TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 401 5.8 ZAP ZAPA ATA DE BORD BORDEE
La zapata de borde aparece cuando se han de cimentar pilares situados en medianeras o en fachadas que coinciden con el límite de parcela. Estas zapatas se caracterizan por el descentramiento entre la carga del pilar y la carga transmitida por la zapata al terreno, que provoca la aparición de momentos flectores que hay que contrarrestar contrarrestar.. Las soluciones que se pueden adoptar dependen de la ubicación de las zapatas, del número de éstas y de la forma de contrarrestar los momentos flectores que se producen. Para centrar las cargas y contrarrestar los momentos flectores se puede adoptar una de las siguientes soluciones: 1. Colabora Colaboración ción de forjado, losa, viga o pilar 2. Aumento de peso peso de la zapata zapata 3. Sistem Sistemaa de palanca palanca 4. Con zapata zapata combinada combinada 5. Con viga centrado centradora ra En el caso de zapatas de ángulo se pueden utilizar estos sistemas o combinaciones entre ellos.
3. Las tensiones se calculan mediante las siguientes fórmulas: ⎡ 6 ( e − er ) ⎤ σ c = N ⎢1+ ⎥ A × B ⎣⎢ A ⎥⎦ ⎡ 6 ( e − er ) ⎤ σb = N ⎢1 − ⎥ A × B ⎢⎣ A ⎥⎦ 12 ( e − er ) σc − σb = A2 × B 12 ( e − er ) Δc − Δb = K s × A2 × B e – er : Exc xceent ntririci cida dadd de del esf esfue uerz rzoo nor norma mall N H Articulación
a N
h
e
5.8.1 Zapata Zapata de borde con la colabor colaboración ación de otros elementos 5.8.1.1 5.8.1. 1 Soluc Solución ión 1. Colab Colaboració oraciónn del pilar
Se realiza mediante la aplicación del coeficiente de balasto, de acuerdo con las siguientes hipótesis según la figura 5.123: 1. Se admite la distribución plana de tensiones de modo que se verifica que: Ks: Coe Coefici ficient entee de bala balasto sto N: Car Carga ga excén excéntrtric icaa 2. Las expresiones de los asientos son: Δc = σc [5.174] Ks σ Δb = b [5.175] Ks
er
c
h1
b H
σc
er
N
σb
e B c1 xG A
Figura 5.123
Zapata de borde con colaboración de forjado, losa o viga
402 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS El giro de la zapata adquiere el valor: Δ − Δ b 12 × N × ( e − er ) αz = c = A K s × A3 × B [5.176] El giro del soporte vale: M × h = N × er × h 3EI 3EI I: Momento de inercia del pilar
αs =
[5.177]
Dado que ambos giros son tienen el mismo valor, se igualan las dos expresiones: 12 × N × ( e − er ) N × er × h = 3EI K s × A3 × B ⎡ ⎤ 12 12 er ⎢ h + = ×e ⎥ ⎢⎣ 3EI K s × A3 × B ⎥⎦ K s × A3 × B e er = 3 B K A × × s 1+ 36EI El valor Ks x A 3 x B/36EI es muy pequeño por lo que aproximadamente los valores de e r y e se pueden considerar iguales: (er = e)
N× e = H× h H = N× e h La fuerza H que se aplica en la superficie de contacto zapata-terreno (figura 5.124) debe ser contrarrestada por rozamiento, por lo que será necesario la verificación del no deslizamiento de la misma (comprobación a deslizamiento).
La viga o forjado se dimensionan con la combinación de la flexión propia más la tracción H. El soporte en su sección AB, junto al arranque de la zapata, se debe dimensionar para soportar los esfuerzos generados por la estructura más un momento de valor característico: M AB = H × ( h – h z ) Siendo hz la altura total de la zapata. H
Por tanto, el momento del soporte vale aproximadamente: M = N x e. De donde se deduce que: H×h=N×e Es decir, se cumple la igualdad de los momentos actuantes en el conjunto producidos por la excentricidad de la carga y la fuerza horizontal H. H= N×e h
N α
h
B
A
hz
H
5.8.1.2 5.8.1 .2 Solución Solución 2. 2. Colaborac Colaboración ión de forjad forjado, o, losa o viga
En esta solución se admite a priori que: er = 0 En este caso debe verificarse por las leyes de la estática la igualdad de los momentos, es decir:
e A
Figura 5.124
Zapata de borde con colaboración de forjado, losa o viga
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 403 5.8.2 5.8 .2 Zapat Zapata a de bor borde de con con au aumento del peso de la zapata. Macizo de ci miento
El aumento del peso de la zapata puede hacerse mediante dos procedimientos: a) Aumentando su tamaño con objeto de mantener la resultante en el tercio central de la planta de la misma. En este caso no se tiene en cuenta el empuje pasivo del terreno. b) Disponiendo un dado de hormigón en masa bajo la zapata. c) Es lógico lógico suprimir suprimir la zapata convirtiéndose convirtiéndose el cimiento en un pozo o macizo. En algún caso puede resultar interesante plantear una zapata de hormigón en masa. 5.8.2. 5.8 .2.1 1 Soluci Solución ón 1. Aumento del tamaño de la zapata
(N en kN) (A y B en m) ( qadm en kN/m2) 24 kN/m3: Peso específic específicoo del hormigón en masa El valor de la presión admisible es: qadm = 2N A×B A
B a
Esta solución es a todas luces ilógica desde los puntos de vista técnico, económico y constructivo. Admitiendo como distribución de tensiones: σmax = 1,25 q adm σmin = 0
a
N
Siendo: N = Car Carga ga trans transmit mitida ida por por el sopo soporte rte Ph = Pe Peso so del del cimien cimiento to de horm hormigó igón. n. Tomando momentos sobre el punto de aplicación de la resultante de la zapata: P h ⎛ ⎜ A - A ⎞ ⎟ = N⎛ ⎜ A - a ⎞ ⎟ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠ 6⎛ ⎜ A - a ⎞ ⎟ ⎝ 3 2 ⎠ Ph = N = N 2A - 3a = A A = N⎛ ⎜ 2 - 3 a ⎞ ⎟ ⎝ A ⎠ El peso del macizo de la zapata zapat a es: P h = A × B × h × 24 kN m3 Igualando y despejando, se tiene: ⎛ ⎞ N ⎜ 2 - 3 a ⎟ A ⎠ ⎝ h= [5.178] 24 × A × B
[5.179]
h
Ph
A
σmin=0
Figura 5.125
N1
σmax=1,25 qadm A/3
2A/3
Zapata de borde con macizo de cimiento
404 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Operando resulta: 2( N + 24 × A × B × h) A×B 2N qadm = + 48h A×B De donde se verifica que: 2N A× B= [5.180] qadm − 48h Y por lo tanto deben cumplir las tres condiciones siguientes [5.179] y [5.180]. 1. A × B > 2N qadm qadm =
2.
B=
2N A( qadm − 48h )
Si en la expresión [5.178], se introduce el valor de [5.180] y se opera, se obtiene la tercera condición: 2 -3a A × qadm 3. h = [5.181] ⎛ a ⎞ 144 ⎜1− ⎟ ⎝ A ⎠ Ejemplo:
N = 1.000 kN qadm = 200 kN/m2 a = 0,40 m ; A > B A × B > 2N = 2000 = 10 m2 qadm 200 1ª Hipótesis: A = 4,50 m
Aplicando [5.181] 2 − 3 as A ×q = h= ⎛ as ⎞ adm 144 ⎜1− ⎟ ⎝ A ⎠ 2 − 3 0,4 4,5 × 200 = 2,64 m = 144 ⎛ ⎜1− 0,4 ⎞ ⎟ ⎝ 4,5 ⎠
2N = A( qadm − 48h ) 2000 = = 6,06 m 4,5(200 − 48 × 2,64 )
B=
2ª Hipótesis: A=6,00 m
Los resultados que se obtienen con el mismo procedimiento de cálculo son: h=2,68 m; B=4,67 m En ambas hipótesis se verifica que: 1. El costo por tonelada soportada es altísimo. 2. Constructivamente resulta ilógico. 3. Excepcionalmente se puede utilizar en el caso de naves industriales con valores pequeños de N. 4. La qcal del terreno quedaría disminuida en la diferencia de peso entre hormigón y tierras, en este caso Δq = 6 x 7 = 42 kN. Se puede concluir que la de aumentar el tamaño de la zapata es una solución ilógica y poco conveniente. Si en el ejemplo se reduce la normal sobre la zapata de 1000 kN a 200 kN, sin alterar el resto de valores, se tiene: A × B < 200 = 1 m2 200 Suponiendo A=2,00 m y aplicando [5.181]: 2 − 3 0,4 2 h= × 200 = 2,43 m 0,4 ⎛ ⎞ 144 ⎜1− ⎝ 2 ⎟ ⎠ 2N = A ( qadm − 48h ) 2000 = = 1,20 m 2(200 − 48 × 2,43 )
B=
A = 2,00 m B =1,20 m h = 2,43 m Estos resultados proporcionan una solución válida desde los puntos de vista económico y constructivo, cuando las cargas sobre el soporte son pequeñas.
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 405 5.8.2.2 Solución 2. Dado de hormigón debajo de la zapata
Tomando como modelo la figura 5.126, el procedimiento de cálculo es el siguiente: El hormigón del macizo es del tipo: f c < f cd = f ck (EH-91) 1,2 γ c Las premisas de cálculo son similares a las del caso anterior: N1 = N + P z + P h Tomando momentos con respecto al punto de aplicación de la resultante y operando: ⎛ A ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ P h ⎜ A - A ⎟ + P z ⎜ z - A ⎟ = N ⎜ A ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 ⎝ 2 3 ⎠ 1 × P × A + P ⎛ A z - A ⎞ = N ⎛ A ⎜⎝ 3 h z⎜ 2 6 3 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ A ⎞ ⎛ ⎞ P h = P z ⎜ 2 - 3 z ⎟ + N ⎜ 2 - 3 a ⎟ A ⎠ ⎝ A ⎠ ⎝
Actuaría el empuje pasivo, pero el soporte habría girado. Es una solución ilógica igual que la anterior, aunque más de una vez se ha realizado sin una comprobación de seguridad y fiando esta al empuje pasivo. Por otra parte es ilógica plantear la zapata sobre el macizo, cuando éste puede dar respuesta por sí solo como macizo o como zapata de hormigón en masa. A
B
⎞ - a ⎟ 2 ⎠
a
⎞ - a ⎟ 2 ⎠
a
N
Por lo tanto, el peso del macizo adquiere el siguiente valor: P h = 2 ( N + Pz ) − 3 ( Pz × A z + N × a ) A h
Y evidentemente el peso del macizo es: P h = A × B × h × γ h
Ph
(Siendo γ h la densidad del hormigón utilizado) h=
Ph A × B × γ h
Por lo que se pueden elegir las dimensiones de la zapata que cumplen las condiciones anteriores. Se trata de una solución cara y que puede provocar giros en el cimiento como consecuencia de la distribución triangular de tensiones.
A
q
Figura 5.126
N1 A/3
2A/3
Zapata de borde con dado de hormigón
406 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS 5.8.3 Zapata de borde equilibrada con el sistema de palanca
Este sistema queda reflejado en la figura 5.127. Para el cálculo de los elementos se opera como sigue: La excentricidad entre las cargas y las resultantes tiene el siguiente valor: e = 1 ( A - a) 2 Tomando momentos con respecto al centro de gravedad de la zapata ⎛ ⎞ Nd × e = P v ⎜ Iv – A ⎟ + P m ⎛ ⎜ c – A ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ e v = 1 (Iv − A ) (Excentricidad de la viga) 2 em = c − A 2
Figura 5.127
Zapata de borde con sistema de palanca
h Pv+Pm
N
Pv
a
M= N ( A-a) 2
B1
S
ev
h hm
5-10 cm de neopreno
S'
Pm
Sección S-S'
e c R1/qadm
B
Y
A
X
Los pesos de los elementos que contrarrestan el momento son: P v = B1 × h × I v × γ h = P m = X × Y × hm × γ h R1 = N + P v + P m Se fijan “a priori” las dimensiones B1, h y Pm y se calcula la distancia c o bien se fija c y se calcula Pm , peso del macizo. Se calcula la viga y se determina Pv. A continuación se procede al dimensionamiento de la zapata como si tuviera carga centrada: Az = R1 = A × B qadm Conviene que se verifiquen las siguientes limitaciones en las dimensiones: A > 0,80 m ; B < 2,5 A La viga de sección AB debe calcularse para un momento de empotramiento Md = Nd ⎛ ⎜ A − a ⎞ ⎟ = 1 Nd (A − a ) ⎝ 2 2 ⎠ 2 Esfuerzo cortante Pv + Pm , viga en voladizo. Debe verificarse: 1 N A - a = P ⎛ c - A ⎞ + P ⎛ I v - A ⎞ ) m ⎜⎝ 2 ⎟ ⎠ v ⎜⎝ 2 2 ⎟ ⎠ 2 d( Por igualdad de momentos a derecha e izquierda: N ( A − a) − P v (Iv − A ) Pm = d 2c − A Siendo: N: Esfuerzo de compresión Nd= N x γ f. Esfuerzo de compresión mayorado γ f = 1,6 qadm = 180 kN/m 2 a : Lado del soporte b : Lado del soporte Se fijan los siguientes valores: A: Debe ser mínima para que lo sea Ma. De todos modos, por razones constructivas, debe ser igual o mayor que 1 metro
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 407 Lv: Longitud de la viga c: Distancia del eje del macizo al borde de la M2 zapata Se calcula: X = 2(Iv – c) (Ancho del macizo)
M1 M= N ( A-a)
N
2
Soporte a
Se dimensiona la viga para: N ( A − a) Md = d 2 bmin = b : ancho del soporte Ejemplo 1
lv Macizo
Viga
Pm
hm
Zapata
e
lm
N =1.000 kN a = 60 cm ; b = 30 cm A =180 cm Iv = 400 cm c = 300 cm
A
Figura 5.128
Zapata de borde, medianera, de un soporte sometido a un
1.000 × 1,6(1,80 − 0,60 ) = 960 kN × m esfuerzo de compresión N y alternativamente a momentos Md = M1 y M2 de signo contrario 2 Resulta una viga de 60 x 90 cm 960 × 1,50 = 0,13 0,6 × 0,862 × 25.000 Iv = 4,00 m Pv =4 x 0,6 x 0,9 x 25 = 54 kN x = 2(4,00 – 3,0) = 2,00 m 1.600 (1,8 − 0,6 ) − 54 (4,00 − 1,80 ) = Pm = 2 × 3,00 − 1,80 = 1.920 – 119 = 429 kN 4,20 Pm = 2,00 · Y · h · 25 kN = 429 kN μ=
Y x h = 8,6 m 2 Haciendo h =2 m, resulta: Y = 4,3 m El macizo resultante mide 2,0 x 4,30 x 2,00 m La solución es costosa por lo que sólo se usa en casos excepcionales o bien en soportes sometidos a pequeños esfuerzos de compresión.
Ejemplo 2
N =200 kN a = 50 cm; b = 25 cm A =100 cm Md = 200 × 1,6 × 1 (1,00 − 0,50 ) = 80 kN × m 2
Viga con: u: 0,08 momento específico b: 0,25 80 × 1,5 = 0,49 m d= 0,25 × 0,08 × 25.000 h: 0,55 Iv : 2,50 m Pv : 0,25 x 0,55 x 2,50 x 25 = 8,6 kN c: 2,00 m x: 2(2,5 – 2,0) = 1,00 m
408 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS P m = 200 × 1,6 × 0,5 − 8,6 × 1,5 = 2 × 2,0 − 1 = 147,1/3 = 49 kN 49 = X x Y x h x 25 X x Y x h = 49/25 = 1,96 m 3 ≈ 2 m3 X = 1,00 m ; Y = 1,50 m h = 1,35 m R1 = 200 + 8,6 + 49 = 257,6 kN = 258 kN Zapata centrada
Az = 258/180 = 1,43 m A =1,00 m B = 1,43/1,00 = 1,45 m h ≈ 0,30 m La solución puede ser válida desde los puntos de vista técnico y económico. La unión zapata-viga se debe realizar mediante una articulación o un apoyo de neopreno. cv
N
Pv hm
5-10 cm de neopreno
Ph
M1: Momento debido al empuje de viento y, en su caso, a puentes- grúa. Nmin: Carga más desfavorable. e1 = M1 Nmin Hipótesis 2:
M2: Momento debido a la succión de viento y, en su caso, a puentes-grúa. Nmax:Carga más desfavorable con γ c = 1,6 e2 = M2 Nmax
lm=c - A 2
B
Hipótesis 3:
Nmax = Nd M1 = 0 M2 = 0 e = 1 ( A - as ) : Excentricidad de N max 2
lm c
R1/qadm
y
Pv : Peso de la viga centradora e v = Iv – A : Ecentricidad de P v 2 2 e m = c – A excentricidad peso macizo 2
Figura 5.129
Cimiento de nave industrial
Se consideran tres hipótesis para el cálculo:
Las armaduras de la articulación macizo-viga deben soportar tracciones iguales o mayores que el peso del macizo
as
e
Se resuelve mediante zapata Z1 articulación, viga y macizos centradores (figura 5.128).
Hipótesis 1:
2
αPv
5.8.3.1 Zapata de borde con esfuerzos de co mpresión (Nmax y Nmin ) momentos M 1 y M 2 alternativos y de signo contrario
a
x
Pm : Peso del macizo
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 409 Debe verificarse: Nd e = Pv x ev + Pm x em R1 = N + Pv + Pm (Sin mayorar a efectos de cálculo de la superficie de la zapata ya que la resistencia admisible del terreno tiene un coeficiente de minoración ≥ que 3). La viga de sección b x h se calculará para Md = N d x e (de manera análoga a la calculada en (5.8.3) Hipotesis 2
Nmax = Nd = N x γ c = 1,6 N M2max:Momento debido a la succión del viento. Corresponde al esfuerzo mayorado de las cargas permanentes y variables, a excepción de las cargas debidas al puente-grúa, en el caso de su existencia, ya que generarían un momento contrario al del viento por succión. Se obtiene Pm, o en su caso c. Debe verificarse: Nd × e + M2d = P v × e v + P m × e m N × e + M2d − P v × e Pm = d em R1 = Nd + Pv + Pm Hipotesis 1
Nmin = N (sin mayorar) M1max = Md = 1,6 M Al igual que en el caso anterior, no se considera el efecto del puente-grúa que aumentaría el N min (favorable) y aumentaría el M 1max (desfavorable). Debe verificarse: P (e − e ) R1 = N × e + v m v + N – Md em em em R1 = N × e + P v × e v + P m + Md em em em Mv = –Nmine + Md
Hipotesis 2
Considerando la acción de puente-grúa Ndmax = Nd(g + q)max + Md pgrua = N’ Mdmax = – M2d succión + Mgrúa (sin mayorar) = ΔM M2max = ΔM + N’ x e Debe verificarse: – N’ x e + ΔM = Pv x ev + Pm x em P m = N′ × e + Δ M – P v × e v em R1 = N’ + Pm + Pv Esfuerzo de compresión para el cálculo de la zapata Hipotesis 1
Considerando la acción de puente-grúa: Nmin = N (sin mayorar) + + Npgrúa (sin mayorar) = N’/ γ c
M1max = + Md(viento) + MGdgrúa – Nmine = + + Md + MGd – Nminc = 1,6(– M1+ MG) – Nmin x e El resto se desarrolla igual que en la Hipotesis 1 sin puente-grúa, sustituyendo N y M d por los valores de Nmin y M1max. Son datos para el cálculo las acciones exteriores que originan los esfuerzos de compresión - N o en su caso N’ y los momentos originados por la acción del viento (M 1 o M 2) y en su caso M grúa , debido al puente-grúa • • • •
Dimensiones del soporte: as y bs Hormigón Acero Terreno: Resistencia admisible de la que se deducirá la máxima resistencia de cálculo.
Se estimarán valores lógicos para: lv : Longitud de la viga centradora. Normalmente 3,0 a 4,0 m. Excepcionalmente podrá sobrepasar la longitud de 5 m
410 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS e: Excentricidad: distancia entre el centro de gravedad del soporte y el centro de gravedad de la zapata. Debe procurarse que sea mínima, pero debe verficarse: e ≥ as + 40 cm 2 em: Distancia del centro de gravedad del macizo al centro de gravedad de la zapata A: Dimensión de la zapata Se calcula la viga para: M2max:Momento negativo máximo a que va a estar sometida M1max:Momento positivo máximo 5.8.3.2 Ejemplo 2. Zapata para soporte de nave (figura 5.130)
Los esfuerzos actuantes son los siguientes: N=150 kN M1= +160 kN x m M2= -80 kN x m qadm = 200 kN/m2 qcal = 180 kN/m2 Se trabaja con un soporte de 30 x 50 cm. Se procede a fijar las dimensiones siguientes: Ngrúa = 200 kN Mgrúa = 100 kN x m A = 1,00 m em = 2,00 m
e = 0,25 m Iv = 3,00 m e v = 1 (Iv - A) = 1,00 2 Estos datos se representan en la figura 5.131 Cálculo de dimensiones de la viga:
M2max = ΔM + N’ x e ΔM = -80 + 100 = 20 kN x m N’ = (150 + 200) x 1,6 =560 kN x m N’ x e = 560 x 0,25 = -140 kN x m Mdmax = -120 kN x m Puede suceder: Mgrúa = 0 Ngrúa = 0 N = 240 kN Mdmax = -80 x 1,6 -240 x 0,25 = = -188 kN x m (Lo cual resulta más desfavorable) R1 = N + Pv + Pm kN = 560 + 16 + 69 Con la acción del puente-grúa: N’ = 560 kN M’ = -120 kN x m R1 = 560 + 16 + 69 = 645 kN Sin la acción del puente-grúa: N’ = 240 kN M’ = -188 kN x m
100 US2 50 0,62 m 0,70 m B
Figura 5.130
Zapata de la nave del ejemplo
Im
US1
P 25
Figura 5.131 A
Armadura de la viga del ejemplo 2
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 411 R1 = 240 + 16 + 69 = 325 kN M1max = Mdviento + Mdgrua – Nmin x e Con la acción del puente-grúa: Nmin = 350 kN M1max = (160 + 80) x 1,6 – 350 x 0,25 = = 296,5 kN x m Sin la acción del puente-grúa: Nmin = 350 kN M1max = 160 x 1,6 – 150 x 0,25 = = 218,5 kN x m Mmax (negativo-viga) = – 188 kN x m Mmax (positivo-viga) = + 297 kN x m fck = 25 N/mm2 f y = 400 N/mm2 Us = 188 = 303 kN = As × 40 062 1,55 2 As = 8,71cm Armadura inferior: As1 =9,87 +8,71 =18,78 cm2 (6Ø20 <>18,84 cm2) Armadura superior: As2 = 8,71 cm2 : (5Ø16 <> 10,05 m2) Viga 30 x 70 Pv =0,3 x 0,7 x 3,0 x 25 =15,75 kN ≈16 kN
Sin efecto del puente-grúa: P m = 188 − 16 × 1,00 = 86 kN 2,0 R1 = 560 + 16 + 86 = 662 kN Hipótesis 1:
Pm = 69 kN R1 = + 350 + 16 × 1 + 350 − 240 × 1,6 = 2,0 2,0 2,0 = 341 kN R1 = − 350 + 16 × 1,5 + 86 − 240 × 1,6 = 2,0 2,0 2,0 = 115kN Datos para cálculo de la zapata y macizo. Zapata:
Esfuerzo máximo de compresión centrada R1 = 662 kN (Hipótesis 2) A2 = 662 = 3,68 m2 = A × B 180 B = 3,57 m ≈ 3,70 m A = 1,00 m Zapata de 10 x 3,60 Macizo:
Pm = 86 kN (Hipótesis 2)
Hipótesis 2:
Volumen = 86 = 34,4 m3 de hormigón 25
N' × e + Δ M − P v × e v Pm = em ⎛ ⎞ 1 ⎜⎝ e v = 2 (1− A) = 1,00 m⎟ ⎠
R2 = 379 kN (Hipótesis 1)
Cálculo de Pm
Con efecto del puente-grúa: P m = 120 − 16 × 1,00 = 41,8 kN 2,0
Macizo x·y·h = 3,44 m3 h = Profundidad del cimiento menos 0,70 m de altura de viga = 2,50 – 0,70 = 1,8 m 3,44 = 1,8 x 1 x 4 = 1,91 m ≈ 1,95 m y = 14,8 = 2,10 m 40 × 1,8 Macizo: 1,00 x 1,95 x 1,80
412 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Comprobación de la tensión en el terreno producida por el macizo. Hipótesis 1:
R2 1,00 × 1,95 = 59 kN/ m2
σ zmacizo =
= 115 = 1,95 < 180 kN/ m2
Es válido. Los ejemplos se complementan calculando las articulaciones y la unión soporte-viga como ménsula corta. 5.8.4 Zapata de borde combinada
Los datos necesarios para proceder al cálculo de este tipo de zapatas son los que se indican a continuación (figura 5.132): N1 y N2: Esfuerzos de compresión (kN) de los pilares 1 y 2 c1: Separación del eje del pilar medianero a la medianería L: Distancia entre ejes de soporte (m) Dimensiones de los soportes a 1 x b 1 y a2 x b2 (m) qadm: Resistencia admisible del terreno (kN/m2) B: Ancho de la zapata. Mínimo B > 1m D: Profundidad de la superficie de contacto cimiento-terreno Datos de los materiales Se prescinde para el cálculo de los momentos flectores que transmite la estructura del edificio. En todo caso, una vez calculada la estructura, se comprobará, con los datos obtenidos en este cálculo, que las tensiones máximas que se originan en el terreno no superan en un 25% el valor de q adm. El proceso de cálculo, que se expone a continuación, consta de nueve puntos:
1. Resistencia de cálculo del terreno
Se determina la resistencia de cálculo del terreno, mediante la fórmula aproximada que la relaciona con la resistencia admisible en función del canto de la zapata y la profundidad del cimiento: qcal = qadm − 17D − 8H (kN/ m2 ) En la hipótesis se ha considerado: Peso específico del terreno = 17 kN/m 3 H = altura de la zapata en m Peso específico del hormigón = 25 kN/m 3 Como partida se considera que el canto de la zapata es aproximadamente un octavo de la luz libre, es decir: H ≈ L (m) 8
[5.182]
2. Centro de gravedad de los esfuerzos de compresión
Se determina por la fórmula N × c + N ( L + c1) xG = 1 1 2 (m) N1 + N2
[5.183]
3. Cálculo de dimensiones de la zapata en planta
La superficie de la zapata es: N + N2 2 (m ) AZ = 1 qcal Las dimensiones de la zapata se determinan partiendo de esta superficie y definiendo que deben cumplir la limitación constructiva que se expresa: AZ = A x B Bmin=1 m Por lo que se puede llegar a determinar el valor máximo que podría alcanzar el lado A de la zapata, que sería:
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 413 AZ A = A; A max = Z (m) B B Por geometría se debe verificar que el lado A de la zapata tenga una dimensión mayor o igual que la suma de los términos: Amax ≥ L + c1 + a2 [5.184] 2 Ya que si no se verifica esta condición la solución a utilizar consistiría en construir dos zapatas aisladas con viga centradora. Por otra parte, desde el punto de vista constructivo, es aconsejable que el vuelo de la zapata no exceda del 25% de la luz entre ejes L, por lo que el valor máximo de la dimensión A x deberá cumplir la igualdad: A = AZ ≤ 1,25L + c1 B
En general, la condición de coincidencia del centro de gravedad de la aplicación de cargas y el centro geométrico de la base de la zapata resulta difícil de cumplir por la propia forma del cimiento; por ello se admite que la resultante de los esfuerzos de compresión quede dentro del núcleo central de razón 1/2. En este caso, la anchura de la zapata queda efectivamente comprendida entre los valores que se determinan a continuación (apartado 5.7.3.1, expresión [5.155]) 12 x ≤ A ≤ 12 x 7 G 5 G
XG
[5.185]
Excepcionalmente se puede llegar a un 30% de L. Aplicando esta condición a la determinación del ancho de la zapata se tiene otra condición definitoria: AZ [5.186] B≥ m 1,25L + c1 Bmin=1 m
[5.187]
b2
b1 c1
B
L c2 A
M N1
En la solución ideal, el centro de gravedad de las cargas coincide con el centro de gravedad de la base de la zapata, en cuyo caso, para una base rectangular, se deben cumplir las condiciones anteriores que quedan de la siguiente forma L + c1 + as ≤ A = 2x G ≤ 1,25L + c1 2 B = AZ = AZ ≥ 1 m A 2x G
a2
a1
N2
D
1
Figura 5.132
Datos geométricos de una zapata de borde combinada para dos pilares
2
H
414 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS 4. Cálculo de esfuerzos en la zapata
La figura 5.133 representa el estado de trabajo de una zapata medianera combinada con dos pilares. a) Si A = 2x G, es decir, la distribución de tensiones es uniforme, el valor de la qcal se extrae de [5.204], es decir:
Para que se trate de un elemento lineal se deben cumplir dos condiciones: a) Según la EHE la distancia entre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces su canto total: d entre dos momentos nulos > 2H b) El ancho es igual o inferior a cinco veces el canto: B ≤ 5H
qcal = qadm - 17 D - 8 H (kN/m ) 2
b) Si existe una excentricidad e definida, según la figura 5.134, por: e = XG − a 2 En este caso la distribución de tensiones es variable, y la q cal será la tensión del terreno en el punto de abscisa A/4 ⎛ ⎞ qcal = σ A = N ⎜1+ 3e ⎟ [5.188] A × B ⎝ A ⎠ 4 5. Comprobación
Se verifica a continuación si la zapata combinada que se ha dimensionado cumple las condiciones “elemento lineal” (viga), o de “elemento superficial” (losa).
Según el Eurocódigo, la condición es que la luz mínima sea mayor que cuatro veces su espesor: Lmin<4H Elemento lineal 6. Estimación de la altura de la zapata
Siempre conviene determinar el canto de la zapata para que ésta sea rígida, lo cual implica que se debe cumplir la restricción: H ≥ L8
Debe verificarse la condición de rigidez [5.33] expresada por la fórmula definida para las zapatas combinadas en el apartado 5.3.2.4. de este manual:: H ≥ 26 x 10-3 x K1/3 x L4/3 kN/m/m3 XG e
(N1+N2) N1
M
N2
(N1+N2)
N1
N2
H
H
qcal qcal
A
a/2
a
a/4
Figura 5.133
Figura 5.134
Cargas sobre zapata medianera combinada
Zapata medianera combinada con cargas no simétricas
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 415 7. Comprobación y verificación de armaduras
5.8.5 Zapata de borde con viga centradora
En este punto deben realizarse la elección de materiales y la definición de los coeficientes de ponderación según el nivel de control para realizar las comprobaciones matemáticas que exige la Instrucción para: • • • •
5.8.5.1 Datos previos
Los datos previos con los que se debe contar son (figura 5.135): 1. Características geométricas de la estructura
Fle xión Esfuerzo cortante Punzonamiento, en su caso Adherencia
2. Solicitaciones transmitidas Los pilares 1 y 2 transmiten a las zapatas esfuerzos normales y momentos flectores.
El proceso es el mismo utilizado para las zapatas combinadas, por lo que nos remitimos a lo ya explicado anteriormente.
3. Presión de cálculo del terreno Según la profundidad y altura de la zapata. Presión admisible del terreno: qadm (kN/m2) Presión de cálculo del terreno: qcal qcal = qadm – D × γ 1 − (25 − γ 1) × H Siendo: D: Profundidad de superficie de cimiento (m) H: Altura de la zapata (m) γ 1: Densidad del terreno (17 kN/m3 como valor estimado)
8. Disposición de las armaduras
Se dibujan los planos con la posición de las armaduras. 9. Mediciones y valoración
Determinación del coste de ejecución de la zapata así como la repercusión por tonelada soportada, pudiendo ser este punto un elemento de decisión entre unos tipos de zapata y otros.
4. Características de los materiales.
A1 c1 B1
A2
e1
e2
b1
B2 a s1
A2/2
A1/2
M2
M1 N1
N2 hv
h1
A2
A1 c1
D
h2
L
v
Figura 5.135
Aspecto de una zapata medianera con viga centradora
416 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS 5.8.5.2 Definición de la forma en planta
Para la definición de la forma geométrica del cimiento hay que partir de las hipótesis siguientes: 1. Las zapatas deben responder como si actuase sobre ellas la carga de su soporte centrada, lo que provoca que la distribución de tensiones sobre la superficie de cimentación sea lineal y constante.
N1
e1
M1
3.1. Mínimo momento flector que sea además constante en la parte de viga comprendida entre zapatas, y por lo tanto, el esfuerzo cortante sea nulo en la misma parte central de la viga, (figura 5.136). 3.2.a) Mínimo esfuerzo cortante en el apo yo del sopor te 2, que supone que los cortantes a derecha e izquierda del mismo sean lo más iguales posible ya que su suma es constante. 3.2.b) O bien, que el momento flector negativo en el soporte 2 sea igual o menor que el máximo momento positivo de la viga, es decir: M2 ≤ M (+) a. Caso 1
Se desarrolla a continuación el procedimiento de diseño según la primera condición, que debe cumplir las hipótesis 1, 2 y 3.1, para lo cual se parte de dos zapatas tipo, una de ellas medianera, reflejadas con sus datos en planta y alzado en la figura 5.135.
N2
M2 A2
A1
V4
V2
2. La forma de las zapatas se supone rectangular y tal que, A < 2B. Esta limitación obedece a criterios económicos, aunque a veces técnicamente puede no cumplirse. 3. Las zapatas se calculan para que se cumpla una de las siguientes condiciones de optimización:
e2
M
V=0 V3
V1
Figura 5.136
Distribución de los momentos flectores en una zapata de medianera con viga
Del dibujo se deduce que: e1 = A1 − c1 2 e2 = A2 − V 2
En un punto de coordenada x medida desde la cara exterior de la medianera se verifica, por la definición de momento flector, que: M x = ( − qcr ⋅ x ⋅ B ) B1 + N1( x − c1) 2 2 M x = − qcr ⋅ x ⋅ B1 + N1( x − c1) 2 El valor del momento flector en el extremo de la zapata 1 (punto A 1) toma el valor: M A1 = ( − qcr ⋅ A1 ⋅ B ) A + N1( A1 − c1) 2 2 M A1 = − qcr ⋅ A1 ⋅ B1 + N1( A1 − c1) 2
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 417 De las leyes de la física se deduce que la carga será igual al producto de la resistencia del terreno por la superficie de la zapata 1: qcal x A1 x B1 = N1 Y por lo tanto el momento de esta fuerza será igual al momento flector, es decir: ⎛ ⎞ MA1 = N1⎜ A1 − c1⎟ = N1 × e1 ⎝ 2 ⎠ Por lo tanto resulta: MA1 = N1e1 En el punto A2, por el mismo razonamiento: MA2 = N2e2 Por hipótesis: MA1 = MA2 Luego N1e1=N2e2
[5.189]
Para que este momento sea mínimo debe cumplirse que el brazo del momento sea mínimo ya que la carga es constante: e1 = A1 − c1 [5.190] 2 El valor de e1 será mínimo cuando lo sea A1, ya que c1 es constante. Ahora bien, existe una relación que liga A y B, que es el cociente entre la carga del pilar y la presión real del terreno: A1 × B1 = N1 qcr
Se cumplirá que el valor de A1 será mínimo cuando B1 sea máximo. Se establece un valor de A1 > 0,80 m por razones constructivas. Y como por hipótesis se ha definido que: B1 < 2A1 Por lo que el valor máximo de B1 es B1 = 2A1.
En algunos casos, puede ser aconsejable no cumplir esta hipótesis para reducir el momento. Aplicando las condiciones previas recién establecidas se tiene: A1 × 2A1 = 2A12 = N1 qcr De donde, A1 = N1 2qcr
[5.191]
e1 = A1 − c1 2
A esta excentricidad hay que sumarle, en el caso de que sea desfavorable, la excentricidad originada por el momento flector: e1m = M1 [5.192] N1 e1re = e1 + e1m [5.193] En la práctica resulta muy habitual no tener en cuenta este momento flector, de pequeño valor en comparación con el originado por la excentricidad y que además es variable en valor y en signo en función de las fuerzas actuantes. De la ecuación [5.189] se extrae: e2 = N1 × e1 [5.194] N2 En el caso de que M2 sea positivo, a la excentricidad e2c hay que sumarle o restarle para obtener e2, la excentricidad debida al momento flector e2m de valor: e2 m = M2 [5.195] N2 Y el soporte tiende a girar en el sentido de las agujas del reloj. Si M2 es negativo, se le resta. e2re = e2 ± e2m [5.196] Se tiene: e2 = a2 − v − as 2 2
418 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS b. Caso 2
El procedimiento de diseño varía en el caso de que se considere la segunda condición, es decir, que el esfuerzo cortante sea mínimo en el soporte 2 (condición 3.2 del punto 5.8.5.2). Esto supone que la diferencia entre los esfuerzos cortantes a la derecha e izquierda del soporte sea mínima. El valor del cortante en V2 por la derecha es: ⎛ ⎞ V d derecha = qcr ⎜ A2 − e2 ⎟ B2 ⎝ 2 ⎠ [5.197] ⎛ ⎞ V d izquierda = qcr ⎜ A2 + e2 ⎟ B2 ⎝ 2 ⎠
[5.198]
De una manera similar el valor de V2 por la izquierda es: V d derecha - V d izquieda = 2B2e2 × qcal Como e 2 y qcr son constantes, el mínimo corresponderá al valor mínimo de B 2 que por razones constructivas debe ser ≥ 80 cm. En este caso la limitación de A 2 es que no llegue a la zapata 1. Finalmente, se considera la última condición que se desarrolla con la segunda, pero considerando los momentos flectores iguales (condición 3.2b del punto 5.8.5.2) Por la fórmula general del momento flector: q ⋅ B2 ⋅ x2 cr M= 2 e A2 - e 2 2
M= N2 x e2
2
N2
M2 Figura 5.137
Expresiones y parámetros en la zapata del ejemplo.
B2 A2
Que aplicándola al máximo momento negativo, que se produce en el eje, queda: 2 ⎛ A2 ⎞ q cr M = × B2 × ⎜ − e2 ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ Teniendo en cuenta que: N2 = A2 × B2 × qcr Es decir, el producto del área de la zapata por la tensión real. Si se despeja de esta fórmula el valor de q cr, y se introduce en la fórmula anterior resulta: 2 ⎛ A2 ⎞ N2 1 M− = ⎜ − e2 ⎟ × 2 ⎝ 2 ⎠ A2 Por otro lado, el momento en la zapata adquiere un valor: M + = N2e2 En valor absoluto, ambos son iguales: M− = M+ Es decir: 2 1 ⎛ A2 − e ⎞ × N2 = N × e 2 ⎟ 2 2 2 ⎜⎝ 2 ⎠ A2 1 ⎛ A22 + e 2 - A e ⎞ × N2 = N × e 2 2 2 ⎟ 2 2 2 ⎜⎝ 4 ⎠ A2 A22 + e22 - A2e2 = 2A2e2 4 A22 –12e 2A2 + 4e 22 = 0 Si se aplica la fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado queda: 0,34e 2 A2 = 6e2 ± 32e 22 = 11,66e 2 A2 = 11,66e2 N2 B2 = 11,66e2 × qcal Queda así definido el rango en el cual se pueden determinar las dimensiones de la zapata.
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 419 5.8.5.3 Comprobación de la zapata. Canto y armado. Ejemplo
a. Cálculo de dimensiones de las zapatas en planta
A continuación se comprueba la zapata a flexión y esfuerzos cortantes, EH-91, o bien según la EHE. Los cálculos se realizarán con un ejemplo cu yos datos de partida, según la terminología marcada en la figura 5.138 son:
Según el condicionante 3.1 del punto 5.8.5.2, que corresponde a un momento flector mínimo y constante en la viga, aplicando la fórmula [5.191] se tiene:
L = 6,00 m N1 = 600 kN M1 = -60 m x kN as1 = 0,45 m bs1 = 0,25 m c1 = 0,25 m qcal = 160 kN/m2
A1 = N2 = 900 kN M2 = +50 m x kN as2 = 0,50 m bs2 = 0,30 m
N1 600 = 1,37 m = 2q cr 2 × 160
Tomando como valor del lado de la zapata 1; A1 = 1,40 m, se determina el otro valor del lado de la zapata a través de la superficie necesaria para soportar la carga del pilar: 600 = 2, 68 m B1 = 160 × 1, 40
A1
M
A2
S1
S2
c1 e1
e2 B2
B1 A1/2 e2=(A2/2) - v
e1=(A1/2) - c1
A2/2
M2
M1 N1
N2
A2
A1
qcr
qcr
A1 C1
A2 L
v
Figura 5.138
Planta y sección de la zapata resultante del ejemplo
420 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Por ello se adopta una dimensión B 1 = 2,70 m y se procede a definir lo que se denomina “presión real de trabajo del terreno” debajo de la zapata en función de las dimensiones reales de ésta: qcr = N1 = 600 kN A1 × B1 1,40 m × 2,7 m qcr = 158,7 kN/ m2
e1 = A1 − c1 = 1,40 − 0,25 2 2 e1 = 0,45 m Teniendo en cuenta el momento flector, la excentricidad queda: e1re = e1 + M1 = 0,45 + 60 N1 600 e1re = 0,55 m De la fórmula [5.194]: e2 = N1 × e1 = 600 × 0,55 N2 900 e2 = 0,366 m
1. Solución 1
Se parte del cumplimiento de la condición 3.2.a (véase 5.8.5.2), es decir, mínimo esfuerzo cortante en el soporte. 900 = B2 = N2 = 2 × qcr 2 × 158,7 = 1,68 m Luego se toma el lado B2 = 1,70 m 900 A2 = N2 = = B2 × qcr 1,70 × 158,7 = 3,33 m Se toma como valor de A2 = 3,35 m Operando, se determina el valor de trabajo real del terreno en la zapata 2, que es: qcr =
900 = 158 kN / m2 3,35 × 1, 70
Luego quedan como datos de la zapata 2: A2 = 3,35 m B2 = 1,70 m e2 = 0,42 m qcr = 158 kN / m2
De la fórmula [5.195]: e2m
M = 2 = 5 = 0,055 m N2 90
2. Solución 2
En esta solución se opta por definir “a priori” el ancho de la zapata: B2 = 1 m
Y aplicando [5.196]: e2re = e2 + e2m e2re = 0,366 + 0,055 e2re = 0,421 m
Aplicando la solución de cálculo que iguala los momentos flectores, definida en la hipótesis 3.1.
Por tanto, se toma un valor de e2re = 0,42 m
El resultado A2 = 4,89 m resulta excesivamente grande, por lo que se adopta la solución de esfuerzos cortantes aproximadamente iguales.
Se va a proceder a calcular las dimensiones de la zapata 2, para lo cual se puede optar por dos soluciones, cuyo desarrollo se explica a continuación.
A2 = 6e2 ± 32e 22 =11,66 × 0,42 = = 4,89 m
El diseño en planta de la zapata resultante queda reflejado en la figura 5.139.
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 421 1,40
2,75 0,42
M 0,25
2,7
Vcal
1,10
0,25
0,50
Vcal
0,60
1,25
0,50
0,30
1,7
0,45
Figura 5.139
3,35
Dimensiones de la zapata del ejemplo. Solución 1
6,25 7,50
Finalmente hay que proceder a la comprobación de los datos para comprobar que dan respuesta apropiada a las diferentes solicitaciones a las que se ven sometidas.
1,40
2,75
1,25
2,10
M+
b. Cálculo de dimensiones de la viga
Momentos flectores
Los momentos flectores están representados en la figura 5.140: Los momentos flectores en 1, 2 y en la viga son, por la expresión general del momento flector: 2 c 1 M1 = ( qcr × B1) × 2 2 M1 = 0,25 × 2,70 × 158,7 2 M1 = −13 m × kN M + = N1 × e1m = 600 × 0,55 M + = 330 m × kN 2 M2 = ( qcr × B2 ) × v 2 2 1,25 M2 = × 1,70 × 158 2 M2 = −210 m × kN
0,25
M1 M2 -56,3
-10,3
33,7
47,45 600 cm
Figura 5.140
Gráfica de flectores y cortantes del sistema de cimentación
422 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Esfuerzos cortantes
Según la figura 5.136 y las fórmulas del esfuerzo cortante [5.197] y [5.198]: V1izd = (qcr x B1) x c1 = 103 kN V1dch = (qcr x B1) x (A1 - c1) = 497 kN V2izd = (qcr x B2) x (A2 - 1,25) = 563 kN V2dch = (qcr x B2) x 1,25 = 337 kN Materiales
Características de los materiales empleados: Hormigón: fck = 25 N/mm2 Acero: Armaduras principales y transversales de acero B 400 S Coeficientes de ponderación: γ f = 1,6 γ s = 1,15 γ c = 1,5 Comprobación a flexión
Se opta por definir una dimensión que proporcione la cuantía mínima de armadura; para el caso de un hormigón fck = 25 N/mm2 se usa la fórmula del canto útil: Con cuantía mínima de armadura: e = 3,3 x 10–3 Para fyk = 400 N/mm ω = 0,0689 μ = 0,0641
2
Por lo que se adopta como canto de la viga h = 1,00 m. d = 0,0306 Md = 0,0306 330 × 1,6 = b 0,5 = 0,99 m La armadura en cuantía mínima, por definición, adquiere el valor: AS = ρ × A c = = 3,3 × 10 −3 × 50 × 100 = 16,5 cm2
Se procede a la comprobación a flexión para lo cual se usa la fórmula del momento unitario: Md μ= = b × d2 × f cd 330 × 1,6 × 1,5 = = 0,0646 0,5 × 0,99 2 × 25000 Para este valor de μ, el estado último se alcanza en el Dominio 2, en el que aproximadamente w =μ(1+μ) = 0,0688 Asc = ω f cd × b × h = f yd f ck γ = 0,0688 c 50 × 100 = 15,77 cm2 f yk γ s Asc = 15,77 cm2 ≈ Asmin = 16,5 cm2 Que se traduce en las armaduras: 6∅20 <> 18,8 cm2 5∅20 <> 15,7cm2 Quedando de esta manera el armado: Momentos positivos: 6∅20 Armadura de construcción (30% de la cuantía mínima): 0,3 × 16,5cm = 4,95cm2 5∅12 <> 5,65cm 2 > Asmin Armadura para momento negativo en el soporte 2 (cuantía mínima): ⎧⎪ 5∅12 + 6∅16 <> 16,65 cm 2 ⎨ ⎪⎩5∅12 + 3∅20 <> 15,07 cm2
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 423 Comprobación a esfuerzo cortante
Hay que comprobar según la EHE, artículos 44.2.2 y 44.2.3, a partir del esfuerzo cortante reducido Vrd, dado por la expresión [5.161]: Vrd = Vd + Vpd + Vcd Siendo: Vd: Esfuerzo cortante de cálculo, con su valor máximo. Vpd:Valor de cálculo de la componente de la fuerza de pretensado paralela a la sección en estudio. Vcd:Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la resultante de tensiones normales, tanto de compresión como de tracción, sobre las fibras longitudinales de hormigón, en piezas de sección variable. El valor máximo será, según la figura 5.141: Vrd max = 563 x 1,6 = 900 kN 0,50 0,99 0,25
56,3
linea de cortantes cortante nulo
Vrd2
96cm (100)
Vcu = 0,10 ξ (100ρ x fck )1/3 x bo x d →[5.106] (fck en N/mm2) ξ = 1+ 200 d ( d en mm ) ξ = 1,45 ρ = cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada ρ =3,3 × 10 -3 (cuantía mínima) 1. Condición por agotamiento de la sección de hormigón por compresión oblicua (Artículo 44.2.3.1 de EHE)
V u1 = 0,3 × f cd × bw × d V u1 = 0,3 2,5 × 50 × 99 1,5 V u1 = 2475 kN > V rd = 900 kN Se cumple la condición de compresión V u1 > Vrd max, por lo que resulta válida la sección.
Vrd2 se comprueba a una distancia d de la cara del soporte.
124 cm
210 cm
Según la EHE a tracción en el alma.
2. Condición por agotamiento de la sección de hormigón por tracción (Art. 44.23.3.1 de EHE)
45º 86 cm
Hay que verificar que se cumple: 1) V rd ≤ V u1 . Condición de agotamiento por compresión oblicua del hormigón 2) V rd ≤ V u2 . Condición de agotamiento por cortante.
125 cm
204,6 cm 325,60 cm
Figura 5.141
Diagrama de esfuerzos cortantes en la zapata derecha
La distancia al eje del soporte en el punto considerado es 0,99 + 0,25 = 1,24 m, y el cortante se anula a una distancia del eje 2 de 210 cm. Así, según la figura 5.141, por el teorema de Thales, se cumple: 2,10 - 1,24 = 0,86
424 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS V Rd = 563 × 1,6 × 0,86 = 368 kN 2,10 La contribución del hormigón es, según el artículo 44.23.2.2 de la Instrucción EHE: 13 V cu = 0,10 ξ (100 ρ × f ck ) × b o × d →[5.106] ξ = 1 + 200 = 1,454 d (d en mm) As1 = 18,8 = 3,80 × 10 −3 ρ= b o × d 50 × 99 13
V cu = 0,10 × 1,454 × ( 0,380 × 25 ) × × 500 × 990 × 10 −3 = 152,4 kN De esta manera, la contribución de las armaduras será la diferencia entre el esfuerzo al que se ve sometida la sección y lo que absorbe el hormigón a tracción en esa sección, es decir: V su = 368 − 152 = 216 kN 216 = Aw × 40 × 0,9 × 97 s 1,15 Aw = 0,074 s Aw = 1 cm2 <>1 cerco φ 8 <> 2 ramas s = 14 cm Cercos de ø 8 mm a 14 cm hasta la zona central de cortante nulo. A partir del soporte 2, cercos de ø 8 mm a una distancia: s = 14 × 216 = 17 cm 182 La cuantía mínima de armadura transversal en el resto de la viga, según la Instrucción EHE, debe cumplir: Asα × f yαd ≥ 0,02 × f cd × b w sen α [5.199]
∑
Siendo: Asα:Sección de la armadura transversal en la dirección α. α: Dirección de las armaduras. En este caso vale 90º y el valor del seno es la unidad. Luego en este caso queda: f As α = 0,02 cd × 50 = 0,033 f yd s = 30 cm Aw = 30 x 0,033 = 1 cm 2 Como valor máximo de armado en cada cerco quedará:
Asα = Asw s Siendo s la separación entre los cercos de la viga, que se toma: s = 30 cm. Por lo que en cada rama es: Asw = 0,50 cm2 2 Que supone: 1φ8 <> 0,5 cm2 Se colocan, por tanto, los cercos siguientes: 1φ8 a 30 cm de acero B 400 S en la zona central de 2,75 m en la que el cortante es nulo. Disposición de armaduras
La disposición de las armaduras según lo visto hasta ahora se hace del modo indicado en la figura 5.138. Adherencia
La adherencia entre las barras y el hormigón se realiza mediante el sistema marcado por la EH-91 en su artículo 42.1, ya que, como se ha comentado anteriormente, la EHE no marca ninguna condición para este tipo de verificaciones.
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 425 Para barras corrugadas, según EH-91:
50
2
AA'
6O20
70 O8 a 30cm
τ bd
⎛ f ck ⎞ τ bu τ bu ⎛ 250 ⎞ 23 = × 3⎜ ⎟ = 1, 6 × ⎜⎝ 22,5 ⎟ γ f ⎠ ⎝ 22,5 ⎠
(fck y τbd en kp/cm2)
[5.200]
Del artículo 9.3 de la EH-91 se toma que para barras de 8 a 32 mm: τ bu = 130 − 1,9 × Ø = 92 kp / cm2 (τbd en kp/cm2 y Ø en mm)
5O12
τ bu = 130 − 1,9 × 20 = 92 kp / cm2
6O20
BB'
τ bd = 48,63kp/cm2 ≥ 27,65kp/cm2
Es decir, se verifica la condición: τb > τbd Por lo que resulta válido. Cálculo del canto de las zapatas
3O20
Para finalizar hay que comprobar al canto de cada una de las zapatas.
5O12 3O20
Zapata 1, según la figura 5.144
Figura 5.142
Disposición de armaduras del sistema de cimiento del ejemplo
La fórmula general es [5.115]: Vd τb = ≤ τ bd 0, 9 × d × n × u Siendo: Vd: Esfuerzo cortante de cálculo d: Canto de la viga n: Número de barras u: Perímetro de las barras Aplicando los datos resulta: τ b = 56,3T × 1,6 × 1000 = 0,9 × 96 × 6 × π × 2 = 27,65 kp / cm2
La presión de trabajo real del terreno es: qcr = 158,7 kN / m2 El canto, con cuantía mínima de acero, se determina por la fórmula [5.134]: H = 0,0386 × qcal × V c H = 1,22 × qcal × V c (qcal en kN/m2 y N/m2, respectivamente) Donde el vuelo de cálculo es el vuelo real de la zapata más un 15% del canto del pilar: V cal = 1,10 + 0,075 = 1,175 m Operando, resulta un canto H = 0,56 m, por lo que se adopta como valor del canto de la zapata 1: H = 0,60 m. También se puede determinar el canto óptimo de la zapata en función del esfuerzo cortante.
426 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Armadura de la viga 6O20
6O20
O8 a 30cm
6O20
B
A
Para ello se comprueba el valor de V d (según el artículo 44.2.3 de la EHE) en el plano situado en el plano a 45 grados (figura 5.144), que tiene un vuelo V - d siendo d el canto útil de la zapata. De acuerdo con la Instrucción EH-91, el esfuerzo cortante de cálculo en ese plano será V d = ( ( V − d) × B1 × qcr ) × γ f
A'
5O12 1,40 cercos O8 a 11 cm
B'
5O12 + 6O16
2,75 cercos O8 a 30 cm
[5.201]
En el plano en cuestión, el valor máximo que puede soportar la sección es: V rd = B × d × f cv
3,35 cercos O8 a 14 cm
Figura 5.143
1,40
Despejando Vd/B y Vrd/B e igualando, lo que asegura el máximo aprovechamiento del material, queda: (V − d) × qcr × γ f = H × f cv Siendo: f cv = 0 , 5 f cd
V-d 1,10
Se despeja en valor del canto efectivo d de la zapata
d 0,50
2,70
1,10
d=
1,5qcr × V 1,6qcr + f cv
d=
1,6 × 15,87 × 1,10 = 0,35 1,6 × 15,87 + 54
Plano de corte
Por lo que se toma un valor del canto de la zapata H=0,40 m válido para zapata rígida. Armado de la zapata
d
H d
V-d
Figura 5.144
Cálculo del canto de la zapata
A continuación se procederá al armado de la zapata para un canto de 40 cm a través de las fórmulas del momento unitario y para el plano crítico que produce el vuelo de cálculo: 2 Md = 158,7 × 1,175 × γ f 2 Md = 175,3 m × kN
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 427 (21,33 – 19,60) x 0,66 = 1,14 euros
Md b × d2 × f cd μ = 175,32 × 1,50 = 0,086 1× 0,35 × 25000 (b y d en m) (M en kN x m) (fcd en kN/m2) μ=
(0,60 – 0,40) x 69,12 = 13,82 euros
ω = 0,827 (1 − 1− 2,418 μ ) = 0,091
Por lo tanto se elige la solución 1 (h = 40 cm) por cuanto en función del esfuerzo cortante, se obtiene el siguiente ahorro por tonelada soportada: Δ COSTE = 13,82 − 1,14 = 0,08euros 158,7 Δ COSTE = 0,08 euros kN = 0,8 euros T
f As = 0,091 cd × 100 × 40 = 17,41cm 2 f yd
El armado de la zapata 1 queda representado en la figura 5.145.
9 ∅16 <> 18,09cm 2 <>14,22 kg de acero (Por m de ancho de zapata) En la armadura de reparto se usa la cuantía mínima de acero: As2 = 2 x 10-3 x 40 x 100
0,30 0,70 0,40
As2 = 8,0 cm2 <> 8 φ 12 <> 7,1 kg de acero (Por m de ancho de zapata).
12O1
Acero total por m2 de zapata: s1 = 7,1 + 14,22 = 21,33 kg
1,10
Si en lugar de armar para canto de 40 cm, el armado se hubiera realizado para el canto h = 60 cm y con cuantía mínima, resultaría un valor de sección de acero de: As = 2,0 x 10 x 60 x 100 = 12 cm 11 φ 12 x 12,44 cm2 <>9,8 kg de acero –3
2
La armadura de reparto de cuantía mínima es: As2 = 12 cm2 <> 11 φ 12 en solución 2
7O1
2,70
5O1
Acero total en solución 2: s2 = 2 x 9,80 = 19,60 kg La elección entre las dos soluciones de canto se realiza en función del coste. Las diferencias por m2 de zapata son:
1,10
7O1
1,40
Figura 5.145
Armado de la zapata 1 del sistema de cimiento
428 MANUAL DE EDIFICACION: MECANICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Zapata 2
Si se aplican los mismos criterios, el proceso es el mismo para la zapata 2. En este caso la presión real de trabajo del terreno bajo la zapata es: qcr = 150 kN/m2 La forma de la zapata se refleja en la figura 5.144, de la que resta por determinar el canto. La altura útil óptima en función del esfuerzo cortante según la EHE, artículo 44.2.3 es, al igual que en la zapata 1: V d = ( ( V − d) × B1 × qcr ) × γ f [5.201] Vrd = B x d x f cv Despejando V d/b y V rd /b e igualando, lo que proporciona el máximo aprovechamiento del material, queda: ( V − d ) × qcr × γ f = d × f cv V × qrc × γ f - d × qrc × γ f = d × cv 1,6 × V × qcr = d × ( f cv + qcr × γ f ) γ × × d = f V qrc = f cv + γ f × qcr = 1, 6 × 15 × 0, 6 = 0,19 m 54 + 1, 6 × 15 0,50
0,60
El resultado es menor que el mínimo fijado para la norma, por lo que se toma h = 25 cm. El valor del vuelo de cálculo, al igual que en el caso anterior, es: V cal = 0,6 + 15% × 0,5 V cal = 0,6 + 0,075 = 0,675 m Y por la fórmula ya conocida del momento unitario, queda: 2 Md = 0,675 × 150 × 1,6 2 Md = 54,7 m × kN
μ =
54,7 × 1,50 = 0,0678 1 × 0,222 × 25000 →[5.124]
ω = μ (1 + μ ) = 0, 0724
As = 0,0724 f cd × 100 × 25 f yd As = 8,67 cm2 8Ø12 <> 9,04 cm 2 <> 7,10 kg de acero por metro de ancho de zapata en cada dirección. El peso total de acero por m 2 de zapata es de 14,2 kg. Este armado se refleja en la figura 5.146 3,35
0,60
5O12
0,60
1,70
0,70
5O12+3O20
0,25 viga 5O12
5O12 + 3O20
5O12
3O16
0,60
8O12/m 27O12
Figura 5.146
Armado de la zapata 2 del conjunto de cimiento
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 429 5.8.6 Zapata de ángulo solucionada con vigas centradoras
M
El conjunto de cimientos del que trata este apartado aparece reflejado en la figura 5.147 Los datos que es necesario conocer para proceder al cálculo son los siguientes: • Esfuerzos de compresión en los cuatro soportes. N1 ,N2 ,N3 ,N4 • Presión admisible del terreno: qadm (kN/m2) • Profundidad D de la superficie de contacto terreno - zapata. El desarrollo del caso se realiza desde las siguientes hipótesis: 1. La superficie del cimiento se calcula como si la carga fuese centrada. 2.Se prescinde, en principio, de los momentos flectores que transmiten los soportes a la zapata. Se comprueba posteriormente, que su influencia es despreciable. 3. La presión de cálculo del terreno se estima mediante la fórmula general: qcal = qadm - 17D - 8H o bien mediante una simplificación de la misma, que supone un valor H de 0,5 m, que es el que se va a utilizar en este caso
Figura 5.147
Zapatas medianeras de ángulo con vigas centradoras C11
L12
C21 e1y e1x
e2y
A2/2
B2 Z1
Z2
e2x
A2 L23
L14
e4x
4. Se estudia la forma geométrica del cimiento de tal modo que la parte de viga entre zapatas tenga momento flector constante e igual para las cuatro.
Para la zapata 1 se verifica: N1 × e1x = N1 × e1y → e1x = e1y
C12
B1/2
A1
qcal = qadm − 17 D − 4 ( kN / m2 )
Según los datos de la figura 5.148, y para cumplir las hipótesis, debe verificarse la tabla de la figura 5.149 (página siguiente).
X
Z4
e4y
Z3
B3
B4
A4 C24
e3x
e3y
A3 L34
Y Figura 5.148
Notación de un sistema de cimiento de zapatas medianeras de ángulo para cuatro pilares con vigas centradoras
430 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS Zapata
Excentricidades de los soportes Eje x
Eje y
B1 − c = e 21 1y 2
A1 − c = e 2 11 1x
B2 − c = e 12 2y 2
e2x = e2y
3
e3 y
e3x = e3y
4
e 4y = e 4x
e 4 x = A 4 − c24 2
1 2
Figura 5.149
Condiciones en un sistema de cimentación de zapatas medianeras de ángulo para cuatro pilares con vigas centradoras
Tal y como puede observarse en la figura 5.148, por geometría se cumplen las expresiones siguientes: B1 = 2( e1x + c21) = 2e1x + 2c21 A1 = 2( e1y + c11) = 2e1x + 2c11 Si se iguala la carga del pilar a la superficie de la zapata multiplicada por la presión real de trabajo y se opera, queda: Zapata 1 de ángulo (Z1) (figura 5.148):
A1B1 = N1 = 4 ( e1x + c21)( e1y + c11) qcal Se tiene que verificar que e 1x = e1y para que sean iguales los momentos en las vigas centradoras. Si se continúa operando, al final se llega a la ecuación de segundo grado: ⎛ ⎞ e1x2 + ( c11 + c21)e1x + ⎜ c21 × c11 − N1 ⎟ = 0 4q cal ⎠ ⎝
Resolviendo, se extraen los valores que permiten definir los lados de la zapata 1: 2
(c + c ) e1x = − c11 + c21 + 11 21 + N1 − ( c21 × c11 ) 2 4 4q cal
[5.202]
Zapata 2 (Z2)
Dado que, por las hipótesis expuestas, los momentos flectores son iguales, se verifica por la viga 1: N1 × e1x = N2 × e2x = N2 × e2y e2y = e2x
Operando: e2 x = N1 × e1x N2 Por geometría: B2 = c + e 2 12 2y Y por la igualdad entre la carga y la superficie de la zapata multiplicada por q cal: N2=A2 x B2 x qcal A2 =
N2 B2 × qcal
e2 y = e2 x En la zapata 4, y por las mismas apreciaciones de igualdad de momentos que en el caso anterior: N4 × e 4y = N1 × e1x = N4 × e 4x Operando: e 4x = N1 × e1x N4 A4 = 2e 4x + 2c24 B4 = N4 A4qcal
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 431 e 4 y = e 4 x = N1 × e1x N4 Aplicando los mismos criterios se obtiene para la zapata 3: N3 × e3x = N1 × e1x = N3 × e3y e3x = e3y = N1 × e1x N3 A3 = B3 = N3 qcal
Por la expresión [5.202] 2 e1x = − 20 + 15 + 35 + 60 − 0,15 × 0,20 2 4 4 × 16,2 e1x = 0,79 m
A1 = 2 × 0,79 + 2 × 0,20 = 1,98 m A1 = 2,0 m
B1 = 2 × 0,79 + 2 × 0,15 = 1,88m B1 = 1,90 m Comprobación de superficie: 600 = 158 kN / m2 ≤ q = 162 kN / m2 adm 2 × 1, 9
e3 x = e3 y 5.8.6.1 Ejemplo de zapata medianera de ángulo con vigas centradoras
Para aclarar el proceso de trabajo se presenta un ejemplo que incluye los conceptos expuestos en el punto precedente. La nomenclatura es la definida en la figura 5.148. Cargas
Zapata 1
Soportes
Distancia c
(kN)
(cm)
(cm)
N1 = 600 N2 = 750 N3 = 900 N4 = 850
30 x 30 30 x 35 35 x 35 30 x 40
c11 = 20 c21 = 15 c24 = 25
L12 = L34 = 5,50 m L14 = L23 = 6,0 m qadm = 200 kN/m2 D=2m El valor de la presión de cálculo, por la fórmula simplificada, es: qcal = qadm - 17D - 4 qcal = 200 - 34 - 4 = 162 kN/m2 La solución se desarrolla por la aplicación de las fórmulas anteriores que permiten definir la forma de las zapatas.
De la misma manera, aplicando las fórmulas para la zapata 2: e2x = 600 × 0,79 = 0,63 m 750 B2 = 2 × 0,15 + 2 × 0,63 B2 = 1,56 m ≈ 1,60 m A2 = 750 = 2,89 m 1,60 × 162 A2 = 2,90 m B2 = 1, 60 m e2 x = e2 y = 0,63 m
Comprobación:
750 = 161, 6 kN / m2 < q adm 2,90 × 1, 60
Y para la zapata 4 e 4x = e 4y = 600 × 0,79 = 0,56 m 850 A4 = 2 × 0,56 + 2 × 0,63 A4 = 1,62 m ≅ 1,65 m B4 = 850 = 3,18 m ≈ 3,20 m 1,65 × 162 A 4 = 1, 65 m B4 = 3,20 m e 4 x = e 4 y = 0,56 m
432 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS El momento positivo de cálculo de las cuatro vigas es el mismo por las hipótesis del diseño de las zapatas y tiene un valor: Md = N1 × e1x × γ f
Comprobación: 850 = 161 kN / m2 < q adm 1,65 × 3,20 Zapata 3
e3x = e3y = ( 600 / 900 ) × 0,79 = 0,53 A4 = B4 = 90 = 2,36 m ≈ 2,40 m 16,2 A4 = 2,40 m B4 = 2,40 m e3x = e3y = 0,53 m Comprobación:
900 = 156 kN/m2 < q adm 2,40 2 2,00
2,90
1
2 0,79
0,60
0,63
1,90
Md = 600 × 0,79 × 1,6 = 758,4 kN ⋅ m La viga, que se construirá en este caso con hormigón de fck = 25 N/mm2 <> 25.000 kN/m2, tiene un canto útil: d = 0,031 × Md = b = 0,031 × 758,4 = 1,10 m 0,6
→ [5.160]
Por lo que se adopta un canto para la viga de 1,10 m.
X 1,60
0,63
H = 1,15 m d = 1,10 m La configuración en planta del conjunto de cimiento se describe en la figura 5.150.
0,79
Armadura de la viga: 0,60
0,60
μ=
6,00
0,56
0,53
3,23
2,40
0,56 0,60
0,53
4
3 2,40
1,65 5,50
Y Figura 5.150
Dimensiones finales en planta del conjunto del cimiento
758 × 1,5 = 0,063 0,6 × 1,10 2 × 25000
ω = μ 1 + μ = 0,067 As1 = ω × f cd × 60 × 115 = f yd = 22 cm2 <> 8 φ 20 <> 25 cm 2
As2 = 0,3 × 3,3 × 10 −3 × 60 × 115 = = 6,9 cm2 <> 6 φ 12 <> 6,8 cm 2 Armadura de cortante:
De cara a cara de zapata cuantía mínima
A w 0,02 × f cd × b o ≥ = 0,0575 s f yd
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 433 s ≤ Aw 0,0575 Con cercos de φ 8, A w = 1 cm2 1 = 17 cm s= 0,0575 Se colocan cercos de φ 8 a 17 cm. En los extremos de la viga se calculan los esfuerzos cortantes mayorados a una distancia igual a 1,10 m de los soportes. Estos valores se usan para definir la armadura de cortante según lo ya visto con anterioridad en otros ejemplos (EHE, artículos 44.2.2 y 44.2.3).
Los datos se presentan en la figura 5.151. Se supone que la presión admisible del terreno es: qadm = 150 kN/m2. Siendo la suma de las cargas: Ni = 1900 kN
∑
El centro de gravedad está a una distancia xG, que se determina tomando momentos con respecto al extremo de la zapata (véase la figura 151): xG = 800 × 5 + 600 × 11 + 0,15 = 1900 = 5,730 m
El proyecto se concluiría con el armado total de las zapatas. 5.8.7 Zapata o viga combinada para tres pilares con disposición en medianera, pilar central y pilar de medianera
xG 0,30
0,40
N1=500 kN
La hipótesis de partida es que el centro de gravedad de las cargas actuantes, N1, N2 y N3, sea coincidente con el centro de gravedad de la superficie de cimentación.
N2=800 kN
11,35
N1 = 500 kN N2 = 800 kN N3 = 600 kN
5,73 5,00
6,00
1,15
1. Zapata combinada trapezoidal. 2. Dos zapatas rectangulares. 3. Tres zapatas aisladas y dos vigas centradoras.
0,055 5,675
5,675 11,35
Cálculo de la superficie
El proceso se explicará mediante un ejemplo, ya que el procedimiento es conocido gracias a los ejemplos anteriores.
6,00
5,00
Los valores de las cargas actuantes son:
Las soluciones se pueden agrupar en alguno de los siguientes tipos:
N3=600 kN
Figura 5.151
Datos y zapata del ejemplo
434 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS 1900 kN
141,3 kN/m2 qcal=147,7 kN/m2
149,8 kN/m2
En este caso, la solución óptima sería una zapata rectangular de las dimensiones indicadas en la figura 5.151, con una excentricidad muy pequeña, de valor 0,055 m y con unas dimensiones que se determinan según todo lo visto hasta ahora. B = 1900 = 1,12 m ≈ 1,15 m 11,35 × 150 1900 ⎛ 1+ 6 × 0,055 ⎞ 1,15 × 11,35 ⎜⎝ 11,35 ⎟ ⎠ = 149,8 kN/ m2
q1 =
500 kN
800 kN
600 kN
q2 =
1900 ⎛ 1 − 6 × 0,055 ⎞ 1,15 × 11,35 ⎜⎝ 11,35 ⎟ ⎠ 2
148 kN/m2
148 kN/m2
x2 M2 = 500x − 148 × 1,15 + 800 ( x - s1) = 2 2 = 1300 x − 85,1x - 4000 (de 5 a 11 m [tramo 2])
964 m.kN 734 m.kN
372 m.kN
2,94
M1 = 500x1 − 148 × 1,15 x1 = 2 2 500x 85,1x = − (de 0 a 5 m [tramo 1])
Momentos F. 5,00
M1max = 500 × 2,94 - 85,1 × 2,94 2 = = 734 kN ⋅ m M5m = 500 × 5 - 85,1 × 25 = = 372,5 kN ⋅ m
7,63
M2max = 1300 × 7,63 - 85,1 × 7,632 − − 4000 = 964 kN ⋅ m 500 kN
M11m = 1300 × 11- 85,1 × 112 − 4000 = = 2,9 m × N
440 kN
572 kN
M 11m deberá ser nulo. No ocurre así porque se ha tomado un valor aproximado para qcal y se han tomado momentos con respecto a los ejes de los soportes.
Figura 5.152
Con estos esfuerzos, momentos flectores y esfuerzos cortantes, se calcula y arma la zapata-viga de cimientos.
351 kN
Gráficas de tensiones y esfuerzos de la zapata del ejemplo
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 435 5.8.7.1 Solución 1. Zapata combinada trapezoidal (figuras 5.153 y 5.154)
Con L = 11,35 = 2 x X G ⎛ ⎞ A = 2N ⎜ 2 − 3 × XG ⎟ = 1,08 m q.L ⎝ L ⎠
[ ]
Figura 5.153
1
El resto del ejemplo se realiza de modo análogo al definido en el punto 5.7.3.4.
2
60T
0,15 5,15 11,15
V (T)
2
3
3
-419,5 +130 x -16,37x x - 0,066 x 2 6
2
50 - 16,37x - 0,066 x 2 3
2
3
-488,5 +190 x - 16,37x x - 0,066 x 2 6
Esquema de aplicación de cargas
0 a 0,15
2
-7,5+50x -16,37x x - 0,066 x 2 6
Figura 5.154
X (m)
2 -16,37x - 0,066 x 2
2
4
80T
M (T·m)
Tramo
3
50T
2 3 -16,37x x - 0,066 x 2 6
4
5,73
Datos geométricos de la zapata
Se adopta B = 1,15 m 1900 × 2 = 148,8 kN / m2 qreal = (1,10 + 1,15 ) × 11,35 Los momentos flectores y esfuerzos cortantes se representan en las figuras 5.155 y 5.156.
1
B 1,15 m
G
11,35
Se adopta A = 1,10 m ⎛ ⎞ B = 2N ⎜ 3 × XG − 1⎟ = 1,148 m q.L ⎝ L ⎠
Tramo
A 1,10 m
0,15 a 5,15
2
130 - 16,37x - 0,066 x 2
2
190 -16,37x - 0,066 x 2
5,15 a 11,15
Figura 5.155
11,15 a 11,35
Momentos flectores y cortantes en cada punto
Figura 5.156
Mnegativo (T·m)
Mmax x (m)
(T·m)
A1
A2
A3
2
3,03
68,6
0,15
5,15
21,15
3
7,82
91,3
-0,18
31,4
-2,8
Momentos flectores y cortantes en puntos singulares
436 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS 5.8.7.2 Solución 2. Dos zapatas rectangulares
(figura 5.157)
A = 4,95 × B = 1,09 m ≈ 1,10 m 5,15
Operando resulta: 5,15A + 6,20B = 1900 150 5,15A × 3,155 = 6,20B × 2,52 ⎧5,15A + 6,20B = 12,67 ⎨ 5,15A = 4,95B ⎩ Condición para que el centro de las zapatas coincida con el centro de gravedad de las cargas. B = 12,67 = 1,14 m ≈ 1,15 m 11,15 3,155
Figura 5.157
Datos geométricos de las zapatas y aplicación de cargas
Figura 5.158
Momentos flectores y cortantes en cada punto
A
qcr = 148,5 kN / m2 Los momentos flectores y cortantes en cada punto se dan en la tabla de la figura 5.158 y en los puntos singulares en la figura 5.159 El resto del cálculo es análogo al realizado en el ejemplo 5.7.3.4.
2,52
XG1
XG
B
XG2
50T
80T
60T
0,15 5,15
5,15
6,20
11,15 11,35
11,35
Tramo
M (T·m)
V (T)
X (m)
1
-8,17x2
-8,17x
0 a 0,15
2
-7,5 + 50x - 8,17x2
50 - 16,84x
3
-429,4 + 133,8x - 8,54x2
133,8 - 17,08x
4
-1098,4 + 193,8x - 8,54x2
193,8 - 17,08x
Mmax (T·m)
Tramo Figura 5.159
Momentos flectores y cortantes en puntos singulares
1900 1,1× 5,15 + 1,15 × 6,20
qcr =
Apoyo x
––
––
––
1
0,15
-0,18
2
3,03
68,6
2
5,15
33,2
3
7,82
91,3
3
11,15
-0,8
