PRINCIP VIRTUALNOG RADA
Statika je nauka koja se bavi problemom ravnoteže krutog tela ili sistema sist ema povezanih krutih tela, delimino ogranienih ili potpuno spreenih u pogledu pomerljivosti putem raznih veza ili oslonaca, izloženih dejstvu aktivnih sila.
Ovakvi problemi mogu da se podele u dve grupe:
• Koriste#i dve osnovne mere mehani kog dejstva silu i spreg, odre%uju su uslovi ravnoteže krutog tela i sistema krutih tela vektorska statika. • Pri odre%ivanju uslova ravnoteže prisutne su sve aktivne sile, spregovi i reakcije veza. • Rešavanjem ovih jednaina, proisteklih iz uslova ravnoteže
odreuju se sve reakcije veza u zavisnosti od aktivnih sila i spregova, kod tela koja su vezana tako da su pomeranja potpuno isklju!ena.
Odreivanje stanja ravnoteže datog sistema kod koga postoji izvesna sloboda pomeranja kao što su mehanizmi sa jednim ili više stepeni slobode – analiti!ka statika. (videti poglavlje 1, kinemati ka i statika stabilnost).
Prevashodni zadatak pri ovim analizama je odre %ivanje ravnoteže i veza izme %u aktivnih sila i spregova u konkretnom položaju sistema, bez odre %ivanja reakcija veza.
Metode analiti!ke statike omogu$avaju odreivanje veza izmeu aktivnih sila i spregova, kao i položaj sistema krutih tela pri ravnoteži, ali bez odreivanja reakcija idealnih veza . Metode analitike statike pružaju mogu#nost prouavanja i svojstava ravnotežnih položaja, dele #i ih na stabilne i nestabilne.
U vektorskoj statici se ne koristi pojam kretanja, dok je u analiti koj statici pojam kretanja, odnosno malih pomeranja od velikog znaaja, jer se pomo#u njih odre%uje rad sile i sprega.
Osnovna mera mehani!kog dejstva u analiti!koj statici (mehanici) je rad sile ili sprega. Rad je mera mehani!kog dejstva sile i sprega koji nastaje zbog promene položaja tela u prostoru.
I vektorska statika i analiti ka statika odre%uju uslove ravnoteže sistema krutih tela, s tim što u vektorskoj uestvuju reakcije veza, dok u analitikoj one ne uestvuju. Kako su to dva razli ita naina prouavanja problema ravnoteže, njihovi rezultati moraju biti isti.
VIRTUALNO POMERANJE I VIRTUALNO OBRTANJE
Položaj poluge je potpuno odre %en uglom q koji njena osa zaklapa sa osom x, a problem se sastoji u tome da se odredi ugao q pri kom #e poluga biti u ravnoteži pod dejstvom sila P i Q. Pošto je okretanje oko ose z jedino kretanje koje poluga može da vrši, to znai da telo ima jedan stepen slobode. Ugao q koji definiše kretanje poluge se naziva koordinatom sistema.
beskrajno malo obrtanje dq - virtualno ili mogu#e obrtanje tela oko ose z beskrajno mali luk r dq za koji se može smatrati da je prav i upravan na polugu AB – virtualno pomeranje
Ovakva pomeranja se nazivaju virtualna pomeranja (re virtualno zna i mogu#no, što može biti). Virtualna pomeranja ta aka A i B su:
ds A = a dq, ds B = b dq,
– dužina luka
upravna su na polugu AB i usmerena u suprotne strane, a dq je virtualno obrtanje tela oko ose z.
Virtualnim kretanjem se zove zamišljeno, veoma malo i od vremena nezavisno, dakle isto geometrijsko kretanje sistema, koje njegove veze dopuštaju.
VIRTUALNI RAD r
Ako se napadna taka neke sile Fi pomeri za neko beskona no malo odstojanje dsi sila vrši rad koji je jednak proizvodu pomeranja dsi i projekcije te sile na pravac pomeranja:
dA i = Fi cos a i ds i .
Virtualni rad je skalarna veli ina, ima dimenziju sila ´ dužina i pozitivan je ako su sila, odnosno projekcija sile i pomeranje istog smera.
Virtualni rad je rad sile ili sprega usled virtualnog pomeranja ili obrtanja. Sila vrši rad na virtualnom pomeranju njene napadne take, a spreg vrši rad na virtualnom obrtanju krutog tela.
Virtualni rad sile je jednak proizvodu virtualnog pomeranja napadne ta!ke sile i projekcije sile na pravac pomeranja. Virtualni rad sprega jednak proizvodu momenta sprega i virtualne rotacije krutog tela na koje deluje spreg:
dA = ± F cos a ds
dA = ± m dq
Pozitivan je ako su moment sprega i virtualna rotacija istog smera, a negativan ukoliko su suprotnog smera.
Virtualnim radom se meri dejstvo sila i spregova na promeni položaja tela. Kada veze dozvoljavaju neka mala zamišljena pomeranja ta aka sistema, onda se napadne ta ke sila koje deluju na mehanizam pomeraju, a sile vrše rad na tim pomeranjima. Pri prouavanju ovakvih sistema pretpostavlja se da nema trenja u zglobovima, u osloncima, kao i da su svi delovi sistema kruti. Takve veze se nazivaju idealnim vezama, a sistemi idealnim sistemima. U tom sluaju rad vrše samo aktivne sile na virtualnim pomeranjima njihovih napadnih ta aka, a da bi sistem bio u ravnoteži potrebno je da je ukupan rad svih aktivnih sila na odgovaraju #im virtualnim pomeranjima sistema bude jednak nuli.
LAGRANŽ-DALAMBEROV PRINCIP VIRTUALNOG RADA PRI RAVNOTEŽI SISTEMA KRUTIH TELA ZBIR SVIH VIRTUALNIH RADOVA AKTIVNIH SILA I AKTIVNIH SPREGOVA JEDNAK JE NULI:
n
n
i =1
i =1
dA = å dA i = å Fi cos ai dsi = 0.
Prema tome, sistem krutih tela je u nekom položaju u ravnoteži, ako je u tom položaju virtualni rad sistema jednak nuli.
P cos q a dq - Qsin q b dq = 0 Þ tgq = Ako su poznate sile P i Q i rastojanja za koji je poluga u ravnoteži.
a
Pa Qb
i b, onda je ovim izrazom odre %en ugao q
Princip virtualnog rada je primenio me %u prvima Galilej pri prou avanju ravnoteže dveju estica, me %usobno povezanih nerastegljivim, savršeno savitljivim koncem koje leže na dve glatke nagnute ravni. Ako teret P pre%e mali put ds1 po nagnutoj ravni, to znai da #e se i teret Q pomeriti za isto toliko na svojoj kosoj ravni.
Pri izraunavanju rada koji su pri ovom pomeranju izvršile sile P i Q na virtualnim pomeranjima, treba uzeti projekcije svake sile na pravac odgovaraju #eg pomeranja.
- P ds1 sin a + Q ds1 sin b = 0,
P Q
=
sin b sin a
.
Za mnogo manji ugao a od ugla b, može se di #i mnogo ve #i teret P znatno manjom silom Q to jest vertikalni uspon tereta P #e biti u istoj srazmeri manji od spuštanja tereta Q u kojoj je teret P ve#i od tereta Q.
U prethodnim sluajevima posmatrali su se primeri u kojima su sistemi imali izvesnu slobodu kretanja. U ovakvim problemima princip virtualnog rada se primenjuje da bi se definisao položaj ravnoteže sistema krutih tela ako su poznate spoljašnje sile i spregovi, odnosno da bi se odredili uslovi koje treba da zadovolje sile i spregovi, da bi posmatrani sistem bio u ravnoteži.
Princip virtualnog rada može da se primeni i na potpuno nepokretne sisteme formiranjem pokretnog sistema (mehanizma) sa jednim stepenom slobode.
Statiki odre%ena, kinemati ki stabilna greda, koja je u A vezana nepokretnim osloncem, a u B pokretnim osloncem optere #ena je vertikalnom silom P. Treba odrediti reakciju veze u B, prouzrokovane dejstvom aktivne sile P primenom principa virtualnog rada. Da bi se pomo #u virtualnog rada odredila reakcija R b koja mora da bude vertikalna, treba ukloniti oslonac B i zameniti ga silom R b, ime je dobijen pokretan sistem sa jednim stepenom slobode. Ako se sistemu zada virtualna rotacija dq oko ose z koja prolazi kroz A, napadna taka sile P #e se pomeriti za virtualno pomeranje x dq, a taka B za l dq.
Jednaina virtualnog rada glasi:
-P x dq + R b l dq = 0 R b = P
x l
Dve grede AC i CD povezane su zglobom C. Primenom principa virtualnog rada odrediti reakciju V b pri bilo kom položaju sile P. Da bi se dobio pokretan sistem (mehanizam) sa jednim stepenom slobode, uklanja se pokretan oslonac B i na tom mestu postavlja vertikalna reakcija V b. Sada je u skladu sa ostalim vezama sistema definisano virtualno vertikalno pomeranje dsc zgloba C. Odgovaraju #a vertikalna pomeranja taaka B i E su:
ds b =
ds c a l1
i ds e =
ds c x l 2
Jednaina virtualnog rada glasi:
V b ds b - Pds e = 0,
V b = P
xl 1 l 2 a
.
,
Odrediti moment savijanja u preseku A primenom principa virtualnog rada. F=10kN, q=10kN/m, l =2m.
n
n
i =1
i =1
dA = å dAi = å Fi cos a i dsi = 0.
ds A = ds D = l × dq, ds F =
l 2
dq,
dA(M A ) = -M A × dq, dA(F) = 0, dA(Q) = -Q × ds F = -20 × dq,
å dA i = 0 Þ
- M A × dq - M A × dq - 20 × dq = 0 Þ
- 2M A - 20 = 0 Þ M A = -10kNm.
Primenom principa virtualnog rada odrediti silu u štapu EC
Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti moment ukleštenja u A. F1=90kN, F2=50kN, M=40kNm
Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti silu u štapu CD, kao i reakciju veze u B.
H B = 15 kN
dq2
dq1
S = 20,5 kN
VB = 10,5 kN
