Hoán v, chuyn v, nghch th và mt s bài toán liên quan Vũ Th Khôi, email:
[email protected] Vin Toán Hc, 18 Hoàng Quc Vit, Hà Ni
Bài vit gm ba phn, phn đu gii thiu ngn gn mt s đnh nghĩa và tính cht cơ bn ca hoán v. Phn th hai gii thiu v s nghch th ca hoán v, các tính cht ca nó và mt s bài toán sơ cp liên quan. Trong phn cui chúng tôi gii thiu mt s kt qu v bài toán đm s hoán v tha mãn các điu kin cho trưc. Vi mc đích gii thiu cho giáo viên THPT, chúng tôi đưa ra nhiu ví d và bài tp sơ cp đ minh ha. Các kin thc trong phn đu và phn th hai đưc trình bày ch yu da theo tài liu tham kho [3]. Phn cui đưc trình bày da theo tài liu [1, 4, 5]. Ngưi đc có th tham kho các tài liu gc đ tìm hiu sâu thêm v các kt qu trình bày đây. 1. Kin thc cơ bn v hoán v Khi ln đu gii thiu v hoán v cho hc sinh chúng ta thưng đnh nghĩa mt hoán v ca (1 , 2, · · · , n) đơn gin là mt dãy (a1 , a2 , · · · , an ) cha các s 1, · · · , n mi s đúng mt ln và đưc vit theo th t bt kỳ . Đnh nghĩa hoán v như mt dãy s có thun li
là đơn gin và thưng đưc dùng trong phát biu ca nhiu bài toán. Mt cách nhìn khác v hoán v là coi hoán v (a1 , a2, · · · , an ) như mt song ánh , {1, 2, · · · , n} → {1, 2, · · · , n} cho
σ :
bi σ(i) = a i . Khi coi hoán v như mt song ánh ta có
th ly hp thành ca hai hoán v . Đ thun tin cho vic tính toán hp thành ca hai ánh x, ngưi ta thưng ký hiu hoán v như sau:
1 σ = a
1
2
···
n−1
a2
···
an−1
n a n
Khi coi hoán v như song ánh ta có th phân tích hoán v như hp thành ca các hoán v dng đơn gin. Trong nhiu bài toán khi cn chng minh mt tính cht đúng cho hoán v bt kỳ, ta ch cn chng minh nó đúng vi các hoán v dng đơn gin. Mt dng phân tích hoán v quan trng là phân tích thành các xích như như sau: xét đ th có n đnh đánh s t 1 đn
n. Ta
v cnh có hưng đi t đnh i đn đnh σ(i). T tính 1
2
cht song ánh ca σ ta suy ra ti mi đnh có đúng 1 cnh đi vào và 1 cnh đi ra. Do đó ta nhn đưc 1 đ th có dng hp thành ca các chu trình ri nhau, mi chu trình như vy gi là mt xích . Ta có th coi mi xích là mt hoán v vòng quanh ca mt tp con { x1 , x2 , · · · , xk } ⊂ {1, 2, . . . , n}. và ký hiu là ( x1 x2 · · ·
xk ). Như
vy mt hoán v s
đưc phân tích mt cách duy nht thành các xích ri nhau. Ví d 1.1. Hoán v
1 σ = 8
2 3 4 5
6
7 8 9
6 5 9 3 10 4 7 1
10 2
tương ng vi đ th sau
Ta có th vit phân tích ca σ thành các xích như sau σ = (1 8 7 4 9)(3 5)(2 6 10). Vi nhng xích ch cha đúng 1 phn t k , tc là σ (k) = k, đ cho gn ngưi ta thưng b đi không vit nu không gây hiu lm gì.
Mt xích ch cha hai phn t ( a b) gi là mt phép chuyn v . Ta ký hiu si = (i i + 1) , i = 1, 2, · · · , n − 1, là các phép chuyn v đi ch hai s i và i + 1.
Đnh lý 1.2 Mi hoán v đu là hp thành ca mt s phép chuyn v si . Chng minh. V trc giác ta thy đnh lý đúng vì ch cn đi ch hai phn t k nhau
ta nhn đưc mi hoán v. Lý lun cht ch như sau: trên ta thy mi hoán v đu vit đưc như hp thành ca các xích. Mi xích li đưc vit thành hp thành ca các phép chuyn v (x1 x2 · · · xn ) = (x1 xn )(x1 xn−1 ) · · · (x1 x2 ).
3
Hơn na mi phép chuyn v đu là hp thành ca các s i : (k l) = (k k + 1)(k + 1 k + 2) · · · (l − 1 l)(l − 2 l − 1) · · · (k k + 1) .
Ta có điu cn chng minh.
Ý tưng coi các hoán v như song ánh và s dng phép hp thành thưng có ích khi gii nhng bài toán mà ta thc hin liên tip nhiu phép đi ch. Bài tp 1.3. Mt b bài gm 2n + 1 quân bài phân bit. Mi ln ta đưc quyn thc
hin mt trong hai cách tráo bài sau: - Ly mt s quân bài trên cùng, gi nguyên th t và chuyn v cui b bài; - Ly n quân bài trên cùng và ln lưt xp chúng vào n v trí gia ca n + 1 quân bài dưi cùng. Chng minh rng bng cách thc hin các phép tráo bài như trên ta nhn đưc không quá 2n(2n + 1) hoán v khác nhau ca b bài ban đu. Gi ý: Ta coi b bài ban đu đưc đánh s ln lưt t trên xung dưi 1 , 2, · · · , 2n + 1.
Có th thy hai phép tráo bài tương ng vi hai loi hoán v σk , τ : { 1, 2, · · · , 2n + 1 } → {1, 2, · · · , 2n + 1}
xác đnh như sau: σ k (i) := i + k mod (2n + 1) vi k = 1, 2, · · · , 2n + 1 và τ (i) := (n + 1)i mod (2n + 1) . Như vy khi kt hp hai phép tráo mt s hu hn ln ta ch có th nhn
đưc mt hoán v có dng: σ(i) = (n + 1)t i + c
mod (2n + 1).
Ta thy ( n + 1)t nhn 2 n giá tr 1 , 2, · · · 2n còn c nhn 2 n + 1 giá tr. Ta có điu cn chng minh. Bài tp 1.4.(Nordic 2015) Có mt b bách khoa toàn thư gm 2000 tp xp ln lưt trên
giá thành mt hàng ngang. Ta đưc quyn đi ch sách theo mt trong hai cách sau: - Ly mt s chn nhng quyn sách phn đu, gi nguyên th t, và chuyn v xp cui; - Ly mt s l nhng quyn sách phn đu, đo ngưc th t và xp li vào phn đu b. Hi ta có th nhn đưc bao nhiêu hoán v khác nhau ca b sách ban đu bng cách thc hin mt s hu hn nhng ln đi ch như trên?
4
Gi ý: Gi s ban đu các quyn có s 1, 2, · · · , 2000. Ta nhn thy khi thc hin các
phép đi ch thì các quyn có s chn luôn v trí chn và quyn có s l luôn v trí l. Ta chng minh có th đi ch đ xp các quyn sách có s chn vào các v trí chn mt cách tùy ý và sách có s l vào nhng v trí l mt cách tùy ý. Như vy có th to ra (1000!)2 ) hoán v. Điu này đưc suy ra t hai nhn xét sau:
- Ta có th đi ch 2 quyn sách có s chn k nhau mà không làm thay đi các quyn có s chn khác; - Ta cũng có th đi ch 2 quyn sách có s l k nhau mà không làm thay đi bt kỳ quyn sách nào khác. 2. Nghch th ca hoán v và mt s bài toán liên quan Xét mt hoán v σ cho bi ( a1 , a2 , · · · , an ) ca các s (1 , 2, · · · , n). Mt cp ch s ( i, j ) đưc gi là nghch th nu i < j và ai > a j . Ta ký hiu (σ) là s các nghch th ca σ. Ví d 2.1. Nu σ cho bi (1, 2, · · · , n) thì (σ ) = 0. Nu σ cho bi (n, n − 1, · · · , 1) thì (σ ) =
n(n−1)
2
. Ta
d thy phép chuyn v
si có
th biu din như dãy (1, · · · i − 1, i +
1, i , i + 2 , · · · n) và do đó có (si ) = 1 vi mi i.
Ta có tính cht sau ca s nghch th. Tính cht 2.2. (σ ◦ si ) = (σ ) ± 1 và (si ◦ σ) = (σ) ± 1. Chng minh. Gi s σ cho bi (a1 , a2 , · · · , an ) thì d dàng tính đưc σ ◦ s i cho bi (a1 , · · · , ai−1 , ai+1 , ai , ai+2 , · · · , an ). Như vy nu a i < ai+1 thì (σ ◦ si ) = (σ ) + 1 và nu ai > ai+1 thì (σ ◦ si ) = (σ ) − 1.
i + 1 Ta tính đưc s ◦ σ( j ) = s (a ) = i a i
i
j
nu a j = i nu a j = i + 1
nu a j = i, i + 1 Như vy si ◦ σ s tương ng vi dãy nhn đưc t (a1 , a2 , · · · , an ) sau khi đi ch hai j
s ak = i và
al = i + 1 . Rõ
ràng khi thay i bi i + 1 hay ngưc li thì quan h ln hơn,
nh hơn gia các s này vi nhng s a i , i = k, l còn li cũng không thay đi. Như vy nu ban đu trong hoán v ( a1 , a2 , · · · , an ) s i đng trưc i + 1 thì sau khi đi ch s nghch th tăng 1, còn nu i đng sau i + 1 thì sau khi đi ch s nghch th gim đi 1.
5
Tính cht 2.3. Vi σ và τ là hai hoán v bt kỳ ca (1, 2, · · · , n) ta có (σ ◦ τ ) ≡ (σ) + (τ )
mod 2.
Chng minh. Theo Đnh lý 1.2 ta có th biu din σ = s i ◦ si ◦ · · · ◦ si . S dng tính 1
2
k
cht 2.2 liên tip ta có (σ) = (si1 ◦ si2 ◦ · · · ◦ sik−1 ) ± 1 = · · · = ± 1 ± 1 · · · ± 1 .
k ln
T đó suy ra (σ) ≡ k mod 2. Như vy có nhiu cách khác nhau đ phân tích mt hoán v σ thành hp thành ca các s i , nhưng s các s i xut hin trong các phân tích luôn chn hoc luôn l ph thuc vào tính chn, l ca (σ ).
Tương t ta có τ = s j ◦ s j ◦ · · · ◦ s j và (τ ) ≡ l mod 2. 1
2
l
Như vy σ ◦ τ = s i ◦ si ◦ · · · ◦ si ◦ s j ◦ s j ◦ · · · ◦ s j . Cũng lý lun tương t trên ta có 1
2
k
1
2
(σ ◦ τ ) ≡ k + l
l
mod 2.
Ta có đng thc cn chng minh.
Ví d 2.4. Ví d này gii thiu trò chơi 15 gm 1 bng c 4 × 4 trong đó có 15 ô đánh s
t 1 đn 15 và mt ô trng. Ta có th đy các ô bên cnh vào ô trng đ thay đi trng thái ca bng. Vào năm 1880, Sam Loyd, mt nhà sáng ch trò chơi, câu đ ni ting ngưi M đã đưa ra thách đ: hãy đưa bng trng thái ban đu như hình bên tay trái v hình bên tay phi.
Hình 1. Câu
đ ca Sam Loyd
Sam Loyd đã treo thưng 1000 Đô la cho li gii, nhưng không ai nhn đưc gii thưng vì thách đ này không th làm đưc. Ta coi mt trng thái ca bng như mt hoán v ca các s 1, 2, · · · , 15 nhn đưc khi vit các s ln lưt t trái qua phi t trên xung
6
dưi. Như vy thách đ tương đương vi vic đưa hoán v (1 , 2, · · · , 14, 15) v thành hoán v (1, 2, · · · , 15, 14). Ta nhn xét : - Khi trưt mt ô cùng hàng vào ô trng thì hoán v không thay đi. - Khi trưt mt ô cùng ct vào ô trng thì s đó đưc chuyn v phía trưc hoc phái sau cách 3 v trí. Tc là ta thc hin 3 ln đi ch hai ô đng cnh nhau, như vy s nghch th s thay đi tính chn, l. Do đó nu ta đánh s các hàng ln lưt là 1, 2, 3, 4 thì đi lưng: s nghch th + v trí hàng ca ô trng mod 2 là bt bin. Vi bng hình bên trái
đi lưng này bng 0 còn hình bên phi thì đi lưng này bng 1. Vy không th đưa đưc v bng bên phi.
Bài tp 2.5. Có mt b 10 quyn sách, đưc đánh s t 1 đn 10, xp thành mt hàng
ngang trên giá mt cách bt kỳ. Mi ln ta đưc quyn đi ch hai quyn sách đng cnh nhau. Hi cn ít nht bao nhiêu ln đi đ đm bo luôn xp đưc sách theo th t tăng dn. Gi ý: D thy cn không quá 9 ln đi có th đưa quyn 1 v đu, không quá 8 ln
đi có th đưa quyn 2 v v trí th hai, ...như vy cn không quá 45 ln đi có th xp tt c theo th t tăng dn. Mi ln đi hai quyn k nhau thì s nghch th tăng hoc gim 1. Vì vy nu ban đu sách xp theo th t 10 , 9, · · · , 1 thì phi cn đúng 45 ln đi. Vy s ln đi ít nht tha mãn đu bài là 45.
Ta xét mt bài tp phát biu tương t bài trên nhưng cho phép đi ch hai quyn sách bt kỳ. Bài tp 2.6. Có mt b 10 quyn sách, đưc đánh s t 1 đn 10, xp thành mt hàng
ngang trên giá mt cách bt kỳ. Mi ln ta đưc quyn đi ch hai quyn sách bt kỳ. Hi cn ít nht bao nhiêu ln đi đ đm bo luôn xp đưc sách theo th t tăng dn. Gi ý: Mi ln đi ch hai phn t ca hoán v thì s lưng xích gim đi hoc tăng
lên mt ph thuc vào hai phn t này có nm trong cùng mt xích hay không. D dàng thy nu đưc dùng 9 ln thì luôn đi đưc. Xét hoán v vòng quanh (2, 3, · · · , n, 1) thì cn đúng 9 ln đi.
7
Bài tp 2.7.[2] Gi s mi ln ta đưc quyn đi ch hai khi k nhau mi khi cha mt
s bt kỳ các phn t. Hi cn ít nht bao nhiêu ln đi đ đưa hoán v (n, n − 1, · · · , 2, 1) v thành (1, 2, · · · , n). Gi ý: Vi mt hoán v (a1 , a2 , · · · , an ), ta xét đi lưng s các ch s i mà ai > ai+1 .
Ban đu đi lưng này bng n − 1, cui cùng bng 0 . D thy mi ln đi ch hai khi thì đi lưng này gim nhiu nht là 2, riêng ln đu và ln cui ch có th gim đi 1. như vy s ln ít nht s ln hơn hoc bng n+1 2 . Ta có th ch ra cách dùng đúng n+1 2 ln đi ch 2 khi có th thc hin đưc. Ví d n = 9 ta
s làm như sau:
5, 4 , 3, 2, 1 → 5 , 4, 9, 8, 7, 6, 3 , 2, 1 → 5 , 6, 3, 4, 9, 8, 7, 2 , 1 → 9, 8, 7, 6 , 5, 6, 7, 2, 3, 4, 9, 8, 1 → 5 , 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 9 → 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bài tp 2.8.[3] Chng minh rng nu τ = σ −1 là ánh x ngưc ca σ thì (τ ) = (σ).
3. Bài toán đm s các hoán v tha mãn điu kin cho trưc Trong mc này chúng ta xét mt s bài toán tìm s các hoán v vi các điu kin ràng buc v s các nghch th hay điu kin v các dãy con ba phn t. Bài tp 3.1. Có bao nhiêu hoán v ca 1 , 2, · · · , n có đúng 1 nghch th. Gi ý: Ch có hai trưng hp an = n hoc an−1 = n, an = n − 1. T đó dùng truy hi
ta đưc đáp s n − 1. Bài tp 3.2. Chng minh rng có đúng
− 1 hoán v có đúng hai nghch th. n
2
Gi ý: Truy hi, s dng kt qu bài 3.1. Bài tp 3.3 Có bao nhiêu hoán v (a1 , a2 , · · · , an ) ca 1, 2, · · · , n mà tn ti duy nht
mt ch s i đ a i > ai+1 . Ta s có bài toán khó hơn khi đt các điu kin vào các dãy con ba phn t. Ta đt S n (123) := { hoán v ( a1 , a2 , · · · , an )| không
có 3 ch s i < j < k mà
ai < a j < ak }
S n (132) := { hoán v ( a1 , a2 , · · · , an )| không
có 3 ch s i < j < k mà
ai < ak < a j }
Ta có th đnh nghĩa tương t cho 4 tp
S n (231), S n (321), S n (213)
và S n (312). Vic
tính s phn t ca các tp trên là mt trong nhng kt qu cơ bn và đp đ trong lý thuyt hoán v. Trưc tiên ta có mt s nhn xét đơn gin: - Có song ánh t nhiên: S n (123) → S n (321),
8
S n (132) → S n (231), S n (213) → S n (312)
cho bi ((a1 , a2, · · · , an ) → (an , an−1 , · · · , a1 ) - Có song ánh S n (231) → S n (312) cho bi σ → σ −1 . Như vy ta ch cn tính s phn t ca hai tp S n (123) và S n (132). Ta có kt qu sau. Đnh lý 3.4. [1, 5] S phn t ca S n (132) bng
.
2n 1 n+1 n
Chng minh. Đt an := |S n (132)|, d thy a1 = 1, a2 = 2. Ta xét trưng hp ai = n,
khi đó (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ S n (132) ⇐⇒ (a1 , a2 , · · · , ai−1 ) ∈ S i−1 (132) và (ai+1 , ai+2 , · · · , an ) ∈ S n−i (132).
T đó ta có công thc truy hi:
an =
a n
1
i−1 an−i ,
( quy ưc
a0 = 1).
Đây chính là công thc truy hi cho s Catalan ni ting, vi cùng giá tr ban đu. T đó ta nhn đưc an chính là s Catalan
.
2n 1 n+1 n
Đnh lý 3.5.[1, 5] Hai tp S n (123) và S n (132) có cùng s phn t. Chng minh. Bn đc có th tham kho trong tài liu [1].
Các kt qu sau đây có th chng minh đơn gin bng truy hi, thích hp dùng làm bài tp cho hc sinh Bài tp 3.6[5] Chng minh rng |S n (123) ∩ S n (132)| = 2n−1 và |S n (132) ∩ S n (213)| = 2n−1 Bài tp 3.7[4] Chng minh rng có đúng ( n − 2)2n−3 hoán v trong S n (132) mà nó cha
đúng mt dãy con tăng dn có 3 phn t. Tài liu [1] Bóna, Miklós. Combinatorics of permutations. CRC Press, 2012. [2] Eriksson, Henrik, et al. "Sorting a bridge hand." Discrete Mathematics 241.1-3 (2001): 289-300. [3] Knuth, Donald Ervin. The art of computer programming: sorting and searching. Vol. 3. Pearson Education, 1998. [4] Robertson, Aaron. "Permutations containing and avoiding 123 and 132 patterns." Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 3.4 (1999). [5] Simion, Rodica, and Frank W. Schmidt. "Restricted permutations." European Journal of Combinatorics 6.4 (1985): 383-406.
