις με τροχαλία - σώματα
Σε τέτοιου είδους ασκήσεις εφαρμόζουμε τους νόμους της μηχανικής χωριστά σε κάθε σώμα.
F
Σώμα μάζας m1 :
R
1
2 w
δράση-
δράση-
2
αντίδραση
1
w2
αντίδραση
Fx m1 a cm w1 1 m1 a cm 1 w1 m1 acm 1 m1 g m1 a cm (1) Σώμα μάζας m 2 :
Fx m2 a cm 2 w2 m2 a cm 2 w2 m2 a cm 2 m2 g m2 a cm (2)
w1
Τα σώματα μάζας m1 και m 2 κινούνται με την ίδια επιτάχυνση διότι κινούνται ως σύστημα. Το επόμενο βήμα είναι η εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για την τροχαλία. Ροπή στην τροχαλία δημιουργούν μόνο οι δυνάμεις 1 και 2 . Το βάρος της τροχαλίας w και η δύναμη στήριξης F δεν δημιουργούν ροπή διότι οι διευθύνσεις τους διέρχονται από τον άξονα περιστροφής. Επίσης όπως παρατηρούμε από το σχήμα ισχύουν οι σχέσεις:
1 1
(3)
και
2 2 (4)
,διότι οι δυνάμεις 1 , 1 και 2 , 2 λειτουργούν σαν δράση – αντίδραση. Η ροπή που δημιουργεί η 1 στην τροχαλία θα είναι 1 1 R Η ροπή που δημιουργεί η 2 στην τροχαλία θα είναι 2 2 R
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
35
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης για την τροχαλία διατυπώνεται ως εξής:
I 1 R 2 R I
Η ροπή που δημιουργεί η ροπή που δημιουργεί η
1
2
(5)
είναι μεγαλύτερη από τη
.Επίσης η
1
τείνει να
περιστρέψει την τροχαλία αντίθετα από την
2
. Για
το λόγο αυτό οι δύο ροπές έχουν αντίθετα πρόσημα.
Με τη βοήθεια των σχέσεων (3) και (4) και αντικαθιστώντας τη σχέση για τη ροπή αδράνειας 1 της τροχαλίας ως προς τον άξονά της, I mR 2 η σχέση (5) γράφεται: 2
1 R 2 R
1 1 1 mR 2 1 2 R mR 2 1 2 mR (6) 2 2 2
Από τα δεδομένα της άσκησης γνωρίζουμε ότι η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο σκοινί είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Επομένως ισχύει η σχέση:
a cm R
a cm (7) R
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) , (2) και (7) στη σχέση (6) προκύπτει:
1 2
a 1 1 mR m1 g m1a cm (m2 g m2 a cm ) mR cm 2 2 R
m1 g m1a cm m2 g m2 a cm
1 1 macm m1 g m2 g macm m1a cm m2 a cm 2 2
m1 g m2 g m1 m2 g 1 m1 g m2 g m m1 m2 a cm a cm a cm 1 1 2 m m1 m2 m m1 m2 2 2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
36
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Παραδείγματα Γ: Το γιο - γιο
R
w
To γιο - γιο αποτελείται από ένα μικρό κύλινδρο, μάζας m και ακτίνας R στο κυρτό μέρος του οποίου έχει τυλιχτεί πολλές φορές ένα σκοινί. Κρατώντας το ελεύθερο άκρο του σκοινιού και αφήνοντας τον κύλινδρο να πέσει, το σκοινί ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από ένα νοητό οριζόντιο άξονα, τον x x . Θεωρούμε, ότι το σχοινί παραμένει κατακόρυφο σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του.
Στον κύλινδρο ασκούνται δύο δυνάμεις. Το βάρος του w και η τάση του νήματος . Η διεύθυνση του βάρους διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου (δηλαδή από τον άξονα περιστροφής του) με αποτέλεσμα να μη δημιουργεί ροπή. Επομένως ροπή στον κύλινδρο δημιουργεί μόνο η τάση του νήματος. Ο κύλινδρος εκτελεί μεταφορική και στροφική κίνηση. Για τη μεταφορική του κίνηση μπορούμε να γράψουμε:
F m a cm w m a cm mg m a cm
(1)
Για το στροφική του κίνηση γράφουμε:
I I R
1 mR 2 2
(2)
Η κίνηση γίνεται χωρίς ολίσθηση. Επομένως, ισχύει η σχέση: a cm R (3) (Όπου a cm η μεταφορική επιτάχυνση (επιτάχυνση κέντρου μάζας) του κυλίνδρου, , η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και R η ακτίνα του κυλίνδρου.) Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (2) προκύπτει:
R
a 1 1 1 mR 2 cm R mRa cm macm (4) 2 2 2 R
Αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στη σχέση (1) υπολογίζουμε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Άρα: 1 1 3 mg m a cm mg macm m a cm mg macm m a cm mg macm 2 2 2 3 2g g a cm 2 g 3a cm a cm 2 3 Από την τιμή της επιτάχυνσης στη σχέση (4) μπορούμε να υπολογίσουμε την τάση του νήματος.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
37
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-7) ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ H ορμή αποδείχτηκε μέγεθος ιδιαίτερα χρήσιμο για την περιγραφή της μεταφορικής κίνησης των στερεών. Το αντίστοιχο της ορμής του στερεού στη στροφική κίνηση το ονομάζουμε στροφορμή. Α) Στροφορμή υλικού σημείου
Έστω ένα υλικό σημείο μάζας m και ορμής p που κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r (βλ. σχήμα).
Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως της ένα άξονα z΄z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδό της το διανυσματικό μέγεθος L που έχει: 1. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα z΄z. 2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. 3. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της ορμής p του υλικού σημείου επί την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς r . Δηλαδή:
L p r mr Μονάδα μέτρησης της στροφορμής του υλικού σημείου στο S.I. είναι το 1kg m 2 / s Αν είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σημείου, τότε η παραπάνω σχέση γίνεται:
L mr m( r )r L mr 2
Σημείωση: Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα που έχει την ίδια κατεύθυνση με
το διάνυσμα της στροφορμής L , συμπεραίνουμε ότι η παραπάνω σχέση ισχύει και διανυσματικά. Δηλαδή: L mr 2 Β) Στροφορμή στερεού σώματος
Έστω το στερεό του σχήματος που περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα z´z με γωνιακή ταχύτητα ω. Κατά την περιστροφή του σώματος τα διάφορα σημεία του διαγράφουν κυκλικές τροχιές τα επίπεδα των οποίων είναι κάθετα στον άξονα περιστροφής.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
38
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Όλα τα σημεία περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, η γραμμική ταχύτητά τους όμως είναι διαφορετική, και μάλιστα ανάλογη με την απόστασή τους από τον άξονα περιστροφής. Χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδη τμήματα, με μάζες m1 , m2 …. , τόσο μικρά ώστε καθένα από αυτά να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Οι στροφορμές των στοιχειωδών αυτών μαζών έχουν όλες την ίδια κατεύθυνση και μέτρα, L1 m11r1 ,
L2 m2 2 r2 ,…. , Lv mv v rv . Η στροφορμή του σώματος είναι το άθροισμα των
στροφορμών των υλικών σημείων που το αποτελούν. Δηλαδή: L L1 L2 ... Lv L m11r1 m2 2 r2 ... mv v rv (1) Όμως
1 r1 , 2 r2 ,…., v rv . (2)
Επομένως, αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) στην (1) προκύπτει: 2 2 2 2 2 2 L m1 r1 m2 r2 ... mv rv L (m1r1 m2 r2 ... mv rv ) L I
,όπου :
2
2
m1r1 m2 r2 ... mv rv
2
η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα z´z.
Η στροφορμή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα διανυσματικό μέγεθος L , το οποίο έχει:
είναι ένα
1. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα 2. φορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού 3. μέτρο ίσο με το γινόμενο της ροπής αδράνειας I του στερεού, ως προς τον άξονα z´z, επί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του στερεού. Δηλαδή:
L I Παρατηρήσεις: Α) Η σχέση L I ισχύει και όταν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο.
Β) Όταν τα διανύσματα L και έχουν τον ίδιο φορέα, τότε η σχέση L I ισχύει και διανυσματικά. Αυτό συμβαίνει όταν ένα σώμα είναι συμμετρικό και στρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας του. Η αλγεβρική τιμή της στροφορμής: Η σύμβαση για την αλγεβρική τιμή της στροφορμής είναι ίδια με τη σύμβαση για τη αλγεβρική τιμή της ροπής δύναμης. Έτσι θεωρούμε θετική τη στροφορμή ενός σώματος, όταν στρέφεται αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού, και αρνητική, όταν στρέφεται κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
39
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Παρατηρήσεις:
A.
z
L1
1
z
L2
2
Όταν η διεύθυνση του άξονα περιστροφής ενός στερεού σώματος παραμένει σταθερή, τότε για τη μεταβολή της στροφορμής ισχύει: L L L Π.χ. στην περίπτωση του διπλανού σχήματος: L ( L2 ) ( L1 ) L ( L1 L2 )
Β. Όταν η διεύθυνση του άξονα περιστροφής ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται, τότε για τη μεταβολή της στροφορμής του σώματος χρησιμοποιούμε τη διανυσματική σχέση: L L L L ( L ) .
Σχεδιάζουμε (με τον κανόνα του δεξιού χεριού) την κατεύθυνση της στροφορμής αρχικά L1
και τελικά L2 , όπως φαίνεται στο σχήμα Β.α. Επειδή η κατεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής μεταβάλλεται, θα έχουμε μεταβολή της στροφορμής. (Η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται όχι μόνο με μεταβολή του μέτρου της αλλά και με μεταβολή της κατεύθυνσής της). L2
. )
1
. )
2
L1
L2
L1
L
L1
Όπως βλέπουμε από το σχήμα Β.β, με τη βοήθεια Πυθαγορείου θεωρήματος για το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού προκύπτει:
L2 L12 L22 L L12 L22 (1) Έστω ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας και η ροπή αδράνειας του τροχού παραμένουν αμετάβλητα.. Άρα θα ισχύει:. L1 L2 I (2) Με τη βοήθεια της σχέσης (2), η σχέση (1) γράφεται:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
40
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com L L12 L22 L I 2 I 2 L 2I 2 L 2 I 2 L 2 I
Επίσης μπορούμε να βρούμε και τη γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση του διανύσματος L L με την οριζόντια διεύθυνση, με τη βοήθεια της σχέσης: 2 1 45 . L1
Το σπιν Τη στροφορμή που σχετίζεται με την περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από άξονά που περνάει από το κέντρο μάζας του συχνά την ονομάζουμε σπιν (ιδιοπεριστροφή), για να τη διακρίνουμε από τη στροφορμή που μπορεί να έχει το σώμα λόγω άλλης κίνησης. Για παράδειγμα, η Γη έχει σπιν εξαιτίας της περιστροφής της γύρω από τον άξονά της και στροφορμή εξαιτίας της κίνησής της γύρω από τον Ήλιο, δηλαδή της τροχιακής της κίνησης. Ονομάζουμε spin τη στροφορμή που σχετίζεται με την περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Γ) Στροφορμή συστήματος Ονομάζουμε στροφορμή ενός συστήματος σωμάτων το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα. Δηλαδή αν οι στροφορμές των σωμάτων που απαρτίζουν ένα σύστημα είναι L1 , L2 ,..., Lv ,
τότε η στροφορμή L του συστήματος είναι:
L L1 L2 ... Lv
Αν οι στροφορμές L1 , L2 ,..., Lv έχουν την ίδια διεύθυνση, τότε η τελευταία σχέση μετατρέπεται σε αλγεβρική.
L L1 L2 ... Lv
Δηλαδή:
Παρατηρήσεις:
z
L1
1
L2
Η στροφορμή ενός συστήματος σωμάτων, ως προς κάποιο άξονα περιστροφής είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα ως προς τον άξονα περιστροφής του το καθένα, L L1 L2 ... Lv . Στην απλή περίπτωση όπου τα σώματα έχουν τον ίδιο ή παράλληλους άξονες περιστροφής, η παραπάνω σχέση μετατρέπεται σε αλγεβρική. Δηλαδή L L1 L2 ... Lv .
2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
41
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Στο παράδειγμα του σχήματος, όπου οι δύο δίσκοι στρέφονται γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα, η τελευταία σχέση γράφεται: L ( L1 ) ( L2 ) L L1 L2 .
Στο διπλανό σχήμα μια τροχαλία μάζας M και ακτίνας R , μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά περιστροφής της είναι I . Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m . Όταν, καθώς κατέρχεται το σώμα, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας έχει μέτρο
R
, η στροφορμή του συστήματος είναι L L L
m
Επειδή οι στροφορμές L και L έχουν τη διεύθυνση του άξονα της τροχαλίας και φορά από εμάς προς τη σελίδα, η παραπάνω σχέση γράφεται: 2 L L L L I mR L I m(R) R L ( I mR )
Σημείωση: Επειδή το σχοινί θεωρούμε ότι δεν ολισθαίνει στην τροχαλία, η γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας σε κάθε χρονική στιγμή είναι ίση με την ταχύτητα των σημείων του σχοινιού. Άρα, R .
ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΤΟΥ
ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ
ΝΟΜΟΥ
ΤΗΣ
Από τη σχέση L I προκύπτει ότι αν σε απειροστά μικρό χρόνο dt η γωνιακή ταχύτητα του στερεού μεταβληθεί κατά d , η στροφορμή του θα μεταβληθεί κατά
dL I d
dL dL d dL I I dt dt dt dt
Επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του. Η σχέση αυτή είναι για τη στροφική κίνηση το ανάλογο του δεύτερου νόμου του
Newton. F
dp dt
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
42
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Σημείωσεις: Α) Η σχέση
dL είναι πιο γενική από τη σχέση I . Η πρώτη ισχύει ακόμα dt
και όταν η ροπή αδράνειας ενός σώματος μεταβάλλεται( όπως στην περίπτωση ενός χορευτή που συμπτύσσει τα άκρα του), ενώ η δεύτερη ισχύει μόνο όταν η ροπή αδράνειας είναι σταθερή ( I .) Β) Για ένα στερεό που έχει συμμετρικό σχήμα και στρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας του, η σχέση
dL ισχύει και διανυσματικά. dt
Ο νόμος της στροφικής κίνησης σε σύστημα σωμάτων O νόμος αυτός ισχύει και σε σύστημα σωμάτων. Σε ένα σύστημα σωμάτων, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ροπών, δηλαδή των ροπών που οφείλονται στις εξωτερικές δυνάμεις καθώς και εκείνων που οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις, είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος. Η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Newton οι εσωτερικές δυνάμεις απαντούν κατά ζεύγη (δράση - αντίδραση). Σε κάθε τέτοιο ζεύγος οι δυνάμεις είναι αντίθετες. Η ροπή κάθε τέτοιου ζεύγους ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι μηδενική και επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των εσωτερικών δυνάμεων να είναι μηδέν. Έτσι η σχέση
dL για σύστημα σωμάτων dt
γράφεται
dL dt
όπου είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων ως προς κάποιον άξονα περιστροφής και L η στροφορμή του συστήματος ως προς τον ίδιο άξονα.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
43
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-8) ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Στην περίπτωση που ισχύει 0 , τότε:
dL 0 dL 0 L . dt
Άρα, αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων που δρουν σε ένα στερεό σώμα (ως προς κάποιον άξονα) είναι μηδέν, η στροφορμή του σώματος(ως προς τον ίδιο άξονα) παραμένει σταθερή. Η παραπάνω σχέση ισχύει τόσο για σώματα που απλά στρέφονται γύρω από άξονα, όσο και για σώματα που κινούνται σε καμπύλη τροχιά. Για παράδειγμα, κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της (ιδιοπεριστροφή), επειδή η ελκτική δύναμη που δέχεται από τον Ήλιο δε δημιουργεί ροπή, αφού ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας της, η στροφορμή της Γης παραμένει σταθερή. Επομένως η χρονική διάρκεια περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή –24 ώρες. Το ίδιο ισχύει για τη Σελήνη και για τους υπόλοιπους πλανήτες.
Σημείωση: Όταν 0 και I . τότε θα ισχύει: L . I . . Δηλαδή τα σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. Η διατήρηση της στροφορμής σε σύστημα σωμάτων Ο δεύτερος νόμος του Νewton για τη στροφική κίνηση στην περίπτωση συστήματος σωμάτων έχει τη μορφή
dL dt
Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι αν είναι : 0
L .
dL 0 dL 0 dt
Αρχή διατήρησης Στροφορμής: Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Η διατήρηση της στροφορμής και η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας. Αν σε ένα σύστημα σωμάτων δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές, η στροφορμή του συστήματος διατηρείται. Αυτό δε σημαίνει ότι θα διατηρείται και η μηχανική ενέργεια του συστήματος. Αυτό συμβαίνει γιατί οι εσωτερικές δυνάμεις μπορεί να έχουν συνισταμένη μηδέν (αυτές ή οι ροπές τους), είναι όμως δυνατό να παράγουν συνολικά έργο. Για παράδειγμα μπορεί μεταξύ δύο σωμάτων του συστήματος να αναπτύσσεται τριβή(εσωτερική δύναμη) και ένα μέρος της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να μετατρέπεται εξαιτίας της σε θερμική ενέργεια, οπότε η μηχανική ενέργεια του συστήματος δε διατηρείται.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
44
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Μεταβολή της ροπής αδράνειας και διατήρηση της στροφορμής Θεωρούμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα περιστρεφόμενο σώμα είναι μηδέν. Αν, λόγω ανακατανομής της μάζας (εξαιτίας εσωτερικών δυνάμεων),μεταβληθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, μεταβάλλεται και η γωνιακή ταχύτητά του αλλά η στροφορμή του διατηρείται σταθερή. Δηλαδή L L I11 I 2 2 Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι όταν μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας του σώματος από I 1 σε I 2 , τότε μεταβάλλεται το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας από 1 σε 2 . Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να έχουμε γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος ακόμη και αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν. Σημείωση : Η σχέση I11 I 2 2 ισχύει όταν: Α) Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα είναι μηδέν. Β) Το σώμα στρέφεται γύρω από έναν νοητό ακλόνητο άξονα ή γύρω από έναν νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Παραδείγματα διατήρησης στροφορμής Α) Μια αθλήτρια καλλιτεχνικού πατινάζ που στριφογυρίζει στο παγοδρόμιο, μπορεί συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της, να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της. Εάν η τριβή των παγοπέδιλων με τον πάγο θεωρηθεί αμελητέα, οι εξωτερικές δυνάμεις όπως το βάρος και η δύναμη που δέχεται από το έδαφος - δε δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της, επομένως η στροφορμή της διατηρείται, δηλαδή το γινόμενο I παραμένει σταθερό. Συμπτύσσοντας τα χέρια και τα πόδια της η ροπή αδράνειας μειώνεται, οπότε, αφού το γινόμενο I μένει σταθερό, αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της. Β) Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. Κατά την κίνηση του ακροβάτη στον αέρα, μοναδική εξωτερική δύναμη είναι το βάρος του, το οποίο, επειδή διέρχεται από το κέντρο μάζας, δε δημιουργεί ροπή και η στροφορμή του διατηρείται. Με τη σύμπτυξη των άκρων μειώνεται η ροπή αδράνειας, επομένως αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Γ) Τα αστέρια τα οποία στο τελευταίο στάδιο της ζωής τους έχουν μάζα από 1,4 έως 2,5 φορές τη μάζα του Ήλιου, μετατρέπονται σε αστέρες νετρονίων ή pulsars. Τα αστέρια αυτά, όταν εξαντλήσουν τις πηγές ενέργειας που διαθέτουν, συρρικνώνονται λόγω της βαρύτητας μέχρις ότου η πυρήνες των ατόμων τους αρχίσουν να εφάπτονται, με αποτέλεσμα η ακτίνα ενός τέτοιου αστεριού να είναι μόνο 15-20 km. Επειδή η συρρίκνωση οφείλεται σε εσωτερικές δυνάμεις η στροφορμή διατηρείται σταθερή και επειδή η ροπή αδράνειας του αστεριού μειώνεται δραματικά έχουμε μια αντίστοιχη αύξηση της ταχύτητας περιστροφής. Υπολογίζεται ότι ένας αστέρας νετρονίων περιστρέφεται με συχνότητα 3000 στροφές το δευτερόλεπτο. Για σύγκριση, να αναφέρουμε ότι η περίοδος περιστροφής του Ήλιου είναι 25 μέρες.
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
45
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-9) ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ
Το σώμα του σχήματος, που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από τον άξονα z´z, έχει κινητική ενέργεια. Προκειμένου να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του σώματος, το χωρίζουμε σε στοιχειώδεις μάζες m1 , m2 ...mv Οι μάζες αυτές έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις:
1 r1 , 2 r2 ,…., v rv
(1)
Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών από τις οποίες αποτελείται,
K K1 K 2 ..... K v K 1 m112 1 m2 22 ....... 1 mv v2 2
2
2
(2)
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) στη σχέση (2) προκύπτει:
K
1 1 1 1 m1 2 r12 m2 2 r22 ..... mv 2 rv2 K (m1r12 m2 r22 ... mv rv2 ) 2 2 2 2 2
m1r12 m2 r22 ... mv rv2 I , όπου I η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα z z .Επομένως Όμως
K
1 2 I 2
Η παραπάνω σχέση δίνει την κινητική ενέργεια στερεού σώματος λόγω περιστροφικής κίνησης. Κινητική ενέργεια σώματος που εκτελεί σύνθετη κίνηση Αν το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, όπως ο τροχός του σχήματος η κινητική του ενέργεια είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής και λόγω στροφικής κίνησης:
K
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
1 1 2 M cm I 2 2 2
46
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com ,όπου M η μάζα του σώματος, I η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, cm το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του. Η κινητική ενέργεια στην κύλιση χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση Όταν πρόκειται για συμμετρικό σώμα (π.χ. κύλινδρο, σφαίρα, δίσκο, δακτύλιο κ.α) που κυλίεται, χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση, τότε ισχύει η γνωστή σχέση cm R . Έτσι στην περίπτωση μιας σφαίρας, μάζας M και ακτίνας R , που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, η κινητική ενέργεια της σφαίρας μπορεί να πάρει τις εξής εκφράσεις: (Η ροπή αδράνειας συμπαγούς ομογενούς σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το 2 κέντρο μάζας της σφαίρας είναι I cm MR 2 ) 5 Α) Έκφραση με στοιχεία μεταφορικής κίνησης:
K
2 1 12 1 1 1 1 2 2 2 2 MR 2 cm2 K M cm M cm I cm 2 K M cm M cm 2 25 2 2 2 5 R
K
7 2 M cm 10
Σημείωση: Η παραπάνω έκφραση είναι χρήσιμη για τη σύγκριση της μεταφορικής κινητικής 7 1 2 2 ενέργειας ( K M cm ) με την ολική κινητική ενέργεια. ( K M cm ) της σφαίρας. 2 10 Β) Έκφραση με στοιχεία στροφικής κίνησης:
K
1 1 1 1 152 1 2 M cm I cm 2 K M (R) 2 I cm 2 K MR 2 2 I cm 2 2 2 2 2 225 2
K
7 15 5 1 1 I cm 2 I cm 2 K I cm 2 I cm 2 K I cm 2 4 22 4 2 2
Σημείωση: Η παραπάνω έκφραση είναι χρήσιμη για τη σύγκριση της στροφικής κινητικής 7 1 ενέργειας ( K I cm 2 ) με την ολική κινητική ενέργεια ( K I cm 2 ) της σφαίρας. 4 2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
47
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 4-10) ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Μια δύναμη που περιστρέφει ένα σώμα παράγει έργο, το οποίο μπορούμε να εκφράσουμε σε συνάρτηση με τη ροπή της ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος. Στοιχειώδες έργο
Έστω ότι η δύναμη F ασκείται στην περιφέρεια ενός τροχού ακτίνας R , κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης όπως στο διπλανό σχήμα. Κατά την απειροστά μικρή στροφή του τροχού κατά γωνία d η δύναμη παράγει έργο
dW F ds (1) (θεωρούμε το απειροστά μικρό τόξο ds ευθύγραμμο) Αν η γωνία μετριέται σε ακτίνια, τότε ds Rd
(2)
Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1) και προκύπτει:
dW F ds dW FRd
Όμως το γινόμενο FR είναι το μέτρο της ροπής της δύναμης F , ως προς τον άξονα περιστροφής του τροχού.
dW d
Άρα, Έργο σταθερής ροπής
Όταν μια δύναμη περιστρέφει ένα σώμα κατά γωνία , τότε για να υπολογίσουμε το έργο W της δύναμης, χωρίζουμε τη γωνία σε απειροστά μικρές γωνίες d1 , d 2, ....., d και προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχειώδη έργα dW1 , dW2 ,......, dWv . Δηλαδή:
W dW1 dW2 ... dWv W 1d1 2 d 2 .... d Αν η ροπή της δύναμης έχει σταθερό μέτρο ίσο με , όπως συμβαίνει με τον παραπάνω τροχό, τότε:
W (d1 d 2 .... d ) W
( το σε rad )
Το έργο W μιας ροπής μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Θετικό όταν η ροπή έχει την ίδια φορά με τη φορά περιστροφής του σώματος (η ροπή τείνει να επιταχύνει το σώμα) και αρνητικό, όταν η ροπή έχει αντίθετη φορά από τη φορά περιστροφής του σώματος ( η ροπή τείνει να επιβραδύνει το σώμα).
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
48
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Η γωνία (σε rad) μπορεί να υπολογιστεί: Α) Από τη σχέση 2 N , όπου N ο αριθμός των περιστροφών του σώματος. 1 Β) Από τη σχέση t 2 αν το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, 2 μέτρου επί χρόνο t . Γ) Σε κάθε περίπτωση (ακόμα και αν η ροπή που ασκείται δεν είναι σταθερή) από το διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας ( ) – χρόνου ( t ). Στο διάγραμμα αυτό η γωνία είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της σχέσης f (t ) και του χρόνου. Δηλαδή,
Το σκιασμένο εμβαδό ισούται
αριθμητικά με τη γωνία θ.
t
Προσοχή! H σχέση W οδηγεί στον υπολογισμό του έργου W μόνο στην περίπτωση που το μέτρο της ροπής που δρα στο σώμα είναι σταθερό. Σε διαφορετική περίπτωση (δηλαδή στην περίπτωση όπου το μέτρο της ροπής δεν παραμένει σταθερό) το έργο υπολογίζεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση και τον οριζόντιο άξονα των στη γραφική παράσταση .
Το σκιασμένο εμβαδό ισούται
W
αριθμητικά με το έργο της ροπής.
Ισχύς δύναμης στη στροφική κίνηση Αν στο απειροστά μικρό διάστημα dt , από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t dt , το σώμα στρέφεται κατά απειροστά μικρή γωνία d τότε η δύναμη F παράγει έργο dW d dW d dW και ισχύει: dt dt
dW d είναι η ισχύς P της δύναμης και το πηλίκο είναι η dt dt γωνιακή ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t . Επομένως έχουμε Ο ρυθμός παραγωγής έργου
P
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
49
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Στο S.I. όπου η μονάδα της ροπής είναι το 1 Nm και η μονάδα της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1 rad / s , η μονάδα ισχύος είναι το 1 W (Watt ) . Σημείωσεις: Α) Στη σχέση P , η ροπή και η γωνιακή ταχύτητα αναφέρονται στον ίδιο άξονα περιστροφής. Β) Αν τα μέτρα της ροπής και της γωνιακής ταχύτητας είναι σταθερά, τότε και η ισχύς είναι σταθερή. Γ) Αν ένα τουλάχιστον από τα μέτρα της ροπής και της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο, τότε η ισχύς P είναι η στιγμιαία ισχύς. Θεώρημα έργου –ενέργειας στη στροφική κίνηση Αποδεικνύεται ότι η ροπή μιας δύναμης μεταβάλλει την κινητική ενέργεια περιστροφής του σώματος στο οποίο ασκείται κατά ποσότητα ίση με το έργο της. Έτσι στην περίπτωση ενός στερεού σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, το γνωστό μας από τη μεταφορική κίνηση θεώρημα έργου ενέργειας παίρνει τη μαθηματική μορφή:
1 2
1 2
W K 2 K1 W I 22 I12 Το θεώρημα έργου ενέργειας διατυπώνεται ως εξής: Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών που ασκούνται σ’ ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της περιστροφής του σώματος. Όταν στο σώμα ασκείται μόνο η ροπή μιας δύναμης, το θεώρημα έργου-ενέργειας παίρνει τη μορφή: 1 1 W I 22 I12 2 2 Προσοχή! Η τελευταία σχέση είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό του έργου W μιας ροπής, όταν το μέτρο της ροπής δεν είναι σταθερό, αφού τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση W .
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
50
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Το έργο της στατικής τριβής κατά την κύλιση ενός στερεού κατά μήκος πλαγίου επιπέδου
wy
( )
wx
w
Θεωρούμε έναν ομογενή κύλινδρο, μάζας m και ακτίνας R , ο οποίος κυλίεται χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση κατά μήκος πλαγίου επιπέδου γωνίας , όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο ρόλος της στατικής τριβής Μεταξύ του κυλίνδρου και του επιπέδου αναπτύσσεται μόνο στατική τριβή, η οποία εμποδίζει την ολίσθηση και επιτρέπει την κύλιση του κυλίνδρου. Η στατική τριβή επηρεάζει τόσο τη μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, όσο και τη στροφική κίνηση του κυλίνδρου, γύρω από το κέντρο μάζας του. Πράγματι:
α) Η στατική τριβή συμμετέχει στη συνισταμένη δύναμη Fx wx , η οποία είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και την αύξηση της μεταφορικής κινητικής του ενέργειας καθώς κινείται προς τα κάτω. β) Η ροπή της στατικής τριβής , ως προς τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου είναι R είναι υπεύθυνη για τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και την αύξηση της στροφικής κινητικής του ενέργειας καθώς κινείται προς τα κάτω. Προσοχή! Η στατική τριβή δε μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της, αφού κάθε στιγμή ασκείται σε διαφορετικό σημείο του κυλίνδρου. Επομένως η στατική τριβή δεν παράγει έργο. Μπορούμε λοιπόν να εφαρμόσουμε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στο πρόβλημα της κύλισης ενός στερεού κατά μήκος πλαγίου επιπέδου αφού η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος του κυλίνδρου που είναι συντηρητική δύναμη. Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας Το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ενός σώματος (ή ενός συστήματος σωμάτων) εφαρμόζεται όταν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και παράγουν έργο είναι συντηρητικές, όπως π.χ. το βάρος που προαναφέραμε. Στη γενική περίπτωση όπου ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, η μηχανική ενέργεια σε μια τυχαία θέση του σώματος δίνεται από τη σχέση:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
51
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com E U K K Το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας εφαρμόζεται, όταν το κέντρο μάζας ενός στερεού μετατοπίζεται κατακόρυφα, ώστε να μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια βαρύτητας U . Πριν από την εφαρμογή του θεωρήματος πρέπει να επιλέξουμε ένα οριζόντιο επίπεδο ως επίπεδο αναφοράς ( U 0 ). Συνήθως επιλέγουμε ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που διέρχεται από την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας του σώματος. Όταν το θεώρημα εφαρμόζεται για δύο θέσεις (1) και (2) ενός σώματος, τότε γράφεται:
E (1) E ( 2) U (1) K (1) K (1) U ( 2) K ( 2) K ( 2) Παράδειγμα Α: Υπολογισμός γωνιακής ταχύτητας ράβδου που περιστρέφεται περί ακλόνητο άξονα με αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Στη συγκεκριμένη άσκηση θα εφαρμόσουμε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Πριν από την εφαρμογή του θεωρήματος πρέπει να επιλέξουμε ένα οριζόντιο επίπεδο ως επίπεδο αναφοράς ( U 0 ). Συνήθως επιλέγουμε ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που διέρχεται από την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας του σώματος. Όταν το θεώρημα εφαρμόζεται για δύο θέσεις (1) και (2) ενός σώματος, τότε γράφεται: 0
0
0
0
E (1) E ( 2) U (1) K (1) K (1) U ( 2) K ( 2) K ( 2)
U (1) K ( 2 ) (1)
Θέση 1
L 2
L 2
h
L 2 Θέση 2
Για τον προσδιορισμό της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ενός στερεού σώματος, ως προς κάποιο επίπεδο αναφοράς, θεωρούμε τη μάζα του σώματος συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του. Έτσι η βαρυτική δυναμική ενέργεια της ράβδου, μήκους L και μάζας M του σχήματος είναι: L U (1) mgh U (1) mg (2) 2
Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας
1 2 (3). 2 1 Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο μέσον της είναι mL2 , 12 Η στροφική κινητική ενέργεια της ράβδου στη θέση 2 είναι: ( 2 )
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
52
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Για να βρούμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Steiner. 2
cm
mL2 mL2 mL2 3mL2 1 L2 L m mL2 m 12 4 12 12 12 4 2 4mL2 mL2 (4) 12 3
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) και (4) στη σχέση (1) προκύπτει:
mg
L 1 2 3g mL2 2 3g 3g L 2 2 mgL 3 2 2 L L
Παράδειγμα Β: Το γιο-γιο Υπολογισμός της ταχύτητας του κέντρου μάζας με αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.
Θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β. Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το επίπεδο στη θέση Β. Ο κύλινδρος αφήνεται, οπότε στην αρχική θέση Α έχει μηδενική ταχύτητα και μηδενική κινητική ενέργεια. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς 1 τον άξονά του είναι I mR 2 . 2
Θέση Α
h
Θέση Β
Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) U ( ) ( ) U U ( ) ( ) mgh
1 1 2 m cm I 2 (1) 2 2
Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: cm R
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
cm R
(2)
53
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1): 2
2
2 1 2 1 2 cm 1 2 1 2 cm 1 11 2 2 cm mgh m cm mR gh cm R gh cm R 2 4 2 2 4 R 22 R2 R
1 2 1 2 3 2 4 gh 2 2 1 2 2 2 cm gh cm cm gh cm cm gh cm 4 gh 3 cm 4 2 4 3 4 4
cm
4gh 3
Παράδειγμα Γ: Κύλιση τροχού προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο Υπολογισμός ανύψωσης του κέντρου μάζας του τροχού Στο σημείο αυτό η σφαίρα σταματάει με
Αρχικά η σφαίρα έχει και μεταφορική και στροφική
αποτέλεσμα να έχει μόνο βαρυτική δυναμική
κινητική ενέργεια. Δυναμική ενέργεια δεν έχει διότι
ενέργεια η οποία ισούται με
U mgh
θεωρούμε το οριζόντιο επίπεδο (το οποίο είναι το χαμηλότερο σημείο του προβλήματος σαν επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. Η κινητική της ενέργεια αρχικά είναι λοιπόν
1 2 1 2 I m cm 2 2
h
Επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
U 0
Όπως βλέπουμε από το σχήμα το κέντρο μάζας της σφαίρας ανυψώνεται κατά h . Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχουμε: 0
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) U ( ) ( ) U 1 1 2 ( ) ( ) U m cm I 2 mgh (1) 2 2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
54
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: cm R
cm R
(2)
Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1): 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1 12 2 R 2 cm2 gh cm cm gh m cm mR 2 cm mgh cm 2 10 2 5 R 2 25 R 7 2 5 2 2 2 7 2 cm cm gh h cm gh cm 10 10 10 10 g
Παράδειγμα Δ: Οριακή περίπτωση ανακύκλωσης σώματος στο εσωτερικό σφαιρικής ή κυλινδρικής οδηγού επιφάνειας. Υπολογισμός ύψους h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να εκτελέσει ανακύκλωση σε οδηγό.
Μια μικρή σφαίρα μάζας m και ακτίνας R (r R) , αφήνεται από το σημείο Α πάνω σε οδηγό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε την ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στο σημείο Β της τροχιάς της, ώστε να εκτελέσει ανακύκλωση. Για το σκοπό αυτό εργαζόμαστε ως εξής:
w
h
2R R
Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας
Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα στο σημείο Β του οδηγού, (Εάν οι δυνάμεις αυτές είναι το βάρος της w και η κάθετη αντίδραση από τον οδηγό. Υπολογίζουμε το μέτρο της κάθετης αντίδρασης στο σημείο Β, γράφοντας το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κεντρομόλο δύναμη. Εδώ έχουμε:
F m
2 R
mg m
2 R
2
m(
R
g ) (1)
Εφαρμόζουμε τη συνθήκη, ώστε μεταξύ σφαίρας και οδηγού να υπάρχει επαφή. Η συνθήκη αυτή είναι: 0 (2)
Εφαρμόζοντας τη συνθήκη (2) στη σχέση (1) προκύπτει:
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
55
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com 2
0 m(
R
g ) 0 gR
Στην οριακή περίπτωση που η σφαίρα είναι έτοιμη να χάσει την επαφή της με τον οδηγό, η τελευταία σχέση δίνει την ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Β, ώστε να κάνει ανακύκλωση. Πράγματι έχουμε:
gR min gR (3) Για να βρούμε το μικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να κάνει ανακύκλωση θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β θέτοντας την τιμή της ταχύτητας min gR στη θέση Β γιατί αποτελεί την ελάχιστη ταχύτητα για να εκτελέσει η σφαίρα ανακύκλωση. Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το έδαφος. Η σφαίρα αφήνεται, οπότε στην αρχική θέση Α έχει μηδενική ταχύτητα και μηδενική κινητική ενέργεια. 0
0
( ) ( 0) ( ) ( ) U ( ) ( ) U U ( ) ( ) U mgh
1 1 2 2 m min Imin mg 2 R (4) 2 2
Η σφαίρα δεν ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: min min r min
min r
(5)
Αντικαθιστούμε τη σχέση (5) στη σχέση (4): 2
mgh
2 1 1 2 min 1 1 2 2 min 2 2 mgh m mr mg 2 R m min mr mg 2 R min 2 5 r2 2 25 r
mgh
1 1 1 2 1 2 2 2 m min m min mg 2 R mgh min min g 2 R m 2 5 5 2
1 2 5 2 7 2 1 2 2 2 gh min min min 2 gR (6) g 2 R gh min g 2 R gh min 10 2 10 10 5 Αντικαθιστούμε τη σχέση (3) στη σχέση (6):
gh h
7 2 7 min 2 gR gh 10 10
gR
2
2 gR gh
7 gR 20 gR 27gR gh 10 10 10
27R 10
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
56
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Γενίκευση λύσης για κάθε r: Η παραπάνω λύση προέκυψε με την προσέγγιση r R . Αν η ακτίνα της σφαίρας r είναι μη αμελητέα τότε το κέντρο μάζας της σφαίρας εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας R r . Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:
h
w
F m
Rr
2R r
2 Rr
mg m
m(
2
2 Rr
g)
Rr
(1)
R
Σχήμα 4.73 Επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας
Εφαρμόζουμε τη συνθήκη, ώστε μεταξύ σφαίρας και οδηγού να υπάρχει επαφή. Η συνθήκη αυτή είναι: 0 (2)
Εφαρμόζοντας τη συνθήκη (2) στη σχέση (1) προκύπτει: 0 m(
2 Rr
g ) 0 g R r
Στην οριακή περίπτωση που η σφαίρα είναι έτοιμη να χάσει την επαφή της με τον οδηγό, η τελευταία σχέση δίνει την ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Β, ώστε να κάνει ανακύκλωση. Πράγματι έχουμε:
g R r min g R r (3) Για να βρούμε το μικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να κάνει ανακύκλωση θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β θέτοντας την τιμή της ταχύτητας min g R r στη θέση Β γιατί αποτελεί την ελάχιστη ταχύτητα για να εκτελέσει η σφαίρα ανακύκλωση. Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το έδαφος. Η σφαίρα αφήνεται, οπότε στην αρχική θέση Α έχει μηδενική ταχύτητα και μηδενική κινητική ενέργεια. 0
0
( ) ( 0) ( ) ( ) U ( ) ( ) U U ( ) ( ) U mgh
1 1 2 2 m min Imin mg 2 R r (4) 2 2
Η σφαίρα δεν ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: min min r min
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
min r
(5)
57
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Αντικαθιστούμε τη σχέση (5) στη σχέση (4): 2
1 1 2 2 min 2 mgh m min mr mg 2 R r 2 25 r
2 1 1 1 1 2 2 2 m min mr 2 min mg 2 R r mgh m min m min mg 2 R r 2 2 5 2 5 r 1 2 1 2 1 2 1 2 min g 2 R r mgh m min min g 2 R r gh min 2 5 5 2 mgh
1 2 5 2 1 2 2 2 gh min min min g 2 R r gh min g 2 R r 10 2 10 5 gh
7 2 min g 2 R r (6) 10
Αντικαθιστούμε τη σχέση (3) στη σχέση (6):
gh
7 2 7 min g 2 R r gh 10 10
gh
7 gR 7 gr 20 gR 10 gr 7 g R r 10 g (2 R r ) gh 10 10 10 10
gh
27 gR 17 gr 27 R 17r g 27 R 17r gh h 10 10 10
g R r g 2 R r
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
2
58
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com Συγκριτικός πίνακας μεγεθών στη μεταφορική και στη στροφική κίνηση Μεταφορική κίνηση
Στροφική κίνηση
Μετατόπιση: x
Γωνία στροφής: (σε rad)
dx Ταχύτητα: dt d Επιτάχυνση: a dt Δύναμη: F Μάζα: m
Γωνιακή ταχύτητα:
Γωνιακή επιτάχυνση:
d dt d dt
Θεμελιώδης νόμος μεταφορικής κίνησης:
Ροπή δύναμης: Ροπή αδράνειας: I Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης:
Γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου
Στροφορμή: L I Γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου
F ma Ορμή: p m
dp της μεταφορικής κίνησης: F dt
Ia
της στροφικής κίνησης:
dL dt
Διατήρηση ορμής συστήματος σωμάτων: Αν F 0 , p .
Διατήρηση στροφορμής συστήματος σωμάτων: Αν 0 , L .
Έργο σταθερής δύναμης: W Fx Ισχύς δύναμης: P F Μεταφορική κινητική ενέργεια στερεού 1 2 σώματος: K m cm 2 Θεώρημα έργου ενέργειας στη μεταφορική 1 1 κίνηση: W m 22 m12 2 2
Έργο σταθερής ροπής: W Ισχύς ροπής: P Στροφική κινητική ενέργεια στερεού σώματος: 1 K I 2 2 Θεώρημα έργου ενέργειας στη στροφική 1 1 κίνηση: W I 22 I12 2 2
Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com
59